Journal of Geometry Vol. 42 (1991)

0047-2468/91/020017-1351.50+0.20/0 (c) 1991Birkh~user Verlag, Basel

0BER DIE SCHWERPUNKTE STARK KONVEXER BEREICHE DER SPHARE

Randolf Arnold

The quermassvectors of Euclidean convex bodies due to R. SCHNEIDER are transferred to strongly convex regions on the spheres S 2 and S 3. Vector-valued

STEINER formulas and some further properties of spherical quermassvectors are developed.

Ein le i tung . Die ber~hmte Ste iner formel[16] f~r Pa ra l l e lku rven und -Fl~chen

wurde im Laufe der Jahre sowohl s t a rk ve ra l lgemeine r t a l s auch auf den n i c h t -

euklidischen Fall bbertragen. Insbesondere hat BLASCHKE[6] f~r konvexe

Bereiche der Sph~ren S 2 bzw. S 3 folgendes gezeigt:

( i ) Beim Obergang von einem konvexen Bereich K c $2 zum [uBeren Parallel-

bereich K gilt fQr den Umfang Lund die geod[tische CesamtkrQmmung F :=

2~ - A CA = Fl[cheninhalt):

ILK 1 Ec~ sin]ILK 1 F(Kr - s i n r cos ~ F(K)J

(1 )

(ii) Sei K c S 3 ein konvexer Bereich mit glattem Rand OK, M(K) := ~ H I do(OK)

_0Kf das In tegra l tiber die m i t t l e r e grtimmung yon OK und 9(K) := 2~ do(OK).

OK Dann g i l t

[MiKe) ]~: ~ [ cos 2e s in 2c ] [ M(K)] = . ( 2 )

�9 ( K ) / - s i n 2~ cos 2~ ~ (K )

18 Arnold

F~r das Volumen V folgt

V ( K ) = V(K) - ~ ( K ) s i n c c o s c + M(K) s i n e c + 2 ~ c . (3)

Verallgemeinerungen dieser S~tze lieferten HERGLOTZ[II] und SANTAL0[14]

den elliptisehen und den hyperbolischen l~um

ALLENDOERFER[I] f~r beliebige konstant gekr~mmte

faltigkeiten sowie HADWIGER[10] fur unter- und

zweidimensionaler Sph~en.

ffir

beliebiger Dimension,

Riemannsche Mannig-

fiberkonvexe Bereiche

Das Ziel der vorliegenden Arbeit besteht darin, dutch eine Obertragung der von

R. SCHNEIDER[15] eingef~hrten (euklidischen) Querma~vektoren auf die Sph~ren S 2

und S 3 vektorielle Gegenst~cke der Steinerformeln (I) und (2) mit ortho-

gonalen Koeffizientenmatrizen herzuleiten. Die sph~rischen QuermaBvektoren

kSnnen dutch Normierung als Kr~mmungsschwerpunkte der konvexen Bereiche

gedeutet werden.

I. Es bezeichne ~n+l den (n+l)-dimensionalen euklidischen Raum mit dem Skalar-

produkt <-,'> und der induzierten Norm I" I" Eine Te[imenge K der Einheits-

sphare S n := {X E ~n+l I Ixl = i} heist stark konvex, wenn fur alle x,y �9 K

ein GroSkreisbogen der L~nge < ~ yon x naeh y existiert und dieser in K liegt.

(Zu den verschiedenen Konvexit~tsbegriffen auf Mannigfaltigkeiten siehe auch

WALTER[17]}. WIt bezeichnen eine nichtleere abgeschlossene stark konvexe Menge

K c S n mit inneren Punkten kurz als konvexen Bereich. Das Symbol ~n steht f~r

die Menge aller konvexen Bereiche der S n. Jeder konvexe Bereich 1st in einer

offenen Halbsph~re enthalten.

0bet den spharischen Abstand @ mit

cos ~(x,y) := <x,y>, 0 ~ O(x,y) ~ u, x,y �9 S n

und den abgeschlossenen metrischen Ball

mit Zentrum x �9 S n und Radius c ist fur K �9 ~n der (nlcht notwendig konvexe,

allerdings abgeschlossene) iuBere Parallelbereich

K := U B(x,e) x�9

Arnold 19

yon K zum Abstand e definiert. Durcb den Hausdorff-Abstand

6(KI,K 2 c (K) und K c (K) } ) := inf {0 ~ e ~ ~I K 1 - 2 c 2 - 1 ~ '

wird X n zu einem metrischen Raum.

