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Tutorium Mathematische Grundlagen Erg¨ anzungen zu der Vorlesung Mathematische Grundlagen der Physik (G1) Mathematik f¨ ur Physik 1 Klaus Huthmacher * * [email protected]

Tutorium Mathematische Grundlagen · Tutorium Mathematische Grundlagen Erg anzungen zu der Vorlesung Mathematische Grundlagen der Physik (G1) Mathematik f ur Physik 1 Klaus Huthmacher

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TutoriumMathematische Grundlagen

Erganzungen zu der VorlesungMathematische Grundlagen der Physik (G1)

Mathematik fur Physik 1

Klaus Huthmacher∗

[email protected]

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Inhaltsverzeichnis

1 Differentialrechnung 21.1 Differenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Partielle Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Vektoren 52.1 Spaltendarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2 Basiswechsel & Transformationsverhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2.1 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3 Lineare Abbildungen 103.1 Darstellungsmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.2 Basiswechsel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.2.1 Beispiel: Gekoppelte Pendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4 Bilinearformen 174.1 Darstellungsmatrix: Gramsche Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.2 Basiswechsel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.2.1 Beispiel: Tragheitstensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

5 Differentialgleichungen 205.1 Lineare Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

5.1.1 Lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung . . . . . . . . . . . . . 20

6 Klassische Vektoranalysis 226.1 Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

6.1.1 Kurvenlange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226.1.2 Linienintegral entlang eines Vektorfeldes . . . . . . . . . . . . . . . 23

6.2 Der Satz von Gauß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266.3 Der Satz von Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

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Vorwort

Dieses Miniskript entstand im Zuge des Tutoriums zu Mathematische Grundlagen derPhysik (G1)/ Mathematik fur Physik 1. Es sollen wichtige Rechentechniken im Detailerklart und hoffentlich verstandlich diskutiert werden. Weiterhin soll es ein Sammelsuri-um an vielen Beispielen zu den einzelen Themen sein, um aufzuzeigen wo die Technikenin der Physik verwendet werden. Schlußendlich sollen manche Rechnungen in den zu-gehorigen mathematischen Kontext eingebunden werden.An dieser Stelle ein Dank an viele User des Matheplaneten (www.matheplanet.com),die mich stets unterstutzt haben und meine Fragen geduldig beantwortet haben. Ganzbesonders an die beiden User kostja und DanielW fur ihre unermudliche Hilfe.

Weiterhin ein Dank an Oliver Brenk fur seine Korrekturen und Erganzungen.

Kritik, Vorschlage und Anregungen bitte an [email protected]

Stand: 27.1.2012Klaus Huthmacher

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1 Differentialrechnung

In diesem Kapitel sollen Begriffe wie differenzierbarkeit und die partielle und totaleAbleitung geklart werden.

1.1 Differenzierbarkeit

Beginnen wir die Definition der Ableitung mit einer allgemeinen Definition:

Definition:Sei D ⊂ R offen und x ∈ D offen. Eine Abbildung f : D → R heißt differenzierbar inx, wenn es eine lineare Abbildung ξ : R→ R gibt, sodass der durch

f(x+ t) = f(x) + ξ(x) · t+ F (t)

definierte Fehlerterm F (t) fur t→ 0 so schnell klein wird, dass nicht nur F (t)→ 0 gilt,sondern sogar

limt→0

F (t)

t= 0

Schauen wir uns die Definition genauer an und versuchen eine Funktionsvorschrift furdie Funktion ξ zu erhalten.

f(x+ t) = f(x) + ξ(x) · t+ F (t)

⇔ f(x+ t)

t=

f(x)

t+ ξ(x) +

F (t)

t

⇔ f(x+ t)− f(x)

t= ξ(x) +

F (t)

t

Fuhren wir nun den Grenzubergang t → 0 aus, so verschwindet der Fehlerterm perDefinition und ξ(x) bleibt ebenfalls erhalten, da es den Parameter t nicht enthalt:

limt→0

f(x+ t)− f(x)

t= lim

t→0ξ(x)︸ ︷︷ ︸

ξ(x)

+ limt→0

F (t)

t︸ ︷︷ ︸=0

⇒ ξ(x) = limt→0

f(x+ t)− f(x)

t

Es zeigt sich, die gesuchte Funktion ξ ist gerade die Ableitung der Funktion f , nennenwir sie in Zukunft aus diesem Grund df .

2

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Definition:Wir nennen eine Funktion f differenzierbar, wenn sie in jedem Punkt x ∈ D differen-zierbar ist.

Machen wir dazu ein

Beispiel:Gegeben sei die Funktion auf einem offenen Intervall D ⊂ R:

f : D −→ Rx 7−→ f(x) = x2

Damit gilt fur die Ableitung

df = limt→0

f(x+ t)− f(x)

t

= limt→0

(x+ t)2 − x2t

= limt→0

x2 + 2xt+ t2 − x2t

= limt→0

2xt+ t2

t= lim

t→02x+ t

= 2x

Was wir aus der Schule kennen wird also bestatigt.

1.2 Partielle Ableitung

So lasst sich auch die partielle Ableitung definieren.

Sei diesmal D ⊂ Rn offen und eine Funktion f : D → Rn gegeben. Dann definieren wirdie partielle Ableitung nach dem Parameter xi:

∂xif = limt→0

f(x1, x2, . . . , xi + t, . . . , xn)− f(x1, x2, . . . , xi, . . . , xn)

t

Machen wir auch dazu wieder ein

Beispiel:Gegeben sei die Funktion auf D ⊂ R2

f : D −→ R(x, y) 7−→ f(x, y) = xy2 + ay | a ∈ R

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Setzen wir unsere Definition ein und berechnen die partiellen Ableitungen:

∂xf = limt→0

(x+ t)y2 + ay − xy2 − ayt

= limt→0

xy2 + ty2 + ay − xy2 − ayt

= limt→0

ty2

t= lim

t→0y2

= y2

Genau das was wir erwartet hatten mit der ublichen Aussage, dass wir alle anderenParameter festhalten und nur nach x ableiten.Schauen wir direkt was die anderen partielle Ableitung liefert.

