ASTRONOMISCHE NACHRICHTEN. N* 2633.

Ueber Ansgleichnng itbgerundeter Beobachtungen. Von T N. ThieIe.

Herr Lehtnann-Filllei theilt in A. N. 2 6 2 2 einen Bei- trag zur Methode der kleinsten Quadrate init, in welchein er den Umstand eingehend priift, dass ein Theil der Be- obachtungsfehler dadurch entsteht, dass man die Resultate in endlichen Briichen hinschreibt, so dass man beispielsweise alles, was zwischen 5” und 15“ iiegt, mit 10” bezeichnet, also im Allgemeinen sich eine ))Alirundung( erlaubt. Herr Lehmann-Filht+s konimt dadurch zu dem Resultate, dass, wenn man aus Wiederholungen einer Beobachtung den niittleren Fehler der einzelnen Beobachtungen bestimmen

will, man nach der Formel vz = - -+ statt der

ii1)lichen Formel nz = v’:~?!’L rechnen soll, indein 21 das

Interval1 zweier nachstfolgenden abgerundeten Zahlen ist.

Dieses Resultat errveckt bei inir etwas Gedenken, denn zwar gebe ich gerne zu, dass das iibliche Verfahren selten ganz correct begriindet wird, und auch in specielkn Fallen zu offenbar fehlerhaften Hestimniungen der inittleren Fehler fiihrt, aber Herrn Lehmann-Filhes’ Resultat wird im allge- meinen die Sache kauin verbessern. Ist, um ein extremes Heispiel zu wahlen, ein Winkel sonst auf einen Rruchtheil der Sttcirinde geiiau geniessen, aber das Resultat nur in ganzen Graden aufgeschrieben, dann wird in der grossen Mehrzahl der Falle der mittlere Fehler = o ausfallen, wenn inan in der iiblichen Weise rechnen wollte, und dies ware offenbar fehlerhaft ; dagegen wiirde Herrn Lehmann-Filhes’ Formel mit E = 30’ auf m = f 1 7 ’ fiihren, was jeden- falls besser ware. Es kommen ja aber auch Falle vor, wo unter solchen Unistanden die eine Halfte der Beobachtungen den d e l l Grad, die andere den a + x t e n angiebt, hier giebt die iibliche Formel einen niittleren Fehler von ca. 30‘, was schon ZLI vie1 sein durfte, und Herrn Lehmann-FilhCs’ Forinel einen um noch ca. 5’ grosseren inittleren Fehler. Solche Retrachtungen liessen mich einen Fehler in Herrn Lehmann- Filhes’ Resultate vermuthen.

Darin bin ich niit ihm einig, dass jede abgerundete Beobachtung in zwei Operationen aufgelost werden muss, von welchen jede ihr eigenthumliches Fehlergesetz haben kann. Nennen wir aber die theoretischen Werthe der be- obachteten Grossen als Functionen der Elemente v,. . . y), die nicht abgekurzten Beobachtungen a,. . /3, die abge- rundeten Beobachtungen in ganzen ‘l’heilen der gewahlten Skala a,. . . d, dann kann sich jede Beobachtungsgleichung, a = 9,- . . b = w, in zwei andere auflosen:

Bd. 110.

~ , . . ~ ~ ~ ~ ~ ~ $ 2 ~

n - I 3

I t - I

it = a , 0 = cc -- ‘c‘ . . . . . . . . _ . _ b = $ , 0 = $ - y ,

wo alle Gleichungen solche sind, dass die bekannten Werthe, die links stehea, nicht als exact gegeben zu verstehen sintl, sondern nur als mittlere Werthe eines Fehlergesetzes. Fur die Gleichungen a = LI , . . - b = /3 (also fur die Ab- rundungsfehler) konnen wir niit Herrn Lehmann-Filhes das Fehlergesetz als bekannt ansehen : a sol1 zwisclien a - F

