7
Uber die Bedingungen der Existenz der Integrale partieller Differentialgleichungen erster Ordnung. Von E. Digel in Clausthal. Vor kurzem hat Herr Wazewski die Existenz yon Integralen der partiellen 0 z ( ~ z ~9 z Differentialgleiehung b-~ = / _ x, y~,..., y,, ay---~ ..... o y---~,/ unter geringeren Voraussetzungen bewiesen, als es bisher der Fall war 1). Das Ergebnis gewinnt dadureh an Interesse, dab sich diese Voraussetzungen in gewisser Hinsicht nicht mehr vermindern lassen. Das geht aus den Beispielen hervor, die Herr Wazewski in seiner Arbeit angegeben hat. Beim Beweis seines Satzes benu$zt Herr Wazewski Approximationen der Funktion ] und der Anfangskurve und zieht aufleIdem Ergebnisse einer friiheren Arbeit heran. Ich will nun zeigen, dab man denselben Satz einfacher beweisen kann, und zwar auf einem hhn]ichen Wege, wie er bisher beim Beweis desselben Satzes unter schiirferen Voraus- setzungen eingeschlagen wurde2). Ich beschriinke mich dabei auf die Dif- ferentialgleichung p ~ ] (x, y, z, q). Um das wesentliche besser hervortreten zu lassen, unterweffe ich y keiner Beschr~nkung und beweise den Satz in folgender Form a) : Satz: In dem Gebiet (1) Ix -- ~! < a, y, z, q beliebig, m6ge die Funktion ] (x, y, z, q) steti9 sein und stetige partielle Ableitungen /~, /z, /q nach y, z, q besitzen. Diese Ableitungen seien absolut 9enommen kleiner als A und mSgen auflerdem in (1) eine Lipschitzbedingung a) in bezu 9 au/ y, z, q er/iiUen. Die Lipschitzkonstante sei ]iir alle drei Funktionen hSchstens gleich A. Ohne Beschriinkun 9 der AlOemeinheit kann A ~_~ 1 angenommen werden. 1) Math. Zeitschr. 43 (1938), S. 522--532. 2) Vgl. Kamke, Differentialgleichungen reeller Funktionen, S. 352. Leipzig 1930. 3) Die Formulierung lehnt sich an die in Anmerkung 2 angegebenen Stelle an. 4) Eine Funktion h (x, y, z, q) erfiillt in (1) eine Lipschitzbedingung mit der Konstanten A, wenn ] h(X, Y2, Z~,q~)--h (x, Yl, zl, ql) t ~A (]y2-- Yll + [z2--zll -~ Iq2--qII) ftir beliehiges x aus I x - - 51 < a und beliebiges y~ .... , q~ erftillt ist.

Über die Bedingungen der Existenz der Integrale partieller Differentialgleichungen erster Ordnung

  • Upload
    e-digel

  • View
    212

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Über die Bedingungen der Existenz der Integrale partieller Differentialgleichungen erster Ordnung

Uber die Bedingungen der Existenz der Integrale partieller Differentialgleichungen erster Ordnung.

Von

E. Digel in Clausthal.

Vor kurzem hat Herr Wazewski die Existenz yon Integralen der partiellen 0 z ( ~ z ~9 z

Differentialgleiehung b-~ = / _ x, y ~ , . . . , y,, ay---~ . . . . . o y---~,/ unter geringeren

Voraussetzungen bewiesen, als es bisher der Fall war 1). Das Ergebnis gewinnt dadureh an Interesse, dab sich diese Voraussetzungen in gewisser Hinsicht nicht mehr vermindern lassen. Das geht aus den Beispielen hervor, d ie Herr Wazewski in seiner Arbeit angegeben hat. Beim Beweis seines Satzes benu$zt Herr Wazewski Approximationen der Funktion ] und der Anfangskurve und zieht aufleIdem Ergebnisse einer friiheren Arbeit heran. Ich will nun zeigen, dab man denselben Satz einfacher beweisen kann, und zwar auf einem hhn]ichen Wege, wie er bisher beim Beweis desselben Satzes unter schiirferen Voraus- setzungen eingeschlagen wurde2). Ich beschriinke mich dabei auf die Dif- ferentialgleichung p ~ ] (x, y, z, q). Um das wesentliche besser hervortreten zu lassen, unterweffe ich y keiner Beschr~nkung und beweise den Satz in folgender Form a) :

