Über die nebst ihren Ableitungen orthogonalen Polynomensysteme und das zugehörige Extremum

C~ber die nebst ihren Ableitungen orthogonalen Polynomensysteme und das zugeh~rige Extremum.

Von

Erhard Sehmidt in Berlin.

Seinem tieben Freunde Constantin Carath6odory zu seinem siebzig~ten Geburtstag am 13. September 1943 gewidmet.

Einleitung. Es bezeiehnen • (x) eine im Intervall a <_ x ~ b stetige Funktion.

])ann wird die Frage, wie das Integral b

(1) ~F(x)2dx a

dureh den Betrag des Integrals b

(2) ~ F ' (x) 2 d x a

naeh oben abgesehfitzt werden kann, dureh die Wirtingersehe Ungleiehung beantwortet. Dieser zufolge gilt, wenn die ~illk~qiehe additive Konstante in F (x) dureh die Voraussetzung

b

(3) ~F(x) dx = 0 a

festgelegt wird, unter der zus.~tzlichen Nebenbedingung

(4) P (a) = F (b) b b

(5) iF(x)2dx ~ (b--a)~ t" - 4~2 F ' ( x ) 2 d x a a

und ohne die-.zus';itzliehe Nebenbedingung b b

(6) I.F(x)edx < (b--a)a'I.F' = ~ (x) 2 dx. a a

Bei Heranziehung des Maximums m und des Minimums # yon F (x) gestattet die Ungleiehung (5) sogar die Versehfirfung

b b

a a

Mathemat i sehe Anna ten . 119. 12

166 E. Schmidt.

und die Ungleichung (6) die Versch~rfung b b

(6') IF(x) 2dx <-- (b--a)~ I~'(x)U dx -- (b--a) 2 ~).~" a a

Und zwar gilt das Gleichheitszeichen in den Ungleichmlgen (5) und (5') nur ftir

{2~ (x --_ a) h) (7) F ( x ) - - c c o s \ b - - a

und in den Ungleichungen (6) und (6') nur ftir

(8) F ( x ) = c c o s ]'

wobei c und h wiUktirliche Konstanten bedeutenl) . Man kann nun auch umgekehrt nach einer Abschatzung nach oben des

Integrals (2) darch den Betrag des Integrals (1) fragen; doch ist das offenbar nur dann mSglich, wenff der Charakter der Funktion F (x) eingeschr~nkt wird. Die n~chstliegende Einschr~nkung diiffte die Annahme sein, dab E (x) ein Polynom von hSchstens n-tern Grade ist.

Man setze unter dieser Voraussetzung b

(9) M,, (a, b) ~ = Max a b

a

]:)ann stellen wir uns also die Aufgabe, M~ (a, b) zu best immen, die Poly-

home zu ermitteln, fiir welche Mn (a, b) erreicht wird, und das asymptot ische

Verhalten yon M~ (a, b) bei unendlich werdendem )~ festzustellen. Dabei

werden eigentiim]iche Polynomensysteme zut~ge treten, welche zu den

tr igonometrischen Funkt ionen sin v x und cos v x, v = 0, 1, 2 . . . die Analogie

darbieten, dab sie nebst ihren Ableitungen zueinander orthogonal sind.

Zun~ichst erh~lt man durch die Subst i tut ion

X a.-]-b b - -a - 2 + - - u - t ' _r = / ( t ) ,

2 M,, (a, b) -=. ~ M,,,

(10)

(1])

wobei (12)

zu setzen ist.

(13) M . =

Mn = M n ( - - 1, 1)

Wie wi t r~zhweisen werden, gilt nu t liar n ~_ 5

(- + 1 - - 6 < R < 13~) .

a ~ - 3 R ' 1 -}

1) Eine Herleitung dieser S~tze Ms Spezialff~lle eines allgemeineren Theorems findet sich in der Arbeit des Verf. ,,~ber die Ungleichung, welche die Integrale tiber die Potenz einer Funktion and fiber eine andere Potenz ihrer Ableitung verbindet." Math. Annalen Bd. 117, Heft3, S. 301--326~

, -~) Das erste Glied dieser asymptotischen Absch~tzung ist yore VerL bereits in einem Vortrage vor der Preullischen Akademie der Wissenschaften (Sitzungsber.

~ b e r orthogonale Polynomensysteme. 167

Auf demselben Wege l~iBt sich auch das Maximum des Integrals

f e - ~ F ' ( x ) 2 d x (14) 5

bei gegebenem Werte des Integrals

(15) ~ e"z F (x)2dx o

bestimmen, wobei ~' (x) alle Polynome yon h6chstens n-tern Grade dureh- l~uft. Jfan erh~t, wenn das Maximum des Quotienten der beidvn Integrale gleich 3/1" 2 gesetzt wird, liar n > 2

(16) M* --- 2 n ~- i 1 8 4 ~ R , - -y<R<y.

1 - - 24 (2 n -{- 1) ~ "-}- (2 n -~- 1) 4

Viel trivialer ist die Bestimmung des Maximums des Integrals

(17) ~ e-~2F'(x)2d$

bei gegebenem Werte des Integrals

*~-oo

(is) ~ e-~'F(z) ~ dx.

Man erhalt, wenn das Maximum des Quotienten der beiden Integrale gleich M* * 2 gesetzt wird,

(19) = 1/2

w

Die E,~stenz der einsebliel~lich ihrer Ableitungen orthogonalen Polynomensysteme.

Es ~,ez,-,.~; ,e P~(t) das n-te Legendresche Polynom,

1 d n - - ( t 2 - 1 )n, (1) Po(t) = 1, Pn(t) 2nn! elf

Dann ist bekanr~tlich

(2) P~(1) = 1, P . ( - - 1 ) = (-- 1)5

~1 l O (m =~ n) (.3) p~ (t) P., (t) d t = ~ 2

(m ~z) -1 | 2 n --~- i

n -~ 1,2, . . . .

n --O, 1,2 . . . ,

rn = 0 , 1 , 2 . . .

n = 0 , 1 , 2 . . .

d. PreuB. A~kad. d. Wiss., 5Iath.-Phys. Klasse, Jahrg. 1932, S. 287) angegeben und auf demselben Wege wie hier hergeleitet worden. Zi t ier ten Ortes s teht k an Stelle yon n und M~ an Stelle von M n (a, b) 2. wahrend im Nenner der F a k t o r n~ durch

einen Druckfehler ausgelassen ist. 12"

168 .F.. Schmidt.

Setzt man, um zu normieren,

(4) so wird

p.(t) = ] /2n~- IP=( t ) , -

+lr it) (t) = ~0 ( m ~ n ) (5) j p~ p ~ } . -I 1 (m = n)

n = O, 1 , 2 . . . ,

Ferner sind bei geradem n P~ (t) und p~o (t) gerade und bei ungeradem ~ ungerade.

Es sei nun ] (t) ein wiltkfirliches gerades Potynom yon nieht hSherem als 2 k-tem Grade. Dann kann man / ( t ) durch die geraden Legendreschen Polynome linear darstellen. Man hat ~]so

k k

(6) I (t) = oZ',~,pu,.(t), i ' (t)= Z-',..,v~,(t),

(7)

(8)

wobei

(9)

+1 k

I = + - 1

+ ] k

+ 1

P2,( ) P~u(t) d t

zu setzen ist. Nun ist (8) in den Variablen ~1, a-~ . . . . a~ eine quadratisehe positiv-defioite Form. Verschwindet sie n~mlich, so m u $ / ' (t) identisch verschwinden and mithin ] (t) konstant sein. Multipliziert man daher die erste Gleichung (6) mit pus(t) und integriert von - - 1 bis -k 1, so erhalt man, da ffir ff > 1 P2g(t) zu po(t) und mithin zu jeder Konstanten orthogonal ist,

(1o) % = o, ff = 1, 2 . . Z..

Man kann daher die a, in die ~,, so orthogonal transform~e,en

k k

S >0, 1 1

~p

1 wird. Man erh~lt dann wegen 2o(t) = 1 ~

k k

(12) : / ( t ) = a o P o ( t ) z r , %pu,( t) = 1/~ + , i :g~, , ( t ) , 1

~,V. Z. b . w .

dab

wobei die Polynome gk, 1 ( t), g~, ~ ( t) . . . g~ ~ ( t) aus den Legendreschen Polynomen P ~ ( t ) , r 4 ( t ) . . . p~ ( t ) dutch dieseIbe"orthogonale Transformation hervor-

~ber orthogonale Polynomensysteme. 169

gehen wie .die ~ , ~ . z - - . ~ aus den a l , a z - . . ~k- Die Polynome 9k,,(t) v = 1, 2 . . . k s ind-daher geraAe, yon hSehstens 2 k.ten Grade und s imt l ieh zur Kons t an t en orthogonal. Ferner wird

(13) ]'(t) X ~ " = ~, :r

und wegen (7), (8), (11)

+I k

(14) ](t)~dt -- ~ 2 + a , , --1

(15)

Aus (12) und (14)

+1

i V ~" --I

folgt, wenn go(t) = po(t) = 1

~ gesetzt wird,

+1 + 1

(16) ~ go( t )2d t= 1, ~ go(t) g k , , ( t ) d t = O , - 1 - 1

+1 j O (v =~ It) (16') f g, , , ( t )g~:,~(t)dt=

-~ I 1 (v = #)'

v = l , 2 . . . k ,

v = l, 2 . . . k , tt = l, 2 . . . k .

Ebenso folgt aus (13) und (15)

(17) +1 f0 (v=~It) ~ 9'k,.(t) g'k.. (t) dt (V = It) i 1__

- ) '~ , v

, v = l , 2 . . . k , # = 1 , 2 . . . k .

Wir haben damit bewiesen, dab es zu jedem k > 1 ein System yon k + 1 geraden Polynomen yon hSehstens 2 k-tern Grade go gk,1. �9 �9 gk, k gibt, welehe den Orthog,~,~h:~ ,relationen (16), (16'), (17) geniigen; das Polynom 90 ist

1 dabei die K~ ~-'~:s ~-~.

