GONTER HEIMBECK

T R A N S L A T I O N S E B E N E N D E R O R D N U N G 49

M I T S C H E R U N G E N

ABSTRACT. It is shown that there exists, up to isomorphism, exactly one non-Desarguesian translation plane of order 49 which admits non-trivial shears. Furthermore, tile collineation groups of this plane and all its derived planes are described.

In der vorliegenden Arbeit wird eine nichtdesarguessche Translationsebene der Ordnung 49 konstruiert, die einige wenige nichttriviale Seherungen zuliil~t. Anschliel3end werden die durch Ableiten gewinnbaren Ebenen in Betracht gezogen. Im dritten Abschnitt wird dann bewiesen, dal3 es bis auf Isomorphie nur zwei Translationsebenen der Ordnung 49 mit nichttrivialen Scherungen gibt, n~imlich die im ersten Abschnitt konstruierte und die Ebene fiber GF(49).

1. E I N E N I C H T D E S A R G U E S S C H E T R A N S L A T I O N S E B E N E D E R O R D N U N G 4 9

Es sei K .-= GF(7) und V .-= K 4. Wir setzen

~..= {+(1, - 2 , 3), +_(2, 0, 1), _+(3, 3, 2), 0} c K 3.

Ftir (a, b, c) e g sei

Qa(X) :.= X I X 4 - - X 2 X 3 + ax 2 + bx1x 2 + CX 2.

Das Nullstellengebilde ~a yon Q, ist eine Regelfl/iche dutch S o := [e3, e# ] (vgl. etwa [2, (2)]). Man priift m/ihelos nach, dab fiir je zwei verschiedene Tripel (a,b,c), ( a ' , b ' , c ' ) ~ die bin/ire quadratische Form ( a - a')x~ +

( b - b ' )x lx 2 + ( c - c')x 2 anisotrop ist, well n/imtich die Diskriminante ( b - b') 2 - 4 ( a - a ' ) ( c - c') ein Nichtquadrat yon K ist. Daraufhin gilt ~-a c~ ~ , , = S o. Jede der sieben Regelfl/ichen ~-a enth/ilt 8 2 Punkte, yon denen 8 auf S o liegen. Das Regelfl/ichensystem (~,)a~K nimmt also insgesamt 8 + 7(8 2 - - 8) - - 7 3 + 7 2 + 7 + 1 Punkte auf. Folglich gilt U ~ r o~ = V. Somit ist

eine Regelfl~ichenschar im Sinne von [2], und zwar eine normierte, ~a bezeichne die Regelschar auf ~ , , der S O angeh6rt.

7"/;:= U ~a a e K

ist offenbar ein System yon paarweise windschiefen Geraden in V, das

Geometriae Dedicata 27 (1988), 87-100. © 1988 by Kluwer Academic Publishers.

88 G1D'NT ER HEIMBECK

V fiberdeckt, d.h. eine Kongruenz von V. Somit ist

9 / : = ~ ( v )

eine Translationsebene. Da jede Komponente von ~ 7 2 = 49 Vektoren enth/ilt, gilt 0(9/) = 49.

Als n/ichstes geben wir eine explizite Beschreibung der Mitglieder von ~ an. Wegen

Qa(x) = x l ( a x 1 + bx 2 + x4) -- X z ( - - C X 2 + X3)

sind die Geraden ¢ S o von N, erfaBbar durch die folgenden Gleichungs- systeme:

- - CX 2 + X 3 = )~X 1 ( 2 ~ K ) .

ax 1 + b x 2 + X 4 ---- )~x 2

Umformen ergibt

-;] (x3, x~) = (x~, x2) ). •

Somit erhalten wir

~ = { [ e ~ + 2 e 3 - a e 4 , e 2 + c e 3 + ( 2 - b ) e 4 ] 1 2 ~ K } u { S o } .

Deutet man die Mitglieder # S O yon na l s lineare Abbildungen yon [ex, ez]

nach S o, so gewinnt man eine Beschreibung yon ~r - {So} durch das folgende Matrizensystem:

} 2 2 e K , ( a , b , c ) e ~ .

Weil dieses z.B. wegen fehlender additiver Abgeschlossenheit kein Schief- k6rper ist, ist 9I nicht desarguessch. Daraufhin stimmt der Kern yon 9.I mit K iiberein.

Im Hinblick auf die Bestimmung der Kollineationsgruppe d( yon 9/ ermitteln wir jetzt die in n enthaltenen Regelscharen.

(1) Ist ~ ~ ~z eine Regelschar, so gilt ~ = ~ mit passendem a ~ K.

Beweis. Wir nehmen an, dab es eine Regelschar ~ c n mit ~ ~ { ~a I a ~ K } gibt. Aus Anzahlgriinden finden wir dann ein a o e K mit ]~ c~ ~ao I = 2. Die weitere Betrachtung spielt sich nun im Vektorraum f'2 der 2-Vektoren von Vab. Wir setzen % ..= el ^ e;(1 < i, j < 4). Die zu 2 ~ K geh6rige Gerade ~ S o yon ~a wird in V2 repr/isentiert vom zum Vektor (el + 2 e 3 - a e , ) / x

(e 2 + c e 3 + ( 2 - - b)e,~) = e12 + c e 1 3 -F ( 2 - - b ) e 1 4 - 2 e 2 3 + a e 2 4 q-

T R A N S L A T I O N S E B E N E N DER O R D N U N G 49 89

( , } 2 _ _ b2 + ac)e34 geh6rigen Punkt. Das Erzeugnis ~ . der zu den Geraden von ~a gehdrigen Punkte von ~'z ist also

~ a = [e12 -t- c e l 3 - - be14 + ae24, e14 - - e23 , e34 ].

