Über die isoperimetrische Aufgabe imn-dimensionalen Raum konstanter negativer Krümmung

Uber die isoperimetrisehe Aufgabe im n-dimensionalen Raum konstanter negativer Kriimmung.

I. Die isoperimetrisehen Unglelchungen in der hyperbolischen Ebene und fiir Rotationski~rper im n-dimensionalen hyperbolischen Raum.

Herrn Oskar Perron zum 60. Geburtstag am 7. Mai 1940 gewidmet.

Von

Erhard Schmidt in Berlin.

Einleitung.

In dieser Arbeit, deren erste H~lfte hier vorliegt, soll ein Beweis frir die isoperimetrische Eigenschaft des Kreises und der Kugel im n-dimensionalen Raum konstanter negativer Krrimmung gegeben werden.

Der Bereich der VergleichskSrper wird nicht durch die Forderung der Konvexit~t eingesehr~nkt. Auch fiber die topologisehe Struktur der in Betracht gezogenen KSrper und ihrer Oberfl~ichen werden keinerlei Voraus- setzungen gemacht.

Es wird im wesentlichen und kurz gesagt lediglich vorausgesetzt, dab die Berandung aller Dimensionenzahlen aus endlich vielen zweimal stetig differenzierbaren Stricken besteht.

Das Beweisverfahren folgt dem yon H.A. Schwarz gewiesenen Wege in einer iiberraschenden Analogie mit den Beweisen, welche in meiner Arbeit ,,[lber das isoperimetrisehe Problem im Raum von n Dimensionen ''1) fiir den Euklidischen Raum entwickelt worden sind.

Endlich daft noch auf die sieh ergebenden Versch~rfungen der isoperimetrischen Ungleichungen hingewiesen werden, die sich geometrisch als sehr einfach und anschaulich darstellen und eine bemerkenswerte ~bereinstimmung mit den analogen Versch~irfungen an den Tag legen, welche in der genannten Arbeit frir den Euklidischen Raum bewiesen worden sind.

In einer demn~chst erscheinenden Arbeit werden mit/~hnlichen Methoden die analogen isoperimetrischen S~tze fiir den n-dimensionalen sph~rischen Raum hergeleitet werden.

Inhaltsverzeiehnis.

w 1. Die isoperimetrischen Ungleichungen in der Ebene konstanter nega- river Krrimmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

1) Math. Zeitschr. 44 (1939), S. 689--788.

E. Schmidt, Isoperimetrische Aufgabe im Raum konstanter negativer Kriimmung. L 205

w 2. Feststellung der geschlossenen Kurven, welche in den isoperimetrischen Ungleichungen die Gleichheit erreichen . . . . . . . . 210

w 3. Die isoperimetrische Aufgabe fiir RotationskSrper im ~-dimensionalen Raum konstanter negativer Kriimmung . . . . . . . . 218

w

Die isoperimetrisehen Ungleiehungen in der Ebene konstanter negativer

Kriimmung.

Wir stellen die hyperbolische Ebene dar, indem wir der gewShnlichen Halbebene x > 0 mit den rechtwinkligen Koordinaten x, y die Mal3bestim- mung aufpr~gen

(l) d S 2 - - dx2-~-dY~-- - - ds2 ~'-' X2

Fiir das hyperbolische Fliichenelement d T erh~ilt man dementsprechend

d x d y (2) d T --

X 2

Die MaiJbestimmung bleibt bekanntlich invariant gegeniiber den Ver- schiebungen parallel zur y-Achse, den :~hnlichkeitstransformationen mit dem Ahnlichkeitszentrum auf der y-Achse und den Spiegelungen an den Orthogonalkreisen zur y-Achse, zu welchen natiirlich auch die Parallelen zur x-Achse z~ihlen.

Es seien x ( s ) und y ( s ) die laufenden Koordinaten einer geschlossenen Kurve C als Funktionen der Euklidischen Bogenl~nge. Ihre ersten Ab- leitungen seien bis auf hSchstens endlich viele Punkte bestimmt und stetig.

Man verschiebe nun den Koordinatenanfang~punkt l~ings der y-Achse dergestalt, daft der scheinbare GrSflenwinkel 2 ~, unter welchem die Kurve C yon diesem Punkt aus gesehen wird, durch die x-Achse halbiert wird. Der Winkel 2 ~ kann sinngem~i$ als ein Breitenwinkel yon C bezeictmet werden. Ist n/imlich C eingeschrieben in die Figur, welche yon zwei Abstandskurven begrenzt wird, die auf beiden Seiten einer hyperbolischen Geraden _F in gleichem Abstand verlaufen, so ist es natiirlich, den doppelten Abstand als Breite yon C in bezug auf die Mittelgrade/' zu betrachten. Die Mittelgeraden eines Kreises gehen dann alle dutch seinen hyperbolischen Mittelpunkt und seine Breite in bezug auf jede dieser Mittelgeraden wird gleich dem hyperbolisch~n Durchmesser. Die beiden Schenkel des Breitenwinkels 2 ~ sind nun abet in der Tat symmetrische Abstandskurven in bezug auf die x-Achse als Mittelgerade.

Man fiihre jetzt Polarkoordinaten ein:

(3) x = r c o s q , , y = r s i n ~ , ds 2 = d r 2~-r~dq~ d x d y = r d r d %

206 E. Sehmidt.

Dann erh/ilt man fiir die Breite B der Kurve C in bezug auf die x-Achse als Mittelgerade a

rdr (4) B--

0

B ist dann auch der hyperbolische Durchmesser aller Kreise mit dem Breiten- winkel 2 a.

Es bezeichne nun 2 ~' den Breitenwinkel des Kreises gleichen Umfangs, d. h. des Kreises, der denselben hyperbolischen Umfang besitzt wie C. Ebenso bezeichne 2 ~" den Breitenwinkel des Kreises gleichen Inhalts, d.h. des Kreises, der denselben hyperbolischen Inhalt umschliel~t wie C.

Das Hauptergebnis dieses Paragraphen besteht dann in dem folgenden Satz: Es ist

C O 8 0t f

(5) cos ~" >_ -- c o s ( ~ - ~')"

Hieraus ]olgt a ]ortiori die gewShnliche isoperimetrische Ungleichung

(6) ~" <_- ~'.

Bei vorgegebenem ~t' umt ~ gibt es /iir ~t <= ct' eine und nur eine geschlossene ein/ache Kurve C, welche in (5) die GleicM~eit erreicht; /iir ~ = ~' ist das der Kreis.

Fiir ~ > ~.' kann, wie im w 2 gezeigt werden wird, die Ungleichung (5) noch versch~rft werden. In der so verschtirflen Umfleichung wird die Gleichheit yon einer und nut einer geschlossenen ein/achen Kurve erreicht.

Beweis . Es bezeichne N die ~iul~ere Normale yon C und (Nr) und (N ~0) die Winkel, welche sie mit dem Radius Vektor und der senkrecht zu ihm nach dem wachsenden ~ weisenden Richtung bildet.

Man setze nun ein fiir allemal den Durchlaufungssinn der Kurve C so lest, daft die /iul]ere Normale N zu der im Durchlaufungssinn gerichteten Tangente so liegt wie der Radius Vektor zu der senkrecht zu ihm nach dem wachsenden r weisenden Richtung. Dann ist

d~ dr (7) cos (N r) = r g T ' cos (N ~) = - ~-7"

Es bezeichne L die hyperbolische L~inge der Kurve C und J den hyperbolischen Inhalt des yon ihr umschlossenen Gebietes T. Dann ist wegen (1) und (2)

(8) L = ~ c r J = :co6~----~= 6' ~" 6'

Man fiihre nun einen Parameter q ein, der lediglich der Besehrttnkung

q > s i n

unterworfen sei.