Genat~ ;" : ~ie gleiehe Weise beweist man, dab es zu jedem k > 1 ein System ,~on ngeraden Polynomen yon hSehstens (2 k - 1)-tern Grade hk, 1 (t), hk, ~ ,, j . . . hk, k (t).gibt, welehe den Orthogonalit~tsrelationen

+I (18) "[1 hk'~(t)hk't'(t)dt = - { 0 Iv =1 = It) - 1 (v== ~ ) ' v'== 1 , 2 . . . k , It = 1 , 2 . . . k ,

+1 (0 (v ~ g) (19) f h'k,~(t) h'k, ~(t) dt = i ~ (v It)

genfigen.

, ak,,, > 0 , v = 1 , 2 . . . k , I t = 1 , 2 . . . k

170 E. Schmidt.

w

Die Bestimmung der Polynome des Orthogonalsystems und der zugehiirigen Eigenwerte aus der Differentialgleiehung.

1) Es bezeichne ($ (t) ein willktirliches gerades Polynom yon hSchstens 2 k-tern Grade. Dann lgBt sieh (~ (t) in der Form

k

(1) 5(t) --Cogo(t) + Zt ,c,g~,,(t)

darstellen, wobei die Co, cl, c2 �9 �9 c~ Konstanten bedeuten. Man erh~lt k

(2) ($' (t) -- ~ ' , c, g~,,(t). 1

Aus den Orthogonalitgtsrelationen w 1 (16), (16') (17) folgt jetzt fiir ~ = l , 2 . . . k

+1 +1

(3) _ gk, e(t) ~(t) dt = e e, -1~ g'k'e(t) ~'(t) ~ ~,,e

und mithin +I +1

(4) ~,e ~ g'k,e (t) (y (t)dt -- ~ gk, e(t) ~ (t) dt = O.

Es bezeichne nun ~,k,e(t) dasjenige ungerade Polynom, welches durch Inte- gration yon gk~e(t) hervorgeht, d .h . also es gelte

(5) y~,e(t) =_gk, e(t), ~%e(O) = O.

Da g~,e(t) zur Konstanten orthogonal ist, so folgt + 1

?k,e (1) -- ?k,e(-- 1) = ~ gk,e(t) dt = O. --1

Da y~,e(t) ungerade ist, so hat man aaadererseits

~%e(1) + ~'k,~(- 1) -= o. Hieraus folgt

(6) y~e ( - 1) = 7k, e ( + 1) = 0.

Mithin ergibt die partielle Integration +1 +I

(7) Igk, e(t) 5(t) dt = -- I ?~,e (t) (Y(t) dr. --1 --1

Dutch Einfiihnmg dieser Gleichung in (4) erhglt man wegen

g~,e(t) = yi:e(t): + I

(8) _~t{Tk'e (t) + ~,e ?k~,e (t)} W(t)dt = O.

~ b e r or thogonale Po lynomensys teme. 171

Da ~ (t) ein wfllkiirliches gerades Polynom yon hSchstens 2 k-tem Grade ist, so gilt diese Gleichung, wenn fiir ~'(t) ein willk/irliches ungerades Polynom yon hSehstens (2 I t , - 1)-tern Grade eingesetzt wird. Das ungerade Polynom yon hSchstens (2 k + 1)-tern Grade

t ! ,r \ (9) 7k, e (t) + ~ ,e }'k,e[

ist also zu allen ungeraden Polynomen yon hSchstens (2 k - 1)-tern Grade orthogonal. I)a es als ungerades Polynom auch zu allen geraden Polynomen orthogonal ist, so ist das Polynom (9) ein Polynom yon hSchstens (2 k -}- 1)-tem Grade, welches zu allen Polynomen bis zum 2 k-ten Grade orthogonal ist und mithin bis auf einen konstanten Faktor gleich dem (2 k + 1)-ten Le- gendreschen Polynom. Man hat also

2 tr (10) r~,e(t) + ~k,,o r~,e(t) = CP~+I(t) ,

wobei die Konstante C noch zu bestimmen ist. Eine L6sung dieser Differential- gleichung bfldet offenbar d,~s Polynom, welches durch die Formel

OO

k+l(t) (11) 7k, e(t) = C ~' , (--1) ~ )2~ 2,) 0 k, e

P(~k+l (t) die m-re Ableitung y o n P2 ~+ 1 (t) bezeichnet dargestellt u4rd, wobei ~) und ~-~+~)(~ . ( t ) = P~k+l (t) zu setzen ist. Da die Glieder der Summe ffir

~ k + 1 identisch verschwinden, so kann die Summe auch in der Form /c

(12) ~,k,e(t) = C Z , (-- 1)" "k,e~"-~+ o

geschrieben werden. ]Dieses Polynom ist das einzige, welches der Gleichung (10) geniigt. ]:)enn g/~be es zwei solche Polynome, so miiBte ihre Differenz der Gleichung (10) bei verschwindender rechter Seite genfigen, was unm6glich ist, da der erste Summand auf der linken Seite yon hSherem Grade ist als der zweite. Daraus folgt zunachst, dab zu einem Wert yon ~k, e bis auf einen konstanten Faktor nut ein einziges PoIvnom ~,k, e und mithin auch nut ein einziges Poly.~mm gk, e geh6ren kann, wobei der Grad yon ~'k, e genau 2/c -+- 1 ist- und' mithiB, der Grad yon gt:,e genau 2 k. Der konstante Faktor wird dann

durch die Gleichung +1

(13) _~ gk, e(t)~dt = 1

festgelegt. D~ nun die Polynome g~,~ und gk,~ fiir v =~ /~ z~aeinander or~ho- gonal und mithin versehieden sind, so ergibt sieh auch 2k, ~ ~= 2~,~. Die Eigen- wene ~t~,~ ~ , t . . . ~,~ sind also alle versehieden. Aus (6) und (12) folgt

ferner k

X , ( - 1) 5 [h(l) 0, e = 0

172 E. Schmidt.

Die Gleichung k-ten Grades in

k

(15) ( - - 1)" ~ 2~+a(1) ~ = 0

ha t mithin die k voneinander versehiedenen positiven Wurzeln

(16) . . �9

Wir ordnen je tz t die Eigenwerte der .Gr6Be nach, so dab

(16') 0 < 2k, 1 < Jtk, 2 " " < )-k,k

wird. Dann folgt au s (12)

k P(2~+l) (t), (17) gk,,o(t) = C Zo, ( - -1)" 2~," e . 2~+x

wobei C durch die Normierung (13) bes t immt ist, und

2 ~2 2 (18) 2k, 1, z~. 2 �9 �9 �9 2k, k

als die k voneinander versehiedenen positiven Wurzeln der Gleiehung (15) gegeben sind.

2) Ehe wir das asymptot isehe Verhal ten dieser Eigenwerte bei unendlieh werdendem k feststeUen, wenden wir uns der Bes t immung der k ungeraden

Polynome yon hbchstens (2 k -- 1 j-tern Grade h~, 1 ' hk, 2" " " hk, 1r Z U , welehe den Orthogonalit/~tsre]ationen w 1 (18), (19)geniigen.

Zun/ichst erhiilt man ganz wie oben die Gleichungen

+ 1 + 1

(19) a 2 ~ ' ~' = k,e hk, e (t) (t) d t ~ h~,,e(t) 5 (t) dt , -1 - 1

wobei ~ (t) ein willkiirliches ungerades Pol:}mom yon hbchstens (2 k - 1)-tern Grade bedeutet : Es bezeichne Z~,e(t ) das dureh die Gleichungen

(20) z~..~' o" ~ = hA, e (t), Zk, e ( - - 1) = 0

definierte Polynom: ];~nn i~': Zk, e(t ) yon h6ehstens 2 k-tern Grade. Felnaer ist Zk, e(t) ein gerad~s Polyt~Jm, und man ha t daher

(21)

Aus den letzten

(22)

Als einziges dleser Differentialgleichung geniigendes Polynom erh/~lt

k

c X, ( - 1)" (t). (23) Zk, e(t l = o

Zk, e(1) = Z~,e ( - 1) = 0.

Gleichungen folgt ganz wie oben die Differentialgleiehung

z~,e (t) + ~,e z" (t) = CP2~(t).

m a l l

Uber orthogonale Polynomensysteme. 173

Die Polynome Zk, e besitzen als5 alle genau den Grad 2 k und mithin die Polynome hk, e genau den Grad 2 k "1, w/ihrend der konstante Faktor C durch die Gleichung

~-1

(24) ~ hk, e(t)2 d t = 1 - -1

festgelegt wird. Ferner folgt ganz wie oben, dab die ak, e alle voneinander verschieden sind und bestimmt werden durch die aus (23) und (21) folgende Gleichung

k 2v (251 27, ( - 11" P(2~')(1)~k,e = o.

0

Wir ordnen jetzt die Eigenwerte der GrSl~e nach, so dab

(26) 0 < a ~ , l < a ~ , 2 . . . < a ~ , k

wird. Dann folgt aus (23) und (_o)

k - 1

(27) hk, e(t ) = C 27~ ( - - 1)" ~ " ~)(z,+l) t~ . . . ~k. e ~ wl, ~ = 1, 2 k, 0

wobei C durch die Normierung (24) bestimmt ist, und

(28) ~" '~ ~

als die k voneinander verschiedenen positiven Wurzeln der Gleichung k-ten

Grades

(29)

gegeben sind.

k

2 o , ( - 1)~ ~\"~1) r = o

w

Das asymptotisehe Verhalten der Eigenwerte.

1) Wi~" wenden uns jetzt der Diskussion der Gleichung

(1) Z , ( - 1)'P12"~(1) ~" = o 0

zu, welehe je nachdem, ob / ungerade oder gerade ist, hie Gleichungen w (15)

und (29) darstellt. Man hat wegen w 1 (1)

t d z+~ (2) /~'~)(1) --- dl~. dt z + ' ~ ( ( t - 1 ) l ( t + 1)z)t=l"

174 E. Sphmid~.

Fi ihr t man bier die Differentiation nach der Leibnizsehen Formel dureh, so bleibt an der Stelle t = 1 nur ein Glied dieser Formel yon Null versehie(ten, ~and man erh~lt /~t~ = Pz(1) -- 1 und fiir m -> 1

(3)

(4)

P ~ ) I ) = 1 (t . (_ ~ +ram) l ! l (1-1) ' '" ( l - - m + l ) 2 ~ . - ' ,

m

_ 1 ] ] ( z + i + ( ~ - ~ ) ) ( z + � 8 9 1 8 9 Pi~) (1) 2~ m,

P~m)(1) -- ( l+ �89 Qz,~, m >_ 0, 2 m m!

wobei

(5)

ist.

v~t, o - - -1 und fiir m > l

I/4

~t,m = 1 / ~ ( 1 - - "/~--�89

Man ha t also

(6)

(7)

(S)

mad bei festem m

(9)

Man setze je tzt

~ 1 , o = 1 , Ot, m ~ - 0 (m>=l+l),

0 < ~ t , m < 1 (m_> 1),

~,,.+1 < e,,.,

Lira Ol,~ = 1. l - - ~ oo

<10) ( l + ~),~ __ ~ .