Ebenso bezeichne ~ das Erzeugnis der zu den Geraden yon N geh6rigen Punkte von ~'2. ~ und ~,o sind dann zwei verschiedene Ebenen von V2 mit einer gemeinsamen Geraden. Daher gilt dim(~ + ~,o) = 4. ~' - N,o besteht aus sechs Geraden 4 = S o. Also gibt es drei verschiedene Regetscharen N~I, ~,2, ~,3 ¢ ~,o, die mit N je eine Gerade -¢ S O gemeinsam haben. Wir fixieren jetzt einen Index i mit 1 N i _< 3 und eine Gerade X ~ ~ , , c~ N - {So}. Wegen X ¢ S O ist der zu X gehSrige Punkt )( yon ~'2 verschieden y o n [ C a , ]. Da die

Gerade [e14 - e23 , e34 ] n u r den einen isotropen Punkt [e34 ] enth/ilt, folgt

)~cf [e14 - e23 , e34 ]. Daraufhin erhalten wir ~, i = 37 + [ex4 - e23, e a 4 ] c

+ ~,o" Anhand der Formel fiir ~o erkennt man jetzt, dab die vier Vektoren (1, al, b i, ci)(O <_ i <_ 3) in einem zweidimensionalen Unterraum liegen. Daher sind die vier Punkte (a i, b~, ci) e ~ des affinen Raumes g 3 kollinear, und das ist der gewiinschte Widerspruch.

(2) Die Standuntergruppe JF o des Punktes 0 ~ V st immt iiberein mit der

Standuntergruppe GL(V)~ der Regelflftchenschar ~ .

Beweis. Wegen FL(V) = GL(V) gilt ~o = {e s GL(V)I =" = re} = GL(V)~. Mit (1) erhalten wir GL(V)~ ~ GL(V)~. Die Gtiltigkeit der noch fehlenden Inklusion GL(V)~ ~ GL(V)¢ liegt auf der Hand.

Bei der Bestimmung der Standuntergruppe J~F o machen wir uns in [2] entwickelte Vorstellungen zunutze, dir wit zun/ichst kurz skizzieren wollen. Y~ bezeichne die Menge aller Regelfliichen in V, die sich durch eine Gleichung der Gestalt x l x 4 - x z x 3 + ax 2 + b X l X 2 -[- c x 2 .= 0 (a, b, c ~ K) beschreiben lassen. Gem/ig [2, (8)] ist ~o = GL(V)~ enthalten in der Standuntergruppe G := GL(V)~ yon E beziiglich GL(V). Daher gilt ~o = G~. Durch Aus- zeichnen des Kegels

St := {x 6 V lx~x~ - x ~ = 0}

wird der zu V gehdrige projektive Raum zu einem projektiv-metrischen Raum. Ordnen wir der Regelflfiche Y e Y mit der Gleichung x~x 4 - XzX 3 +

ax~ + bx~x 2 + cx 2 0 d i e E b e n e

E~ := {x s V lax I + b x 2 + c x 3 q- x 4 = 0}

zu, so entsteht eine Bijektion von Z auf die Menge aller Ebenen yon V, welche die Spitze [e4] des Kegels R meiden. Gem~f~ [2] gibt es einen Homomorphis- mus e e G ~ ~ e GL(V)~ mit folgenden Eigenschaften.

(i) (E~) ~ . . . . E ;~ ffir jedes @ ~ E und jedes ct e G.

90 GONTER HEIMBECK

(ii) G erzeugt zusammen mit den Homothetien die voile Kegelgruppe GL(V)s~.

Durch Dualisieren des dreidimensionalen projektiven Raumes mit dem Kegel !il, d.h. durch Anwenden der yon der symmetrischen Bilinearform (x, y) ~ V x V ~ E ~ = I x i Y i~K induzierten Polarit/it, und affiner Interpretation der Dualisierung mit [et, e 2, %] als Fernebene erhalten wir einen dreidimen- sionalen pseudo-euklidischen Raum K 3, dessen Metrik durch die symmet- rische Bilinearform

~(x,y):'---2XlY3--x2Y2 + 2x3y 1 (x, y E K 3)

beschrieben werden kann. Die Gruppe der ,~hnlichkeiten dieses pseudo- euklidischen Raumes ist natfirlich isomorph zu PGL(V)a. Ferner entspricht bei dieser Deutung der Regelfl/ichenschar ~ von V die Punktmenge (~ v o n K 3.

(3) (a) ~/" .'= {~ ~ .X(ol.~a ~ = ~', ffirjedes a ~ K} ist ein zyklischer Normalteiler der Ordnung 42 yon )U o. Die Mitglieder yon ~ sind die durch die Matrizen

[ O E ~E E ] ( E "= [10 01], a, b e K , a ¢ O )

beschriebenen Automorphismen yon V.

(b) ~ o / ~ - ~ ~, x zz. (c) ~ laflt o~ o im ganzen fest und operiert transitiv auf ~ - {~o}- {~-a, ~ - , }

(a ~ K × ) sind lmprimitivitiitsgebiete. Beweis. (a) Jede Ahnlichkeit des pseudo-euklidischen Raumes K 3, die

(~ elementweise festl/il3t, ist offenbar die Identit~it. Daraufhin gilt JV" = {~ ~ G I Homothetie}. Anhand der Formel f/Jr die Darstellungsmatrix von ~ in [2]

(zwischen (9) und (10)!) verifiziert man, dab die Darstellungsmatrizen der Elemente yon J¢~ die oben angegebene Form haben. Der nun gesicherten Beschreibung der Gruppe X durch Matrizen ist zu entnehmen, dab Jff abelsch vonder Ordnung 42 und darum zyklisch ist. Oberdies ist J ( als Kern einer Darstellung normal in W o.

