Über Beulen Eingezwängter Platten

Math. Nachr. 177 (1996), 131-156

Uber Beulen Eingezwangter Platten

Von A. LANGENBACH in Berlin

(Eingegangen a m 3.5.1995)

1. Die Gleichgewichtsbedingungen

Wir betrachten eine elastische Platte, deren Mittelflache R im undeformierten Zu- stand ein beschranktes Lipschitz-Gebiet in IR darstellt. Fur die Ausbeulung unter Last mogen die v. Klmcinschen Gleichungen gelten, vgl. [2], [4],

(1.1) A' F(t) = - L(w, w ) ( t ) ,

(1.2)

Dabei ist A der Laplace-Operator, A w(z) := d:w(z~, tz) + dZw(t1, tz),

A' ' ~ ( 3 ) = L(w, F)(t) + p(t), t = (ti, tz) E R .

In den Gleichungen ( l . l ) , (1.2) unterdrucken wir durch geeignete Skalierung einige fur uns unwesentliche Konstanten. Die Funktion z = w ( t ) , c E h, beschreibt die Ausbeulung der Platte senkrecht zur Mittelebene, siehe Abbildung. Die Airysche Spannungsfunktion F denken wir uns zerlegt in F = yF0 + f, wobei der Anteil

(1.4) Fo(z), t E R, AZFo(z) = 0 in R

die am Rande d R parallel zur Mittelebene wirkenden Beulkrafte beschreibt, deren GroBe durch den reellen Parameter y - yo gesteuert wird.

132 Math. Nachr. 177 (1996)

0

--7 0 ' /

/ -/ /

/ -/

/- \ \

/ /L /

/ /t-

/ /

/-

e

/ e

Abbildung

Der Funktion FO sind in der Literatur zahlreiche Arbeiten gewidmet, 2.B. S.G. MICHLIN 181. Wir setzen Fo im folgenden als gegeben voraus. Die Funktion p ( z ) , 2 E n, beschreibt die senkrecht zur Platte wirkenden Krafte. Sie ist in unserem Beispiel nicht bekannt und sol1 die Zwangskrafte darstellen, die einer Ausbeulung w(2) entgegenwirken, also (1.5) p E P(w) , 0 E P(0) *

(1.6)

Die Randbedingungen fur w und f sollen homogen sein, wir setzen

f , w E H,2(Q) 3

wobei H i die AbschlieRung von D(Q) - der glatten Funktionen mit kompaktem Trager in R - bezuglich der Norm des Sobolew-Raumes W l ( Q ) bezeichnet. Geometrisch beschreibt unser Beispiel damit eine am Rande 'eingespannte' Platte. Der Raum H i ist ein Hilbertraum mit dem Skalarprodukt

(1.7) ( f , s ) z := Jn A f a s d x .

1 1 . 112 sei die Norm in H i . Im folgenden benotigen wir noch die AbschlieRungen von D(Q) in den Raumen W;(n) und Lz(Q) mit den Skalarprodukten

( f , g ) l = 1 grad f .g radgdz sowie ( f ,s)o = k f s d x . n

Langenbach, nber Beulen Eingezwangter Platten 133

Entsprechend indizieren wir die Normen.

'schwache' Formulierung Wir betrachten die Gleichungen ( l . l ) , (1.2) in Lz(52) und ersetzen sie durch die

fur alle h E D(52). Die rechten Seiten in (1.8), (1.9) geben AnlaB zur Definition eines Operators C : ~ , 2 x W$ - H,2,

(1.10)

in der folgenden Weise: Mit der Darstellung

L(g, F ) = Oi(6:F dig - &dzF 82s) + &(a;F 82s - &82F 81s)

fur g E D(O), F E C3( 0) erhalt man

(1.11)

und folglich die Abschatzung

(1.12)

beispielsweise fur F E C3( n) und g, h E D(!2).

Sobolew-Raumes W$(SZ) in den Sobolew-Raum W i (52) ausgehen, erhalt damit Fur beschrankte Lipschitz-Gebiete kann man von der vollstetigen Einbettung des

iJ, L(g, F ) h dzl 5 c1 IIFllw,. 11g112 llhll2 fur F E c3(9 9, h E W ) .

Die rechte Seite in (1.11) ist fur beliebige F E W; und g, h E H i definiert, also, wenn wir wollen, auch die rechte Seite in (1.10). Durch Abschliefiung in W: erhalten wir dann mit dem Rieszschen Darstellungssatz

J n L ( g , F ) h d z = ( C ( g , F ) , h ) z fur F E W : , g E H i

mit

(1.13) 1 1 % F)112 S ci ll~lbv; llgllz fur F E W;, g E H i bzw.

(1.14) IlC(g , h)Ilz I cz llsllz IlhIIz fur g, h E ~i und geeignete Konstanten c1, cz > 0.

134 Math. Nachr. 177 (1996)

Der Rieszsche Darstellungssatz definiert damit den Operator C : H i x W i - H i in der Formel (1.10) rnit der Abschatzung (1.13) sowie seine Einschrankung auf H i x H i mit der Abschatzung (1.14). Wir bemerken einige Eigenschaften des Operators C:

i) Die Gleichung (1.8) bedeutet fur w E HZ

(1.15) f = - C(w,w) 0

ii) Der Definition des Operators L und der Darstellung (1.11) entnehmen wir die S ymmetrieeigenschaften

(1.16) (W, 9) > h )z = (Cb , f ) 1 h 12 fur f, 9, h E Ho2

und (1.17) ( C ( g , F ) , h ) z = (C(h,F),g)z fur g , h E H i , F E W ; . Die Gleichung (1.9) schreiben wir mit (1.15) in der Form

fur alle h E H i , falls FO E W i ist, wits wir kunftig voraussetzen. In der Gleichung (1.18) kommt noch die Reaktionskraft p E P(w) vor. Wir identifi-

zieren p mit einem Funktional lp E ( H i ) * , ( Ip , h) = J Q p h d x fur h E H i , und P*(w) sei eine Menge solcher Funktionale, lp E P*(w). Mit Hife der Dualitatsabbildung J : H i - ( H i ) * schreiben wir &(w) = J-'(P*(w)) und geben (1.18) die Form einer Inklusion inHi,

(1.19) w + BW - TAW E &(w) , BW := C(W, C(W, w ) ) , Aw := C(W, Fo).

Bei gegebenem Fo E W; ist A ein vollstetiger und selbstadjungierter Operator auf H i . Diese Eigenschaften ersehen wir aus der Abschatzung (1.13) und der Symmetrie (1.17). Die Operatoren C, B sind Spuren eines bilinearen bzw. trilinearen Operators mit der Abschatzung (1.14), also

Auflerdem erhalten wir rnit den Symmetrieeigenschaften (1.16), (1.17)

(1.21) (Bur , w )z = ( C ( w , C(w, w)), w)z = ( C ( w , w) , C(w, w) 12 L 0

fur alle w E H i .

einseitig von einem elitstischen Medium gestutzte Platte konnen wir SchlieBlich wollen wir noch ein Beispiel fur die Reaktionskraft p angeben: Fur die

p(t) = P(w)(z) = k(z )w- (2 ) (1.22)

= k(z)max{-w(z),O} fur z E Q ,

mit einer nichtnegativen, meflbaren und beschrankten Funktion k annehmen,

(1.23) 0 5 k(z) 5 ko fur z E Q .

