Über den Verdrängungswiderstand fester Körper in Gasen und Flüssigkeiten

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    06-Jun-2016

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<ul><li><p>179 </p><p>11. Uber den VerdrCingungswCderstarnd fester E6rper in Gasen und PZiiss.iy7ceiten; </p><p>von E. l J Z l e ~ . Erste Mitteilung. </p><p>Einleitung. </p><p>Fur den erfahrungsmaBig stets vorhandenen Widerstand eines sich bewegenden festen Korpers in einer realen, als Ganzes ruhenden, Flussigkeit kennen wir seit' Coulomb die drei wesentlichen Ursachen, namlich: </p><p>a) die Verdrangung der Fliissigkeit durch den Korper (die Flussigkeit widersteht durch ihre Tragheit), </p><p>b) die mitreiBenden Eigenschaften der Korperoberflache, c) die Viskositat der E'lussigkeit. Jede Formulierung eines Widerstandsgesetzes schlieSt in </p><p>sich Hypothesen ein, welche durch die beiden letzten Ursachen in das Problem hineingetragen werden. Diese erweisen sich indessen als noch unzulanglich allen hisherigen Erfahrungen angepaBt. I n allen Fallen aber, wo die Verdrangungs- und Beschleunigungsarbeit des Korpers grog ist gegeniiber der von den in b) und c) tatigen Kriiften geleisteten, hat sich eine Wider- standsformel als sehr gut, zutreffend erwiesen. Es ist namlich dieser Widerstand, den wir speziell ,,Verdrangungswiderstand" benennen wollen, in jedem Augenblicke proportional dem Qua- drate der Geschwindigkeit eines ausgezeichneten Korperpunktes, als welchen wir meistens den geometrischen Mittelpunkt nehmen durfen. Es liegt schon in der Voraussetzung, daB der Korper einfache, glatte Gestalt und das Medium Leichtflussigkeit be- sitzen muB. Selbstverstandlich ist nuch vorausgesetzt, dnB ein storender EinfluB der Wande und anderer Korper sich nicht geltend machen kann. Der Proportionalitatsfaktor ist abhangig von der Dichte des Mediums - wir nehmen lineare Beziehung an - und der Orientierung des Kijrpers gegen die Richtung der oben genannten Geschwindigkeit. Besitzt seine Oberflache eine Symmetrieachse, wie mir im folgenden voraussetzen, dann </p><p>12* </p></li><li><p>180 K. Uller . ist die Orientierung durch den Winkel w zmischen Achse und Geschwindigkeitsrichtung bestimmt. </p><p>Einige Worte uber die experimentellen Unterlagen unserer Formel fur den Verdrangungswiderstand. l) Fur fortschreitende Bemegung in h f t ist sie streng erprobt von 0,2 m/sec (Sche l l - b a c h 1871) bis 55 m/sec (Lochner 1904, R e n a r d 1904) nach verschiedenen Nethoden, bei denen in der Mehrzalil empfindliche Rundlaufapparate zur Verwenduiig kommen , die den Korper bei konstantem w mit konstanter Geschwindigkeit in die Runde treiben. Diese Rewegungsart wurde aus nahe- liegenden Griinden bevorzugt, ist aber nicht eine einfache, denn die Bemegung des KGrpers ist dabei eine rotatorische und die der Luft eine sehr turbulente und zentrifugal be- schleunigte, wie man aus der GroBe der Geschwindigkeit und des Kriimmungsradius bei den einzelnen Versuchen schliefien mu8; eine einfache, geradlinige Bewegung bedingt bisher nur die eigenartige Methode, die v. LSssl ersonnen hat. Trotz der Verschiedenheit der Intensitat der Wirbelbewegungen urid der Nethoden der Druckmessung besteht unter den Methoden eine bedeutungsvolle Ubereinstimrnung hinsichtlich des Ab- hiingigkeitsverhaltnisses von der Geschwindigkeit. Die Unter- schiede in der Gr8Se des Proportionalitatsfaktors liegen Zuni groBen Teil vermutlich in der verschiedenen Intensitat der Wirbelung. - Fur hohere Geschwindigkeiten in Luft liegen SchieBversuche vor. Bei Langgeschossen ist hier die Inkon- stanz von w zu berucksichtigen. Die zahlreichen Versuche bestatigen die quadrstische Formel gut bis zu 250 ni/sec, weniger gut bis in die Niihc der Schallgeschwindigkeit. Die hier zu erwartende und bestatigte Irregularitat zieht der Giiltigkeit der genannten Formel eine bestimmte obere Grenze, wie eine solche auch fiir andere Medien existieren mu8. F u r fortschreifende Beioeyung unter 0,2 mlsec scheinen einwandfreie Versuche nicht vorzuliegen ; f u r hin- und her- ydende Bewegung scheinen Beobachtungen nur von Schwin- gungen kleiner Amplituden und nur solche von diinnen Pendel- liusen in Luft und in Flussigkeiten vorzuliegen. Ihre Resul- tate fuhren auf eine lineare Widerstandsformel. Wir haben </p><p>1) Ausfiihrliche Literatur gibt die ,,Mathematische Enzyklopadio". </p></li><li><p>~erdr~ngungs2ci(Ierstand fester liiirper e tc . 