l er die Normenreste eines relativ-zyklisehen K irpers vom Primzahlgrad [ nach einem Primteiler I von 1.

Von

Kurt Hensel in Marburg und Helmut Hasse in Kiel.

Die vorliegende auf Grand gemeinsamer Besprechungen entstandene Arbeit bilde$ eine Fortsetzung einer kii~zlich in dieser Zeitschrif$ erschie- nenen Abhandlung des einen yon unsl). Sei wie dort k ein beliebiger atgebraiseher ZahlkSrper, der die l-re Einheitswurzel $ en~h~lt (1 beliebige Primzahl), ~ eine Zahl aus k, die nut keine l-re Potenz in k ist und K der durch die reine Gleichung

definierte relativ-zyklische KSrper vom Primzahlgrad 1 fiber k. Es soil dann bier die Frage nach dem Normenrestcharakter (h r. R., S. 2) der Zahlen fi von k in bezug auf K fiir den a. a. O. noeh ausgesehlossenen, sehwie- rigs~en und zugleich wichtigsten und interessantesten Fall vollsti4ndig be- antwortet werden, dab der zugrunde gelegte Primteiler ein Teiler ~ von 1 in k ist.

W~hrend die Resultate ffir den in N. R. behandelten Fall eines zu 1 primen ~ im wesentlichen mit den S/~tzen der Hilbert-Furtw~nglerschen Theorie ~) fibereinstimmen und sich yon jenen nut dutch die u. E. natur- gem;4$ere Behandtungsweise unterseheiden, was set'on in tier viel einfacheren Definition des Normenrestcharakters (N. R., S. 2) deutlich zum Ausdmck kommt, werden die Ergebnisse dieser Arbeit erheblich fiber die entsprechenden

1) K. Hensel, ~ber die Normenres~e und Nichtreste in den allgemeinsten relativ- Abelsehen ZahlkSrpern, Math. Ann. 85 (1922), S. 1--10, im fo]genden zitiert mit N. R.

9} Siehe etwa D. Hilbert, Uber die Theorie des rel.-quadr. ZahlkSrpers, Math. Ann. 51 (1898), S. I ft., u_nd Ph. Far~w~ngler, tYoer die Reziproziti~tsgesetze zwisehen /-ten Potenzresten usw., Math. Ann. 58 (1904), S. 1 ft.; Die Reziproziti~tsgesetze fiir Potenzresf~ mit Primzahlexponenten usw., Math. Ann. 67 (1909), S. 1 ft.; 72 ( t 9 t l ) , S. 346ff.; 74 (1913), S. 413ff.; T. Takagi, Uber eine Theorie des retativ.Abelschen ZahlkSrpers, Journ. of Coil. of Science 41, 3, Tokyo 1920.

K. Hensel-H. Hasse. Normenreste ha relativ-zyklischen ZahlkSrper. 263

Resultate Hilberts und Fartw~inglem hinausgehen. Das dor~ige Haupt- resultat, das in dem Satz enthalten istz):

Geht I nicht in der Relativdis]criminante von K au/, so sind atle zu primen Zahlen van ]c Normenreste von K nach 1. Im anderen Falle

bilden die zu ~ primen Normenreste yon K nach I eine Untergruppe yore Index I aller zu [ primen Restldassen nach jedem genioend hohen Modul

el I a (es geniigt stets g ~_~ l - 1" wenn 1 genau durch I e teilbar),

gibt n~imlich nur eine AbzEhlung der zu 1 primen Normenreste. Wit wer- den hier erstens das Resultat in vollster At|gemeinheit, d. h. auch fiir zu

nicht prime Zahlen erhalten und zweitens die betreffende Untergruppe der Normenreste genau angeben.

Das erhaltene Ergebnis wird yon dem jiingeren yon uns in einigen weiteren Arbeiten zur Aufstetlung einer systematischen Theorie der quadra- tischen Formen 4) in einem algebraischen K6rper k, sowie zu bemerkens- werten Verallgemeinerungen der bekannten Furtw~inglerschen Reziprozitiits- gesetze fiir l - te Potenzreste in /c auf nichtprim~ire Zahlen verwendet werden.

S e i f ein Primteiler von t in k, e seine Ordnung, f sein Grad, e f ~ # und k (1) der zu I gehSrige transzendente ErweiterungskSrper yon k. Dann gelten fo]gende, ]eicht einzusehende Tatsaehen (N. R., S. 2 und 3)"

Jede l-te Potenz f l = ~ z (I) in k(1) ist Normenrest yon K nach I.

Ist t z= ~z(I) l-re Potenz in k ( l ) , so ist ]edes fi von k ( i ) Normenrest

yon K = k (1/~)nach ~.

Produkt und Quotient aus Normenresten sind wieder Normenreste, Produkt und Quotient aus einem Normenrest und einem Normennichtrest sind Normennichtreste, d. h. die Normenreste bilden eine Untergruppe aller Zahten yon k ( ~).

Infolge dieser drei S~tze daft man zur Entseheidung fiber den Normen-

restcharakter yon fi in bezug auf K = k(~/-a) die Zahlen fl und a yon vornherein durch Multiplikation mit geeigneten/-ten Potenzen aus k (1) in ein- fachen Normalformen annehmen, auf die zun~hs t eingegangen werden soll.

2) Ph. Furtwiingler, Math. Anu. 58, S. 47 unten, sowie die weiteren zitierten Arbciten, insbesondere Takagi a. a. 0., Safz 9, S. 28.

4) Ubertragung der beiden Arbeiten: H. Hasse, Uber die I)arstellbarkeit yon Zahlen dureh quadratische Formea i In KSrper tier rationalen Zahlen und ~Tber die Aquivalenz quadratischer Formen im KSrper der rationalen Zahlen, J. f. Math. ][52 (1923), S. 129 ft. u. 205 ft. Beide Ubertragungen erseheinen in J..f. Math. 153.