S a t z : In dem Gebiet

(1) Ix -- ~! < a, y, z, q beliebig,

m6ge die Funktion ] (x, y, z, q) steti9 sein und stetige partielle Ableitungen /~, /z, /q nach y, z, q besitzen. Diese Ableitungen seien absolut 9enommen kleiner als A und mSgen auflerdem in (1) eine Lipschitzbedingung a) in bezu 9 au/ y, z, q er/iiUen. Die Lipschitzkonstante sei ]iir alle drei Funktionen hSchstens gleich A. Ohne Beschriinkun 9 der AlOemeinheit kann A ~_~ 1 angenommen werden.

1) Math. Zeitschr. 43 (1938), S. 522--532. 2) Vgl. Kamke, Differentialgleichungen reeller Funktionen, S. 352. Leipzig 1930. 3) Die Formulierung lehnt sich an die in Anmerkung 2 angegebenen Stelle an. 4) Eine Funktion h (x, y, z, q) erfiillt in (1) eine Lipschitzbedingung mit der

Konstanten A, wenn

] h(X, Y2, Z~,q~)--h (x, Yl, zl, ql) t ~ A ( ]y2 - - Yll + [ z 2 - - z l l -~ Iq2--qII) ftir beliehiges x aus I x - - 51 < a und beliebiges y~ . . . . , q~ erftillt ist.

Page 2: Über die Bedingungen der Existenz der Integrale partieller Differentialgleichungen erster Ordnung

446 E. Digel.

Die Funktion o~ (~) sei ]iir alle ~ definiert, a~' (~) existiere iiberaU, geniige einer Lipschitzbedingung mit der Konstanten M, und es sei ]iir eine Konstante, B

(2) ~ + ] o~'(,~) I + M < B.

Schliefllich m6fle die Beziehung

4 a A B ~ 1

Dann hat die partielle Di]ferentialgleichun 9

0--~ ~ ' y' z,

(~)

gelten.

{4)

in dem Gebiet

(5) I x -- ~l < a,

ein Integral z ~- ,p (x, y), das die Kurve

(6) x---- ~, y ---- ~q,

tiir -- ~ < ~1 < + ~ enthalt.

y bdid~,

Der Beweis benutzt mehffaeh folgenden HilfssatzS)"

Hi l fssa tz . Im Intervall (a, b) sei die ~'unktion u (x) stetig und in a ~_ x ~ b nach rechts differenzierbar und erfiille fitr zwei Konstante M ~ 0 und N ~ 0 die Ungleichung

Dann ist fiir ~e zwei Zahten x, ~ des Interval!s <a, b>

~(e~l ~-~I - - 1).

Der Beweis des Satzes wird in mehreren Abschnitten gefiihrt. 1. Dutch die Kurve (6) ist bereits ein Integralstreifen festgelegt, n~imlich

g 0 n x ~, y = ,7, z = . , (.~), q = (,7), p t (~, ,7, , , (,7), a,' (,1)).

Das Integral wizd dadurch bestimmt, dab dutch diesen Integralstreifen die charakteristischen Streffen gelegt werden. Diese geniigen dem folgenden System yon Differentialgleichungen

y' (~) = -/~ (z, y, z, q),

(7) z' (z) = t (z , y, z, q) - q l , (z, y, z, q),

q' (x) = t , ( x , y , z ,q ) + q / , ( x , y , z ,q ) .