Die isoperimetrische Aufgabe im Raum konstanter negativer Kriimmung. L 207

Dann ist das innere Produkt des Vektors, dessen erste Komponente

gleich sin 9, zweite gleich + I/q e -- sin e 9 und L~inge gleich q ist, mit dem EinheiSsvektor, dessen erste Koordinate gleich cos (N ~) und zweite gleich [cos (Nr) l ist, nicht grSl~er als das Produkt der L~ingen der beiden Vektoren, d .h . es ist

sin ~ cos ( N ~,) -f- ~ ~e _ sin e ~ {cos (N r)! < q

(9) tg V c o s ( N ~ ) ~.< q V~ ~ - s i n ~ V icos ( N r ) [ . r - - r cos 9 r cos

Das Gleichheitszeichen gilt dann und nur dann, wenn

(10) sin 9 = q cos (N ~v)

ist. Aus (8) und (9) folgt

J < q L -

Wegen (7) ist also

(11) J < q L -

Das Gleichheitszeichen gilt bier erfiillt ist.

I Vq~ - - sin~ r [cos (N r)] d s.

U

U

dann und nur dann, wenn (10) idengisch

Die Extremalwerte q = • ~ kSnnen natiirlich beliebig oft angenommen werden. Es sei nun P ' ein Punkt, in welchem 9 = ~ ist. Man durchlaufe C von P' aus in dem oben festgesetzten Durchlaufungssinn. Dann sei P1 der erste Punkt, in welchem ~v = -- ~ wird, und auf dem Wege von P' nach P1 Po der letzte Punkt, in welchem 9 = ~ ist. Welter sei P3 der erste auf P1 folgende Punkt, in welchem wieder ~ = ~ ist, und auf dem Wege von P1 nach P3 Pe der letzte Punkt , fiir welchen q = -- ~ ist. Mil3t man jetzt die Euklidische Bogenl~inge s auf C von P0 ab und bezeichnet mit slses3 die Bogenl~ngen

in P1P~Ps, so erh~lt man

(12) q(0) = ~r ~o(sl) = -- ~, 9(s2) = -- ~, ~v(ss) = ~,

und es ist

(13) [ ~ ( s ) [ < ~ fiir O < s ~ s i und s 2 < s < s a .

Jetz t ist

; i i 1 cos 9 cos ~ d s - - cos ~ ~ d s - - a 8[ 0

- - r162 8 2 8 2

208 E. Schmidt.

Die Addit ion ergibt

~ 81

0 0

8;I

'~'2 r

Da.s Gleiehheitszeichen gilt hier dann und nur dann. wenn 7' als Funkt ion yon s in folgender Weise verl~iuft:

fiir 0 < s < sl N 0, l~01 < • und wegen (7) cos ( N r ) < O,

sl < s < se dd- ~ ~ 0, q ~ -- cr eos(N ~0) ----- - - 1 und wegen (7) d r __ 1 ftir ~ - - , (15)

dq f i i r s., < s < s:3 ~ ~ 0,191 < ~ und wegen (7) eo s (Nr ) _> 0 ,

d q~ . ~t r fiir s.~ ~ s < l d~- ~- 0, ~0=u , cos(N90) =: 1 und wegep , ~ ) ~ - - - - - - l .

Dabei bedeutet l (tie Euklidische L/inge yon C, und die Vorzeichenbest imnmng

yon cos (N 9') fiir sl ~ s ~ s._, und s;~ < s < 1 ergibt sich daraus, dab die

~iul~ere Norinale der in den Winkel -- ~ <: t t, <= ~. eingeschriebenen Kurve C

auf der Begrenzungsstrecke 7' ~ - ~ in die Richtung des fallenden q, weisen muB und au f der Strecke r ~- ~ in die Richtung des wachsen(len.

Aus (11) und (14) folgt

4 I I q Z - - s i n ~ g d 9 ----- / ' ( L , ~ , q ) . (16) J -<- q L - - J cos~r

o

Das Gleichheitszeichen gilt hier dann und nur dann. wenn (10) und (15) erfiillt sind.

Spezialisiert man

q = sin a.. so ergibt (16)

I Vsin'z -~ ---- -sin2 ~0 d /" (L, sin ~). (17) J =<- L s i n ~ - - 4 j cos~ ~0 = ~,

0

Nun wollen wir zun~ichst zeigen, (lab in der letzten Ungleichung (17) das Gleichheitszeichen gilt, wenn C ein Kreis mit dem Breitenwinkel 2 ~.

ist. Dazu bedarf es lediglich des Nachweises, dab fiir einen solchen Kreis (10) bei q = sin cr und (15) effiillt sind. Wird nun tier Kreis in dem oben fest- gelegten Sinn durchlaufen, so geniigt der zum laufenden P u n k t gehSrige Winkel q~ als Funkt ion yon s offenbar den Forderungen (15), wenn s vom

Die isoperimetrische Aufgabe im Raum konstanter negativer Kriimmung. I. 209

Bertihrungspunkt mit der Geraden ~ = + ~ gemessen wird, und daher Sl die Bogenl~inge im Beriihrungspunkte mit der Geraden ~ - - - - ~ angibt, w~hrend s9 ---- sl und s3 = Z werden.

Um ferner einzusehen, daft auch (10) effiillt ist, betrachte man das Dreieek O P M , wobei 0 den Koordinatenanfangspunkt bedeutet, P den laufenden Punkt des Kreises und M seinen Mittelpunkt, der natfirlich auf der x-Aehse liegen muff. Der Sinussatz ergibt

M P [sin (Nr)l. (18) [ sin ~1 = 0 M

Ist insbesondere P einer der Beriihrungspunkte des Kreises mit den Geraden = • ~, so folgt

M P sin �9 - - _ _

O M

Also ist

(19) t sin q01 = sin ~ !sin (Nr)[ = sin ~ I cos (N ~)].

Nun stimmt das Vorzeiehen yon cos (N ~) mit dem Vorzeichen yon ~ iiberein; also gilt (10) bei q = sin~.

Bezeiehnet J(~) den hyperbofischen Inhalt und L(~) den hyperbolischen Umfang des Kreises mit dem Breitenwinkel 2 ~, so ist also, wie eben gezeigt, gem~ifl (17)

(20) J(~) = L (~ ) s in~ -- 4 I Vsin~ - sin~o a,p =

0

Daher l~il~t sieh die Ungleiehung (17) such in folgender Gestalt sehreiben:

(21) J < L sin ~ -- (T,(~) sin ~ -- J(~)) = F ( L , ~, sin ~).

Fiir den Radius R des Kreisea mit dem Breitenwinkel 2 ~ hat man gem~il] (4)

R = -

Naeh den bekannten Formeln fiir den Umfang L{R} und den Inhalt J{R} des Kreises mit Radius R ist nun

(22) Z(~) = L{R} = ~ (e n - e -n) , Y(~) = J{R} = ~ (e n + e - n - 2).

Also ergibt sich

(23) i , ( ~ ) = 2 n t g ~ , J ( ~ ) : 2z~ (c-03s~ - - 1 ) .

So erhiilt (21) die Gestalt

(24) J ~ L sin ~ - - 2 ~ (1 -- cos ~). ~athematische Zeitachrift. 46. 14

210 E. Schmidt.

Bedeuten nun 2 s und 2 a" die Breitenwinkel der Kreise gleichen Umfangs und gleichen Inhalts, so ist ge]niiil (23)

(1 ) (55) L = 2 ~ t g s J = 2~t cos~'" 1

Fiihrt man diese Ausdriicke in (24) ein, so ergibt sich die Ungleichung (5), W. Z. b . w .

Fiir die majorisierende Seite der Ungleichungen (17), (21), (24) erhMt man noch die Darstellung

(.cos (:~ -- ~') 1) (26) F (L, a, sin ~) = 2 7r ~ cos ~'

und es ist in Ubereinstimmung mit dem eben Ausgefiihrten fiir ~ ~= s

(27) F(L, ~, sin ~) < F (L, s sin s = J ( s

Die weiteren im Anschlull an den Satz (5) gemachten Behauptungen werden im niichsten Paragraphen bewiesen.

Zum Schlufl d a d noch auf die bemerkenswerte Analogie zu den entsprechenden Ungleichungen in der Euklidischen Ebene hingewiesen werden. Bedeutet niimlich 2 ~ die Breite eines der gegebenen geschlossenen Kurve umschriebenen Parallelstreifens, 1 ihre Euklidische Liinge und J den Euklidi- schen Inhalt des umschlossenen Gebietes, so entspricht der Ungleichung (21) die Ungleichung

j < l ~ _ ( 2 ~ t Q . ~ _ ~ o ~ ) = i Q _ z e Q ~ - l~ :t rl q )~

w

Feststellung der gesehlossenen l (urven, welehe in den isoperimetrisehen Ungleiehungen die Gleichheit erreiehen.

