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Memo: Kontraste & post-hoc-Tests
Was fällt euch noch ein?
Kontraste oder post-hoc-Tests?
F-Test: signifikant?
keine Vermutung über Gruppenunterschiede
Vermutung über Gruppenunterschiede
post-hoc-Tests
Tukey-HSD-Test Scheffe-Test
paarweiser Vergleich von Mittelwerten
Vergleich von Mittel-wertskombinationen
Kontraste; ersetzen auch den F-Test
Memo- Beantworten die Frage, welche Mittelwerte sich bei einer ANOVA
signifikant unterscheiden - Kontraste: werden vorab formuliert; ersetzen F-Test- Post-hoc-Tests: prüfen nach signifikantem F-Test, welche Mittelwerte sich
unterscheiden- Vor- und Nachteile: Kontraste haben die höhere Power (→KTS), erlauben
dafür jedoch nur eine begrenzte Anzahl von Mittelwertsvergleichen (p-1)- Ob die gewählten Kontraste unabhängig sind, muss per Hand geprüft
werden – SPSS setzt die Unabhängigkeit voraus- Kontrasthypothesen können gerichtet oder ungerichtet formuliert sein
→ Was bedeutet dies bezüglich der Power?
Thema: zweifaktorielle Varianzanalyse
Gliederung
I. Funktion der 2-fak. ANOVAII. Haupt- und InteraktionseffekteIII. Quadratsummenzerlegung &
F-TestsIV. Interaktion und ihre Formen
I. Funktion der 2-fak. ANOVA
Zweifaktorielle Varianzanalyse
o Wenn wir den Einfluss einer UV bzw. eines Faktors (mit x Stufen) auf eine AV untersuchen, verwenden wir die einfaktorielle ANOVA
o Untersuchen wir den Einfluss von mehreren UVs bzw. Faktoren auf eine AV, können wir die von mehrfaktoriellen ANOVA nutzen
→ vgl. „einfache“ vs. multiple Regressiono Zusätzlich erkennen wir noch, ob die Faktorstufen
in Bezug auf die AV in Wechselwirkung treten (interagieren)
→ vgl. Regression: Moderatoranalyse
Übersicht ANOVA
einfaktorieller Versuchsplan
UV (3-stufig)
Mitarbeiter Team-leiter
Abteilungs-leiter
5,101 y 7,142 y 2,73 y
8,10y
zweifaktorieller VersuchsplanFaktor B
Faktor A Mitarbeiter Teamleiter Abteilungsleiter
Kom. Training
Entsp. Training
1511 y 7,912 y 0,613 y
3,823 y7,1922 y0,621 y
5,101. y 7,142. y 2,73.. y
2,10.1 y3,11.2 y
8,10.. y
Indizes:jky → j = Zeile; k = Spalte
.xy → Zeilenmittelwert → Spaltenmittelwertxy.
..y → Gesamtmittelwert
II. Haupt- und Interaktionseffekte
Effekte
Effekt: Abweichung eines Gruppenmittelwerts vom Gesamtmittelwert → Gruppenzahl = Anzahl der Faktorstufen
Mathematisch:
einfaktorieller Versuchsplan
UV (3-stufig)
Mitarbeiter Team-leiter
Abteilungs-leiter
5,101 y 7,142 y 2,73 y
8,10y
6,38.102.7
9.38.107.14
3.08.105.10
33
22
11
yya
yya
yya
Berechnet die Effekte…
Effekte der zweifaktoriellen ANOVA
Effekte des Faktors A (Haupteffekt A):
Effekte des Faktors B (Haupteffekt B):
sowie die Interaktionseffekte ( „Vorstufe“ Zelleneffekte) …
... yya jj
... yyb kk
zweifaktorieller Versuchsplan I
Faktor B
Faktor A Mitarbeiter Teamleiter Abteilungsleiter
Kom. Training
Entsp. Training
1511 y 7,912 y 0,613 y
3,823 y7,1922 y0,621 y
5,101. y 7,142. y 2,73. y
2,10.1 y3,11.2 y
8,10.. y
Berechnet nun die Effekte für Faktor A…
5.08.103.11...
6.08.102.10...
22
11
yya
yya Was fällt hier auf?
Effektsumme ≠ 0
Rundungsfehler
Software!
zweifaktorieller Versuchsplan II
Faktor B
Faktor A Mitarbeiter Teamleiter Abteilungsleiter
Kom. Training
Entsp. Training
1511 y 7,912 y 0,613 y
3,823 y7,1922 y0,621 y
5,101. y 7,142. y 2,73. y
2,10.1 y3,11.2 y
8,10.. y
Berechnet nun auch die Effekte für Faktor B…
6.38.102.7
9.38.107.14
3.08.105.10
33
22
11
yyb
yyb
yyb
Zelleneffekte
Der „Zelleneffekt“ ist nicht aussagekräftig, da er auch von den Haupteffekten beeinflusst wird.
