Archly ffir Elektrotechnik 6t (1979) 25--32 ARCHIV FOR ELEKTROTECHNIK �9 by Springer-Verlag 1979

Trans ienter Skineffekt in Kernen mi t abschni t t swe i se verschiedenen Werkstoffe igenschaften

L. H a n n a k a m u n d R, T e p e , B e r l i n

Ubers i eh t : Ein zylindrischer oder ebener Kern, der aus Mate- rialien abschnittsweise verschiedener Permeabilit/ i t und Leit- f/ihigkeit besteht, ist mit einer solenoidalen VJ'icklung umge- ben, die von einem zeitlich beliebigen Strom durchflossen wird. Nach Erfiillung der Randbedingungen durch spezielle Ortho- gonalentwicklungen werden allgemeine Beziehungen Iflr die V~Tirbelstr6me aufgestellt, die in den I(ernteilen verschiedener Materialkonstanten induziert werden. Das gestellte Problem wird in allgemeiner Form ftir eine beliebige Unterfeilung des Nerns geI6st und far den station&ren Fall mit bekannten konventionellen Mitteln nachgeprfift. Ftir eine Drei- und Zwe~- Medien-Anordnung werden detaillJerte Beziehungen ange- geben. In eJnem Beispiel wird der Gesamtstrom berechnet, der nach erfolgtem Einscbalfvorgang in dem inneren Tell einer symmetrischen Drei-Medien-Anordnung induziert wird. Die Ergebnisse werden bei der zerst6rungsfreien Materialpri~fung angewandt.

T r a n s i e n t Skineffect in L a m i n a t e d Cores w i t h Sect ional Different Mater ia l Proper t i e s

Contents : A cylindrical or plane core consisting of regions with different conductivity and permeabili ty is excited by a solenoidal current of arbi t rary t ime dependence. Satisfying the boundary conditions by means of special orthogonal ex- pansions, general formulae are set up for the eddy currents induced in the various different parts of the core. The problem mentioned above is solved in general manner for an arbi trary number of different sections and checked by known steady state solutions. Detail formulae are given for the three- and two- material systems. As a sample, the current being induced after a circuit closing operation in the inner par t of a symmetrical three-core system is calculated. The results are useful to the methods of non-destructive test ing of materials.

i n d u z i e r t w i rd . M e i s t e n s h a n d e l t es s i ch u m zwei bis

d r e i v e r s e h i e d e n e W e r k s t o f f e , w o b e i d e r e r r e g e n d e

S t r o m aus S i n u s i m p u l s e n e n d l i c h e r D a u e r b e s t e h t .

D a b e i i n t e r e s s i e r t d ie i n B i l d J d a r g e s t e l l t e

z y l i n d r i s c h e A n o r d n u n g , be i d e r in d e n Z y l i n d e r -

k o o r d i n a t e n (~o, q~, z) d ie F1 / ichen ~o = ar m i t i =

= t , 2 ... , ( s - - t ) d ie T r e n n f l / i c h e n v e r s c h i e d e n e r

M a t e r i a l i e n b i l d e n . D ie l e i t e n d e n z y l i n d r i s c h e n K a r -

p e r s i n d in d e n E b e n e n z = 0 u n d z = c m i t n i c h t

l e i t e n d e m h o c h p e r m e a b l e n M e d i u m a b g e s c h l o s s e n ,

da s d e n m a g n e t i s c h e n R t i cksch lu l3 b i l d e t . A u f d e r

/ iuBeren B e w a n d u n g o = a s s i n d f ibe r d ie H 6 h e c

h o m o g e n w k r e i s f 6 r m i g e W i n d u n g e n v e r t e i l t , d ie

v o n d e m g e n a n n t e n S t r o m i(t) d u r c h f l o s s e n w e r d e n ,

y//////////////////////,~/2///2////0~//////~ "~///////////, , . .oo,x.0 / '

B i l d 1. Die zylindrische Anordnung dener Materialeigenschaften

#= ~176 ' x ,r

von Kreisringen verschie-

l P r o b l e m s t e l l u n g

V e r f a h r e n d e r z e r s t 6 r u n g s f r e i e n M a t e r i a l p r i i f u n g

s t e l l en d ie F r a g e n a c h d e r W i r b e l s t r o m v e r t e i l u n g , d ie

in g e s c h i c h t e t e n M a t e r i a l i e n v e r s c h i e d e n e r P e r m e a b i -

t i t / i t en #i u n d L e i t f / i h i g k e i t e n ~i be i e i n e m be l i e -

b i g e n z e i t l i c h e n V e r l a u f i(t) des e r r e g e n d e n S t r o m e s

