Vol. 18, 1967 2 4 7

Uber Anfangs- und Eigenwertprobleme aus der Neutronentransporttheorie

Von JOl~G T. MARTI, Eidg. Institut fiir Reaktorforschung, Wiirenlingen, Schweiz

1. E in le i tung

Die zeitliche Anderung der v o m Ort x und vom Einhei ts r ichtungsvektor es ab- h~ingigen Neutronendichte N(x, es, t) in einem ruhenden homogenen multiplizierenden K6rper V wird durch die lineare Bol tzmann- oder Transpor tg le iehung El, 13] 1) be- schrieben, die ftir eine Gruppe yon Neutronen rnit dem mit t leren Gesehwindigkeits- be t rag 1 und bei isotroper Emission yon Sekund~irneutronen fotgende F o r m hat"

oN 1 f x(x, es', t) do,' (1.1) at - e s . g r a d s N - a N + g T ~ 0 v

Dabei sind a u n d ~ positive Kons tanten , U ist die Kugelfl&che i x ] = 1 im Euklidi- schen R a u m R a und V sei eine beschr/ inkte (abgeschlossene) konvexe Teilmenge yon R a mi t dem Durchmesser d. Die Randbedingung laute t N(x, co, t) = 0 ffir t > 0 und x, es so, dass x -- e es 6 V fiir jedes s > 0.

Das physikal isch analoge eindimensionale Problem ftir u(s,/z, t) = exp (# t) N(s, #, t), 1

a,~ o4 1 - ~,~ au 1 [ u ( s , ot - f f ~ 7 - - P s off +

#', t) (1.2) d

-1

wurde ffir den Fal l einer unendlichen homogenen Pla t te tier Dieke 2a (p = 0, Rand- bedingung u(3a a, #, t) = 0, # ~ 0, t / > 0) von LEI~NER und WING [5, 61 untersucht . Der Opera tor A, tier auf der rechten Seite von (1.2) auf u wirkt , ha t dann, auf einem geeignet gew~thlten Hi lber t raum, ein Spekt rum, das aus einer endliehen, nicht leeren Punk tmenge {~n} von posi t iven Eigenwerten und aus tier abgesehlossenen linken Halbebene besteht . Ferner ha t (a.2) ffir p = 0 als Anfangswer tproblem eine und nur eine in t (stark) stetige und differenzierbare L6sung. Diese ha t die Darstel lung u = Z n exp (~,, t) ~0,, + ~, wobei ~v~ Eigenfunkt ionen von A b e i ~,~ sind und es gilt ft~r spezielle u( . , 0) }imoo~(s, #, t) = 0 ftir fast alle s and #. Ffir den Fall einer homo-

genen Kugel mi t Radius a (p = 1, Randbedingung u(a, #, t) = 0, # < 0, t ~> 0) ist nur bekannt , dass das Spek t rum von A eine diskrete, nur bei - oo sich h&ufende Menge yon reellen Eigenwerten enth&lt [121.

Ftir das hier untersuchte Problem (1.1) verwenden wir als Funk t ions raum den zum komplexen R a u m L~(V • U) isometrisch isomorphen Hi lbe r t r aum H der Funkt ionen f : (x, co) ~ + C auf R a • U, die ffir x 6 V verschwinden, mit dem Skalar-

p roduk t (f, g) =mf J ( x , co) g(x, es) dx des. Wir definieren dann einen Opera tor Ap auf

1) Die Ziffern ill ecMgen K l a m m e r n verweisen auf alas Li tera turverzeic tmis , Seite 259.

248 JgRC- T. MARTI ZAMP

einem in H dichten Unterraum D(Ap) durch

1 / f s Apf = - co "grad, f + ~ - (., ) de)'. U

Mit der Substitution u(x, e), t) = exp (~ t) N ( x , m, ~) erhalten wir dann aus (1.1) das Anfangswertproblem E7~

du dt -- Ap u, u ( . , t) ~ D(Ap) (t > /0) , u ( . , O) = u o . (1.3)

Ftir das Problem (1.3) existiert eine und nur eine L6sung T(t) Uo, die in t (stark) stetig und differenzierbar ist. Durch Anwendung der St6rungstheorie auf die Halbgruppe {T(t) ] t ~ [0, e~)} gewinnen wir eine Darstellung yon T(t) in Form einer Reihe, die in der Operatornorm absolut und in jedem endlichen Intervall yon [0, oo) gleichm~issig konvergiert. Mit HiKe dieser Darstellung folgt, dass T(t) fiir t > /3 d kompakt wird. Daraus und mit einer Beziehung yon Ap zu einem fiir komplexe 2 kompakten, ftir reelle 2 hermiteschen und fiir positive 2, positiven, auf einem Unterraum yon H definierten Operator

1 Yx dx' �9 = J 4 n i x - - x , ' [ ~ "

V

erhalten wir folgende Angaben fiber Ap: Das Spektrum von Ap besteht aus einer diskreten und zur reellen Achse symmetrischen Menge yon Eigenwerten, wobei die EigenWerte {~} in der offenen rechten HaIbebene nur im Intervall [0,1/Q l der reellen Achse liegen k6nnen. Dass das Spektrum aus einer diskreten Menge von Eigenwerten besteht, gilt auch ftir ein noch allgemeiner als (1.1) formuliertes Problem E4J.