..][ yyab jkjk 5.28.103.8
9.88.107.19
8.48.100.6
8.48.100.6
1.18.107.9
248.1015
23
22
21
13
12
11
[ab]
[ab]
[ab]
[ab]
[ab]
.[ab]Der Effekt eine Kombination bestimmter Stufen der Faktoren A und B berechnet sich als:
Auch für Zelleneffekte gilt: Effektsumme = 0
Interaktionseffekte (A x B)
....
..).(..).(..)(
][)(
yyyy
yyyyyy
baabab
kjjk
kjjk
kjjkjk
Somit berechnen sich Interaktionseffekte als Differenz des jeweiligen Zelleneffekts und der beteiligten Haupteffekte:
Für Interaktionseffekte gilt wie für alle Effekte: Die Summe der Effekte beträgt null!
Berechnung: Interaktionseffekte
Faktor B
Faktor A Mitarbeiter Teamleiter Abteilungsleiter
Kom. Training
Entsp. Training
1511 y 7,912 y 0,613 y
3,823 y7,1922 y0,621 y
5,101. y 7,142. y 2,73. y
2,10.1 y3,11.2 y
8,10.. y
Ergebnis: Interaktionseffekte
6.08.102.73.113.8)(
5.48.107.143.117.19)(
0.58.105.103.110.6)(
6.08.102.72.100.6)(
4.48.107.142.107.9)(
1.58.102.105.1015)(
....)(
23
22
21
13
12
11
ab
ab
ab
ab
ab
ab
yyyyab kjjkjk
Auch hier beträgt die Summe der Effekte aufgrund des kummulierten Rundungsfehlers nicht null…
Strukturgleichungen
jkjjk eayy 1-fak. ANOVA:
2-fak. ANOVA:
zweifak. ANOVA = einfak. ANOVA + Effekt Faktor B + Interaktionseffekt
Strukturgleichung des ALM
III. Quadratsummenzerlegung & F-Tests
Quadratsummenzerlegung
einfaktorielle ANOVA:
SStotal = SSbetween (Faktor A) + SSwithin
zweifaktorielle ANOVA:
SStotal = SSFaktor A + SSFaktor B + SSAxB + SSwithin
Quadratsummen 2-fak. ANOVA
n
i
p
j
q
kjkijkwithin
p
j
q
kkjjkqpAxB
q
kkqFaktorB
p
jjpFaktorA
yySS
yyyynSS
yynSS
yynSS
1 1 1
1 1,
1
1
)²(
..)²..(
..)².(
..)².(
Mittlere Quadrate und Freiheitsgrade
df
SSMS
df
SSMS
FaktorBFaktorB
FaktorAFaktorA
1// qpdf BA
df
SSMS FaktorAxB
FaktorAxB
df
SSMS within
within
F-Tests
within
FaktorAA MS
MSF
within
AxBAxB MS
MSF
within
FaktorBB MS
MSF
Faktor A: Faktor B:
Interaktion:Nur der Zähler ändert sich, im Nenner steht jeweils die Fehlervarianz.
Und weiter…
Weiterhin analog zur 1-fak. ANOVA:
o Post-hoc-Tests, wenn mindestens ein F-Test signifikant wird
o Wenn im Vorhinein Hypothesen bestehen: Kontraste
o Dies wird jedoch nicht in der Vorlesung behandelt; interessierten sei Leonhart S. 401 ff. empfohlen
Rechenbeispiel
In einer kleinen Therapiestudie wurde der Einfluss der Faktoren Therapiemethode (VT=Verhaltenstherapie, GT=Gesprächstherapie, PA=Psychoanalyse)
und Altersgruppe (Mediansplit: jung/alt) auf den Therapieerfolg untersucht (Skala 1-10, hohe Werte = guter Erfolg).
Faktor B: Therapiemethode
Faktor A: Alter
VT GT PA
Obere 50 % 5 4 6
6 3 7
3 5 5
Untere 50% 9 6 2
10 4 1
8 5 3
a) Berechnet die Quadratsummen (SS)b) Berechnet die mittleren Quadratsummen (MS)c) Führt F-Tests für alle Effekte durch.