Langenbach, ober Beulen Eingezwangter Platten 135

Bekanntlich ist fur w E H i die Funktion w- E H i , wobei H i die Abschliehng von D ( n ) in W,l(n) ist. Wir finden

fur ein geeignetes k1 > 0 und h E H i . Es gibt daher zu jedem w E H i genau ein q E HZ mit Q(w) = J- 'P*(w) = q , also (Q(w) , h ) z = Jn k w-l h dx fur h E H i . Die Abbil- dung Q : H i - H i in diesem Beispiel ist einwertig und die Gleichgewichtsbedingung (1.19) eine Gleichung.

Allgemein gehen wir in der Gleichgewichtsbedingung (1.2) von einer Reaktionskraft p aus, die Zwangskrafte eines BuBeren Mediums beschreibt, welche einer Ausbeulung der Platte entgegenwirken. In den Beziehungen (1.5) miissen wir daher

(1.24) ( P , W ) O = ( ! 7 , w ) 2 5 0 fur alle p E P(w) bzw. alle q = J-' lp 6 Q(w) annehmen. Sei nun die Inklusion (1.19) fur ein

200 E H i mit wo + B ~ o - yAwo = qo E Q(wo)

erfullt. Wir multiplizieren skalar mit wo und erhalten gemid3 (1.24)

(1.25) r( Awo , wo )z L llwoIIB + (Bwo 1 wo )z 2 IIwoIIS ' Der Operator yA ist demnach positiv auf allen nichttrivialen Losungen von (1.19). Die Eigenschaften dieses Operators werden durch die Airy 'sche Spannungsfunktion Fo und den Parameter yo bestimmt. Beim Beulproblem mussen wir von einer Druckbelastung ausgehen, die wir analytisch durch die Forderung yo > 0 und IC1:

(1.26) ( A w , w ) 2 > 0 fur w # 0

angeb en. Die Voraussetzung IC1 schrankt mogliche Verzweigungspunkte yo und Eigenwerte

y - yo weiter ein. Dabei sei daran erinnert, daB der die Beullast repribentierende Operator A : H i - HZ linear, selbstadjungiert und vollstetig ist. Nach IC1 ist seine kleinste charakteristische Zahl y1 positiv, folglich IlAll = sup iw = 7;'. Dann folgt aus (1.25) fur eine nichttriviale Losung wo der Inklusion (1.19)

(1.27)

Konnen wir bei hinreichend 'steifen' Widerstanden - Q : H i - 2Hi stark monoton annehmen, etwa

(1.28)

so folgt aus der Annahme (1.26) sogar

(1.29) I 1 + p o I - . 71

136 Math. Nachr. 177 (1996)

Die Widerstandskrafte &( w ) versteifen die Platte, verschieben die Beullasten 'nach oben'.

Ahnliche Aufgaben wurden bereits von J.B. MCLEOD, R.E.L. TURNER [6] und J.A. MESEJO [7] untersucht. Ihre Formulierungen und Ergebnisse haben als Vorlage zu dieser Arbeit gedient.

2. Die Reduktion

Der Operator A : H i - H i , Aw = C(w,Fo), ist nach den bisherigen Vorausset- zungen linear und vollstetig, selbstadjungiert und positiv. Es gibt daher eine Folge { U k } k E N c H i von Eigenfunktionen,

(2.1) uk -7 'kA.uk = 0 , (Iuk(lZ = 1, E N ,

derart, daf3 die Entwicklungen

(2.3) Au = C ykl( uk )Zuk k E N

fur alle u E H i gelten. Dabei konnen wir 0 < 71 5 yz 5 . . und Y k - 00 annehmen. Zu fixiertem n E IN zerlegen wir den Raum H i gem58 (2.2)

(2.4) H,2 = N, $Mn

mit Nn :=span{ul, . . . , un} und ( v , w ) ~ = Ofur v E Nn, w E Mn. Zur Abkurzung fuhren wir die Bezeichnung

n

(2.5) %u = x % k u k

k = l

fur die Elemente von N , ein. Es gilt llzullz 5 Izkl =: 121. Der Zerlegung (2.4) entsprechen die Orthoprojektoren IIn : H t - N n und Pn = id - I I n : H i c--$ Mn. Mit ihrer Hilfe schreiben wir die Gleichgewichtsbedingung (1.19) in der Form

(2.6)

und (2.7) Pn(id + B + yA)(zu + g) E Pn & ( z ~ + g) mit zudVn, g E M,. Fur 0 < y < yn+l definiert die Inklusion (2.7) unter vernunftigen Voraussetzungen an Zwangskrafte und Belastung eine Abbildung

&(id + B - 7A)(zu + 9) E IInQ(z. + 9)

(2.8) ~ ( 7 , z ) E M n fur E (0, Yn+l) 1 z - 0 a

Damit reduziert sich die Inklusion (1.19) zu einer impliziten Inklusion im Raum En+'. Sei also 0 < y < /,,+I. In der Gleichgewichtsbedingung (1.19) kommen die Fredholm- op er at oren

Langenbach, Ober Beulen Eingezwangter Platten 137

(2.9) G,:Hi-Hi , G,w = w - Y A W ,

vor. Mit den Entwicklungen (2.2), (2.3) erhalten wir fur g E M,

00 Yk - Y (2.10) P n G r ( z u + g ) = g - y A g = -(g, u k ) 2 u k

k = n + l Yk

und

Zwangskrafte, die durch eine im allgemeinen mehrwertige Funktion &(w) , w E H i , vermittelt werden, sollen die Bedingungen (1.5), (1.24) erfullen. Wir fordern spezieller:

(2.12) - Q sei maximal monoton auf H i , &(O) 3 0 .

Zur Auflosung der impliziten Funktion (2.7) benotigen wir indessen die Operatoren

(2.13) P,&(zu+.) : M, - 2Mn

fur z - 0. Diese Operatoren sind wiederum monoton. Denn fur (, E -Pn&(zu + g), qn E -P,&(zu + v ) gibt es Elemente ( E -Q(zu + g), q E -Q(zu + v ) mit tn = P,t und 7, = Pnq. Wir finden dann (tn - qn, g - v ) ~ = ([ - q , g - v ) 2 2 0, da -& monoton ist.

Im folgenden fordern wir

V1: Es existiere ein CO > 0 derart, daB die Operatoren -P,Q(zu + .) : M, - 2Mn fur 1 . ~ 1 < CO maximal monoton sind.

Mit der Eigenschaft V 1 konnen wir die Inklusion (2.7) zu einer Gleichung aquivalent umformen. Wir schreiben fur (2.7) zunachst

(2.14) (id - yA)g - PnQ(zu + g) 3 -P,B(zu + g) .

Nach unseren Voraussetzungen ist die Inklusion (2.14) der Gleichung

(2.15) g = RÎ(-P,B(zu+g)) in M,

aquivalent . Die Operatoren RZ : M, - M, ,

(2.16) RTj = g e ( i d - y A ) g - P n Q ( z u + g ) 3 j

sind Lipschitz-stetig fur 121 < CO, 0 < 7 < /,+I. Berechnen wir ihre Lipschitzkonstan- ten.

Die Existenz des Operators RZ : M, - M, folgt aus der Theorie maximal monotoner Operatoren, vgl.BRfizIs [l].

