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tJber den Kreisringtriiger mit begrenzter Verformung bei iiberkritischem AuBendruck.

Vori H. Link.

1. Einleitung und Voraussetzungen. Dem hier behandelten Problem liegt ein diinner Kreisringtr~ger mit konstanter Querschnittsfl~che F u n d unver~nderlicher Biegungssteifigkeit E J zugrunde, derim unbelasteten Zustand den auf den Schwerpunkt der Querschnittsfl~che bezogenen Halbmesser r 0 hat. Der Ring ist in seiner Ebene ringsum dutch einen gleichf~rmigen, ~uBeren Druck p belastet, dessen Wirkungslinien auch naeh erfolgter Yerformung des Ringes noch senkreeht zu den zugeordneten Ringelementen sein sollen (Fliissigkeitsdruck).

Der Ring ist umgeben yon einem als starr a~zusehenden dickwandigen Ring, dessen innerer Halbmesser dem guBeren Halbmesser des unbelasteten Kreisringtragers gleich ist, so dab bei fehlender Belastung der Kreisringtrgger ohne Spiel in den umgebenden AuBenring hineinpaBt. Die Umfassung des Innenringes kann auch eine beliebige andere iiuBere Form haben, nur soll sie ausreichend starr und so kreiszylindrisch ausgenommen sein, dab sie den Innenring ohne Spiel aufzunehmen vermag.

Als Folge des Druckes p verkiirzt sich der Umfang des Innenringes, so dab dieser nicht mehr fiber seine ganze L~nge an dem umschlieBenden AuBenring anliegen kann. Solange p <p~ ist und die Ringmittelpunkte zusammenfallen, findet keine Beriihrung zwischen Innen- und AuBenring statt . Zwischen beiden Ringen entsteht ein Spalt. Unter ps0 ist dabei der kleinste kritische Druck zu verstehen, bei dem neben der kreisfi}rmigen Gleichgewichtsfigur des Innen- tinges noch eine -con der Kreisform abweichende Gleichgewichtsfigur existiert 1.

Wird p ~ p~, so knickt der Innenring aus, wobei er am AuBenring zur Anlage kommt. An den Anlagestellen werdert vom AuBenring auf den Innenring Stiitzkrgfte iibertragen. Die Zahl, Art und Anordnung der Anlagestellen, sowie Gr5Be und Beschaffenheit der dort auf den Innenring ausgeiibten Stiitzkr~fte h~ngen yon der GrC}Be des Druckes p und den Abmessungen des Innenringes ab.

Die gul~ere Verformungsbegrenzung bewirkt mittelbar auch eine Begrenzung der nach innen bin gerichteten Verformungen des Innenringes, so dab in dem praktisch wichtigen Be- reich sehr kleiner u auf den diese Untersuchung beschrgnkt ist, ein stabiles u des Innenringes erreicht wird. Im allgemeinen bestimmt daher die Werkstoff- festigkeit die Tragfghigkeit des Ringes. Hier soll vorausgesetzt werden, dab der Innenring aus einem Hookeschen Material besteht, das alle im Verlauf der Untersuchung vorkommenden Beanspruchungen vertragen kann.

Das Problem ist mehrdeutig, weft zum gleichen ~uBerell Druck p mehrere verschiedene Formen des Innenringes gehSren kSnnen. AuBerdem weist das Problem Durchschlagerschei- nungen auf. Der dutch gleichfSrmigen AuBendruck belastete Kreisringtr~ger mit nach aul~en bin begrenzter Verformung zeigt daher in seinem Verhalten Ahnlichkeit mit einem geraden, durchbiegungsbegrenzten Knickstab 3.

Die Untersuchung beschrankt sich auf die Ermittlung der mSglichen Ringformen im Be- reich sehr kleiner u und die dabei vom AuBen- auf den Innenring iibertragenen Stiitzkr~fte in Abh~ngigkeit vom AuBendruck p mit dem Ziel, die Bestimmung tier Schnitt- krgfte und Spannungen im Innerrring zu erm5ghchen. Hierbei sind Reibungskrgfte, wo solche etwa auftreten kfnnen, vernachlgssigt.

2. Die praktisehe Bedeutung des Problems s. Die Auskleidung yon Bergwerkssch~chten in wasserfiihrenden Deckgebirgsschichten besteht meistens aus einer diinnwandigen Eisenr5hre yon kreiszylindrischem Querschnitt, die yon einem starken, ebenfalls kreiszylindrischen Be- tonmantel umgeben ist. In grsBeren Tiefen werden zuweilen zwei ineinanderstehende Eisen- rShren verwendet, deren Zwischenraum mit Beton ausgefiillt wird. Der AnsehluB einer solchen doppelwandigen RShre an alas Gebirge wird auch dutch einen Betonmantel hergestellt.

i E. Chwalla u. C . F . Kollbrunner, Stahlbau 1938, S. 73/78. 2 H. Link, Ing.-Arch. 22 (1954), S. 237.

H. Link, Gliickauf 90 (1954), S. 581.

XXlI I . B~nd 1955 Link: Uber den Kreisringtr/iger mit begrenzter Verformung usw. 37

Abb. l a und lb zeigen einen senkrechten Schnitt durch einen in der Htihe begrenzten Tell solcher Schachtauskleidungen. Die Eisenr~hren bestehen im zllgemeinen aus einzelnen Ringen und dlese wiederum aus einer gri~13eren Zahl yon Segmenten. Die Segmente sind entweder miteinander verschraubt oder manchmal auch verschweifSt.

Der ringsura auf die R6hre wirkende gleichf~rmige Wasserdrnck stellt den wesentlichsten Teil der Belastung derartiger Schachtauskleidungen dar. Seine GrtiBe wfichst proportional mit der Tiefe. Seine Angriffsflache wird bes t immt dutch das Durchlassigkeitsverh~ltnis des Beton- mantels zum Eisenraantel. Im Grenzfall mug angenommen werden, dab der volle hydrostatische Druck an der EisenrShre anga'eift 1, well die Durchl/issigkeit des Betonmantels fast immer sehr viel grislier als die der Eisenr6hre ist. Letztere hat neben ihrer rein statischen Aufgabe vor allem fiir die Dichtigkeit der Schachtauskleidung zu sorgen.

Ira allgemeinen wird auf die Herstellung einer ausreichenden Verbindung zwJschen Eisen und Beton dutch konstruktive MaBnahmen im Schachtausbau verzichtet. Daher kann sich bei Ein- wirkung des Wasserdruckes auf die Eisenr~ihre diese unter Umst/inden dutch Uberschreitung des natiirlichen Haftverrafgens zwischen Eisen und Beton yon dem um- gebenden Betonmantel 1/isen und einbeulen, weft sie hiergegen fast hie eine ausreiehende Sicherheit hat. Die damit verbundenen Verformungen der Eisenr6hre werden jedoeh dureh den umgebendenBetonmantel be- grenzt~ der wegen seiner groBen Wandst~rke hinreiehend genau als start

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aufgefaBt werden kann. Fiir den Wasserdruck gilt die getroffene Voraussetzung, dab seine Wirkungslinien stets senkrecht zur ~iul3eren Mantelfl/iche der Eisenr6hre sin& Das bei Schacht- auskleidungen vorliegende Problera stimmt daher in allen grunds~itzlichen Punkten mit dem bier behandelten iiberein. Wegen der grol~en L~nge solcher Schachtr6hren ist lediglich dabei der Elastizit~itsraodul E durch E* = E/(1--/z 2) zu ersetzen.