Wie beim eindimensionalen Problem l~isst sieh die L6sung u auf die Form u = 2~ exp (An t) % + Z(t) u o bringen, mit den Eigenfunktionen % von Ap entsprechend den positiven Eigenwerten 4, und einem Operator Z(t), der sich ffir jedes e > 0 in der Operatornorm durch C(e) exp (e t) majorisieren l~sst. Die auftretenden Eigenwerte 2~ und ihre Eigenfunktionen lassen sich aus denjenigen des kompakten positiven Operators Q~., bereehnen, da der Kern yon ~ I -- Qz, sich eineindeutig auf den Kern von ~ I - Ap abbilden l~sst.

2. Der Z u s a m m e n h a n g des A n f a n ~ s w e r t p r o b l e m s m i t der Theorie der Halbgruppen

Wir brauchen vorerst noch einige Definitionen. Eine Abbildung u yon [0, e~) in H heisst (stark) stetig, wenn fiir jedes t a [0 , oo) gilt #mlI - 4(t)II = 0 : 4 heisst

stetig differenzierbar, wenn eine (stark) stetige Abbildung vvon E0, oo) in H existiert mit lim [] [u(t') - u(t)J/(t' - ~) - V(t)[I = 0 ftir jedes tE [0, oc). Wir setzen du(t)/dt = v(t)

und verwenden auch die Notation du/Ot = v, weil die Elemente von H Funktionen sind. E ( H ) sei die Menge aller beschr~tnkten linearen Operatoren auf H. Eine Abbildung S yon [0, oo) in E(H) heisst (stark) stetig, wenn S f in E0, oc) (stark) stetig ist ftir jedes f ~ H; stetig in der Operatornorm, wenn ftir jedes t~ [0, oc) gilt l irn t [[ S(t') - S(t)Ii = o.

Vol. 18, 1967 0ber Anfangs- und Eigenwertprobleme aus der Neutronentransporttheorie 249

Es sei nun A ein abgeschlossener linearer Operator auf H mit in H diehtem Defini- tionsbereich D ( A ) . Mit einem beliebigen u 0 ~ H sei u eine stetig differenzierbare (stark) stetige Abbildung yon [0, ec) in H, die folgenden drei Bedingungen gen/]gt:

du (1) u(t) E D ( A ) , t > O , (2) ~ = A u i n [0, cxD), (3)}imollu(t)--Uol[=O. (2.1)

u nennen wir dann L6sung eines abstrakten Cauchy-Problems, das wir entsprechend der Terminologie in [3, p. 619] mit A C P1 bezeichnen. Existiert fiir jedes u o e D ( A ) eine und nur eine L6sung u, so wird fiir jedes t ~ [0, oo) durch die Zuordnung u o + u(t) eine Abbildung S von [0, co) in E ( H ) definiert: u(t) = S(t) u o , u o e D(A) . Offenbar gilt

(i) S (t 1 + t2) = S(tl) S(@, t~, t 2 ~ [0, o~)

Ist fiberdies (ii) S(0) = I . (2.2)

(iii) S stark stetig in [0, o0) ,

so heisst {S(t) [ t e [0, oo)} eine Halbgruppe auf [0, oo) der Klasse (Co). Umgekehrt existiert ftir eine solehe Halbgruppe }im0~S(t ) - I l f / t im Sinne der

Normtopologie in H fiir eine in H dichte Teilmenge D und es wird durch

A f = lim 1 ~-~o-t- IS(t) - I ] f , f e D

ein abgeschlossener linearer Operator A mit dem Definitionsbereich D ( A ) = D definiert [3, Theorem 10.3.1, 10.5.1, 10.5.3], die sogenannte infinitesimale Erzeugende der Halbgruppe. Far jedes u o e D(A) gilt dS(t) uo/dt = A S(t) u o = S(t) A u o [3, Theorem 10.3.31, somit ist u(t) = S(t) u o eine L6sung des A C P1 fiir A. Da A die Halbgruppe {S(t) I t e [0, o~)} der Klasse (Co) erzeugt, hat ffir u o e D(A) das A C P1 fiir A die einzige L6sung u(t) = S(t) u 0 [3, Corollary to Theorem 23.8.11.