Das Gleichheitszeichen in (16) gilt, wie nochmals hervorgehoben werden daft, dann und nur dann, wenn (15) und (10) erfiillt sind.

Gem~ill (15) ist fiir

(28) sl < s < s2 und [cos (N ~)1 -- 1,

woraus wegen (10)

folgen wiirde. Is t also

so folgt (29) Ist andererseits

8 3 < 8 < l [sin q[----sins

q = sinct

q > sin a,

81 = 82, 83 = l .

q = sin

Die isoperimetrische Aufgabe im Raum konstanter negativer Krfimmung. L 211

und verl~iuft die geschlossene Kurve C so, da6 fiir

Sl ~ 8 < 8 2 ~-~---tg u n d f i i r s a < s < l qJ--o~

wird, so sind (15) und (10) in diesen beiden Intervallen yon s erfiillt; denn da C in den Winkelraum ]~01 g ~ eingeschrieben ist, so weist die /iuBere Normale fiir q -- -- ~ in die Richtung des fallenden ~ und fiir q ----_ ~ in die Richtung des wachsenden und daher stimmt auch das Vorzeichen yon cos (N q~) mit dem yon sin ~ iiberein, wodurch (10) gesichert ist.

Je tz t wollen wit den Verlauf von C in den beiden Intervallen 9 < s < Sl und s2 < s < sa untersuchen. Auf beiden KurvenbSgen ist gem/il~ (15) l~01 < ~ und mithin wegen (10) Icos (N V) I < 1, also cos (Nr) ~ O. Wegen (15) ist also auf dem 0 < s < sl entsprechenden Kurvenbogen cos (Nr) < O,

d.h . der Kurvenbogen begrenzt das umschlossene Gebiet mit seiner yore Koordinatenanfangspunkt 0 abgewandten Seite. Ebenso ist wegen (15) fiir s2 < s < sa cos ( N r ) > 0, d .h . der Kurvenbogen begrenzt das umschlossene Gebiet mit seiner dem Koordinatenanfangspunkt O zugewandten Seite.

Nun ist wegen (7)

cos (N ~) 1 dr = cos (A' q) __ _ sign (cos(Nr)) V1 - cos~(N v) ' (30) r d q cos (~' r) . . . .

wobei die Quadratwurzel bier wie durchweg spiiter mit dem positiven Vor- zeichen zu nehmen ist.

Die Einfiihrung yon (10) ergibt

sin ~ . (31) rl ddrq = _ sign (cos (N r)) I/q~ --- -sin~- ~ '

gilt umgekehrt (31), so ist auch (10) erfiillt. Ftir einen s2 < s <i s3 entsprechenden und also das Gebiet mit seiner 0 zugewandten Seite begrenzenden Kurven- bogen gilt also

1 dr sinq~ (32) r d q Vq' - sin~

und fiir einen 0 < s < Sl entsprechenden und also das Gebiet mit seiner 0 abgekehrten Seite begrenzenden Kurvenbogen

1 d r s i n ~ (33) r d ~ -- Vq' - sin' q~"

Nun ergeben sich die LSsungskurven der Differentialgleichung (32) dutch eine Quadratur und kSnnen durch eine Xhnlichkeitstransformation yon 0 aus alle ineinander tibergefiihrt werden. Dasselbe gilt fiir die I~sungskurven yon (33). Bei der Spiegelung an einem Kreise mit dem Mittelpunkt 0 wechselt

_1 d_~r das Vorzeichen, d. h. es werden die LSsungskurven yon (32) und (33) r dq 14"

212 E. Schmidt.

miteinander vertauscht. Daher sind die L6sungskurven von (32) miteinander hyperbolisch kongruent und zu den ebenso miteinander hyperbolisch kon- gruenten LSsungskurven yon (33) hyperbolisch symmetrisch.

Ferner zeigen die Gleichungen (32), (33), daft jede der L6sungskurven dutch Spiegelung an der x-Achse in sich selber iibergeht und daher insbesondere die beiden Geraden q = • a in Punkten schneidet, die von O gleich welt entfernt sind.

Da endlich auf einer LSsungskurve von (32) r mit wachsendem 9o bei negativem q w~ichst und bei positivem q abnimmt, so verl~iuft sie aul~erhalb des Kreises mit dem Mittelpunkt O, der durch die beiden Schnittpunkte mit den Geraden q = • ~ geht. Ebenso folgt, dal~ eine L6sungskurve yon (33) innerhalb dieses Kreises verl~iuft.

Jetzt wollen wir die LSsungskurven von (32) bestimmen.

Dazu betrachte man den Kreis, dessen Mittelpunkt M auf der positiven

x-Achse in der Entfernung 1 - - y o n O liegt, und dessen Radius gleich 1 ist. q Bedeutet P den laufenden Punkt des Kreises, so lehrt die Anwendung des Sinussatzes auf das Dreieck O P M

MP I s i n ~ [ - _ _

O M - - - - t s i n ( N r) I = q [ s in (Nr ) [ = q [ cos (N q~) I.

Die Einfiihrung dieser Gleichung in die Identit~t (30) ergibt zun~ichst die Gleichheit der absoluten Betr~ige beider Seiten yon (32). Fiir denjenigen durch den Winkel I q] ----< ~.aus dem Kreise ausgeschnittenen Bogen, der dem Koordinatenanfangspunkt 0 die konkave Seite zukehrt, stimmen aber auch

dr die Vorzeichen. Denn ~ und q haben auf ihm entgegengesetztes Vorzeichen.

Also verl~iuft die Kurve C fiir s~ < s ~ s3 in einem solchen Kreisbogen, der das umschlossene Gebiet mit seiner 0 zugewandten, konkaven Seite begrenzt und fiir

0 < s < sl

in seinem Spiegelbild an einem Kreise mit dem Mittelpunkt O, welches das Gebiet mit seiner 0 abgekehrten Seite begrenzt.

Fiir

q ~ Sin 0~

bertihrt der Kreisbogen die beiden Geraden ~ ---- • ~. Er wird durch Spiege- lung an dem Kreise mit dem Mittelpunkt 0, der durch die beiden Beriihrungs- punkte geht, in seinem Komplement~rkreisbogen iibergefiihrt und ist daher ein hyperbolischer Halbkreis.

Die isoperimetrische Aufgabe im Raum konstanter negativer Krfimmungo I. 213

Damit ist festgestellt:

I. Es sei q = sin ~.

Dann gilt in der isoperimetrischen Ungleichung (16) das Gleichheitszeichen dann und nut dann, wenn die Kurve C die folgende Gestalt hat:

C besteht aus zwei in bezug auf die x-Achse zueinander symmetrischen Strecken auf den beiden Geraden ~ = ~_ a und zwei auf diesen mit der konvexen Seite nach aul]en aufgestiilpten KreisbSgen, welche die Geraden beriihren und daher hyperbolische Halbkreise sind.

Es bezeichne D die hyperbolische L~nge dieser Strecken. Dann ergibt sich fiir den Umfang :L~ (a, D) dieser Figur

(34) Z~ (~, D) ---- Z (~) § 2 D,

wobei, wie in w 1, L(~) den Umfang des Kreises mit dem Breitenwinkel 2 bezeichnet.

Es gibt also bei vorgegebenem L u n d a dann und nut dann eine Figur dieser Figurenschar I, wenn

(35) Z(~) < L oder, was damit gleichbedeutend, ~ =< ~'

ist, wobei, wie in w 1, 2 ~' den dutch die Gleichung

(36) ~(~') = L

definierten Breitenwinkel des K~eises gleichen Umfanges bezeichnet. Dabei wird D durch die Gleichung

(37) Z(~) q- 2 D ---- L

bestimmt.

