Turbulenzen um die Fluiddynamik - numerik.mathematik.uni ... · Die Navier-Stokes-Gleichungen beschreiben die Str omungen von viskosen Fluiden, wobei ein Fluid als Kontinuum modelliert

Die Millennium-ProblemeGrundlegende Begriffe

Geschichtlicher HintergrundEigenschaften der Navier-Stokes-Gleichungen

Losungsansatze und offene Fragen

Turbulenzen um die Fluiddynamik

Michelle Porth

18. Juni 2018

Michelle Porth Turbulenzen um die Fluiddynamik




Inhaltsverzeichnis

1 Die Millennium-Probleme

2 Grundlegende Begriffe

3 Geschichtlicher Hintergrund

4 Eigenschaften der Navier-Stokes-Gleichungen

5 Losungsansatze und offene Fragen





Die Millennium-Probleme

Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer

Hodgevermutung

P-NP-Problem

Poincare-Vermutung → 2002 gelost von Perelman

Riemannsche-Vermutung

Gleichungen von Young-Mills

Navier-Stokes-Gleichungen





Was ist ein Fluid?

Fluid ist der Oberbegriff fur Flussigkeiten und Gase.





Was ist ein Kontinuum?

Ein Kontinuum ist eine physikalische Große, die in jedem Punkt inRaum und Zeit definiert ist.





Was bedeutet Kompressibilitat?

Kompressibilitat ist die Eigenschaft von Korpern unter Einwirkungvon Druck ihr Volumen zu verringern.Beispiel:Luft kann sich kompressibel und inkompressibel verhalten.





Was bedeutet Viskositat?

Viskositat ist die Zahigkeit von Fluiden.Je großer die Viskositat, desto dickflussiger ist das Fluid.





Was bedeutet Turbulenz?

Eine Stromung heißt turbulent, wenn die Bewegung der Fluideweitreichende Verwirbelungen hat.Im Gegensatz dazu stehen laminare Stromungen.





Was bedeutet Turbulenz?

Beispiele:

siehe Video

Motorradhelm

Fussball

Zeichnung von DaVinci

U-Boot





Was ist ein blow-up?

Man spricht von einem blow-up, wenn sich die gesamte Energieeines Systems in der Umgebung eines Punktes konzentriert unddort gegen unendlich strebt.





Was sind die Navier-Stokes-Gleichungen?

Die Navier-Stokes-Gleichungen beschreiben die Stromungen vonviskosen Fluiden, wobei ein Fluid als Kontinuum modelliert wird.





1755

”Principes generaux du mouvement des fluides“ von Leonhard

Euler→ Herleitung der Euler-Gleichungen





Exkurs: Euler-Gleichungen

Fur inkompressible Stromungen im dreidimensionalen Raum lautendie Euler-Gleichungen

∂v

∂t+ (v • ∇) v +∇p = f ,

wobei p der Druck, f der Kraftvektor und v derGeschwindigkeitsvektor sind.Weiter gilt

div (v) = 0

Gesucht sind v und p.





Exkurs: Euler-Gleichungen

In Worten:Beschleunigung plus Effekte der Fluidbewegung plus Kraft durchDruck gleich außere Kraft.

Problem:Es gibt keinen allgemeinen Existenz- und Eindeutigkeitssatz fur dieEuler-Gleichungen.→

”unvollstandige“ Version der Navier-Stokes-Gleichungen





1822

”Memoire sur les lois du mouvement des fluides“ von Claude Louis

Marie Henri Navier→ Nutzt Molekulartheorie, Elastizitatstheorie und Cauchysallgemeine Methoden der Kontinuumsmechanik→ Stellt math. Modell fur die Bewegung zaher Fluide unterAnnahme molekularer Kraft auf→ Erkennt

”No-Slip-Randbedingung“

→ Unklarheiten/ offene Fragen zu seiner Theorie bleiben





1831

Klarere Formulierung von Naviers Ergebnissen von Simeon-DenisPoisson





1834

”Memoire sur la dynamique des fluides“ von Adhemar Barre de

Saint-Venant→ Ausgleichseffekt: Problemstellen wie bei den Euler-Gleichungentritt durch sein Modell der Viskositat nicht auf→ Benotigt keine Annahme zu molekularen Kraften





1845

”On the Theories of the internal Friction of Fluids in Motion“ von

George Gabriel Stokes→ Beinhaltet die Ergebnisse von Saint-Venant





2000

Formulierung der Navier-Stokes-Gleichungen alsMillenniumsproblem





Inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen im dreidim.Raum

Fur inkompressible Stromungen im dreidimensionalen Raum lautendie Navier-Stokes-Gleichungen

∂v

∂t+ (v • ∇) v +∇p − ν∆v = f ,

wobei ν der Viskositatskoeffizient, p der Druck, f der Kraftvektorund v der Geschwindigkeitsvektor sind.Weiter gilt

div (v) = 0

Gesucht sind v und p.





Eigenschaften

inkompressibler Fall: Dichte als Unbekannte abhangig von Ortund Zeit ist konstant

nichtlinear

partielle Differentialgleichung





Exkurs: Wellenphanomene

Wellenphanomene werden haufig von linearen Gleichungenbeschrieben.→ Losung ahnlich schwierig wie gegebene Anfangs- undRandbedingungen





Exkurs: Newtons Punktmechanik

Es seien endlich viele Massepunkte, sowie deren Orte undGeschwindigkeiten zu einem bestimmten Zeitpunkt gegeben.Das Naturgesetz zur Beschreibung deren Bewegung sei stetig.Dann ist jeder folgende Systemzustand eindeutig bestimmt.→ gewohnliche Differentialgleichung





Was bisher moglich ist

In der Anwendung nutzt man Computerprogramme zur num.Losung der Navier-Stokes-Gleichungen.Mithilfe von Experimenten erkennt man, dass sich das Verhaltenvon Fluiden mit der Theorie deckt.

Problem:Um zeigen zu konnen, dass die Naherungslosung die exakte Losunggut approximiert, muss diese existieren.






Die Navier-Stokes-Gleichungen besitzen keine Losungen, bei denenkinetische und potenzielle Energie des Systems zunehmen.

Problem:Blow-up ist noch nicht ausgeschlossen.






Jean Leray zeigte Existenzaussagen fur schwache Losungen sowiedie Existenz glatter Losungen bis zu einer endlichen Zeit, die durchdie gegebenen Daten beschrankt ist.

Problem:Regularitatsaussage noch nicht gefunden.





Alternativideen

Navier-Stokes-Gleichungen nahern das Verhalten von Fluiden an.→ Annahme des Kontinuums

Alternativen:

Modellierung der Stromung auf Ebene der Molekule→ Boltzmann-Gleichungen

Beschreibung der Viskositat durch hohere Ableitungen→ Versuch des Mathematikers Jindrich Necas scheiterte





offene Fragen

Grundproblematik:Es gibt keinen Beweis/ kein Gegenbeispiel zur Existenz undEindeutigkeit einer Losung unter gegebenen Anfangsbedingungenfur die Navier-Stokes-Gleichungen.

Clay-Frage:Gibt es eine offensichtlich unphysikalische Losung derNavier-Stokes-Gleichungen?

Schwierigkeit:Das Phanomen der Turbulenz ist noch immer unklar.





aktueller Forschungsstand

2009: Man versucht die Menge aller Punkte, in denenSingularitaten auftreten konnen, abzuschatzen.

2014: Professor aus Kasachstan behauptet, er habe einenBeweis gefunden.→ Stellt sich als falsch heraus


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