W e i t e r h i n i n t e r e s s i e r e n n o c h l a n g g e s t r e c k t e q u a -

d e r f 6 r m i g e P r o b e n , d ie in d e n k a r t e s i s c h e n K o o r d i -

n a t e n (x, y , z) des B i l d e s 2 d e n B e r e i c h 0 % x < a s

u n d 0 % z % c e i n n e h m e n , w o b e i d ie E b e n e n x - - a i

m i t i = t , 2, ... , ( s - - t ) d ie T r e n n f l ~ c h e n v e r s c h i e d e -

n e r M a t e r i a l i e n b i l d e n . U m die b e s c h r i e b e n e n P r o b e n

s i n d w R e c h t e c k w i n d u n g e n d e r B r e i t e n a s v e r l e g t ,

d ie f i be r d ie H 6 h e c h o m o g e n v e r t e i l t s i n d u n d y o n

26 A r c h i v f f l r E l e k t r o t e c h n i k 6 t ( t 9 7 9 )

z # = c o , ~ = 0 ~ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / )

| / /

{ 5~/1//\%\#2~ \ / / , , 1 s / i(t) / / / \ \ \ \ ," . . . . |

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'~/////, :,~//~.~/// ,,,;,////////////~ "~////'~4(///////,

i f = c o , ; ~ = 0

B i l d 2. D i e e b e n e A n o r d n u n g v o n ]31/Scken v e r s c h i e d e n e r

M a t e r i a l e i g e n s c h a f t e n

einem zeitlich beliebig ver~nderlichen Strom i(t) durehflossen werden. Die Proben werden an ihren Enden mit sehr gut leitenden Plat ten abgesehlossen, so dab sich die Wirbelstr6me fiber alle Proben hinweg an deren beiden Enden schlieBen k6nnen. Wegen der grogen Probenl~ingen k6nnen die Randeffekte ver- nachl~issigt werden, so dab eine hinsichtlich der Ko- o rd ina tey ebene Anordnung vorliegt. Diese Verein- fachung wird nur aufgrund der praktischen Ausffih- rung vorgenommen, denn vom Standpunkt der Feld- theorie ist das Problem auch ftir endliche Proben- I~ngen 16sbar.

2 Gemeinsame Vorbetrachtung

Die Untersuchung wird durch die Betrachtung des sogenannten Abschaltvorganges eingeleitet, bei dem zur Zeit t = 0 ein vorher flieBender Gleichstrom I sprungart ig auf Null absinkt und diesen Wert auch ffir die folgenden Zeiten t ~ 0 beibeh~ilt. Da dann auf das System yon augen keine St6rungen einwirken, mtissen in jedem Gebiet (~i, #i) die z-gerichteten magnetischen Feldst~trken H i = Hi( 0, t) der zylindrischen bzw. H i = Hi(x, t) der ebenen Anordnung die skalaren Skingleichungen

I OH i ~ H i _ _ . 2 _ O2H i

Oe 2

bzw.

0~H~

O)

OH 0x~ -- ~ifi ~ - mit i ~ t, 2 . . . . s

erffillen. Da diese w~ihrend des betrachteten Abschalt- vorganges in den Gebieten verschiedener Material- konstanten (x~., #i) aus Komponenten bestehen, die mit gleichen Zeitkonstanten abklingen mfissen, kann man ftir die beiden Anordnungen ffir t ~ 0 die An- sfitze

H~(g, t) = E [Ci~Vi(r,fi) + Di,,Qi(r~r e (2) n = l

mit den zungchst unbekannten Konstanten Ci~ und Din sowie den diskreten Eigenwerten r,, machen. Unter ~ ist bei der zylindrischen Anordnung das Verh~iltnis o/a, bzw. bei der ebenen Anordnung das Verh/iltnis x/a s zu verstehen, w/ihrend die L6sungs- funktionen Pi(rn~) und Qi(r~) bei der zylindrischen Anordnung durch Bessel-Funktionen J0 erster und N O zweiter Art und nullter Ordnung bzw. bei der ebenen Anordnung durch Sinus- und Kosinusfunktionen der Argumente (kir~) dargestellt werden :

Jo(kr162 No(k~s Pi(rn~) = sin (kir,~) und Oi(r~) = cos (kir~) (3)

Die Konstanten k i erfassen dabei in nachstehend an- gegebener Form das Verh~iltnis der Materialkonstan- ten /-ten und s-ten Raumteiles, w~ihrend die Zeit T die Skinzeitkonstante eines Zylinders vom Radius a s bzw. Blockes der Breite a s darstellt :

~ i (4) T=~s f sa~ und k~g--~/~s.

Die sich in den einzelnen Raumteilen einstellenden Stromdiehten stellen bei der zylindrischen Anordnung ~v-geriehtete Gr613en G i = Gi(0, t) bzw. bei der ebenen Anordnung y-geriehtete Gr613en G i = G~(x, t) dar und sind demnaeh in beiden F~illen durch die nega- t iven Ortsableitungen der zugeh6rigen magnetischen Feldst~rken (2) ffir t > 0 dureh die Beziehungen

G~(~, t) - OHd~, t) _ a s O~

oo ~ t

= _ k~ y~ r,,IC~,Si(r,g) + >~0;(~s e -*" >- as n - 1

(s)

festgelegt, wobei unter P'i und Q~ die Ableitungen der in (3) definierten Funktionen Pi und Qi nach deren Argument zu verstehen sind.