Das Problem hat aul3erdem praktische Bedeutung fiir entleerte Druckstollen oder Druck- sch/ichte yon Wasserkraftanlagen, wenn diese mit einera diinnwandigen Stahlrohr gepanzert sind und der Raum zwischen Stahlrohr und Felsausbruch mit Beton ausgefiillt ist 3. Hierbei wirkt yon auSen her ebenfaUs der Gebirgswasserdruck auf den Stahlmantel und versucht ihn einzubeulen 8

3. Die Grundlagen fiir die Liisung des Problems. In Abb. 2 ist ein Element des Innenringes dargestellt. Es bedeuten darin:

A o B o m i t Kriimmungsradius r 0 das Element im unbelasteten Zustand des Ringes,

A1B 1 mit Kri immungsradius r 1 das Element des belasteten, aber kreisfi~rmig gebliebenen Ringes (erste Gleichgewichts forra),

A2B2mit Kriiramungsradius r 2 das Element des belasteten, yon der Kreisform abgewichenen Ringes (zweite Gleichgewichtsform).

1 F . M o h r , Bergbau-Archi,, 2 (1946), S. 7. 2 E. Ams tu t z , Schweiz. Bauz. 68 (1950), S. 102. ~ H . Ju i l lard , Schweiz. Bauz. 70 (1952), S. 451,468, 487. - -

E. Ams tu t z , Schweiz. Bauz. 71 (1953), S. 229. - - I t . Ju i l lard , Schweiz. Bauz. '/1 (1953), S. 382. 3 E. Chwalla, VeriSffentlichungen des Deutschen Stahlbau-Verbandes. Heft 3 (1954).

38 Link: Uber den Kreisringtr/iger mit begrenzter Verformung u s w . Ingenieur-Archiv

Beim t~bergang yon der ersten zur zweiten Gleichgewichtsform erfhhrt das Ringelement eine tangentiale Verschiebung v und eine radiale Yerschiebung w. Es wird festgesetzt, dab v > 0 sein soll, wenn die tangentiale Verschiebung im Sinne eines wachsenden Winkels ~0 er- folgt, w soll positiv sein, wenn die radiale Verschiebung zum Kriimmungsmittelpunkt hin ge- r ichtet ist.

Wie aus Abb. 2 durch eine einfache geometrische Betrachtung entnommen werden kann, er- geben sich die Dehnung, Querschnittsdrehung und die Krtimmungshnderung beim tJbergang

#~rld~ j _ N§ yon der ersten zur zweiten Gleichgewichtsform unter Vernachl~ssi- guns der Glieder 2. und h iherer i r d n u n g , ausgedriickt dutch die

d1r Verschiebungen v und w und deren Ableitungen, zu:

1 dv ~ - - - W - -

r l ~ "~

Es ist ~ > 0 bei Stauchung des Elementes, ~0 > 0 , wenn die Quer- schnittsdrehung mit wachsendem Winkel ~ im Uhrzeigersinne er- folgt, und n > 0, wenn beim ~bergang yon der ersten zur zweiten Gleichgewichtsform die Kri immung vergrSBert wird.

Die Schnittkr~fte fiir die erste Gleichgewichtsform sind Abb. 3. Kr~ifte am Ringel . . . . t J (2)

bel d . . . . . iten Gleichgewichtsform N1 ~-~ P rl~ Q1 -~ 0, M 1 ~--- p ~ , des Ringes.

Die beim ~bergang yon der ersten zur zweiten Gleichgewichtsform zus~tzlich auftretenden Schnittkrfifte ergeben sich aus dem Kr~ftegleichgewicht am verformten Ringelement nach Abb. 3 zu

EJ [d2v dSw~ { (3)

M~ = ~kd ~ + d ~ / . ] Hierin sind die Verformungseinfliisse auf die Sehnittkr/ifte ausreichend beriicksichtigt.

Die Gesamtschnittkr/ifte im Ring ftir die zweite Gleiehgewichtsform ergeben sich als Summe d e r Sehnittkr/ifte nach den Gleiehungen (2) und (3), also

N = N~ + N2,

Q =Q~ +O~, (4) M = M~ + M 2 .

Das Momentengleichgewicht aller am Ringelement bei tier zweiten Gleichgewichtsform des Ringes angreifenden Kr~fte liefert mit O~ als Drehpunkt

~ ( ~ + ~ ) + ~ L + + = o . k~ ~ ~ 1 d \ ~ ' ~ ] J Wird hierin wegen r~ ~ rl der Radius r e dutch r~ ersetzt und ferner in Anlehnung an die A u f fassung yon Chwalla ~ s ~- 0, also nach (1)

dv

dq~

gesetzt, so erh~ih man daraus mit tier Abkiirzung

pr~ k 2 = l + ~

x E. Chwalla u. C. F. Kollbrunner, FuBnote 1 yon S. 36.

(5)

(6)

XXIII. Band 1955 Link: (~ber den Kreisringtrfiger mit begrenzter Verformung usw. 39

die lineare Diffe~entialgleichung

d% + (k ~ + 1)d~v k~ d~v ~0 ~ + ~ = 0 . (7) Sie ha t die allgemeine L6sung

v - ~ A x c o s k 9 ~ - A ~ s i n k ~ + A s c o s ~ + A ~ s i n ~ ~ - A ~ + A 6 (8)

und wurde erstmals yon Federhofer ~ angegeben.

4. Die miiglichen Ringformen in Abh~ingigkeit vom i/ulleren I ) ruck p. a) D i e G r u n d - f o r m e n d e s R i n g e s. Als erste wird die am n/ichsten liegende Ringform untersucht , bei der der Innenr ing an a in gleichem Abs tand aufeinanderfolgenden Punk t en am AuSen- r ing anliegt. A]le zum Innenr ing gehSrigen B(igen bef inden sich dabei beziiglich ihrer Be- las tung und Verformnng in der gleichen Lage, so dab s~mtliche Anlagestellen des Innenringes gegeniiber der ersten Gleichgewichtsform die gleiche tangent iale und radiale Verschiebung erfahren haben miissen. Es k o m m t jedock nur auf die radiale Verschiebung an, da die tangent ia le Verschiebung stets durch eine entsprechende Drehung des ganzen Ringes um seinen Mit te lpunkt zum Verschwinden gebracht werden kann. Die Untersuchung darf sich au f einen Bogen beschr~nken.

In Abb. 4 ist ein Bogen eines Innen- t inges der vorausgese tz tea F o r m mit dem Offnungswinkel 2 ~o zwischen zwei benach- barren Anlagestellen dargestellt . Mit den dort verwendeten Bezeichnungen gelten fiir die Anlagestellen die Bedingungen

v = 0 fiir ~ = ~ o ,

w = w o fiir 9 = 4 - 9 o , dw d~ 0 fiir ~v ~ % .

/

Abb. 4. Bogen des an a in gleichem Abs tand aufeinanderfolgenden P u n k t e n anliegenden Ringes.