181 </p><p>hier also schon Erscheinungen vor uns, in dencn die durch (b), (c) verursachten Widerstande vorherrschen. B e i n treten diese, die wir zusammenfassend Kohasionswidersthde nennen wollen, bei in ihrer Oberflache schwingenden Rotationskiirper auf, und da ist die lineare Widerstandsformel experimentell verbiirgt und theoretisch gestiitzt. Die Moglichkeit, daB es Korperformen gibt , die auch bei kleinen Schwingungen Ver- drangungswiderstand erfahren , wird natiirlich durch die ge- nannten Beobachtungen nicht bestritten. (So sind vermutlich die Schwingungen der Wagschalen von Hebel- und Feder- wagen gedampft.) Es ist moglich, daB er bei den Minimal- geschwindigkeiten aufgetreten ist , welche die Versuche von Hrn. Frank ' ) aufweisen. Er lieB den Versuchskorper, bei dem Vorder- und Hinterteil gleichgeformt sein miissen, unter der Wirkung der Schwerkraft eine vertikale Pendelbewegung mit groBen Amplituden bei konstantem w ausfiihren. Die Pendellange betrug 12,70 m, und der erste Schwingungsbogen hatte eine Lange von 13 m. Der Korper durchlief in Hun- derten von Schwingungen Tausende von Metern, wobei sich die Widerstandsarbeit fur eine 1)oppelschwingung auf 1/25000 des Anfangswertes verringerte ! Die Lage der Umkehrpunkte konnte auf 1 mm genau abgelesen werden. Von der Annahme nusgehend, da13 der Widerstand des Korpers und der Auf- hangedriihte die quadratische Formel befolge, stellt der Hr. Verf. nach besonderer Ermittelung der Reibungskraft in den Kugel- lagern die Gleichung fur die Dampfung der Pendelschwingungen auf. Nun vergleicht er die beobachteten Lagen mit den er- rechneten. Die Ubereinstimmung ist so vortrefflich, daB mit Rucksicht auf die Eigenart der Methode mit Sicherheit erkannt wird, daB der Widerstand der untersuchten KGrper in jedem Augenblicke dem Quadrate der Geschwindigkeit proportional ist, die im Versuche innerhalb 0 und f 9 m/sec schwankte. L)as kann, was den Vorgang bei den periodisch auftretenden Minimalgeschwindigkeiten anbelangt, auch bei diesen zutreffen; es ist aber vielleicht der Einwand berechtigt, daS die ent- sprechende Widerstandsarbeit gegeniiber der gesamten zu klein war, um die Lagen der Umkehrpunkte merklich zu beeinflussen. </p><p>1) A. Frank , Ann. d. Pbys. 16. p. 464-489. 1905. </p></li><li><p>182 K. Uller. </p><p>Wir ziehen aber aus seinen Ergebnissen den SchluE, daB wir, wenn Verdrangungswiderstand vorliegt, fur Minimalgeschwindig- keiten die quadratische Formel zum mindesten formal ansetzen diirfen, falls neben diesen im Laufe der Bewegung auch er- heblich grijBere Geschwindigkeiten auftreten. Kriterien zur Entscheidung, welcher von den beiden Widerstanden im Einzel- falle wirklich herrscht, werde ich weiter unten angeben. Exakte Viderstand.~messungen in PlussQkeiten 6ei gropen Orts- veriincterungen scheinen sptirlich zu sein. Fu r den Schiffs- widerstand hat die Technik eine quadratische Widerstands- formel ermittelt. </p><p>Entwickelung neuer Methoden der Widerstandsmessung. </p><p>Die folgenden Auseinandersetzungen haben zum Zweck, neue Methoden zu entwickeln, nach denen man ermitteln kann, wieweit sich der Giiltigkeitsbereich der quadratischen Wider- standsformel auf dem Gebiete der Gase und Fliissigkeiten er- streckt ; sie fuEen auf der strengen Gultigkeit dieser Formel fiir jede Geschwindigkeit bis zu einer kritischen und invol- vieren fur jede Untersuchung den Nachweis, ob die genannte