3. Die grundlegenden Operatoren

Der Operator P , gegeben durch

(3.1) U

ist eine 0rthogonalprojektion von H a u f einen Unterraum P ( H ) der zu L2(V) iso- metrisch isomorph ist, denn es ist

pz = p = p , . (3.2)

Im weiteren sei Zx die charakteristische Funktion einer Menge X und wir definieren einen Operator Too(t) ftir t >/0 durch

[Too (t) / ] (x, co) = Zv (x ) f (x - ~ ~o, ~o) . (3.3)

Offensichtlicn ist Too(t) fiir jedes t / > 0 auf H ein linearer Operator mit 1] Too(t)[[ <~ 1 und erfiillt die Bedingungen (2.2) (i) und (ii). Co(V X U) bezeichnet die Klasse der

250 Jc, Ro T. ~IARTI ZAMP

komplexen stetigen Funkt ionen auf R3• U mit kompaktem Tr~iger in V • U. Too(t)fist f/Jr allef~Co(V • U) in V • U stetig. Da II Too(t)II < 1 ffir t ~> 0, V • U kompakt und Co(V • U) in H dicht ist, gilt auch die Bedingung (iii). Daraus folgt

Satz 3. I. Die Operatoren {Too(t) ] t e [0, oc)} bilden eine Halbgruppe der Klasse (Co) mit I] To~(t)[I ~< 1.

Wir definieren nun zu jeder komplexen Zahl ;t = t7 + i 7' einen Operator G a durch

oo

[Gaf ] (x, co) = / e -at [Too(t)/] (x, co) dr. (3.4) 0

Dadurch 'ist auf Co(V • U) ein im Sinne der Normtopologie in H beschdinkter Operator definiert. Denn Too(t)f verschwindet fiir t > d, es ist

d d

ii G~fll < f.-~'l l Too(t)fl! dt < iifll f.-~'~t 0 0

und daher

(1- -~) (3.5) [1 a~ II < ? e .

Da Co(V • U) in H dicht ist, kann G x dutch Stetigkeit auf H ausgedehnt werden, und es gilt wieder (3.5).

F i J r f c Co(V • U) gilt punktweise iJberatI auf V • U

oo

[Too(t ) - I] G a f = f e -a" EToo (t + s) - Too (s)]fds 0

o0 t

= (e a t - 1 ) / e -a ' Too(s) f d s - e zr jfie "'Too(s)fds 0 0

t

= 1) G z- e ,f e-,s Too(s)/ds. 0

Da II 7;o(t) II ~< 1 ist far t ~> 0, folgt wieder durch Stetigkeit, dass far a l l e l e H beide Seiten der obigen Gleichung dasselbe Element in H daratellen. Im Sinne der Norm- topologie in H gilt

t

~-+01im _1 f -as T~o(s) f d s = f , fiir j e d e s f e H 0

so dass analog in H

lim 1 ,--,0 T [Too(t) -- I] G ~ f = ,~ G ~ f - f . (3.6)

Wir bezeichnen mit Aoo die zur Halbgruppe {Too(t) ] t ~ [0, oc)} geh6rende infinitesimale Erzeugende mit dem in H dichten Definitionsbereieh D(Aoo). Wir erhalten nach (3.6) in H

. (2 I -- Aoo) G a f = f , (3.7)

VoI. 18, 1967 Uber Anfangs- und Eigenwertprobleme aus der Neutronentransporttheorie 251

woraus ersichtlich ist, dass f u n d Gaf nur gleichzeitig NuIlelemente yon H sein k6nnen. Also existiert der inverse Opera tor GZ 1 auf D(Gz 1) = R(G~). Da G a be- schr~inkt und mi t Too(t) ver tauschbar ist, folgt aus (3.6), dass in D(Aoo)

G~ (4 z - A o o ) f = f . (3.8)

Wir erhal ten aus (3.7) R(Ga) C D(Aoo) und aus (3.8) D(Aoo) C R(GA)" Speziell fiir 2 = 0 gilt somit

A o o = - - G O 1 , (3.9)

und ffir alle 2 ist R(G~) = D(Aoo), also hat G~ 1 for alle 2 den gleiehen Definitionsbereich D(Aoo). (3.7) und (3.8) liefern dann sofort

Gf 1 = ,t I - Ao~ . (3.10)

Ftir g ~ Co(V x U) und f = G o g verschwindet (da V konvex ist) f (x , co) ftir x, co so, dass x - e co 6 V fiir jedes e > 0. Ausserdem ist

1 lim t - [(T~176 -- I ) f ] (x, co) = -- co- [grad~f] (x, co) t ~ 0

also ist Aoo = - co �9 grad~ (3.11)

auf einer in D(Aoo) dichten Menge. Setzt man nun far ~ > 0

P (3.12) A p = A o o + ~ ,

so ist D(Ap) = D(Aoo) und

2 I - - A p = G[ ~ - 1 p . (3.13) Q

Ap ents teht durch Addit ion des beschr~nkten Operators 1/~ P zu Aoo. Daraus folgt gem~iss [9, Theorem 3.3]

Satz 3.2. Ap ist die infinitesimale Erzeugende einer Ha lbgruppe {T(t) [ t E [0, oe)} der Kiasse (Co) mi t l] < exp (t/~).

Nach Abschni t t 2 erhal ten wit dann eine auf das Anfangswer tproblem (1.3) anwendbare

Folgerung 3.3. Das A C P 1 fiir Ap ha t fiir u o a D(Ap) die einzige L6sung u(t) = T(t) Uo.