264 K. Hensel-H. H~sse.

Nach den Ergebnissen einer friihe~en Arbeit des einen yon uns 5) lassen sich alle fl you b ( l ) durch ein sogenanntes Fundamer~talsystem ]iir die mul t ip l ika t ive Darstellung in der Form darstellen:

(1) /~ ~-- 2 b co ~ ~ ' . . . ~2~ ~ ~2~a ([); i ~ ' ~ ganz rational } t ~ , . . . , ~ ; ~ ganze l- adische Zahlen .

Die Basiselemente 2; co; ~h, --- , ~z; ~1~ eines solchen Fundamental- systems sind:

1. Eine Primzahl 2 fiir I, d .h . eine genau dutch 1 ~ teitbare Zahl aus/r

Es werde 6) im folgenden die Entwicklung yon - -1 naeh Potenzen yon 2 in tier Form

-- 1 -~ 2 e o~ g ~ hShere Glieder in 2

angenommen, e und g sind dann, da k nach Voraussetzung die 1 -~n l - -1

Einheitswurzeln enth/ilt, dutch l - 1 tel!bar, and k (~) enttr~It eine T / - - l, l - -1

deren l - te Potenz (T/--~)~-- - 2 0 gesetzt werden mSge. 2 o ist genau dutch el

I z-1 teilbar.

2. Eine primitive (in k(lE) stets vorkommende) (I f - 1)- te Einheits- wurzel to.

3. e Basissysteme yon

einheiten der e zu 1 primen

je f Einseinheiten fiir die Gruppen der Eins- e ~ .

Grade der Reihe 1, 2, . . . , l - 1

r = l , 2 , . . . , e f : #

i = l , 2 , . . . , f Vr ~ ~,~,t - - 1 d- w~S't) 2 8z+t ; e 1

s ~ 0, 1, . . . , l - 1

t

Dabei bedeuten w~(S't),..., w~ s't) Systeme von je f mod 1~ linear unabh~i~gigen Einheiten aus k(I) .

Unter ( w l , . . . , wf) , kurz (w~), mSge im folgenden durchweg ein solches System verstanden, ferner die e zu l primen Grade s l d - t kurz mit e bezeiclmet werden.

4. Eine , ,ausgezdchnete" Einseinheit vom durch I teilbaren Grade e! .

5) K. Hensel, Die multiplikative DarsteUung der algebraischen Zahlen ffir den Bereich eines beliebigen Primteilers, J. f. Math. 146 (1916), S. 189 ff.~ im foIgenden zitiert mit M.D.

6) Siehe hierzu M. D., S. 212.

Normenreste im relati~-zyktischen ZahlkSrper. 265

Dabei is* unter w o bier wie im fotgenden stets eine solche Einheit aus k (I) verstanden, fiir die der hnsdruck

Lf-- l~ s~(wo)~Wo+Wto+.. .+wo ~ 0 rood/

istT). Jedes System 2; co; ~1,--- , ~.-; ~]~ dieser Beschaffenheit ist als ~au-

damentalsystem im Sinne yon M.D. geeignet, gestattet also eine Darste]- lung (1) aller Elemente fl aus k(I). Diese ist dabei nicht eindeutig, vielmehr besteht eine, abet auc:h nut eine Relation (M. D., S. 207):

V a . . . . ~ a ~ , ~ , = 1 (1:); (d~,...,d~; d,~ ganze l-aclisehe Zahlen)

zwischen den Basiselementen, aus der jedesmal unendtich viele Darstel- lungen folgenS). In dieser Relation sind s~mtliche Exponenten d~ durch 1 teilbar. Daher sind jedenfaI!s die Anfangsglieder (nullten N~herungs- werte) der ganzen l-adischen Exponenten ~ , . . . , ~ ; ~, in (1) als Zahlen der Reihe 0, 1 , . . . , 1 - 1 eindeutig bestimmt. Sieht man also, wie es ja unserem Zwecke entspricht, yon allen multipIikativ zu fl hinzutre~enden /-ten Potenzen aus k (I) ab und beriicksichtigt noch, dab o~ als Einheits- wurzel des zu 1 primen Grades 1 f - 1 stets l-re Potenz in k(f) ist, so erkennt man, da$ jedes fl aus k(I) eindeutig in der Form

~ (I); ( b ; c t , . . . c t , ; c ~ = 0 , 1 , . . , --

darstellbar istg). Diese Normalform soll fiir die auf ikren Normenrest- charakter zu untersuchenden Zahlen fl aus k(1) zugrunde gelegt werden.

Die Normalform fiir das den Relativk5rper k ({r~) definierende Ele- ment a v o n k ist in einer friiheren Arbeit des einen yon uns behandelt warden1~ Dort wurde (ebenfaIIs auf Grund der Normalform (2)) gezeigt, dab abgesehen yon dem schon oben auf S. 263 vollsti4ndig erledigten Fall, wo a e i n e l-re Poterm in k( l ) ist, durch Forttassen unwesentlicher l-ter

7) Siehe hierzu K. Hensel, Zur multiplikativen Darstellung der algebraischen Zahlen ffir den Bereich eines Primteilers, J. f. Math. 151 (I921), S. 210-212 i

s) Die in M.D. getroffene Normicrung des Koeffizienten A (~,~) einer der Eins- einheiten ~ (in der dortigen Bezeichnung vom Grade e0) diente nur dazu , diese Relation mSglichst einfach zu machen, so daI~ sich aus den unendlieh vielen Dar- stellungen jedes fl eine ganz bestimmte, normiert~ ausw~ihle~ lies (Beschr~nkung eines Exponenten 8~). Durch eine einfache Transformation des betr. Basissys~ms (eo-ten Grades) kann man sieh leieht yon dieser Einschriinkung befreien und erkennt so die Richtigkeit der fin Text a'~mgesprochenen Behauptungen fiir allgemeine (nielat nor- mier~e) Fundamentalsysteme der angegebenen Gestalto

9) Daraus folgt noch die wiehtige Tatsache, dab ~ i e FAnseinheit yon hSherem el

als dem ~-~t-t~n Grade aus k( I ) eine l-re Potenz in /~(I) ist.