(b) und (c). Die von ~o im pseudo-euklidischen Raum g 3 induzierte Gruppe 9~ ist einerseits isomorph zu S¢"o/JV" und besteht andererseits aus allen ,~hnlichkeiten, die ~ im ganzen festlassen. Jede solche ~.hnliehkeit l~iBt 0 fest, weil n~imlich der Punkt 0 der einzige Punkt von ~ ist, der Mittelpunkt zweier verschiedener Punkte von ~ ist. Demnach bleibt erstens o~ o bei ~c" o im ganzen fest und zweitens besteht 9~ aus linearen Abbildungen. Weil die drei Vektoren (1, - 2 , 3), (2, 0, 1), (3, 3, 2) ~ ~$ eine Orthonormalbasis von (K 3, ~) bilden und zusammen mit ihren Gegenvektoren ~ - {0} ausfiillen, ist 9~ isomorph zur Deckbewegungsgruppe eines Wtirfels, d.h. zu ~,~ x Z z. Insbesondere operiert Off o transitiv auf @ - {~o} mit {~a, ~ " - a } (a e K ×) als Imprimitivit/itsgebieten.

T R A N S L A T I O N S E B E N E N D E R O R D N U N G 49 91

Als n/ichstes kl~ren wir, welche Rolle der Normal te i le r X ffir die Transla t ionsebene spielt. Dazu ffihren wir einige Bezeichnungen ein. h,: V - , V sei die Homothe t i e mit dem Fak to r a e K ×:

X h~ ~ a x .

Jedes h~ geh6rt gem~iB (3a) zu X und bewirkt eine Streckung von ~ mit Zen t rum 0. Weil K der Kern yon 9.1 ist, ist

~4" := {ha] a E K × } ~ K ×

die G r u p p e aller Streckungen von 92 mit Zen t rum 0. Als Zent rumsunter - gruppe von )fro ist W normal in So. Weiter sei s b: V ~ V die Abbi ldung mit

Wegen sbs b, = s b + b' fiir b, b' e K ist

5, ' ,= { s b l b e g } ~- g ÷

eine zu K ÷ i somorphe Gruppe , die gem~ig (3a) in Y enthalten ist. Als Unte rgruppe des zyklischen Normaltei lers sg" von ~ o ist 5 p normal in ov{" o.

Die Gruppe ~ ist offenbar das direkte P roduk t yon Yf und 5": s g = x 5 p. Auch der zweite Fak to r 5 P hat eine einfache geometrische Bedeutung

ffir die Ebene 9.1, wie wir jetzt zeigen.

(4) (a) 5 p ist die Gruppe aller Scherungen yon 9.1 mit Achse S o.

(b) 7z - {So} zerfiillt unter 5¢ in die Bahnen ~a - {So} (a e K). Beweis. (a) Jedes s b 1/iBt S o vektorweise fest und ist da rum eine Dehnung oder

eine Scherung mit Achse S o. Da 5 ~ - {id} aus Koll ineat ionen der Ordnung 7 besteht, haben wir Scherungen vor uns. Die Gruppe 5 7 aller Scherungen von 9.I mit Achse S o operiert fixpunktfrei auf ~ z - {So}. Als Unte rgruppe von

Yo 1/igt sie gem/ig (3c) ~ o - {So } im ganzen fest. Dahe r gilt [57[ < I~ o - {S O }[ = 7 = 15P[ und dann 5 ~ = 57.

(b) ist angesichts von 5g _< .,g klar.

Aus dem Vorstehenden erhalten wir jetzt eine erste Informat ion fiber die Beweglichkeit der Ebene 9.1.

(5) Die Punkte der Ferngeraden yon 9.1 verteilen sich beziiglich JC au f drei

Bahnen, die durch die fo lgenden Teilmengen yon rc beschrieben sin& n - ~ o ,

- { S o } , { S o } . Beweis. Wir haben nur zu zeigen, dab die angegebenen Geradensys teme die

Bahnen yon ~ o in ~ sind. Dies aber ergibt sich aus (2), (3c) und (4b).

Im weiteren bezeichnen wir die zu einer Regelschar ~ konjugierte

92 G1DNTER HEIMBECK

Regelschar mit N' . Wegen (2) 1/igt die G r u p p e S(( o das Geradensys tem

U' a ~ K

im ganzen fest, sodal3 wir :/(o als Permuta t ionsgruppe aufW betraehten k6nnen.

(6) (a) Jff liiflt r( elementweise fest.

(b) 7z' zerfiillt bezfiglich oU o in die Bahnen ~'o und 7z' - ~'o.

(c) ~ o operiert au f re' - Yl'o regulgtr mit Y als Kern.

(d) o,~ o bewirkt auf ~'o eine zu ~4 isomorphe Gruppe. Beweis. (a) ~ ~ Jff und X ~ r~' seien beliebig vorgegeben. Gem/ig Definition

von ~' gibt es ein a ~ K mit X ~ ~'a- Wegen ~,~ = ~ , 1/igt c~ die Regelschar ~ ' , im ganzen fest. Ebenso bleibt die Ebene S o + X bei c~ im ganzen fest, wie ein Blick auf die Dars te l lungsmatr ix von ~ in (3a) lehrt. Weil die Regelschar ~ ' , nur

eine Gerade in die Ebene S o + X entsendet, folgt X" = X. (c) Aus (3c) en tnehmen wir, dab re' - ~ bei S o im ganzen festbleibt. N u n

seien c~ ~ s f o und X E re' - ~ mit X ~ = X vorgegeben. Ffir passendes a o ~ K ×

gilt X ~ ~',o. ~ l~il3t die Ebene E ,= S o + X sowie den Punkt P ..= So c~ X fest. E enth/ilt nun fiir jedes a ~ K genau eine Gerade X , E ~ ' , der Regelschar ~', . Weil sich die Regelfl~ichen yon ~ gem/if5 [-2, (1)] im Punkte P beriihren, besteht

{Xa I a ~ K} aus den Geraden ¢=S o von E durch P. Da ~ sowohl E als auch ~ festl/ii3t, folgt X~ = X o. Daraufh in l/ifSt die lineare Abbi ldung c~ die drei

verschiedenen Geraden S o, X o, X = X,o yon E durch P und dannjedes X , fest. Weil die Regelscharen ~ ' , paarweise fremd sind und von ~ permut ier t werden, folgt ~ = ~ ' , , d.h. o ~ = o~, fiir jedes a ~ K. Somit geh6rt ~ zu ~ und 1/igt

dann gem/ig (a) rE' elementweise fest. N u n m e h r ist gesichert, dab rig- o auf re' N ; fixpunktfrei operiert und dab JV der Kern dieser Darstel lung ist. Mit

(3b) folgt aul3erdem I X 0 / ~ l = 48 = Ire' - ~ ; I . Also ist re' - N?; eine Bahn yon

Jug o. (b) D a rt' - ~ b eine Cgo-Bahn ist, operiert ~ffo transit iv auf den Punk ten yon S o und dann auch transit iv auf N; .

