~'ber die Integrierbarkeit von Systemen partieller, nicht.

linearer Differentialgleichungen erster Ordnung

yon GuiDo B:~CHLI

In den letzten Jahren wies Herr Professor NEVANLINNA in Vorlesungen und Publikationen auf die Vorziige der absoluten Infinitesimalreehnung bin und behandelte unter anderen auch Fragen ans der Theorie der Differentialglei- chungen in dieser absoluten Betrachtungsweise. So wurden in [3], [4] die Nor- malsysteme untersucht und in [3], [5], [6] die linearen Systeme partieller Differentialgleichungen erster Ordnung, die als allgemeine lineare Differential- gleichungen dy = A (x) y dx auftreten.

F. und R. NEVA~I~NA fiihrten in [3] den Existenzbeweis ffir das Integral der linearen Differentialgleichung nach zwei versehiedenen Methoden durch. Die zweite Methode, angeregt dutch eine Beweisidee yon GOURSAT und eine veraltgemeinerte Definition des Operators R(x) benfitzend, fordert weniger Voraussetzungen, als frfiher bei der Behandlung dieser Frage benStigt wurden.

AnschlieBend wird dort die Frage aufgeworfen, ob aueh die Integrabilit~t der allgemeinen Differentialgleichung dy = t(x, y) d x naeh der GouRS•Tsehen Methode und mit einer erweiterten Definition der Form R(x, y)h k unter- sueht werden kSnne. Die vorliegende Arbeit bringt nun die LSsung dieses Problems unter den entsprechend schwachen Voraussetzungen wie im linearen Fall, die auch bier geringer sind als die friiher benStigten. Zudem sind x und y als Elemente zweier BA~AcH-R~ume angenommen.

Integriert man die allgemeine Differentialgleiehung l~ngs eines orientierten Polygonzuges l, so bezeiehnet y = T~(yo) den Endwert des Integrals, der auBer von 1 auch vom Anfangswert Y0 abh~ngt. Im speziellen Fall der linearen Differentialgleiehung, in dem die T z lineare, auf Yo wirkende Operatoren sind, erwies es sich als nfitzlich, die wesentlichen Teile des Existenzbeweises mit Hilfe dieser Operatoren durehzufiihren. Mit derselben linearen Operatoren- menge l~Bt sich dann auch, wie in [1] gezeigt wird, die Theorie der Parallel- verschiebung auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit in einfacher Art darstellen.

In der vorliegenden Arbeit treten die T~ (y) noch selbst~ndiger auf. Zunaehst wird, ganz unabh~ngig yon der Differentialgleichung, eine Operatorenmenge {Tl(y)} definiert. Das Hauptproblem, das sich fiir diese T~(y) stellt, ist die Angabe binreichender Bedingungen dafiir, dab sie nicht vom Verlauf der

16 CMH voL

246 GUIDO B~(yS~I

Wege l, sondern nur yon ihren Anfangs- und Endpunkten abh~ngen. Wegen der Nichtlinearit~t der T s (y) t'allt diese Untersuchung komplizierter aus als im linearen Fall.

Erst im zweiten Paragraphen folgt die Behandiung der Differentialgleiehung d y = / ( x , y ) d x , in der die allgemein hergeleiteten Ergebnisse des ersten Paragraphen wesentlich verwendet werden.

w I Die Operatoren T~ und U~

1. Definitionen yon T lund U z . R~ und R~ bezeichnen zwei lineare Ri~ume von reeller Struktur, die mit einer BA~AcH-Metrik versehen sind. m :~ cr und n _~ cr sind die Dimensionen und x und y die Vektoren dieser beiden R~ume.

Wir beschri~nken uns im folgenden auf die zwei abgeschlossenen Gebiete G x c R~ und G~ c- R~ und beschi~ftigen uns mit einer Menge von Abbildun- gen {T~} yon G~ in sieh. Die T s(y) sind also Vektoren in G~ und hi~ngen von y ~ G~ und dem in G~ liegenden orientierten Polygonzug 1 ab (spi~ter meist als ~(Weg l~) bezeiehnet).

Fiir diese Menge {Ts(y)} fordern wir die folgenden sechs Postulate.

1 ~ Sind/1 und l~ zwei aneinanderhi~ngende Wege, etwa /1 -= XlX 2 (das soll bedeuten: /1 beginnt in x I und endet in x2), l~ - : x2x3, und ihr Produktweg l ---- 1~/1 = xlx2x3, gehSren ferner Tz~(y ) und Tz , (Tz , ( y ) ) - - T l T z , ( y ) zur be- traehteten Menge, dann gehSrt auch T~(y) dazu, und es ist T l T ~ , ( y ) ~- T~(y) .

Existiert umgekehrt eine Abbildung T s ( y ) ftir den Weg 1 ~-- x~x 3, und hat man den Weg 1 dutch einen beliebigen Punkt x 2 e I in zwei aneinander- hi~ngende Wegstficke 11 ~ x l x 2, l~ = x2x 3 unterteilt, dann li~Bt sich Ts(y ) folgendermal~en mit zwei Abbildungen aus der Menge {Ts(y)} ausdrficken:

T z ( y ) = Tz, Try(Y) �9

2 ~ Wenn T~(y) ein Element der Menge {Ts(y)} ist, dann ist aueh Tz_,(y ) ein solches, wobei 1-1 den reziproken, umorientierten Weg zu l bezeichnet, und es besteht die Beziehung Ts_, Tz (y ) = - y , oder Tz_, T z = I . Unter I verstehen wit die identisehe Transformation des Raumes R~.

Diesen beiden gruppentheoretischen Eigensehaften folgen zwei metrische l~orderungen, zu deren Formulierung wit den Operator U s -~ T t - - I ein- fiihren.

3 ~ Es gibt ein Y0 in G~ und eine positive Zahl N so, dab fiir alle Tz(yo), deren Wege 1 yon endlicher Li~nge sind, die Ungleichung

] Us(yo) l=-IT,(Yo)--Yol < N ' ] l [ gilt.

Integrierbarkeit von Systemen partieller, nichtlinearer Differentialg|eichungen 247

4 ~ Falls ffir denselben Weg 1 (mit [ 1 I ~- a < c~) die beiden Abbildungen U~(Yl) und Uz(y~) existieren, so besteht die erweiterte LIPsCHITz-Bedingung

] U ~ ( y l ) - - Uz (y~) ] _ ~ ] y l - - y 2 ] �9 I l l �9 C .

Die Kons tan te C h~ngt yon a ab. Wi t wollen annehmen, a sei so groB gew~hlt, dab alle in dieser Arbeit vorkommenden endlichen Weglangen [ 1 [ unter dieser Schranke liegen.