K 1 , K 2 E j{n

Die D e f i n i t i o n des konvexen B e r e i c h e s i s t mi t dem D u a l i t ~ t s p r i n z i p d e r S p h e r e

vertr~glich, denn ffir K E ~" ist der Durchschnitt derjenigen abgeschlossenen

Halbsph~ren, deren sph~riseher Mittelpunkt in K liegt, ebenfa]].s ein Element

von xn EP wird als konvexer Polarbereich K* yon K bezeiehnet. Der (Relativ-)

rand OK" yon K* besteht genau aus den in Richtung K weisenden sph~rischen

Mittelpunkten der (n-l)-dimensionalen St~tzsphs yon K. AuSerdem gilt stets

K*" = K.

Einen konvexen Bereich K e ~n wollen wir g l a t t nennen, wenn sein Rand OK eine

~-Hyperfl~ehe c S n mit nirgends verschwindenden Hauptkr~mmungen ist. Ein

Bereieh K e X n ist genau dann glatt, wenn K* glatt ist. In Analogie zum Eukli-

dischen l~St sich jeder konvexe Bereieh K c S n dureh glatte konvexe Bereiehe

im Sinne der Hausdorff-Metrik beliebig genau approximieren, da S n positive

SchnittkF~mmung besitzt (siehe BANGERT[4]). Wenn im folgenden also Eigen-

schaften stetiger Funktionale von (xn,6) in E n'l entwickelt werden, kSnnen wir

uns in den entspgechenden Beweisen auf glatte konvexe Bereiche zur~ckzuziehen.

Sei ~ das sph~rische Lebesgue-MaS. Durch

qo : •n -> En+l _ {0}, qo(K) := ~ x do

K

(x ~ K variabler Ortsvektor) ist ein vektorwertiges Funktional auf X n erkl~rt.

Der Vektor qo(K) f~illt in die Richtung des Yolumenschwerpunktes yon K,

entspricht also formal dem euklidischen "Zielvektor" (siehe SCHNEIDER[15]). In

Analogie zur Minkowskischen Oberfl~ichendefinition induziert qo i~ber

qo(K ) - qo(K) I q1(K) := ~ lim

X n IF TM ein weiteres Funktional ql : -> - {0}.

SATZ 1. ( a ) Die F u n k t i o n a l e qo und ql s i n d s t e t i g und d r e h a q u i v a r i a n t , d . h . e s

gilt q (~K} = eq.(K) fur alle ~ ~ $O(n+l), j = 0, i. l ]

20 Arnold

(b) Fur alle glatten Bereiche K �9 X n gilt

if ( i ) qo (K) = n N do(SK], ( i i ) q l

8K

w o b e i x d e n Rand v o n K d u r c h l a u f t and N(x) �9 8K ~

N o r m a l e n y o n 8K im P u n k t x l i e g t .

if (K) = n x do(SK),

8K

auf der spharischen (inneren)

Beweis. (a) W~hrend die Dreh~quivarianz der q. aus der Drehinvarianz des ]

sph~rischen Lebesgue-MaBes folgt, kann die Stetigkeit in Analogie zu dem

Beweis yon BANGERT[2],[3] fur den skalaren Fall (Volumen, Oberflgche) nach-

gewiesen werden.

(b) Sei e I .... 'en+l �9 [n+l ein euklidisches Rechtssystem mit den Koordinaten

X l , . . . , X n + 1 . W i r d d a s n - f a c h e V e k t o r p r o d u k t [ . . . ] d e s E n+l l i n e a r a u f

a l t e r n i e r e n d e D i f f e r e n t i a l f o r m e n f o r t g e s e t z t ( s i e h e a u c h FLANDERS[8]) , s o g i l t

im P u n k t x �9 8K w e g e n x • N

1 N do = (n- i)! [x, dx ..... dx] :: Z. (4)

Wir betrachten die Form Z auf [n+l und erhalten durch [uBere Differentiation

1 d~- (n- I)! [dx ..... dx] =

n+l /~ _ n!

(n - i)! ~. (-i) ]-I (dx A ... A dx A ... A dXn+l)e], j = l 1 ]

worin das Zeichen f fiber einem Symbol dessen Weglassung bedeutet. Die letzte

Summe stellt das n-dimensionale vektorielle Oberfl~ichenelement d$ im E n+1 dar.

Da fNr Teilbereiche der Einheitssph[re d~ = x d~ [st, folgt dz = nx d0~, also

(i) mit dem Satz yon Stokes. 0her

C

qo(Kc) = qo(K) + ~ f x do(SKr) dr (S)

0 aK r

erhalten wit (ii). []

Aus Satz l(b)(ii) ist ersichtlich, dab q1(K) in die Richtung des Oberflachen-

schwerpunktes yon K f~llt.