Dann erh~lt die Gleiehung (1) bei Einfiihrung yon (4) die Gestalt

(1~) ~z(V) = 0,

wobei -das ,Polynom ~z07) dureh die Gleichung

(12) ~(n) =

definiert ist.

Z ( - 1)" Or,2, ~2, = o " (2v)!

~o~ ~ (-- I) ~ 0 .̂ 2~ t

Aus (6), (7), (9) folgt

(13) lim 9z(~) = cos ~, 1 - - -> c o

wobei die Konvergenz in jedem besehr/inkten Bereich der ~-Ebene gleich- m/~Big ist. Insbesondere ist daher aueh die Konvergenz i m Y~reise

(14) l~] -~ s~


gleiehm/il~ig, wobei se ine ganze positive Zahl bedeutet. Da cos ~ auf der Peripherie dieses Kreise~ nieht verschwindet und im I n n e ~ nur die ik~ullstellen

(15) s 2e-- 1 2 ~, 0 - - 1 , 2 . . . s

aufweist, so folgt aus einem bekannten Satz der Funktionentheorie, dab im Bereich I~t < s ~ die Anzahl der Nullstelten von ~ (~) bei geniigend grol~em 1 ebenfalls 2 s ist, und dab diese Nullstellen mit unendlieh werdendem 1 gegen die :NullsteJlen (15) der Grenzfunktion cos ~ konvergieren. Dabei sind, wie aus den Feststellungen im vorigen Para~raphen hervorgeht, die Nullstellen yon ~(~) alle reell und voneinander versehieden, ferner natiirlich paarweise yon entgegengesetztem Vorzeichen. Bezeichnet man also die positiven Wurzeln der Gleichung (1I) der aufsteigenden GrSBe nach geordnet mit

(16) ~/l,1 < ~t,2" '" < ~, , [{] ,

so hat man 2 0"--- 1

(17) lira ~t,e _ 2 :t.

Wie aus einer genaueren Diskussion in den w 7, 8 hervorgeht, gilt

(18) ~t,e 2 e - - 1 { ( 2 e - - 1 ) ~ - - 3 ( 1 )} =- 2 ......... = 1 - - 12(1+�89 + 0 ( l + � 8 9 "

Insbesondere hat man fiir ~ = 1, 1 > 6 gem/~B w 8 (40), (41)

~{ ~ - - 3 R } (19) •,,x = y 1 12( /+ �89 ~ ( 1 - ~ ) ' ' - - 6 < R < 13~

Wegen w 2 (15), (16) und der Gleichung (10) des laufenden Paragraphen ergibt sieh aus (18) fiir 1 = 2 k + I

(2o)

und ftir k >- 3

(21) ~k,1--(2k+~)' 1--12(2k+{)~ (2k+-~)*'

Ebenso ergibt sich gem/iB w 3 (28), (29) fiir I = 2 k

,~k, e---~--(2 e - 1)a: { 1 - ( 2 ~ - 1 ) ~ 2 - 3 + 0 ( I )}

- - 6 < R < 1 3 .

(22) { ( )} (2 ~-- l)~t (2~-- l)laa--3 (2k +�89 4 crk, e = (2 k + �89 I -- 12 (2 k + �89 + 0

und insbesondere ffir k > 3

zt~ - - 3 7t l ~ (23) Vtlt, l = (2k -[- �89 12 (2 k 27 �89

R }, (2k + �89 - - 6 < R < 1 3 .

176 E. Schmid~.

2) Zum SehluB sollen hier noch die flit alle k ~ 1 geltenden Ungleichungen

1"- t 1 1 (24) ~,-S > ~,--; + 1, - v - - > ~ + 1 Gk+I~ 1 J~k, 1

bewiesen werden, aus welchen n~tfirlich auch die Ungleiehungen

1 ~ 1 ,1 1 (24') a~+l, i a~,--1- -'~ 2, .~ :> ~ -~- 2 2,+i,i 2~,i

fotgen. Wie aus w 1 (14), (15) hervorgeht, ist n~nl ich §

1 - 1 (25) ~ - - M ~ x

l~, i +l , l(t)~ at

--1

wobei ] (t) alle geraden Polynome yon Ebenso ist

h5chstens 2 k-tern Grade durchl/~uft~

+1

.( t ' (O ~ at 1 - 1

(26) a~,i -- Max +i ' l (0 ~ at

--1

wobei / (t) alle ungeraden Polynome yon hSchstens 2 k - 1-tern Grade durch- ]/~uft. Es bezeichne nun wie im vorigen Paxagraphen gk, i(t) das zum Eigen- werte 2~,i gehSrige Polynom. ])ann ist g~,l (t) von (2 k)-tem Grade und es is~

+1 +1

(27) j g,,i(t) 2 dt = 1, ~ g'k,i(t) 2 dt = 1 - - 1 - 1 ~/~,1

]~s bezeichne ferner 7k, i (t) das dutch &ie Gleichungen

(29)

und ferner gen~B

(30)

Man setze jetzt

(28) 7~,1 (t) = gk,1 (t), r , ,1 (o) = o

definierte ungerade Polynom yore Grade 2 k @ 1. ])ann ha t man also zuni~chs~ wie w 2 (6)

7,,,_(1) = 7k ,~ ( - - 1) = o

w 2 ( ]o )

.r~,1(t) + ~,1 ;4:i (t) = c~,1P2~ +t a).

1 (81) %~ r~,~(t) - 7(0.

Dann folgt au~ den ]etz~n G|eichungen

(32) 7 (t) Jr 22 k.1 y•'(t) = P2~+l~(t),

(83 ) 7 (1) - - y ( - - t ) -~ y (0) --~ 0


trod aus (27), (28) +1 +1

(34) ~," (t)~ dt --. 2~,--~ - 1 - 1

Da jetzt t 7' (t) -~ 7 (t) ein ungerades Pobmom yon so ist gemiB (26)

(2 k-~ 1).tem Grade ist,

+ 1

(t y" m -{- ? (t) )'~ dt 1 -1

<35) - ~ ~ +i " ak+l'l -- ~ (ty'(t) 2 r- ~(t))2dt

- 1

2%~TIIII hat man d (36) (t r' (t) + r (t))~ = t~ ~,'(t)~ + ~ (t r (t)9

und mithin wegen (33) +1 .+1

Ferner ist

(t?'(t) + 7(t)) '~ = (t~"(t) + 2 ~/(t))~ -- t27"(t) ~ + 2 d (tT'(t) 9 + 2 7'(t)~, +1 -rl +I

(38) ; (t~' (t) + ~,(t)) '2 dt = ; t27 '' (t) 2 dt + 2 (?' (1)2 %- y' (-- 1V) 5- 2 ~ 7' (t) ~ dt --I --! --i

+I +I

= ~t27"(t)2dt + 2 ]?'( t l2dt + 47'(1)L - -1 - 1

~Iithin gilt

<39) +I +1 + I

D~ im Integrationsgebiet t 2 g 1 bleibt, so ist +1 +1 +I

(40) 2 f ~ ''(t)2dt > f ~"(t)2dt § ~ t2~"(tl~dt" -I -1 -I

${ithin foIgt aus (39) +I +I +1 +I

(41) _Ii(t~/(t ) + @(t)) 'edt >j l t2~"( t )2d t +_l; 7"(t)2dt § te7'(t)~dt"

Die Einfiihrung dieser Ungleichung und der Gleichung (37) in (35) ergibt +1 +1

t~/' (t)~ et +2'1 / (0~ dt (42) i > - ~ + 1.

G~+I, I +I j t~ r'(t)~ dt -I

178 E. Schmidt.

J e t z t ist wegen (32)

_ 1 (43) tsy"(t) s - t~; ' i ( t ) (P2~_~l( t)-T(t)) k ,1

Bei Einffihrung der Ident i t~ t

(44)

{P2 k+ i (t) t2y "' (t) - - t 2 }' (t) y" (t)}-

d t2y(t) y"(t) = d-i ( t2y(t)y '( t) -- ty(t)2) -- tgy'(t)~ + Y(t)2

erh~lt man

(45) t27"(t) = 1 ).~,i {t2y'(t)s -- Y(t)u -- d (t2?(t) y, (t) -- t y(t) 2) q-

q- P2k+i( t ) tsy"(t)} -

Daher wird bei Beriicksichtigung Ton (33)

+ 1

(46) ~ t 2 y" (t)2 dt #]

- 1

Nun ist wegen (32)

(47)

und da y" (t) vom

+ 1

(48)

+1 + 1 + 1

1 { I ~ I } =. ~ t e y'(t) 2 dt -- y (t) 2 dt + P21:+ 1 (t) t e y"(t) dt . - 1 - 1 - 1

)'(t), -- P2t:+z(t) -- 2~,1 y"(t) ,

Grade 2 k - 1 und mithin orthogonal zu P2k+l(t) isg,

+ 1 + 1 - 4 1" , !

~ y(t)'Zdt = ~ P 2 ~ . l ( t f dt q- Z,, 1Jly (t)2dt.

Also ha t man wegen (34)

+1 § +1

(49) ~ ~, (t) ~ dt ~ P2k+ l (t) 2 dt -{- 22 ~ y' (t) 2 dt. = k, I - - I --1 --1

Die Einfi ihrung yon, (49) in (46) ergibt + I + I

(50) I t2 y " (t)2 dt ~- I y' (t)2 dt - 1 - -1

+ 1 + 1 + 1

-- ~ ,1 t2 (t) " z d t - P2k+z (t) 2d t -t- P 2 k + l ( t ) ~ y " ( t ) d t - I - I - I

Nun ist wegen (32)

(51)

und da

(52)

0?

t ey" (t) = t2 P2k +~ (t) -- 2~, 2 tu y(t) (t),

t21r'~f~ /-'2~+i(t) ---- ( 2k q- 1) 2kP2~+i ( t ) q- r(t)

is~, wobei der Grad des" Po lynoms r (t) hSchstens 2 k - 1 ist, so h a t man

(53) t2~,"(t) = 2 k ( 2 k + 1)P2~+l(t) + r ( t ) - - 2~,lt~y(a)(t).