Hiermi t e~gibt sich aus (8) alas folgende, ftir die eindeutige Bes t immnng der In tegra t ions- kons tan ten ausreichende Gleichungssystem:

0 ~- A1 cos k % ~ A 2 sin k~v o + A a cos ~v o + A~ sin 90 -? A5% ~- A6' ) 0 = A l c o s k 9 o - - A 2 s i n k % ~ - A 3 c o s % - A ~ s i n g o - A 5 9 o + A 6 , I

w o = - - A l k s i n k % + A 2 k c o s k g o - - A a s i n % + A ~ c o s % + A s , [ (9)

w o = A l k s i n k % + A 2 k c o s k 9 o + A a s i n % + A 4 c o s % - ~ A 5 , [

0 - - ~ - - A l k 2 c o s k ~ o - A 2k s s i n k % - A a c o s 9 o - A a s i n % , I

0 - - ~ - - A l k 2 c o s k % ~ - A 2k 2 s i n k % - A 3 c o s % - 4 - A a s i n % . J

Du tch Addi t ion und Subt rak t ion der jeweils zu der gleichen Grenzbedingung gehSrenden zwei Gleichungen ergeben sich aus (9) die zwei Gleichungssysteme

0 = A 1 cos k % ~- -//a cos % + As , 0 = A 2 sin kgo + A 4 sin % -~ A 5 % , ] O = A l k s i n k % + A a s i n ~ , (10a) wo~_ A e k c o s k % + A4cos%-~ As , [(lOb) 0 = A l k U c o s k ~ o + A s c o s ~ o , 0 = A u k 2s ink% + A a s i n % .

Das Sys t em (10a) wird entweder befriedigt durch die triviale LSsung

A 1 = A a : , 4 6 = 0 (11)

oder durch die sich aus dem Verschwinden der Koeff iz ientendeterminante ergebende Bedingung

sin k % cos ~o - - k cos k % sin % = 0 . (12)

Fiir die weiteren Be t r ach tungen wird zun~ichst (11) zugrunde gelegt. Die iibrigen Kon- s t an ten ergeben sich dann aus (10b) zu

wo qosin qVo -//2 ~ (k 2 __ 1) sin ~osin k~v o ~- k%(s in % cos k~v o - - k cos ~0 sin k~o ) '

- - Wo k~ qv o sin k~o (13) A4 ~ ( k 2 - 1 ) s i n ~ o s i n k ~ v o~-k~o(sin~v o c o s k ~ o - k c o s ~ o s i n k ~ o ) '

Wo (k z ~ 1) sin k ~o sin ~v o /15 ~- (k 2 __ 1) sin q~o sin k ~o + k ~v o (sin ~v o cos k q~0 - - k cos % sin k ~o) '

K. Federhofer, Eise~bau 12 (1921), S. 29!,

40 Link: ~ber den Kreisringtr/iger mit begrenzter Verformung usw. Ingenieur-Archiv

Wegen (11) und (8) ist v eine ungerade Funktion und daber w wegen (5) eine gerade Funl~tion, d.h. . . d 2 v , d % d ~ w

der Bogenis t zuq = 0 symmet~isch ~erformt. Fiir ~v = 0 verschwinden daher ~ u n d d~ - - d~v3 ,

also gem~B (4), (3) und (2) auch die Que~kraft in der Mitte des Bogens.

Bes t immten 0ffnungswinkeln 2qo des Bogens sind Belastungsbereiche k" ~ k ~ k ~ zu- geo~dnet, in denen die betreffende Ringform existieren kann. Die untere Grenze k~ dieser Belastungsbereiche ergibt sich aus der Bedingung, dab sich der Innenring drucklos an den AuBenring anlegt. An der unteren Grenze der Belastungsbereiche muB also die Stiitzkraft P : - 0 sein Das ist der Fall, wenn die Querkraf t an der Anlagestelle des Bogens verschwindet. Aus

Ej/ v = 0

folgt mit (8) unter Beriicksichtigung yon (11) s i n k q o = 0 oder k q ) o = r t : r ( n = 1 , 2 . . . ) . Der kleinste Wef t h" ergibt sich hieraus mit n = 1 zu

k" = ~ , (14) ~Vo

oder wegen aqo : - a (vgl. A b b . 4) auch zu

= a . (15)

Die untere Grenze k ~ der Belastungsbereiche s t immt mit der Zahl der Anlagestellen iiberein. Die obere Grenze/~~ der Belastungsbereiche ergibt sich aus der Bedingung, dab die Kriim-

mung des Innenringes an der Anlagestelle gleich der Ringkrfimmung ira unbelasteten Zustand sein muB. Diese Bedingung ist gleichbedeutend mi t dem Verschwinden des Biegungsmomentes an der Anlagestelle. Aus

= J + = 0

p r~ und den Kons tan ten A 2 , A 5 nach (13) ergibt sich mit (8), (11), w o - - E F

sin k~v o cos qo - - k cos kqo sin qo : 0 . (16)

Diese Bedingnng stimrat mit (12) iiberein nnd geht mit aqo = ~ fiber in

sin(k-~a) cos (---~a)- k eos(k Za)sin(~a~a)=0. (17)

Durch (17) wird jedem Wert a (a ~ 2, ganzzahlig) in eindeutiger Weise ein,kleinster Weft k ~

zugeordnet. In der nebenstehenden Tabelle sind die unteren nnd oberen Belastungsgrenz- werte k ~ und k ~ in Abh~ngigkeit yon der Zahl der Anlagestellen a angegeben.

1 ~ [ _ 2 3 1 4 1 5 ] 6 I 7 ] 8

k u l 2 , 0 0 3,0014,0o z,oo 6,00 7,0o a,oo

/~0 I]3,00 4,37 5~-8-1~--~lS--~[10--~5-t~,~- Wie die Tabelle zeigt, fiberschneiden sich mit Ausnahme yon a : 2 die Belastungsbereiche,

so dab zu einer bes t immten Belastung des Ringes verschiedene Ringformen geh~ren kfinnen. Zur Ermi t t lung der Schnittkr~ifte und Spannungen im Ring gehSrt daher die Angabe der zu- grunde gelegten Ringform.

�9 Die mit (16) zur Auffindung der oberen Belastungsgrenzwerte k ~ ffir die verschiedenen Ring, formen fibereinstimmende Bedingung (12) vermag das Gleichungssystem (10a) zu befriedigen, ohne dab die Konstanten A~, Aa und zla verschwinden. Sie stellt somit eine Stabilit~ts- bedingung dar, mit deren Hilfe die relativen Grt~Ben yon A~, A a und r nach (10a) berechnet werden kSnnen. Dami t sind abe~ auch die auf diese Konstanten zuriickgekenden Anteile der Verschiebungen v und w bis auf einen gemeinsamen, an der Stabilit~itsgrenze sehr klein zu denkendenPa rame te r festgelegt.

Die radialen Verschiebungen w des Bogens zwischen zwei Anlagestellen setzen sich dann zu- sammen aus einem zu q -~ 0 symmetr ischen Anteil (Az, A~, A~) und einem zu 99 = 0 antisym- metrischen Anteil (A~, An, A~). Bei freier Verformungsm~glichkeit wfirde der Bogen anti-

xxIII. Band 1955 Link: ~lber den Kreisringtr/iger mit begrenzter Verformung Usw. 41

symmetr isch ausknicken, wenn k und q~o der Bedingung (12) bzw. (16) genfigen. Die yon dem symmetr ischen Verformungsanteil herrfihrenden Biegungsmomente an den Bogenenden ver- schwinden. Die Gesamtbiegungsmomente an den Bogenenden ergeben sich daher nur aus dem ant isymmetr ischen Verformungsanteil und betragen nach (3) mit Verwendung yon (8) und (12)

E J k (k 2 1) sin k % .

Sie haben damit far die beiden Bogenenden entgegengesetzt gleiche Grt~Be.