4. Darstellunp, der Halbgruppe {T(t) l t ~ [0, oo)}

{T(t) l t ~ [ 0 , oo)} ist eine Ha lbgruppe auf [0, oo) der Klasse (Co). T(t) kann deshalb auf H durch die Reihe oo

T(t) = ~ S, (t) (4.1) ~ 0

dargestell t werden [9, Theorem 3.5], wobei

t 1/ So(t ) = T~(t) und S n ( t ) f = ~ T~ (t - s) P S~_l(s) f ds, n 1, 2 . . . . (4.2)

0

252 Jv~c T. ~IA~'r~ ZAMP

ist. Der In tegrand in (4.2) ist (stark) stetig, das Integral existiert deshalb als Riemann- sches Integral im Sinne der Normtopologie in H. Die Reihe (4.1) konvergiert in der Operatornorm absolut, gem~ss der AbscMtzung II Ss(t) I] ~< (t/~)s/~r !, ~r = O, 1, 2 . . . . . die man aus [/ P II = 1 und I/ Z~(~/ II < 1, t 0 durch vollstandige Indukt ion ge- winnt. Die Absch~tzung zeigt, dass die Konvergenz gleichm~issig in jedem endlichen Interval l von E0, oc) ist. Nach (3.3) gilt ausserdem

2

Ss(t ) = 0, t >/ 3 d . (4.3) n = 0

Aus dieser Darstellung folgt

Hil fssatz d.?. FUr t ~> 3 d ist T(t) kompakt .

Beweis. Es sei n /> 3 und vorerst f ~ Co(V • U). Nach (4.2) ist far t o > 0 und j edes {x o, ~Oo} ~ V • U

i ~ l U j = l

i = 1

Der In tegrand ist eine beschr~inkte messbare Funkt ion (x o, t~ . . . . . t~, m o . . . . . cos) ~ C auf V • ~0, t01 s • U ~+1 und [S~(to)fl (Xo, o%) das Integral dieser Funkt ion fiber einen Teilbereich von [0, t0~" • U'. Wir fiihren nun die neue Variable

-2 x~ = x o (ti_ i -- t~) c%_ i -- t~ co, (4.4) i = l

ein, mit dx = 1/2 I Y + (ts-~ - r oJ , - i ]~ d t~ - i doG-2 , unter Verwendung der Ab- kiirzung ~ -2

Y = G - Xo + V ' (t~_ i _ ti ) c~i_ i + ts o~. i ~ l

Aus t, ~< ts_ 1 % t~_ 2 ~ t o folgt gem~tss (4.4) I Y ] % t~_~ -- t, ~< to, so dass das Bild V, von [0, t,_~] • U der Variablentransforlnation (t s_i , c%_2) + x, in der Kugel mit

Radius t~_~ - t~ und Zent rum x o - ~ (t i_i - tl) m i - i - t, o)~ enthalten ist. Wir

erhalten dann mit dem Satz yon FwmI~I

[Ss(to) f ] (Xo, ~~ = ~-" . f K,(Xo, ~ G , ~~ f ( x s , ~G) dxs do),~ , V •

mit dem ausserhalb V X V verschwindenden Kern

i = 1 kO U o 0 U

i

/~ xv (Xo - ~; [ 6 - 1 - 6 ] o.,~_~) dts dc%_~

x Z[o,t,,_~] (t~) ~=x i=~ I ~ [ y + (ts_2 - t~) ~os_l

Vol. 18, 1967 0 b e t Anfangs- und Eigenwer tp rob teme aus der Neut ronen t ranspor t theor ie 253

Mit den Abkt~rzungen r = [ y I, s = t~_ 2 - t~ gilt

i= 1 l0 U 0

und j~ 2 dcon_ ~

i :V + s % - 1 I ~

In -- ".3 '~0

dt~_~ [ %>, ~ (s) ds J

0

2 d e ) n _ 1

)( ] Y -~- $ (Dn--1 1 "~ U

_ 4:~ 1 o g S T r . 7S S--~

K n ist iiber V quadratisch integrierbar, da mit der Schwarzschen Ungleichung, dem Satz yon FUBINI und den Konstanten C,,~, C~. ftir x 0 ~ V

to [o

V 0 0

Damit ist K~ ~ L2[(V • U)~], also ist die Restriktion von S,(t) auf einen in H dichten Unterraum kompakt [2, VI. 9.52] und deshalb ist Sn(t ) als Operator auf H ftir n /> 3 kompakt. Die Summe (4.1) ft~r T(t) konvergiert in der gleichm~issigen Operator- topologie, naeh (4.3) ist daher T(t) ftir t ~ 3 d kompakt.

Wenden wir [3, Theorem 10.2.2] an, so erhalten wir

Folgerung &2. Ftir t > 3 d ist T(t) stetig in tier Operatornorm.

5. D a s S p e k t r u m y o n Ao

Es gilt

Satz 5.7. Das Spektrum a(Ap) yon Ap ist eine diskrete und zur reellen Achse symmetrische Menge in der Halbebene Re ~ ~ 1/0. Jeder endliche Punkt yon a(Ap) ist Eigenwert.