Man iiberzeugt sich leicht, daft auf Grund unserer Voraussetmmgen dutch ]eden Punkt des Gebiets (1) genau eine LSsung des Systems (7) geht. Wiz zeigen

5) Vgl. z .B . Kamke, Differentialgleichungen reeller Funktionen, S. 93.

Page 3: Über die Bedingungen der Existenz der Integrale partieller Differentialgleichungen erster Ordnung

Exiatenz der Integrale partieller Differentialgleichungen. 447

zun~hst , daft die charakteristischen Streifen fiir I x - ~i ~ a existieren. Aus der dritten Gleichung yon (7) folgt

lq'(~)! <---- A + AIq(x)l,

also nach dem Hilfssatz

[ q ( x ) l < Z 0 + I q ( 8 ) l ) e " ' - - 1 = (1 + I~'(v)l) e ~ - 1 __< Be ~ - 1.

~'iir eine sp~itere Anwendung sch~itzen wir q noch welter ab, indem wit (3) benutzen, sowie die Ungleichungen B ~ 1 und e u ~ 1 q- 2 u fiir 0 ~_~ u ~ 1 beachten:

1

Aus der zweiten und ersten Gleichung (7) folgt

(9) I z ( x ) - - z (~ ) l < a A (1 + Iq (~) l )e '~A, l Y ( x ) - - Y($) i < a A .

Bei festem Anfangspunkt sind also y (x), z (x) und q (x) beschrhnkt; sie existieren daher fiir Ix -- ~1 ~ a.

2. Wir legen nun durch den gegeber.en Anfangsstreifen die charak- teristischen Streifen, die mit Y (x, ~), Z (x, ~), Q (x, ~]) bezeichnet werden. Y, Z, Q sind stetige Funktionen der Variablen x und ~, und es gilt

(lo)

y~ (x, ,l) --- - / ~ (x, Y, z , 0),

Zx (x, ~),--- [ (x, Y, z , Q) Q/~, (x, Y, z, Q), Q~ (x, ~) = ],, (x, Y,Z, Q) § Q/~ (x, Y,Z,Q).

Zuniichst handelt es sich um den Nachweis, dab die Kurven Y (x, ~) (~ wird als Parameter betrachtet) das Gebiet t x - $1 < a, y beliebig, schlicht

iiberdecken. Das wird sieh aus der Abschiitzungdes Quotienten Y(x , 7 ) - Y(x , 70) 7 ~ 71o

ergeben. Wir benutzen folgende Abkiirzungen (~ ~= ~o):

( ] l ) u ( x ) - ~ . Y (x ,~ l ) - -Y (x , rto), v ( x ) ---- z ( x '~ i ) -Z (x '~ i~ w ( x ) ~ Q(x '7 ) - -Q(x"~D) ~ rio 7 - - ~7o ~t - - ~o

Weiterhin wird fiir Y (x, ~), Y (x, %), Z (x, ~), . . . einfaeh Y, Yo, Z , . . . geschrieben. Unter Benutzung yon (10) erh/ilt man

u' (x) --: - - /q (x. Y , Z , Q) ~- /q(x , Yo,Zo, Qo)

7 - - ~]o

]r erfiillt nun eine Lipschitzbedingung mit der Lipschitzkonstanten A. Daher erhalten wir

(12) Ju'(x)J ~ As (x)

Page 4: Über die Bedingungen der Existenz der Integrale partieller Differentialgleichungen erster Ordnung

448 E. Digel.

nfit s (x) -~ l u (x)[ -F Iv(x)] -F lw(x) l. Aus der zweiten Gleichung (10) folgt

v,(x)=/(, , r ,z ,q) -1(*, ro, zo, qo) Q - ~ / , ( ~ , Y,Z,Q)-Qo 1~(*' Y'g'Q)-/~(*' Yo,~0,qo) r / - - r /o ~J - - 7 o ~1 - - r/o

]r ~_ ,48(x) + ,4[w(x)l +,4tQ01s(x).