3 Gemeinsamer L6sungsgang

Da an den Trennstellen 0 = a ider zylindrischen bzw. x = a i der ebenen Anordnung, also in der gemein- samen Betrachtung an den Stellen ~i = a/as zweier benachbarter Medien i und i + t = j die Stetigkeit der magnetischen FeldstArke H und der elektrischen Feldst~irke G/z gew~ihrleistet sein mug, sind an den genannten Trennstellen die Bedingungen

Hi(~ ~ t) =H](~ i,t) und ~ ~ ~,t = 0 (6)

f f i r i = t , 2 . . . . ( s - t )

zu erffillen. Mithin sind die Konstanten des Feld- st~trkenansatezs (2) zweier aufeinander folgenden

L. H a n n a k a m und R. Tepe: T rans i en t e r Skineffekt in K e r n e n 27

Bereiche i und j = i + I durch die Beziehungen

G

f a r i = t , 2 . . . . ( s - - t )

verkntipft, wobei unter ~i das folgende VerMltnis zwischen den Materialkonstanten der beiden genann- ten ]3ereiche zu verstehen ist:

tQN] __(Nj#ill/2 e~ - k~,~ \ ~ / . (8)

Dutch Aufl6sung der G1. (7) nach den Konstanten des j - ten Bereiches kann man diese nach Einftihrung der quadratischen Matrix

FM,(rn)] = { ; / -+Q: Q, '- I - -P5 -~PQ:]Ia,P/: a,Q',]I,,& (9,

wie folgt durch die Konstanten des vorausgehenden /-ten Bereiches

[Cj,~]=Dj, IMi(r")~[ Ci"]Din mit i - - t , 2 , . . . , ( s - - t ) (10 )

ausdrticken. Unter W] = W](r~i) ist dabei die Wron- ski-Determinante der L6sungsfunktionen des j - ten Bereiches an der Stelle ~ = r zu verstehen, die far die zylindrische bzw. ebene Anordnung folgende Werte aufweist :

2 t wj(~,A) - b~w. ( - t ) . (11)

= k]rn~ i

Nach Eintr i t t des Abschaltvorganges mul3 infolge des solenoidalen Charakters der beiden Anordnungen die magnetische Feldstiirke an den Aul3enbewandungen

= G der zylindrischen bzw. x = 0 und x = a s der ebenen Anordnung verschwinden. Da weiterhin bei der zylindrischen Anordnung auf der Rotat ionsachse

= 0 die Stromdichte ebenfalls verschwinden mug, liegen aufgrund der Beziehung (5) ftir die magne- tische Feldstgrke (2) der zylindrischen bzw. ebenen Anordnung ftir t > 0 die Bedingungen

~]o,t, = 0 bzw. H,(0, t) = 0 und H~(I, t )=0 (t2)

vor. Die ftir ~ = 0 zutreffenden Forderungen kann man in beiden F~llen durch D i n = 0 erftillen, so dab man durch wiederholte Anwendung der Rekursions- beziehung (10) die Konstanten

C~ = C A~(r,,) und D~,, = C~B~(r ) (t3)

des al lgemeinen/- ten Bereiches mittels der Matrizen- prdoukte

> '< = l~I iMp(r)] ffir i = 2, 3 . . . . . s (14)

L ~ i ( i ' n ) J k--1

mit A 1 = t und B 1 = 0 durch die allein verbleiben- den Konstanten C = C l n des ersten Bereiches aus- drticken kann. Die letzte Forderung yon (t2) liefert dann in der Beziehung

die Bestimmungsgleichung ftir die Eigenwerte r~, die durch die Nullstellen der Eigenwertgleichung (15) festgelegt sind und mithin ftir die weitere Betrach- tung als bekannte Gr6gen der Z~ihlung 1r = 1, 2 . . . . . vorliegen. Nach Einftihrung der Linearkombinat ionen

R/~r = &(~'9 P /~ ' J ) + B~(r,,) 0 / r J ) (t6)

aus den in (3) definierten Funktionen Pi erster und Oi zweiter Art kann man dann die ursprtinglichen Anst~ze (2) ftir die magnetischen Feldstarken der einzelnen Bereiche in der folgenden Form schreiben, die nur eine Folge unbekannter Kons tan ten C ent- halt :

CO ,, l

Hi(~ t), = Y~ C,,R/r ~) e - ' ; g (t7)

fiir,ki_ 1 ~ i mit i = 1, 2 , . . . , s und # 0 = 0

4 Die Orthogonalentwicklung

Die noch unbekannten Konstanten C,~ werden aus der Forderung best immt, dab die s Feldst~trkenans~ttze (t7) beim Beginn t = 0 des Abschaltvorganges in ihrer Gesarntheit die vorher durch den Gleichstrom I im gesamten Gebiet 0 ~ ~ ~ t vorhandene homogene magnetiscbe Feldst~irke wI/c ergeben. Damit liegt, etwas erweitert, folgendes prinzipielles Problem vor:

Im Bereich u 0 ~ u ~ u s ist gem~tg Bi ld3 eine Funktion h(u) vorgegeben, die in den Abschnit ten u i - 1 % u % u i mit i = t, 2, ... , s verschiedenen linea- rer Differentialgleichungen zweiter Ordnung

d~ 1" du ] -}- Iv @ flif(~.) w] h i : 0 (18)

U 0 U 1 U i Uj = Ui . 1 U s

B i l d 3. Zur Or thogona len twick lung einer vorgegebenen F u n k - t ion nach abschn i t t swe i se ve r sch iedenen E i g e n f u n k t i o n e n

28 A r c h i v f i i r E l e k t r o t e c h n i k 6'I ( t 9 7 9 )

mit ver{inderlichen Koeffizienten r = r(u), v = v(u) und w = w(u) gehorcht, wobei mit f()~) eine Funktion des Parameters ~. bezeiehnet wird und die Werte fl~ verschiedene Konstanten darstetten. An den Ab- schnittsgrenzen u = u~ mit i = I, 2 . . . . . (s-- I) sei die Funktion h(u) stetig, weise aber einen Sprung in der Normalableitung h'(u) auf, so dab Itir die Grenze u == % zwei aufeinander folgender Bereiche die Rand- bedingungen

h~(u~) = h~+~.(ui) und ~it*i(*~i) = ~+l,tz~+l(u~) (19)

gelten. An den Bereichsgrenzen u = % und u = G selbst soll die Funktion h(u) die homogenen Randbe- dingungen erffillen, also mit einer beliebigen Kon- s tanten c fotgenden Gleiehungen gentigen :

h~(uo) + ch;(%) = 0 und h.,(%) + cg(%) = 0o (20)

Weiterhin sotlen unter ~ und 2,~ zwei verschiedene Eigenwerte verstanden werden, die so bestimmt wur- den, dab die ihnen zugeordneten Eigenfunktionen U,:,,(u) und U,,m(U) die Randbedingungen (19) an den Abschnittsgrenzen und (20) an den Bereichsgrenzen erffillen. Dann werden die Dilferentialgleichungen (t8) Itir die Eigenfunktionen U~,,(u) bzw. U~,,(u) aufgestellt nnd rnit cqU~(u) bzw. eiUi~(u) multi- pliziert. Bildet man nun die Differenz der so ent- standenen Gleichungen, so gelangt man zu den fiir die Abschnitte ui_l <2 u < ui mit i = 1, 2 . . . . . s gifltigen Beziehungen

werte .~,~ @ 2m zu der Orthogonalitgtsrelation

X ~& f G , , ( ~ ) ~ ( ' w(-~,) 4,, , o U~,uj = (23) i ~ i ~--I

ffir m --t= n .

Aufgrund dieses Ergebnisses kann man ftlr die vor- gegebene Funktion h(u) die abschnittsweise Dar- stellung

oo

h(u) = X C,,Ui.(u) (24)

ftir u i_ , ~ ~t ~ ui und i ..... 1, 2, . . . , s

angeben, wobei die Konstanten C a wie folgt durch Integration der vorgegebenen Funkt ion h(u) be- st immt werden:

�9 i = t ~--i

s u~

-= X cqt3i f ,8(u) U,,,(.v,) w(u.) du . (25) i = l u~-i

Von einer weiteren Verallgemeinerung der angegebe- nen Orthogonalentwicklung wird abgesehen. Er- w/ihnt sei nur, dab sie wegen des Fehlens jeglicher Einschr~nkungen hinsichtlich der Materialeigen- schaften ~ und fl nicht auf die Probleme des Skin- effektes beschr/inkt ist.

5 Bestimmun~ der Wirbelstr6me

d - y ~," ---du L ~'t" u Ui~o:~ U imJ =-

Werden diese nun fiber den gesamten Bereich yon u = u o bis u = % integriert, so stellt man in der Smnme

8

- - - UingiU imJu,_~ = i = I

S u

= If(Z,,) --f(,~,,)] 2 a fl~ f g~,U#~w du (22) i~=l *q--1

fest, dab sich auf der Iinken Seite der Gleichung die Beitr~ige der oberen und unteren Grenzen zweier aufeinander folgenden Bereiche wegen der Randbe- dingungen (t9) wegheben, w~thrend die homogenen Randbedingungen (20) das Versehwinden der tinken Gleichungsseite an den Bereichsgrenzen u = u o und u - % besorgen. Ilffolge des somit vollkommenen Verschwindens der linken Seite der G1. (22) gelangt man unter der getroffenen Voraussetzung der Eigen-