(d) .A~ sei der Kern der Darstel lung. Gem~g (a) gilt ~ff _< .A~. D a ~((o/Jl~

i somorph zu einer Un te rg ruppe yon P G L z ( K ) ist, nach (3b) aber )Fo/~V ~4 x Z 2 gilt, folgt ~ " va ~V. Dahe r ist J ~ / ~ ein nichttrivialer Normal te i le r

von ~ f o / ~ . Da o~ o auf ~ ) transitiv operiert, gilt 8 I lOUo/.h~ I. Jetzt k6nnen wir schliel3en, dab ~A~'/~4r die Ordnung 2, 3 oder 6 hat. In Anbet racht von ~o /~V ~ ~4 x Z 2 folgt nun J l ~ / ~ = Z(d{'o/./V" ) ~- Z 2 und dann ~ffo/X ~-

~ o / ~ / ~ r / ~ ~ ~ .

Nach diesen Vorbere i tungen fallen uns die P u n k t b a h n e n von ~ o in den Schog. Wie das nachstehende Resultat zeigt, ist 9.1 eine Rang-4-Ebene (vgl. [3, S. 76-]).

(7) Die Punktmenge V zerfiillt beziiglich Jiro in die Bahnen V - o~o, ~o - So,

S O - {0}, {0}. Oberdies operiert 2,~ o auf V - ~o treu und regulgtr.

TRANSLATIONSEBENEN DER ORDNUNG 49 93

Beweis. In Anbetracht von (5) bleiben die vier angegebenen Punktmengen bei Xoje im ganzen fest. Da J l o gem/iB (6b) au fN; transitiv operiert und zudem alle Homothetien ¢ 0 enth/ilt, ist S o - { 0 } eine Jlo-Bahn. Ein beliebig vorgegebenes X e 7r' bleibt nach (6a) bei JV im ganzen lest. Daraufhin operiert X wegen (4b) transitiv auf den eindimensionalen Unterr/iumen ~ S o n X von X. Da ~ auBerdem alle Homothetien ¢ 0 enth/ilt, ist X - S o eine Jff-Bahn. Nunmehr ist angesichts von (6b) klar, dab V - ~o und ~o - So Bahnen von

~o sind. Wegen IXol = 42.48 = IV - ~o1 operiert ~o auf V - ~o treu und regul/ir.

Wir beschliegen die Untersuchung der Ebene 9/ mit einer Analyse der

gruppentheoretischen Struktur von ~ffo.

(8) ~(o ist das direkte Produkt der drei folgenden Untergruppen.

d .'= {~ e ~ffo I ~[So = id} ~ O 7,

• "= {~ ~ ~Y'o ] det ~ = 1, ~ li~flt ,~l o elementweisefest}

~- binfire Oktaedergruppe (vgl. [1, S. 69]),

( h 2 ) = Z 3.

Beweis. ~¢ ist als Kern einer Darstellung normal in ~o. Well Xo die Gruppe enth/ilt und auf der projektiven Geraden S o gem/il~ (6d) eine zu 64

isomorphe Gruppe induziert, gilt l~o/~¢1 = 6 . 2 4 . In Verbindung mit i~oi = 42.48 folgt daraus I~¢1 = 14. Da ~¢ nichttriviale Dehnungen und nichttriviale Scherungen enth/ilt, ist ~ nicht abelsch und dann eine Dieder- gruppe. Die Untergruppe <g ..= { ~ JY'o[~ li~flt ~o elementweise Jest} ist natfirlich ebenfalls ein Normalteiler von ~¢o und hat iiberdies mit ~¢ nur die Identit/it gemeinsam. Weil JUo/rg isomorph ist zu einer Untergruppe von PGL2(K ) mit Fixpunkt, folgt I J,('o/rg[ ] 42. Daher hat der Normalteiler ~¢cg den Index 1 oder 3 in ~ffo. Folglich enth/ilt ~¢cg neben 5P~ "~ = ~/~ auch alle

2-Sylowgruppen yon ~o. Wegen ~o/JV" ~ ~4 x Z 2 erhalten wir nun ~o = ~¢cg = ~¢ x rg. Da die Gruppe cg die Regelschar ~o elementweise festl/iBt, ist deter fiir jedes ~ e ~g ein Quadrat. Somit gilt (if: ~ ) [ 3. Da h2 ¢.- ff - ~ ein Zentrumselement der Ordnung 3 ist, folgt c¢ = ~ x ( h 2) . Jetzt haben wir nur noch zu begriinden, dab ~ eine bin/ire Oktaedergruppe ist. Wegen (~o: ~) =

3.14 = 42 und [~o[ = 42.48 gilt [~l = 48. Mit (6d) folgt, dab ~ auf tier projektiven Geraden So eine zu ~,~ isomorphe Gruppe induziert, die transitiv auf den aeht Punkten von S o operiert. Der Kern dieser Darstellung ist

c~ g = (h_ ~). Wir fixieren nun ein Element ~t ~ ~ der Ordnung 3. Aus Anzahlgriinden gibt es einen Punkt P ~ So, der bei ~t im ganzen, abet nieht vektorweise festbleibt. Da .~ auBerdem h_ ~ enth/ilt, sieht man jetzt, dab die Vektoren :~ 0 von P in einer Bahn von ~ liegen. Da ~ auf den Punkten von S o transitiv operiert, ist S o - {0} eine ~-Bahn, aufder dann ~ wegen [~[ = 48 =

94 GONTER HEIMBECK

IS o - {O}l treu und regulfir operiert. Folglich ist h_ 1 • ~ die einzige Involu- tion von ~ . In Verbindung mit ~ / ( h _ 1 ) -~ ~4 folgt daraus bekanntl ich, dab

eine bin~ire Oktaederg ruppe ist.