Bei der Spezialisierung

q = sin

geht die Ungleichung (16) in die Ungleichung (17) iiber, die wieder mit den Ungleichungen (21), (24), (26), (5) gleichbedeutend ist. Wie eben festgestellt, yibt es also ira Falle

~ a', also ~(~) ~ L,

eine und nur ei~e yeschlossene ein/ache Kurve, welche in diesen isoperimetrischen Unyleichungen die Gleichheit erreicht. Diese Kurve ist eine Figur der Schar I, wobei D dutch (37) bestimmt ist. Fiir cr = ~' verschwindet D, d. h. die Kurve ist der Kreis mit dem Breitenwinkel 2 ~'. Damit ist zugleich bewiesen, da~

214 E. Schmidt.

der Kreis die einzige Fiyur ist, welvhe in der aus (5) a [ortiori [olgenden gew6hn- lichen isoperimetrischen Ungleichun 9 (6) die Gleichheit erreicht.

II. Es sei

q > sin a.

Dann gilt in der isoperimetrischen Ungleichung (16) das Gleichheitszeichen dann und nut dann, wenn die Kurve C, fiir welche wegen (29) sl = s.z und sa = 1 sein muB, die folgende Gestalt hat:

C besteht aus zwei innerhalb des Winkels -- ~ < q < ~ verlaufenden, sich auf den beiden Schenkeln schneidenden KreisbSgen, die durch Spiegelung an dem Kreise mit dem Mittelpunkt O, der dutch die beiden Schnittpunkte geht, ineinander fibergehen. Man kann dabei durch eine )~hnlichkeitstrans- formation yon O aus erreichen, dal~ der das umschlossene Oebiet mit seiner O zugekehrten Seite begrenzende, also aul~erhalb des den Spiegel bildenden Kreises verlaufende Bogen einem Kreise mit dem Radius 1 angeh6rt, dessen

Mittelpunkt M auf der positiven x-Achse in der Entfernung i yon 0 liegt. q Fiir q < 1 geh5ren die beiden Begrenzungsb5gen hyperbolischen Kreisen an, ffir q ---- 10 r i zyk len und ffir q > 1 Abstandskurven. Ffir q = sin ~ geht die Figur in den Kreis mit dem Breitenwinkel 2 a fiber. Ffir q -~ :r konvergiert M gegen O und die Figur gegen den doppelt durchlaufenen Bogen des Kreises mit dem Radius 1 und dem Mittelpunkt O, welcher die beiden Punkte r = l, q = d= ~ verbindet, d .h . gegen das doppelt durchlaufene hyperbohsche Geradenstfick zwischen diesen beiden Punkten.

Es bezeichne nun Crt ~ ~., q die geschlossene Umgrenzungskurve, JH(~t, q) den Inhalt und I,H (~, q) den Umfang der zu ~ und q gehSrenden Figur der eben erSrterten Sehar II. Da die Figur, wie oben festgestellt, ffir q = sin in den Kreis mit dem Breitenwinkel 2 ~ fibergeht, so is t

(38) J i t (~, sin ~) = J (a), I,H (~, sin ~) = I, (~),

wobei j (~) und I, (~) wie in w 1 Inhal t und Umfang des Kreises mit dem Breitenwinkel 2 ~ bezeichnen. Man erhiflt ferner gem~ill (8) bei Beriick- siehtigung yon (10)

- j" I sin~q 1 ds. j~ i (~ t ,q ) : s in~cos(N~) 1 t t s : cos ~ r q cos ~ r

CII, a, q Eli, a, q

Wegen (32) und (33) ist nun

(39) " d ~ / = ( l d , / + l - - q ' - - a i n ~


Bei Einfiihrung dieses Ausdrucks werden die Integrale l~ings den beiden KreisbSgen, aus welchen CxI ' ~, q zusammengesetzt ist, einander gleich, und man erhMt

"In (~, q) = 2 f sin'2 q q d = 4 tg q sin ~v (40) q cos ~ Vq2 __ sin o . ~ ~ / ~

Ebe.~so ergibt, sich aus (8) bei Einfiihrung yon (39)

,l" l ! d s=4 i d~ CII, a, q 0 COS r V 1 q~

Die Darstellungen (40) und (41) zeigen, daf~ JH (~, q) und L:I (~, q) bei festem a mit wachsendem q monoton abnehmen, und zwar wird

Lira JH (~, q) = 0 q --~ co

(42)

und gem,S (4)

(43) q--~

Nun ist fiir jede geschlossene einfache Kurve C mit dem Breitenwinkel 2

Denn C mu[~ mindestens vier bis auf die Endpunkte punktfremde B6gen enthalten, welche die x-Achse mit einer der Abstandskurven q = -J: ~ ver- binden, und ein solcher Verbiridungsbogen mul~ mindestens so lang sein wie der dutch (4) gegebene Abstand der beiden Abst/mdskurven yon der x-Achse.

Nun gibt es zu vorgegebenem L und ~ dann und nur dann eine Figur der Schar II, wenn die Gleichung

(45) LII (~, q) = L

eine LSsung q = q * = q * ( L , ~ )

besitzt. Die linke Seite dieser Gleichung nimmt, wie oben festgestellt, wenn

q von sin ~ bis r wiichst, yon L(~) bis - 4 tg -- monoton ab. Bei

Berficksichtigung yon (44) folgt daher, da$ die Gleichung (45) dann und nur dann eine LSsung besitzt, wenn

(46) L (~) > L, also ~ > a'

ist, wobei :r wie friiher dutch (36) definiert ist. Sie hat dann nut eine einzige L6sung.

216 E. Schmidt.

Wie aus der DarsteLlung (41) hervorgeht, nimmt die linke Seite der Gleichung (45) bei festem q mit wachsendem ~ monoton zu und, wie wieder- holt werden daft, bei festem ~ mit wachsendem q monoton ab..Also nimmt q* (L, ~) bei festem L mit wachsendem ~ monoton zu. Wegen (36) und (38) wird

(47) q* (L, ~.') = sin ~.'.

Wegen (38) bleibt fiir (48) ~ > ~' q* (L, ~) ~ sin ~.

Nun mull wegen (44) ~ o ~ o

bleiben, wobei ~o definiert ist dureh die Glemhung

Aus der Darstellung (41) folgt jetzt leicht

(49) q* (L, ~) -+ ~ , 0r - ~ ot o .

Diese Gleichung und (40) ergeben endlich

(50) Lim JH (~, q* (L, ~)) = 0. a ----~ e~ 0

Man bezeichne nun die rechte Seite der Ungleichung (16), wie schon dort geschehen, mit F (L, ~, q). Dann erhiilt man dutch die Spezialisierung

q = q * = q * ( L , ~ )

die isoperimetrisehe Unfleiehung

(51) J <= F ( L , ~, q* (L, ~)).

In dieser Ungleichung wird die Gleichheit yon einer und nur einer Fiyur erreicht, namlich yon CH, ,, q..

Es gilt also (52) "21I (o~, q*) =- F (L, o:, q*).

Die Ungleichung (16) gilt fiir alle Werte yon q _>=_ sin ~r also gilt auch fiir

q @ q* :/H (~, q*) --<-- F (L, ~., q).

Abet hier ist nach dem oben Festgestellten das Gleichheitszeichen ausge- schlossen. Also ist fiir

(53) q ~= q* / ' (L, ~, q*) < F (L, ~, q).

Insbesondere ist also auch wegen (48) fiir

~.~-~.' T'(L,~.,q*) < . F ( L , a , sin~).


Damit ist gezeigt, dag die durch die isoperimetrische Ungleichung (51) gegebene Schranke in der Tat kleiner ist als diejenige, welche die mifi der Unghichung (5) gleichbedeutende Ungleichung (17) ]iefert.

Nun ist O q* r(L,~,q*(L,~)) = r.(L,~,q*) + r~(L,~,q*) ~=,

o r(L, ~, q* (L, ~)) = r~ (L, ~, q*) + r~ (L, ~, q*) o ~* OL OL "

Da wegen (53) und (48) fiir :r > ~'

Fq (L, ~, ~*) -= 0

ist, so folgt aus der durch die rechte Seite yon (16) gegebenen Darstellang yon F (L, :,., q) fiir 0: > :r

(54) o r(L,~,q* ( L , ~ ) ) = - - 4 Vi*~--'~='~ () ~ " COS ~ '

(55) ~ F(L , ~r q* (L, ~)) = q*. aL F (L, ~, q* (L, ~)) nimmt also bei festem L mit wachsendem ~ monoton ab.