Ein Rtickblick auf die Fetdgleichungen (1) nnd Rand- bedingungen (6, t 2) l~Bt erkennen, da6 die im letzten Abschnitt eingeftihrten Kenngr/Sl3en e und fl die Werte ~.~ = t/~i und fli = x~ffi aufweisen. Mithin kann man aufgrund des Ergebnisses (25) far die ge- suchten Konstanten C,~ des resultierenden Ansatzes (t 7) far die magnetische Feldst/irke die Bestimmungs- gleichung

St

C a 5 ~ ff~ f w ( $ ) d $ =

= ~ / ~ # i f R,(G$)w(~)dr (26) C i = l r

angeben. Die darin auftretende Gewichtsfunktion w($) ist bei der zylindrischen Anordnung als $ einzu- Iahren, wiihrend sie bei der ebenen Anordnung den Wert t annimmt.

Die in der Bestimmungsgleichung (26) far die Konstanten C,~ auftretenden Integrale sind sowohl Ifir die zylindrische als auch fttr die ebene Anordnung geschlossen auswertbar und k6nnen durd t die Linear-

L, t t a n n a k a m u n d R. T e p e : T r a n s i e n t e r S k i n e f f e k ~ in K e r n e n 29

kombinationen (t6) und deren Ableitungen ausge- drfickt werden. Aufgrund der Randbedingungen (6) stellt man lest, dab sich in der Summe auf der rechten Seite der Gleiehung (26) die Beitr~ige an den oberen Grenzen ~ und darauffolgenden unteren Grenzen ~i ganz wegheben, w~ihrend sie in der Summe auf der linken Seite der genannten Gleichung zwar bestehen bleiben, aber eine wesentliche Vereinfachung des Ausdruckes Iiir die Norm erm6glichen. Bei weiterer Berttcksiehtigung der Randbedingungen (12) erh&It man dann ffir die zylindrische bzw. ebene Anord- hung das Ergebnis

wI c,#\%~ : - - - R;(~,)

6f~

bzw.

C,~.A:,, wI [/q ~ )] (27) = -- c,',, LI*~ k, R'~(r .

2x~ = R;2(~,,) + E s,: .% t -

, ( ,- d Zusammenfassend kann man also aussagen, dab nach Bestimmung der Eigenwerte r,~ als Nullstellen der Eigenwertgleichung (l 5) und der Konstanten C~nach (27) alle Kenngr6Ben des Feldverst~rkenansatzes (t 7) ftir den bisher betrachteten Abschaltvorgang bekannt sind, womit nach (5) auch der zeitliche VerlauI der induzierten Wirbelstromverteilung festliegt. Bei einem beliebigen, auch unstetigen Verlauf i(t) des erregen- den Stromes kann man die Wirbelstromverteilung durch Integration der AbschaItstromdichte bestim- men. Definiert man n/imlich die nur von der Z~h- lung n abh/ingigen dimensionslosen Zeitfunktionen

' : I r,~ I e x p - -r~ ~T-, (28) 0

so werden sich bei einem beliebigen zeitlichen Verlauf des erregenden Stromes i(t) in den s Bereichen ver- schiedener Materialkonstanten die Wirbelstrom- dichten

G{(~, t) -- --a,t'~ s ~ C,]%RI(r,~r F (t) (29)

ffir > < i _ ~ , : _ , _ = , g < ~ mit i = 1 ,2 . . . . . s und r

einstellen. Von noch gr6Berem Interesse ftir die Praxis sind die Gesamtstrame Ii(t), die sich in dem /-ten Kreisring bzw. Block einstellen und flit die man durch Integration die Verteilungen (29) fiber die Leiterquerschnitte bei einem beliebigen zeitlichen Verlauf des erregenden Stromes i(t) folgende Bezie-

hung findet : oo

fi]r 4 : I, 2, ...,s.

(30)

6 K o n t r o l l e d e s s t a t i o n [ i r e n Z u s t a n d e s

Unter diesem ist der eingeschwungene Zustand bei einer periodischen Erregung i ( t ) = I coseot kon- stanter Amplitude I und konstanter Kreisfrequenz co zu verstehen, fiir den man die Zeitfunktionen (28) der Wirbelstromdichte (29) zu

( bn" ) Fn(t ) -= Re ~ + ja~T ejmT (3t)

findet und somit unter Berficksichtigung des stat t- gefundenen Feldaufbaues far die zeitlich periodisch ver~inderliche magnetische Feldst~irke die Beziehung