∂yf = limt→0

x(y + t)2 + a(y + t)− xy2 − ayt

= limt→0

xy2 + 2xyt+ xt2 + ay + at− xy2 − ayt

= limt→0

2xyt+ xt2 + at

t= lim

t→02xy + xt+ a

= 2xy + a

Wieder genau das was wir erwarten.

4

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2 Vektoren

Definition:Ein Vektorraum ist eine Menge V zusammen mit zwei Verknupfungen

+ : V × V −→ V

· : R × V −→ V

Die Elemente von V heißen Vektoren.Diese Definition ist sehr allgemein und abstrakt gehalten. Bevor wir das Ganze mit Le-ben fullen, betrachten wir eine sehr wichtige Teilmenge B ⊂ V von V.

Definition:Es sei B eine Teilmenge eines Vektorraums V

(i) B heißt Erzeugendensystem von V , wenn sich jeder Vektor v ∈ V als Linear-kombination

v =∑i

λibi mit λi ∈ R und bi ∈ B

schreiben lasst.

(ii) B heißt linear unabhangig, wenn gilt : sind n ∈ N, λ1, . . . , λn ∈ R und b1, . . . , bnverschiedene Vektoren in B mit

λ1b1 + . . .+ λnbn = 0 ,

so folgt bereits λ1 = . . . = λn = 0.

(iii) B heißt Basis von V , wenn B ein Erzeugendensystem von V und linear unabhangigist.

Bemerkung:Bisher haben wir die Basis als eine Teilmenge B ⊂ V definiert, deren Elemente spe-zielle Eigenschaften besitzen. Wir haben noch nicht uber die Eigenschaft orthonormalgesprochen, d.h. die Elemente der Basis sollen paarweise senkrecht sein und die Lange 1besitzen.Daruber konnen wir auch noch nicht reden, da wir fur Eigenschaften wie ’Winkel zu-einander’ oder ’Lange’ noch kein mathematisches Rustzeug besitzen, sprich wir habennoch keine Struktur auf V definiert.

2.1 Spaltendarstellung

Die bisherige Beschreibung eines Vektorraums, seiner Vektoren und einer Basis ist nochsehr abstrakt gehalten. Wir sind aus der Schule gewohnt mit n Tupeln (λ1, . . . , λn) zuarbeiten, den Elementen des Rn. Wir mussen also eine Verbindung zwischen V und Rn

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herstellen. Dies liefert nach der Wahl einer Basis B die sogenannte Koordinatenabbil-dung ΦB:

φB : Rn −→ V

(λ1, . . . , λn) 7−→ λ1b1 + · · ·+ λnbn =n∑i=1

λibi = v ∈ V

Die sogenannte Spaltendarstellung ist nun eine andere Notation bei der die Konven-tion getroffen wurde, dass der i–te Eintrag in der Spalte gerade dem Koeffizienten desi–ten Basisvektors bi entspricht.In der Schule geht leider oft unter, dass die zuvor gewahlte Basis sehr wichtig ist und inder Regel stets anzugeben ist.

λ1b1 + · · ·+ λnbn −→

λ1...λn

B

Ein Puritaner wurde die Spaltendarstellung nie als den Vektor v selbst bezeichnen, son-dern lediglich als die Spaltendarstellung von v bezuglich der Basis B.

2.2 Basiswechsel & Transformationsverhalten

Im vorangegangenen Abschnitt haben wir zwischen einem Vektor v, als Element einerMenge V , und der zugehorigen Spaltendarstellung bezuglich einer Basis B unterschieden.Wenn wir wie gewohnt mit Vektoren rechnen mochten oder eben mit deren Spaltendar-stellung, so mussen wir zunachst eine Basis wahlen. Dies bedeutet aber wiederum, dassdie Komponenten von der gewahlten Basis abhangen.

Es drangt sich ganz naturlich die Frage auf: Wie verandern sich die Eintrage meinerSpaltendarstellung, wenn ich die Basis andere?

Wahlen wir zwei Basen B = {b1, . . . , bn} und G = {g1, . . . , gn}. Ein Vektor v ∈ Vkann in beiden Basen entwickelt werden.

v =

n∑i=1

λi bi λi ∈ R

=n∑i=1

µi gi µi ∈ R

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Wollen wir in gewohnter Weise in die Spaltendarstellung ubergehen, so haben wir diewomoglich seltsam anmutende Gleichung:

λ1λ2...λn

B

=

µ1µ2...µn

G

Die beiden Indices B und G sind sehr entscheidend, sodass wir wissen bezuglich welcherBasis diese Darstellung gilt!

Und so drangt sich die nachste Frage auf: Wie finde ich die neuen Eintrage bezuglichder anderen Basis?

Rufen wir uns Gedachtnis zuruck, dass die bi und gi Elemente von V sind. Damit konnensie in einer Basis entwickelt werden. Tun wir dies und entwickeln z.B. g1 in B:

g1 = t11b1 + t12b2 + · · ·+ t1nbn

Dies fuhrt insgesamt zu dem Gleichungssystem:

g1 = t11b1 + t12b2 + . . .+ t1nbn

g2 = t21b1 + t22b2 + . . .+ t2nbn...

gn = tn1b1 + tn2b2 + . . .+ tnnbn

⇒ gi =∑j

tijbj

Setzen wir diese Erkenntnis in die Entwicklung eines beliebigen Vektors nach G ein:

v =∑i

µi gi

=∑i

µi∑j

tij bj

=∑j

(∑i

tij µi

)bj

!=

∑j

λj bj

Da die Entwicklungen in beiden Basen aquivalent sind, liefert ein Koeffizientenvergleich:

λj =∑j

tij µi

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Wahlen wir wieder die Spaltendarstellung, so ergibt sich die Notation:λ1......λn

B

=

t11 t21 · · · tn1

t12 t22. . .

......

. . .. . .

...t1n · · · · · · tnn

︸ ︷︷ ︸

T

µ1......µn

G

Wir sehen, dass in der i–ten Spalte der Matrix T die Koeffizienten stehen, um gi in derBasis B zu entwickeln.Fassen wir unser Ergebnis zusammen:

Seien B = {b1, . . . , bn} und G = {g1, . . . , gn} Basen von V. Die Spaltendarstellungeines Vektors transformiert sich dann gemaß:

λ1λ2...λn

B

= T

µ1µ2...µn

G

,

wobei in der i–ten Spalte der Transformationsmatrix T die Spaltendarstellung von gibezuglich der Basis B steht.