Zum SchluB folgen noch zwei Postulate, die fiber die Existenz der T~(y) genauere Angaben machen:

5 ~ Zu jedem (x, y) aus G~ • G~ gibt es mindestens eine positive Zahl 0 (x, y), so dab ffir alle in x beginnenden, durch ~ beschri~nkten Polygonzfige l : I I[ ~ ~(x, y) die Abbildungen T~(y) existieren.

Daraus folgert man sofort, dab es ffir einen Punk t (x, y) unendlich vielo Q(x, y) gibt, denn mindestens alle Zahlen, die kleiner als dieses eine ~(x, y) sind, bilden Q-Zahlen.

Wir definieren a (x, y) = sup ~ (x, y) und fordern ffir diese Zahl:

6 ~ Ffir alle (x~, y , )~ (G~ X G~) (i = 1,2) gilt

I a (x l , Yl) -- a(x~, Y2) I < max {ix1 -- x~ I, I Y~ -- Y~ 1}.

Mit Hilfe des Postulates 4 ~ l~Bt sich beweisen, dab die in 3 ~ geforderte Un- gleichung nicht nur ffir einen Punk t yo aus Gv, sondern ffir a l l e y E G v besteht: Ffir ein beliebiges y ~ Gy ist

U~(y) ----- U~(yo) + (U~(y) - - U~(yo) ) ,

i U~(Y) I ~--[ U~(yo) l + I U~(y) -- U~(yo) l

und mit 3 ~ und 4~

I Uz(Y)[ g N . ] l [ + l y - - y 0 1 . 1 1 1 . C = ] I I ' { N + ] y - - Y 0 [ ' C } �9

Ist ~ die Limge der gr6Btm6gliehen Strecke in G~, ergibt die Einffihrung der Konstanten M = N + ~C die Verallgemeinerung von 3~

[ U~(y) ] ~ M . ] l I . (1.1)

2, Ein Satz fiber U r = 0 . Wir wenden uns nun einem Satz zu, der eine hin- reiehende Bedingung daffir angibt, dab U~ (und damit aueh T~) nur vom An- fangs- und E ndpunk t des Weges l, nicht aber vom fibrigen Verlauf des Weges abhi~ngt.

Zum Beweis dieses Satzes w~hlt man als Weg speziell den orientierten Rand eines Dreiecks a in G| Die orientierte Fli~che A des Dreieeks s (x 0, x 1, x~)

bestimmt man mit einer reellen, nicht ausgearteten alternierenden Grundform

248 GuiDo B l c m ~

D der yon s au fgespann ten Ebene E . Setz t m a n h = xl - - xo, b ---- x2 - - x0, so ist A = D h b . Die Fl~che ist somit ganz unabh~ngig yon der BX~ACH- Metrik.

Satz 1. Far ~eden Punbt x~ G x und /ar ~ede Ebene E dutch x sei bei regu-

l~rer Konvergenz 1) des den Punkt x enthaltenden Dreiecks s in der Ebene E

gegen x

nm_-~ = o, (2.~)

wobei 7 den orientierten Rand und A die Fldvhe des Dreiecks bezeichnen. Unter diesen Voraussetzungen ist Ur (Yo) = 0 /ar ~edes yo aus G~ und /ar

jedes Dreieck s o = s o (Xo, xi , x~) in G~ mit dem Rand 70 = 0So ----- xo xz x2 Xo, dessen gr6flte Seitenl~nge fl beschranbt ist durch

fl ~ ~(xo, Yo) (2.2) - - 3 - { - p '

zoo p = m a x ( 1 , 4 M) bedeuteL

~2

Ur,'--~ U~, Ty, = T 1, Tv,' = T~ und spi~ter en tsprechend Wir un te rsuchen die Beziehung

Tr. (Yo) = Tz.-1 T'I T1 Tz.(Yo) ,

deren Exis tenz zuerst noch gezeigt werden muff.

Beweis. Wir bezeichnen die Mitre der Dreiecksseite x I x~ mi t xlo. Dann unter - teilt die Sei tenhalbierende I o -~ XoXlo das gegebene Dreieck s o in zwei Teil- dreiecke s 1 und s~, deren Fl~chen gleich sind. Wir benennen diese Fl&chen A,, und es gilt A = 2. A 1 .

Die Ri~nder der beiden Teildreiecke

werden durch 71 = as1 = ~oXo xl x~ trod 71 -~ ~s~ = ~x~ xo ~ im gleichen Dreh- sinn orient ier t und ihre Randli~ngen mi t 01 und ~ bezeichnet.

Zur Vereinfachung benii tzen wir fiir Ur, die Schreibweise U, , ebenso sind

U~----- U, usw.

(2.3)

1) Yon einer regul~ren Konvergenz eines Dreiecks s spricht man daun, wenn der Ausdruck I~s I s /d unterhalb einer festen Grenze bleibt, wobei l as I die IAnge des Dreiecksrandes bezeichnet. Geometrisch bedeutet dies, dab ke/ner der I)reieckswinkel beliebig stark verkleinert werden daft.

Integrierbarkeit yon Systemen partieller, nichtlinearer Differentialgleichungen ~ j~

Die Wegl~nge I to ], die ja kleiner ist als fl, ist nach der Voraussetzung (2.2.) kleiner als a(xo, Yo). Daher existiert Tz.(yo) und somit_ auch T t _ 1 Tz. (Yo) ----- Yo. Die daran ansehlieBende Abbildung TT(yo) ffir 1 --~ xoXlZ~xox ~ (diese Punkte bezeichnen die Anfangs-, Eck- und Endpunkte des Polygonzuges l)

besteht wegen I-l[~ 4fl und, vie wieder aus (2.2) folgt, 4fl ~ ~(xo, Yo). Die letzte Etappe li~ngs l~ 1 li~13t sich wiederum nach dem Postulat 2 ~ durchfiihren.