~0) IL Hensel, Die Zerlegung der Primteiler eines beliebigea ZahlkSrpers in einem aufl6sbaren OberkSrper, J. f. Math..151 (1921), S. 200-203.

Mathematische Annalen. 90. 18

266 K. Hensel-H. Hasse.

Potenzen und eine einfache Transformation der den Re]ativkSrper bestim- menden Grundgleichung x ~-- a das Element a stets auf eine der drei folgenden Normatformen gebracht werden kann, mid da~ dann die daneben

angegebene Zerlegung des Primteilers f im RelativkSrper/( ~ / c (~/~) gilt:

( s~ (~o)_~ O rood/).

b) :

(2 geeignet gewiihlte PrimzahI aus /r

( el (h, 1 ) = l ) . u Einheit aus k(f), h einer der Grade 9, also 0 ~ h ~ l - 1 ;

Bezeichnet K ( ~ ) den zu dem Primteiler ~ von K gehSrigen trans- zendenten Erwe, iterungskSrper, der ein algebraischer KSrper vom Relativ- grad l fiber ]~(f) ist, so ist (N.R., S. 2) eine Zahl fi aus /c(f) (spezielI also aus k) dann und nut dann Normenrest von K nach f, wenn

f l = n ( B ) (f) zl)

(L h. fi der Relativnorm einer Zahl B aus K(~) flit den Bereich f gIeich ist. Um die Relativnormen der Zahlen B aus K(~) und damit die Normenreste in It(f) zu beherrschen, denken wir uns die Zahlen B yon K ( ~ ) ebenfalls durch ein Fundamentalsystem in der zu (2) analogen Form:

.. He'"H v a n ' (~), ( B ; C z, ., Cz.,; C a = 0,1 ... l - - l ) ( 3 ) s - - - - ^ . , , - o . . , ,

dargestellt, wo die Basiselemente A; H1, . . . , H~; Ha die entsprechende Bedeutung flit K ( ~ ) haben, wie oben 2; ~ , . . . , ~ ; ~, flit k(f).

Dann beweisen wir fiir den bier vorliegenden Fail den folgenden, schon in N. R., S. 4 (B) aufgestellten, und dort Iiir die zu 1 primen Prim- teiler p bewiesenen Satz:

S~tz 1. Zu ]edem gegebenen a ( =~ ~z (f)) lassen sieh die beiden Fun- damentalsysteme

(I) 2; ~ , . . . , V~,; ~7,~ und (II) A; Hx,..., Hz~,; Ha

so wdhlen, daft I. s~mtliche Elemente des Systems (I) mit Ausnahme eines einzigen

2~ormenreste sind (dieses ausgezeichnete Element 8oll dab ,,kritische'"

11) Wir bezeichnen, abweichend yon N.R., im Anschlu• an die nach Hilbert~ Furtwiingler fibiioho Bezeiehmmgsweise die Elemen~e des Rela~ivkSrpers K bzw. von K(~) durch grol3e griechische Buchstaben.

Normenreste im relat~v-zyklischen ZahlkSrper. 26~

IL die RehUivnorm eines 1eden Elememe~ des Systems ( I I ) bei der DarsteUung dutch das System ( I ) iu der Porto (2) ~enes kritische Ele- ment nicht (d. h. nur in l-ter Potenz) enth~h.

Ist dieser Naehweis geffihrt, so folgt unter Beriicksichtigung der Tat- saehe, da~ n~-=_ *) = ~* eine l-re Potenz in k(t) ist; aus den Darstellungen (2) und (3) und ihrer Eindeutigkeit unmitteIbar (vgt. N. R., S. 4) der Fundamentalsatz:

Satz 2. Eine Zahl fi aus k(I) ist dann und nur dann Normenrest

yon K - - / r (~/a-); (a + (I)) nach I, wenn de bei der Darstellung dutch das ge]undene, zu a gehSrige .Fundamentalsystem (I) in der t~orm (2) das kritische Element nicht enthdlt.

Nach diesem Satz bilden also (wenn a keine l-re Potenz in k(l) ist),

die Normenreste yon /c ( ~ a ) nach I stets eine gewisse Untergruppe aller Zahlen yon k(I) vom Index l. Uber diesen rein abzghlenden Satz hinaus wird sich ferner der folgende, die genaue Charakterisierung der Normen- reste liefernde Satz ergeben:

S atz 3. Das kritische Element, das als einziges Basiselement des zu ~ gehSrigen Fundamentalsystems (I) Normennichtrest ist, ist in den drei oben unterschiedenen Fdllem ]iir a bzw.:

a) r = ~ ~- 1 -~-G o 20 � 9 Element 2,

b) r = 2 " das Element ~ ,

c) a -- ~h = 1 + u 2a . eine gewisse der Einseinheiten ~x, . . . , ~1~, yon der .Form

~a" ~ 1 + u '2 a',

deren Grad h' der Bedingung

h + h ' = e l l--1

geniigt.

Dutch die Sgtze 2 und 3 wird iiir jedes gegebene a eine genaue

Ubersicht fiber die Normenrest~ oder Nichtreste fl von /r ver- mittelt. Die bier angewandte Methode erSffnet ferner die MSglichkeit, zu einer in der Hilber~-Fu~tw~inglerschen Theorie keinen Platz findenden, direlcten Definition und expliziten Formel flit das den Normenrestcharakter

yon fl in bezug auf k (~/~a) ausdrfickende Hflbextsche Normenrestsymbol

( ~ ) zu gelangen, und so eine neue Grundlage fiir die Behandlung des

alIgemeinsten Reziprozit~tsgesetzes flit die l-ten Potenzreste in k zu sehaffen, worauf der jiingere von uns in einigen weiteren Arbeiten ein- zugehen gedenkt.