Da die beiden letzten Summanden hSehstens den Grad 2 k -- 1 besitzen un4 mithin zu P~k+l(t) orthogonal sind, so folgt aus der letzten Gleiehung

+1 +1

(54) ~ P e k + l ( t ) t e 7 " ( t ) d t = 2 k ( 2 k -}- 1)~P2k+~(t)edt. - 1 - 1

Die Einfiihrung in (50) ergibt +1 + I + I

t~ 7' (t)2dt + (55) t~7"(t)edt-l- 7'(t)2dt -- )~.,1 - ! - 1 - 1

+1

+ 2k(2 kq- 1) -- 1 f p~+l(t)2dt. -2 AB, 1 J

- 1 +1 +1 + k

(56) teT"(t)~dt + 7'(t)edt > ~ teT'(t)edt. --1 - - I "~k, I --I

Dureh die E i n f ~ u n g dieses Resuttats in (42) erh~lt man die zu beweisende zweite Ungteiehung (24).

"Die erste Ungleiehung (24) wird genati durch dasselbe Verfahren bewiesen. Es bezeiehne n/ixnlieh wie im vorigen Paragraphen h~, I (t) das zum Eigenwerte (r~, ~ gehSrige Polynom. Dann ist h~, x (t) yon (2 k -- 1)-tern Gr~te,. und es gilt

+1 +1

I I = (57) hk, l ( t )2dt = 1, h~,l(t)~dt ~ k,, 1

- 1 - 1

Es bezeichne ferner Zk, 1 (t) das durch die Gleichungen

(ss) ~ , i ( t ) = h~,lCt), Z~,l(-- 1) = 0

definierte gerade Polynom vom Grade 2 k. Dann hut man also zun~ehsi~

wie w 2 (21), (22) (59) Zk, l(q- 1) = gk, l ( - - 1) -- 0,

Z~:,l(t) + a~.,lZ~,x(t) : C'~,lP~.k(t). (60)

Man setze jetzt

(6~) __1 z~, i (t) = z (0. Ok, 1

Da t Z' {t) A- Z (t) ein gerades PoIynom vom Grade 2 k ist, so ist gemgB (25} +1

~ (tz' (t)-~.z(t))'~dt 1 - 1

(62) :~,t (tz, a) q_ za))~dt

und jetzt verli~uft der Beweis ffir die erste Ungleiehung (24) genau so Me der

oben geftihrte Beweis fiir die zwei~.

180 E. Schmidt.

w

Die Best immung des gesuehten Maximums.

Es sei n gerade, also (1) n = 2k .

Dann l~gt sieh das willkfirliehe Po lynom ] (t) yon h6ehstens n-tern Grade in der Gestal t

k k

(2) f ( t ) = ~o ga(t) q- ~ ' i ~'g~' ,(t) q- ,~, ~,hk,,(t)

darstellen, wobei die gk , , ( t ) u n d hi~ ' , ( t ) wie oben diejenigen Polynome be- zeichnen, welehe den Orthogonat i t i t s re la t ionen w 1 (16), (17), (18), (19) geniigen und die ~% und fi, Kons tan ten bedeuten. Da ferner im Interval l zwischen - - 1 und + 1 jede ungerade Funkt ion zu jeder Geraden orthogonal ist, so h a t man

(3)

Da nun ffir v > 2

k ~ 2 k 2 ; 1/'(02d' Z "-II-1, ~ 'By --I 1 ~ ~,, ' ,

+ 1 k k

f +Z,, - I 1 1

(4) 1 1 1 1

i 'Zk,,, af~,i a s

ist und gemiB der ersten Ungteichung (24) des vorigen Paragraphen

1 1 (5) - ~ - > -~-- ~'k, 1 0"/~, 1

ist , so e rh i l t man 1

(6) M~ = , ~']r I

wobei M 2 wie in der EinIei tung das gesuchte Maximum des Integralquot ienten au f der linken Seite yon (3) bezeichnet. Dabei wird dieser Maximalwert bis auf den t r iviaten kons tan ten Fak to r nur yon dem Potynom

{7) /(t) = gk,,l(t)

crreieht , k _ > 3

<s)

Die Einfi ihrung v o n w 3 (21) ergibt wegen 2 k = n ffir n > 6 also

Mn ~- 1 12(,~ +~)~ +

I s t aber n ungerade, also

.R

(~+~ , - - 6 < R < 13.

(9) n = 2 k - - 1,

~ b e r orthogonale Polynomensysteme. 181

so lgBt sich das willkiirliche Polynom ] (t) yon hSchstens n-tern Grade in der Gestalt

k--1 k

(101 t (t) = aogo(t) + Z , (t) + Z,,fl, hk, (t) 1 1

darstellen, und man erhglt +1

S 1' (t):dt (111 -1

+1

~1 (t)~ dt - 1

N

k - 1 2 k 2

12--" k - 1 k

-r ~, q- &, 1 k

Hieraus folgt wie oben bei Beriicksichtigung der zweiten Ungleichung w 3 (24)

(12) =

a/z, 1

Dabei wird dieser Maximatwert bis auf den trivialen willkfirlichen konstanten Faktor nur yon dem Polynom (13) / (t) = h'~,l(t)

erreicht. Fiihrt man in (12) fiir o'k, 1 die Formel w 3 (23) ein, so e r~bt sich wegen n = 2 k -- 1 ebenfalls die Gleichung (8), die somit / i i r alle Werte von n > 5 bewiesen ist.

Damit ist die in der Einleitung au/gestellte Gleichung (13) bewiesen, wobei allerdings die eingehendere Diskussion der Eigenwertsgleichung zur Her- leitung der genauen asymptotischen Formeln w 3 (18), (19) noch aussteht

und in den w 7, 8 naehgeholt werden wird.

w

Die Existenz und Bestimmung der Systeme von Polynomen, welche aug der m i t e -~ belegten positiven Halbgeraden nebst ihren Ableitungen zueinander

orthogonal sind.

1) Es bezeichne L,~(t) das n-te LAGWRR~sche Polynom

e t ~ (e-ttn), (1) Lo(t) = 1, L,~(t)= n! dtn

Dann ist bekanntlich

n = l , 2 . . .

(2) L , ( 0 ) = I , ~e_tL,~(t)L,,~(t)dt_ - 0 (nq=m) , n - - = 0 , 1 , 2 , . . . o I ( n = m ) , m = 0 , 1 , 2 , . . .

In'dem man nun das willkiirliche Polynom yon hSchstens n-tern Grade / ( t )

zungchst in der Gestalt

(3) / (t) = ~o -k Z , a , L , ( t ) 1

Mathematische Annalen. 119. 13

182 E. Schmid~

darstellt , gelangt man genau wie im w 1 zur Feststellung der Existenz eines Systems yon n Polynomen yon h5chstens n-tern Grade G~, 1 (t), G~, 2(t). �9 . . . G~, n (t), wetche den Orthogonalit/~tsgleichungen

(4) Go(t) = ] , j ' e - t Go(t)Gn, v(t) = O, v - - 1, 2 . . . n, o

(5) ~e..tG,~,,(t)Gn, t , ( t ) d t = 0 ( ~ #), u = 1 , 2 . . . n , o 1 ( ~ , = # ) , # = 1 , 2 . . . n ,

f , (~ ~= #) ~ = 1, 2 . . . n, (6) n, ,(t) G'n,t,(t) dt = (v #) ' %''" > O, .

o = i t = 1 , 2 . . . n

geniigen.

2) Um diese Polynome zu bestimmen, leitet man genau so, wie die Glei- chungen w 2 (4) bewiesen wurden, die entsprechenden Gleichungen

DO DO

(7) z~,e ~o Ct G'n,e (t) ~' (t) dt = o~ e-t Gn'e(t) ~ (t) dt

her, wobei (~ (t) ein willkfirliches Polynom bedeutet, dessert Grazl n nieht fibersteigt.

Man definiere nun das Polynom /'me(t) durch die Gleiehung DO

_ = _ G~,e(t ). (8) = z ,

])ann ist

(9)

und mithin

E" e(t ) - - I'~,e(t ) = G~,e(t)

(10)

Aus der letzten Gleichung folgt o O

(11) ~ e-t G.,e(t ) dt 0

und wegen (4)

(12)

A u s

(13)

(e- ' r . ,e ( t ) )" = e-~e.,e(t).

= _ / ' . , e ( o )

/ ' . ,e(o) = o.

(9) fo~gt

r = r Z e ( t ) - C,,e(t). Wegen (10) und (12) ist

DO

(14 ) ~ e-tG.,e(t) &.(t) d t = - - ~ e-~T'.,e(t) &' (t) dt. o o


und die Einffihrung der beiden letzten Gleichungen in (7) ergibt

2 (i,~:e(t) _ T,~, e (t))} ~'(t) d t = O. (15) ~ ~-~ {r-,e(t) + ~;,e 0

Da •'(t) ein willkiirliches Polynom (n -- 1)-ten Grades ist, so hat man die Differentialgleichung

_ 2 / F , lt~ ~ , (16) Fn, e(t ) + Tn, e~ ' n, et , - - n,e(t)) = CL~( t ) ,

wobei die Konstante C noch zu bestimmen ist. Man definiere nun die Diffe- rentiMoperatoren D E (x), D * F (x), A F (x) dutch die Gleichungen

(17) D F (x) = F ' ( x ) , D * F (x) = F ' ( x ) - - F (x), A F (x) = F " ( x ) - - F ' ( x ) .

])ann ist zun~chst

(18) A F (x) = D D * F (x) = D* D F (x).