Sei g1 := R'Jjl, g2 := RZj2, d.h. gi - yAgi - P,&(zu + gi) 3 j i , i = 1, 2 bzw. --P,Q(zu + gi) 3 j i - (gi - yAgi). Da -Q monoton ist, folgt

(jl - j z - [(gi - YAgi) - (92 -yAgz)], 91 -gz)z 1 0 ,

138 Math. Nachr. 177 (1996)

wegen (2.1 1) , folglich

(2.17)

Zur Auflosung der impliziten Funktion (2.15) benutzen wir den Satz 2.2 aus der Arbeit LANGENBACH [5] unter folgenden Voraussetzungen:

X , V ( z o ) (X, 1 ) . Ilx), (Y, 1 1 . lly) sind Banach-Raume, (2, e) ein metrischer Raum, U(go)

i) F ( g O , to) = 0, F ist stetig in (go, zo ) ; ii) F besitzt in allen (9, z ) E U(go) x V ( z o ) partielle L-Ableitungen nach g; iii) Die Ableitung Fi : U(go) x V ( z o ) H 2L*P(x9y) ist unterhalbstetig in (go, zo ) ;

diese Bedingung kann dahingehend abgeschwacht werden, da% FA eine in (go, to)

unterhalbstetige Auswahl besitzt. iv) Es gibt ein umkehrbares BL E F i ( g O , z o ) : [ B ~ ( g ~ , z ~ ) ] - l E L i p ( Y , X ) . Dann

gilt: Fur geeignete T 2 TI > 0 gibt es eine eindeutig bestimmte Abbildung

2 offene Umgebungen, F : U(go) x V ( z o ) - Y .

g : K ( z ' , T ~ ) - K ( g O , r ) mit F(g(z) ,z) = o z E ~ ( z O , r l )

die Abbildung g(z) ist stetig in zo . Dabei bezeichne K eine abgeschlossene Kugel, z.B.

K(z0 , T I ) := { z E v ( z 0 ) ; Q(%, zO) I: T l } . Die Zahlen T , r1 konnen in folgender Weise gewahlt werden: Zunachst wahlt man T > 0 derart, da% fur g E K ( g o , r ) , z E K ( z O , r ) eLip(BL(g,z),BL(gO,zO)) < [ 2 A 1 ( B ~ ( g ' , z ~ ) - ~ ) ] - ' fur geeignete BL E F i ( g , z ) gilt. Dann kann die Zahl T I ,

T 2 T I > 0 so gewahlt werden, da%

Al(BL(sO,zO))-l IIF(sO,z) - F(gO,zO)Ily < T/2

ist. Zur Auflosung der impliziten Funktion (2.15) setzen wir X = Y = M,,, 2 = EL",

go = 0, z0 = 0, U ( 0 ) = Mn, V(0) = { z E R"; JzI < C O } ,

(2.18) P ( g , z ) := g - R , ( 7 - P n B ( z u + g ) ) = 0 .

Dabei sei y E [O,y,+l - 71 fur ein 7 > 0 zwecks einer spateren Bestimmung beliebig wahlbar. Wir uberpriifen sodann die Bedingungen in Satz 2.2 [5]. Dazu benotigen wir zunachst die Werte RZ(0). Nach (2.16) ist

(2.19) R:(O) = w C w - YAW - Pn&(zu + W ) 3 0 .

Langenbach, aber Beulen Eingezwangter Platten 139

Imfolgenden setzen wir eine weitere Bedingung VZ voraus. V Z : Es gelte lim,,o IIR l(O)lla =

0 gleichmaig beziiglich y E [0, yn+l - 71. Wegen der Bedingung Q(0) 3 0 ersehen wir aus (2.17), (2.19)

(2.20) Ri(0) = 0 , FY(0,O) = 0

fur y E [0, yn+l - 111. Zum Nachweis der Stetigkeit von P ( g , z ) in (0,O) schatzen wir ab:

I I q 7 , z ) - FY(O, 0)Ila = 1IFY(9, .)I12

I: llslla + IIW-PnB(zu + s)) - R l(O>llZ + I I ~ ^ l ( O ) l l Z Fur y E [0,yn+1 - 7)] liefert (2.17) die Lipschitzkonstante

(2.21) AIR$ I: y n + l / ~ .

Mit der Abschatzung (1.18) erhalten wir

Mit der Voraussetzung Vz sind dann die Operatoren FY gleichmaig stetig in (0,O) fur y E [0, y,,+l- 4. Der Operator B : H i - H i ist FrBchet-differenzierbar, und es gilt mit B(g, z ) := B(zu + g) (2.23)

Dann besitzen die Operatoren FY auf U ( 0 ) x V(0) die partiellen L-Ableitungen

DlB(g, Z)O = 2 C(C(ZU + g1 o), zu + 9) + C(C(ZU + g), zu + g), V ) .

BZ(g, z ) := id - RI ( - D1B(g, z ) ) E L i p (M,, , Mn).

Offensichtlich gilt BZ(0,O) = id - Ri(0) = id und BZ(g ,z ) - BZ(0,O) = -RT( - DIB(g , z ) ) . Setzen wir fur A1,Az E Lip(M,,,M,,)

eLip(A1,Az) := IIAl(0) - Az(0)IIz + Ai(A1 - Az) , so erhalten wir

Unter der Bedingung Vz sind dann die L-Ableitungen BZ fur y E [O,y,+l - 171 gleichmaig stetig in (0,O). Insbesondere besitzen dann die L-Ableitungen (F?); in (0,O) (unterha1b)stetige Auswahlabbildungen fur jedes y E [O,y,,+l - 73. Mit BZ(0,O) = id ist auch die Bedingung iv) unseres Satzes uber implizite Funktionen fur

140 Math. Nachr. 177 (1996)

alle y E [O,yn+l - 71 erfullt.

Es gibt also fur alle y E [0, yn+l -71 Abbildungen g ( . , y) : K ( 0 , r1(y)) - X(0, ~(7)) mit P ( g ( t , y), z ) = 0. Untersuchen wir die Werte r ( y ) , rl(y). Zunachst ist r(y) so zu wiihlen, da8

gilt. Mit der Bedingung VZ und der Abschatzung (2.24) finden wir ein positives r < CO derart, das diese Ungleichung unabhangig von y E [0, yn+l - 171 garantiert. Danach ist rl (7) so zu bestimmen, da8

und bestimmen ein positives r1 unabhhgig von y E [O,yn+l - 71. Die Ergebnisse fassen wir als Satz zusammen.

Satz 2.1. Unter den Bedingungen V1, Vz an die Zwangskrafie Q definieren d ie implititen Inklusionen (2.14) f."r alle y E [O,yn+l - 71, IzI 5 71 eindeutig bestimmte Losungen g ( t , 7) E K(0 , r ) c Mn, FY(g(t , y), 2) = 0, woki liml+,o I l g ( t , y)llz = 0 gleichmijlig betuglich y E [0, "/n+l - 71 gilt.

Im folgenden untersuchen wir einige Eigenschaften der Reduktionslosungen ! I (%, 7) E M n *

Lemma 2.2. Unler den Vorausseizungen in Satz 2.1 gibt es etne Zahl r10 derart, dafl fur (ti I: r10 und y E [O,yn+l - 71 d i e Ungleichung

(2.25) 11g( t , r ) - R I(O>11z I c3(lt12 + 211Rz(O)ll:)

fur eine geeignete Konstante c3 gilt.