Wegen (8) und B 2> 1 haben wir

(13) lv'(x)l ~ 2 A s (x) -b "4 Bs (x) "< 3 ,4 Bs(x).

Mit Benutzung der drit ten Gleichung (10) ergibt sieh in iihnlicher Weise

(14) Iw'(x)[ ~_~ 3 .4Bs(x) . t

Nun besitzt s (x) sicher eine rechtsseitigeAbleitung s+ (x), und es ist wegen (12), (13), (14)

1,~(x)l < l,:(x)]§162 ~ 7 , 4 B s ( x ) .

Naeh dem Hilfssatz ist daher

s (x) ~ s (~) e' .4 B I~- ~l Mit s(~)-~ Y - - Y o ..~ Z--Zo _}_ Q--Qo I __~ , I~ _[_ ~'(~--"L_'(~Jo) <_~B

,~-~o ~ - , J o l i~-,~----o~ ~ - I - ~ = ~ i ~- ,~o , - - folgt hieraus (15) s (x) _~ B e ~ ̀4 B1~-~1

Hiermit erh~lt man aus (12)

[u'(x)[ ~ A B e 7ABI*-~i,

folglich l . 4 B z - - S 1 - - 1 ) l~ (x) - u(~)l < ~-(e'

und mit Beachtung yon (3), da u (~) == 1 ist,

1 (16) [u(x) - 11 _-- ~- (e-; - 1) < 1 .

Aus (16) geh t hervor, daft es eiae Zahl y ~ 0 gibtr so dab

(17) u (x) = Y (x, n) -- Y (x, no) ~ 7

ftir Ix -- ~[ ~ a und beliebige Zahlen ~ % % ist. Aus dieser Abschatzung folgt unmittelbar, dal~ Y (x, ~) ~ Y (x, ~o) fiir ~ g= ~lo gilt. Andererseits ergibt sich aus der Abseh~itzung (9), dal~ die Funktion Y (x, ~) fiir jedes x aus ] x ~ ~1 ~ a beliebig grofle positive , n d beliebig grol~e negative und also, infolge der Stetigkeit yon Y (x, ~), jeden Wert annimmt. Daher l~il~t sieh die Gleichung y ~- Y (x, ~) fiir Ix -- ~l ~ a und beliebiges y eindeutig naeh auflSsen, u n d die AuflSsung ~7 = Z( x, Y) existiert ffir t x - ~ [ < a und beliebiges y und is$ in ihrem Definitionsbereich eine stetige Funktion.

Page 5: Über die Bedingungen der Existenz der Integrale partieller Differentialgleichungen erster Ordnung

Existenz der Integrale partieller Differentialgleichungen. 449

3 . Aus (15) und (17) folgen die Abschs

, ~_~yo <_ u_G~ <~ . . }v(x) l '(x)--<"eTA~i~-~'r

ttud [ Q--Qo { B d A 'e*z-$ l

l Y - - Y o l -~ ~,

z-+ iQ-O~ C Es gibt also eine Konstante C ;z> 1, so dab Y--Yo ~ C und ~ __ ist.

4. Mit der am Ende yon Abschnitt 2 konstruierten Funktion X (x, y) bilden wir die Funktion y~ (x, y) = Z (x, Z (x, y)) und beweisen, dal3 sie eine partielle Ableitung nach y mit dem Wert Q (x, Z (x, y)) besitzt. Offenbar geniigt es zu zeigen, da~

(18) lira Z(z ,~)- -Z(x ,~o) : Q(x ,G) -+ ~o Y (z, ~t) -" Y (x, 'lo)

ist. Hierzu wird fiir beliebiges ~ 4 = ~.