0,3

~, + jo l t (32) eJ<oT

ffir gi - -1 ~" ~ ~ ~ ~ mit i = 1, 2, ... , s und ~0 = 0

erh~tt. In der nun folgenden Betrachtung soll gezeigt werden, dab die aufgrund der allgemeinen transienten Behandlung gefundene station/ire L6sung (32) :mit dem konventionellen station~iren Ergebnis ~iberein- stimmt. Der Beweis wird aus Platzgriinden nut fiir die zylindrische Anordnung wiedergegeben, zumal er auch ftir die ebene Anordnung analog geftihrt werden kann. Bei der konventionellen stationSren Betrach- tung werden die Zeitwerte H(~, t) der magnetischen Feldst~irke dutch den RealteiI der mit exp(jo)t) multi- plizierten komplexen Amplituden H*(~) ausgedrtlckt, so dab man die magnetischen Feldst~rken der s Be- reiche verschiedener Materialeigenschaften in der Form

Hi(~, ~) ---- ~ - Re [ : ~ e J~ (33)

ftir ,~i 1 ~ ~ ~ gi mit i = t, 2, ... , s und ~0 = 0

schreiben kann. Unter R*(~) sind dabei folgende Linearkombinationen aus Bessel-Funktionen J0 erster und A.% zweiter Art und nullter Ordnung des kom- plexen Argumentes @~) zu verstehen, die L6sungen der station/iren Skingleichung des vorliegenden Randwertproblems darstetlen:

R*(r = A*Jo(p~ ) q- B*No(P,r (34)

mit p~ " 2 ~_ _ ] CO~il*ias.

Die komplexen Konstanten A* und B* gehorchen dem Bildungsgesetz (t4) mit A~ = I und B* --=-. 0, wenn in diesem die reellen Werte Pi und Oi durch die

3O Arch iv fiir lZ lekt ro technik 61 0979)

in (34) angegebenen komplexen Funktionen erster und zweiter Art an den Stellen (p~) ersetzt werden. Dadurch sind die Randbedingungen (6) for die Trennstellen der Bereiche verschiedener Materialien erffillt, w~ihrend die Befriedigung der Randbedingung H'I(0, t) = 0 nach der verschwindenden Stromdichte auf der Rotat ionsachse dutch die Eigenschaft B~" = 0 erfolgt. Der noch verbleibenden Forderung, dab an der Aul3enberandung ~ = t die magnetische Feldst~rke den Weft (wI/c) cos cot ergibt, wird durch die Einft~hrung des Nenners R*(I) Rechnung ge- tragen.

Der nun zu ffihrende Beweis hinsichtlich der lJbereinst immung der Ergebnisse (32) und (33) be- steht darin, dab man die konventionelle komplexe Lasung (33) durch Entwicklung nach den reellen Orthogonalfunktionen Ri(%~) auf die Form

oo

Hi(G, t) = Re Z C*Rdr .r ejmt (35)

ffir ~i--1 ~ ~ ~ ~i mit i -- J, 2 . . . . . s und r - - 0

mit den komplexen Konstanten C* bringt. I m Falle der l ]bereinst immung der beiden genannten Be- ziehungen mtissen dann die beiden Konstanten C~ und C** dutch die nachstehend angegebene Bezie- hung verknt~pft sein, so dab bei Verwendung des Ergebnisses (27) for die Konstanten C, die Kon- s tanten C,* folgenden Wef t aufzuweisen haben "

.2 wI r. R'~(~) c , * - " r~ + j~oT Cn --- - - - - "' (36) ~ c ~.+jcof N~

Die eigentliche Beweisfiihrung geht von der altge- meinen Relation (25) aus, in die als die vorgegebene Funktion h(u) die zu entwiekelnde konventionelle station~ire L6sung (33) einzuffihren ist. Da das Inte- gral auf der linken Gleichungsseite auf die Norm ffihrt, erh~ilt man ft~r die Konstanten C* folgenden Aus- druck, der bei Verwendung eines aus der Theorie der Bessel-Funktionen bekannten Integrals zu der Be- ziehung

c,*- ~N.R*(t)~I ~=~l/"fR*(r162

- - d v . ~ * 0 ) ~ = #s

X PiRi (~) Ri(rn~) -- kirnR)(rnr ) te~(~) ir (~..). _ p~ [q_. (37)

ftihrt. Ftihrt man nun die Werte k i und p~ entspre- chend ihren Definitionen (4) und (34) ein, so kann man die Nenner der Summanden yon (37) bei Ver- wendung der eingeffihrten Skinzeitkonstante T in der

F o r m

;~s~s ~sl~s (38)

schreiben und erh~ilt somit ftir die Konstanten C,* die folgende Darstellung :

C* -- ~I ~ ~

• (;) �9 o9)

Aufgrund der Randbedingungen (6), die yon den Funktionen R~(r~) und R*(~) erffillt werden, fallen in der Summe (39) alle Beitr~tge an den Trennstellen zweier Medien verschiedener Materialeigenschaften weg. Da weiterhin ftir die Rotationsachse ~o = 0 der Z~hler des Summanden verschwindet, liefert nur die auBere Begrenzung ~ = I einen Beitrag zur betrach- teten Summe, der mit i = s wegen der Randbedin- gung R(r~) = 0 fiir die Konstanten C*, die nachzu- weisende Beziehung (36) ergibt.