18"

268 K. H e n s d . H . Hasse.

"Zum Beweise der ausgesproehenen Behauptungen ist in den drei ge- trennt zu behandelnden F~llen a), b), c) jedesmal nut die MSgliehkeit der Auswahl der beiden in Satz 1 genannten Fundamentalsysteme (!) , (H) ~ i t den Eigenschaften I. und It. und dem in Satz 3 genannten, zu dem betreffenden a gehSrigen kritisehen Element naehzuweisen, Dabei solI durehweg an den auf S. 264 festgesetzten Bezeichnungen festgehalten werden. AuBerdem sollen durch Punkte in den Entwicklungen naeh Potenzen einer Primzahl 2 stets Glieder hSherer Ordnung als die hingesehriebenen an- gedeutet werden.

a) e~= rT~-- 1 + ~o2o; l = ~. u l

Der Primteile~ ~ yon K(~) hat bier die Relativordnung 1 and den Relativgrad l, also insgesamt die Ordnung e und den Grad l f. Eine beliebige Primzahl 2 yon k(~) bleibt P~imzahl flit K(9) , mad es k a ~ daher als Fnndamentatsystem (II) flit K(~) das System

( H a ) A = 2 ; H1 , . . . , Hz~; Ha

gew~ihlt werden, wo die H~ irgendwelehe naeh der bekannten Vorsehrift als Basiseinheiten fiir K(~) geeignete Einseinheiten sind.

Zur Konstruktion des Fundamentalsystems (I) flit k(1) ben6tigen wit eine Einheit W yon K(~), deren Relativspur

w ---- S~(W) ~ W § W if-}- . . . Jr W z(z-~)f~ 0 m o d e ,

also eine Eirtheit w aus k(i) ist. Ein solches W kann stets geflmden werden, da die Kongmenz Sz(W)_=0 mod~ den Grad l a-1)f hat und folglieh nicht alle Z tf inkongruenten Einheiten rood ~ zu LSstmgen haben kann. Bildet man dann die Relativnormen der Einseinheiten

Ht, e -~ I q- wiW2 e aus K (~), so wird

(4) n(Hi, e)=n(1--~.wiW2e)-~ I+w,a~(w)2e+ w~G2(W)2 ze " l l~o + . . . § ,

wo G~,. . . , G, die symmetrisehen Grundfunktionen x:) yon W and seinen �9 elativ-troniugierten bezeichnen, also speziell Gx(W)die Relativspur S~(W)=w ist. _&us der Bestimmung yon W Iolgt dann, dab aut tier reeh~en Seite yon (4) a/te auf das ,,Hauptglied" w~G~(W)2e=w~w2 ~ folgenden Glieder yon h6herer Ordnung sind. Daher erh~ilt man aus .(4) die ~olgenden e f = f t Einseinheiten aus k(1)"

(5) r/i,e ----- n (H~e) = 1 -}- w~w2 e -{-. . . ,

xz) Diese sind mit positivem Zeiehen verstanden.

Normenreste im relativ-zyldischen ZahlkSrper. 269

die bei der festgesetzten Bedeutang'der w~ und e offenhar als Basis- elemen~e % , . . . , ~. eines Fandamentatsystems (I) fiir k (I) geeignet sind.

Das tetzte Element ~ des Fundamentalsystems (I) kann ferner im Falle eines ungeraden 1 als

gew~iahlt werden. Im Falle l = 2 ist n ( l /a) = -- a = 1 -- 2 -- wo ~o-~ 1 -- 2- - 4 Wo

[es ist bier ~o-----(z-~--l) z : 4] genau vom Grade e, also sicher nieht als el

ausgezeichnete Einseinbeit ~= yore Grade Z-1 = 2e geeignet. Hier ist jedoch

(7) % = n i l + 2 ~ o ( t +1/~)] = 1 + 4 ~ o - 16~ 2

ein geeignetes ~a" Das damit bestimmte Fundamentalsystem

( Ia ) ~, %,e, %

flit /r hat mit dem zu An fang angegebenen System ( H a ) fiir K(~ ) zusammen die in Satz 1 behaupteten Eigenschaften I. und II. mit 2 ats kritisehem Element. Denn erstens ist naeh Konstruktion des Systems ( I a ) in (5) bis (7) jedes seiner Elemente mit Ausna-hme von 2 Relativnorm, zweitens enthiilt die Retativnorm jedes Elementes yon ( H a ) 2 nut in l - ter Po~nz, da ja n ( A ) . ~ - n ( ~ ) = 2 z and die Relativnormen der Eins. eiaheiten H~ Einseinheit~n in k ( l ) sin.&

Dam.it sind i'm Falle a) unsere Behaupmngen bewiesem

b) 1 = s

Der Primteiler ~ yon K ( ~ ) hat hier die Relativordnung I and den Relativgrad 1, also insgesam~ die Ordnung t e and den Grad f. Eine

Primzahl fiir ~ ist A = 1/~. Die Systeme ( % ) und w o behalten wegen des unveriinderten Grades yon ~ ihre Bedeutnng auch Iiir K ( ~ ) . Daher bilden die folgenden Elemente aus K ( ~ ) ein YundamenValsystem (11)"

t" z _ 1. die l>rimzahl - h = i /~,

2. die l e. f Einseinheiten der l e zu t primen Grade ~ der

Reihe 1, 2, . . . , l - 1 "

( l i b ) H~,~ = 1 + w~ h ~, 3. die ausgezeictmete Eimseintieit:

H== 1+ wo~o-- %; (H= ist also schon in k (~) enthalten und dort als % ge-

270 K. H~n,~el-H. Hasse.

Di~ Relathraormen der Basisebmente 2. lassen sich nnter Be: siehtigung yon ~. .