2.2.1 Beispiel

Eine Aufgabe kann z.B. wie folgt lauten:Transformieren Sie den Vektor ~v = (1, 2)T in die neue Basis G mit den Basisvektoren

~g1 =

(11

)und ~g2 =

(1−1

)Schauen wir uns die Aufgabe genauer an:Zunachst einmal konnen wir die Vektorpfeile ignorieren. Diese machen einen Buchstabennicht zu einem Vektor, sondern allein die Zugehorigkeit zu einem Vektorraum.Die Notation ~v = (1, 2)T impliziert weiterhin, dass bisher eine Basis B gewahlt wurde.In der Regel ist dies gerade die Standardbasis:

b1 =

(10

)B

und b2 =

(01

)B

Und das hochgestellte T steht fur transponiert. Der Zeilenvektor soll also an einer ima-ginaren gedachten Linie gespiegelt werden, um zur Spaltendarstellung zu fuhren:

v =

(12

)B

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Die Notation wird also verwendet, um einen sogenannten Spaltenvektor in einer Zeile– also im fortlaufenden Text – aufschreiben zu konnen. Eigentlich unnotig, da auch dieSpaltendarstellung nur eine Frage der Notation ist. Hauptsache wir wissen was gemeintist!Schauen wir uns die neuen Basisvektoren genauer an. Die Spaltendarstellung impliziertdie Entwicklung der gi in der bisher verwendeten Standardbasis:

g1 =

(11

)B

= 1 · b1 + 1 · b2

Mochten wir die Transformationsmatrix T bestimmen, so schreiben wir also die neuenBasisvektoren in ihrer Spaltendarstellung in die Matrix T :

T =(g1 | g2

)=

(1 11 −1

)Damit gilt: (

12

)B

=

(1 11 −1

)(µ1µ2

)G

Um auf die Spaltendarstellung bezuglich der Basis G zu kommen, mussen wir T zunachstinvertieren:

T =

(1 11 −1

)⇒ T−1 =

1

2

(1 11 −1

)Und schließlich konnen wir die neue Spaltendarstellung berechnen:(

µ1µ2

)G

=1

2

(1 11 −1

)(12

)B

=1

2

(3−1

)G

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3 Lineare Abbildungen

Definition:Es seien V und W zwei Vektorraume. Eine Abbildung f : V −→ W heißt lineareAbbildung, wenn gilt:

(i) Fur alle u, v ∈ V ist f(u+ v) = f(u) + f(v)

(ii) Fur alle λ ∈ R und v ∈ V istf(λv) = λf(v)

Oft bildet eine lineare Abbildung f nicht von einem Vektorraum V in einen anderenVektorraum W ab, sondern in V selbst.

Definition:Eine lineare Abbildung f : V −→ V von V in sich selbst heißt Endomorphismus von V.

3.1 Darstellungsmatrix

Gegeben sei ein Endomorphismus

f : V −→ V

v 7−→ f(v) = u ∈ R

Diese Notation v 7−→ f(v) = u ∈ R, also dass ein v mittels f auf ein u abgebildet wirdist wieder einmal sehr abstrakt. Wir wollen wieder zu unserer gewohnten Notation derSpaltendarstellung von Vektoren ubergehen und mussen demnach uberlegen, wie wir indiesem Zusammenhang einen Endomorphismus aufschreiben.Fur die Spaltendarstellung benotigen wir zunachst wieder eine Basis, wahlen wir B ={b1, . . . , bn} und entwickeln darin einen beliebigen Vektor v ∈ V :

v = λ1 b1 + · · ·+ λn bn

Setzen wir diese Entwicklung in die Abbilung f ein und nutzen die oben definierteEigenschaft der Linearitat:

f(v) = f(λ1 b1 + . . .+ λn bn) = λ1f(b1) + . . .+ λnf(bn)

Wir sehen, dass unser Studium der Darstellung eines Endomorphismus sich darauf re-duziert zu verstehen, wie f auf die Basis wirkt!Erinnern wir uns daran, dass f von V nach V abbildet. Das bedeutet, dass f(bi) wiederin V liegt, ein Vektor ist – und sich somit ebenfalls nach der Basis B entwickeln lasst.

f(b1) = t11 b1 + t12 b2 + . . .+ t1n bn

f(b2) = t21 b1 + t22 b2 + . . .+ t2n bn...

f(bn) = tn1 b1 + tn2 b2 + . . .+ tnn bn

⇒ f(bi) =∑j

tij bj

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Damit lasst sich nun schreiben:

f(v) = λ1

(∑j

t1j bj

)+ λ2

(∑j

t2j bj

)+ . . .+ λn

(∑j

tnj bj

)Dies mussen wir nun nach den Basisvektoren b1, b2, . . . , bn sortieren, um die Koeffizi-enten vor den bi als Eintrag in die Spaltendarstellung schreiben zu konnen:

f(v) = λ1

(t11 b1 + t12 b2 + . . .+ t1n bn

)+λ2

(t21 b1 + t22 b2 + . . .+ t2n bn

)...

+λn

(tn1 b1 + tn2 b2 + . . .+ tnn bn

)Umsortieren

f(v) =(∑

j

tj1 λj

)b1 +

(∑j

tj2 λj

)b2 + . . .+

(∑j

tjn λj

)bn

Dies liefert in der Spaltendarstellung

f(v) =

∑jtj1 λj∑

jtj2 λj

...∑jtjn λj

=

t11 λ1 + t21 λ2 + . . .+ tn1 λnt12 λ1 + t22 λ2 + . . .+ tn2 λn

...t1n λ1 + t2n λ2 + . . .+ tnn λn

=

t11 t21 · · · tn1

t12 t22. . .

......

. . .. . .

...t1n t2n · · · tnn

︸ ︷︷ ︸

MBf

λ1λ2...λn

Wir finden die Darstellungsmatrix MBf von f bezuglich der Basis B, indem wir die

Wirkung von f auf bi (entwickelt in der Basis B) als i–te Spalte in die Darstellungsmatrixschreiben.