2. D l E ABLEITUNGEN VON ~[

F/ir jedes a e K ist

7~" : = (n - ~ a ) u ~'o

eine Kongruenz von V. Wir erhalten somit sieben neue Trans la t ionsebenen

9.1" ,= n"(V) (a e K).

Wegen (1) ist dies die Gesamthe i t der durch einmaliges Ableiten aus 9.I gewinnbaren Ebenen.

Grundlegend ffir das Weitere ist die Ermit t lung der in n" enthal tenen Regelscharen. Dabei bedienen wir uns/ ihnlicher Ober legungen wie im Beweis von (1), sodal3 wir uns kfirzer fassen k6nnen.

(9) Fiir jedes a • K ist ~', die einzige Regelschar, die in n" enthalten ist.

Beweis. Wit nehmen an, dab ~z a eine Regelschar ~ ~ ~'a enth~ilt.

I. Fall: I~ n ~'~[ = 2, etwa ~ n ~'~ = {X, Y}. Wir nehmen jetzt fiberdies an, dab es ein t • K - {a} gibt mit I~ n ~t] = 2. U • ~'t sei dann die Gerade

dutch X n S o . Wegen U ¢ : S o gilt U n S o = X n S o . Dami t folgt jetzt Y n U = ( Y n f f , ) c ~ ( U n f f ~ ) = Y n U n S o = Y c ~ X n S o = {0}, was wegen U • ~ ' ein Widerspruch ist. Nachdem nun die vorstehende Annahme als unzutreffend e rkannt ist, erhal ten wir I~ n ~sl = 1 fiir jedes s • K - {a}. Wit fixieren jetzt irgendein t • K - {a}. ~, + ~ t hat h6chstens die Dimens ion 5 und enth/ilt ~ s ffir jedes s • K - {a}. Daraufhin ist (~ - {(a, b, c)} c K 3 komplanar , und dies ist der gewiinschte Widerspruch.

2. Fall: [ ~ n ~ ' . [ _< 1. Aus Anzahlgrf inden gibt es ein t • K - { a } mit I~ n ~t[ = 2. D a n n gilt d i m ( ~ + ~ , ) = 4. Wenigstens vier der sechs Regel- scharen ~ s (s • K - {a}) treffen ~ , und das Dachbi ld einer solchen Regelschar

ist in ~ + ~ enthalten. Also enth~ilt (~ vier verschiedene kollineare Punkte, was nicht zutrifft.

Bezeichnen wir die Kol l inea t ionsgruppe yon 9A a mit ~#a, so folgt mit (9) und (3c)

(10) Es gilt

Yg~ = Ygo,~,

far jedes a • K. Insbesondere haben ~ und 9~ ° dieselbe Kollineationsgruppe.

T R A N S L A T I O N S E B E N E N DER O R D N U N G 49 95

Was die Ebenen 9A und 9.10 angeht, so ist vielleicht der folgende Sachverhalt erw/ihnenswert. 9.1 und ~I ° sind beide Rang-4-Ebenen. Bezfiglich der vollen

Kol l ineat ionsgruppe hat man aufder Ferngeraden von ~I drei Bahnen, aufder von 9.1 o aber nur zwei. Nebenbei ergibt sich, dag 9.1 und 9.1 o nicht i somorph

sind. Das freilich war im vorhinein klar angesichts yon (1) und (9).

(11) Es 9ilt

JUg = ( ~ n SL(V)) x (h2) .

Dabei ist X ~ n SL(V) im Falle a ¢ 0 eine dizyklische Gruppe der Ordnun9 112 (vgl. [1, S. 7]).

Beweis. Mit (10) folgt ~,U~ _< G. Da die linearen Transformat ionen aus G gem/ig [2, (9)] Dars te l lungsmatr izen der F o r m [~o a ] ] haben, ist deta fiir jedes ~ ~ J{'~ ein Quadrat . Somit hat ~ .-= 2f~ n SL(V) den Index 1 oder 3 in

cUB. Da h 2 E ~ g - ~ ein Zent rumselement der Ordnung 3 ist, folgt 2//S =

x @2) . Von nun an sei a ¢ 0. D a ~ - {~o} eine Bahn der L/inge 6 von ~ffo ist, erhalten wir mit (10) I ~ 1 = ~l~ffol = ~ .42 .48 = 24 .3 .7 und daraus 191 = 24-7 = 112. Aus 5 P _< J,(~ und 1,9°1 = 7 ergibt sich 5 ° ~< 9 . N u n sei

eine 2-Sylowgruppe yon 9 . Wir fiberlegen jetzt, dab h 1 die einzige Involut ion yon Y ~ ist. Eine vorgelegte Involut ion c~ ~ ~ ' ~ 1/igt N o und N?aje im ganzen lest. D a Io¢~ol gerade ist und S~ = So gilt, 1/igt ~ mindestens eine Gerade -¢ S o von N o lest. Ebenso finden wir eine Fixgerade va S o von ~ in N,. Daher l~il3t e drei verschiedene Geraden von 9.1 durch 0 lest. Anhand yon (8) erkennt man, dab oA keine Baerschen Involut ionen besitzt. Folglich ist a die Spiegelung yon oA im Punkte 0, und das bedeutet ~ = h 1. Nachdem jetzt gesichert ist, dab