(8) n (Hi,:) = n(1 q- wi A:) = I ~ w~ nCA:) = 1 + wi [(-- I ] :

in fo]gender Weise zur Konstruktion eines Fundamentalsystems (I) k(l) verwenden: ' '

:. me er m m:

2. die e. f Einseinheiten tier e zu 1 primen Grade e:

( I b ) ~ , , = ~(H~,~) = 1 + w~ ~ .

Es ist noeh hinzuzufiigen

3. die ausgezeichnete Einseinheit:

~= 1 + % 2 o .

Beriiek-

flit

Das so bestimmte System (I b) ist ein Fundamentalsystem fiir k (1)~a) und hat mit dem System (I Ib) far K(~) zusammen die in Satz 1 be- haupteten Eigensehaf~en I. und II. mit ~ als kritischem Element.. Denn erstens ist nach Konstruktion jedes Element des Systems ( Ib) wit Aus- nahme yon % Relativnorm, zwei~ns enthalten die Relativnormen der Ele- mente yon ( l i b ) % nut in / - t e r Potens Letzteres ist ohne weiteres Mar fiir

die Normen yon A mad der ersten e. f Einseinheiten H,,:~ (fiir ~ =Q < l e~/~),

die ja als von ~Ta versehiedene Basiselemente in ( I b ) verwendet sine Ferner isf n (H~)= ~ eine l-re Potenz in k(I) und ebenso, wie unn~itteI-

bar aus (8)folgt , die Normen der iibrigen Hi,: (fib $ >/e~/1) , da sie el Einseinhei~n yon hSherem als dem ~ - t e n Grade aus k (1) sin&

Damit sind aueh fib den Fall b) unsere Behauptungen bewiesen. ,

( ~ (h,l) 1) c) t ~ = ~ h = l ~ - u i h ; 1 = ~ z" 0 < h < / 2 i ; -~

In diesem letzten und schwierigsten Falle hat der Primteiter s yon K(s wie unter b) wieder die Relativordnung I nnd den Relativgrad 1, also insgesamt die Ordmmg I e und den Grad f, so dal3. das System (w~) sowie w o auch hier ihre Bedeutung far K(~) behalten. Eine Einseiaheit

(9) H , , ~ , . , ---- 1 + w,2'(1 - - ~/~r

aus K(~) hat offenbar genau den Grad ht .+- ls , da die Retativnorm

(10) n(i - ~/-g~) = i- g =- ui'

:a) Die w~ sina mit den w~ glebhzeitig rood I linear mia, bhingig.

Normenreste im.relatjv-zy.klischen Zahlkbrper. 271

'die Ordnungszahl h in bezug auf I, also 1"-- ~ selbst die Orclnungszahl h in bezug auf ~ hat. Um daher Einseinheiten aller l e flit ein Funda~ mentalsystem (II) yon K(~). in Frage kommenden, zu 1 primen Grade

der Reihe 1, 2, . . . , l - 1 iia der Form g----ht ~ - l s zu erhalten, hat man

t in (9) der Reihe nach gteich 1, 2, . . . , 1 - 1 zu setzen und s fiiz jedes dieser t alle ganzen Zahlen eines bestimmten Intervalls x4) durcMaufen zu lassen. Da (h, l) ~ 1 , entstehen so tats~ichlich alle Grade ~, jeder einmal, und man erh~ilt bei der angegebenen Bedeutung yon t u n d s xs) die folgen- den Elemente eines Fundamentalsystems (II) fiir K(~)"

(uc)

Zur Aufstellung des zugehSrigen Fundamentalsystems (I e) sind vor allem die Relativnormen der Einseinheiten Hi.~, ~ unter genaueren Untersuchung zu unterziehen. Es ist

(11)

1. eine beliebige Primzahl A fiir ~,

2. die 1 e- f Einseinheiten der 1 e zu l primen Grade p ~ h t -{- l s :

H,, ,, ~ = 1 -{- w,;i'(1 -- ~ a ) ' ,

3. eine ausgezeictmete Einseinheit:

H~= 1 ~- wo2 o (wie unter b).

2. einer

n(H,.,.t)=n[1 --l-- w,).8(1 - ~ ) ~ ]

= 1 + w~),SGl(1 - ~f~a)t~- w~2eSG~ (1-- ~ a )

+ . . .

wo G1 , . . . , G z wieder die symmetrischen Grundflmktionen der GrSBe

(1 _.~/~)t und ihrer relativ-konjugierten bezeictmen, speziell also G 1 die Relativspur und G z die Relativnorm ist. Um fiber die Grade der dutch (11) gelieferten Einseinheiten aus /~(l) Aussagen machen zu kSnnen, ist zu untersuchen, welches der 1 Glieder mit G~, . . . , G z rechts, die kurz als das erste, zweite, . . . , /-te bezeiehnet werden mSgen, die niedrigste Ord- nungszahl hat. Wit bezeictmen die Ordnungszahlen der GrSBen G1, . . , G i in bezug auf den Primtei]er I mit g~ , . . . , gz, die Ordnungszahlen der entsprechenden Glieder in (11) selb~t mit a l , . . . , az, so dab

( l l a ) a ~ - g ~ - 4 - r (r ~- 1, 2 , . . . , l)

ist.

_ z i o eodo~

explizit nicht ben/Stigt wird. ~) I~ese is~ h/er eine etwas andere als im vorhergehenden (S. 264).

272 K. Henset-H. Hasse.

Die Ordnungszahlen a 1 und a l des ersten und letzten Gliedes und jene Glieder selbst lassen sich in allen F~len genau angeben. Es ist n~imlich einerseits

1- -1 ~--I $

~----0 ~,----O ~ = 0

t I--1

=/(- , m----0 ~--~0

- l - - 1

und da Z ~,~ flit jedes zu I prime m gleich Null, sonst gleich 1 ist, n----O

redaziert sich wegen 1 _~ t _~ 1 -- 1 die Z auf ~ erstes Glied- m

G i (1 -- ~ a ) ' ---- 1.