Beispiel:

f(b1) = 4 · b1 + 5 · b2f(b2) = −1 · b1 − 2 · b2b

}⇒ MB

f =

(4 −15 −2

)

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Wir konnen jetzt also anstatt

f : V −→ V

v 7−→ f(v)

schreiben

MBf : Rn −→ Rn

v 7−→ MBf v .

Damit konnen wir rechnen.

3.2 Basiswechsel

Die Darstellungsmatrix eines Endomorphismus ist durch die Wirkung auf die Basisvek-toren eindeutig festgelegt. Was passiert bei einem Wechsel der Basis? Genauer: Wennwir MB

f gegeben haben und wahlen eine neue Basis G, wie konnen wir MGf bestimmen?

Schnelle–Anwender–Variante: Wir schreiben die neuen Basisvektoren als Spalten in eineMatrix T und berechnen:

MGf = T−1 MB

f T

Beispiel:Gegeben sie die Darstellungsmatrix SBf aus dem vorangegangenen Beispiel und dieneue Basis G = {g1, g2} mit

g1 =

(11

)und g2 =

(1−1

)

T =

(1 11 −1

)und T−1 =

1

2

(1 11 −1

)⇒ T−1 MB

f T =1

2

(1 11 −1

)(4 −15 −2

)(1 11 −1

)=

(3 60 −1

)= MG

f

Und jetzt? Bringt das einen Vor– oder gar Nachteil? Warum sollte man in eine andereBasis wechseln? Gibt es sowas wie gute oder schlechte Basen und falls ja, nach welchenKriterien?Das folgende Lemma gibt uns eine Antwort darauf:

12

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Lemma:Ein Endomorphismus f : V −→ V eines endlich erzeugten Vektorraums ist genau danndiagonalisierbar, wenn es eine Basis G = {g1, . . . , gn} von V gibt, die aus Eigenvektorenvon f besteht. In diesem Fall ist dann

MGf =

λ1 0 0

0. . . 0

0 0 λn

wobei λi der Eigenwert zum entsprechenden Eigenvektor ist.

Beispiel:Wir betrachten wieder MB

f . Die Eigenvektoren sind

g1 =

(15

)und g2 =

(11

)Damit ergibt sich

T =

(1 15 −1

)und T−1 =

1

4

(−1 15 −1

)

⇒ T−1 MBf T =

1

4

(−1 15 −1

)(4 −15 −2

)(1 15 1

)=

(−1 00 3

)≡ Diagonalgestalt

Dies mag bei einer 2× 2 Matrix nicht besonders beeindruckend sein. Aber z.B. fur eine10 × 10 Matrix ist es schon einer deutlicher Unterschied, ob mit 100 oder doch nur 10Eintragen zu rechnen ist.

3.2.1 Beispiel: Gekoppelte Pendel

Betrachten wir die Differentialgleichung der gekoppelten Pendel:

mx1 = −Dx1 −D12(x1 − x2) = −(D +D12)x1 +D12x2

mx2 = −Dx2 −D12(x2 − x1) = D12x1 − (D +D12)x2

Was das Losen dieser beiden Differentialgleichungen (jede Zeile eine) erschwert ist, wieder Name sagt, dass sie gekoppelt sind. In der ersten Zeile steht ein x2 und in der zweiten

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Zeile ein x1. Die Losungen fur x1 und x2 lassen sich also scheinbar nicht unabhangig von-einander bestimmen. Die Auslenkung einer Masse beeinflußt die Bewegung der anderenMasse.Wie konnen wir Abhilfe schaffen? Schreiben wir beide Gleichungen in Matrixnotationum:

md2

dt2

(x1x2

)=

(−D −D12 D12

D12 −D −D12

)︸ ︷︷ ︸

M

(x1x2

)

Oder kurz und kompaktd2

dt2~x = M ~x

Hier lasst sich mathematisch argumentieren, dass es die Nebendiagonalelemente sind,welche die Großen x1 und x2 mischen. Um die beiden Massen mathematisch zu ent-koppeln versuchen wir die Nebendiagonalelemente Null zu setzen. Mit anderen Worten,wir wollen nur auf der Hauptdiagonalen Eintrage haben, sprich wir wollen die Matrixdiagonalisieren!Los geht’s:Suchen wir die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix, d.h.

χ(λ) = det

(−D −D12 − λ D12

D12 −D −D12 − λ

)Also gilt:

χ(λ) = (−(D +D12)− λ)2 −D212

= (D +D12)2 + 2λ(D +D12) + λ2 −D2

12

= D2 + 2DD12 +D212 + 2λ(D +D12) + λ2 −D2

12

=...

= λ2 + 2(D +D12)λ+D2 + 2DD12

Dies ist lediglich eine quadratische Gleichung in λ:

λ1/2 =−2(D +D12)±

√4(D +D12)2 − 8DD12 − 4D2

2

=−2(D +D12)±

√4D2 + 8DD12 + 4D2

12 − 8DD12 − 4D2

2

=...

= −D −D12 ±D12

Damit sind die Eigenwerte gerade:

λ1 = −D und λ2 = −D − 2D12

Nun gilt es die zugehorigen Eigenvektoren zu finden:

14

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• λ1 = −DDie Eigenwertgleichung fuhrt zu dem Gleichungssystem:(

−D −D12 D12

D12 −D −D12

)(x1x2

)= −D

(x1x2

)Die Rechnung fuhrt zwei Mal zu der Gleichung x1 − x2 = 0, d.h. der zugehorigeEigenvektor ist gerade:

Eλ1 =

(11

)• λ2 = −D − 2D12

Analog muss das folgende Gleichungssystem berechnet werden:(−D −D12 D12

D12 −D −D12

)(x1x2

)= −(D + 2D12)

(x1x2

)Die Rechnung fuhrt zu der Gleichung x1 +x2 = 0, d.h. der zugehorige Eigenvektorist gerade:

Eλ2 =

(1−1

)Wir finden also die Transformationsmatrix S:

S =

(1 11 −1

)Es gilt die fur die Basistransformation x = S y mit y die Spaltendarstellung in derneuen Basis. Setzen wir dies in unser Gleichungssystem fur die gekoppelten Pendel ein,so ergibt sich:

mx = Mx

⇒ mSy = MSy

⇔ my = S−1MSy

⇒ md2

dt2

(y1y2

)=

(−D 0

0 −D −D12

)(y1y2

)Wir haben also neue Koordinaten gefunden, deren Bewegungsgleichungen entkoppeltsind:

my1 = −Dy1my2 = −(D +D12)y2

Wollen wir diese Koordinaten genauer studieren, so konnen wir uns anschauen, wie siemit x1(t) und x2(t) zusammenhangen, indem wir zurucktransformieren: y = S−1x:(

y1y2

)=

1

2

(1 11 −1

)︸ ︷︷ ︸

S−1

(x1x2

)

15

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Dies fuhrt zu den beiden Gleichungen:

y1 =1

2(x1 + x2) =: ξ+(t)

y2 =1

2(x1 − x2) =: ξ−(t)

Dabei sind ξ+ und ξ− gerade die in Experimentalphysik 1 (Demtroder) beschriebenenNormalkoordinaten. Sie lassen sich anschaulich dadurch interpretieren, dass beide Mas-sen vollkommen in Phase oder komplett gegenphasig schwingen.

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4 Bilinearformen

Definition:Es sei V ein Vektorraum uber den reellen Zahlen R. Wir betrachten die Abbildungb : V × V −→ R, (x, y) 7−→ b(x, y) := 〈x| y〉Die Abbildung heißt Bilinearform, wenn fur alle λ ∈ R und x, x1, x2, y, y1, y2 ∈ V gilt:

〈x| y1 + y2〉 = 〈x| y1〉+ 〈x| y2〉 〈x| λy〉 = λ 〈x| y〉〈x1 + x2| y〉 = 〈x1| y〉+ 〈x2| y〉 〈λx| y〉 = λ 〈x| y〉

Also linear in beiden Argumenten.Die Abbildung heißt symmetrisch, wenn gilt: 〈x| y〉 = 〈y| x〉Die Abbildung heißt positiv definit, falls 〈x| x〉 > 0 fur alle x ∈ V \{0}

4.1 Darstellungsmatrix: Gramsche Matrix

Definition:Es sei V ein Vektorraum mit einer Bilinearform b und der Basis B = {e1, . . . , en}. Danndefinieren wir die Gramsche Matrix ABb von b bezuglich B:

ABb :=(〈ei| ej〉

)ij

4.2 Basiswechsel

Auch diesmal ist die Darstellungsmatrix der Bilinearform, sprich die Gramsche Matrix,wieder von der gewahlten Basis abhangig. So kann man wieder fragen, wie die Matrix ineiner anderen Basis aussieht und wie man diese findet. Technisch funktioniert es genausowie der Basiswechsel bei Endomorphismen mit einem kleinen aber wichtigen Unterschied:

AGf = T TABb T

Konnen wir jetzt auch wieder ABb auf Diagonalgestalt bringen, indem wir einfach dasLemma anwenden? NEIN! Denn das Lemma ist fur Endormorphismen defniert und nichtfur Bilinearformen!Doch wir konnen uns eines anderen wichtigen Satzes bedienen, fur den wir zunachstnoch ein wenig Vorarbeit benotigen:Die Gramsche Matrizen von positiv definiten, symmetrischen Bilinearformen sind geradepositiv definite und symmetrische Matrizen!

Definition:

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(i) Man nennt eine quadratische Matrix A symmetrisch, wenn gilt: AT = A.

(ii) ist A symmetrisch, so nennen wir sie positiv definit, wenn fur alle x ∈ Rn\{0}gilt: xTAx > 0.

(iii) Wir nennen eine quadratische Matrix mit der Eigenschaft ATA = AAT normal(d.h. A und ihre Transponierte kommutieren).

Bemerkung: Setzen wir in die Eigenschaft normal gerade eine symmetrische Matrix ein,so folgt: A2 = A2 . Arbeiten wir mit reellen Zahlen, so ist eine symmetrische Matrixnormal!

Die Gramsche Matrix einer positiv definiten, symmetrischen Bilinearform ist also nor-mal. Wir konnen damit den folgenden Satz anwenden:Satz: Spektralsatz in MatrixformFur eine quadratische Matrix A sind aquivalent:

(i) A ist normal und das charakteristische Polynom χA zerfallt in Linearfaktoren.

(ii) Es gibt eine orthogonale Matrix T , so dass

T−1AT = T TAT =

λ1 0 0

0. . . 0

0 0 λn

eine Diagonalmatrix ist.

Definition: Wir nennen eine Matrix orthogonal, wenn gilt: ATA = E ⇔ AT = A−1.

Bemerkung:Wir haben die gluckliche Fugung, dass wir Gramsche Matrizen sehr ahnlich zu Endo-morphismen diagonalisieren konnen:

• Zunachst berechnen wir wieder die Eigenvektoren, diesmal sind sie zu normieren(T soll orthogonal sein) und schreiben sie als Spalten in die Matrix T .

• Weil gilt T−1AT = T TAT gilt, mussen wir diesmal keine inverse Matrix berechnen,sondern transponieren genugt!

• SGb = T TSBb T bilden.

Beispiel: Es sei gegeben:

SBb =

(2 12 2

)Die neue Basis aus Eigenvektoren ist:

g1 =1√2

(11

)und g2 =

1√2

(1−1

)

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Damit ergibt sich

T =1√2

(1 11 −1

)= T T

Und schließlich

T−1SBb T = T TSBb T =

(3 00 1

)= SGb

4.2.1 Beispiel: Tragheitstensor

Als Anwendung des Spektralsatzes fur Bilinearformen ergibt sich in der Physik dasStudium des sogenannten Tragheitstensors:Lemma:Die kinetische Energie E eines Korpers bezuglich der Winkelgeschwindigkeit ~ω ist eineBilinearform:

E : V × V −→ R

(~ω, ~ω) 7−→ E(~ω, ~ω) =1

2m∑i,j

ωiIijωj =1

2m~ωT I~ω

Die Gramsche Matrix dieser Bilinearform ist also gerade das, was wir als Tragheitstensorbezeichnen. Und die Hauptachsentransformation ist nichts anderes als ein Basiswehsel,um die darstellende Matrix zu diagonalisieren.