7 Anordnunp, aus drei und zwei Medien

Die in dem Abschnitt , ,Bestimmung der Wirbel- s t r6me" zusammengestell ten Ergebnisse sind so ab- gefal3t, dab man zur praktischen Auswertung nur noch die Angaben tiber die Linearkombinationen R~(r,~) ben6tigt. Diese sollen hier in einer sowohl ft~r die zylindrisehe als auch ffir die ebene Anordnung giiltigen Form bei Verwendung der Funktionen Pi(r,~) erster und Qi(r,~) zweiter Art gemacht wer- den. Vorweggenommen werden, die fiir eine belie- bige Anzahl s verschiedene Medien zutreffenden Aus- sagen

Rl(r,~r ) = Pl(r,~) und Rs(rn~ ) ==

Qs(rn) Ps(rnr - Ps(rn) Qs(rur ----~ Qs(rn) Ps(rnr _ Ps(rn) Qs(rn~s_l ) R s _ l ( f n ~ s _ l ) (40)

ftir die Linearkombinationen des ersten und letzten Mediums sowie die Eigenwertgleichung

"~- \ ~ s R s _ 1 __ (~s_lQsRs_ 1 )rn:,_ 1 �9 (41)

Aufgrund der beiden letzten Beziehungen braucht man somit ftir die praktisch interessierende Drei- Medien-Anordnung mit s = 3 nur noch die Angabe fiber die LOsungsfunktionen des mitt leren Mediums i = 2 zu machen:

R2(r"~) = \ w~ -- a~ w2 b,,< P2(r"~) --

w~ crl W2 ],,r O2(r,,~) �9 (42)

L. Hannakam und R. Tepe: Transienter Skineffekt in Kernen 31

Fiir die praktisch ebenso interessante Zwei-Medien- Anordnung mit s = 2 brauchen keine Angaben ge- macht zu werden, denn da liefern die allgemeinen Beziehungen (40) Iiir R~(r~,) und (4t) far die Eigen- wertgleichung alle beniitigten Aussagen.

Mit den Funktionen (43) und der Eigenwertgleichung (44) werden dann nach der allgemeinen Beziehung (27) die Konstanten

wI q ctgu,~ (45) C n - - c b u n

8 Prakt i sches Beispie l

Zugrunde gelegt wird die zur Ebene x = 0 symmetr- ische Anordnung des Bildes 4, bei der ein leitender Block der Breite 2b von zwei gleichen B16cken der Breiten q anderer Leitf~higkeit und gleicher Permea- bilit~it umgeben ist. Die ohmschen Widerst~inde des halben inneren Blockes der Breite b und des ~iul3eren Blockes der Breite q sollen sich wie deren genannte Breiten verhalten, wodurch eine markante Wirbel- stromverteilung zustande komlnt. Um die iiugeren B16cke ist eine Wicklung der Breite 2a = 2(b + q) verlegt, die bei vorausgehendem stromIosen Zustand zum Zeitpunkt t -- 0 sprungartig mit einem Gleich- strom I beaufschlagt wird. Von Interesse ist der zeit- liche Verlauf des Gesamtstromes I~(t), der w~ihrend des definierten Einschaltvorganges eine Hiilfte des inneren Bloekes durchfliegt.

z

{ <Z / / / / / / / / / / . ' / / / z / zC ;

g

#~(x,t)<,,#/x,/),<

/ / / ~ @ ;'~//': "/'///: f

/ = ~ , a = 0

Bi ld 4. Symmetrische ebene Anordnung ffir das betrachte te praktische Beispiel

Aus Symmetriegrtinden kann die Betrachtung auf den Bereich 0 < x < a beschrfinkt werden, in dem sich dann zwei B16cke verschiedener Materialien be- finden. Wegen der vorliegenden Symmetrie zur Ebene x = 0 erh~ilt man aufgrund der allgemeinen Beziehung (40) die Funktionen

R l ( r , ~ ) - cos r,, T

und (43)

und die allgemeine Eigenwertgleichung (41) nimmt folgende Form an :

q mit %. q tg 2 u b = a rn " (44)

bestimmt und anfgrund des allgemeinen Ausdruckes (28) werden die ben6tigten Zeitfunktionen F,/t) der Wirbelstromverteilung fiir den betrachteten Ein- schaltvorgang zu exp (--r~t/T) gefunden. Die aufge- fiihrten Ergebnisse werden dann in die allgemeine Beziehung (30) for die induzierten Gesamtstr6me ein- gesetzt und liefern ftir den gesuchten zeitlichen Ver- lauf des Gesamtstromes Ii(t ) in der Hitlfte 0 < x < b des inneren Leiters die Beziehung