Es wird also das erste Gtied in (11)"

(12) w,28Gl(1 l/-a)* w~281 -g~'+8 - - ~ - = - - w~w , - ~ . . . (s. S. 264),

und also a l ~ e ~ s .

Andererseits ist

GI(1 -- ~ a ) t = n(1 -- V a ) ~ - (1 -- a) ~--- (-- u)*2 h',

also das letzte Glied in (11)"

- = -

Seine Ordnungszahl a z ~ h t ~ - l s - ~ - ~ stimmt jedesmal mit dem Grade der zugrunde getegten Einseinheit H~.,., aus K ( ~ ) iiberein.

Eine explizite Angabe dez iibrigen OrdnungszaMen a 2 , . . . , a,-1 und der entsprechenden Glieder aus ( 11 ) i s t im allgemeinen nicht mSglich. Dagegen lassen sich ~ unseren Zweck hinreichende untere Grenzen fiir diese Ordnungszahlen angeben, indem solehe zun~ichst flit die Ordnungs- zahlen s l , . . . , sz-i der ersten l - - 1 Potenzsummen S1, . . . , Sl-1 von

( 1 - ~/a)* a~gestellt und dann mittels der Newtonschen Forme!n ifir die Potenzsummen auf die Ordnungszahlen der symmetrischen Grundfunk%ionen iiber~ragen werden.

Sei flit das Folgende 1 _~ r _~ 1 -- 1. Um gebroEhene ZahIen und ,,g~Si~te Ganze'" zu vermeiden, erweist es sich als zweckm~ig, aUe auf- tretenden Ordnungszahlen in bezug auf den Primteiler ~ zu ~echnen. Die abzasch~tzenden Ordnungszahlen #~, g~, a~ sind dann dutch ihre /-fachen"

zu ersetzen. Die r - to Potemzsammer S~(1 - - ~/~)*'stetlt~,sict~ so dar:

Normenreste.ira relativ.zyktisehen Zahtk6rper. 273

s~(:- ~;)' Z - t

~ = 0

= ( : - ~/;)" [: +

= ( 1 - )" : +

= (: - ~/~)-, I-z 1--1

r t

1 et

Nun ist ! -- ~ bekanrLtlieh geaau dutch l Z:: ~ ~z---~ teilbar, 1 -- ~ nach (I0) genau dutch ~ . Also haben die einzelnen Glieder der Z mindestens

) die Ordnungszaht m l 1 h . Die wegea 0 < h < l - - S ~

el h die siah naehher als und wegen (h, Z)~ 1 zu I prime GrSl~e t - x ' '

Grad der kritisehen Einseinheit des za konstruierenden Ftmdamental- systems ( I e ) herausstellen wird, soil mie h ' bezeiehnet werden:

ht el =-y-A-i,--h, so dal~ die Ordnungszatden der Glieder der ~ n~cheinaader ~ h',' 2h; . . . , rak~ . . . sind,

Ubar die ersten l - - t " GtLeder. t~i~t sfeh noch flenauexes aussagen. Fiir 1 <: m ~ l -- 1 ist niimlieh, ~,bn_]~ch wie oben4

l --1 ~--I I ( : - C)~= I(,~ - C ) " = ~, n = l ~ = 0

sind die Ordnungszahlen der ers~n=(1,-- 1,) ,Glieder der. ~ ' ni.'ch$ Also

kleiner a!s

2,7'4 K. ~temel-H..,Ha~e.

und dasselbe gilt v o n d e r Ordnungszahl el des zu Beginn stehenden l, sowie nach Obigem flit alle weiteren .G~eder der .~. D a sehlieflick der

Faktor ( 1 - T/a) rt nach (10) die OrdnungszaM r th ha~, wird

(14) >= rth + e l - ( z - 1)h'. Fiir den Ubergang von den S~ zu den G~ benutzen wit die Newton-

sehen Formelr~

Sei schon bewi~sen, daft die Ordnungszahlen y, f i i rn- -~ 1, 2, . . . , r - 1 dieselbe untere Grenze n th -~ (1 - - 1 ) h ' haben wie ~. in (14). Dann sind die Ordnungszahlen yon G1 S t - l , G~ S~_~, . . . , G~-I $1 s~mtlich nicht kleiner als

.rth -~ 2 ( / - - t ) h ' > y th ~- (1 - - 1)h',

also aueh die Ordnungszahl ~ yon G:, fla r prim zu 1 ist,

(15)

und da flit r ~ 1 wegen S~ ~--G1.die ' ggmachte Annahme stimmt, gilt (15) allgemein fiir 1 g r _~ 1 -- 1. Es wird somit

~ - - - y ~ - ~ r s l ~ r th ~- (1-- 1 ) h ' - ~ r s l = r t h + e l - - (1-- 1)h + r s l

= e l -~ [ r t - - ( l - - 1)]h ~ - r s l , a l s o " '

(16) a , > e ~ - . r - t : ( l - 1 ) h - ~ r s ( r = l , 2, / - - 1 ) "

and speziett nach ( I2) , (13) genau:

( t7 ) .a 1 == e-~ s,

(18) a,---- h t --~ ls.