Wir sehreiben (2.3) in der Form

Tr.(yo) = (I + Ut._,)(I + U~)(I + U~)(yo 5 Ut.(yo))

oder

WO

Tn(yo) = (I + Uz._~) (I + U~) (Yl -~- U,(y~))

Yl = Yo-5 Uzo(Yo) gesetzt ist. Bezeichnet man

s m s e t

Yl ~- Yl ~- UI(yl) , Yl ---- Yl ~- UI(yl) ,

so wird daraus

oder

Tr.(yo) = (I + U~_~) (y~ --}- U~(y~) + U~(y~))

= Yo + Ut.(Yo) + U~(yl) + U'~(y',) + U,._~(y~)

i t U . ee, . Ur.(yo) ~- Ut.(yo) ~- Ul(yl) ~- U~(yl) -~ l,_l(Yl) (2.4)

Zur Absch~tzung dieser Beziehung wollen wir nun sehrittweise die y-Argu- mente vereinheitlichen. Dies gesehieht mit Hiffe des Postulates 4 ~ das bier

in der Form U ~ ) ~-- U~(y) ~- [ y -- Y I'I l l ' ( C ) verwendet wird, wobei (C) einen Vektor bezeiehnet, dessen Absolutwert nieht grSfler ist als C. So erh~lt man aus den einzelnen Gliedern der reehten Seite von (2.4):

U~ (y~) ----- U; (Yl) -~- ] UI (Yl)[ 01 ( C ) , U . r~. o /,-I(Yl) ~--~ Ut,-I(Yl) -[- ] U;(y'I) [.[ lo[.(C)

= uz . - , (y l ) + {I u1 (us) I + I u~ (yl) I}. 1 lo I ( e ) + I u~ (y~) 1. [ l0 [. 01. C (G)

und zusammengefaBt, wenn man als Restglieder alle diejenigen bezeiehnet, die den Vektor (C) enthalten:

Un(Yo) = U~. (Yo) ~- U~(Yl) T UI(YI) ~- UI.-I(Yl) ~- RestgHeder.

Hier fallen wegen

0 = T~._IT~. (Yo) -- Yo = (Uz.-~ + I) (Uz.(yo) + Yo) -- Yo = Ut.-~(Yx) + Ul,(Yo)~

2 5 0 GUIDO BACILLI

zwei Glieder weg, und so bleiben noch

Ur,(Yo) = UI(Yl) + U~(yl) + Restglieder.

Ohne Einschri~nkung der Allgemeinheit kSnnen wir annehmen, I Ul(yl)[ sei die grSBere der beiden Normen I U1 (Yl) I , [ U~ (Yl) [ und ebenso

~1 = max (~ , (~1). Dann ist

I Vr,(Yo) l ~- 21 Vl(y~) I + 31 Vl(y~)l ~1C + I V~(y~) I ~2C2

< 2 ] U l ( y ~ ) l . { l § 301C ( ~ - ) ' } - 2 § 2i J"

Somit gilt

[ U~. (y,) I -~ 21 Ul(yl) I" e 3~'~/2

oder, well A = 2. A 1 ist ,

I U.y. (yo) l zl

3C wo 2 - - D g e s e t z t ist.

I ul(yl) l . eO,1 - - /11 3

Im n ichs t en Schri t t teil t man das Dreieck s 1 durch die Seitenhalbierende e

/1 = ~0Xo 2 in zwei Teildreiecke s2 und s 2 mit den F l i chen A, = A1/2 und schi~tzt dann UI(Yl) genau gleich ab wie vorhin Ur,(yo). Der Nachweis, dab die dabei auf t re tenden Operatoren T existieren, folgt in Abschni t t 3. Als Ergebnis e rh i l t man

[UI(yl)[ [U2(Y2)I ~_ e D a., A1 A2

worin y~ = T~l(yl) = Thz.(yo) bedeutet .

Dieses Verfahren l iBt sich unbeschri~nkt wiederholen an der Folge der ineinandergeschachtel ten Dreiecke s o D s 1 D 8~ D . . . D s , - . - . Man ge- langt so mi t

Y- = T:n-1 (Yn-1) ~" Tin-1 in- 2" " " l 1~0 (Y0) zur Ungleiohung

JUy.(yo)l < [U. (y , ) ] eC~,+a.+. . .+~)o " A A,

Zur Abseh~tzung des Exponen ten untersuchen wir die Folge 8o = ]?ol, 01, 8l, 88,. �9 �9 Da beim Dreieck s 1 mindestens eine Seite, bei s s mindestens zwei

I n t e g r i e r b a r k e i t y o n S y s t e m e n p a r t i e l l e r , n i c h t l i n e a r e r D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g e n 251

Seiten und bei % alle drei Seiten nicht grSfer als die H~lfte der g rSf ten Seite yon s o sind, gilt

3 8 ~ ~ o > ~ 1 : > ~ 2 und

38 38 2 ----> J a > ~ 4 > ~ 5 , 2 2 ~ e > ~ , > ~ s , - - - - - -

und

Folglieh ist

~i ~ ~i ~ 3 " X ~3i ~ 3 X - - 18 8 1 - - 1 i ~ 0 i - 0 2~-

IU~.(yo)l g IU.(y.)[ e~8~) A - A

Da fiir unbegrenzt wachsendes n die gr6flte Seite yon % gegen Null strebt,

existiert ein wohlbest immter Grenzpunkt x c s~, gegen welchen die Dreiecks- folge s o ~ s I D s 2 D . . . reguli~r konvergiert . Der Grenzwert der rechten Seite der obenstehenden Ungleiehung ist naeh der Voraussetzung (2.1) Null, und daher ist

I Ur. (Yo)] _ 0' und Un (Yo) ~-- 0 d

bewiesen.

3. Um die Exis tenz derjenigen Operatoren T nachweisen zu kSnnen, die in den Beweisen an den ineinandergeschachtel ten Dreiecken s~ vorkommen, m u f zuerst das Verhal ten der GrSfen [ l~ [ und I Y0 -- Y~ I bei waehsendem n untersucht werden.

Er r ich te t man im Dreieck s~ yon x~ aus die Seitenhalbierende l~ und daran anschl iefend die Seitenhalbierende I~+1, so e rkennt man, daft l~+ 1 halb so lang ist wie die zu l~+ 1 parallele Seite von %. Mit der bei der Abschi~tzung der O n ge- machten Bemerkung fiber die Halbierung der Dreiecksseiten folgert man

[gol ~ 8 , max (I/~1, Ig, I, ]g31) -~ , m a x (I/ ,I , IZ~l, I/el) ~ - ~ ,

1181, tl~I) < ~ , usw. max (It, I, Weiter ist

n--1

zI/,I <~ll, l _ < 8 + 3 2 _ -~8 = 4 8 Q

0 0 i--1 ~ "

252 GUIDO B i c m a

Die Addition der n Gleiehungen

Yl - - Yo ~- Tz.(Yo) - - Yo "~ Uz.(Yo)

Y~ -- Yl ---- T~,(Yl) - - Yl ~ Uz,(Yl)

ergibt

und mit (1.1)

Y,~ - - Y,.-1 ~ Uz,,_I (Y,,-1)

n- -1

I Y,, - - Yo I "< ,V, I Us , (y,) [ o

l Y , , - - Y o l ~-- 'V 'M'II , I ~ _ 4 M f l . o

Wir wenden uns nun denjenigen Operatoren zu, die zur Abseh~tzung yon U,~(y,~) fiir n _~ 1 gebraueht werden. Von x~ aus wird l~ngs der Seitenhalbie- renden l. die Abbildung Tz,,(y,, ) gebildet, dann kehrt man l~ngs l~ 1 zurtiek

(diese zweite Abbildung existiert nach 2 ~ sobald Tt, (y,) besteht). Von hier aus, nach 2 ~ wieder mit Yn beginnend, gleitet man l~ngs des gesamten Randes yon s~ und ansehlieBend l~ngs l~ nach ~+1 : T a (y,) (7,,----- x~ x'~ x'~ x'~ x~ + l ) . Der letzte Tefl besteht im Zurfiekkehren liings l~ 1 .