Beweis. Das Spektrum yon T(t) ist nach Hilfssatz 4:1 beschr~tnkt und besteht ftir t ~> 3 d aus einer Menge yon isolierten Eigenwerten, die sich h6chstens im Nullpunkt hiiufen. Darans folgt [3, Theorem 16.7.1J, dass a(Ap) eine diskrete Menge und jeder endliche Punkt von a(Ap) ein Eigenwert ist. Da Ap reell ist, muss mit (~ I -- Ap) f = 0

auch (~ I -- A; )y = 0 sein, was die Symmetrie des Spektrums in bezug auf die reelle Aehse erkl~irt, a[T(t)J erh~tlt man aus a(Ap) durch die Abbildung 2--> exp(~ l) E3, Theorem 16.7.2]. Da a[T(t)~ irn Kreis l ~ l ~< exp (rio) enthalten ist, liegt a(Ap) in der Halbebene Re 2 ~< 1/0. Ist ausserdem 2~ ein fester Punkt des Spektrums a(Ap), so bewegt sich ein Bildpunkt exp (4 t) in ~[T(l)] gegen den Nullpunkt oder gegen o% je nachdem Re 2 < 0 oder > 0 ist; ft~r Re 2 = 0 bewegt sich der Bildpunkt auf dem Einheitskreis um den Ursprung.

Ap hat in der rechten Halbebene nut endlich viele und zwar reelle Eigenwerte mit einer endlichen geometrischen Vielfachheit. Um dies zu zeigen betrachten, wir den

254 JOaG T . ~'V[ARTI ZAMP

auf P(H) beschr~nkten Operator Qi : P @,- Fiir f ~ P(H) gilt demnach

oo

IQaf] (x) = U 0

und mit x' : x -- s e), dx' = s 2 ds de)

mit dem Kern

Zun~tchst folgt aus II Qa 11

[ Q a f ] (x) = fK~ (x - x ' ) / ( , ' ) d , ' , (5.1) V

K ~ ( x ) : ,, z I x I ~ (5.2)

< 11 P II "ll G~ II, dass Qa beschr~tnkt ist:

[ i - e x p ( - ~ d)] . ( 5 . 3 )

Kx ist nicht quadratisch integrierbar, aber trotzdem gilt nactl [8, Lemma 1.4]

Hilfssatz 5.2. QA ist far jedes komplexe 2 kompakt. Darum ist jeder yon Null verschiedene Punkt des Spektrums ein Eigenwert. Ffir

reelle ~. ist Qa hermitesch und besitzt dann nut reelle Eigenwerte. Zwischen den Spektren yon Qa und Ap besteht ein enger Zusammenhang. Bezeichnet Ml(v , B) den zum Eigenwert v des Operators B geh6rigen Eigenraum Ml(v, B) = {f[ (v I -- B ) f = O, f ~ D(B)) , so gilt

Satz 5.3. Ist 2 ein Eigenwert voi1 Ap, @ > O, so ist @ ein Eigenwert yon Qa und umgekehrt ist ~ ein positiver Eigenwert yon Qa, so ist 2 ein Eigenwert yon Ap. Der Eigenraum Mi(o, Qa) wird dutch G x eineindeutig auf den Eigenraum Mi(2 , Ap) ab- gebildet.

Beweis. Nach (3.13) ist ~ (2 I -- Ap) (Gaf) = 0 (G-~ 1 - 1/0 P) G l f = (~ I - Qa) f" Ftir f eMi (~ , Qx) verschwindet die rechte Seite, also ist G x f 6 M l ( 2 , Ap). Fiir g e Mi(A, Ap) und f = G~ -i g verschwindet die linke Seite, also auch die rechte und f geh6rt zu Mi( ~, Q1). Ferner gilt

Satz 5.4. Ffir Re A > 0 kann Qa dann und nur dann reelle Eigenwerte haben, wenn 2 reell ist.

Beweis. Ein Eigenwert 0 von Qa mit einer Eigenfunktion f i s t dann und nur dann reell, wenn (Qaf, f ) reell ist. Wir zeigen, dass letzteres nur ftir reelle 2 der Fall sein kann. Da jedes f ~ H ausserhalb V verschwindet, gilt

(Q;tf, f ) = 4 ~ f K x (x - x ') f(x--)f(x ') dx d x ' . R 3 x R a

Dies schreibt sich mit Hilfe des Faltungsproduktes * in R a in der Form

(Q;tf, f ) = (K * f , f ) . (5.4)

VoI. 18, 1967 Ober Anfangs- und Eigenwertprobleme aus der Neutronentransporttheorie 255

Es sei S M die Kugel {x ] x e R a, [ x [ ~< M}. F/ir f ~ L~(R a) ist die Fourier-Transformierte

f von f definiert durch den im Sinne der L2(Ra)-Norm existierenden Grenzwert

j , .

f(x) = lim e . . . . " f(x') dx' M-->oo

S M

und es gilt ftir g, h ~ L2(R a) die Parsevalsche Gleichung

(g, h) = (2 },). (5.5)