Wit denken uns nun flit jedes feste t der Reihe 1, 2 , . . . , 1 - 1 die ganze ZahI s variabel, yon ihrem kleinsten bis zu ihrem grSften Werte ansteigend und die a~ als. Funktionefl~von s grapbisch dargestellt. Dann entspricht nach (11 a) jedem a~ eine bestimmte gerade Linie, deren Steigung die positive~ Zahl x ist, so da~ die ~:Steigtmgen ~ yon a~ , ._ , a z ein~ zanehmende Folge bilden. Die Ge~actev_ a~ und a~ werden dutch (]:7) und (18) genau gegeben, die iibrigen a~,, . . . , az_ ~ sind Parallelen zu den dutch die rechten Seiten in (16) gegebenen Geraden und verlaufen: jedenfalls nicht unterhalb der letzteren. Fiir unseren Zweck geniigen dann die beiclen iolgenden t:titfs- ~ t ze i i b e r ~ e Lage de~ 1 Geraden'a~ , ' : . . , ai: ~ ":,~ '

Hi ' l fssa tz 1. F~r l ~ l - 1 verlau]en die Geraden a~, . . . , a~_x ganz au~erhalb des dutch a~ und az bestimmten, :navh uuten ge6]/neten, stump/en

Normenreste im mlati~v-zyklisehen ZahlkSrper. 275

Winkelraumes (inkl. Scheitel), d .h . es ist bei umvhsendem s zuerst eft, vo~ einer gewissen Stelle s o an a~ die niedrigste aller Ordnungszahlen a,.

B e w e is. Fiir t = 1 -- 1 schneiden sich a~ and a~ nach(17) , (18) flit

e

d .h . fiir

e h h' - - e s == s o ~ l--1

uncl haben den gemeinsamen Wert

el h = h ' . (19) l - 1 So ' ~

Fig. I.

Da die Steigung 1 yon a~ grSBer aIs die Steigung 1 yon a~ ist, ist tat- s~ichlich a~ fiir s < s o, a~ f i i r s :> s o das kleinere. Um die Behauptung flit die iibrigen a~ zu beweisen, deren Steigungen 2, 3, . . . , 1 -- 1 zwischen den Steigungen 1 und 1 von a~ und a z liegen, ist, wie aus Fig. ' I ersicht- lich, nur zu zeigen, dab jecles dieser a, fiir s = % grSBer als h' ist. Dazu geniigt, dab schon die in (16) gehmdene untere Schranke flit die a~:

0"-- 1)'(l--l) h @ rSo > h )~ e - l - z

ist, d .h . wenn der Wert liir s o eingesetzt wird, dab

e ~ - ( r - 1 ) ( l - 1 ) h ~ - r h ' ~ re > h" l

oder naeh (19): g

el ist, was fiir r > I wegen 1 -- 1 > h ste~s der Fall ist. Damit ist Hilfssatz 1

bewiesen.

H i l i s s a t z 2. Fi~r ]edes t (also 1 ~_< t <_ l -- 1) vertau]en die Geraden a ~ , . . . , az_ ~ ganz aufierhalb des durch a u und die Parallele zur s-Achse

im Abstande h ' = ~ h bestimm~ten, n a c h unteh geS/]neten, s t u m p ] e n l - - !

Winkelraumes ( exkl. Scheitel)~ d. h. wenn s - ~ sg die Abszisse des Schnitt- punl~tes yon a t mit ]ener Parallelen ist: ,leiir s < s~ is t a~ .die, niedrigste aller Ordnungszahlen a l , . . . , a~, /fir s > s~ sind alle al, . . . , a~ grSfier als der ,,kritische" Grad h'.

B e w e i s . - ~ D e r Werb s~ ergibt" sich ~aeh (i8)

Fig. 2.

276 K. Hensel- H. Hasse.

z t l , e h ( t + ~ ) ~)

s ~ s ~ ~ l - - I l "

Wie bei Hilfssatz 1 nicht kleiner als h ' sin& Dazu geniigt wieder, Iundene tmtere Sc~anke fiir die a~:

e + ~ t - ( l - 1 ) h + rsg :> h ' = 1

P geniigt bier der l~achweis, daI~ a~, . . . , a z_ x fiir s = s o dal3 schon die in (16) ge-

e l h I - 1

ist, d. h. wenn der We~t von s o eingesetzt wird, dal~

e + r t - ( 1 - I ) h e h ( t + l ) :> e~ l ~ - r l _ 1 r l ~ l - 1

oder

h

r - -1 r - - l ~ z_---f e > - 7 -

ist, was flit r = 1 stimmt, flit r > 1 gleichwertlg mit der ebenfalls richtigen el

Ungleichtmg ~ : 1 > h ist.

~Naeh den beiden hiermi$ b e w ~ e n e ~ Hitfss~tzen ist in der oben auf S. 271 angegebenen Entwieklung (11) yon n (Hi, s, ~) das letzte Glied sieher dann das niedrigste, wenn

a t ~ h t + l s - ~ ~ < h',

also der Grad p yon Hi.,, , kleiner a!s der kritische Grad h' ist. Dahex lautet in diesem Falle die Entwicklung (11) unter Beriicksichtigang des Ausdruckes (13) flit das letzte Glied:

t 2ht+~, (20) = n ( S , s,,) = 1 + wi ( - - u)' + z 2e - - l + w ~ ( - - u ) * + . . . ( o = h t + l s = h ' ) . 17)

Es entstehen also, wenn s und t alle nach den friiheren Festsetzangen in Frage kommenden und der angegebeaen Bexlingung geniigenden Werte durchlaufen, auf diese Weise alle fiir unser zu konstruierendes Fundamental- system Iiir k ( I ) notwendigen Basissysteme, deren Grade Q <: h ' sind, jedes eiomal, und dazu werden die Normen der s~,mtliehen Basiselemente Hi, ,, des Fundamentalsystems (II r fiir K (~) verwendet, deren Grade ~ < h ' sind.

Ffir die Grade 0 > h' erh~ilt man Basissysteme flit den Unterk6rper, indem man speziell die Normen der Hi, ~, 2-~ fii:r t = 1 -- 1 verwendet.

~) ~ ist, also nut fiir t=l--1 eine ganze Zatd, so dab fiir 1 ~ t < l--1 ein eventuelles Hindurchgehen e/nee a~ dutch den Seheitel de~ gen~mte~ Winkelranmes flit die be- absichtigte Anwendung auf ganzzahlige s belanglos ist. Ffir t = l - 1 gehp nach Hflfssatz 1 t~t~whlieh ~ dn~ch den Scheite], abet keines der iibrigen a~,..., at-x.