Zu beweisen ist also die Existenz yon T~,,(y,,) und T~,(y, , ) .

Da die beiden Wege 1,, t-~ in x~ be- ginnen, und da beide Male y~ abgebildet wird, ist bier o~(x~,y,,) entscheidend fiir den Existenzbeweis.

N a c h 6 ~ ist a ( x ' ~ , y a ) ~--~(xe, Y o ) - - m a x { I x ~ - - x o l , ] Y . - - Y o ] } . Das erste Glied der rechten Seite ist nach der Voraussetzung (2.2) nicht kleiner als (3 ~ / ~ ) ~ . Das letzte Glied kann man wegen t x ~ - - x o l ~ f l , t Y , , - - Y o I ~-- 4 M f l durch fl./~ ----- ft .[max (1, 4M)] ersetzen. Daher ist

(x~, y.) _~ (3 ~-/~) fl --/~ fl und sehlieBlich a (x~, yn) ~_ 3 ft.

Da keiner der beiden betrachteten Wege I. und 1. fiir n ~_ 1 l~nger als 3fl ist, existieren Tl,~(y,, ) und T~(y , j ) sieher.

Integrierbarkeit yon Systemen partieller, nichtllnearer Differentialgleichungen

w II Die al lgemeine Differentialgle iehung erster 0rdnung

253

4. Die Diiferentialgleiehung. R~ und R~ sind wiederum zwei lineare R~ume iiber reellem Multiplikatorenbereich mit den Dimensionen m < oo mad n ~ oo, die eine vollst~ndige BA)rAcH-Metrik besitzen. Der lineare Operator f(x, y), der ffir ein gewisses abgesehlossenes Gebiet G~ • G~ des Produkt- raumes ~ • R~ definiert sei, bilde die Vektoren des Raumes ~ in den Raum R~v ab.

Wir besch~ftigen uns nun mit der Differentialgleichung

dy = f(x, y) dx , (4.1)

in der y = y(x) die zu bestimmende Vektorfunktion ist mad untersuchen, mater welehen Bedingungen die Differentiatgleiehung vollst~ndig integrierbar ist. (Man nennt die Differentialgleiehung in G| • Gu vollst~ndig integrierbar, wenn fiir jeden Punkt (xo, Y0) aus diesem Gebiet eine LSsung y = y(x) der Differentialgleiehung in einer Umgebtmg yon x o existiert, die den Anfangs- wert y(xo) = Yo annimmt.)

Falls ~ und R~ endliehdimensionale R~ume der Dimensionen m mad n sind, ergibt sieh naeh Einftihrung yon zwei Basissystemen und den Koordi- naten ~k, ~ ein zu (4.1) ~quivalentes System

~7 ~ i ~ i = 1 , . . . , n , 8~k --/k(~,'''~m,~a, . . . . ~/n) k = l , . . . , m ,

also ein System yon n .m partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung mit den n unbekannten Funktionen

~t = Vt(~l . . . . , ~ ) .

5. Voraussetzungen und Integration der Normalsysteme. Fiir die Differential- gleichung ely = / ( x , y ) d x sollen die folgenden Voraussetzungen gelten:

A. Die Operatorfunktion f (x , y) izt stetig ~t~r x �9 G~, y ~G~ und ao be- �9 chr~nla, da~ [ f (x , y) ] ~_ 1.

B. D/e LvescmTz-Bedingung

I f ( x , y,) - f ( x , y , ) I < I ul - y , I" K

(K = const.) ist erfallt far y~ �9 (7, (i = 1, 2) und x ~ G|

Die Wahl der Besehr/~nktheitskonstante 1 bedeutet keine Einsehr~nkung der Allgemeinheit. W~re n~mlieh f(x, y) dutch M besehriinkt, I / (x, y) I --~ M, kSnnte m a n in R~v eine neue Metrik e'mfiihren, durch Division aUer naeh der

254 GuIvo BhCHn~

urspriinglichen Metrik gemessenen L~ingen durch M und erhielte so I] (x, y)] _~ 1. Die Voraussetzung B bliebe bei der Einfi ihrung dieser neuen Metrik bestehen ohne ~mderung der Kons tan ten K .

Diese Voraussetzungen sind hinreiehend daffir, dab unsere Differentialglei- chung langs einer Streeke t - - x o ~ - ~ ( x 1 - xo) (0 g ~ g 1) als Normal- system d y -~ ] ( t , y (t)) d t mit dem Anfangswert y (Xo) = Yo integrierbar ist, falls x 1 die Ungleichung I xl -- xo I <~ ~(xo, Yo) erfiillt und xo, Yo inhere Punkte yon G| G~ sindS). Die positive reelle Zahl ~(xo, Yo) best immt man, wie in der Theorie der Normalsysteme gezeigt wird, auf folgende ~'eise: In G~ legt man eine mSglichst groBe Kugel um den Anfangswert Yo, I Y - - Yo [ ~- r~(yo)

(y c G~). Ebenso wahlt man um x o eine maximale Kugel in G~, I x - - x o I ~-- r~ (xo ) und definiert

~(xo, Yo) ~- min {r~(xo), r,(yo) } . (5.1)

Ftir den LSsungsvektor y ( x ) gilt dann I y ( x ) - - Yo I ~ r~(Yo) �9

Xo

und ebenso ( x l ) ~

Wir beseh~ftigen uns nun mit der Frage, wie sich die Zahl a bei einer ~mderung der Anfangswerte verh~lt und w~hlen dazu ein neues Paar xl, Yl mit der vorl~ufigen Einschr~nkung

I xl - Xo I < rx(xo) (5.2)

[Yl -- Yo I g r , (yo) .