Be w e i s . Aus der Definitionsgleichung (2.15) ersehen wir

Langenbach, Uber Beulen Eingezwangter Platten 141

Wegen der Konvergenzaussage in Satz 2.1 gibt es dann ein r10 derart, daf3 die Un- gleichung (2.25) fur 1.1 5 r10 und y E [O,yn+l - 171 gilt.

Das bewiesene Lemma unterstreicht die Bedingung V2 .

Lemma 2.3. Unter den Voraussetzungen in Satz 2.1 gibt es ein ~ 1 1 > 0 derart, dajl die Losungen g(z , y) E Mn der Inklusion (2.14) f 2 i ' ~ IzI 5 r11 und 7, y E [0, Yn+l - Q] einer Abschiitzung der Form

(2.26) llg(z,7) - s ( z , Y)llZ 5 c ( l 4 IY - 71 >

wobei limt-0 c( t ) = 0 unabhiingig von y, 7 E [0, yn+l - 171 gilt.

B e w e i s . Aus der Gleichung (2.15) erhalten wir die Abschatzung

IIg(z,T) - g ( z , r > I I 2 = IIRZ(-PnB(zu + dz,T)))

- RÎ(-PnB(zu + g(z ,y)))IJ2

I IIR:(-PnB(zu + g(z, 9)) - Rz(-PnB(zu + g(z,Y)))llz

+ IIRz(-PnBzu + g(z , 7)))

- RÊ(-PnB(zu + g(z,T)))/l2

= I1 + I 2 .

B(zu + j) - B(zu + g) = C(S - 9, C(zu + s, + 9)) + C(z'11+ 9, C(S - 9, zu + 9))

Es gilt I1 5 ~ l l B ( z u + g ( z , y ) ) - B(zu + g(z , y))llz. Aus (1.19) ersehen wir

+ C(zu + 9, C ( m + 9, s - 9)). Mit der Abschatzung (1.12) erhalten wir daraus

11qt.u + 9) - B(z'IL + S>llZ L 4 Ils - 9 II [ 3 1 4 ~ + ( ~ i s i l ~ + 11~11~)~l . Wir setzen nun g := g(z,y), g := g ( z , y ) und nutzen die in Satz 2.1 festgestellte Konvergenz limltl-o Ilg(z, ~ ) l l 2 = 0 gleichmaig beziiglich y E [0, Tn+l - 171. Damit konnen wir ein ~ 1 1 > 0 derart fixieren, daB 11 5 2-'Ilg(z,7) - g(z,y)llz fur IzI 5 r11 und 777 E [O, Yn+l - 171 gilt.

Zur Abschatzung von 12 bemerken wir, daf3 die Elemente w := R'J(-F'nBj)) Losun- gen der Inklusionen v - yAw - Pn&(zu + v) 3 j sind. Wegen der Monotonie von -Pn&(zu+.) aufM, gilt also(F-zJAS-((v--p), S - V ) ~ 5 OfUrF:=RT(-PnBj) unabhangig von j E Mn. Aus dieser Ungleichung ergibt sich

142 Math. Nachr. 177 (1996)

Wir setzen jetzt j := -PnB(.u + g(z , 7)) ein und erhalten

7n+l 1)

11412 = llR lj112 I - I I W U + g(z,r>>llz + IIR l(O)ll2

Insgesamt ergibt sich aus unseren Abschatzungen fur 1.1 I TII, y,7 E [O,yn+l - q],

Der Klammerausdruck {. . .} strebt gleichmaig bezuglich y E [0, yn+l - q] gegen Null fur 1.1 - 0. 0

3. Die Zwangskrafte

Auf dem Raum H$ der Beulfunktionen haben wir die Abbildung Q : H i - 2Hi definiert, die dem Ausbeulen entgegenwirkende Zwangskrafte beschreibt. Dabei miissen die Bedingungen

(3.1) OEQ(0) und ( q , w ) 2 L O fur q E Q ( w )

gelten. Fur gewisse F E Hi kann die Menge Q(F) auch leer sein. Begrunden kann man solche Abbildungen gewohnlich fur w - 0. Wie in der Mechanik ublich, werden wir geeignete Fortsetzungen betrachten, um funktionalanalytische Methoden zu rechtfertigen. Die lokalen Aussagen der Verzweigungstheorie sind davon in der Regel unabhangig. In diesem Sinne gehen wir von der Annahme

( 3 4 o E Q ( o ) , -Q : H; - 2Hi maximal monoton

aus, die (3.1) umfaBt.

Zen Schliefllich wollen wir uns auf wenige reprkentative Beispiele zuriickziehen und set-

(3.3) Q(w) = Q x ( ~ ) , w E z ~ ) , X = l

wobei die & A , X = 1, 2, . . . , 1 wieder den Bedingungen (3.2) genugen. 1st H ein Hilbertraum und A : H - 2H eine Abbildung, so sei

D(A) := { h E H ; A(h) # 0). Nach M. B R ~ Z I S [l] ist die Summe zweier maximal monotoner Operatoren A , B : H - 2H wieder maximal monoton, falls D(B) einen inneren Punkt von D(A) enthalt.

Langenbach, Ober Beulen Eingezwsngter Platten 143

Beispiel 1, die elastische Unterlage. Die Zwangskraft &1(w) sei durch (1.22), (1.23) gegeben,

(&(.I) h ) z = k(x) w-(x) h(x) dx fur w, h E H i , (3.4) I n

also einwertig . Wegen

1 1 2

w+ = -(1w1+w), w- = 5 ( I w l - w ) , w = w + - w -

gilt

und

= J, k(w, - w ; ) ~ dx

2 0 .

Zur Losung des Reduktionsproblems benotigen wir die Eigenschaft V1 der Abbildung &I. Sei N ein abgeschlossener Unterraum in Hi, M seine orthogonale Erganzung, also H: = N @ M , P : H i - M der Orthoprojektor. Dann ist der Operator

P&l(u+*) : M - M offenbar wieder Lipschitz-stetig und monoton fur jedes u E N , also auch maximal monoton. Dabei ist D(P&l(u + .)) = M . Die Abbildung &I besitzt also die Eigenschaft V1 fur jeden Unterraum N,. In der Darstellung (3.3) 1af3t sie sich leicht mit anderen maximal monotonen Abbildungen &A kombinieren.

Beispiel 2, die Einzelkraft . Die Widerstandskraft p greife in einem einzigen Punkt y@) E R an. Bei einer virtuellen Verschiebung h E H i leiste sie die virtuelle Arbeit

( l p , h ) = - rnh(y(2)) .

Durch die stetige Einbettung H i - C( a) wird damit wirklich ein Funktional lp E ( H i ) * definiert. Wir setzen daher

(3.5) q~ &Z(w) w q = - r n b mit ( 6 , h ) z = h (y(z))

144 Math. Nachr. 177 (1996)

fur h E H i und

(3.6)

wobei die Abbildung 'p : R - 2" maximal monoton rnit 'pz(0) 3 0 definierte Abbildung

sei. Die so

-Qz : H i - 2Hi ist monoton. 1st namlich q1 E - Qz(wl ) , q 2 E - Qz(wz), so finden wir q1 = mi 6, qz = mz 6 und

( q 1 - q z , w1- w ) z = (7% - mz)( 6 , w1- wz)2

= (ml - mz) w1 y(') - 2uz y ( ( 1 ( 'z)>> O wegen

ml E (02 (w (Y'")) , mz E 9 2 (Y'")

Den Nachweis der maximalen Monotonie von - Qz verbinden wir mit dem Nachweis der in Satz 2.1 geforderten Eigenschaft V1.