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5 Differentialgleichungen

5.1 Lineare Differentialgleichungen

Die einfachste aller Differentialgleichungen ist:

y′ = g(x)

Diese Differentialgleichungen wird schlicht und einfach durch Integration gelost mittels:

y′ =dy

dx= g(x)

⇒ dy = g(x) dx

⇒∫dy =

∫g(x) dx

⇒ y(x) = G(x) + C

Dabei ist G(x) die Stammfunktion zu g(x) und C ∈ R.

5.1.1 Lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung

Betrachten wir die lineare Differentialgleichung 1. Ordnung:

y′ = f(x) · y + g(x)

Fur g(x) ≡ 0 heißt diese Differentialgleichung homogen, sonst heißt sie inhomogen.Wie finden wir eine Losung? Zunachst betrachten wir die

(i) homogene Gleichung: y′ = f(x) yWir losen diese Differentialgleichung durch Trennung der Veranderlichen: Wie-der einmal verwenden wir die Notation:

y′ =dy

dx= f(x) y

Damit berechnen wir

1

ydy = f(x) dx

⇒∫

1

ydy =

∫f(x) dx

⇒ ln |y| = F (x) + C , C ∈ R⇒ |y| = B · eF (x) , B = eC

⇒ y(x) = A · eF (x) , A ∈ R

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(ii) inhomogene Gleichung y′ = f(x) y + g(x)Sei yp(x) eine spezielle (partikulare) Losung und yh(x) die allgemeine Losung derzugehorigen homogenen Differentialgleichung. Dann gilt:

ya(x) := yh(x) + yp(x)

ist eine allgemeine Losung der inhomogenen Differentialgleichung. Eine Losung furdie homogene Differentialgleichung haben wir in (i) schon gefunden, wie finden wiralso die zugehorige partikulare Losung? Durch Variation der Konstanten.Betrachte wieder yh(x) = A · eF (x), wobei A nun veranderlich sein darf: A→ u(x).Dies liefert fur die partikulare Losung den Ansatz: yp(x) = u(x) · eF (x). Setzen wires in die inhomogene Differentialgleichung ein und schauen was passiert:

y′p = f(x) yp + g(x)

⇒(u(x)eF (x)

)′= f(x)

(u(x)eF (x)

)+ g(x)

⇒ u′(x)eF (x) + u(x)F ′(x)︸ ︷︷ ︸f(x)

eF (x) = f(x)u(x)eF (x) + g(x)

⇒ u′(x)eF (x) = g(x)

⇔ u′(x) =g(x)

eF (x)

⇒ u(x) =

∫g(x)

eF (x)dx

Je nach Art der Inhomogenitat g(x) kann u(x), respektive das Integral, nach wievor sehr schwer zu berechnen sein.

Tun wir aber so, als hatten wir u(x) berechnet, damit konnen wir also yp(x) = u(x)eF (x)

berechnen und schließlich ya = yh + yp.Damit ist die inhomogene Differentialgleichung gelost.

Betrachten wir eine weitere oft vorkommende Differentialgleichung:

y′ = g(x) f(y)

Diese Differentialgleichung wird wiederum durch Trennung der Veranderlichen gelost:

y′ = g(x) f(y)

⇒ dy

dx= g(x) f(y)

⇒∫

1

f(y)dy =

∫g(x) dx

Anschließend nach y auflosen, falls moglich!

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6 Klassische Vektoranalysis

In diesem Kapitel werden die Begriffe der Linien– oder Kurvenintegrale geklart, als auchBeispiel fur Flachen–, Oberflachen– und Volumenintegrale gezeigt.

6.1 Kurven

Oft findet sich in der Physik die Aufgabe eine Lange eines Bogenelements zu berechnenoder gleich ein Linienintegral entlang eines Skalar– oder Vektorfeldes zu berechnen, wiez.B: Berechnen Sie das Wegintegral I des Vektorfeldes ~A entlang eines Kreises in derx–y–Ebene. Anschließend finden sich Formeln wie

I =

∫C

~A d~s

Machen wir uns zunachst mit dem Begriff der Kurve vertraut.Unter einer Kurve verstehen wir eine stetige Abbildung

γ : [a, b] −→ Rn ,

wobei zunachst n ∈ {2, 3} gelten soll und [a, b] ein nichtleeres reelles Intervall sei. Wirnennen γ auch Parameterdarstellung oder Parametrisierung einer Kurve. Wir nenneneine Kurve geschlossen, falls ihr Anfangspunkt mit ihrem Endpunkt ubereinstimmt undeine Kurve wird als Jordankurve bezeichnet, wenn sie sich nicht schneidet.

6.1.1 Kurvenlange

Die Kurvenlange L in dem Intervall [a, b] berechnet sich wie folgt:

L[γ(t)

]=

b∫a

√x′(t)2 + y′(t)2 + z′(t)2 dt =

b∫a

√√√√(dxdt

)2

+

(dy

dt

)2

+

(dz

dt

)2

dt

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Beispiel:Gesucht sei die Bogenlange eines Kreises mit Radius R. Aus der Schule wissen wir,dass sich der Umfang mittels U = 2πR berechnet.Fur die Kurve interpretieren wir den Parameter t als Winkel ϕ, das Intervall [0, 2π]und wahlen ebene Polarkoordinaten (x(ϕ) = R cosϕ und y(ϕ) = R sinϕ), d.h.