Der Figur en tn immt man

rx(x~) > r~(xo) - [ Xo - x l l

- - r , ( Y l ) ~ r ~ ( Y o ) - - l Yo - - Y l I �9

I)araus folgt nach der Definition (5.1) yon a(xl , Yl)

~(Xl , YI) ~ min{rx(xo) - - [ Xo - - x l ] , r , ( Y o ) - - l Yo - - Y l ]}

min{~(xo, Yo) - - I xo - - x l I, ~ ( x o , Y o ) - - l Yo - Y I I} ,

daher ist

~ (x l ,y l ) -~ ~(xo, Yo) -- max { Ixo -- x 1[ , ] Yo -- Yl [}. (5.3)

I) Die Methoden, die in [3] bei der Behandlung der Normalsysteme angewandt wurden, lassen sich unver~ndert auf den Fall iibertragen, wo R~ ein vollst~ndiger BA~TACH-Raum ist. Unter dieser allgemeinen Voraussetzung wird die Normalgleichung in [2], Seiten 13/14, untersucht.

Integrierbarkeit yon Systemen partieUer, nichtlinearer Differentialgleichungen 255

Diese Ungle iehung ist auch richtig, wenn die Bedingungen (5.2) n ich t erffillt sind, weil in diesem Fal l die rechte Seite yon (5.3) einen negat iven, die linke nach Defini t ion einen posi t iven W e r t darstel l t . Wir lassen daher die Einschri~n- kung (5.2) fallen.

Neben

~(Xo, Yo) -- ~(xl , Yl) ~ m a x { Ix o -- Xl] , ]Yo -- Yl I}

m u g nach denselben l )ber legungen auch

(Xl, Yl) -- ~(xo, Yo) <: max { ] x o -- x, I , I Yo - - YI I }

gelten, woraus

] a (xo, Yo) -- ~ (xl, Yl) ] g max { I xo -- xl I, I Yo -- Yz I } (5.4)

folgt. Unsere Different ialgleichung k a n n l~ngs jedem yon x o ausgehenden Polygon-

zuge 1 als N o r m a l s y s t e m mi t dem Anfangswer t y (xo) ~-- Yo integr ier t werden, wenn I 1 I ~ a ( x o , Yo) �9 U m dies zu zeigen, zerlegt m a n l in seine Teils treeken l = lk �9 �9 �9 12 11 1. und f t ihr t den Beweis mi t vollsti~ndiger I n d u k t i o n :

Zun~ehs t ist die In t eg ra t ion li~ngs 1 o -= x o x 1 mSglich, da ja

I l o ] < l l l - ~ ( x o , Y o ) ist.

Wir n e h m e n n u n an, die In t eg ra t i on sei li~ngs l ~ _ 1 . . . / 1 lo (1 g i ~ k) durehf t thrbar u n d behaupten , dag sie es auch li~ngs der anschlieBenden Strecke li sei. li beginne in xi, u n d es sei y(x~) = y~. Man setzt die Beziehungen

s i - -1

I x , - z o l < X l g , [ , l y , -yo I - - I I / ( x ,y )dx l< l l l J l j - O l t - ~ ... 1~ 1, 0

in

ein: a ( x , , y , ) >= ~(Xo , Yo) - - m a x ( I x~ -- xo I , I Y~ -- Yo 1}

(x~, y~) ~ ~ (xo, Yo) -- 2: I/J I �9 0

Die In t eg ra t i on lgngs l~ ist mSglieh, wenn I l~ J g ~ (x~, y~), sieher dann , wenn

i--I i

~X(Xo ,Yo) - - "Y ' [ l~[ ~ _ [ l , l oder r ~ Z ' l l , ] . 0 0

Diese letzte Ungle iehung jedoeh ist wegen ~ (Xo, Yo) ~-- [ l I erffillt.

(5.5)

also nach (5.5)

256 G~o B ~ c ~

6, Eindeutigkeit der L~isung. Falls die Differentialgleichung (4.1) fiberhaupt eine L6sung y (x ) ,nit dem Anfangswert y ( x o ) = Yo besitzt, so ist sie ein- deutig. Verbindet man n~mlieh einen beliebigen Punkt x I aus G~ mit x 0 dutch die Streeke t = x 1 -{- ~(x 0 -- xl) (0 ~ T ~ 1), so geht die Differentialglei- ehung auf dieser Streeke in eine Normalgleichung d y = ] (t, y) dt fiber, deren LSsung unter den voranstehenden Voraussetzungen bekanntlich eindeutig ist. Es gibt daher nut einen Vektor y(xl), yon dem aus man naeb Integration l~ngs der erw~hnten Streeke in x o den vorgesehriebenen Anfangsvektor Yo erreicht.

7. Die 0peratoren T s und U s. Nun soU der Zusammenhang zwischen der vorgelegten Differentialgleichung und den im ersten Paragraphen betrachteten Operatoren T s und U~ hergestellt werden.

1 sei ein yon x 0 naeh x 1 fiihrender, orientierter Polygonzug im Gebiet G~. L~ngs I geht die Differentialgleiehung in eine Normalgleichung fiber. Integriert man diese, so stelle Yo = Y(Xo) den Anfangswert und Yl ---- Y(Xl) den End- weft dar. Der Endwert Yl wird, als Funktion des Anfangswertes Yo, als T~(yo) definiert:

Y~ = Yo + S dY(x ) = Yo + S I t x , Y) d x = T~(yo) . l l

Welter bezeiehnet

Us(Yo) = Tl(yo) - - Yo = S d y l

den Zuwachs der LSsung y (x ) l~ngs des Weges l. Die soeben festgelegten Operatoren U s und T~ erffillen die im ersten Ab-

sehnitt aufgestellten Postulate 1 ~ bis 6 ~ 1 ~ und 2 ~ folgen aus der Eindeutigkeit der LSsung y ( x ) des Normalsystems.

3 ~ ist erfiillt wegen der BesehMixLktheit des Operators [ (x, y) :

I Uz(y) l = i S f ( x , y ) d x l < S i d x l = l l l , l 1

womit gleieh die allgemeinere Form (1.1) mit M =- 1 hergeleitet ist. Um die Gfiltigkeit yon 4 ~ zu zeigen, betraehten wir die Ungleiehung

I U,{y,) - - g , ( y , ) I ~ S I / ( x , T t , ( y , ) ) - - f ( z , Tz,(y,) ) I I d x l , z

in der l, dasjenige Teilstfiek des Weges 1 bezeiehnet, das veto Anfang yon 1 bis zum beliebigen Punkt z R uf l ffihrt. Mit der L~scmTz-Bedingung wird daxaus

I U,(y,) -- U,(y,) I ~ SKIT,,(y,) -- T,f(y,) I l dzl. I

Integrierbarkeit von Systemen partieUer, nichtlinearer D/fferentialgleichungen 257

Beim n~chsten Schritt brauchen wir eine Ungleichung aus der Theorie der Normalsysteme, die eine Aussage macht tiber die Abh~ngigkeit der LSsung eines Normalsystems yon der Wahl des Anfangswertes, n/~mlieh s)

] Tz(y ) -- T~(y) J _~ [y -- y[ e ~'lzl , (N = const.).