Wegen (52), (47), (38) hat man

(56) F (L, s q* (L, ~')) = "] (:d} und wegen (50) (57) Lim F (L, :~, q* (L, ~)) ~ ~.

Endlich ist wegen (47), (54)

{ o F'L =,~, (58) ~b-~ ( ' a' q* (L, a)))~ = 0.

Hierbei ist auf der linken Seite natiirlich nur der vordere Differentialquotient gemeint, da die Funktion nut fiir ~ > ~' definiert ist.

Man definiere jetzt unter BeriicksichtigYng yon (24), (26) die Funktion G (L, ~) durch die Gleichungen

I flit a < s G (L, ~) = F(L, ~, sin ~) ---- L sin a - - 23t (1 - - cos ~)

2 zr (cos (~t -- a') ( 5 9 ) = 1 )

fiir ~ > a' G (L, a) ---- F (L, ~, q* (L, ~)).

Wie (27), (56), (58), (55), (47) zeigen, bleibt die Funktion G (L, m) auch an der ,Nahtstelle" ~ =- ~.' mit ihren ersten Ableitungen nach L und a stetig, und zwar wird

(60) G (L, s ---- :/- (C), G~ (L, s = sin ~', G~ (L, C) = 0.

Fiir ~ < ~' nimmt G (L, ~) bei festem L mit wachsendem a monoton zu; fiir ~ > ~' nimmt G (L, ~) mit wachsendem ~. monoton ab und konvergiert mit ~ o - ~ gegen Null.

218 E. Schmidt.

Nun 9~lt [iir aUe Werte vo~ L und ~. ~ ~o die 9enaue isoperimetriscl~e

Ungleichun 9 (61) J g G (L. ~),

wobei die Gleichheit immer yon einer u~d nut einer .gescMossene~ ein/achen Kurve erreicht wird.

Damit sind alle im Anschlufl an die Aufstellung der isoperimetrischen Ungleichungen (5) und (6) gemachten Behauptungen bewiesen.

w

Die isoperimetrische Aufgabe fiir Rotationsk~irper im n-dimensionalen Raum konstanter negativer Kriimmung.

Wir stellen den n-dimensionalen hyperbolischen Raum dar, indem wir dem gew6hnlichen Halbraum x ' ~ 0 mit den rechtwinkligen Koordinaten X, 91 92 "-. Y,-1 die Mai]bestimmung aufpr~igen

n - - 1

dx~ + ZI,, dy~ dsU (62) d S 2 =-

X2 - - ~ - .

Bedeutet ds~ das Euklidische Fliichenelement einer p-dimensionalen Fliiche. so ergibt sich fiir das entsprechende hyperbolische Flachenelement dS~

(63) d S , = de-

Fiir das hyperbolische Volumenelement d T erh~ilt man also

(64) d T -- dxdy l dye . . , dy,, -1 Xn

Die Maflbestimmung bleibt beltanntlich invariant gegeniiber den Euklidi- schen Bewegungen und Symmetrien, die x unge~indert lassen, gegeniiber den _~hnlichkeitstransformationen mit dem _~hnlichkeitszentrum auf der Ebene x = 0 und den Spiegelungen an den n-dimensionalen Kugeln, d.h. den Kugeln mit ( n - 1)-dimensionaler Oberflache, welche zur Ebene x = 0 orthogonal sind, und zu welchen natiirlich auch die zu dieser Ebene orthogonalen (n -- 1)-dimensionalen Ebenen gehSren.

Es bezeichne ~ einen Rotationsk5rper, d. h. einen KSrlaer ,der bei allen hyperbolischen Bewegungen, welche die Punkte einer hyperbolischen Geraden, der Rotationsachse, lest lassen, in sich selber iibergeht. Wit setzen noch voraus, daft die Oberfl~iche des KSrpers mit der Rotationsachse zwei und nut zwei Punkte gemein hat.

Bringt man den KSrper durch eine hyperbolische Bewegung in eine solche Lage, daft die Rotationsachse in die x-Achse f~llt, so stellt er sich als ein Euklidischer RotationskSrper mit der x-Achse als Rotationsachse dar.

Die isoperimetrische Aufgabe im Raum konstanter negativer Kriiinmung. L 219

Es seien x(s) und Q(s)~ 0 die laufenden Koordinaten der Meridian- kurve C' als Funktionen der Euklidischen Bogenl~inge. Ihre ersten Ableitungen seien bis auf hSchstens endlich viele Punkte bestimmt und stetig. Gem~ll der oben gemachten Voraussetzung schneider C' die x-Achse in zwei und nur zwei verschiedenen Punkten.

Die Oberfl~iche yon ~ wird dann gegeben durch die Gleichungen n - - I

( 6 5 ) x = x (8), 2 5 = (s) . 1

Die ~ erfiillenden Punkte "sind also dutch die Gleichungen gegeben

(66) x = x , , . .~. y~ = ~ , 1

wobei der Punkt (x~., ffi) in der (x, e)-Ebene alle Punkte des von cler Kurve C' und der x-Achse umsehlossenen Gebietes T' durchl~uft.

Es bezeichne E~ das Volumen der Euklidisehen Einheitskugel ira m-dimensionalen Raum und mithin mE,~ den Fl~ieheninhalt ihrer Oberfl~iehe.

Dem Element d ~ d x in der Meridianebene entspricht bei der Rotation das Volumenelement 2)

(n -- 1)E~_I e~'-2dedx.

Man erh~ilt also fiir das Euklidische Volumen des RotationskSrpers

~ ( n - 1)E,,_z~'-~dedx. T '

Dem Element ds der Meridiankurve entspricht bei der Rotation das Ober- fl~ichenelement

(n -- 1) E,_I Q(s)a--2ds.

Man erh~ilt also fiir den Euklidischen Fl~icheninhalt 101 der Oberfl~iche 0 des RotationskSrpers

i o l = - C'

Dementsprechend ergibt sich fiir das hyperbolische Volumen yon ~, das mit J bezeichnet werden mSge,

(67) J ----(n-- 1)E._I I ~ T'

Ebenso erh~ilt man ftir den hyperbolischen Oberfl~icheninha|t yon ~, der mit L bezeichnet werden mSge,

L = (n -- 1) E~-I I ~ (s)~- 2 d (6S) 8 . e ]

C ~

2) Eine ausfi ihrl ichere :Begriindung dieser und tier nachfolgenden Formeln f indet sich in der un te r 1) z i t ier ten Arbeit , S. 706--708.

220 E. Schmidt.

Jetzt fiihre man Polarkoordinaten ein.

(69) x----rcos~, ~-----rsin~, d s 2=dr 2 § 2d~,

wobei wegen ~ ~ 0, 0 _~ ~ < -~ bleibt.

Man erh:ilt

(70) L ~ (n -- 1)En-1 I ~ 1 tgn_ 2 ~ r d l

(71) J = (n - - 1)E,-1 ~ t g n - ~ r d r d r p T'

E~_ 1 1 tg'~- 1

dedx = rdrd~f,

8.

cos (N ~) • d 8, },

L n- - lE ,~_ l lco~ ld8. -- 2 ttg ~~ 7

c

(73) J = �89 E"-I ~I ]tg ~jn-'-'cos ~ sin~vcos (N~) 71 ds. (:

Man bezeichne mit K~ ) die n-dimensionale Kugel mit dem Breiten- winkel 2 a, el. h. diejenige Kugel, welche dutch Rotation eines Kreises mit dem Breitenwinkel 2 ~ um einen seiner verl~ngerten Durchmesser erzeugt wiid. Bringt man dutch eine hyperbolische Bewegung die Rotationsachse in die x-Achse, so spielt also der Kreis mit dem Breitenwinkel 2 ~ fiir die Kugel K(~ n) dieselbe Rolle wie die oben erkl~irte geschlossene Kurve C fiir den allgemeinen RotationskSrper R.

Also ist

(72)

C r

wobei wie in den vorangehenden Paragraphen N die :iul~ere Normale bedeutet und (N ~) den Winkel, den diese mit der senkrecht zum Radius Vektor nach dem wachsenden ~ weisenden Richmng bildet.