Lösungen: 4,67
9,00
6,83
4,00
5,00
4,50
6,00
2,00
4,00
4,89
5,33
5,11
alobere 50%
untere 50%
Gesamt
obere 50%
untere 50%
Gesamt
obere 50%
untere 50%
Gesamt
obere 50%
untere 50%
Gesamt
theVT
GT
PA
Gesamt
Mittelwert
SSA (Alter) = 0,89; df (p-1) = 1, MSA = 0,89SSB (Therapie) = 27,44; df (p-1) = 2; MSB = 13,72SSAxB = 52,78; df (p-1)*(q-1) = 2; MSAxB = 26,39SSwithin = 14,67; df p*q*(n-1)= 12; MSwith = 1,22FA = 0,73FB = 11,23FAxB = 21,6
IV. Interaktion und ihre Formen
Inhaltliches Beispiel
o zwei Schmerztherapien S1 und S2 (Faktor A)o an hoch Belasteten und niedrig Belasteten
getestet (Faktor B)o kein Haupteffekt der Intervention oder der
Probandengruppeo aber eine Wechselwirkung (Interaktion):
- bei hoch Belasteten wirkt Therapie 1 besser- bei niedrig Belasteten hingegen Therapie 2
Welche Formen der Interaktion kennt ihr?
o Ordinale Interaktion→ beide Haupteffekte global interpretierbaro Hybride Interaktion→ ein Haupteffekt global interpretierbaro Disordinale Interaktion → kein Haupteffekt global interpretierbar
Global intepretierbar: Auf jeder Faktorstufe des jeweils anderen Faktors tritt der Effekt des betreffenden Faktors gleichgerichtet auf.
Globale Interpretierbarkeit inhaltlich
o Wir untersuchen den Einfluss der jeweils 2-stufigen Faktoren Alter und Alkoholkonsum auf die AV Reaktionszeit.
o Ergebnis: Alle F-Tests sind signifikant und es liegt eine ordinale Interaktion vor: - jüngere sind sowohl unter Alkoholeinfluss als auch
nüchtern schneller als entsprechende ältere (Haupteffekt Alter; global interpetierbar)
- Menschen unter Alkoholeinfluss sind immer langsamer, als die nüchterne Vergleichsgruppe (Haupteffekt Alkoholkonsum; global interetierbar)
grafische Interpretation
o Ordinale Interaktion: gleicher Trend für beide Lininen in beiden Diagrammen
o Hybride Interaktion: gleicher Trend in einem, entgegengesetzter im anderen Diagramm
o Disordinale Interaktion: entgegengesetzter Trend in beiden Diagrammen
Welche Interaktion?
Welche Interaktion?
Welche Interaktion?
Übung InteraktionsformenEure F-Tests sagen euch, dass in folgendem Datensatz neben der Interaktion zwei Haupteffekte vorliegen. Um welchen Typ der Interaktion handelt es sich.
a) b) c)
a) Hybride Interaktion: Gleiche Trends in einem Diagramm, entgegengesetzte Trends im anderen
b) Ordinale Interaktion: Gleiche Trends für alle Linien in beiden Diagrammen
c) Disordinale Interaktion: Entgegengesetzte Trends in beiden Diagrammen
Vielen Dank für eure Aufmerksamkeit!
Fleißarbeit I
Interpretiert die Ergebnisse der F-Tests aus unserer kleinen Therapiestudie (Folie 29). Hinweis: Es ist einfacher, jeden Effekt getrennt zu bewerten.
Fkrit (1,12) = 4,74; Fkrit (2,12) = 3,89
Ergebnis I
Man kann nicht sagen, dass das Alter allein einen Einfluss auf den Therapieerfolg hat (kein Haupteffekt A).Es darf behauptet werden, dass die Therapiemethode einen Einfluss hat (Haupteffekt B).
Weiterhin gibt es offenbar eine Wechselwirkung zwischen Alter und Therapiemethode (Interaktionseffekt): Offenbar sprechen ältere vergleichsweise gut auf Psychoanalyse an, jüngere vergleichsweise gut auf Verhaltentherapie. Bei Gesprächstherapie scheint es keinen Effekt des Alters zu geben. Um diese Aussagen zu verifizieren, müssten noch post-hocTests durchgeführt werden.
Fleißarbeit IIDie F-Tests zu unserem Versuchsplan von Folie 16 zeigen folgende Ergebnisse:
Welche praktischen Empfehlungen für die Geschäftsleitung leiten Sie aus diesen Daten ab? Ist ein Training besser als das andere?
Ergebnis II
Generell kann nicht gesagt werden, welches Training besser ist (weil es keinen Haupteffekt A gibt). Die Interaktion deutet aber darauf hin, dass die Trainings unterschiedlich gut für die Gruppen geeignet sind. Das Kommunikations-training sollte daher für Kundenberater und das Entspannungstraining für Mitglieder des mittleren Managements durchgeführt werden. Ob es einen Unterschied in der Wirksamkeit auch für Mitglieder des höheren Managements gibt, kann nur ein post-hoc Test entscheiden.