Es sei g X y ' h , I~L~(Ra). Wegen O a g = Z y ' ( K a * g ) und JlOaI[ <~l /Re2 fiir Re ,t > 0 und jedes V, folgt [[ Zu" (Ka *g) 11 <-< [1 g l1/~e ~ *~r >des v. Also gehSrt K a *f zu L2(R a) fiir Re 2 > 0. Nun geh6rt K a zu L(R a) ftir Re 2 > 0 und ebenso f,

da f (x) = 0 fiir x q} K Aus dem Faltungssatz Ka"'~f = Ka" a 7 folgt dann gem/iss (5.4) und (5.5)

(Oaf, f) = (2 " fT / ) �9 (5.6) Nach (5.2) ist

1 s in(f ix]) e_Z~ /~a(x) = 7 ~ e -z'+e~i'l~~176 2 z~ sin0 dr dO = 7 i } ] dr.

0 0 o

Die Laplace-Transformierte von sin ( r l x I)/r ist arctg (I x I f)l), so dass

1 / , 1 ) ~ + i I X I /~a(x) = ~ 1 arctg \ }l-~/- _ log -- 2i1*I z i i x l

Daraus folgt 1 l o g /~2 + (y _ ] x i) 2

Im Ka(x) - 4 [){] f i e + {7-T- 121) =

(5.7)

(5.s)

Dieser Ausdruck verschwindet ftir Re 2 > 0 dann und nur dann, wenn y = 0 ist. Deshalb wird (Oaf, f ) Iiir Re ,~ > 0 dann und nur dann reell sein, wenn y = 0. Aus (5.6) und (5.7) kann noch der Schluss gezogen werden, dass Qa ftir ,~ > 0 positiv

definit ist, well dann Ka(x ) > 0 far alle x und somit (Qaf, f ) > 0 ftir jedes yon Null verschiedene f E P(H) :

Hilfssatz 5.5. Oa ist ftir 2 > 0 positiv.

Dies ergibt zusammen mit Hilfssatz 5.2

Hilfssatz 5.6. Ftir positives 2 bilden die Eigenwerte yon Qa eine abz/ihlbare und beschr/inkte Punktmenge auf der positiven reellen Achse mit 0 als dem einzigen m6glichen H~tufungspunkt. Die Dimensionen der Eigenr~tume MI(~ , Qa), v ~ ~(Oa) sind endlich.

Die Eigenwerte yon Oa sollen nun so geordnet sein, dass sie eine fallende Folge ~I(X) >~ ~(2) >~... bilden, in der jeder Eigenwert so oft vorkommt, wie seine Viel- fachheit angibt. Dadurch sind die 0,(2) als Funktionen yon 2, 2 > 0 definiert und es gilt

HiIfssatz 5.7. Die Eigenwerte Q~(~t) sind differenzierbare Funktionen von ~ mit einer strikt negativen Ableitung.

256 JORC, T , ~{ARTI ZAMP

Beweis. Da Qa in der ganzen 2-Ebene holomorph ist, sind die Eigenwerte nach El0, Satz 21 differenzierbare Funkt ionen von ~,. Es sei 0 < 2' < 2 und {~q, ~2 . . . . } ein vollst/indiges or thonormier tes Sys tem yon Eigenfunkt ionen von Qa:

(?a ~o, = e~(~) ~o~, i = 1, 2 . . . . . (5.9)

n n

W i r s e t z e n O n = ( g i g = i ~ l I:g l Q)i , i~=11a i 12 = 1 } . N a c h d e m Minimum-Maximum-Pr inz ip

gilt ft~r F u n k t i o n e n f , h 1 . . . . . hn_ 1 aus P(H)

-- inf s u P { ( Q a ' f , f ) Il lfl l = 1 , (f, a 3 = o , r . . . . . , ~ - z }

~> inf ( Q a ' f , / ) leO n

(2 } = inf 0i(2 ) [ ai [2 + ([Qa' - Q a ] f , f ) leO n . =

> ~.(2)+ inf (EQa,- Qalf f ) . /~0~

Mit (5.6) und (5.7) folgt

wobei

4 r 4 r

F a , ' a(~) = (2~) - ~

- - f ~ O n

arctg(i x 1/4') -- arctg(I x [/4) I xl (z - 4')

Fttr 2' --> Z konvergier t F~, ~(x) in R a gleichm~ssig gegen Fa(x ) = (2 ~)-a (t x I ~ + 22) -1. ^ ~J - ^ ^

Also konvergier t (F<~.f, f) fa r alle f ~ 0 n bei 2 ' + 2 gleichm/issig gegen (Faf, f ) und

wir erhal ten - - on(Z) - on(4') lim - 4 - 4 ' ~ < - i n f (Faf . f ) . , ! ' -+2 I e O n

Da 0 n endlich dimensional und (F a 2 f ) pos i t iv is t ftir/~= 0, so folgt inf{(F a • f ) I f ~ 0n} > 0. Also gilt schliesslich do~(2)/d2 < O.