und a + E, /3 zwischen b t und b + E liegen niit gleicher Wahrscheinlichkeit fur jeden Werth zwischen diesen Grenzen. (Wir bemerken jedoch, was wegen der spateren Modifimtion nicht ganz unwesentlich ist, dass diese Annahme eigentlich voraussetzt, dass die Beobachtungen urspriinglich nls unend- liche Decimalbruche niedergeschrieben worden sind. Dieses findet aber bei gewohnlichen Beobachtungen nuch nicht als Naherung Statt, und besonders, wo die instrumentellen Inter- calle nach Augenmanss getheiit werden , wird dns Fehler- gesetz oft durch Ueberschreiten der Grenzen + r - in solcher Weise geandert, dass seine Abweichungen von eineai es- ponentiellen Fehlergesetze weniger wharf hervortreten). Fur die anderen Gleichungen o = a - y, - . . o = p -- v, die den eigentlichen Beobachtungsfehlern entsprechen, sind die Fehlergesetze irn Allgemeinen unbekannt, kiinnen nach Urnstanden jede verschiedene Form haben, zuni Beispiel auch die ‘exponentielle Form ~ ( d ) = e-h2A’, an deren universelle Giiltigkeit noch einige hstronomen glauben, wenn sie auch erfahren haben, dass >in umfangreicheren Reobachtungsreihen grossere Fehler haufiger vorkommen, als der mittlere oder wahrscheinliche Fehler erwarten lasst. Q

Weil wir aber nie iiber hinlanglich viele Beobachtungen verfiigen, urn die genaue Form des Fehlergesetzes empirisch feststeilen zu konnen, und nur selten iiber eine SO grosse Anzahl von Wiederholungen, dass eine Abweichung von der exponentiellen Form des Fehlergesetzes sich manifestiren kiinnte, so bleiben wir auch hier bei der Annahme dieser bequemsten Form, und begnugen uns, wenn es uns gelingt, das Maass der Genauigkeit h, oder den mitttereii Fehler

yn = ----I- annahernd und enipirisch zu hestimmen. W i r

wissen aber, dass wir dadurch iiii Allgemeinen einen Fehler der dritten Ordnung begehen. Deshalb sind wir nicht niir

verpflichtet, Herrn Lehmann-Filhes es zu verzeihen, dass er in seiner Analyse Glieder der vierten und hiiherer Ordnung vernachlassigt, sondern wir sind auch selhst berechtigt, solche

4 / 2

17

259 263 3 2 60

Modificationen anzubringen. Das werden wir aber , uni Complicationen auszuweichen , hier gleich Anfangs thun, indem wir statt des bekannten aber unbequemen Fehler- gesetzes der Abrundungsfehler (gleiche Wahrscheinlichkeit

zwischen +t) ein exponentielles Fehlergesetz mit - als

mittleren Fehler annehmen. Es ist ubrigens diese Annahme mit den Abkurzungen des Herrn Lehmann-Filhes identisch. Die feineren Untersuchungen, die Herrn Lehmann-Filhes in in dem grosseren ersten Theile seiner Abhandlung beschaftigen, sind ohne Bedeutung fur den Schluss der Abhandlung, welcher sich du'rchaus auf die allgemeinen Voraussetzungen der Methode der kleinsten Quadrate grundet. Auch dieser Theil der Arbeit kann aber besser mit einfacheren Mitteln aus- gefuhrt werden, indem wir unsere oben aufgestellten 272

Gleichungen betrachten,

E

v 3

t . . . . Mittlerer Fehler = ~

v 3

Mittlerer Fehler unbekannt = m

n = a

s = p

0 = p - q I . . . . . . o = a - - y

Weil namlich von den n unbekannten Grossen u, . . . p jede nur in zwei Gleichungen (und linear) vorkommt, und keine zwei oder mehrere dieser Grossen in einer Gleichung, ist es vollig erlaubt, sie zu eliniiniren, bevor die Behand- Iung nach der Theorie der Normalgleichungen angewendet, wird, jedoch so, dass die mittleren Fehler der Gleichungen _.

a = y

b = v . . . .

alle = vm2 +Td ta werden. Das heisst : d i e g e iv o h n 1 i c h e K e c h n u n g s w e i s e i s t r i c h t i g i m A l l g e m e i n e n .