Bei dem hier behandelten Problem kann abet an den Anlagestellen kein negatives Biegungs- moment im Innenring auftreten, well dazu die l~ingkrammung an der Anlagestelle kleiner als im unbelasteten Zustand werden mfiBte. Dies aber wird durch den AuBenring verhindert . Mithin muB im vor]iegenden Fall auch dann A 1 = A3 -~ A6 -~ 0 sein, wenn die Bedingung (12) bzw. (16) erfa lh ist. Der AuBenring l~Bt kein antisymmetrisches Ausknicken des Bogens bei erreichter oberer Belastungsgrenze k ~ zu.

Mit den behandelten 1Ringformen ist bereits eine wesentliche Gruppe der m~glichen Gleich- gewichtsformen erledigt. Es muB hierzu noch erg/inzt werden, dab mit wachsender Zahl a

Abb. 5. kRing beim tJbergang yon der zweipunktig in die dreipunktig gestiitzte Grundform.

der Anlagestellen die Genauigkeit der abgeleite- ten Formeln geringer wird, well alle einleitend gemachten vereinfachenden Voraussetzungen mit wachsender Belastung p zunehmend schlechter zutreffen.

, / P '

Abb. 6. Die l~bergangsstelle a des Binges naeh Abb. 5 in grgBerem MaBstab,

b) D i e ( 3 b e r g a n g s f o r m e n d e s R i n g e s . Eine zweite Gruppe yon Gleich- gewichtsformen ergibt sich beim Ubergang des an a in gleichem Abstand aufeinanderfolgenden Punkten gesti i tzten Ringes in eine gleichartige Ringform mit einer gr~Beren Zahl yon Anlage- stellen. Die einfachste Gleichgewichtsform dieser Art ents teht nach [lberschreitung der oberen Belastungsgrenze des an zwei sich gegenaberliegenden Punkten gestiitzten Ringes. Dieser Fall wird anschlieBend behandelt.

In Abb. 5 ist ein Ring mit den daran angreifenden Kr~ften, beim Ubergang yon der zwei- punkt ig in die dreipunktig gestatz te Grundform, dargesteih. Dabei ist unterstellt , dab der Ausgangszustand dieser t l ingform durch das Zusammenfallen der Stiitzkr/ifte P ' , also durch ~0 = 0, gekennzeichnet ist. Da der Bogen zwischen den Kr/iften P ' auch am AuBenring an- liegen kann, ist fiir diesen Teil des Ringes als ~iul3erer Druck p ' angenommen worden.

Der Ring setzt sich zusammen aus zwei Bt~gen 1 vom 0ffnungswinkel 2 % und einem Bogen 1' vom 0ffnungswinkel 2 ~v 0. Fiir diese B~gen ergeben sich entsprechend der angenommenen verschiedenen Driicke p und p ' auch unte~schiedliche Radien r t und /1 fiir die erste Gleich- gewichtsform. Die t3bergangsstelle a yore Bogen 1 in den Bogen 1' ist in Abb. 6 mit den dort auf t re tenden Verschiebungen der Bogenenden dargestellt. Danach muB v 0 = --v 0 sein.

Fa r den Bogen 1 erh~lt man mit den Grenzbedingungen

v = v 0 far q~ ~- ~Vo, v = 0 far ~ ----- - - % ,

w = w 0 far ~v = • dw d~- = 0 far ~v = ~ %

42 Link: Ober den Kreisringtr/iger mit begrenzter Verformung usw. Ingenieur-Arehiv

aus (8) das G le i chungsys t em

v o = A 1 cos k %

0 --= A 1 cos k %

w 0 = - - A 1 k sin k 9)0

w o = A I k sin k %

0 = - - A l k 2 cos k %

- t - A 2 s i n k % @ A acosg)o @ A 4 s i n g ) o + A 5 % + A s ,

- - A 2 sin kg) o @ A a cos 9)0 - - A4 sin 9)0 - - A59)o -}- A6,

+ A ~ k c o s k % - - A a s i n % @ A ~ c o s g ) o + A s ,

+ A 2 k c o s k g ) o + A a s i n % + A ~ c o s g ) o + A s ,

- - A 2 k ~ sin kg) o - - A a cos 9)o - - A~ sin 9)0,

0 = - - A l k 2coskg) o + A 2 k 2 s i n k % - A 3 c o s g ) o + A 4 s i n g ) o .

Hie raus e rgeben sich nach A d d i t i o n un4 S u b t r a k t i o n yon jewei ls zwei zur gleichen Grenz- bed ingung geht i renden Gle ichungen die be iden Gle i chungssys t eme

v~ - - A 1 cos kg) o @ A 3 cos 9)o @ -An, ] 2

0 = A l k s i n k % -4-A3sing)o , 1 (18a)

0 = A ak ~coskg) o-t- Aa cos % , /

v~~ = A 2 sin kg) o + A~ sin % + A 5 % , 2

w o = A z k c o s k % + A a c o s g ) o - ~ A s ,

0 = A2k ~ sin k % + A~ sin 9)o"

F i i r den Bogen 1' e r h a l t m a n mi t den Grenzbed ingungen

v' ----- t -v o = :~2 v o fiir 9)' = q-9)o ,

w' - Wo f ~ 9)' = • 9)0, dw'

- o far 9)'=4-9)'o d~v"

aus (8") auf dem gleichen Wege die be iden Gle ichungssys teme

t t t 0 =- A 1 cos k'9) 0 @ A 8 cos 9)0 @ A 0 ,

O = A ' l k ' s i n k ' 9 ) o + A ~ s i n g ) o , (19a) ! t t t

0 = A~ k '~ cos k 9)0 § A3 cos 9)o,

- Vo = A ; ~ n k'9)o + A ; ~in 9)0 + A ; 9 ) o , t ! t I

w o = A ~ k ' c o s k ' 9 ) ' o + A 4cos9) o + A 5 t t t * I

0 = A ~ k '~ sin k 9)o q- Aa stag) o .

Aus den gleichen Gr i inden wie be im Ring Anlages te l l en m u g i m m e r

Vo / nach (18a) A t -= A a = 0 ; A6 = 2 - ' (20)

' ' = A ' t ,, (19a) A1 = A a 6 = 0

sein, se lbs t d a n n , wenn die die G le i ehungssys t eme (18a) und (19a) ebenfal ls be f r ied igenden St abi l i t i i t sbe d ingungen

sin kg) o cos 9)0 - - k cos kg) o sin % = 0 ,

sin k'9) o cos 9)0 - - k' cos k'9) o sin 9)o = 0

erf i i l l t sind. D a m i t e rg ib t sich aus (18b) und (19b) das folgende Gle ichungssys tem:

(19b)

mi t in gle ichem A b s t a n d au fe inander fo lgenden

(21)

(18b)

v-2~ = A2 sin kg)o @ A a s i n ~ o +A59)o 2 ' ] W o = A2 k cos k 9)0 ~- A~ cos 9)0 -f- A s , [ 0 = A 2 k 2 sin kg) o + A~ sing) o , [

t t , f �9 t [ - - v o = A 2 s ink '9) o - ~ A 4sm9)o q-A59)o ,

f z t / w o = A'2k' cos k'9) o + A 4 cos 9)0 + A s , [

A / ~ v 2 �9 ~ ! t ~ A t , t J 0 - - ~2 tz sm tz 9)0 N- -44 sm 9)o"

XXIII. Band 1955 Link: Uber den Kreisringtrfiger mit begrenzter Verformung usw. 43

An der lJbergangsstelle a tier beiden BSgen 1 und 1' mfissen ferner noch die folgenden Be- dingungen erfiilh sein:

M~=~o = M~,=%,

N~=~o = N~,=~;, t

e ' = Q~=~o + Qr "

Hieraus ergeben sich mit (2) und (3) unter Berficksichtigung yon (20) in derselben Reihenfolge die Gleichungen

1 cos + cos = (A'zk' oos + A ; cos /-2 y 12

p (r o -[- A~ cos ~Vo) : p ' (r o + A~ cos r (22)

P ' -~ p A 4 sin~o + p' A~ sin ~o.