~) Fiir ~ setzen wir bier, woes sich um die Grade der ~i,~.~ des UnterkSrpers handett, naeh.~anseren friiheren Festsetzungen e.

Normenreste im relativ-zyklisahon ZahlkSl'per. 27~

e h In deren Entwicklungen (11) ist nach Hitfssatz t fiir s > s o - l _ l

das erste Glied das niedrigste, so dal] man unter Beriicksichtigung des Ausdruckes (12) fiir die.sea Glied hat:

( 2 1 ) = = 1 - - + . . . @ > s o ) .

L~il~t man also s alle der angegebenen Bedingung geniigenden Werte dutch- el laufen, fiir die e § s kleiner als ~ und prim ztt l ist , so erh~itt man auf

diese Weise alle ffir unser zu konstruierendes Fundamentalsystem fiir k(1) notwendigen Basissysteme, deren Grade e (---- e § s) > h' sind.

In der Form (21) erh~lt man ferner anch eine ats ausgezeichnete Einseinheit unseres Fundamentalsystems geeignete Einseinheit V~ veto

e (dies ist ta~s~iehlieh > %) lieiert (21) e I Denn I i i r s = Grade l - 1" l - t el

ein Basissystem fiir den Grad U~-i u.nd also sicher ein % = 1-~ ~o2o mit

~s~(~o)~0 rood/. Sei also etwa e l

(22) r /~- -n(H ~ )-----1--w~o~'A z - l § 2 4 7 o. i,E_i-,z-z

Fiir den noeh iibrigen kritischen Grad 0 erh~ilt man [ - - 1 Basis- elemente als Relativnormen der H~,~,t, indem man wieder ~ = 1 - 1 and s = s o seize. In der Entwi&lung (I1)~ is$ dann naeh Hilfssatz 1 das erste und letzte (}lied yon gleieher Ordnung h', so dab unter Beriick- sichtigung der Ausdriicke (12) und (13) flit diese beiden Glieder die Ent- wicklung (11) lautet:

[ 1 l--I g h' (28) r/i , ,o, ,_l=n,(Hi,,o, ,_~)=l + t w i . u --w~eo )2. + . . . .

Ist dann das System (w~) so gewghlt, dab fiir eines seiner Elemente, etwa wr:

l l - - 1 g wru -- w.rco ~ 0 (mod ~)

wird~ was nach einer in M.D. auf S. 198/99 angestellten Betraehtung hier mSglich ist, da die Exponenten l - 1 und g yon u und ~ beide durch 1 - 1 teilbar sind, so sind, wie a. a. O. S. 200/01 ausgdiibrt, die f - - 1 iibrigen Koeffizienten w~u z - l - w~m g m o d [ linear unabh:~ngig, so dab in der Form (23) fiir i = 1, 2, . . . , f - - 1 die ersten f - - 1 Einseinheiten eines Basissystems fiir den Grad h' enthalten sind. Wi~ haben dann noch eine letzte Basiseinheit

(24) n ~ ' = 1 + u '~ h'

fiir diesen Grad hinzazufiigen, die bier die Rolle der kritischen Eins- einheit iibernimmt; dabei ist u ' als irgendeine von den f - - 1 Einheiten w~u Z - l - w~o~ g mod I linear unabhgngige Einseinheit zu w/i~en.

278 K. HenseI-H..!las~." ~ormenreste im rela~v-zyktisohe~i ZaMkSrper.

Nimmt jnan schliet~lich ~och die Norm tier PrimzaM A:

(25) als Primzahl flit b( l ) , so bilden die Elemente {20) Ms (25) nach Kon- struk~on ein Fundamentalsystem ( I c ) f l i t k(t), dessen s~imtliche Ele- mente, his auf das kritische ~a' in (24), Relativnormen sind, so dab also das gewonnene System ( I c ) die in Satz 1 behauptete Eigenschaft I. mi~, ~7~, ats kritischem Element hat.

Schlie~lich h~ben die beiden Systeme ( H e ) (S. 271) und ( I e ) auch die in Satz 1 genannte Eigenschaft II,

Den~ ehnnal sind die Normen der Basiselemente h in (25) und aller H~,~, ~ vom Grade ~ <: h ' in (20) als yon ~ , verschiedene Basiselemente des Systems ( I c ) verwendet, ebenso die l~ormen der H~,~,z-~ yore Grad~

~ h ' flit i ~-1 , 2, . . . , f - - 1 in (23), w~hrend die bTorm de~ f-ten Basis- einheit Hf.s,,~-x dieses Grades nach Wahl der w~ bei (23) sicher yon hSherem Grade als h' ist, also die Basiseinheit ~7~' yore Grade h ' nur in l-ter Potenz enthalten karmaS). Dasselbe gilt leaner von den l~ormen der noch iibrigen Basiseinheiten B~,~, ~, deren Grad 0 :> h' ist. Denn nach dem obigen Hilfssatz 2 ist fiir diese wegen p ~ a~ der Grad der Einseinheit n (H~, 8, ~) aus /r sicher grSBer als der kritische Grad h' yon ~ , . Schlie~tich ist die l~orm yon H ~ : l - ~ w o 2 o , e i n e l-re Potenz in /r

Damit sind nnsere, Behauptungen auch flit den letzten Fall r -~ ~h ~- 1 ~ u~ ~ und somit die ~auf S. 267 aufgestetlten Haupts~tze 2 und 3 vollst~ndig bewiesen.

is) Letzteres ergibt sich unmittelbar aus der in M.D. entwickelten Regel zur Darstellung eines gegebenen Elementes yon k (I) dutch ein gegebenes Fundamental- system.

(Eingegangen am 1.5. 1923.)