Man bezeichne mit C" das Spiegelbild yon C' an der x-Achse. C" ver- 7~

l~uft also im Quadranten x > 0 , f f ~ 0 , - - ~ ~ 0 . Mit C bezeichne

man endlich die geschlossene einfache Kurve, die aus C' und C" zusammengesetzt ist. Dann ist

J " 1 t g ' - ~ ~ 1 I co-~ rdS~__ 1 _ ~ t ~ l ~ _ 2 1 d8. C O S (p ~ - - r

Ct r

Da ferner cos (N r in symmetrischen Punkten auf C' und C" das Vorzeichen wechselt, und dasselbe fiir tg ~ gilt, so ist

f 1 f tg"-aq~cos(Nq~)Tds _-- Itg ~ln-etg ~v cos (N ~) 1 ds"

C' C"


Gem~ifi (4) erh~ilt man ftir den Radius R der Kugel K~ ~

Wie bekannt und am Schlu~ dieses Paragraphen noch nachgewiesen werden wird, werden der Oberfliicheninhalt L(~"R)I und das Volumen j ~ } der n-dimensionalen Kugel mit dem Radius R gegeben durch die Formeln

R

(75) "i(,,) ( e R - - e - R ~ n - 1 " i - ( n ) " - - - - - ~U{R ] = n E ~ ~ / , o ~, = hE, , dr.

0

Bezeichnet also Lr den Oberfl~icheninhalt der Kugel K~ ) und ~oo(~) ihr Volumen, so folgt durch Einffihrung yon (74) in (75)

t~

7(-) ---- n E . tg~-l~r J(~)(~) ---- OlR 1 = h E , , dfl (76) L(")(~) = ~{R}

und man hat

(77) d J("~d ~ - (~) - - cosl ~ Z~") (a) - - nsin--al d Z ~ ~ (~)

Das Hauptergebnis dieses Paragraphen besteht nun in den folgenden Siitzen:

Es bezeichne wie oben L den Oberfl~icheninhalt und J das Volumen des Rotationsk6rpers R. Es sei 2 a der Breitenwinkel der oben erkl~irten geschlossenen einfachen Kurve C, d .h . also des durch Spiegehmg an der Rotationsachse verdoppelten Meridianschnittes.

Dann ,qilt

sin ~t ( sin ~ ~(,,)(or) - - ~(n)(~)) = H (L, ~). (7-8} J :< n ~ 1 L -- kn---/

Wegen (77) ist

(79) 0'H (L, ~) cos ~ (L - - i f ' ) (~)) .

Bezeichnet nun 2~ ' den Breitenwinkel der Kugel gleichen Obeffliichen- inhalts wie R, d .h . ist also

(80) Z ('') (~') = L.

so zeigt (79), dab H (L. :r bei festem L mit wachsendem ~ fiir ~ =< ~' monotoa w~chst und fiir a ~ ~' monoton abnimmt.

Also /ol.qt aus (78)u /ortiori

(81) J ~ H (L, s ----- Y("~ (a').

Das ist der .qew61tnliche Isoperimetriesatz.

222 E. Schmidt.

Fiir at ~ at~

gibt es einen und nur eine,n RotationskSrt~er , der in der Ungleichun, g (78) die Gleichheit erreicht. Er wird erzeugt, indem man diejenige Figur der Schar I, w 2, die ja alle symmetrisch zur x-Achse liegen, um diese rotieren l~Bt, welche dabei eine Oberfl~iche v o m Fl~icheninhalt L beschreibt. Damit ist zugleich bewiesen, daft die Kugel die einzige Rotations/ldche ist, welche in der Un- qleichung (81), also der gew6hnlichen isoperimetrischen Ungleichung, die Gleich- belt erreicl~t.

Fiir at>at"

kaun die durch (78) 9eqebene Schranke durch eine kleinere ersetzt werde'a. Diese ist 91eizh dem Volumen des Rotationsk6rl)ers , der erzeugt wird, indem man diejenige Figur der Schar ]I, w 2, die ja alle sym'~t~trisch zur x-Achse liegen , um diese rot@ren l~iflt, welche dabei eine Ober/Mche yore Fl~heninhalt L beschreibt. Dieser K6rper ist dann auch der einzige Rotationsk6rl)er , der .qeqen- ii~r der so verschar/ten Schranke die Gleichheit erreicht.

Beweis . Man fiihre wie im w 1 einen Parameter q ein, der lediglich der Beschr/inkung

q > sin at

unterworfen ist. Dann ist wegen (9)

Itg ~01 '* -2 Itg ~1.-2 I tg ~ I n - 2 sin ~ cos (N ~) < q r cos r c o s ~ = r c o s ~ 1 q2 _ s in2 q Icos(Nr)t,

wobei das Gleichheitszeichen dann und nur dann gilt, wenn (10) erfiillt ist. dieser Gleichung in (73) ergibt sich bei Beriick- Bei Einfiihrung

sichtigung yon (72)

J < q L - - -

Wegen (7) ist also

j < q

E " • I I tgg la -z ~"q2 __ sin2 q ]cos(Nr)] 1__ ds. c o s q~ r

C

L E"- I I 2 [tg ~ ]'~-2cos rp ] q 2 - sin2 ~~ [ds[dq Ids. G'

Das Gleichheitszeichen gilt hierbei dann und nur dann, wenn (10) erfiillt ist. Aus der letzten Ungleichung folgt genau so wie i m w 1

[ t f f - ' _ z q ]'q2 _ s in 2 d q Fr (L , at, q). (82) J g n q-- 1 L -- 2 E ._ 1 j COS ~ ~0 =

0

Dabei gilt das Gleichheitszeichen (82) dann und nut dann, wenn (10) und (15) erfiillt sin&

Die isoperimetrisdhe Aufgabe im Raum konstanter neg~tiver Krfimmung. I. 223

Fiir q = sin ~ erhMt man

f tgn-e ~p -- s in ~ L - - 2 E._ 1 ~ / ~ ~ s i n 2 ~0 d fp (L, a , (83) J =< n - - 1 ,t ~0~os~ = F ( ' ) sin~). 0

Nun sind, wie i m w 1 beim Beweise yon (21) gezeigt, bei q = sin ~ (10) and (15) fiir den Kreis mit dem Breitenwinkel 2 ~ erfiillt. Also gilt fiir diesen das Gleichheitszeichen, d .h . es ist

sin ~ ~ n ) (~) __ 2 E~-I I tg~-2 ~ 1 sin e ~ - - sin e 9 d ~0. (84) i ~ ) (~) = ~ - i ~ oo~ O

Dutch Einfiihrung yon (84) in (83) ergibt sich die zu beweisen(le Ungleichung (78) und man erh~It

(85) H (L, ~.) ---- F (") (L, ~., sin ~.).

Wie in w 2 gezeigt, sind die Kurven der Scharen I u n d II (tie einzigen, fiir welche (10) and (15) erfiillt sind. Daher gilt in der aus (82) ]iir q = sin hervorgehenden Ungleichung (78) das Gleichheitszeichen dann und nut dann, wenn C der Scha+" I angeh6rt. Ebenso gilt in (82) [.fir q �9 sin ~ das Gleichheits- zeichen dann and ~ur dann, wenn C der Schar ]I angeh6rt.

I. Man betrachte jetzt eine zu ~/ = sin ~ gehSrende Figur der Schar I. Es bedeute D wie in (34) die hyperbolische L~nge der auf den beiden Euklidi- schen Geraden ~0 = & ~ liegenden Begrenzungsstrecken (ler Figur and L(I ~) (~, D) den Oberfliicheninhalt des yon der Figur erzeugten Rotations- kSrpers. Dann erh~lt man wegen (72)

(86) 7,(,o (~., D) =: Z ('> (:r -r (n -- l) E ,_ 1 , tg,~ - z ~ D .

Es gibt also zu vorgegebenem L u n d ~ dann und nur dann eine Figur der Schar I als Meridianschnitt, wenn

(87) D ") (~) -<_ L

ist. Dabei wird D durch die Gleichung

(88) Z ( ' ) (~ )§ (n - - 1 ) g ~ _ , t g ~ - 2 ~ D = L

bestimmt.