Eine LSsung der Differentialgleichung (16) bildet offenbar das Polynom, welches durch die Forme]

o9)

dargestellt wird, wobei na t~ l ich

(20) AoF (x) = F (x)

zu setzen ist. Wegen (18) und der Vertauschbarkeit der Symbole D und D* ist

A"F (x) = D" D * ' F (x). (21)

Da ferner

(22)

ist und mithin

(23)

so hat man

.D* ti' (x) "-- ez d ( e - Z F (x))

d y D * ~ F ( x ) = e z ;--j(e - z F ( x ) ) , dx

d v d v e ~

d x ~

Daher ergib~ sich bei Einffihrung yon (1)

1 d v /et ~ d "+v ) (25) A ' L , ( t ) - - n! dt" ~ dY (e-ttn)-"

Die Gleichung (19) l~l~t sich daher auch schreiben

e o~ (_l) ,~;e_ (e_te). (26) T'n,e (t) = n~ �9 dt ~

13"

184 E. Schmidt.

Dieses Polynom ist das einzige, welches der Gleichung (16) geniigt. Denn g~ibe es zwei, so miiBte ihre Differenz die Gleichung bei verschwindender rechter Seite befriedigen, was unmSglieh ist, da der erste Summand auf der linken Seite yon hSherem Grade ist als der zweite. Dar ius folgt zun~chst, dab zu einem Werte yon zn, e nut ein einziges Polynom T'~, e und mithin aueh nur ein einziges Polynom Gn, e gehSren kann, wobei der Grad yon In, e und mithin auch yon Gn, e genau n i s t . Der konstante Faktor C wird dann durch die Gleichtmg

(27)

festgelegt.

~o e - t G~,e(t)2 dt = 1

Da nun die Polynome G=,~ und G~,g ftir v ~ ,u zueinander orthogonal und mithin verschieden sind, so ergibt sich auch ~n, �9 ~ zn, ~. Die Eigen- werte ~n.1,2 72n,~ - �9 �9 ~2n, n sind also alle versehieden. Aus (12) und (26) folgt end!ieh, daB die Gleichung n-ten Grades in

~t

(28) (-- 1) etdtn+ ~ (e- t l n) ~ = 0

n voneinander versehiedene positiveWurzeln besitzt, welche die n Eigenwerte

Diese mSgen der GrSBe naeh geordnet werden, so dab

(29) 0 < Tmi < T~, 2 < Tn, n

wird. i u s (26) und (9) erhalt man jetzt f/it die gesuchten Funktionen G,,,e die Formel

n~ ~( - - 1)'%~.e dt---~ etdt-+,+~ (e-ttn) '

wobei der l~aktor C dutch die Normierung (13) bestimmt wird. 3) Urn .die Koeffizienten der Gleichung (28) auszurechnen, fiihre man die

(n § v)-faehe inhere Differentiation nach der Leibnizschen Formel aus. Bertieksiehtigt man, dal3 bei der naehfolgenden auBeren v-fachen Differentiation nut das t" enthaltende Glied an der Stelle t =- 0 einen nieht versehwindenden ]3eitrag liefert, so ergibt sich

(31) d '(etam+~ ) ( : : ) , ( n - { - ~ dr--- i dtn+,,(e-tt ~) --- n! -k- .~- n . \ 2~, ] t --~ O

Y

# - - = n + 21

wobei On, , dutch die Gleiehung w 3 (5) definiert ist. dieser 1%rmel erh~It die Gleichung (28) bei der Substitution

(32) (n + �89 ~ = ~/~

Durch die Einfiihrung

tJ'ber orthogonale Polynomensysteme. 185

die Gestalt

(33) r = 0,

wobei das Polynom .r durch die Gleichung r t o o

(34) ~5~(~) _~ (-- 1)~ va ,,~2~ --- L ' o ' (2~)! 0

gegehen ist. Wie im w 3 ~folg~ hieraus

(35) lira ~b (~) -- cos ~/, ~ - - & c o

( - 1)~ t ~ ~2~

wobei die Konvergenz in jedem beschr/~nkten Bereich der ~-Ebene gleich- m~t~ig ist. Die Gleichung (33) hat, wie aus der Transformation (32) und den unter (2) gemachten Feststellungen hervorgeht, die n positiven, verschiedenen, der GrSl~e nach aufsteigenden Wurzeln

(~36) v,,,~ = (n + �89 v.,x, V,,2 = (n + �89 ~ , .2 , . . - *l-,e = (n + �89 ~. ,e.

Wie in w 3 ausgefiihrt, folgt nach einem bekannten Satz der Funktionen- theorie aus (35), dal~ diese Wurzeln gegen die positiven Wurzeln der Gleichung

(37)

konvergieren.

(3s)

cos ~/ = 0

Man hat daher

lim n + y T~,e=- 2 - - 0 ~ 1 , 2 . . . .

Eine genauere Diskussion in w 9 ergibt

(39) ~n,e - - (n -4- -~) 24 (n -t- 3) 2 + 0 + ~), , q - - 1, 2 . . . .

Insbesondere hat man fiir n > 2

=~ R } 8 4 1 - - - - - - (40) ~n,1 ~- 2n-~-1 24(2~-4-1) ~ -~- (2n-~- l ) ~ ' 3 < R < ~- .

4) Stellt man das willkfirliche Polynom ] (t) yon nicht hSherem als n-tern Grade in der Gestalt

(41) / (t) ---- or Go(t) --[- ~ , a% G~,,(t)

dar, so folgt aus den Orthogonaliti~tsrelationen (4), (5), (6)

(42)

e t ] , ( t ) 2 d t --~-- 1 v "l;n, ,~

oo n

It o l

186 E. Schmidt.

Da nun z'~, t den kleinsten Eigenwert bezeichnet, so erh~lt man

_ 1 (43) M* ~ , ,

wobei Mn .2 wie in der Einlei tung das Maximum der l'inken Seite yon (42) bedeutet , und zwar wird dieser Maximalwert bis auf den tr ivialen willkiirlichen kons tan ten Fak tor nur yon dem Polynom

(44) [ (t) = G~, z (t)

erreicht. Die Einf i ihnmg yon (40) in (43) ergibt

2n2v1 1 8 4

(45) M * -- ~ 1 - - 24 (2 n -1- 1) ~ ~- (2 u "-I" 1) a

Damit ist die in der Einleitun 9 angekiindigte Gleichung (16) bewiesen.

w

D i e H e r m i t e s e h e n P o l y n o m e .

Es bezeichne H . (t) das n-re Hermitesche Polynom

(1) H o ( t ) -- 1, H, ~( t ) = ( - - 1) n e t2 ( e - %

Dann ist bekanntl ich

+~ {o (n:~m) (2) - ~ e - t ' H ~ ( t ) H ' ~ ( t ) d t = 2 n n ! ~ ( n = m ) "

Nun ist fiir 0 ~ . m = < n - - 2

(3) ~ e -t~ H,~(t) t ra+l dt = 0 w O O

und mithin

(4)

- t - ~ + c o -t-oo

: t2 , __ H , , ( t ) t "*+z e--t2H:(t)t'~dt ~ e- H:(t)t'~dt 2~ e -~2 dt

+oo d +co

= ~ ~ ( e - t 2 H ~ ( t ) ) t ' ~ d t = - - m ~ e - t~Hn( t ) t ' -Zd t=O. - - 0 0 - - 0 0

/ /~(t) ist also zu allen Polynomen von nicht hSherem als (n -- 2)-tern Grade orthogonaI, und man ha t mithin, da der Grad von H i(t) n -- 1 ist,

Hi(t) = (7/:t,~_, (t). Da der Koeffizient der h6ehsten P ~ e n z von t i m Polynom H~(t) 2" ist, so folg4 C = 2 n. So erhal t man die bek~nnte GIeichung

(5) H'(0 = 2 nH~_ 1(0-

]~ber orthogonale Polynomensysteme. 187

Wegen (2) gelten also noch die Orthogonalit~tsrelationen

+~ ~0 (n:~m) n = 1 , 2 . . . (6) ~ e -t2 H ' ( t ) H~ (t) =

-~ ] 2 n 2 n n ! ~ ( n = m ) r e = l , 2 . . .

Die Hermiteschen Polynome sind also schon selbst nebst ihren Ableitungen zueinander orthogonal.

SteUt man daher das ~illkfirliche Polynom /(t) yon nicht hSherem als n-tern Grade in der Gestalt

n

(7) / (t) = ~ + 1~-', a, H , (t)

dar, so ergibt sich

+ c o n 2 S e-t2f(t) ~dt x-" 2 v 2 " v l ~ c r

- - ~ 1 (8) - - --e- o O / t

- - c o 1

Man erh/ilt so

(9) M * * - - ]/2n,

wobei wie in der Einleitung M *.2 das Maximum der linken Seite yon (8) bezeichnet, und zwar wird dieser Maximahvert bis auf den trivialen willkiirlichen konstanten Faktor nur yon dem Polynom

(10) / (t) = H,~(t) erreicht.

Damit ist die in der EinZeitung au/gestellte und allerdings sehrnaheZiegende Formel (19) bewiesen.

w

Die genauere Diskussion der ersten Eigenwertsgleiehung.

1) Es bezeichne S~,~ die elementarsymmetrische Funktion p-ter Stufe

der m ersten in der Gr613enfolge ul , u 2 , . . - , so dab also

(1)

(2)

wird.

(3)

m // t

Man setze ferner

S ~ , 0 - - 1 unct ftir p > m S~,~=-0..

188 E. Schmidt.

Dann hleiben die Rekursionsformetn '(2) fiir alte Wertepa~re m ~ 1, p =>_ 0 giiltig. Man "definiere jetzt Rm, q dureh die Gleichung

m q - 1

(4) H . (1 - -u . ) = ZoV(--1)PSm,~,+(--1)qR,~,,,

welehe fiir q =- I die Gestalt

(1--/%) = 1 - - n ~ , 1

Dann erhs man fiir q = m q

Rq, q = q u Uu

(5)

annimmt.

(6)

und ftir q > m

(7) ferner fiir q > 2

(s) R,~ ,q-1 = S,~,~-1 - - R ~ , . .

Ersetzt man bier q durch q + 1, so folgt

(s') R~,~ = S~,~ -- R,,~,~

und aus den letzten beiden Gleichungen

(9) R~,q_~ = S,.,,q_l -- J.~,q-l- R~,o+I.

Aus (4) und (5) ergibt sieh bei Berficksichtigung yon (2) fiir q ~ 1

1//~ (1-- u~) -- (1-- u~+l) (--1)~S,~,~,q-(--1)qR~,q q - 1

== oZ~ (-- 1)~ S~+1.~ + (-- 1)q u,.+~ S,~,q-1 + (-- 1)e (1 --u.~+t ) R~.q.