2(g nur eine Involut ion enth~lt, k6nnen wir schliegen, dab ~ zyklisch oder eine verallgemeinerte Qua te rn ionengruppe ist. Ein Blick auf (8) lehrt, dab o~ff o keine Elemente der Ordnung 16 besitzt. Algo ist ~ eine veraUgemeinerte Quatern ionengruppe . Well nun 5 ~ normal in Y o ist, k6nnen wir ~ durch Konjuga t ion auf 5 P operieren lassen. Wegen Aut 5 P ~ Z 6 induziert d eine G r u p p e der Ordnung _< 2. Der Kern cg ..= C(5~)n ~ dieser Darstel lung hat also mindestens die Ordnung 8. Gemiil3 (4b) ist N o - {So} eine 5P-Bahn, die iiberdies bei cg im ganzen fest bleibt. Daraus folgt, dab <gdas Geradensys tem

N o - {So} elementweise festl/igt, weil n/imlich c~ als 2 -Gruppe eine der sieben Geraden von N o - {So} festlfigt: Ebenso folgt, dab ~ a - {So} bei ~ element- weise lest bleibt. Daher ist <g eine Unte rgruppe der Einhei tengruppe des R j ~ e s L ..'-~{c~ e ~End V I X~ c X fiir jedes X e N o u ~ } . L aber ist ein K6rper , wie w~r jefzt ~e'rgen'..Dazu fixieren wir eine Nichteinheit e ~ L. Weil

kein Au tomorph i smus von V ist, k6nnen wir schliegen, dab hSchstens eine

Gerade des Systems N o w ~ , mit kere trivj.aten Durchschni t t hat. Da raus folgt sofort def e > 3. Infolgedessen hat h6chstens eine Gerade von N o w N o

96 GONTER HEIMBECK

mit im ~ einen nichttrivialen Durchschnitt. Somit liegen mindestens 14 der 15 Geraden von ~o u ~ , in ker ~. Nun erhalten wir ker ~ = V, d.h. ~ = 0. Nach dieser Uberlegung k6nnen wir folgern, dab cg als Untergruppe der multipli- kativen Gruppe des endlichen K6rpers L zyklisch ist. Also ist cg die zyklische Untergruppe der Ordnung 8 von ~. Da 5 ° und c£ einander zentralisieren, ist 5Peg zyklisch von der Ordnung 7- 8 = 56. Ein beliebig fixiertes ~ e ,~ - cg hat die Ordnung 4 und bewirkt in 5 P und cg und dann auch in 5Peg die

Inversenbildung. Somit ist (Sa~, e ) = @ dizyklisch. Wir beenden diesen Abschnitt mit drei auf der Hand liegenden Bemerkun-

gen. Erstens besitzt jede der Ebenen ~[a angesichts von (9) nur eine Ableitung, n/imlich N. Daher ist das achtgliedrige Ebenensystem {N" [ a e K} w {9,I}

abgeschlossen beziiglich der Bildung der Ableitung. Zweitens ist jede Ebene dieses Systems nicht desarguessch, z.B. weil die Kollineationsgruppe einer solchen Ebene nicht zweifach transitiv auf den Punkten operiert. Drittens wollen wir die Isomorphieklassen dieses Ebenensystems angeben. Die Ebenen ~a mit a -~ 0 sind paarweise isomorph. Sind nfimlich a, a' ~ K × vorgegeben, so gibt es gem~ig (3c) ein c~ ~ cg o mit ~ = o~,,. Dann gilt offenbar n "~ = n"', sodag ~ einen Isomorphismus zwischen 9.P und 9.1 "' stiftet. Wie oben bereits bemerkt, sind 9A und 91 0 nicht isomorph. Anhand yon (10) sieht man, dal3 9.11 ~ g[, 9t 0 gilt. Die acht Ebenen verteilen sich also aufdie drei Isomorphie- klassen {9.I}, {9.I°}, {9.1ala ~ K × }.

3. DER KENNZEICHNUNGSSATZ

Wir nehmen uns nun vor, die im ersten Abschnitt konstruierte Ebene 9.1 zu charakterisieren.

(12) ~* sei eine K o n g r u e n z yon V. Gesta t te t die Translat ionsebene ~*(V)

nichttriviale Scherungen, so s tammt ~* yon einer Regelf l~chenschar.

Beweis. Da nach Vorausetzung nichttriviale Scherungen existieren, gibt es auch eine Scherung p ~ id, die den Nullpunkt 0 ~ V festl~iBt, p ist natfirlich ein

Aut0morphismus yon V. S ~ ~* bezeichne die Achse yon p. Wir wfihlen irgendeine Komponente X ~ z~* - {S} und betrachten ~ ..= X <p> w {S}. Da pa ls Scherung yon ~*(V) auf z~* - {S} fixpunktfrei operiert und die Ordnung 7 hat, besteht ~ aus acht paarweise windschiefen Geraden des zu V geh6rigen projektiven Raumes. Um ~ als Regelschar auszuweisen, genfigt es zu zeigen,

dab ~ drei verschiedene Treffgeraden besitzt. Da p eine Scherung mit Achse S ist, gilt x o - x ~ S ffir jedes x ~ V. Also l~iBt pjede Ebene durch S im ganzen fest und induziert darin eine Elation. Somit enthfilt jede Ebene durch S e i n e Treffgerade ffir ~ . Insgesamt ist jetzt klar, dab ~* aus einer passenden Regelfl/ichenschar gewonnen werden kann.

T R A N S L A T I O N S E B E N E N D E R O R D N U N G 49 97

(13) In V gibt es genau zwei Klassen i~quivalenter Regelf l i ichenscharen.