Mit ihr erhalten wir

] U,(y~)-- U~(y~)l --~KJy~--Y~]e lv]z~ljdxj.

Hier f'tthrt man die Kons tan te C ---- K e ~~ ein, wobei a die in Abschnit t 1 beim Postulat 4 ~ erwi~hnte Zahl bezeiehnet:

J U,(y~)-- V,(y,)J ~ J y ~ - - y ~ [ [/JC,

womit die Gtiltigkeit yon 4 ~ erwiesen ist. Wie in Abschnit t 5 gezeigt wurde, sind auch die Postulate 5 ~ und 6 ~ erfiiUt,

wobei das durch (5.1) definierte ~ genau dem ~ aus dem ersten Paragraphen und (5.4) dem Postulat 6 ~ entsprechen.

8. Die Integrabilit~tsbedingung U r -~ O. Naeh diesen vorbereitenden Ab- schnitten wenden wir uns der Frage der LSsbarkeit unserer Differentialglei- chung zu und beweisen zuerst den

Satz 2. Wenn der Operator / ( x , y) die Voraussetzungen A und B des Ab- schnitts 5 er/allt und ein beliebiger innerer P u n ~ (Xo, Yo) aus G~ • G~ als An/angswert /ixiert ist, so ist die /•r jeden Dreiecksweg ~----x o x lx2x o m i t ] xi -- xo [ --~ ~ (xo, Yo) (i ~-- 1,2) geltende Best immung

Ur(yo) -~ 0 (8.1)

notwendig und hinreichend da/i~r, daft die Di//erentialgleichunq (4.1) in der Kugel J x -- Xo[ g a ( x o , y o ) eine LSsung y (x ) besitzt mit y(Xo) --~ Yo und

J y(x) -- Yo J ~-- r,(yo) �9 Wit nehmen nun an, die Differentialgleiehung d y ~ / (x, y) dx sei vollst~ndig

integrierbar und beweisen die Notwendigkeit der Bedingung. Integriert man, mi t dem Anfangswert y(Xo)~-Yo beginnend, li~ngs ~,-----XoXzX~Xo, ist wegen der Eindeutigkeit der LSsung Ty (Yo) ~ Yo und daher 0 ~ Tr (Yo) -- Yo ~ Ur (Yo).

Die Bedingung Ur(yo) ~ 0 ist aber auch hinreichend: Fiir jedes x aus der

Kugel K~ :J x -- xoJ _~ a (x o, Yo) l~Bt sich eindeutig ein y (x) bestimmen,

s) Vergleiche [9.], S. 15.

258 GwDo B X c ~

indem man l~ngs der Strecke XoX die Differentialgleichung - in diesem Fall ein Normalsystem dy = / ( t , y(t)) dt ( t = Xo + 7:(x -- xo) , 0 ~ ~ <_ 1) - inte-

griert. Man erh~lt y(x) = T~o ~(Yo) , und dies mui3 die LSsung der Differential-

gleichung sein, falls eine solehe iiberhaupt existiert.

Es ist daher noch zu beweisen, dal3 die Differentialgleichung dy -= / ( x, y) d x

dutch y (x)wirklieh befriedigt wird. Wir w~hlen dazu zwei beliebige Punkte x

und x + h aus K x und berechnen denAusdruck A y = y ( x + h) -- y ( x ) . Aus

der . . . . Definition yon y(x) folgt sofort y ( x @ h) = T~%(~+a) (y(x)) und somit

A y : T=%c~+h ) (y(x)) -- y (x) : U=~o(~+h) (y(x)) .

Nach der Integrabflit i i tsbedingung ist aber U~%(~ +a) (-y(x)) = U s (~ +h) (Y-(X)), woraus sich die Beziehungen

Ay : U~c~+h)(y(x)) = S / ( t , y ( t ) ) dt x(x+h)

und, wegen der Stetigkeit yon / ( t , y(t)) fiir t = x ,

Ay : / ( x , y ( x ) ) h + [h i (h; x)

mi t [ ( h ; x ) [ - + 0 f t i r l h [ - - > 0 ergeben, w.z .b .w.

9. Eine weitere Integrabilitiitsbedingung. Satz 1 erlaubt uns, die soeben auf- gestellte Integrabil i t~tsbedingung dureh eine andere zu ersetzen, die sich nur auf das lokale Verhalten des Operators / (x , y) bezieht:

Satz 3. Falls der Operator / (x, y) die Voraussetzungen A und B des Abschnitts 5 er/i~llt, so ist es /fir die vollst~ndige Integrabilitat der Di//erentialgleichung

dy = / ( x , y) d x notwendig und hinreichend, daft liar ]edes x �9 G~ und /a t ]ede

/este Ebene E durch x bei regularer Konvergenz des Dreieclcs 8 (mit der Fldche A

- U r und dem Rand ~ = as) in E gegen x �9 8 der Grenzwert yon -~- Null betrdgt,

U~ Jim - ~ - = 0. (9.1)

Sind x o und y(xo) = Yo die innerhalb G x und G~ beliebig gew~hlten An/angs- werte, so existiert /ar ]edes x aus

i x - - x o [ <: or Yo) ( 9 . 2 ) - - 1 4

eine L6sung y = y (x ) mit [ y (x ) -- Yo I ~-- %(Yo) �9

Integrierbarkeit yon Systemen partieller, nichtlinearer Differentialgleichungen 259

Die Bedingung (9.1) ist sicher notwendig, wie man sofort aus der notwen- digen Bedingung (8.1) schliel3t.

Umgekehrt wissen wir nach Satz 1 auch, dab (9.1) hinreichend ist, da ja daraus die hinreichende Bedingung (8.1) folgt.

(9.2) ergibt sich folgendermaBen: Aus Satz 1 und der Beziehung M = 1 folgt, dab die l~ngste Dreiecksseite fl yon s(xo, xl , x2) der Ungleichung fl < a (x o , Yo) / 7 gentigen muff. Dies ist sieher ftir jedes Dreieck in der Kugel mi t dem Durchmesser a(xo, Yo) / 7 erffilit.