Doch ist vielleicht der hier postulirte Satz nicht all- gemein bekannt und es scheint mir nicht angemessen, hier seine allgemeine Richtigkeit zu beweisen. Deshalb und weil es wirklich einen speciellen Fall giebt, in welchem der mittlere Fehler abweichend angesetzt werden muss, will ich, ohne diesen Satz anzuwenden, die Rechnung fur den Fall durchfuhren, dass (p = . . . = q = x ist, also dass die Beobachtungen einfach Wiederholungen sind. Aus den 272 Gleichungen

E a = u . . . . } M. F. = 1/3 b = p

0 = @ - x . . . . . . M. F. = nz o = a - x

bilden wir also fur die n + I Unbekannten x und a,. . - 0 folgende Normalgleichungen

I . X a ' . . _ -@a=- 3 3m2 4- &2

€2 m2 m2 $2

. . . . . . . . . . . . . . . . 3

c2 =

Die inethodische Elimination fiihrt nur dam, dass die letzte Gleichung durch

~ -_ 3 ( a + . . . + b ) = 372 . x 3m"+t2 ' 3m'+ t y

ersetzt wird. Folglich ergiebt sich,

p = --,(3m'o+E'X 3m2 + €

Folglich haben wir fur die Restfehler der ursprung lichen Beobachtungen

wird also jede Differenz durch den entsprechenden mittleren Fehler dividirt und die Quadratsumme sammtlicher 2~

Quotienten gebildet, so ergiebt sich

[(n-- xy+. . . + (b .- x)?] 3m2 -I- E~

und daraus, dass diese Summe der Anzahl der uberschussigen Beobachtungen , 272 - ( n + I ) = n - I , gleich sein soll, ergiebt sich die Bestimmung des unbekannten mittleren Fehlers

m=, , / (a - i !2+- _ _ _ _ _ - ~ - - - + ( b - x ) 2 - tt _-

und weil dieser ja nur ein Theil des totalen mittleren Fehlers jeder einzelnen Beobachtung ist, der totale mittlere Fehler

- __ ~~

n - 1 3

-- __ ~~ . .

l//m2+ 1 , ~ ~ t 2 = n - I

ganz wie gewohnlich. Nur eins ist zu bemerken: m darf nicht imaginar werden; falls also der in der gewohnlichen

Weise berechnete totale mittlere Fehler sich < - ergeben L.

v-3

2 6 1 2 6 3 3 2 6 2

sollte (woraus ein imaginarer Werth von m folgen wurde), so niusste man sich daran erinnern, dass diese Bestimmung des mittleren Fehlers auf keine absolute Genauigkeit An- spruch machen kann. Wird sie also unbrauchbar, dann miissen wir m den Werth geben, der am wenigsten den Reobachtungen widersgricht : wir niussen also in diesem Falle m = o setzen.

Wir erhalten dann folgendes Resultat. Die ubliche Kechnungsweise lasst sich auch auf abgerundete Beob- achtungen anwenden, sowohl in Bezug auf die mittleren Fehler, als auf die mittleren Werthe der Elemente; nur wenn der mittlere Fehler der einzelnen Beobachtungen

kleiner ausfallt als -- , der mittlere Abrundungsfehler, ist t

v 3

Es ist mir nicht gelungen, in den Gedankengang des Herrn Lehmann-Filhes so tief einzudringen, dass ich den von ihm begangenen Fehler genau angeben konnte. Ilass aber ein Fehler da ist , lasst sich leicht beweisen; denn Herr Lehmann-Filhes beweist allzuviel. Genau in derselben Weise konnte man beweisen, dass, wenn die Beobachtungs- fehler aus zwei Fehlerquellen herruhren, ihre Fehlergesetze beide die exponentielle Form haben mussten, das eine so, dass der mittlere Fehler y bekannt ist, das andere mit un- bekanntem mittleren Fehler, der aus den ubrigbleibenden Fehlern A bestimmt werden musste; auch dann sollte der

.- _____

totale mittlere Fehler nicht 1/ ~ sondern I/n!). + p 2 9 2 - 2 n - z

heissen. Uebrigens lenke ich die Aufnierksamkeit des Herrn letzterer dafur zii substituiren.