Subtrahiert man hiervon die Gleiehung (4), naehdem man in ihr m dureh m + 1 ersegzt hat, so er~bg sieh

(10) R,~+l,q = Um-.rl ~'~m,q--1 + R~,q(1 --u~+1)

und bei FAnfiihrung v on (8) ftir q >_ 2

(11) R~+~,~ = R~,. + u,~+~ R~,,_~.

(lem~iB (2) hat man endlieh aueh fiir q ~ 1

(12)

Wit

(13) and

,(14)

maehen nun die folgenden Voraussetzungen. Es sei fiir alle /z

% > 0 es sei ferner f~r~alle m

1//~ (1 - - u . ) < ' L

~ber orthogonale 1)olynomensysteme. 189

Die letztere Voraussetzung ist immer erf.fillt, wenn auBer (13) noch fiir alle/~

(is) % ~ 1

gilt. ]:)iese u soll aber bier nicht gemaeht werden. Gilt nurr

(16) ffir m > q -- 1 R~,q_l > 0,

so folgt aus (11) und (13), da wegen (6) und (13)

R~,q > 0 (17) ist, dag

(18)

bleibt.

f i i rm>q R~,q > 0

Da nun wegen der Voraussetzung (14) ffir alle m

(19) R~, 1 > 0

ist, so ergibt der InduktionsschluB von q -- 1 anf q, dab fiir ,q > 1, m > q

(20) R~,~ > 0

Daher hat man wegen (8') ffir q > 1 m > q bleibt.

(21)

und

(22)

Aus

wegen (9)

S~, q > R~,q > 0,

(20) folgt ferner noch ffir m > q

~'~m,q > R,n,q+I

- - k~m, q+l"

q--1 (23) bei ungeradem q 1//u (1--ug) < l~'v (-- 1)v ~q.~,~,

m q--1

(24) bei geradem q q , (1--u~) > 0Zv (-- 1)v S~,v.

2) Wir maehen jetzt auger der Voraussetzung (13) noeh die Voraus-

setzungen

(25) fiir # < 1 u~ ~ 1, uz+l = 1,

wobei t eine ganze positive Zahl bedeutet. Aus (13) und (25) folgt offenbar (14). Ferner ergibt (10) ~egen (20) ffir m > q

(26) R~+l,q < u,~+l S~,q-1 + R~,e.

Ersetzt man in (10) m ~- 1 dureh m, so erh/~lt man

(27) R~,q = u~ S~_1,~_~ + R~_l, q ( 1 - u ~ )

una daher wegen (25) fiir ff ~ m ~ 1 A- 1

190 E. Sehmidt.

Aus (26) fotgt ftir m => q

(29) ~ + l , ~ ~m, q

Wegen (28) gilt daher

(30) fill" 1 ~ q -< m <= l -~- I "Rm + l ' q tr

Setz t ma,n je tzt q---- 1, so wird

~m, q--I

<1-}--

(31) S~ ,q_l -- S~,o = 1,

und man erh i l t ffir 1 ~ m ~ 1 + 1

(32) /~m+m,~ < 1 -b u~+! . i~m, 1 '~t'.ln

Setz t man q = 2 , so wird f f i rm>__2

~m, q--1 Sin, 1 (33) 8~_ 1. q-1 -- ~m21,1

wobei fiir m = 2

um2C Um-l + S,a_2, i u~_ i q- S,,_2, i

S,~_.z, i durch Null zu ersetzen ist.

Sin, q--1 _~< Um ~- N - - i . s ~ _ i , q _ i % - I

(34)

Die Einftihrung in (30) ergibt

(35) ftir 2 _ m ~ 1 -k 1 R~+1'2 < 1 + Um+l Rm, 2 um

]~s sei nun m :>" Z ~- I. Dann hat man wegen (5) und (4)

(~) R~,~ = 1, R~,2 = & , ~ - 1.

Mithin wird fiir m _>_ 1 + 1

(37) /Ca+i, i __ 1,

~m ~qm--1, q-1

manden u~+i, der gem/~B (25) gleich 1 ist. Daher ist fiir m ~ l ~ 2 S ~ _ I , i -'- 1 > 0. Aus (38) folgt daher

(39) ffir m _> Z -{- 2 R,a+i, s .< u~+i -t- u~ = 1 -~- um+____l. ~ , ~ % ~

Aus (32) und (37) ergibt sich, dab unter den Voraussetzungen (13) und (25) die Ungleichung

(40) Bm+l'l < 1 Jr um+'i

0

Bm+l,i -I um+i ~- um #- (Bin-i, i-- I)

Sin, i -- i -- u~ d- (Sin_i, i-- i)

m -- 1 ~_ 1-~ ], lind ~qm- 1, i enth~tt daher den Sum-

~m+1 + ~ - i "

(3S) R~+l'2 = ~ , ~

Nun ist ftir m ~ l q- 2

Aus (33) folgt

Ober orthogonMe Polynomensysteme. 191

flit alle m > 1 gilt. Ebenso ergibt sich aus (35) und (39), dag die Ungleichung

(41) R~, 2 Um Um--1

fiir MIe m ~ 2 gilt. Endlich folgt aus der Voraussetzung (13) fiir p _> 2 leicht die Absch.Xtzung

(42) 1 S~,~ < V., ~ . ~ .

(43)

3) Wir kehren jetzt zu unserer Eigenwertgleichung w 3 (11), (12) zurfick.

Man setze (~ - �89

u~ - (~ + ~)~.

Dann sind die Voraussetzungen (13) und (25) erfiillt.

(44) S~,v -- p

~m,p

Man setze ferner

/)ann ist S~,p

(45)

Ma~n erh/ilt

(46)

die symmetrische Funktion p-ter Stufe der Zahlen

u~' = ( # - - � 8 9 # = 1 , 2 . . . m .

S ' __ � 8 9 3 _ i m, 1 - - i~ m,

und gemfig (42) ffir p > 2

, 1 1 . v < 3PT ! (47) Sin, v < ~ ~- ma -- m ~ �9

Es ist fibrigens leicht, die S' durch Polynome in m genau darzus~ellen. I)enn die symmetrischen Funktionen lassen sich durch die Potenzsummen d~rstellen und diese wegen (45) din'oh die Bernoullischen Polynome. Die Einffihrung der Formel (4) des laufenden Paragraphen in w 3 (5) ergibt

q--1 Z (__ 1)~Sm, v (48) Ol, m --- 1 + ~ (~ + �89 -~- ( - 1)ql~m'q'

1

wobei wegen der Ungleichungen (21) und (47) de5 laufenden Paragraphen

(49) 0 < Rm, q <

ist.

8m, q 1 ~ 3 q q+�89 < ~)2q aqq: ( z + -

Bei :Einffihrung dieser Formeln in w 3 (12) erh/ilt man fiir q = 2

(50) C o

i - ~ (-- i ) ~ , ~ r 9,In) = c o s ~ - q + !) ~ , (2,): S~,,~ r(n),

192 E. Schmidt.

wobei o o

(51) r ( n ) = ~ " - - Y

1

ist und mithin

(-- 1) ~ (2,,) : R~*, 2~2"

~ ' 4 ~ + 2

(52) 1 o ~ ~4~,+2, 2V - ( ~ + � 8 9 , ( - ~ - ) ~ < ~'(~1

$

! ~ $4v, 2 4,. < (l "4- �89 , (4 ,,)!

Die absolute Konvergenz der in den letzten Gleichungen auftretenden l~ihen ist durch (49) gesichert. Man erh~tlt aus (52) und (49) fiir

0 < ~ < a g , ~ > 0

(53)

wobei

(54)

(55)

•f•tl ~e < r(~) <

0 ' - - 1 ~ (4v) 6 (~:~)4~ 18 ~ (4 *9'

0" - i ~ ~-(4,, + ~)~ (.~14.+2 - - Y~ ~ ~ , 14~, + 2)!

Wir wollen jetzt die auf der rechten Seite yon (50) auftretende Reihe in ge- schlossener ])'orm summieren. Man hat wegen (46)

(56) , ~ 5 ~,Y., ,.,3,, 1 ~ 2 , = N , (2 ,,): - - !-~ , (2 ~,)----T "1 1

Nun ist, wenn E(x) durch die Potenzreihe

(57)

dargestellt wird,

(5s)

(59)

F (x) =: Z,a,x" 0

xF' (x) = Z , a ,v x', 0

x2F"(x) + x$"(x) = x ( x F ' ( z ) ) ' = X,a,~x', 0

(6o) x3F'"(z) + 3 ~ F " ( z ) + zF'(x)

= =

Setzt man hier

~1) F ( x ) = c o s x , z = ~,

~be r orthogonate Polynomensysteme. 193

~o ergibt sich o ~

(62) . ~ �9 1

(-- 1)" (2 v) ~3 sin (2 v).' = -- 7 7,

o o

- - 1)v (2 V) $ 7 2 v (63) ~ ((2 v)! 1

= (7 3-7) sinT-3~2cosT-

Die Einf i ihrung in (56) ergibt

o o

(_~ )~ , 7 2, 1

(4 v3 - - 3 ~) 12

~Die Gleichung (50) erh~ilt also die Gestalt

sin 7 -- ~2 cos 7.

(65) ~t (7) = cos ~ -- (4 ~73 -- 3 ~/) sin ~ -- 1 2 ~2 cos ~ + r (~]), 12(l+~ F

wobei wegen (53), (54), (55)

(66) r (7) =- 0 (1 + �89

(st.

TJm nun die mi t unendlich werdendem 1 gegen ( a - �89 konvergierende

Wurze l zu best(tureen, setze man

(67) 7 = ( ~ - � 8 9 ~-

] ) ann erh/~lt die Eigenwertsgleichung

(6s) ~ ( 7 ) = 0

nach Division durch (-- 1)e -1 die Gestalt

(69) sin ~ - -

+~" -=0, 12(z+ )2 wobei ~- durch (54), (55) ftir ~ = ~ abgesch~tzt wird. Betrachtet man nun r

zuni~ehst als unabh~ngig Veri~nderliche, so gestat tet die letzte Gleiehung 1 naeh Potenzen yon u n d r zu entwiekeln. Man erhii, lt, wenn man die

+ 1

Glieder gemeinsam absch~tzt, welche r in mindestens der ersten oder (z + �89 in mindestens der zweiten Potenz enthalten,

(7o) 1

194 E. Schmidt.

Da die im w 3' mi t r/l,~ o

(71) durch die Gleichung (72)

bezeichnete Q-re Wurzel der Gleiehung

~o~(~) = 0

v,,,o = (e - ~ ) ~ -

gegeben ist, so ergibt die FormeI (70) die zu beweisende Formel w 3 (18). I m n/~chsten ParagTaphen soll die im "Res$glied der Formel (70) noch

unbes t immt bleibende Kons tan te flit den Hauptfa l l ~o - -1 abgeseh/~tz$ werden.

w

Die Absehiitzung tier Restgliedkonstanten.