Die in Abb. 5 dargestelhe Gleichgewichtsform des Ringes kann dann mit den kleinsten /iuBeren Drficken p und p ' aufrechterhalten werden, wenn die Querkr/ifte an den Enden des

t t �9 t t Bogens 1' Q~,:% = Qr = 0 sin& Hieraus ergibt sich wegen Qv'=% =P 'A~s in~vo und p ' ~= 0 ftir die Konstante A~ = 0. Die letzte Gleichung des Systems (21) kann damit durch eine der folgenden beiden Bedingungen erfiilh werden:

A'o : A~ : 0 , (23)

A ~ = 0 ; sink'9~ o : 0 . (24)

Mit der B e d i n g u n g (23) wird aus den Gleichungssystemen (21) und (22)

~ : A~ sin k~o -]- A 4 sin ~o + A59~o,

w o = A ~ k c o s k ~ v o + A acos~v o + A ~ ,

0 : A~k ~ sin k~v o + A a sin ~Vo,

- - Vo = ~ 5 ~ o , ( 2 5 ) / �9

W 0 = . / /5

0 = A z k ~ cos k~o + Aa cos ~v o,

p'/p 1 + A~ : - - COS ~ 0 r o

P ' : p A~ sin qo �9 Die dritte und sechste Gleichung dieses Systems ktinnen nut dann eine yon A~ : A, : 0

(erste Gleichgewichtsform) verschiedene LSsung haben, wenn die sich aus dem Verschwinden der Koeffizientendeterminante ergebende Bedingung

sin k~o cos q~o -- k cos k~o sin q~o : 0 (26) effiiIh wird. Hieraus ergeben sich die in der Tabetle angegebenen Belastungswerte k in Ab- hfingigkeit yore Winkel ~o

90 85 80 75 70

k

3,000 3,156 3,337 3,542 3,779

65 4,O53 4O 6O 4,375 35 55 4,756 30 50 5,217 25 45 5,782 2O

Mit Benutzung yon (26) ergeben sich aus (25) die

~ o - ~

. V0 . (WO ~ 0 ~ " ~ - ) S 111 ~90

(k ~ - -1) sin kgo (sin qo ~ 9o cos ~Oo)

A 4 ~ - _ (k2 - - 1 ) ( s i n ~o --q~oCOS ~Vo)

wosin ~v o - - - ~ cos Fo

A 5 ~- sin (?o__(po cos q %

6,490 15 7,402 10 8,621 5

10,340 0 12,900

Konstanten zu

mi t

w~ - - E F

und t i

V 0 ~ - - WOCPO - -

k

17,180 25,750 51,500

OG

! I I I f

# / 1 2 [ ~P-q) " ]

J

(27)

44 Link: Uber den Kreisringtr/iger mit begrenzter Verformung usw. Ingenieur-ArChiv

SchlieBlich wird noch mit A~ aus (27) und v o = - - Wo~' o aus der vorletzten Gleichung yon (25)

( w'o qO'o/2 / k 2 1 + Woq~oJ p'

- - i $#o

P ro (k2 1)(tgq~o ]) \ ~o

Dieser Ausdruck geht mit wo ~ p' _ p r~ und w o - - (k 2 -- 1) J w o p E F

,i z' S_~ /J :~j _ /o -s ~_1~ ~' /_:=1~ s

p = - - - - - - . % / 2 " (28)

l , J - - - -

ii - / h•o

' YO 80 70 ~0 50 qO 30 20 70 o

Abb, 7. Druckverhi i l tnis pt]pin Abhllngigkeit yon ~o fi ir verschiedene Werte

J/Frr nach G1. (28). Driicke p'/p nut sehr wenig griiBer als 1, so dab in der Regel z u r

Best immung der Schnittkr~ifte im Ring mit p ' ~ p gerechnet werden kann. Wegen der zur Ableitung benutzten 1N/iherungen enth~ilt (28) einen mit wachsendem Druckverh~ltnis p'/p zunehmenden Fehler.

Mit der B e d i n g u n g (24) wird aus den Gleichungssystemen (21) und (22)

V_o = A~ sin k % + A~ sin ~o + A ~ o , 2 w o = - A ~ k c o s k % + A ~ c o s g o + A ~ ,

0 = A2k~ sin k~v o + A a sin ~Vo,

- V o = A ; ~ o , , , , 9 ) Wo =___ Az k' + A s ' (2

1 A'

p' A4 - - = 1 + - - cos % , P ro P' = - p A 4 s i n % .

Aus (29) kSnnen die Kons tan ten As, A~, A 5, A~ und A~, sowie Vo, P ' und k eindeutig ge- wonnen werden, da die Zahl der Unbekannten mit der der Gleichungen fibereinstimmt. Die ex-

p ' plizite Darstellung y o n - = f ( % ) i s t jedoch, wenn i iberhaupt m0glich, nur mit grogen

P Schwierigkeiten durchzufiihren. Da zudem die LSsung mit Bedingung (24) nut theoretischen Wert hat und auch hier fiir die praktisch interessierenden Werte J/Fr~ und % wegen A 4 ~ r o

p ' der Druck p ' ~ p sein muB, soll auf den Versuch einer expliziten Darstellung y o n - - ~ f(~Oo)

P verzichtet werden.

Fiir die Umgebung yon % = - 3 - w l r d fiir ~ o ~ - d i e Konstante A ~ 0 und damit

p'/p ~ 1, sowie P ' ~ 0. Da yore AuBen- auf den Innenring nnr Stiitzkr~fte P ' ~ 0 ausgeiibt

werden kSnnen, hat die Bedingung (24) fiir % < ~- keine Bedeutung mehr.

1 J

J k 2 1 ~ Fr~.tgcp ~

ePo J k ~

Fr~ tg q)o 1 ~o

In Abb. 7 ist das Druekverhiilt- nis p'/p naeh (28) in Abh/ingigkeit yore Winkel ~o fiir versehiedene

W e r t e ~ dargestellt. I m Bereieh

der besonders interessierenden

Winkel % ( 2 > % > 4) ist fiir

die prakt isch vorkommenden Wer-

te =J . < 10 - a d a s Verhfiltnis der

XXIII. Band 1955 Link: ~ber den Kreisringtr~ger mit begrenzter Verformung usw. 45

In Abb. 8 sind die Belastungswerte k und k' naeh den Bedingungen (23) und (24) in Ab- h/ingigkeit vom Winkel % aufgetragen. Hierbei wurde in beiden F/illen yon der N/ihernng k' ~ k Gebrauch gemacht. Danach wird sieh der an zwei gegeniiberliegenden Punkten ge- stiitzte Ring nach t~berschreitung der fiir ihn giiltigen oberen Belastnngsgrenze k ~ ~ 3,00 wie folgt verhalten:

Mit wachsendem k legt sieh der Innenring mit einem an L~nge zunehmenden Bogen 1' an den AuBenring an. Der in diesem Teil auf den Innenring ausgeiibte Druck p ' ist im Bereich tier prakt isch interessierenden Werte J / F r ~ nut sehr wenig grSl~er als p. Der 0ffnungswinkel 2 % der nicht am Aul~enring anliegenden BSgen 1 h/ingt nach (26) mit dem Belastungswert k zusammen. Der am AuBenring an- liegende Teil des Innenringes erf~hrt gegeniiber dem unbelasteten Zustand keine Kriimmungs~inclerung, so dab in ibm das Biegungsmoment M ' und die Querkraf t Q' verschwinden.