Sei N ein abgeschlossener Unterraum in H i ,

Ho - - N @ M , P : H i - M der entsprechende Orthoprojektor. Wir zeigen: Die Abbildung

M - P Q ( u + .) : M - 2

ist maximal monoton fur jedes u E N . Zunachst ist diese Abbildung monoton. Denn mit

j 1 , j z E M , v1 E - P&z(u + ji) , vz E - PQz(u + jz) finden wir vi = Pgi mit gi E - &z(u + j i ) , i = 1, 2, also

( ~ l - ~ z , j l - j Z ) z = ( 9 1 - g z , j 1 - j 2 ) 2 = ( 9 1 - 9 2 , ( U + j l ) - - ( U + j Z ) ) 2 2 0

wegen der schon bewiesenen Monotonie von - Q auf HZ. Zum Nachweis der maximalen Monotonie untersuchen wir die Inklusion

(3.7) v - P Q z ( u + v ) 3 g in M

fur beliebig vorgegebenes g E M . Mit j := v - g E M gelte also

(3.8) j - p & z ( U + j + g ) 3 0

d.h. j = -mP6 mit rn E ' p ~ ( u ( y ( ~ ) ) + j ( ~ ( ~ ) ) +g(y(2))) . Wir folgern l l j l l i = m2 IlPSlli und l l j l l i = - mj(y(2) ) , also j(y(')'> = - m IlPSll;. Wir schreiben (3.8) um zu

Langenbach, Uber Beulen EingezwHngter Platten 145

Zu gegebenem u E N und g E M ist die Inklusion (3.9) eindeutig auflosbar nach < und-liefer t

Bleibt der Fall P6 = 0 zu kliiren. Dann ist definitionsgema P&(u + TI) = (0) in M und v = g die Losung von (3.7). Speziell fur N = (0) erhalten wir auch die maximale Monotonie von -&z : H t - 2Hi.

Analog konnen wir weitere Einzelkrafte & A zulassen, die auf virtuellen Verschiebun- gen in weiteren Punkten y(') E R virtuelle Arbeit leisten. Sind die entsprechenden Widerstandsfunktionen cpx : R - 2" auf einer gemeinsamen Nullumgebung in R definiert, etwa

1

~ ( c p x ) 2 ( - E , E ) fur ein E > 0 , x=3

so ist auch die Summe C:=,(- &A) maximal monoton und genugt der Bedingung V1 fur beliebige Unterraume N,, .

Wenden wir uns nun der Bedingung Vz zu. Dabei gehen wir wieder von der Zerlegung (2.4) aus. Es gilt g = RI(0) E M,, genau dann, wenn die Inklusion

(3.10) g - y A g - Pn&(zu+g) 3 0

erfullt ist. Wegen der Ungleichungen (1.24), (2.11) ist dann

(3.11)

= - ( q , z u ) z

fur ein geeignetes q E &(zu + g). Nehmen wir an, da13 die Reaktionskriifte global beschrankt sind, etwa

(3.12) 11q112 5 K fur q E &(v) und v E H i ,

so folgt aus (3.11) 112

fur konnen wir

zulassen und erhalten damit aus (3.11) die Abschatzung

= c;=, I ~ k l < ~1 und y E [O,yn+l - q] , also die Eigenschaft Vz. Allgemeiner

11q11z 5 K + P I l ~ l I z fur q E &(TI) , v E H i

146 Math. Nachr. 177 (1996)

Aus dieser folgt zunachst, da13 IIRz(O)112 fur z + 0 beschrankt bleibt, etwa 11Rz(O)112 5 p1 fur 1.1 I q. Danach schlieBen wir

also V2.

In konkreten Beispielen haben wir gunstigere Abschatzungen.

Z u Beispiel 1: Die Zwangskraft &1(zu + .) : Mn - Mn nach (3.4) ist monoton und Lipschitz-stetig. Sei g1 := Ry,(O) nach (3.10) Losung der Gleichung

gl - yAg1 - pn&l(zu + gl) = 0.

Dann gilt nach (3.11)

llgllla I - (& i (zu + gi ) , Z ~ ) Z

i ko (IIzuIIo + IlSlllO> l l ~ 4 l o 5 tc (1Zl2 + llg1ll2 1.1)

fur ein K > 0. Mit Il91112 I4 5 -

erhalten wir daraus

(3.13) II~:*(o>Ilz 5 K1 I4 fur 121 5 TI, 7 E [ O , ~ n + l - 771 und ein tc1 > 0.

Z u Beispiel 2: Die Abbildung &2 : H i - 2Hi sei durch (3.5), (3.6) gegeben und g2 =: R;,(O) Lkung der Inklusion

(3.14) g2 - yAg2 - pn&2(zu + 92) 3 0 ~

Mit (3.5), (3.6) erhalten wir daraus

(3.15) g2 - YAgz + Pn6 = 0

fur ein rn E (OZ(ZU(Y(~)) + gz(y(’))). Die Monotonie von (02 : IR - 2” und die

Bedingung ~ ( 0 ) 3 0 liefern rn(zu(y(’)) + g2(y(’))) 2 0. Deshalb folgt aus (3.15)

(3.16) - IIgzII; I ((id - yA)gz, gz)z rl

Y n t l

L ( (id - 7A)gz 1 Q2 )z + (zu (P) + g2 (p)) - - rnzu(y(2)) .

Aus der Darstellung

(3.17)

Langenbach, Ober Beulen Eingezwangter Platten 147

vgl. (2.10), ersehen wir fur g E Mn

folglich (3.18) llPn(id- yA)II 5 1 .

Mit (3.18) erhalten wir aus (3.15)

SchlieBlich liefert (3.16) mit der Ungleichung

die aus der stetigen Einbettung H i - C( a) fur ein K > 0 folgt,

fur (a1 5 TI, y E [0, yn+l - q] mit der Einbettungskonstante K > 0; fur Pn6 = 0 haben wir sofort Rz,(O) = 0.

Beispiel 3: Wir betrachten eine kombinierte Zwangskraft & I 2 = &1+&2 mit Q1 wie in Beispiel 1, ( Q1w , h )2 = sn k w- h dz fur w, h E H i sowie Q2 = - rn 6 mit fixiertem 6 E H i , ( 6 , h)z = h(y) fur h E Hi und ein festes y E s2. Dabei sei m E cp~(w(y)) wie in Beispiel 2. Es sei g12 := R:,(O) Losung der Inklusion

(3.19) g12 - 7 4 1 2 - Pn&l(zu + 912) - Pn&Z(zu + 912) 3 0 .

Die Inklusion (3.19) schreiben wir

(3.20) g12 - 7&12 - Pn&l(zu + 912) + mPn6 = 0

fur ein m E cpz(zu(y) + glZ(y)). Fur Pn6 = 0 gilt das Resultat (3.13) von Beispiel 1. Sei also Pn6 # 0. Dann folgt aus (3.20)

(3.21)

148 Math. Nachr. 177 (1996)

Wie in Beispiel 1 folgern wir daraus

(3.22) ll~:2(o)l12 5 w fur IzI 5 q, y E [O,yn+1 - 771 und ein 2 > 0.