Man ha t gem/~B w 3 (11), (12) und w 7 (51), (65) die folgenden Dar -

stellungen: o O

(1) ~ t ( ~ ) -= , (2 v)------Y , 0

(2) ~z('~) = ~ , (2 v - - I)! ~,2,~ , 1

(4 ~s __ 3 ~/) sin ~ - - 12 r/2 cos (3) ~(~) = cos ~ - -

12 (z + �89 + r (V),

(4) ( - - 1)"

r ( r / ) = (2, , ) , R2 2 , �9 , 2 ~ - I

Da die v~z, 2 ~ mi t wachsendem v, so lange sie =~ 0 sind, abnehmen, so n i m m t in der Reihe (1) der Bet rag der Glieder mi t wachsendem v, so lange er :4= 0

ist , ffir ~ < ~ /2ab . Daher h a t die Summe, da die Vorzeichen abwechseln, das Vorzeichen des ersten Gliedes. Mithin ist also

e

(~) f ~ 0 < ~ _< l /Y, ~( ,~) > o.

]~benso schlieBt man aus der Reihe (2), dab

(6) ff ir 0 < ~ < _ , ~}07) < 0

ist . Wegen w 7 (41) und (43) ist nun

Berficksichtigt man, da$ die rechte Seite yon (7) mi t wachsendem v abnimmt,

so sieht roan !eicht, dab ffir 0 < ~7 ~= ~" in der Reihe (4) die Betr~ge der


Gl ieder v o m d r i t t e n an a b n e h m e n , so d a b also der B e t r a g ffir v = 3 schon

gr6Ber is t als f t ir ~ = 4. D a r a u s fo/gt

(8) fiir0_<__ ~ / < = - ~ r(~/) ----- - - R 2 , 9 . - ~ - + R ~ , 2 ~ . - - R 6 , z E + O R s , 2 ~ . , ,

wobe i h i e r wie in de r Fo lge das S y m b o l O e inen F a k t o r zwischen 0 u n d 1

b e d e u t e t , de r a b e r be im j e d e s m a l i g e n V o r k o m m e n ve r sch i eden sein k a n n .

N u n is t gemfig w 7 (4), (21), (22)

s; , ~ s l , .2 s; , s s l , (9) Re , "2 - - (l + 1 ~ , ' ~, ( z + � 8 9 ( z + ~ ) 6 < R 4 ' 2 < ( z + � 8 9

(z + �89 (z + ~)~ < R6, 2 < (t + �89 o < / ~ 8 , o. < (z + ~),"

Fi i r 1 >-- 6 g i l t d-~her a u e h

, 1 , , 1 S , $4, 2 - - ~22S4, 3 & , z - - T~ 6,~

( , o ) > ' < " > "

Man e rhg l t f e rne r n a e h der R e k u r s i o n s f o r m e l w 7 (2)

p

$1,2 - - 0, ( I I )

1 10 , 35 S ' 84 , 165 S ' 286 -s165 u 4 , 1 = u 8;,~ - - 4 ' 6,1--- 4 "

, 455 , 680 ST, x = -2-' S; ,1 - 4 '

, 9 , 259 , 1974 , 8778 $ 2 , 2 - - - ~ - ~ , $3, 2 - - - 16 ' $4, 2 = - 16 ' $5, 2 = - 16 "

, 179 452 , 77 077 $8, 9 - - , , 28 743 $7, 2 - - , - - " $6,2 - - 16 ' 16 16

S' ' , 225 , 12 916 , 172 810 t, 3 - - - 0 , $ 2 , 3 - - 0 , $ 3 , 3 - - - 64 ' $4,3 - - 64 , $5,3 - - 64 '

1 234 948 S' 6,3 = 64

Aus (8), (9), (10) fo lg t

r ( ~ ) < ( z + � 8 9 2 + & , 2 - ~ . , - S ; , 2 - ~ 6 , 3 V . + S s , z 8'.1"

Bei E i n f i i h r u n g y o n (11) erh'~lt m a n

23~ 7/4 4- 179 452 ~'+ �89 l, ~ / ' - - ( 4 - 2 8 7 4 3 1 948)~_. + 8' ~/~1 r (~) < , - 18 q- 1974 ---

64 (z

u n d m i t h i n a f o r t i o r i

(12) r (7) < 64(1 -t- �89 {-- 18 4- 329 ~/2 _ I18 ~/4 + 18 ~6}.

D ie A b l e i t u n g des e i n g e k l a m m e r t e n A u s d r u c k s n a c h ~ is t

329 - - 236 ~ 4- 54 r/a ,

196 E. Schmidt.

und da

ist, stets positiv.

r (~) <

und a fortiori

03)

~ ~ - ( ~ I - 7 > o

~ ~s, ~rO < ~ < " wegoo (~)~ = = - ~ < - ~

5 { - - - 118- + 18. } 128 ( / + �89 -- 18 + 329- 52 25T 125_8_

14 r (7) < (~ + ~-)*"

'Gem/~B (3) ist daher zun/~chst

~ ) ~,(-;) < _ ~ ( ~ + ~ ) ~ +

und wegen der Voraussetzung 1 ~ 6

(~)~ 4 - 3 y , 4

(15) q~l(2) <( /+ �89 ~-~} < 0 .

Bei Berficksichtigung yon (5) und (6) folgt hieraus, dab die Gleichung

~16) q~ (r]) ---0

5m ~terval l 0 < ~7 < ~ eine und nur eine Wurzel hat, und dab diese im

Interval!

(~7) V ~ < r <

liegt. In diesem Intervall soll jetzt r (U) auch nach unten abgesch~tzt werden.

Wegen (8), (9), (I0), (11) ist

r(v) > - - Re, e y-- i - R4,~ 4:

[ Rs, -g. > (1 + �89 I 2 -~- ~ 4 , 2 - 42 / 4-~. --$6,2 6!I

-- ~ (329 12 916~ ~ 9- 4-28743 4~ - - 6 4 ( 1 + �89 { - - 1 8 + ~ . 4 ! ] - - 6! ~)

- - -- ~ (329 -- 3229~ ~2 _{_ 9581 _ ~(~ + ~),{+ 1~ - ~ ~ }

_Da der Differentia~lquotient des eingeklammerten Ausdrucks nach U2 fiir

> 2 posit ivist , und da ~ < y ist, so folgt, dab der Ausdruck fiir

] / 2 - < , < " = ~ kleiner ist als

, 32~2)5 9581 25 1 8 - - ( 3 2 9 2 - + 60 " T <:226"

~ber orthogonale Potynomensysteme. 197

Daher e rh i l t man fiir 1 ~ 6 und < ~ g -~

- -5 8, 9 (18) r(~/) > 226 > ~28(~ + �89 (z + �89 Nun ist

(19) d-~ {(4 r/a -- 3 7]) sin ~ -- 12z/2cos 7]} = (24 7]0 _ 3) sin 7]-- (27 7] - 4 ~3) cos 7],

und da wegen 7g

(20) 1/2 < 7] <

(21) ist,

(22)

0 < (27 ~1 -- 4 ~3) cos r] < (24 ~l 2 -- 3) sin 7]

0 < ~-~d {(4~/s--3~/)sin~ - 1 2 12~fcos~} <

Daher ha t man

( 2 3 ) (4 V ~ - - 3 z]) s i n ~ - - 12 ~ cos 12

(24)

(24 ~ -- 3) sin < 12

< 12

< 12 ~ 24

( 4 ~ 3 ~ / ) s i n ~ 1 2 ~ c o s ~ > 24 12 8

57 < ~ < 5 .

7t

8 '

Nun erh/~lt die Eigenwertsgleiehung

(25) wegen (3) die Gestalt

(26)

~,(7]) = o

Wegen

_(4 ~/a _ 3 7) sin ~t - - 12 ~ cos ,] COS 7]

1 2 ( z + � 8 9 ~

(23) und (18) ergibt sich also, wenn man

- r (7]).

(27) ~ - - ~- --

setzt, (~rs ~ ) 1 8,9

(28) s in~ < ~ g (Z+�89 + ( l + � 8 9

Ebenso folgt aus (24) und (I3)

1

N u n ist f~r ]zJ < 1

5(z ' i4

(30) -~res inx-~ x - ~ y y - l - ~ . ~ 5 " ~ 1 - 2 - ~ 7 " ~ ' ' " !

und mi tk in fitr 0 ~ x ~ / , z~

(31) arcsin x < z + T "

Mathema~sehe A n n a l e n . 119. 14

198 E. Schmfdt.

Aus (28) folgt

(32) < arcsin { ( ~

und mithin wegen (31) und 1 > 6

) 1 8, 9 (33) ~ < ~ 8 (~+

Ferner erhalt man wegen 1 > 6

(34) ( zt3 1 8,9 +

zt 1 8, 9

1--8- 24 zr 1 8,9 8

( ~ - 3) < 24 (z + �89 -t

7zt 9 (~_ .~_ 9 ) + ~2 (z + �89 < q + �89

Mithin wird

1{( ~ ~ ) (35) T ~ 8 q + � 8 9

I)ie Einfiihrung in (33) ergibt

(36) ~ <

7

(z + �89

8,9 }3< 1 ( 7 ) 8 1 1 1 1 (z + �89 -5- 42 (z + �89 < TG6 "(t + �89

g~3

24 8 + (l + �89 9

(z + �89

(3s)

und wegen

Aus der letzten Gleichung folgt, wie schon unter (34) gezeigt, 7

(37) ~ <, 6 (z + �89

Die ]~infiihrung auf der rechten Seite yon (29) ergibt

(~t 3 ~t) 1 20 sin~ > ~-~ 8 (/+�89 (l-b�89

> sin ~,

24 8 20 (39) ~ > (z + �89 (z + �89

Fiir die im w mit ~h, I bezeiclmete k]einste Wurzel der Eigen~iertsgleichung

erh/~lt man daher wegen

gem/~B (39)

~(~) = o

'h,, - - T -

~ 1 12 4


und gem/~l~ (36)

(41)

Wegen,

~t~ I

~z,1 > -~- 1 12 4 18 .