Arnold 21

2. Wit wenden uns dem Fall n = 2 zu. Der Rand OK eines glatten Bereiches K e

X2 ist eine konvexe Kurve, d.h. jeder GroBkreis schneidet 3K in hSchstens zwei

Punkten. Das Bogenelement ds und der Kontingenzwinkel d~ = K.ds (g = geo-

d~tische KrHmmung) von 8K stehen sich als duale GrS~en gegen~ber. Beim

Obergang zum polaren Bereich K ~ gilt also

ds = d~, d~ = ds (6)

(siehe auch H.R. MULLER[13], S.49). Ffir den Umfang von K und den Fl~cheninhalt

yon K folgt nach dem Satz yon GauS-Bonnet

L(K) + A(K*) = 2~.

Durch Approximation erh~it man die GHItigkeit dieser Beziehung auf ganz X 2.

Ist K ~ X2 glatt, so ist im Kurvenpunkt x �9 OK das begleitende orthonormierte

Rechtsdreibein durch v = x, v = dx/ds, v = v X v definiert. Dabei i 2 3 1 2

durchl~uft v den Rand des polaren Bereiches K. Die zugeh~rigen 3

A b l e i t u n g s g l e i c h u n g e n l a u t e n nach [13] , S .43

dv : v ds, 1 2

dv = - v ds + v d~, dv = - v d~. (7) 2 1 3 3 2

Satz l(b) sowie (6) und (7) liefern

2q (K*) : J~ v* ds* = ]" v 3 d~ : J~ v ds = 2q (K),

OK* OK OK (S)

f "f ds v I d~ = VIK ds. 2qo(K ~) = v* : 3

aK 8K OK

Damit f&llt qo(K ) in die Richtung des Kr;Jmmungsschwerpunktes yon K. Wir

definieren das stetige Funktional

q2 : j(2 -> IF.3 _ { 0 } , q2(K) := qo(K*)

und bezeichnen qo, ql,q2 als Querma~vektoren der S 2. Mit der Schreibweise

q~(K) := q . (K*) f o l g t aus (8) und A p p r o x i m a t i o n de r J J

SATZ 2. Auf ~2 g i l t

q0 = q2' ql = q1" D (9)

22 Arnold

Bemerkung. Sei K �9 ~2 und C c E 3 derjenige konvexe Kegel, dessen Spitze im

Ursprung liegt und K dutch K = C ~ S 2 erzeugt. Ist e e K lest, so ist C 0

Projektionskegel eines konvexen KSrpers (d.h. einer nichtleeren kompakten

konvexen Teilmenge) M der Tangentialebene T(e o) an S 2. Die gewShnliche

St~tzfunktion h : [0,2~[ ~ ~ des KSrpers M induziert nun vermSge ~(t) =

arctan(h(t)) die spharische Stutzfunktion ~ des konvexen Bereiches K bzgl. des

Zentrums eo, wobei sich die bekannten Glattheitseigenschaften yon h (siehe

z.B. [5]) auf W Qbertragen. Zu den wichtigsten z&hlen die Lipschitz-Stetigkeit

und die Existenz der einseitigen Ableitungen n'(t-), ~'(t+), die ihrerseits

Funktionen beschr&nkter Variation sind. Wird e e S 2 zu einem orthonormierten 0

Rechtsdreibein eo,el,e 2 des E 3 erg&nzt, so kann man zeigen, dab

2 ~

2q1(K) = (- ~ cos ~ (~,2 + cos2~) I/2 cos t dt) e I +

0 2H

+ ( - ~ COS ~ ( ~ , 2 + C 0 S 2 ) 1 / 2 s i n t d t ) e + 2

0 2~

+ ( 2 COS n ( ~ , 2 + COS2n)1 /2 d t ) e , 0

0

2q2(K) =

2~

( S (~ + sin ~ cos N) cos t dt) e + I

0

2E

+ ( 7 (~ + sin ~ cos ~) sin t dt) e + 2

0

2~ + ( f c0s2~ dt) e

0 0

Diese Formeln stellen sph~rische Analoga zu Resultaten von KUBOTA[12] und

BOSE/ROY[7] dar. Insbesondere l~Bt sich das Zusammenfallen des Zentrums e mit 0

der Richtung der QuermaBvektoren qt(K) bzw. q2(K) dutch das Verschwinden der

linearen Fourierkoes163 gewisser Funktionen yon D und ~' kennzeichnen. �9

Ist K e ~2 glatt, so durchl~uft

(v) = v cos c - v sin c (i0) 1 C 1 3

(0 -< ~ < 2 ) den Rand des Parallelbereiches K e. Das begleitende Dreibein der

Kurve aK wird durch

(v2) ~ = v2, (v) = v sin c + v cos c (ii) 3 C 1 3

Arnold 23

vervollst&ndigt. Die entsprechende Transformation von Bogenelement und Kon-

tingenzwinkel ist durch

ds = ds cos ~ + d~ sin

d~ = -ds sin e + d~ cos e

gegeben, wobei Integration die Steinerformel (i) liefert.