Z (~, ,j) --Z (x, ,o) _ Q (x, %) H (x, ~) = y (x, ,~) - y (~, ~o)

geset, zt. Dann is~ mit Benutzung yon (10) (die Striche bedeuten Ableitungen nach x)

H'(x, ~) z ' (x , ~ ) - z ' ( ~ , , j o ) z (~, ,~) - - z (z, ,Jo) Y' (x, ,~) - y' (~, ,~o) _ Q'~x, ~e) -'~ Y(x,~)--Y(x,~)o) Y(x,,~)--Y(x,~o ) Y (x ,~ ) - - Y(x,~o )

/(x, Y ,Z ,Q)- - / (x , Yo,Zo, Qo) Q/q(x ,Y ,Z ,Q)-Qo/q(x , Yo,Zo,Qo)

Indem wit dritte nnd

H'(x,v ) =

Y - Yo Y - Yo Z--Zo /q(x~ Y,Z,Q)--/~(x, Yo, Zo,Qo )

+ Y - - Z o Y - - Y o --/~,(x, Yo, Zo, Qo) - Qo],(x, Yo,Zo, Qo) ] (x ,Y ,Z ,Q) - - I (x , Yo,Zo, Qo) Q--Q o~ (x, ~, ,Q) YZ

-- Qo/~ (x, Y, z. Q) - lq (x, Yo, zo, Qo) Y-- Yo

Z -- Zo /q (x, Y, Z, Q) -- lq (x,~ Yo, Zo, qo) '~" Y - Yo Y - Yo

- / ~ (x, Yo, Zo, Qo) - Qo L (x, Yo, Zo, Qo). auf das erste Glied rechts den Mittelwertssatz anwenden und do vierte Glied zusammenfassen, erhalten wir mit 0 . < v ~ < 1

Z -- Zo /~(x, Yo + o (Y - Y o ) . . . ) + ~ I~ (x, Yo + o (Y - Yo) . . . . )

O--~oto(~, Y,Z,O) Yo), . . . ) y

+ H (x, ~7)/q (x, Y, Z, (2) --/q (x, Yo, Zo, Qo) Y-- Yo

- - /~ (x, Yo, Zo, Q~) - G / , (x, Yo, Zo, Qo)" Mathematiscbe Zeitscbrift. 44. 29

Page 6: Über die Bedingungen der Existenz der Integrale partieller Differentialgleichungen erster Ordnung

450 E. Digel.

Durch Zusammenfassung des zweiten und letzten Gliedes ergibt sich

H"(x , r/) ---- [f,, (z, Yo + '~ (Y - Yo) . . . . ) - t,, (x, Yo,Zo,Qo)]

+ YZ --.:.-~'~Z~ [/, (x, Yo -F 0 ( Y -- Yo), .. .) - - /~ (x, Yo, go, Qo)]

q -- Q, + y . : y , [f: (Z, Yo + @ (Y -- Yo) . . . . ) -- [+ (x, Y,Z, Q)]

lo(x, Y,Z,Q) -- lq(x, Yo, Zo, Qo) + H(x,~])/~(x, Yo ,Zo ,Qo)+ H(x , rt) Y - - Yo

Wean wir die in Abschnitt 3 angegebenen Absch~tzungen verwenden und be- achten, daft f~, ]~, [q Lipschitzbedingungen erfiillen, so folgt

IH'(~, ~)t ~ (A + 2 AC)I Y - rol + 2 C (a + 2 AC)t Y -- Yol

+ AIH (x, ~)J + (A + 2 AC)IH (x, ~)1 ~ 9 AC~I Y -- YoI + 4 A C I H (x, ~)I.