Es sei 2 u' der durch (80) definierte Breitenwinkel der Kugel gleichen Oberfl~ieheninhalts. Dann gilt nach dem oben Festgestellten:

F//~"

~. ~ ~.' oder gleichbedeutend L~'~) (~) ~ L

224 E. Schmidt.

gibt es zu vorgegebenem L und ~ einen und nut einen RotationskSrper, der in der isoperimetrischen Ungleichung (78) die Gleichheit erreicht. Er wird dutch Rotation einer Figur der Schar I urn die x-Achse erzeuyt, wobei D dutch (88) bestimmt ist. Fiir ~ = o:' versehwindet D und der Rotationsk6rper ist die Kuyel.

Damit ist also auch bewiesen, daft die Kugel der einzbye RotationskSrper ist, welcher in der aus (78) a ]ortiori ]ohyenden yew6hnlichen isoperimetrischen Ungleichun 9 (81) die Oleichheit erreicht.

II. Man betrachte nunmehr eine Figur der Schar II, die wie in w 2 mit Cir, ~, q bezeichnet werden mSge. Es bezeichne J(,~)(a, q) das hyperbolische Volumen des dutch Rotat ion von CH, ~, q um die x-Achse erzeugten Rotations- kSrpers und ~(n) (~, q) seinen hyperbolischen Obeffl/icheninhalt. Da die Figur, wie in w 2 festgestellt, fiir q ---- sin a in den Kreis mit dem Breitenwinkel 2 iibergeht, so ist

- Z (n) (a, sin a) L(") (~). (89) J~) (a, sin a) = J(") (a), -Ix =

Ferner ergibt (73) bei Beriicksichtigung von (10)

"i(') (~ q) E"-x I [tg~~ 1 d s -- sin ~o cos (N ~) T ~ I I 2 COS

CII, it, q

__ E n - 1 f ttg~o] " - 2 sin~o 1 dS . 2 ~ cos ~o q r

CII, a , q

Bei Einfiihrung von (39) werden die Integrale l~ings den beiden KreisbSgen, aus welchen Ca, ~, q zusammengesetzt ist, einander gleich und man erhMt

- g n - X i Itg~ln-2 sin~ ~~ q dg~ (90) J(I~) (~' q) = ~ 2 cos,p q Vq~ __ sin~ ~o

-- 2 E n _ a i ' t g " - I ~ s i n ~ d ~ - �9

o

Ebenso ergibt sich aus (72)

(91) n--1 ( ] tg~l " -~ l dS ~ ) ( ~ , q) = ~ - - E . _ I . ~o~ r

CII, a, q

a

1" tgn -- 2 = 2 (n-- 1) E . - t o e ~ r ~ m ~ qs


Die Darstellungen (90) und (91) zeigen, dab J~)(~, q) und -r.(.)/. ~ii ~, q) bei festem und wachsendem q monoton abnehmen, und zwar wird bei Beriicksichtigung

yon (76)

(92) Lim j~) (~, q) = 0, q .-~r

t~

I tg,Z--2 ~p (93) Lim f5~)(~r q) = 2 (n --1) E , _ l y eos~ d~ = 2J(~-~)(~).

q - - ~ 0

Wir wollen jetzt zun~ichst beweisen, d~l] fiir jeden RotationskSrper die Ungleichung (94) L > 2 ,/(n- 1) (a)

bestehen mug. In der Tat ergibt (72) wegen

I 1 / -d r 2 [dep~ d q ,

(96) L > ~ - ~ E " - l J " [ t g ~ l ~ - ~ - cos~ d~ ds c

>= - ~ E n . ~ ~ J7 d s + ~os~ 37s ' 0 s 2

wobei s~ s2 s3 dieselbe Bedeutung haben wie in (15). Nun is~

st 0 .[ Itg l cos~ d~ ~-- .f Itg ~in-2c~ ~0

D s t

$2 82

- - a 0

= i 1 - - ds .l ~ d q J = 2 -~os~- dq~. - - c~ 0

Die Eiafiihrung der letzten beiden Gleichungen in (96) ergibt bei Beriick- sichtigung yon (76)

L >_- 2 Y("- 2) (~).

Das Gleichheitszeichen in dieser letzten Ungleichung fordert wegen (95), dal~ r konstant bleibt. Da das bei einer geschlossenen einfachen, innerhalb der Halbebene x > 0 verlaufenden Kurve nicht der Fall sein kann, so ist (94) bewiesen.

Damit also zu vorgegebenem L und a iiberhaupt RotationskSrper mSg- lich sind, mug die Ungleichung (94) erfiillt sein, oder, was damit gleichbedeutend ist, es mu~

0c <C~o Mathematische Zeitschrift. 46. 15

226 E. Schmidt.

sein, wobei ~o definiert ist dutch die Gleichung

(97) 2 ~(~-1)(%) = L.

Nun gibt es zu vorgegebenem L und ~ dann und nut dann einen dutch Ro- tation einer Figur der Schar II erzeugten Rotationsk5rper, wenn die Gleichung

(98) q) = L

eine LSsung

(99) q = q* = q,* (L, ~)

besitzt. Die linke Seite dieser Gleichung nimmt, wie eben festgestellt, wenn q yon sin ~ bis ~ w~ichst, gemiil~ (89), (93) yon/~(n) (~) bis 2 J ( ' - 1) (a) monoton ab. Bei Beriicksichtigung yon (94) folgt also, dal~ die Gleichung (98) dann und nut dann eine LSsung besitzt, wenn

Lcn)(~)~L, also ~ '

ist, wobei ~' wie oben dutch (80) definiert ist. Sie hat dann nut eine einzige LSsung.

Wie aus der DarsteUung (91) hervorgeht, nimmt die linke Seite der Gleichung (98) bei festem q mit wachsendem ~ monoton zu und, wie wieder- holt .werden darf, bei festem ~ mit wachsendem q monoton ab. Also nimmt q* (L, ~) bei festem L mit wachsendem :r monoton zu. Wegen (89), (80) wird

(100) q,* (L, s -- sin s

Wegen (89) bleibt fiir ~ > ~'

(101) q,* (L, ~) > sin

und es folgt aus (91) leicht

(102) q* (L, ~) -> r ~ - - ~ O: 0

Diese Gleichung und (90) ergeben endlich

(103) Lim J~) (~, q,* (L, ~)) = 0. a ~ - ~ a 0

Man bezeichne nun die rechte Seite der Ungleichung (82), wie schon dort geschehen, mit F ('~ (L, ~, q). Dann erh~lt man durch die Spezialisierung

q = q* = q* (L,~)

die isoperimetrische Ungleichung

(104) J <-_ F (") (L, ~, q,* (L, ~)).

In dieser Unffleichung wird, wie eben ]estgesteUt, die Gleichheit yon einem und nut einem Rotationsk6rper erreicht, n~mlich demjenigen, der dutch Rotation yon CH, ~,q,* um die x-Achse erzeugt wird.

Die isoperimetrisehe Aufgabe im Raum konstanter negativer Krtimmung. I. 227

Es gilt also (105) ~(~) (~, q*) = F (") (L, ~, q,*).

Die Ungleichung (82) gilt fiir alle Werte yon q >__ sin ~, also ist auch fiir

7](,,) (~, q*) < F(,,) (L, ~, q). q 0: q* ~ i i =

Abet hier ist nach dem oben Festgestellten das Gleichheitszeichen aus- geschlossen. Also ist fiir

(106) q ~= qn* F (') (L, a, q*) < F (~) (L, ~, q).

Insbesondere ist also auch wegen (101) fiir

(107) ~ > ~' F (") (L, ~., q*) < / ' ( " ) (L, ~, sin m).

Damit ist bei Beriicksichtigung von (85) gezeigt, dag die durch die isoperimetrische Ungleichung (104) gegebene Schranke in der Tat kleiner ist als diejenige, welche die Ungleichung (78) angibt.

Nun ist

0 * * =_ F (n) 2_ p(") iT, , qn ~--- F(") (L, :c, q,, (L, ~)) (L, x, q*) _ - - ,~ , - , ~ , q , ) a~

_,~ qn P(") (L, ~, y , ) :0 L r (") (L, ~, q,* (L, ~)) F (') (L, ~, q,*) + _q ~ " i *

Wegen (106) ist abet bei Beriicksichtigung von (101) fiir

0r ar Fq(")(L,~c, qn*) ---- 0.