Beispiel 4: Wir kombinieren diesmal verschiedene Einzelkrafte g e m a Beispiel 2 nach der Formel (3.3). Es sei also g ( w ) := &, Qx(w) , wobei die Zwangskrafte &A

mit festen Angriffspunkten y(’) E R durch die Vorschrift

(3.23) qx E Qx(w) c qx = - mx 6 x , mx E c p x ( w ( ~ ( ~ ) ) )

rnit maximal monotonen cpx : IR - 2”, 0 E cpx(O), gegeben sind. Es sei dann j : x(0) Losung der Inklusion

(3.24)

Damit ist dann 1

(3.25) # - 7 A # + C m x P n 6 ~ = 0 x=2

fur geeignete mx E ‘px(zu(y(’)) + j(y(x))). Wie in Beispiel 2 erhalten wir daraus

(3.26)

Multiplizieren wir (3.25) skalar mit 6,, Y = 2, 3, . . . , 1, so erhalten wir das Gleichungs- system

(3.27)

rnit a,x := (Pn6x, Pn6,)2, Y, X = 2 ,3, . . . , 1. Unter der Bedingung

(3.28) det(a,x) # 0

folgt aus (3.27) die Existenz einer Zahl K: > 0 mit

(3.29) lmxl 5 1c11j112 fur X = 2, 3, . . . , 1 .

Mit (3.29) erhalten wir aus (3.26) sofort

(3.30) llsllz = I lm) l l , I i I z I

fur It1 5 TI , 7 E [0,yn+1 - 771 und ein geeignetes i > 0.


4. Die Verzweigungsinklusion

Im zweiten Abschnitt haben wir die Gleichgewichtsinklusion (1.19) in der Form der Reduktionsinklusion (2.7) und der Verzweigungsinklusion (2.6) geschrieben, die nun unter geeigneten Bedingungen gelost werden soll. Wir beschranken uns dabei auf den eindimensionalen Verzweigungsfall und fordern:

K2: Die charakteristische Zahl 71 der Operatorenfamilie G, = id - 7A sei einfach, folglich 0 < 71 < 72.

Mit der Lijsung g( z , 7) von (2.7) schreiben wir die eindimensionale Verzweigungsinklu- sion (2.6) dann in der Form

71 (4.1) Tz(7) : = F ( ( B - Q)(zu1 + g(z , 7)) ~ U I )Z + 71 3 7

Die linke Seite in (4.1) ist fur IzI 5 r l , 7 f [0, ~ 2 - 9 1 erklart und definiert Abbildungen Tz : [O,72 - q] - 2". Zu beliebig fixierten z E R, 0 < 1.1 < zo < min(r1, r10, r11) (vgl. Satz 2.1, Lemmata 2.2 und 2.3) suchen wir Losungen der Inklusionen

(4.2) Tz(7) 3 Y in [71,72-'I] =:

Finden wir solche Losungen 7(z), so genugen die Beulfunktionen

(4.3)

(4.4) l l ~ ( ~ J ( z ) ) I l ; = IzIZ + llg(z,r(z)>IlE > 0 fur z # 0 .

w ( z , 7(z)) := 8241 + g(z, 7(z)) E H,2

der Inklusion (1.19); es gilt dann

Zur Losung der Inklusion (4.2) konnen wir den Satz von KAKUTANI [3] anwenden. Darin sind die folgenden Bedingungen zu erfullen:

k l : T,(y) ist abgeschlossen und konvex fur 7 E r, k2: T, ist oberhalbstetig auf r.

ZEIDLER [lo]:

kb: Der Graph G(Tz) := ((7,t) E r x R; t f TZ(7)} ist abgeschlossen.

Da r C R kompakt ist, konnen wir auf eine aquivalente Bedingung ausweichen, vgl.

Weiterhin gelte

k3: q r ) n r # 0. Betrachten wir zunachst die Bedingung k3:

Lemma 4.1. Unter den Bedingungen von Satz 2.1 (fur n = 1) fur Iz( < - r1 und 7 E [o, 72 - 771 gilt T z ( ~ ) fl [TI, m) # 0.

Lemma 4.2. Unter den Bedingungen von Satz 2.1 gelte

fii'r ein 71 > 0 , IzI 5 r12 I PI und y E r. Dann gilt A3 fii'r ein geeignetes ~ 1 3 , 0 < ~ 1 3 5 min (~10, qz} und fii'r alle z mit

0 < I.%[ < r13. Be w e i s . Lemma 2.2 entnehmen wir die Abschatzung (2.25) und erhalten mit (4.6)

falls ~3 (Irl+ 2 I Z ~ ( ~ ~ - < - ~ ) ) < 71 und IzI < T ~ O ist. Fur den Operator G, = id-yA erhalten wir fur y < yz und g E MI die Abschitzung

Wir ersehen dann aus (4.5), daB T,(y) n I' # 8 ist. 0

Urn die Bedingungen kl, A$ erfullen zu konnen, formulieren wir eine weitere Eigen- schaft, die die Zwangskrafte Q : Hi - 2Hi erfullen sollen:

Langenbach, fiber Beulen Eingezwangter Platten 151

V3: Fur ein geeignetes r4 > 0 sei Q(K(0, r4)) beschrankt in H z .

Lemma 4.3. Zusi tz l ich zu den Bedingungen von Sa t z 2.1 moge V3 gelten. Dann erfiillt die Abbildung T, : r - 2" Q U S (4.2) die Bedingungen k l und k$ f u r 0 < It1 5 ~ 1 4 und ein geeignetes ~ 1 4 > 0.

B e w e i s . Bei fixiertem IzI 5 r1 ist G(T,) abgeschlossen, falls die Menge

(4.7) in H i abgeschlossen ist. Betrachten wir zunachst die Menge

(4.8) Sei { (~("1, qn)}nEnu eine Folge in GQ mit dem Grenzwert (7, q) . Da - Q monoton ist, gilt

((7, u) E I' x Ni 11 E ni(B - Q ) ( z ~ i + g ( z , 7))) := GZ(niQ)

GQ := ((7, q) E X Hi; P E - Q(zui + g ( z , 7))).

(4.9) ( q n - F , z u l + g ( z , y ( n ) ) - w ) 2 2 o fur alle w E D(-Q) und F E -Q(w). Fur 1.1 5 ~ 1 1 folgt aus Lemma 2.3 dann

( q - ~ , . z u l + g ( z , Y ) - ~ ) 2 1 0,

und, da -Q auch maximal monoton ist, zu1 + g(z,y) E -D(Q) und q E -Q(zu1 + g ( z , y)), also (7, q ) E GQ. Folglich ist GQ abgeschlossen in I' x H i . Sei nun {($"I, u(n))}nEN eine Folge in G,(IIlQ) mit dem Grenzwert (y, u). Dann gibt es Elemente v, E M1 derart, da%

u(n) + vn E ( B - Q)(zu1 + g ( z , yn))

gilt, also mit qn := u(") + v, - B(zu1 + g ( z , y("))), qn E - Q ( z u l + g(z, y'"))). Nach Lemma 2.2 gilt fur JzI 5 ~ 1 0

1.12 + Ilscz,r)ll; 5 Izl2 + 2 llRz(0)Il; + 2 C W + 211~z(o)ll;)2

gleichmaigfur y E I', und folglich ist dann 1z12+11g(z, y(")113 5 r: falls 0 < IzI 5 r14 5 r10 gewahlt wird, wobei sich die Zahl ~ 1 4 aus der Bedingung V2 ergibt. Mit Hilfe der Bedingung V3 finden wir dann eine Teilfolge (qn,)iEN, die schwach gegen ein q E H i konvergiert. Gehen wir mit qn, in (4.9) ein, so konnen wir wieder zul+g(z, y) E D(-Q) und (7, q ) E GQ folgern.