10. Der Operator R. Der Operator [(x, y) erffille zusi~tzlich zu den Voraus- setzungen A und B noch die weitere Voraussetzung

C. / ( x , y) ist di//erenzierbar /tZr x = Xo, y = yo.

Wir werden nun eine neue Darstellung yon Ur (y) herleiten und betrachten dazu das x o enthMtende Dreieek s = s(xl , x2, x3) mit der grSgten Seiten- l~nge fl, dem Rand a s = 7 = xlx2x3xl und h---- x 2 - - X l , k = x a - x 1.

Nach Definition ist

U:,(yo) : . [ / (x , y) d x . 7

Hier setzt man

/ ( x , y) = [(x o, Yo) § Yo) (x -- xo) + /~(Xo, Yo) (Y -- Yo) -t- ?(x) (~(x))

mit [~(x)] 2 = I x - - x ol 2-1- l Y - - y o ] 2 und I (qo(x)) I --> 0 ftir ~0-->0 ein:

U~(yo) = 5](Xo, yo)dx + .[[x(Xo, Yo) (x -- xo) d x + ~/~(x o, Yo) (Y -- Yo) d x 3' 7

+ I q~(~o) d x . (lo.1) 7

Das erste Integral der rechteu Seite ist gleich Null, die fibrigen werden nun einzeln weiter umgeformt und die Resultate in (10.3) zusammengetragen.

Nach der Differentiafformel yon STOKES ist das zweite Integral

S/~(Xo, Yo) (x -- Xo) d x ---- �89 {/x(xo, Yo) hk -- /~(Xo, Yo) kh } = A / ~ (Xo, Yo) hk .

Im dri t ten Integral yon (10.1) formt man zuerst den Ausdruck (y(x) -- Yo) urn. In

y(x) -- Yo -= S [(t, y(t)) dt l ( z )

wird li~ngs 1 (x), des positiv orientierten Teilweges x 1 x yon 7, integriert. Unter Berticksiehtigung der Differenzierbarkeit yon [(x, y) im Punk t (Xo, Yo) wird daraus

260 GUIDO BiiC11LI

l y ( z ) - yol < I S / ( x o , y o ) d t l + S f / . ( ~ o , yo) l l t - Xo I J dt 1 l(~) l(z)

§ SI/,(Zo,Yo)l l y ( t ) - y 0 1 1 d t l + / ~ ( t ) l (~(t))l Idt[ . l(~) 1(~)

Beachtet man, da~ I / (x , y) ] ~ 1 ist, und ersetzt man im zweitletzten Sum- manden den Ausdruck ] y(t) -- g0 ] nochmals dutch ein Integral, dessen Inte- grationsweg yon x~ l~ngs F bis zu t verl~uft, n~mlich dutch

]y(t)--yol----lSf(u,y(u))du[ ~_S[dul ~-3fl, l(t) l(t)

so erh~lt man

I y ( z ) - yo I < I / (~o , yo) (~ - Zo) I + I / A z , , yo) I. ~ + I l,(Zo, yo) I �9 9p~ + S ~(t) l (re(t)) I I dt l . (lO.2)

1 (x) Das letzte Glied dieser Ungleichung ist wegen

[~(t)]s-~ ] t - - x o ] ' + l y ( t ) - y 0 l ~ < fl~ + 9fl ~, ep(t) < f l . l / lO

yon der Form fl2(fl), und man folgert daher aus (10.2), dab

y ( z ) - yo = l ( z o , yo) ( z - Zo) + ~(~) .

Dieses Ergebnis setzt man in das dritte Integral yon (10.1) ein:

S/ , (x~ yo) (y - y ~ = S / , (x~ yo) / (x~ yo) (x - xo) d x -[- S / , (x~ ,yo)fl(f l)dz,

tmd erhi~It daraus nach der SroK~.sschen Differentiafformel 4)

S/,(Xo, yo) (y - yo) d x = A {f,(xo, Yo) /(Xo, yo) hk } -4- fl~(fl) .

]:)as letzte Integral yon (10.1) endlich ist yon der Form fl2(fl). Alle soeben hergeleiteten Teilergebnisse fiihren, in (10.1) eingesetzt, zur Be-

ziehung

U~(yo) = R(Zo, yo) hk + fl~(fl), (lO.3) wobei

R(xo , yo)hk ----- A {/~(xo, yo)hk -4-/ ,(xo, Yo)/(xo, Yo) hk } (10.4)

gesetzt ist. Die Untersuchungen in diesem Abschnitt haben also folgendes Ergebnis

erbracht:

Satz 4. Der Operator / (x, y) aei /~r das Gebiet G~ • G w stetig, er/t~lle die LrPscHITz-Bedingung B und sei #tr (xo, Yo) �9 G~ • G~ di//erenzierbar.

' ) Vergleiche [3], S. 122.

Integrierbarkeit yon Systemen partieller, nichtlinearer Differentialgleichungen 261

Wird dann ein den Punier x o enthaltendes und ganz in G| liegende~ Dreieclr mit den Ecken x~, x2 ~-- xl ~ h , x 3 ~ x~ ~ k au/gespannt, dessen gr6flte Seiten~nge fl ist, so besteht die Beziehung

Ur(Yo) ~- R(xo , Yo) hk q- fl~(fl)

mit

R(xo , Yo) hk = /~ (/~(x0, Yo) hk q - /v (xo , Yo) /(Xo, Yo) h k ) .

Dabei bezeichnet (fl) einen Vektor des Raumes R~, dessen Norm far fl --~ 0 ffegen Nul l konvergiert, 7 ist der Dreiecksrand, dessen Umlau/ssinn durch die EcIc- punkt/olge xlx2x3xl bestimmt ist, und Yo ist der An/angswert, den die Vek, tor- /unlction y(x) /~r x ~ x o annimmt.

Es sei hier noch bemerkt, dab das identische Verschwinden des in (10.4) definierten Operators R die fibliche Integrationsbedingung ist, wobei der Ope- rator /(x, y) ffir jedes (x, y) aus G~ • G~ als stetig differenzierbar voraus- gesetzt wird. Man erhi~lt R, indem man in y" hk -- y " k h die Ableitung der reehten Seite der Differentialgleiehung dy ~ / (x, y) d x oder yr d x ~ / (x, y) d x einsetzt.