40 < 13 und 1__8 < 6

enthaltert die Ungleichungen (40) und (41) d/e ~'ormel w 3 (19), die allein noch zu beweisen war.

w

Die genauere Diskussion der Eigenwertsgleiehung im Laguerreseh~n Fall.

1) Die Eigenwertsgleichung w 5 (33), (34) erh'hlt durch die Einfiihrung yon w 7 (48), (49) ffir q = 2 die Gestalt

(1) ~ . (v) = o,

wobei o o

1 l f f (--1)f ,~, (2) r = cos n - (~ + }/2 ~ (2 ~): - , ,

c o

Z (-- 1)" R~,, 2 ~2~, (3) r (~) = , (2 ~) ! 1

~2v 1 + r (V),

zu setzen ist und mithin auch die w 7 (52) entsprechende Abschgtzung

(4)

gilt.

(5)

(6)

wobei

(7)

(8)

t

t O ~ $2v+!,2 (~ + })~ , (4 v + 2),

~ ~+2 < r (~) <

o o

1 1 ~ $2,,,2 /]~tv (n + �89 ~ (4 v) !

Man erhglt wegen w 7 (49) fiir

0 __< ~/ < = . ~ , ~ > 0

C v* G' (- + })~ < r (n) < (~ + �89

"30

C" ~- I Z (2~,)6 (ocvr) 4" - - I-~ , (4,,), '

o O

I-o.o~ (2v--l- I)O ~)4~+2 O " - - f ~ ,, (4~,- .}- 2 ) ! (o~ �9

I4"

200 E. Schmidt.

Ferner hat man wegen w 7 (46)

(9) Y

1

o o

(2 ~): = -~ , , (2,,)t - ~q , (~ ~),

24 ~ ( 2 v ) : 2~ ~ , ( 2 v ) !

und bei Einffihrung yon w 7 (62), (63)

(10) Z ( -1 )" , 1 l a s i n ~ l _ 8 ~ / 2 c o s ~ . ~ (2 v) l S,, ~ ~t ~" = 2-~

Die Gleichung (2) erh~tlt also die Gestalt

(11) ~,,(~) = cos ~ --

wobei wegen (6), (7), (8)

(12)

ist. Bezeichnet man wie w 5 (36)

V3 s in ~? - - 3 ~ - cos

die mit unendlich werdendem n gegen ( ~ - �89 konvergierende o-te Wurzel der Eigenwertsgteiehung (1) mit ~n, e und setzt

= - ~ ) ~ (]3) v,,,e (e - n ,

so erhalt man fiir ~ ganz wie im w 7 die der Formel (70) entsprechende Formel

= 2 4 - - (~ + !)2 + o (~ + t) ' "

Aus den letzten beiden Gleichungen ergibt s~ch wegen w 5 (36) die zu beweisende $'orm'el w 5 (39).

2) Wir wollen jetzt die im Restglied der Formel (14) noch unbestimmt bleibende Konstante flit den Hauptfal l ~ = 1 absch~tzen.

Man hat die folgenden Darstellungen oc~

(15) ~ . (7) = ~ ( - 1)" 0. , . ~ " o " (2v)'

( 1) v (16) ~ ( ~ ) = , (2 , . - - 1),

1

�9 fi sin ~/-- 3,t~ cos 07) r (~} = cos7 - 24 (,, + �89 + r(n),

O o

r (7) = --~.," ( - !)" R,;2 ~q~'. (IS) I " (2,9'

~ber orthogonMe Polynomensysteme. 201

Wie in w 8 ergibt sich zun/tchst aus (15) und (16)

(19)

und ffir

(20)

f~r o g 7 < ~/2- r > o

o < 7 < q~.(~) < o.

Wegen w 7 (7), (41) und (43) ist nun

(21) R~,2 = 0,

und ffir v > 2

(22) R,+a,____~ < 1 + (v -4- �89 + (v + �89 R,,~ (~-- ~), (~-- ~)~'

und hieraus schlieBt man ganz wie im w dab in der Reihe (18) ffir 0 < 7 < ~ ~ 2

die Betrgge der Glieder vom dri t ten an a,bnehmen, so dab also der Betrag ffir v = 3 schon gr6ger ist als fiir v = 4. Daraus folgt

(23) fiir 0 _< 7 < ~t ~7~ r~6 ~s

Nun ist gem/~B w 7 (4) und w 8 (9), (10)

' S' ' S~, 2 S~,~ .~,~ S.~,s 0 < R4,2 < (n + �89 (24) R2,2 - - (n -4- �89 Ra,2 -- (n + �89 (n + �89

und mithin fiir

(25) n > 2 t 4 ' q t

(26) S~, ~ - - ~ S ~, .~ ~s, ( . + 1 ~ , < R 3 , 2 < (n+ �89 2 ]

Dabei ist gem/iB w 8 (11)

(27) S ' 9 S ' - - - ~ - - 3 , 2 2~2 - ~ 16 '

Aus (23) folgt

259 , 1974 , ,~25 16 ' $4,2 - - 16 ' $3,3 -- 64

(28)

und mithin

r < ~., -- R~,eS-..6-k- R-~,25.6.7.81

~/4 { ( 4 225) n ~ 1974 l (29) r(71) < 1 6 - 4 ! ( n + � 8 9 9 - - 2 5 9 - - 2--5" 4 ~ -{- 5 . 6 - 7 - 8 74

16"4!(n~- �89 4 _ ~ ~_~y/~} < 16. 4 !(n + �89 {9 _ -3-25 72 + "4"5 74}.

Der letzte eingeklammerte Ausdruck auf der rechten Seite n immt abet ffir

~t V2 negativ. D~her ist 0 ~ ~ ~ -~ mi t wachsendem ~ ab und ist fiir 7 =-

(30) ffir n ~ 2 u n d r :g _ = = y r (7) < 0.

202 E. Schmidt.

Andererseits ist gem/~l~ (23)

r ( ~ ) > ~., {R~,

und mi th in

r(n) >

~ - Ra,~ ~n.-~}

~6 .4 , (~ + �89 9 , , p _ r

> ~6.4, (= + �89

und mi th in ffir ~/2 <_~ < ~ ( 2 ) ~ 5 _ = ~ wegen <

(3~) r(V) > -

Aus (17) und (30) folgt

(32)

5 2 5 9 (~) (~ - 1) 2 1 i6 .4. , (~ +~1~ > 9 (~ + �89

I n Verbindung~mit (19) und (20) ergibt sieh daher, dab die Gleichung

(33) Cn (~) -= 0

ftir n > 2 im Intervat l 0 ~ ~ < -g eLne und nu t eine Wurzel hat , und dab

diese im Interval t ~r~ < ~ < ~ liegt.

Nun ist

d d--~ (~a sin ~ -- 3 r]2 cos ~) = 6 ~72 sin ~ -- (6 ~? -- ~?a) cos

und mithin fiir ~f2 < ~ < :r

d (34) 0 < ~ (~)a sin ~ - - 3 ~ cos ~?) < 6 ~ sin ~? < 15.

Daher ha t man fiir < r / ~ - ~

Die Gleichung (33) erhi~It wegen (17) die Gestal t

~s sin ~ - - 3 ~f cos ,/ (36) Cos ~ - - 24 (n q- �89 - - r (~).

Wegen (31) und (35) ist daher

(37) cos ~ <

und wegen (30) und (35)

Y 24 (~ % �89 + -9- (. +�89

(38) cos ~7 > 24 (* + -~)'~ (~ + �89 "

!Sbe orthogonale Polynomensysteme. 203

Setzt man jetzt

(39) 2 ~ /= ;/'

so folgt aus den letzten beiden Ungleichungen

(40) sin ~ < 24 (~ + �89 + 9 (~ + �89

(41) sin ~i ~> 24 (~ + �89 8 (n + �89

Wegen w 8 (31) ergibt sich aus (40) fiir n ~ 2

2 t 1 Y 2 1 (42) ~ • 24 (n q- �89 -~" -9- (n q- �89 q- -5". 24 (n q~ �89 -~ 9 (n q- �89 "

Wegen n ~ 2 ist

} t t } 1 2 1 a I 2 1 5 [~4 ( . + �89 + 9 (~ + ~), - 5 ( . + �89 ~ + 9 ( . + �89

und da wegen ~r3 <: 32 der eingekl~mmerte Ausdruek auf der rechten Seite kleiner is t als �88 so folgt

1 2 1 3 1

(43) ~- 24(n-~-�89 ~" 9 (n �89 < 5 . -~ (nq - � 89 4 "~ 2000 (n q- �89 "

Die Einfiihrung der letzten Ungleichung in (42) ergibt

(44) ~ < 24 (~ + �89 ~ ~ (~ + �89

t t ieraus folgt zunachst wegen n -~ 2

(45) ~ < ~4 (~ + �89

Bei Einfiihrung dieser AbscMtztmg auf der rechten Seite von (41) erh~lt man

(46) s in~ ~> 24(~,q_�89 ~ -- 8 .24(nff . �89 ~ :> 24(~q_�89 ~ 8.24(~q_�89 ~,

und wegen ~ :> sin

(47) ~ > - ~a(,~ + �89 s. ~ 4 ~ +k)~"

204 ~E. Schmidt, ~ber orthogonale Polynomensysteme.

Fiir die mit ~7~,1 bezeiehnete kleinste gleiehung (33) erh/flt man wegen

positive Wurzel der Eigenwerts-

( 4 s ) ~ ' , ' - e -

a u s (47)

(49) rl~,l < ~ 1 - -

und aus (44)

(50) ~'~, ~ > 5 1 - -

:~= 25 1 } 24(2~-{- 1) 2 -}- 6~ (2~-~-1) ~ <~

4 :

< -2- l - - 24(2n.{_1) 2 -~ ( 2 n ~ _ l ~

:~2 8 1 } 24 (2 n -b 1)'~ ~ (2 n 4- 1)a >

~'g ;~g 8 }

Die letzten Ungleichungen ergeben wegen w 5 (36) die allein reoch zu beweiselu~e Formel w (4O).

( Eingegangen am 19. 8. 1943.)

Documents

Über die nebst ihren Ableitungen orthogonalen Polynomensysteme und das zugehörige Extremum