Voraussetzung erfullt ist. 1st das der Fall, dann gestattet sie absolute und relative Bestimmungen des Widerstandskoeffi- zienten. </p><p>Wir suchen nun den Bewegungszustand (v) des Versuchs- korpers von der Masse m in einem Medium von der Dichte k unter dem EinfluB einer raumlich verteilten und von der Zeit unabhkngigen Tangentialkraft K a,uf gegebener Bahn (s). Nennen wir c seinen von o abhangigen Koeffizienten fiir den Tangentialwiderstand, so hat sein tangeniialer Verdrangungs- widerstand JV die GroEe - c k v a in jedem Augenblick. Der Bau dieses Ausdruckes laBt es vorteilhaft erscheinen, von der Arbeitsgleichung auszugehen. Es bezeichne die positive GroBe L seine Lebendige &amp;aft und die positive GroBe w = 3 c klm [cm-l] den ,,Hemmungsfaktor'L seiner Bewegung; er ist das Verhaltnis des Tangentialwiderstandes zur lebendigen Kraft des Korpers. Wir nehmen w als unabhangig von der Geschwindigkeit an, damit schlieBen wir deformierbare Kijrper aas der vorliegcnden Betrachtung aus. Es ist den von uns betrachteten Wider- standserscheinungen als Oberflachenwirkungen eigentumlich, daE </p></li><li><p>Yerdrangungswirlersland fkster Korper etc. 183 </p><p>man innerhalb gewisser Grenzen 20, das allein gemessen wird, wiihkn kann durch Variation von m. Die Arbeitsgleichung nimmt nun die Form an: </p><p>Sie liefert uns I/ und somit auch v - mit Ausnahme des Richtungssinnes, der sich aber in jedem einzelnen Falle leicht angeben laBt - als Funktion des Bahnparameters. Sie liefert uns keine zeitlichen Beziehungen; das hat zur Folge, dab die zu entwickelnden MeBmethoden auf reine Lagenbestimmungen hinauslaufen. Das Bahnelement d s diirfen wir , der physika- lischen Bedeutung des Widerstandes entsprechend, der nnr eine schon existierende Bewegung zu verringern vermag, nus positiv nehmen, selbst wenn der Xijrpermittelpunkt dieselbe Reihe von Raumpunkten spater in umgekehrter Richtung durchlguft; wir habelz uns also die Koordinaten der Kurve und ebenso K und 2u prinzipiell als Funktionen des die Reihe der Bahnpunkte bestimmenden Parameters zu denken. Damit sind im allgemeinen unuberwindliche analytische Schwierig- keiten gegeben, da bei dieser Auffassung gerade in physikalisch wichtigen Fallen K und tu unstetig werden; man denke an den vertikalen Wurf, die Pendelbewegung. Man vermag sie unter Verzicht auf Allgemeinheit der ResuItate zu umgehen, indem man den Zustnnd jedesmal nur zwischen zwei auf- einanderfolgenden Ruhepunkten (I; = 0) betrachtet und im folgenden Interval1 den Sinn des Bahnparameters umkehrt, von dem wir voraussetzen diirfen, dab er sich innerhalb eines solchen Intervalles regular verhalt. </p><p>Von den ausgezeichneten Werten, die L im Laufe der Bewegung annehmen kann, interessiert sein a h l u t e s Minimum ( L = 0). Wir miissen dabei unterscheiden zwischen dauernder und momentaner Ruhelage. Eine Ruheluge ( L = 0) ist eine dauernde unter den beiden Bedingungen, da8 in ihr </p><p>K = 0, sowie unmittelbar vorher K = ~ &lt; 0 ist. Offenbar geht unmittelbar vorher d L / d s aus negativen Werten in Null uber und dementsprechend nnch Gleichung (I) auch li. </p><p>Jede andere Ruhelage ist eine momentane, und in ihr K + 0, In ihrer Umgebung geht K von negativen zu positiven </p><p>(1) d L = K ( s ) d s - w L d s . </p><p>dL d s </p></li><li><p>184 K. Uller. </p><p>Werten tiber, aber stets sprungtoeise unter Ausschlup des Wertes Null. Das gleiche gilt nach Gleichung (I) auch fiir d J l d s . </p><p>Es interessieren die Verhaltnisse bei der dauernden Ruhe- lage. Hier, wo die Beziehungen stetig sind, haben wir die beiden Bedingungen: </p><p>d2 L d h' ds8 d s - K = Q ; --- - - - z o o . </p><p>Diese Bedingungen sind unabhangig von dem Hemmungs- faktor 10 - sie gelten ebenso fiir die niclitwiderstandige Be- wegung (w = 0) -, sie sind aber abhangig von der benutzten quadratischen Widerstandsformel. Wir konnen also den all- genieinen Satz aussprechen : </p><p>(A) Bei guadratischem Tfidtmtande gelten in der Umgehung einer dauernden Rufielage dieselhen Bezizhungen wie 6ei nicht- widerstandiger Bewegung. </p><p>Speziell: 1st in gegebenem liraftfelde (h&gt; eine nichtwider- standtqe Uewegzing pendelartig, dann ist es auch eine wider- standige Bewegung in demselben Felde; Aperiodizitut ist d a m aus- geschlossen. </p><p>Bekanntlich kann bei linearem Widerstand eine solche Aussage nicht gemacht werden. </p><p>Aus der lineasen Differentialgleichung (I) lesen wir die Eigentiimlichkeit ab, daB der von mehreren treibenden Kraften bewirkte Zuwachs an lebendiger Kraft gleich ist der Summe dcr von den einzelnen bewirkten Zuwuchse. Weitere liefert uns die Integration von (I). Wir setzen </p><p>wo die unbestimmten Integrale ohne k'onstante genonimen werden sollen. Dnnn kommt </p><p>l ; = C e - Q + @ , </p><p>wo C die Integrationskonstante bezeichnet. Gelten in dem durch so bestimmten Bahnpunkte die Werte Q0, Q0, A,, dann kann man diese Gleichung schreiben: </p><p>(11) = (Lo - @ J e - c o - Q o ' + @. 9 - 9,, ist eine dimensionslose, positive und nirgends ab- nehmende Funktion; @ ist die Lebendige Kraft des Korpers, wenn der zuruclrgelegte Weg hinreichend lang geworden ist. </p></li><li><p>~erdraiigungswiderstand feJter Iiiirper etc. 185 </p><p>Eine Kraft, die darstellbar ist durch das Produkt einer reinen Raumfunktion und eines Intensitatsfaktors, moge yon jetzt ab ,,Einzelkraft" heiBen. Dann ergibt sich aus Gleichung (11) : </p><p>(B) Perltipt der Kiirper irgendwo im Pelde einer E i n z e l - kraft den Zustand der Xuhe (An = 0), dann sind seine samtlichen fdqenden Jagen momentaner Ruhe, fulls solche auftreten, f in- abltangig von der Intensit&amp; der h7raf2. lhistiert ein Kriifte- aggregat, dann beateht eine Abhangigkeit niir con den Intensilats- verhi i l tnissen. </p><p>Dieser wichtige Satz, der eine Folge unserer linearen Differentialgleichung (I) ist, hat denselben Wortlaut wie bei der nichtwiderstandigen Bewegung. Er wird aber von keiner anderen Widerstandsformel erfiillt. LaBt er sich in einem vorliegenden Versuche bestatigen, so liefert er einen scharfen Nachweis , da6 dann die quadratische Widerstandsformel zu- trifft. Ferner ergibt sich aus ihm, da6 wir die Intensitit der treibenden Einzelkraft nicht zu messen brauchen, falls wir auf die Bestimmung der momentanen Ruhelagen eine MeBmethode fur den jeweiligen Widerstandskoeffizienten begriinden konnen. </p><p>(C) Die f i ir die Zuriicklegung der Strecke d s ver6rauchte Zeit d t ist gleich d s ; 1/2 L Im , also umgekehrt proportional der Wurzel aus der Kraftintensitat, falls wieder die Bewegung aus der Ruhe heraus erfolgt. Also auch diese Eigentumlichkeit der nichtwiderstandigen Bewegung iinden wir bei unserer Be- wegung wieder, aber nicht bei irgend einer anderen Wider- standsformel. </p><p>Die Satze (B) und (C) gestatten eine bemerkenswerte Folge- rung. Es kommen in der Physik lntensitatsvergleichungen durch Zeitmessungen \Tor, bei denen Korper und Medium unverandert bleiben (magnetische, elelitrische Nadel; Apparate mit kunst- licher Luftdiimpfung). Angenommen, man habe sich nach (B) vergewissert, daB der Widerstand des Nediums Verdrgngungs- widerstand sei. Nennen wir 2; die von der Ausgangslage (sn) bis zur nten Ruhelage verfiossene Bewegungszeit unter dem Einflu6 der Intensitat J1, dann ist </p><p>__- </p><p>1 T = 7.. f (sn, w), li' 4 1 </p></li><li><p>186 K. Uller. </p><p>wo die Funktion f nach (13) frei von J1 ist. sitat Jz haben wir bis zur nten Ruhelage </p><p>Fiir eine Inten- </p><p>wenn wir von derselben Auslage (so) die Bewegung ohne An- stoB vor sich gehen lassen. Es ist also Tlz1T,2 = JalJl in Strenge. </p><p>(D) Die Existenz des Felel.drangungswiderstandes ist yleich- giiZt</p></li><li><p>~erdran3un~swi~ers tand fester KGrper etc. 187 </p><p>Die partikula...</p></li></ul>

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