11. Verallgemeinerte Definition von R ( x o, Yo). Die Formel (10.3) l~Bt sich umgekehrt zu einer verallgemeinerten Definition des bilinearen Operators R(xo, Yo~ verwenden:

Definition: Wenn in einer Umgebung yon (x o, Yo) ein bilinearer Operator A (x, y) existiert, so daft in dieser Umgebung/t~r ]edes den Punk t x 0 enthaltende Dreiecl~ 8 -~ s (xl, x~, x3) (x2 -~ xl ~- h, x 3 ~ x 1 ~ k) mit der gr6flten Seiten- ldnge fl und dem orientierten Dreiecksrand Os -~ 7 -~ XlX2X3Zl die Beziehung

u~(yo) = A(xo, yo) hk + ~(~)

mit [ (fl) I ~ 0 /i~r fl --~ 0 besteht, dann definieren wit:

A ( x o , Yo) - - R(xo , Yo) �9

Diese Definition verlangt weniger Voraussetzungen als die tibliehe Definition (10.4). W~hrend deft die Differenzierbarkeit des Operators /(x, y) notwendig ist, wird hier nut die MSglichkeit der Integration der Differentialgleiehung d y ~ / ( x , y ) d x l~ngs Dreieeksr~ndern verlangt, wozu die Stetigkeit dos Operators /(x, y) und die LrPscmTz-Bedingung hinreiehend sind, weil die Differentialgleiehung zu einer Normalgleichung spezialisiert wird.

Sobald ] (x , y) fiir (x o, Y0) aueh differenzierbar ist, ist da~ nach Satz 4 daftir hinreiehend, dab der Operator R (x0, Yo) existiert. Er nimmt dann die in (10.4) aufgesteilte explizite Form an und stimmt mit dora nach der allge-

17 0MH vol. 36

262 Gv~Do BXcm~

meinen Definition bestimmten R(xo, Yo) fiberein, da dieses, wie wir gleich beweisen werden, eindeutig ist.

Falls ein Operator R(xo, Yo) allgemeiner Art existiert, ist er eindeutig. Denn angenommen, es g~be zwei verschiedene Operatoren, die der verallge-

meinerten Definition entsprechen, etwa R und R, dann w~re

(R(xo, Yo) - - R(xo, Yo)) hk = fl2(fl).

Nach Ersetzung der Vektoren h, k durch 2h, 2]c mit variablen 2, 2 (0 < 2 <: 1,

0 • ~ <: 1) und fixierten h, k erhielte man

( R ( x . , Yo) -- R ( x . , Yo)) hk -~ (2, 2),

wobei [ (2, 2-) I gegen Null strebt, wenn auch die Summe ~ + ~ gegen Null konvergiert, und somit

(R(Xo, Yo) -- R(xo, Yo)) hk : 0

fiir jedes Paar h, k, was der Annahme widerspreehen wfirde. Ferner ist der eben definierte Operator R ( x o , Yo) auch alternierend: Aus

der Definition des Integrals folgt, daft

U:,(yo) : ,~ f ( x , y) d x

bei Umorientierung des Dreieeksweges sein Vorzeiehen ~ndert. Bildet man die Summe der beiden Gleiehungen

U~,(Yo) = R(xo, Yo) hIc + fl2(fl),

Uv_l(yo) ---- R(xo, Yo) kh --}- fl2(fl) ,

so erh~lt man

0 = R(xo, Yo) hk -~ R(xo, Yo) kh § f l2(f l) .

Hier ersetzt man h und k wiederum dureh 2h. ~'/c mit festen h, k und variablen

)t, ~'(0 < ~ ~ 1 ,0 < ~ ~ 1), dividiert dann dureh ~.~ und lal3t die Summe

2 ~- ~ gegen Null konvergieren. Dem so entstehenden Ergebnis

0 = R(x0, Yo) hk -~ R(xo, Yo) kh

entnimmt man sofort, dab R alternierend ist. Wenn welter D die reelle alternierende Grundform der yon h und k aufge-

spannten Ebene bezeiehnet, ist die DarsteUung

R(xo, Yo) hk = ~(Xo, Yo) D h k

Integrierbarkeit yon Systemen partieller, nichtlinearer Differentialgleichungen 263

mSglich, wobei die Dichte ~ bei festem E nicht yon h und/r abhi~ngt. Mit Hiffe der Definition yon R schliel3t man, daI~ Q best immt ist durch

Q(Xo, Yo ; / ( x , y) ; E) = lim Uv (Yo) ,_.~. Dhk

bei regul~rer Konvergenz des Dreiecks 8 in der Ebene E . Damit ]~I]t sich die Integrat ionsbedingung (9.1) auch so formulieren:

~(xo, Yo) ~ 0 ftir jedes E .

12. Zusammeniassend ergibt sich der folgende Existenzsatz fiir die LSsung der allgemeinen Differentialgleichung erster Ordnung:

Satz. Der lineare Operator / (x , y) sei far ein abgeschlossenes Gebiet G~ • G v des Produktraumes R~ • R~ de/iniert, stetig und er/~lle /t~r aUe (x, y~) (i : 1,2) aus diesem Gebiet die LIrsc~ITz-Bedingung

I / (x , Yl) - - / ( x , Y~)I <= K Jyl -- y~ J.

Eine notwendige und hinreichende Bedingung far die vollst~ndige Integrierbar- keit der Di//erentialgleichung

dy = / ( x , y) dx

ist /olgende : Der Operator R(x ,y ) allgemeiner Art existiere ]fir alle (x, y) c G x • G~ und

verschwinde hier identisch, das heiflt

R (x , y) hk -~ 0

/~tr beliebige Vektoren h und k des Raumes R~. Ist diese Bedingung er/~dlt und tier beliebige inhere Punkt (x o , Yo) aus G~ • (7 v

]estgelegt, gibt es in der Kugel

~(Xo, Yo) I.x-, ol 14

der Di/ferentialgleichung, die /ltr xo den Wert Yo eindeutig eine L6sung y(x) annimmt und in der Kugel

[ y(x) -- Yo I ~-- r,(Yo)

liegt, wobei o~ und ry nach der in Abschnitt 5 beschriebenen Art bestimmt werden. Ist der Opera tor / (x , y) zusatzlich noch di//erenzierbar, ist das identische Ver-

8chwinden des A usdrucL9

264 G ~ b o BAcm~I/Integrierbarkeit yon Systemen partleller, rdchtlinearer Differentialgleichungen

R(x, y) h k = A {/~(x, y) h k + / , ( x , y) / (x , y) h k }

die notwendige und hinreichende Bedingung /~r die vollstdndige Integrabilitat der vorgelegten JDi]/erentialgleichung.

L r r E R A T U R

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(Eingegangen den 14. Juli 1961)