Von einem bes t immten Belastungs-

wert k- ab, dem best immte Winkel ~0 und q~o zugeordnet sind und dessen GrSBe sich aus dem Schni t tpunkt A der Kurven sin k'~0 = 0 und

sin k % cos % ~ k cos k % sin~0 -~ 0 ergibt, 1/il~t sich ein weiteres Anwach-

t sen des Winkels ~v 0 mit kleiner werden- dem Belastungswert k erreichen. Da- bei nehmen die Stiitzkr/ifte P und P ' , sowie die tangentialen Verschiebungen

Lky 8,0

8o 80 so so I I r ~ I "o

20 @ ~o' 60 80 100 720 ;qO ~

Abb. 8. k ~ k ' in Abh~inglgkeit yon den Winkeln ~% und ~o~t ffirdm" " :Ringform nacla Abb, 5 en tspreehend den Bedlngungen (23) und (24),

t v o ab, bis sie bei k = 3 (% = ~v 0 = 60 ~ verschwinden. Gleichzeitig hebt sich der Bogen 1' vom Aul3enring zunehmend ab. Am Ende dieses Vorganges besteht der Ring aus drei gleich be- lasteten und verformten Bfgen yon gleichem 0ffnungswinkel. Der zngeh~rige Belastungswert k ~- 3 entspricht tier dieser Ringform zugeordneten ~ ~ ~ ' - - f unteren Belastungsgrenze k ~, deren Bedeutung schon ' /~ vorher erl~iutert wordenist.

Wird k = / ~ konstant gehalten, so erfolgt der fi , t~bergang des Binges yon der in Abb. 9 a dargestelhen Form in den Zustand ent- sprechend Abb. 9b schlag- artig, so dab hier eine

Durchschlagerscheinung /ihnlich wie beim dutch- ALb. 9a. Ring u n m i t t e l b a r ve t dem Abb. 9b. :Ring unml t te lbar nach dem

Durchschlagen . Durchschlagen. biegungsbegrenzten~ ge- raden Knickstab vorliegt. Dabei geht die dem Punkt A zugeordnete Ringform unmit te lbar in die dem Punkt B entsprechende fiber (Abb. 8).

]~ine zweite ~r fiir den ~bergang des an zwei Punkten gestiitzten Ringes in die Grundform mit 3 Anlagestellen ergibt sich, wenn in den Gleichungssystemen (21) und (22) unter Beibehaltung aller Bezeichnungen Q~=~o =Q~=_~o = 0 gesetzt wird. Das liefert wegen Q~=~o = pA~ sin % und p # 0 ffir A 4 =- 0, nnd damit aus der dri t ten Gleichung yon (21) die beiden Bedingungen

A 2 = A ~ = 0 , (30)

A 4 = 0; sin kq~ o = 0 , (31)

yon denen wenigstens eine erffillt sein muB.

46 Link: lJber den Kreisringtr/iger mit begrenzter Verformung usw. Ingenieur-Archiv

Die B e d i n g u n g (30) sag t aus, dab die be iden Btigen 1 am Aul]em' ing anl iegen, so dab da r in M ---- Q - - 0 se in mfissen. A u g e r d e m ve r schwinde t dabe i die S t i i t zk ra f t P. Mit (30) e rg ib t sich aus (21) nnd (22)

~ = A s ~ O o ,

W 0 : A 5

- - v o ---- A'2 sin k'Fo -~ A 4 sin~o o ~- A~F o , t �9 ,' # #

u" o : A 2 k ' c o s k ' ( v o + A ~ c o s F o + A ~ ,

0 = A ' ~ k '~ " ' " - } - A 4 s m k Fo ' sin Fo (32) / # # ,, #

0 : A 2 k '3 cos k Fo -~ A~ c o s % , /

p A~ cos q~o, ~ , - 1 + , . 7

P ' = s " A', sin Fo.

Die fi infte und seehste Gle ichung (32) ver langen , da n ieh t der gesamte Innenr ing a m Aul~enring anl iegen k a n n und auch die ers te Gle ichgewich ts form hier aussche ide t , d a b wenigstens eine der K o n s t a n t e n A 2 und A~ yon Nul l ve r sch ieden ist , so dab die Bed ingung

�9 t t # ~# # sin k Fo cos ~o o - - cos k'Fo sin Fo = 0 (33)

erffillt sein muB. D a m i t e rgeben sich die K o n s t a n t e n nach (32) zu # t f - �9 , (w0 ~o - - Vo) sin Fo

A2 = (k '2 -- 1) sin h'T~ I (sin q~o -- F; cos gc~l ) ' I (w;, ~o;, - - v~) #,'~ I

/ = - - # �9

A~ (k '2 - - 1) (sin ~v o - - % cos %) ' / . p l l ! t W o S l l l ~ 0 - - vo c 0 $ ~0 0

s l n F 0 - - F o OSFo

W o

mi t E F (34)

' 2 ~ o . v o = - - v o = - 2 w o F o = p r ]

Nach (32) e rg ib t sich das Druckve rh~ l tn i s P I p ' mit A 4 nach (34) und v o - - 2 w o% zu

, k '2 (1 + W O ~ O

P-- = 1 - "~. .~ ~lUS (35) Pt r~ (k '2 - - 1) (tg q~__ 1] "

t ~(, i t t i e r n a c h wi rd p/p' ~ 1 fiir ~o o 7 Jrl2. Da im an l i egenden Teil des Ringes der D r u c k s te ts gleich oder gr(if~er als im n ich t an l i egenden R ingbere i ch sein muB, h a t der vor l iegende Fa l l n u t

J~,k'

4o

g~

3,0 ../i ~..<

8o 7o ~o so ~o # 2o~ I I I I I I 0 s gO 80 8i0 700 120 7qO ~

A h b . 10. k ~-~ k ' i n J h h ~ n g l g k e l t y o n d e n W i n k e l n ~o o u n d ~

entsprechend den Bedingungen (30) und (3I).

B e d e u t u n g fiir ~v o =< :r/2. Die B e d i n g u ng (31) kennze ichne t

auch hier eine Durchsch lagersche inung , wie Abb . 10 zeigt. Dor t s ind die K u r v e u

�9 # # * /

sin k ' % c o s ~v o - - k ' cos k ~v o smFo = 0 und sin k~v o - - 0 aufge t ragen . Wegen der bere i ts frfiher e r l au t e r t en Gri inde is t k ~ k ' und daher auch hier au f eine ge- t r e n n t e Dars te l lung yon k' und k ver- z ich te t worden.