Beweis. Natiirlich geniigt es, die Klassen /iquivalenter normierter Regel- fl/ichenscharen zu ermitteln. Wie bereits im ersten Abschnitt angedeutet, kann jede normierte Regelfl/ichenschar als eine Menge von Punkten des pseudo- euklidischen Raumes K 3 angesehen werden. Wir m/issen zun/ichst kl/iren, welche Teilmengen von K 3 zu normierten Regelfl/ichenscharen geh6ren. Bei beliebig fixiertem u e K 3 bezeichne ~ , die Regelflfiche mit der Gleichung

X1X 4 -- X2X 3 + ~11 X2 + /A2X1X 2 -~ N3X22 = O. Wir erhalten so eine Bijektion u e K 3 ~ ~ , E E, die wir m i t e bezeichnen. Fiir u, v s K 3 gilt nun

~ , n ~ v = So ~*(v l - u l ) x2 + (v2 - u2)x l x2 + (v3 - Ua)X~ ist anisotrop

~ ( v 2 - u2) 2 - 4(v 1 - ul)(v 3 - u3) ist ein Nich tquadra t yon K

• ~ gP(v - u, v - u) ist ein Quadrat =/= 0 yon K

{~ 4= v und die Richtung der Geraden durch u und

"*~ ist ein innerer P u n k t der Fernebene yon K 3.

Nun sieht man, dab die e-Urbilder der normierten Regelfl/ichenscharen gerade die siebengliedrigen Teilmengen yon K 3 sind mit der Eigenschaft, dab die Richtung jeder Geraden, die zwei verschiedene Mitglieder verbindet, ein innerer Punkt der Fernebene yon K 3 ist. Um uns bequem ausdriicken zu k6nnen, wollen wir die e-Urbilder der normierten Regelfl/ichenscharen Figuren nennen.

Aus [2] ist bekannt, dab zwei normierte Regelfl/ichenscharen genau dann /iquivalent sind, wenn die zugeh6rigen Figuren als Teilmengen des pseudo- euklidischen Raumes K 3/ihnlich sind. Darum geniigt es zu beweisen, dab sich

die Figuren in K 3 auf zwei .~hnlichkeitsklassen verteilen. Die Punkte einer Geraden von K 3, deren Richtung ein innerer Punkt ist,

bilden offenbar eine Figur. Uberdies sind je zwei Figuren dieser Sorte/ihnlich, weil die zugeh6rigen Geraden in einer Bahn der ~,hnlichkeitsgruppe des pseudo-euklidischen Raumes K 3 liegen. Somit bleibt zu zeigen, dab je zwei nichtkollineare Figuren ~ihnlich sind.

In der nachstehenden Betrachtung wird der folgende simple Hilfssatz eine entscheidende Rolle spielen. Beim Beweis mfissen wir die Abbildung qb aus [2] benutzen, die aus Platzgr/inden hier nicht erkl/irt werden kann.

(a) ul , u2, u3, u 4 seien vier verschiedene P u n k t e der Figur ~ * und u ~ K 3 --

{ ul , u2, u3, u4 }. I s t die R ich tung jeder der vier Geraden u v u i ein innerer Punk t ,

so 9eh6rt u zu ~ *.

Beweis . us, u6, u 7 seien die iibrigen drei Punkte von ~*. Wir setzen ~ i := e(ui), ~ := e(u). e((£*) ist natfirlich eine normierte Regelfl/ichenschar. Auf

98 G'ONTER H E I M B E C K

Grund der Vorausse tzung fiber die Richtungen der Geraden u v u i folgt ~ ~ i = S o fiir i = 1, 2, 3, 4. Gem/if5 [2, (6)] gilt ~ ' c~ o ~ = {0} ffir

i = 1, 2, 3, 4 und ~ c UT= 1 ~-~- Daraus aber folgt g ~ ~ ~ ~ ~ ~6* w YT*. Weil der regul/ire Schnitt ~ acht Punkte enth~lt, gibt es ein j e {5, 6, 7} derart , daf5 ~ und o ~ drei verschiedene Punk te gemeinsam haben. D a ein regul/irer Schnitt durch irgend drei seiner Punk te eindeutig bes t immt ist, erhal ten wir ~ * = ~ . Daraus folgt ~ = ~ i und dann u = e - l ( ~ ) = ~- l (o~j) = uj e lg*.

N u n sei Ig* eine beliebig vorgegebene nichtkoll ineare Figur. Wir zeigen jetzt, dab lg* /ihnlich ist zu (g.

(b) Jede Ebene, die drei verschiedene Punkte yon ~* enthfdt und die eine Passante

als Richtun9 hat, ist eine Symmetrieebene yon ~*.

Beweis. E sei eine solche Ebene und u~, u 2, u 3 ~ E c~ tg* seien paarweise verschieden, a bezeichne die Spiegelung an E. Bei beliebig vorgegebenem u 6 Ig* - E sind die ffinf Punk te u~, u 2, u 3, u, u ~ paarweise verschieden. Wegen u ~ v u i = (u v u~) ~ ist die Richtung jeder der Geraden u ~ v u~ ein innerer Punkt . Auch die Richtung der Geraden u ~ v u ist ein innerer Punkt , weil n/imlich die Richtung von E eine Passante ist. Jetzt k6nnen wir (a) anwenden und erhalten u ~ ~ ~*. Insgesamt gilt also ig *~ c Ig* und dann (g*~ -- g*, weil cr involutorisch ist.

(c) fi;* enthfdt vier verschiedene komplanare Punkte.

Beweis. Wir nehmen an, dab je vier verschiedene Punkte yon Ig* nicht in einer Ebene liegen.

1. Fall: Es 9ibt eine Ebene E durch drei verschiedene Punkte yon ~*, deren

Richtung eine Passante ist. Die vier Punk te yon (g* aufserhalb yon E sind dann komplanar , weil n/imlich E gem/if5 (b) eine Symmetr ieebene yon Ig* ist. Widerspruch!