γ : [0, 2π] −→ R2

ϕ 7−→ γ(ϕ) =

(R cosϕR sinϕ

)Setzen wir das ganze in L ein:

L[γ(ϕ)

]=

2π∫0

√√√√( d

dϕR cosϕ

)2

+

(d

dϕR sinϕ

)2

=

2π∫0

√R2 sin2 ϕ+R2 cos2 ϕ dϕ =

2π∫0

√R2(

sin2 ϕ+ cos2 ϕ)︸ ︷︷ ︸

=1

=

2π∫0

R dϕ = 2πR

6.1.2 Linienintegral entlang eines Vektorfeldes

Mit der eingefuhrten Kurve γ konnen wir die Notation besser verstehen, indem wirschreiben: ∫

C

~A d~s :=

∫C

~A(γ(t)

)· γ′(t) dt

Klaren wir kurz was mit γ′(t) gemeint ist, gerade:

γ′(t) =

ddtx(t)ddty(t)ddtz(t)

Und machen direkt wieder ein

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Beispiel:Sei das Vektorfeld ~A gegeben durch ~A(~r) = (xy, yz, zx) und eine Kurve γ(t) = (t, t2, t3)auf dem Intervall t ∈ [−1, 1].Die Kurve liefert also die folgende Parametrisierung

x(t) = t

y(t) = t2

z(t) = t3

Die Notation ~A(γ(t)) bedeutet gerade, dass wir die Parametrisierung fur x, y und zeinsetzen:

~A(γ(t)) =

t · t2t2 · t3t3 · t

Daraus ergibt sich insgesamt

1∫−1

~A(γ(t)

)· γ′(t) dt =

1∫−1

t3

t5

t4

· 1

2t3t2

dt

=

1∫−1

(t3 + 2t6 + 3t6

)dt

=10

7

24

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Beispiel 2:Gegeben sei das Vektorfeld ~A(x, y) = (−y, x) in der x–y–Ebene. Die Graphik zeigtRotationssymmetrie, es bietet sich also an das Vektorfeld in ebenen Polarkoodinatenzu betrachten:

~A(x, y) =

(−yx

)=

(−r sinϕr cosϕ

)= r

(− sinϕcosϕ

)︸ ︷︷ ︸

⇒ ~A(x, y) −→ ~A(r, ϕ) = r eϕ

Mochte man nun wie so oft das Linienintegral entlang eines Kreises mit dem RadiusR um den Ursprung berechnen, so lasst sich die Kurve γ(ϕ) ganz analog in ebenePolarkoordinaten transformieren. Als Parametrisierung wahlen wir wieder den Winkelϕ, der aus dem Intervall [0, 2π] abbildet, da wir einmal–herum–laufen.

γ : [0, 2π] −→ R2

ϕ 7−→ γ(ϕ) =

(R cosϕR sinϕ

)

Das ganze ableiten, schließlich benotigen wir γ′:

γ′(ϕ) =

(ddϕR cosϕddϕR sinϕ

)

= R

(− sinϕcosϕ

)︸ ︷︷ ︸

= R eϕ

Nun wird die Eleganz der Transformation ersichtlich, da wir schreiben konnen:

2π∫0

dϕ ~A(γ(ϕ)) · γ′(ϕ) =

2π∫0

dϕ R · eϕ ·R · eϕ∣∣∣ eϕ · eϕ = 1

=

2π∫0

dϕ R2

= 2π R2

Wir mussen also nicht wirklich integrieren, sondern konnen direkt die Losung hinschrei-ben.

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6.2 Der Satz von Gauß

Der Satz von Gauß sieht mathematisch wie folgt aus∫V

∇ · ~A dV =

∫∂V

~A d~F

Er beschreibt den Zusammenhang zwischen der Quellstarke eines Vektorfeldes in einem(mathematischen) Volumen und dem Fluß durch die Oberflache. Hier ist mit ∂V derRand des Kugelvolumens gemeint, was gerade die Oberflache ist. Anstatt ∂V wird zu-weilen auch einfach F geschrieben.Ein gangiges Beispiel ist es von einer gegebenen Ladungs (–dichte) – Verteilung ρ das zu-gehorige elektrische Feld ~E zu berechnen. Den fundamentalen Zusammenhang zwischenFeld und Ladungsdichte beschreibt die erste Maxwell–Gleichung:

∇ · ~E =ρ

ε0

Um den Satz von Gauß verwenden zu konnen, schließen wir die Ladungsverteilung inein gedachtes Kugelvolumen V mit dem Radius R ein:∫

V

∇ · ~E dV =

∫V

ρ

ε0dV

Auf der rechten Seite ergibt sich gerade die Gesamtladung:∫V

∇ · ~E dV =

∫V

ρ

ε0dV =

1

ε0

∫V

ρ dV

︸ ︷︷ ︸Q

=Q

ε0

Nun wenden wir auf der linken Seite den Satz von Gauß an∫V

∇ · ~E dV =

∫∂V

~E d~F ,

und erhalten das erste Zwischenergebnis∫∂V

~E d~F =Q

ε0.

Wir haben davon gesprochen ein Volumen in Form einer Kugel um die Ladungsverteilungzu legen, d.h. es bieten sich Kugelkoordinaten an. Das elektrische Feld ~E lasst sich saloppin dieser Basis wie folgt entwickel:

~E = Erer + Eϕeϕ + Eϑeϑ

Als nachstes gilt es das Flachenelement d~F zu interpretieren. Salopp formuliert ist es einVektor mit einer Richtung und einem Betrag, d.h.

d~F = n dF

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x y

z

∂~r

∂ϕ

∂~r

∂ϑ

n =∂~r

∂ϑ× ∂~r

∂ϕ

n ist der normierte Vektor, der senkrecht aufdie Kugeloberflache steht und dF das infini-tesimale Flachenelement. Wie finden wir diesebeiden mathematischen Konstrukte?Untersuchen wir die Kugeloberflache O genau-er:

O = {~r ∈ R3 | x2 + y2 + z2 = R2}

Da der Radius R konstant ist, konnen wir mitHilfe der Kugelkoordinaten diese Menge O wiefolgt parametrisieren

~r ≡ ~r(ϕ, ϑ) =

R cosϕ sinϑR sinϕ sinϑR cosϑ

Umd auf der Kugeloberflache weiter zu arbeiten, errichten wir dort zunachst eine Basis,d.h. wir leiten ~r nach ϕ und ϑ ab.

∂~r

∂ϕ=

−R sinϕ sinϑR cosϕ sinϑ

0

und∂~r

∂ϑ=

R cosϕ cosϑR sinϕ cosϑ−R sinϑ

Durch das Kreuzprodukt beschaffen wir uns nun einen Vektor, der senkrecht auf ∂ϕ~rund ∂ϑ~r steht, also gerade senkrecht zur Oberflache.