Ist nun ein ~ > 0 und ein a 1, 0 < a 1 -~ a, vorgegeben, so gibt es offenbar ~i . ~ > 0, so d ~ fa~ Iv - %1 < ~ u . d ~ne Ix - ~1 ~< a~

IH'( ~, '7)1 ~-- e + KIH (x, ~)1

ist (K > 0 eine Konstante). Durch Anwendung des Hilfssatzes folgt dann

IHl~,n)l ~ g ( z " t ) - - g ( $ ' r ' ) - Q ( ~ , ' % ) e a ' a + ~ ( e K a - 1) - - li - - ~o

= I e ' O / ) - ~ 1 7 6 w' t e (e K ' - 1) , ~=-~,~o (%) e"" +K-

E_ (e~r a ._ 1 ) fiir iedes e :> 0 und daher lira H (x, ~?) = O. also lira [H (x,~) t ~ - K

Damit ist (18) bewiesen und auch die Stetigkeit v6n ~ (x, y) , da ja Q (x, z (x, y)) eine stetige Funktion ist.

5. Es ist noch zu zeigen, dab ~o (x, y) eine stetige Ableitung nach x hat und der Differentialgleichung geniigt. Der Punkt xo, Yo sei innerhalb des Gebietes (1) lest gew~hlt, x, (n ~- I, 2, .) eine Zahlenfolge mit dem

Limes %. Wit wollen die Folge der Differen~.enquotienten ~~ yo) - -~ (xo, yo) X n ~ .~0

untersuehen. Die Zahlen % mad % seien definiezt dutch

(19) ~/,, ------ X (x,,, Yo), % = Z (Xo, Yo)" Aus (19) folgt (20) - Yo ---- Y (x., r/.) -- Y (xo, %),

Ist ~ =~ %fi i r unendlie~h viele n, so ist fiir diese n nach (17) aueh Y (xn, ~/.) fl= Y (x., %) uad es gilt, wema man noch (20) beachtet,

v (~ , yo) - �9 (:~o, yo) Z ( z , ,;.)--Z(%,, '/o)

= ~" (~., ~.) - Y (~.. ,o) (Y (zo, %) - Y (| '~o)) + Z (z., '~o) - Z (Zo, %).

Page 7: Über die Bedingungen der Existenz der Integrale partieller Differentialgleichungen erster Ordnung

Existenz der Integrale partieller Differentialgleichungen. 451

Z(x 'a '%)- -Z{x '~ /~ hat den Wenn nun x, -~ xo, so ist auch ~, -~ ~o und Y (~,,,. ~..)- 1"(%, ,~o) Limes Q (x o, 70) wegen (18) und der Stetigkeit yon Q (x, ~}. Damit folgt

lira ~'~(X~' Yo) -- v' (Xo, Yo) = _ Q (Xo, 70) Y' (Xo, ~7o) + Z' (Xo, To) Xl~ ~ x 0 X n ~ x O

= Qo ./,~ (~, Yo, Zo, Qo) "l-" ! ( x o , Yo, Zo, Qo) - Qo/. (xo, Yo, zo, Qo) =/(xo, ~o,Zo,Qo).

Ist ftir unendlich vie]e n clas durch (19) definierte ~. gleich ~]o, so haben wit fiir diese n

~ , (x . , yo ) - - ~ (Xo, Yo) Z ( x , F/o)--Z (xo, ~o) . . . . . . ~ z ' (xo, ,7o)

. X ~ X 0 ~y, - - X 0

= / (Xo.. Yo ,Zo, Qo) -- Qol,. (Xo, Yo,Zo, Qo).

Nun giltaber/q (Xo, Yo, Zo, Qo) -~ - Y'~(xo, 70) = 0, da Y (x., ~/o) = Y (Xo, To) fiir unendlich viele n ist. Folglich haben wi~ auch in diesem Falle das Ergebnis

lira v (%, y,) -- v (Xo, yo) = / (x ~ Yo, Zo. Qo)"

GehSrt die Zahlenfolge x,, nicht zu der einen oder anderen der eben betrachteten Art, so lhBt sie sich in zwei Zahlenfolgen der betrachteten Ar~ aufspPlten. Die Funktion ~ (x, y) hat daher eine stetige partielle Ableitung nach x und erfiillt die Differentialgleichung.

(Eingegangen am 28: M~rz 1938.)