Die endlich vielen posit iven und isolierten Eigenwerte von Ap (Satz 5.1) sollen eine fallende Folge 21 > 22 > "'" > 2~ bilden. Nach Hilfssatz 5.3 ist ftir jeden Eigen- weft 2~, n = 1, . . . , m yon Ar ~o ) 0, 0 Eigenwert von Qa. D a die 0~', i = 1, 2 . . . . ftir it > 0 positive und str ikt abnehmende Funkt ionen sind, sind die Eigenwerte 2~ . . . . , ~l m von A o, 0 > 0 die eindeutigen L6sungen der Gleichungen 0 / (2)= 0, i = 1, 2 . . . . (es ist abe t m6glich, dass kein posi t iver Eigenwert von Ap existiert, z .B . wenn 0 > II Q~ il) Ferner gilt d im M~(2~, Ap) = dim M~(e, Qan) und wir haben

Satz 5.8. Der in der offenen rechten Halbebene Re 2 > 0 liegende Tell des Spek- t rums ~r(Ap) besteht aus endlich vielen posit iven Zahlen. Jede dieser Zahlen ist ein Eigenwert yon Ap mi t einem endlich dimensionalen Eigenraum.

6. Die Entwicklung der L6sung nach Eigenfunktionen

In diesem Abschni t t zeigen wir, dass die L/Jsung des Anfangswer tproblems (1.3) sich in zwei Terme aufspal ten l~sst; der eine ist nach den Eigenfunkt ionen der

Vol. 18, 1967 Uber Anfangs- und Eigenwertprobleme aus der Neutronentransporttheorie 257

positiven Eigenwerte von Ap entwickelbar, w~ihrend der andere ein fiir jedes e > 0 durch C(e)exp(e t) major is ierbarer Res t t e rm ist. Die Resolvente R()~, Ap) ist, mi t Ausnahme der Punk te 2~, n = 1 . . . . . m, in der offenen rechten Halbebene Re 2 > 0 holomorph. Wir zeigen zun~ichst, dass die 2 n einfache Pole von R(2, Ap) sin& Einen Ausdruck ftir R(2, Ap) erhal ten wit durch Mult ipl ikation von (3.13) yon links mi t G a und yon rechts mi t R(2, Ap):

1 G a p R(2, Ap) + G~. (6.1) R(L Ap) =

Wir multiplizieren dies von links mi t ~ P und 16sen nach P R(~, A;) auf: P R(2, A;) = R(~, Qa) P Ga. Dies in (6.1) eingesetzt gibt

R(2, A;) = G~ R(fl, Ox) P G a + G:. (6.2)

Es sei nun F ein im Gegenuhrzeigersinn orientierter gentigend kleiner Kreis u m ~ . Dann sind die Residuen

fn-- 2~il j R(2, Ap) d2, n = 1, . . . , m r~

Projek t ionsopera toren mi t den Eigenschaften J , Jt = Jl fn = d~ ~ J~, n, l = 1 . . . . . m,

wobei 8~l das Kronecker -Symbol bezeichnet Ell, p. 2071. Auch J0 = I - ~ f n ist ein Pro jekt ionsopera tor mi t Jo f , = fn J0 = o, n = 1 . . . . . m. Also gilt ,=1

~=0

Setzt m a n //~, = J,(H), so ist H die direkte Summe der Unterr~iume Hn: H = H 1

@ H. 2 @ . . . @ H m. Wir zeigen, dass ftir n = 1 . . . . . m die Projektoren fn k o m p a k t und somit die Unterr~iume H, endlich dimensional sind: Die K o m p a k t h e i t yon Qa ergibt nach [3, L e m m a 5.7.17 die K o m p a k t h e i t des Operators S a = R(O, Qa) - ~ - i I fa r 2 G/~,. G a ist in der ganzen 2-Ebene holomorph, so dass mi t (6.2) 2 ~ i Jn = f G a S a P G a d2, also k o m p a k t ist. Da j~ die abgeschlossene Einhei tskugel in H n

Fn

auf sich abbildet , muss H n endlich dimensional sein. FOr n = 0 . . . . . m ist nun gem~iss [11, Theorem 8.1 und 21 Jn[D(Ap)l C D(Ap),

Ap [D(Ap) ~ H~I C H~ und J~ A; f = Ap f~ f for f e D(A;), d.h. Hn reduziert Ap. Ferner besitzt ftir n = 1 . . . . . m die Restr ik t ion yon A; auf H~ ein Spekt rum, das aus dem einzigen P u n k t 2 n bes teht und die Resolvente dieser Restr ik t ion ha t in 2n einen Pol, da H. endlich dimensional ist. Nach [11, Theorem 10.31 ha t dann auch die Resol- vente R(2, Ap) in ,t n einen Pol. Wir zeigen, dass er einfach ist:

Mit der in (5.9) eingefiihrten Nota t ion existiert ftir die Resolvente R(O, Qa) die Entwicklung

R(e, 9a) f =~ (/' q::) ~ f ~ P(:I) : ~ - - ~ ( ~ '