2. Fall: Die Richtung jeder Ebene dutch drei verschiedene Punkte yon ~ * ist eine Sekante. Insgesamt gibt es (73) = 35 Ebenen, die jeweils drei verschiedene Punkte yon Ig* aufnehmen. Weil die Fernebene aber nur (28) = 28 Sekanten

enth/ilt, gibt es zwei verschiedene parallele Ebenen E t , E2, die je drei Punkte mit Ig* gemeinsam haben. Wir w/ihlen zwei verschiedene Punkte u~, U'l 6 E1 c~ Ig*. Weil E 2 c~ Ig* ein Dreieck ist und die gemeinsame Richtung yon E~ und E 2 genau drei innere Punkte enth/ilt, gibt es zwei verschiedene Punkte b/2, ~/2 6 E 2 0 (~*, deren Verbindungsgerade u 2 V U2 parallel zu u 1 v u'l ist. Also sind die vier verschiedenen Punkte u~, u'~, u 2, u~ ~ (£* komplanar , und das ist der gewfinschte Widerspruch.

(d) 2) c ~* sei ein ebenes Viereck. Dann ist f~ ein Parallelogramm und die Richtun9 der Ebene E durch fB ist eine Passante.

T R A N S L A T I O N S E B E N E N D E R O R D N U N G 49 99

Beweis. Weil die Richtung yon E h6chstens vier innere Punkte enth/ilt, besitzt ~3 zwei Paare paraUeler Gegensei ten und ist deshalb ein Parallelo- g ramm. Wegen char K ¢ 2 ist das dritte Paa r von Gegensei ten nicht parallel. Folglich enth/ilt die Richtung von E vier verschiedene innere Punk te und ist

da rum eine Passante.

(e) ~* enthgtlt drei verschiedene kollineare Punkte.

Beweis. Nach (c) gibt es eine Ebene E, die m i t ~ * vier verschiedene Punkte

u 1, u 2, u 3, u 4 gemeinsam hat. Wir dfirfen annehmen, dab ~B ..= {u~, u z, u3, u4} ein Viereck ist. Wegen (d) und (b) ist dann E eine Symmetr ieebene von ~;*. Daher enth/ilt E einen fiinften Punkt u yon if*. Nach (d) ist ~ ein

Para l le logramm. Also ist {Ul, u2, u3, u} kein Para l le logramm und dann wegen (d) auch kein Viereck. Somit enth/ilt {Ul, u2, Ua, u} drei verschiedene kolli- neare Punkte.

(f) ~* ist (thnlich zu ~.

Beweis. Nach (e) gibt es eine Gerade 9, die drei verschiedene Punkte von fi;* enth/ilt. Das Erzeugnis D der Spiegelungen an den vier Ebenen durch 9, die

eine Passante als Richtung haben, ist eine Diedergruppe der Ordnung 8, die gem/if; (b) fi;* im ganzen festl/igt. Wir fixieren ein Element ( ~ D d e r Ordnung 4. ( ist natiirlich eine Drehung mit der Achse 9. D a E* nach Voraussetzung nicht kollinear ist, gibt es einen Punkt u e g* - 9. Die Bahn von u beziiglich ( ( )

besteht aus den vier paarweise verschiedenen Punkten u, u ~, u ~z, u ¢3 von g*. z sei der Schni t tpunkt der Ebene durch diese vier Punkte und der Geraden 9. Weil nun ~(u ~ - z, u ~ - z) = qb(u - z, u - z) ein Quad ra t ¢ 0 ist und u ~ - z und u - z o r thogona l sind, gibt es eine Ahnlichkeit c~, die z" = 0, u" = (1, - 2 , 3),

(u;)" = (2, 0, 1) leistet, z ist der Mit te lpunkt von u und u ~2. Also ist z" = 0 der Mi t te lpunkt von u ~ und (u ;2)', und daraus folgt (u~2)" = - u " = - ( 1 , - 2 , 3).

Ebenso erhalten wir (u~3)" = - ( 2 , 0, 1). Weil nun die beiden Figuren fi;*" und vier verschiedene Punkte gemeinsam haben, s t immen sie gem/if5 (a) iiberein.

Jetzt erhalten wir als abschlieBendes Resultat eine Kennzeichnung der Ebene 9.1.

SATZ. Bis auf lsomorphie 9ibt es 9enau eine nichtdesarguessche Translations- ebene der Ordnun9 49 mit nichttrivialen Scherungen.

Beweis. Wir zeigen, dab sich die Transla t ionsebenen der Ordnung 49 mit nichttrivialen Scherungen auf zwei Isomorphieklassen verteilen. Ist 92* eine

solche Ebene, so gilt 92* -~ n*(V) mit einer passenden Kongruenz n* von V. Gem/iB (12) s t ammt ~* von einer Regelfl/ichenschar. Weil nun / iqu iva len te Regelfl/ichenscharen i somorphe Trans la t ionsebenen hervorbr ingen und weil es nach (13) nur zwei Klassen/ iquivalenter Regelfl/ichenscharen gibt, verteilen sich die in Rede stehenden Trans la t ionsebenen auf h6chstens zwei I somor -

100 G ~ N T E R H E I M B E C K

phieklassen. Andererseits k6nnen wir zwei nichtisomorphe Exemplare vor- zeigen, nfimlich die Ebene 9A und die desarguessche Ebene der Ordnung 49.

L I T E R A T U R

I. Coxeter, H. S. M. und Moser, W. O. J., Generators and Relations for Discrete Groups, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1972.

2. Heimbeck, G., 'Regelfl/ichenscharen', Geom. Oedicata 22 (1987) 235-245. 3. Lfineburg, H., Translation Planes, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1980.

(Eingegangen am 19. Januar 1987)

Anschrift des Verfassers:

G. Heimbeck, University of Namibia, Dept. of Mathematics, Private Bag 13301, Windhoek, 9000 South West Africa.