Nach Abb. 10 s t e lh sich der Uber- gangsvo rgang wie folgt d a r : Ausgehend yon der R ingform nach Abb. l l b , die ffir k = k ' = 3 bei F o - - - - : r / 4 , % = ~ / 2 und P ---- 0 gilt , legt sieh der Innenr iug mi t w a c h s e n d e m k zunehmend an den Aui lenr ing an, wobei sich der Winke l qo

vergr( i l ier t und der Winke l ~o o ve rk le ine r t , his der W e f t k' die dem Schnitt13unkt A der be iden K u r v e n " ' ' ' - - k ' ' ' " ' s m k % c o s F o cosk~VoSm~Vo----0 und s i n k % = 0 en t sp rechende GrSl3e er re icht ha t . t l i e r geh t der Ring sch lagar t ig in die an 3 gleichm~Big fiber den Umfang ve r t e i l t en P u n k - t en ges t i i tz te F o r m fiber ( P u n k t B in Abb . 10 mi t qo ---- ~~ = 60~ �9

Es b l e ib t noch fes tzus te l len , wie s ich der t~bergang yon der in Abb . 11a da rges te l l t en Ring- form zu der R ing fo rm nach Abb. 11 b vol lz ieht und ob ein solcher f i be rhaup t mSglich ist . Nach

xxlII. Band 1955 Link: ~ber den Kreisringtr/iger mit begrenzter Verformung usw. 47

den bisherigen Dar legungen k a n n die Ringform nach Abb. 11 a fiir 2 ~ k' ~ 3 und die Ring- form nach Abb. 11b fiir k ' = 3 bestehen.

Fiir die folgenden Be t rach tungen wird ein Ring nach Abb. 12 zugrundegelegt. Dabei wird zur Unterscheidung der auf die Ringh/ilfte 1 wirkende Druck mit p und der auf die Ring- hhlfte 1' wirkende m i t p ' bezeichnet. Die Versch iebungen der Enden der BSgen ] und 1' sind in Abb. 12 eingetragen. Es ist v o = - -

v = : J z v o fiir 9 = : L 9 o ,

w = w o fiir 9 = + 9 0 , dw d--~ -- 0 fiir 9 : =J= 9o

t t t ! v = :~:v o ffir 9 = :~:9o, w' = w o ffir 9 ' = • d w ~

- - 0 fiir 9 ' ---~ :J :go dq/

! l 2 ~k's,~ [Y [P k'k=s

t

A b b . 11 a, M S g l i c h e R i n g f o r m A b b . 11 b . M S g l i c h e R i n g f o r m f i i r 2~< k ~ 3. f f i r k ' = k = 3,

t v o. Mit den Grenzbedingungerr

fiir die Ringh~lfte 1 ,

fiir die Ringh~lfte 1'

~ P vov~

7z" y

/

A b b , 12. Z u m U b e r g a n g d e r R i n g f o r m n a e h A b b . l l a i n die R i n g f o r m n a c h A b b . / l b .

ergeben sich aus (8) wegen

A 1 ~ A ~ ~ A 6 ~ 0 ffir die Ringh / i l f t e l ,

A~ - - A~ = A~ = 0 fiir die Ringh~lfte t '

die folgenden Gleichungen:

% = A 2 s i n k 9 o + A 4sin90 + A 5 9 o ,

w o - = A 2 k c o s k g o + A 4 c o s g o + A 5 ,

0 = A 2 k 2 s i n k g o + A 4 s i n g o , . . . . . . . . . (36)

v o = A 2 s i n k 9 0 + A ~ s m 9 0 + A ~ 9 o , t t t i

w o = A~ k' cos k'% + A4 cos 9o + As,

0 = A;k'~sin ~'9~ + A~ sin 9'0.

Die Gleichheit der Schnittkr~s an den 1Dbergangsstellen der beiden Ringhfilften ver langt :

__1 (A2k3cosk9 ~ _q_Ar ) _~ A;k ,3cosk ,9o _]_A4cos9o ) , r~ ' , (37)

p (~o + ~4 cos ~o) = p' (~o + A~ cos 9~), [ ! �9 �9 /

P ' = p A 4s in9o + P A 4 s a n 9 0 . 1

Mit cos q% -- cos 90 = 0 wird aus der mit t leren Gleiehung yon (37) wie es sein mul] U ~ k, und damit w o = w o sowie r~ = r~. Die Gleichungssysteme (36) und (37) gehen dami t bei

48 Link: 1Jber den Kreisringtr~iger mit begrenzter Verformung usw. I~g~ieur-Archiv

gleiehzeitiger Beriicksiehtigung yon % = ~o = ~r/2 und sin % = sin qo o = 1 fiber in

v o -----A~sink~ + A ~ - i - A s ~ ,

w o = A2k cos k~ + A 5 ,

0 = A ~ k 2 s i n k - ~ + A~ , t / t

- - v o = A z s i n k ~ + A 4 + A s ~ , t

w o = A ' 2 k e o s k , ~ + A5 , (38)

/ c~ �9 t

0 = A 2 k s m k ~ + A 4 , 0 = (A2 - - A~) k~ eos k ~ ,

P' = p (A~ + A ~ ) .

Die vorletzte Gleiehung dieses Systems wird entweder befriedigt du tch

A 2 - - A~ = 0 , (39) oder d u t c h

eos k ~ = 0 . (40)

Nit der B e d i n g u n g (39) wird aus (38) t A 4 A~ 0 , Aa - - A ' = 0 , v o 0 P ' = 2 p A a

wok ~ ~ si~ k

A4 = - - (k 2 - 1 ) s i n k ~ + k ~ c o s k ~ '

wo(k 2 - - 1)sin k~ A5 = (k 2 - 1)sin k~ + k ~ cos k~"

Die untere Grenze des zur Bedingung (39) gehiirenden Belastungsbereiches ergibt sich aus dem ge r schwinden der St i i tzkraf t P ' . Dies ist der Fall ffir sin k ~ = 0 oder k ~ =- 2. An der oberen Grenze des Belastungsbereiches muB das Biegungsmoment an der Stfitzstelle verschwin- den, was fiir cos k ~ = 0 oder ffir k ~ -= 3 eintri t t . Die Bedingung fiir die obere Grenze des Belastungsbereiches s t immt demnach mit (40) iiberein.

Die B e d i n g u n g (40) liefert als kleinsten Belas tungswert k = 3. Dami t wird sin k ~ --= - - 1 und unter Berficksichtigung yon A s = A~ = w o nach der zweiten und ffinften Gleichung ergibt

- - W o r n - - A 2 + A 4 - - V o , 0 = - - A 2 k 2 + A 4 ,

/ t

- - w o ~ = - A ~ + A 4 + v o ,

(41)

0 = - A~k2 + A~, P' = p (A4 + A ; ) .

Das Sys tem (42) enth/ilt eine Unbekann te mehr als Gleiehungen, so dab eine der Unbekann ten frei gew~hlt werden darf. Gleiehung (40) steUt somit eine Stabil i t / i tsbedingung fiir den an zwei gegeniiberliegenden P u n k t e n gestfi tzten Ring dar. Hieraus ist zu sehlieBe=, dab ffir k = 3 die in Abb. 11a dargestell te Ringform in die in Abb. 11b gezeigte Fo rm fibergehen kann. Wird nhmlieh in (42) v o so gew~hlt, d a b die Gleiehung

Vo - Wo ~ = 0 (43)

erfiiilt ist, flann ergibt sich dami t aus (42)

A z = A~ = 0 , | t

- - w 0 7 ~ = - - A 2 -~- A ' 4 , [ o = - A'~ ~2 + A ; , ] (44)

/

P ' = p A 4 , / womit die Ringh/ilfte 1 nach Abb. 12 am AuBenring anliegt.