∂~r

∂ϕ× ∂~r

∂ϑ=

−R sinϕ sinϑR cosϕ sinϑ

0

× R cosϕ cosϑ

R sinϕ cosϑ−R sinϑ

=

−R2 cosϕ sin2 ϑ−R2 sinϕ sin2 ϑ

−R2 sin2 ϕ sinϑ cosϑ−R2 cos2 ϕ sinϑ cosϑ

= −

R2 cosϕ sin2 ϑR2 sinϕ sin2 ϑR2 sinϑ cosϑ

Das Minus als Vorzeichen ist lediglich eine Konsequenz des Kreuzproduktes. Wir hattenauch in anderer Reihenfolge das Kreuzprodukt bilden konnen, dann hatten wir ein posi-tives Vorzeichen. Nachdem der Vektor senkrecht zur Oberflache nach außen zeigen soll,rechnen wir auch gleich mit dem positiven Vorzeichen weiter.Wollen wir nun den Betrag dF des infinitesimalen Flachenelements wisse, so mussen wir

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lediglich den Betrag des Kreuzproduktes bilden

dF = ||∂ϕ~r × ∂ϑ~r|| =

√R4 cos2 ϕ sin4 ϑ+R4 sin2 ϕ sin4 ϑ+R4 sin2 ϑ cos2 ϑ

=√R4 sin4 ϑ+R4 sin2 ϑ cos2 ϑ

=√R4 sin2 ϑ

(sin2 ϑ+ cos2 ϑ

)= R2 sinϑ

Als nachstes benotigen wir den Normalenvektor n der Oberflache. Diesen haben wir indem Kreuzprodukt fast schon gefunden, wir mussen lediglich noch normieren. Doch auchden Betrag haben schon berechnet, also konnen wir schnell schreiben:

n =1

R2 sinϑ

R2 cosϕ sin2 ϑR2 sinϕ sin2 ϑR2 sinϑ cosϑ

=

cosϕ sinϑsinϕ sinϑ

cosϑ

= er

Damit haben wir alles was wir benotigen und konnen das Oberflachenintegral auswerten:∫∂V

~E d~F =

2π∫0

π∫0

dϑ(Erer + Eϕeϕ + Eϑeϑ

)· erR2 sinϑ

Nun konnen wir ausmultiplizieren und nutzen, dass gilt ei · ej = δij .

⇒∫∂V

~E d~F =

2π∫0

π∫0

dϑErR2 sinϑ

= ErR2

2π∫0

π∫0

dϑ sinϑ

= 4πErR2

Damit lautet unser Ergebnis insgesamt

4πErR2 =

Q

ε0,

und fuhrt durch umstellen zu der wohlbekannten Gleichung

E(r) =1

4πε0

Q

r2.

6.3 Der Satz von Stokes

Fur ein gegebenes Vektorfeld ~A besagt der Satz von Stokes:∫F

∇× ~A d~F =

∫∂F

~A d~r

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Beispiel:Betrachten wir wieder das Vektorfeld ~A = (−y, x). Wie schon gezeigt besitzt es Rotati-onssymmetrie und wir konnen es umschreiben in ebene Polarkoordinaten: ~A(r, ϕ) = r eϕ.Betrachten wir zunachst die linke Seite, d.h. die Roation:

∇× ~A = ∇× r eϕ ≡ ∇×Aϕ eϕ

Wir besitzen also nur eine ϕ–Komponente des Vektorfeldes, weil nur der Basisvektor eϕeinen Koeffizienten besitzt. In Zylinderkoordinaten ist also die relevante Rotation nurjene, welche eine Operation fur Aϕ ausfuhren:

∇× ~A = er

(∂z Aϕ

)+ ez

1

r

(∂r(rAϕ

))= er

(∂z r

)︸ ︷︷ ︸

=0

+ez1

r

(∂r(r · r

))

= ez1

r2 r

= 2 ez

Nun mussen wir noch die Kreisscheibe d~F parametriesieren, was hoffentlich nach demSatz von Gauß im Detail kein Problem mehr darstellt:

d~F = ez r dr dϕ

Das bedeutet fur die linke Seite

∫F

∇× ~A d~F =

R∫0

dr

2π∫0

dϕ 2 ez ez r

= 2 · 2πR∫0

dr r

= 4π1

2R2

= 2π R2

Die rechte Seite ist wieder analog zu dem Linienintegral entlang eines Kreises um denUrsprung mit Radius R.Schnell zusammengefasst wahlen wir eine Kurve

γ : [0, 2π] −→ R3

ϕ 7−→

R cosϕR sinϕ

0

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Was schließlich dazu fuhrt, dass γ′(ϕ) gerade ist:

γ′(ϕ) =d

dϕγ(ϕ) =

−R sinϕR cosϕ

0

= R eϕ

Damit gilt fur die rechte Seite:

∫∂F

~A d~r =

2π∫0

dϕ ~A(γ(ϕ)) · γ′(ϕ)

=

2π∫0

dϕ R eϕ R eϕ

= R2

2π∫0

= 2π R2

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Literatur

Arnold, V. (1980). Mathematical Methods of Classical Mechanics. Graduate Texts inMathematics. Springer Verlag.

Demtroder, W. (2008). Experimentalphysik 1. Mechanik und Warme. 5. Auflage. SpringerVerlag.

Gathmann, A. Grundlagen der Mathematik. Skript. url: http://www.mathematik.uni-kl.de/~gathmann/gdm.php.

(Hrsg.), M. Wohlgemuth (2011). Mathematisch fur Anfager. Beitrage zum Studienbeginnvon Matroids Matheplanet. 2. Auflage. Spektrkum Akademischer Verlag.

Janich, K. (2001). Mathematik 1. Geschrieben fur Physiker. Springer Verlag.— (2002). Mathematik 2. Geschrieben fur Physiker. Springer Verlag.Lee, John M. (2003). Introduction to smooth manifolds. Graduate Texts in Mathematics.

Springer Verlag.Wieczorek, D. Transformationsverhalten (und etwas mehr) fur Physiker. Artikel auf dem

Matheplanet. url: http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=1420.

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