Daher ergibt sich aus den drei letzten Gleichungen und (82) fiir ~ > ~': n -2 tg u ~/ ,2 0 FO,) (L, ~, q,* (L , u ) ) ---- - - 2 E . _ 1 ~ ~ q . - - s in" a , (108) U:

o F(,) , q,* (109) -gL (L, ~, q, (L, ~)) = n -- l"

I "(') (L, ~, q* (L, :r nimmt also bei festem L mit wachsendem a monoton ab. Wegen (105), (100), (89) hat man

(110) F (') ' * J(") (L, ~ , q,, (L, ~')) = (~') und wegen (103)

(111) Lim F (') (L, ~, q* (L, ~)) ---- 0. ~c ~ t~ 0

Endlich ist wegen (100), (108)

( ~ r " ' (L, ~, q,* <L, ~))) = (112) ~ ~ = ~, O.

Hierbei ist auf der linken Seite natiirlich nur der vordere Differentialquotient gemeint, da die Funktion nur fiir ~ _>_ a' definiert ist.

15"

228 E. Schmidt.

Man definiere nun unter Beriicksichtigung yon (78), (85), (82) die Funk- tion G (m (L, a) durch die Gleichungen

f i i r ~ __ ~" G (") (L, ~) ---- F r (L, ~, sin ~)

- - f l '

0

~ r ~ > ~' a (") (L, ~) = F (') (L, ~, q* (L, ~)). Wie (ll0), (81), (112), (79), (109), (100) zeigen, bleibt die Funktion G (") (L, ~) auch an der ,,Nahtstelle" ~ = s mit ihren ersten Ableitungen nach L und stetig, und zwar wird

~in ~' a~ ~(~' ) = 0. (114) G n (L, 0t') = J(")(~'), G(I~, ) (~') = n - 1 '

Fiir ~ ~ a' nimmr G (m (L, ~r gem~it] (79) mit wachsendem r162 monoton zu, fiir ~ -> a monoton ab und konvergiert mit ~o -- ~ gegen Null.

Nun gilt /iir aUe Werte yon L und o~ ~ ~o die genaue isoperimetrische U ngleichung (115) J <_-- G r (L, ~),

wobei die Gleivhheit immer yon einer und nut einer geschlossenen ein/achen Kurve erreicht wird.

Damit sind alle im Anschlufl an die isoperimetrischen Ungleichungen (78) und (81) gemachten Behauptungen bewiesen.

An dieser 8telle darf noch auf die bemerkenswerte Analogie zu den entsprechenden Ungleichungen fiir RotationskSrper im Euklidischen Raum yon n Dimensionen hingewiesen werden. Bedeutet n~imlich ~ den Radius der grSflten ( n - 1)-dimensionalen Breitenkugel eines n-dimensionale~ EuklidJschen RotationskSrpers, I0t seinen OberfliichenirJaalt und V sein Volumen, so entspricht der isoperimetrischen Ungleichung (78) die Euklidische isoperimetrische Ungleichung

(116) V =< ~_--L-~ Ot -- -- , - : - ~ ( e ] O I - - E . e").

Zum SchluB sollen hier noch die Formeln fiir den Oberfl~icheninhalt und das ) c ]umea der n-dimensionalea Kugel im hyperbolischen Raum hergeleitet we~?~.n.

Man kann bekanntlich den n-dimensionalen hyperbolischen Raum auch darstellen, indem man im Euklidischen Raum mit den rechtwinkligen Koordinaten ~o ~1 . . . ~,-1 dem Innem der Einheitskugel

n - - 1 2

0

D i e i s o p e r i m e t r i s c h e A u f g a b e i m R a u m k o n s t a n t e r n e g a t i v e r K r t i m m u n g . I . 229

die Mal3bestimmung aufpr/igt

dS~ = ]--2:,. $ , / o \ l - - X , . ~ , /

o o

Bedeutet ds~, das Euklidische Fl~ichenelement einer p-dimensionalen Fl~che im Innern der Einheitskugel, s o ergibt sich fiir das entsprechende hyperbolische Fl~ichenelement

2 dS v = 1 ,,-a 2/ ds w

Fiir das hyperbofisehe Volumenelement d T erhMt man also

d r = . - x 2) d ~ ~

o

Die MaBbestimmung bleibt invariant gegeniiber den Euklidischen Bewegungen und Symmetrien, welche den Koordinatenanfangspunkt lest lassen, und gegeniiber den Spiegelungen an den n-dimensionalen zur Einheitskugel orthogonalen Kugeln, zu welchen natiirfich auch die ( n - 1)-dimensionalen Ebenen durch den Koordinatenanfangspunkt geh6ren.

Die gegebene Kugel mit dem Radius R bringt man durch eine hyperbolische Bewegung in eine solche Lage, dab ihr Mittelpunkt in den Koordinaten- anfangspunkt f~llt. Da sie nunmehr bei allen Euklidischen Bewegungen, welche den Koordinatenanfangspunkt lest lassen und daher auch hyperbolische Bewegungen sind, in sich selber iibergehen mul~, so ist sie auch eine Euklidische Kugel. Ihr Euklidischer Radius sei a. Dann hat man also

a R R

_ _ - - e 2 a 2 d r l + a R , a ~ - - , ~ --= = R, log 1 - - a - - R R 1 - - a s 2

o

Fiir den Euklidischen 0berflacheninhalt ]0 [ der Kugel und den hyperbolischen 0berfl/icheninhalt ~,(~e)~ erh/ilt man

iol= e.: - - _

Ftir das hyperbolische Volumen 7c.) ergibt sich "{R}

~(.) r ,~_l{ 2 ~. dr = h E . ,s {R} ~-- h E . \ 1 - - r e / \ l - - r ~ ] l - - r ~

o 9

230 E. Schmidt, Isoperimetrische Aufgabe im Raum konst~nter negativer Kriimmung. I.

und m a n erhgl t durch die Subs t i tu t ion

t t

e-~--e - ~ 1 4 - r dt 2 r = , t ' t : log 1 - Z ~ , d r - - 1 - - r '~:

82 lt_ e 2

R

0

D a m i t Bind die Formeln (75) bewiesen. Endl ich seien noch die Transformat ionsgle ichungen angegeben, welche

zwischen den a m Eingang dieses Pa rag raphen eingefiihrten Koord ina ten

x, Yl Y~ �9 �9 �9 Y , -1 und den Koord ina ten 2o 21 2~ �9 �9 �9 2n-1 bestehen. Sie lauten

1 + 2 o = 2 ( ] + x ) , 2 , = 2y,, n - - 1 2 n - - 1 2 '

(i + z)~ + Z , y., (1 + x)~ + iX,. y, 1

2(1 + ~o) 2 ~ l + z = y , = n - - 1 2 ~ n - - 1

(1 + ~o) ~ -]- X,. }v (1 -q- ~o) s + X,. ~v 2 1 1

u = 1, 2 . . . . . n - - l ,

/a : 1, 2 , . . . , n - - l ,

d~o ~ + X , d ~ , -= " - ~ 2 n - - 1 2 ( ' l + ~ ) + X,, y, ]

l / }, n - - 1 2 n -- 1 2 ~ 2 d X 2 - ~ - Z , d y v : , , - 1 ( ~o + Z , d2,,),

1 (I ~- ~0) 2 -~ 1~ v ~2 1

n - - 1 2 (1-}- r - - ( 1 + r s - f v r

n--1 9. (1 + ~o) ~ + X, ~

n - - 1 ' 2 , ((1 + +

~-~----- n _ l 2 2 (1 - - X, ~ )2

n - - 1 { 2 } 9 , 1 - - 1 1 ( d x 2 _ } _ - - n - - 1 2 ~ ' d 2 2 " as~ = ~ ~ ' a Y " ~ ) = , - x , , ~ , . o

1

(Eingegangen am 11. Mgrz 1940.)

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Über die isoperimetrische Aufgabe imn-dimensionalen Raum konstanter negativer Krümmung