_ _ s (46) Ii(t)wZ -- N tgu, %~ (1 -- cos %) exp --u,, ~ . /t==l

Die Eigenwerte • werden im allgemeinen Fall als Nullstellen der generell giiltigen Eigenwertgleichung (t5) keine iiquidistanten Folgen darstellen, was je- doch keinerlei Einschdinkungen ffir die vorgenom- mene allgemeine Behandtung des vorliegenden The- menkreises darstellt. In bestimmten Sonderf~tllen, die hier zwecks Erhaltung des eigentlichen Leit- gedankens der Abhandlung nicht weiter diskutiert werden solten, bestehen die Eigenwerte aus mehreren aquidistanten Folgen. Ein derartiger Sonderfall liegt bei der Eigenwertgleichung (44) des betrachteten Beispiels vor, bei dem die Eigenwerte r~ bzw. die ihnen nach der Definition (44) proportionalen Werte % die beiden/iquidistanten Folgen

ul,~ = =(n -- t) + u 0 (47)

t - -

n l i t

biiden. Naeh Einsetzen der Eigenwerte (47) in die Beziehung (46) erh/ilt man dann ffir den zeitlichen Verlauf des gesuchten Gesamtstromes folgendes Ergebnis, in dem neben der Skinzeitkonstante T nur die bezogenen Abmessungen q/a und q/b sowie dig aus diesen bestimmten Eigenwerte auftreten:

=~ - E - + ( - t ) '~ x

~2 • exp ( - -u~. -q~ ~--) - -

~2~ - ( - I ) '~ X

• exp --u~, ~ �9 (48)

32 Archly fflr Elektrotechnik 61 (t979)

Dem ~2rgebnis (48) kann zun~chst nicht angesehen werden, dab der gefundene Gesamts t rom zum Zeit- punkt t = 0 verschwindet. Mittels einer aus der Funktionentheorie bekannten Beziehung lassen sich jedoch die auftretenden Summen auf Konturinte- grale zuriickftthren, die zusammenwirkend das er- forderliche Verschwinden des Gesamtstromes zum Zei tpunkt t = 0 garantieren. Bild 5 zeigt dann den nach der Beziehung (48) berechneten Yerlauf des interessierenden Gesamtstromes mit dem Abmessungs- sungsverh~ltnis b/a als Parameter . Fttr den Sonderfall a = 2b liefert das allgemeine Ergebnis (48) richtig den bekannten zeitlichen Verlauf

X

des Gesamtstromes, der sich bei dem betrachte ten Einschaltvorgang in der inueren H~lfte einer homo- genen Probe der Breite a einstellt.

11 ( t ) /wI J

4,4

-0,3

-0,2 ~ .

~ 0,5

0,(

0.~ 0,;0 0,% 1,00 1,25"\11;0 I/~ #/a~ 0'25 Bild 5. Verlauf des Gesamtstromes Ii(t) in der inneren Probe des Bildes 4 mit der bezogenen Probendicke b/c~ als Parameter

9 Zusammenfassung

Ein zylindrischer bzw. ebener Kern, der aus ring- f6rmigen bzw. plat tenf6rmigen Proben verschiedener Materialeigenschaften geschichtet ist, ist mit einer solenoidalen Wicklung umgeben, die von einem zeit- lich beliebig vedinderlichen Strom durchflossen wird. Bei der Best immung der in den einzelnen verschie- denen Bereichen induzierten Wirbelstr6me ist es er- forderlich, eine vorgegebene Funktion nach ab- schnittsweise verschiedener Orthogonalfunktionen zu entwickeln. Das somit auftretende Problem wird in Analogie zu den Disziplinen der W~rmeleitung ge- 16st, und es werden allgemeine Beziehungen fiir die transiente Wirbelstromvertei lung bei einer Unter- teilung des Kernes in beliebig viele Ringe bzw. Plat ten aufgestellt. Die gefundenen Ergebnisse wer- den mittels der bekannten station~iren L6sung naeh- gepriift. Da man einen vorgegebenen Verlauf des erregenden Stromes nach Fourier mittels Spektral- funktionen immer in periodische Vorg~inge zerlegen kann, stellt die vorgenommene Nachpriifung des station~tren Zustandes eine allgemeine Kontrolle der gefundenen allgemeinen transienten L6sung dar. Fiir die praktisch interessierende Drei- und Zwei-Medien- Anordnung werden die ausgeschreibenen L6sungen an- gegeben. Als Beispiel wird der zeitliche Verlauf des Gesamtstromes berechnet, der sieh im inneren Tell einer symmetrischen Drei-Medien-Anordnung nach s tat tgefundenem Einschaltvorgang einstellt. Ver- anlassung zu dieser Untersuchung haben neue Ver- fahren der zerst6rungsfreien Materialpriifung gegeben.

.EiJr am 4. Septerezber 1978

Prof. Dr.-Ing. L. ttannakam Dipl.-Ing. R. Tepe Institut far Theoretische ]21ektroteehnik der Technischen Universit&t Berlin Einsteinufer 25 D-t000 Berlin 10 Bundesrepublik Deutschland