Der trilineare Operator B : H i - H i ist stetig und sogar Fr6chet-differenzierbar. Daraus ersehen wir die Konvergenz

vn, = qn, - u(nl) + B (,,I+ g ( z , y'")))

v := q - 21 + B(zu1+ g(z , y)) E MI . schwach gegen

Dann ist aber

(7, = (7, nl(9 + B(zu1 + g ( z , 7)))) E ni(B - Q(zui + g ( z , 7))) E GZ(niQ).

152 Math. Nachr. 177 (1996)

Die Abbildung T, genugt also k; . Zum Nachweis der Eigenschaft k l bemerken wir zunachst, da% wir in den vorange-

gangenen Betrachtungen zur Abgeschlossenheit des Graphen G, (IIlQ) speziell auch Folgen {(y("), u ( " ) ) } ~ ~ ~ mit y(") y E I' zulassen konnen und erhalten damit die Abgeschlossenheit von T,(y) fur y E I' und IzI 5 T14. Sind nun in diesem Fall €, q E Tz (7) I also

so gibt es Elemente vc,v,, E MI derart, dai3 qc := (ul + vc, q,, := qu1 + v,, in y(B - Q ) ( z u ~ + g(r, y)) sind. Dann gilt aber

71 (4.10) ( q c - ;B(zw+ g(z , - / ) -El m l + 9 ( Z , Y ) - w), 2 0

(aqt + (1 - ")Q,, - % B ( Z U l + 9(z, 7)) - 'iii , %'u1+ 9(r, 7) - w ) 2 0

fur alle w E D(-Q) und m E - YQ(w) . In (4.10) konnen wir auch q,, statt qc einsetzen. Damit erhalten wir fur a E ( 0 , l )

2

und folglich

71 we + (1 - 4Q,, - yB(zu1 + 9(%, 7)) = [a€ + (1 - a)q]u1+ avc + (1 - a).,, - % ( t U l + g(r, 7))

t

E - E Q ( ~ ~ i + g(z,y)). t

Wenden wir darauf den Projektor IIl an, so ergibt sich

[a€ + (1 - a)qlu1 E n i

also a( + (1 - a ) q E T'(y) und damit die Eigenschaft k l .

( B - Q)(zui + g(z, 7)) ,

Wir fassen die Ergebnisse dieses Abschnitts in einem Satz zusammen.

Satz 4.4. Es mogen die Bedingungen V1, V2, V3 a n die Zwangskrafie und i c 1 an die Druckbelastung erfullt sein; augerdem gelte eine Abschataung d e r F o r m (4.6) fur die Zwangskrafie Q .

D a n n besitzt die Familie der Inklusionen (1.19) fur j edes X > 0 eine Losung (w, y) m i t w E H i , 0 < llwll2 < X und y E I' = [y1,y2 - q]. Insbesondere gibl e s dann wegen d e r Kompakthei t von r dort einen Bifurkationspunkt.

B e w e i s . Zuerst losen wir mit Satz 2.1 fur 0 < la( 5 TI und y E I' die Inklusionen (2.14) und erhalten eindeutig bestimmte Losungen g(z , y) E MI mit

I l d Z , r>lb 5 IIR^l(o)llz + ~ 3 ( 1 a 1 ~ + 2llR^l(o)lli)

Langenbach, Uber Beulen Eingezwlngter Platten 153

fur 0 < It1 5 q o . Die Bedingung Vz garantiert

(4.11) 121' + IIg(z,y)II$ < A' fur I ~ I < m, y E r und ein geeignetes r1X > 0. Es gilt

(4.12)

fur 0 < 1.1 < T ~ X und y E I'. Sodann losen wir die Inklusion (4.3) und erhalten rnit dem Satz von Kakutani eine

Funktion y(z) E r fur 0 < Izl < q ~ . Die Bedingungen kl - k3 in diesem Satz erfordern t - 1 ~ < min(r13, ~14). Die Funktion y ( t ) , 0 < It1 < T ~ X erfullt die Inklusion (4.3) T,y(z) 3 y(z), oder mit w ( t ) := zul + g(r, y ( t ) ) , 0 < It1 < T I X ,

Pl[W + !I(%, 7) + "211 + g(z, 7)) - y A ( w + s(z, 7))l

E PlQ( ru l + s(t.7 7))

n i [ w ( t ) + B w ( t ) - y ( z ) A w ( t ) ] E n iQw(z ) .

Mit y = y ( t ) in (4.12) erhalten wir

(4.13) w ( z ) + Bur(%) - y(z)Aw(z) E &w(.).

Fur jedes t mit 0 < 1.1 < ist w(z) Losung einer Inklusion der Familie (1.19) rnit y(z) E I' und

0 < 11~(41122 = I.? + l lg (w(4 ) I l ; I A2 *

0 Wir mochten Satz 4.4 auf unsere Beispiele 1-4 anwenden. Nachdem wir die Eigen-

schaften V1, Vz im vorigen Abschnitt nachgewiesen haben, achten wir zunachst auf die Bedingung V3.

Beispiel 1. Nach (1.22), (1.23), (3.4) gilt

(Qi(w), h)z = k w- h dz I ko llwllo llhllo

fur w , h E H i und folglich llQl(w)112 5 K O llwllz fur ein geeignetes KO > 0.

Beispiel 2. Nach (3.5), (3.6) ist q E & ( w ) e q = -m6 mit festem 6 E H i ,

Dabei ist m E p(w(y)) mit (o : IR - 2" maximal monoton und (o(0) 3 0. Wir nehmen nun an, da% fur ein festes E > 0 die Ungleichung

(6, h ) ~ = h(y) fur h E H i und ein festes y E R.

(4.14) I 2 fur < E ( ~ ( [ - E , E ] )

erfullt ist. Wegen der stetigen Einbettung H i - C(n) gilt Iw(y)I 5 llwllc 5 ~1 I)wllz fur

w E H i und ein ~1 > 0 unabhangig von y E R. 1st 1)w112 I E / K ~ , so folgt fur m E p(w(y)) nach (4.14) die Abschatzung Iml 5 und schlie%lich fur q E &(w), h E H,2

I(% h)zl 5 Iml I ( S 1 h)zl I Iml I V Y ) I 5 K 1 I 4 llhllz 1

154 Math. Nachr. 177 (1996)

Beispiel 3-4: Diesmal sei Q(w) = xi=, Qx(w) rnit Q1 wie in Beispiel 1, und die QX X = 2, . . . , 1 reprasentieren Einzelkrafte rnit festen Angriffspunkten y(’) E R wie in den Beispielen 2, 4. Da

I

q E Q(w) q = QX mit E &x(w)

gilt, konnen wir unter Bedingungen der Form (4.14) fur alle QX X = 2 , . . . 4, 1 sofort auf die Eigenschaft V3 schlieflen.