>Man findet

I Lehmann-Filhes auf die Stelle pag. 93 und 94:

fur (dq) den Mittelwerth o )) (q d > 0

ia ti) 2 I2.P' (aq) (x1-x) 2

,v (bq) (Y1-Y) ' als Folge des fur x, -x aufgestellten Ausdruckes

und seiner Analoga fiir y , y , zl-z,. . . 4 0 "1 etc.

Hier, sowie in dem Nichstfolgenden, sind die Relationen zwischen den verschiedenartigen Fehlern gewiss nicht hinlanglich berucksichtigt worden. Ueberhaupt ist die Einfuhrung zweier Werthsystenie fur die Elemente x, y, 2,. . . xl, y,, z,, . . . entweder ein Missgriff oder doch ein sehr gefahrlicher Umweg.

T. LV. Thiele. __-. . . Kopenhagen I 884 October.

Ueber die Vergleichsterne lnei Beobachtungen von Veranderlichen. Uurch die Erfindung mechanischer Instrumente zur

Hestimmung der Helligkeit der Sterne hat die Photometrie des Hiinmels in unserer Zeit ein'en grossen Aufschwung erhalten. Es hat sich dabei jedoch erwiesen, dass in gewissen Fallen die altere Methode, d. h. Beobachtung rnit blossem Auge, grosse Bedeutung hat, ja sogar vortheil- hafter werden kann, als Beobachtungen, die rnit einem Photometer wie dem von Zollner oder von Pritchard aus- gefuhrt werden. Ich denke hier besonders an die Beob- achtungen von veranderlichen Sternen, welche, a e ni 'g stens diejenigen von langer Periode , am besten durch Augen- schatzungen untersucht werden durften. Man sieht in diesem' Falle, dass die photonietrischen Instrumente die alteren Beob- achtungen keineswegs unnutz gemacht haben, im Gegentheil gerade dazu dienen konnen, denselben einen erhohten Werth zu geben. Bei Beobachtungen nach Argelander's Methode durch Stufenschatzungen vergleicht man den Veranderlichen mit nie'nreren Sternen, die in Grosse und Lage jenem sehr nahe stehen. Dabei kann man den veranderlichen Stern selbst benutzen um den Stufenunterschied zwischen zwei angewandten Vergleichsternen zu erhalten. Den Resul- taten, die man so bekommt, darf man aber unmittelbar keine objective Geltung beilegen, denn erstens kann man nicht sicher sein, dass man eine Stufe in allen Fallen gleich gross schatzt, und zweitens druckt man den Lichtwechsel des Veranderlichen durch die vollig willkuhrliche Skala

einer Stufe aus, welche bei einem anderen Beobachter einen ganz verschiedenen Werth haben kann, und welche es un- moglich ist a priori in wirklichem Lichtverhaltnisse aus- zudriicken. Um also wirklich vergleichbare Resultate zii erhalten, wird es nothwendig , die Vergleichsterne durch andere und zwar nicht subjective Methoden zu bestimmen. In diesem Falle konnen die in neuerer Zeit erfundenen photometrischen Instrumente grossen Dienst leisten und diirch die Bestimmung der Helligkeitsverhaltnisse zwischen den angewandten Vergleichsternen alle bis jetzt erhaltenen Beobachtungen von Veranderlichen sichern.

Von Herrn Prof. E. Pickering dazu aufgefordert, habe ich es unternommen, einen Theil dieser Vergleichsterne rnit dem Zollner'schen Photometer der hiesigen Sternwarte, welches Prof. Schultz zu meiner Verfugung gestellt hat , zu be- stimmen. Die langsten und zwar wichtigsten Reobachtungs- reihen, die mir bekannt sind, sind die von Argelander (Bonner Beob. Bd. VII p. 315-524), Schonfeld (Sitzb. der K. Akademie der Wissensch. Wien XLII p. 146 - 193 und XLIV p. 503-592) und Oudemans (Zweijahrige Reobacht. der meisten jetzt bekannten veranderlichen Sterne. Anister- dam 1 8 5 6 ) ~ und wenn die Zeit und das Wetter es er- lauben, will ich also versuchen, die von ihnen angewandten Vergleichsterne photometrisch zu bestimmen. Leider ist das Klima von Upsala f i i solche Beobachtungen nicht das beste, was ich besonders im letzten Jahre erfahren habe;

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