Neben de= schon behandel ten Ubergangsformen des Ringes ist noch die in Abb. 13 dar- gestellte Gleichgewichtsform ffir den Ubergang eines Ringes yon der an zwei gegenfiberliegen- den P u n k t e n gest i i tzten F o r m in die an vier in gleichem Abs tand aufeinanderfolgenden Punk- ten gestfitzte F o r m denkbar . Mit den Bezeichnungen der Abb. 13 lauten die Grenzbedingun-

sich aus (38)

(42)

XXlII. Band 1955 Link: Uber den Kreisringtr/iger mit begrenzter Verformung usw. 49

gen fiir die E n d e n der Bi~gen 1 u n d 1 ' :

v = • f a r 9 = + 9 o ,

w = w o fa r ~o ~- • dw d-9 = 0 ffir 9 p -~ z]z90,

~'=• far 9 ' = • w' --~w o fiir ~v' = ~ V o , dw ~

- - 0 fiir 9 ' = ~ o " d~'

Mit d iesen Bed ingungen e rg ib t sich aus (8) u n t c r B e a c h t u n g yon

A~ = A~ = A~ = 0 fiir Bogen 1,

A~ ---- A~ ---- A~ ~- 0 fiir Bogen 1'

s &

p �9 p

#

Abb, 13. Ring beim IG-bergang yon der an zwel gege, n- i i b e r l l e g e n d e n P u n k t e n g e s t i i t z t e n F o r m i n d i e a n ~ n e r

i n g l e i c h e m A b s t a n d a u f e i n a n d e r f o l g e n d e n P u n k t e n g e s t i l t z t e F o r m .

7,0

G,g

5 , o - -

g,o

J 3,o J

\

J f

f I I

\ \

I ] ] ! ] I I O 70 2g 30 ~r 60 60 70 o

Abb. 14. k ~ k' in Abhiingigkeit yon den Winkeln ~v o und 90 entsprechend den Bedingungen (46) uud (47).

und v' o --~ - - v o, sowie wegen de~ Gle ichhei t der Schn i t tk r / i f t e an den Stf i tzs te l len , das folgende G l e i c h u n g s s y s t e m :

t t t t v 0 = A 2 s i n k % + A 4 s i n % + A S ~ v o , - - v 0 : A 2 s i n k ' ~ o + A 4 s i n g o + A s ~ o ,

t t t t t t t W o -~ A 2 k c o s k g 0 + A a c o s 9 0 @ A a , Wo = A2 ~ ' c O s k ~ o @ A 4 c o s 9 0 - ~ - A s ,

! t t . / 0 = A a k 2 sin kgo + Aa s i n % , 0 = A'2k '2 s i n k ~v o + A 4 s l n g o ,

(45) (A~ k ~ cos k % + A~ cos 90) = (A~ k'3 cos ~ 90 + A4 cos ~o) ,

i

p (~o + A~ cos 90) = p' (to + A~ cos %), P --~ p A 4 sin % + p ' A~ Sin 9o"

I s t t ier A u s g a n g s z u s t a n d der in Abb . 13 da rges t e l l t en R ing fo rm d u t c h 9o = 0 gekennze ichne t , so l~13t sie sich d a n n m i t den k l e in s t en ~iuBeren Dr i i cken p u n d p ' a u f r e c h t e r h a l t e n , wenn die

t �9 Querkr / i f te an den E n d e n des Bogens 1' Q~,=v~ -~ Qv'=-r = o s in& Hie raus folgt wegen l , �9 t Qr = P' A'4 sm ~o u n d p ' ~= 0 ffir A 4 = 0. D a m i t e rgeben sich aus de r sechs ten Gle ichung

(45) die fo lgenden be iden Bed ingungen , yon denen mindes t ens eine erffil l t sein muB:

A i = A~ = 0 , (46)

' , , , . (47) A~-0" s i n k Fo----0

Mit (46) org ib t sich aus der d r i t t e n und s i eben ten Gle ichung (45)

sin k9o cos % - - k cos k % sin % ~- 0 . (48)

50 Link: ~Tber den Kreisringtr/iger mit begrenzter Yerformung u s w . Ingenieur-Archiv

Auf eine Fortfiihrung der Rechnung kann verzichtet werden, da sie gegenfiber den friiheren Feststellungen keine neuen Erkenntnisse bringt. Es wird auch bier im Bereich der interessie- renden Winkel ~v0 und der praktisch vorkommenden Werte J / F r ~ wieder p ' ~ p, so dab bei der Darstellung yon k und k' in Abb. 14 entsprechend den Bedingungen (47) und (48) nur eine der jeweils zwei nahezu zusammenfallenden Kurven gezeichnet worden ist. Danach w~ichst zun/ichst ~v 0 mit k, wobei die B~gen 1' des Binges am Aul~enring anliegen. Im Schnit tpunkt A der beiden dargestellten Kurven schlagen die BSgen 1' des Ringes dutch und heben sieh bei gleichzeitiger YergrSl~erung der Winkel ~v o vom AuBenring ab, his ~o ---- ~v0 geworden ist, 'd. h. bis der Ring aus vier gleichen BSgen besteht (Punkt B in Abb. 14).

5. Zusammenfassung. Behandelt wurde das Verhalten eines Kreisringtr/igers mit nach auBen bin begrenzter Yerformung bei iiberkritischem AuBendruck. Das Problem h a t prak- tische Bedeutung im Schachtausbau.

Die Arbeit beschr/inkt sich auf die Darstellung der mSglichen Gleichgewichtsformen des Innenringes. Es zeigte sich, dab es Grundformen gibt, bei denen der Innenring an mehreren, in gleichem Abstand aufeinanderfolgenden Punkten yore AuBenring gestiitzt wird. Diesen Formen konnten in Abh~ingigkeit yon der Zahl der Stiitzstellen Belastungsbereiche k ~ ~ k ~ k ~

zugeordnet werden. Die unteren Grenzen/~= dieser Bereiche wurden aus dem Verschwinden der Stiitzkr/ifte, die oberen Grenzen k ~ aus dem Verschwinden der Biegungsmomente an den Stiitzstellen ermit tel t .

Eine zweite Gruppe mSglicher Gleichgewichtsformen des Innenringes ergibt sich beim (Jbergang yon einer Grundform in eine andere mit einer grSl~eren Zahl yon Stiitzstellen. Solche Formen wurden fiir den t~bergang yon dem zweipunktig gestiitzten in den dreipunktig und vierpunktig gestiitzten Ring gezeigt. Im ersten Stadium zeichnen sich die t~bergangsformen dnrch am Aul~enring anliegende Ringteile aus, deren 0ffnungswinkel mit dem Belastungswert k w/ichst. Im zweiten StadiUm tr i t t eine Durchschlagerscheinung auf, durch die tier Ring in die Grundform mit grSBerer Stiitzstellenzahl iiberfiihrt wird. Das Verhahen des verformungs- begrenzten Kreisringtr/igers zeigt daher Ahnlichkeit mit dem eines geraden Knickstabes, wenn dessen Durchbiegung nach beiden Seiten begrenzt ist.

(Eingegangen am 9. M~rz 1954.)

Anschrift des Verfassers: Heinz L ink in Fa. Fried. Krupp, Maschinen- und Stahlbau Rheinhausen, (22a) Rheinhausen.