W~ihlen wir nun 2 -- 2 n genagend klein, so gibt es ein / so, dass Oi(2n) = 0 und

II A~(~, Qh) f II < I~ ) -- ~)i(~') I--1 [@~'~ I (/' (Pj)I'] I.' ,

ZAMB 18]17

258 JORO T. ~tIARTI ZAI~{P

also II R(~, G)]I < 1 ~ iG) - ~/2)1-1 Deshalb ist nach (6.2) und Hilfssatz 5.7

H (2 -- 2n) R(2, l im I[ 2 ~n - 4 lim [i A;) II < [[ G~ < oo

d.h. der Pol ist von erster Ordnung und H~ = A/l(2n, Ap) I l l , Theorem 10.1, 10.8!. Es seien nun An, R~(2) und Tn(t ) fur ~ = 0 . . . . . m die Restr ik t ionen von Ap, R(2, Ap) und T(t) auf H~. Dann ist {Tn(t ) ] t e [0, ec)} eine Ha lbgruppe der Klasse (Co) auf H n mi t der infinitesimalen Erzeugenden A n und R~(2) die Resolvente yon A~. Gem~ss dem Vorangehenden gilt fur ~ = 1 . . . . . m a u f H~: A~ = 2,, fn, Rn(2) = (2 - 2,,) -1J~

und T~(t) = exp (t An) = exp (2~ t) J~. Deshalb ist T(t) = 2 exp (2,, t) Jn + To(t) Jo und mi t Folgerung 3.3 erhal ten wir ~= ~

Satz 6.7. F a r u o ~ D(dp) und t / > 0 gilt far die L6sung u yon (1.3)

~(., t) = ~Y" ~ Y~ "o + z(t) %

und far jedes e > 0 existiert ein C(e), so dass [I Z(t)l[ < C(e) exp(e t). Beweis. Da

~y, ]n +R0(2) I0 R(2, G) = :. - z-~- r

die Pole yon R(2, A:) in den Stellen 2n, n = 1 . . . . . m einfaeh sind und dort J~ die Residuen yon R(2, Ap) sind, ist R0(2 ) Jo, also auch Ro(2 ), in der offenen rechten Halbebene holomorph. Deswegen ist das Spek t rum yon A 0 in der Halbebene Re 2 < 0 und, da To(3 d) kompakt ist, jenes yon To(3 d) im Kreis I 2 l < 1 enthalten. Dami t gilt fa r den spektra len Radius yon T0(3 d)" limooi] To(3 d) ~ [[ ~:~ < 1 oder fur jedes e > 0 gibt

es ein n(e) so, dass ,' To[3 dn(e)] [i < exp[3 dn(e)]. Daraus Iolgt mit t = 3d (k + b) ~{(e), 0 < d < 1, k = 0, 1 . . . . und Z(t) = To(t ) Jo, dass ][ Z(t) !'I < C(e) exp (e t), mit C(e) =

II J0 II sup{l[ T013 d~(~)l I[[ 0 ~< ~ < 1} -<< II :o II exp[3 &~(e)/~]. Die Bedeutung der Absch~tzung des Res t te rms Z(t) liegt darin, dass, da H n =

Md2, Ap) fur n = 1 . . . . . ~ , mit u = N . exp (r t) fur 2((., 0) ~ D(A;) und t > / 0 die L6sung N( . , t) von (1.1) entwickelt werden kann:

x( . , t) = 2 e(:'~-~) ~ + ~-~' Z(t) N(. , O).

Dabei ist ~o, = f~ N(. , 0) und der Res t t e rm klingt beziiglieh der Norm mindestens fast so schnell ab wie die Neutronendichte in einem reinen Absorber (Fall e = oc) yon unendlicher Ausdehnung, wo N( . , t) = exp (-- cr t) N( . , 0).

Verdankungen Fiir viele kons t rukt ive mathemat i sche Kri t iken und fur die dauernde Aufmerksam-

keit fa r die Probleme der vorliegenden Arbeit danke ich Herrn Prof. A. Pfluger herzlich. Ebenso bin ich Her rn Prof. W. H~lg fa r die F6rderung der Arbeit zu D a n k verpfl ichtet . Letz tere en ts tand w~hrend meiner T~itigkeit bei Gebr. Sulzer AG in Winter thur , deren grosszagige Unte r s t a t zung ich hier anerkenne.

Vol. 18, 1967 Uber Anfangs- und Eigenwertprobleme aus der Neutronentransporttheorie 259

L I T E R A T U R

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Abstract

Based on the theory of semi-groups in Hilbert space, a proof is given for the existence of a unique solution of an abstract Cauchy problem arising in the transport theory of mono-energetic neutrons, corresponding to the time-dependent linear Boltzmann equation in the general three-dimensional geometry. The spectral properties of the Boltzmann operator are investigated, an explicit representation of the solution is obtained by the perturbation theory for semi-groups of linear operators and alternatively an expansion in a series of eigenfunctions is given.

(Eingegangen: 4. August 1966.)