X = l

Leider schlieflt die Bedingung V3 starre Zwange aus, da an diesen grofle Zwangskrafte bei verschwindender Auslenkung w auftreten konnen.

Der mechanische Hintergrund fur die Bedingung (4.6) ist, wie am Ende des ersten Abschnitts gezeigt, in einer Verstarkung der inneren Widerstandsmomente durch die Zwangskrafte Q zu sehen, die einer Ausbeulung entgegenwirken. Dagegen reprasentieren die Operatoren yA Beulkrafte, die das Ausbeulen unterstutzen, und die mit dem Parameter y > 0 anwachsen.

Beim kritischen Wert y1 wird erstmalig ein Ausbeulen ohne Zwange moglich. Bei starken Zwangen kann dieser Wert erheblich hoher liegen. Da wir Bifurkationspunkte in I’ = [ 71, y2 - 71 suchen, mussen die Zwangskrafte einer passenden Kleinheitsbedin- gung unterworfen werden. Dies geschieht rnit Hilfe der Losung R2(0) einer vereinfach- ten Beulgleichung, gelegentlich als Gleichung von Sophie Germain erwahnt , vgl. [8]. Es gilt namlich

Mi 3 RT(0) = 91 c gi - yAgi - p i Q ( . ~ u i + gi) 3 0 , vgl. (3.9). Bei der Untersuchung der Bedingung VZ, haben wir dafur die Abschatzung (3.11) gefunden,

(4.15)

fur ein geeignetes q E Q(zu1 + gl).

Beispiel 1. Mit ( &i(w) , h ) ~ = sn k w- h d x fur w, h E H i erhalten wir speziell fur die Zwangskraft Q1 aus Beispiel 1

J , 7 2 - IISlIIz I - z( Ql(zu1 + gi) 3 u 1 ) ~ = - z 7 2

k(zu1 + gi)-ul d x

I I4 ko ll.ZUl + 91110 I Q k . o ( 1 4 2 + I4 I l ! 7 l l l Z )

rnit der Norm K Z der Einbettung H i I-+ L2(Q). Wegen


Die Bedingung (4.6) stellt in diesem Fall, wie zu erwarten war, eine Schranke fur ICo dar .

Beispiel 2. Beim Nachweis der Eigenschaft Vz haben wir die Abschatzung

KYZ llRz,(O)Ib 5 ~llplbll~l 121 fur IzI 5 TI und y E I'

gefunden, wobei IC die Norm der Einbettung H i - C( n) sein kann. Schatzen wir IIP1Slli' ab: Wir finden

also (4.16)

falls ul(y) # 0 ist. Im Fall u1(y) = 0 ware R;,(O) = 0, die Widerstandskraft Q 2

wurde dann bei einer Ausbeulung nicht wirksam werden. Formal kann man aus der Un- gleichung (4.16) eine Verzweigungsbedingung ablesen, sie ware jedoch vom Standpunkt der Mechanik unbefriedigend, da sie die Wirkung der Zwangskraft Qz nicht kenntlich macht. Bei einer genaueren Untersuchung von Beispiel 2 beschranken wir uns auf ein fixiertes Vorzeichen von z E IR; im folgenden sei

(4.17) 4 Y ) > 0 1

was keine Einschrankung der Allgemeinheit bedeutet, da auch das Vorzeichen von u1 geandert werden kann. Fur g2 := RT,(O) ergab sich in diesem Beispiel die Inklusion

(4.18) gz - Y A g z - J3Qz(zu1 +gz) 3 0

bzw. (4.19) ( id-yA)gz+mPlb = 0

fiir ein m E ( ~ ~ ( ( z u l + g2(z, r))(y)) mit der Abschatzung

(4.20)

Skalarmultiplikation mit g2 in (4.19) ergibt

(4.21)

fur y E I?, also m(z,y)gz(z,y)(y) 5 0. Nun ist cpz monoton und 0 E c p ~ ( 0 ) vorausge- setzt, folglich (4.22) 4 2 1 Yl(Z"1 + 92(z, Y))(Y) L 0 fur y E I'. Da wir zul(0) > 0 voraussetzen, wurde aus g2(z, y)(y) 2 0 sofort m(z, 7) 2 0 folgen. Wegen (4.21) schliefien wir demnach

(4.23) llgz(z,y)llz = 0

156 Math. Nachr. 177 (1996)

oder (4.24) Sz(z,y)(Y) < 0 und m(z , r> > 0

(4.25) 0 5 zw(Y)+gz(z,Y)(Y) L W(Y),

fur y E I?. Im Fall (4.24) gilt also wegen (4.22)

und wir kommen zu folgendem Kriterium: Sei zu1(y) > 0 und

(4.26) E~ := sup{ m E p2(zul(y))} 5 klzu1(y) fur IzI 5 T15 .

Dann ist in (4.16)

(4.27) Ilszll: I (1.1 1212 I.l(Y)I2 17

fur (z l 5 ~ 1 5 , zul(y) > 0, y E I’, was auch im Fall (4.23) richtig ist. Die Bedingung (4.6) erfordert also, dafi die durch Qz dargestellte Widerstandskraft nicht “zu steif” ist. Analog lafit sich auch der Fall zul(y) < 0 abhandeln. In den Beispielen 3-4 mu0 man lediglich die Wirkung der Widerstandskrafte aufsummieren. Damit ergeben sich in allen Beispielen mechanisch relevante Kriterien fur das Ausbeulen eingezwangter Platten bei Steuerparametern y E I’.

Literatur

[I] B R I ~ I S , H., Opkrateurs Maximaux Monotones, North-Holland Publishing Company, Amster- dam, London, 1973

[Z] CIARLET, PH.G., RABIER, P., Les &quatiom de von K h i n , Lecture Notes in Mathematics, 826, Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1980

[3] KAKUTANI, S., A Generalisation of Brouwers Fixed-Point Theorem, Duke Math. J., 8 (1941), 457-459

[4] LANGENBACH, A., Monotone Potentialoperatoren in Theorie und Anwendung, VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin, 1976

[5] LANGENBACH, A., Uber L-Differenzierbarkeit aufmetrischen Raumen und irnplizite Funktionen, Math. Nachr., 166 (1994), 55-65

[6] MCLEOD, J.B., TURNER, R.E.L., Bifurcating for Nondifferentiable Operators with an an Appli- cation to Elasticity, Arch. Rational Mech. Analysis, 63 (1976/77), 1-45

[7] MESEJO, J.A., Anwendung des Satzes uber implizite Funktionen auf zwei Probleme der Platten- theorie, Diplomarbeit, Humboldt-Univ. Berlin, 1987

[8] MICHLIN, S.G., Integralgleichungen und ihre Anwendungen a d einige Probleme der Mechanik, mathematischen Physik und Technik, OGIZ, Moskau, Leningrad, 1949 (in Russian)

[9] TIMOSCHENKO, S.P., Platten und Schalen, OGIZ, Moskau, Leningrad, 1948

zur Mathematik, Teubner Verlagsgesellschaft, Leipzig, 1976 [lo] ZEIDLER, E., Vorlesungen iiber nichtlineare Funktionalanalysis I - Fixpunktsiitze, Teubner Texte

HumboIdt-Uniuersittil Berlin Fachbereich Mathematik D - 10099 Berlin Germany

Documents

Über Beulen Eingezwängter Platten