(12) folgt nach einiger Rechnung

Aus ( 5 )

(12)

und 1 0 ) -

q o ( K e ) = q o ( K ) c o s 2 s + 2 q l ( K ) c o s e s i n s + q 2 ( K ) s i n 2 e

q l ( K c ) = - q o ( K ) c o s c s i n s + q l ( K ) ( c o s 2 c - s i n 2 c ) + q 2 ( K ) c o s c s i n

q 2 ( K ) = q o ( K ) s i n 2 c - 2 q l ( K ) c o s s s i n e + q 2 ( K ) c o s 2 s .

( 1 3 )

Die Cruppe der Drehungen eines dreidimensionalen euklidischen Raumes ~3 um den

Ursprung wird unter der kinematischen Abbildung bijektiv auf einen drei-

dimensionalen elliptischen Raum ~3 abgebildet, dessen Punkte ~blicherweise

dutch normierte Quaternionen A = (ao, ai,a2, a 3) dargestellt werden. Die

Umkehrabbildung ist dutch die CAYLEY-Formel

(7 =

_ 2 2 a 2 + a 2 a - a

0 1 2 3

2(-aoa 3 + ala 2)

aoa + a a ) 2( 2 i 3

+ a a ) 2 ( - a a + a l a 3 ) 2 ( a o a 3 i 2 o 2 2 2 2 2

- + a - a 2 ( a a + a 2 a 3 ) ao a l 2 3 0 1 2 2 2 a 2

2 ( - a a + a a ) a a - a + 0 1 2 3 0 1 2 3

gegeben, die jedem A e E 3 eine Drehung ~ �9 S0(3) zuordnet (siehe [9], S.237).

Die Koordinaten (ao, al,a2, a3) werden auch als EUiER-Parameter von

bezeichnet. Setzt man a =: cos ~, so stellt ~ eine Drehung hit dem Drehwinkel 0

2~ um eine Achse dar, deren Richtungsvektor die Koordinaten al,a2, a 3 besitzt.

Ersetzen wit in (13) ql dutch ~/2"ql' so geh~rt die entsprechende Koeffizien-

I I tenmatrix ~ der Gruppe S�9 an, wobei (cos c, -- sin ~, O, -- sin ~) die

EULER-Parameter von ~ sind. Als Cegenstfick zur Steinerformel (i) erhalten wit c

den

24 Arnold

X2 SATZ 3. F~r a11e K e X 2 und 0 ~ ~ < ~ mit K e gilt

qi(Kc = o-r q l ( K ) ] ,

q2(Ks qz(K)J

( i4)

i I wobei ~ ~ S0(3) mit den EULER-Parametern (cos e, -- sin c, O, -- sin e). []

e v~ v~

Aus Satz 3 folgt die Parallelinvarianz des Vektors s(K) := qo(K) + q2(K). Wit

bezeichnen s(K) als Steinervektor des konvexen Bereiches K. Diese Definition

erfolgt im Einklang mit der sph~mischen Kinematik, da 2s(K) im glatten Fall

das Integral des Darbouxvektors (Riehtungsvektoms der momentanen Sehraubachse)

vl.d~ + v3.ds des Dreibelns vl,v2, v 3 ist (vgl. [13], S.42). Im allgemeinen

f~llt also keiner der QuermaZvektomen q (K) in die Richtung des sph~rischen 3

Steinemvektops s(K).

F~llt eine regul~re Kurve c auf der N 2 mit ihrer inneren Parallelkurve zum

Abstand ~ (0 < ~ < ~) zusammen, so ist c nach BLASCHKE[6] yon der konstanten

Breite 8. Die Definition der konstanten Breite l~Bt sich auf Bereiche K e X2

wohl am einfachsten dutch die Forderung

K = n B(x,~) xEK

ausdehnen.

Bei einen konvexen KSrper konstanter Breite im E n bestehen nach SCHNEIDER[IS]

gewisse affine Relationen zwischen den Schwerpunkten, aus denen sich sofort

lineare Relationen zwischen den QuermaNintegralen ergeben. Auf der S 2

existienen entsprechende lineare Beziehungen, wobei nach BLASCHKE[6] fur die ~2

skalaren GrSBen L(K) und F(K) eines Bereiches K ~ der konstanten Breite

L(K) cos ~ = F(K) sin 2"

(15)

gilt. Das vektorielle Gegenst~ck zu (iS) erhalten wiP, indem in dee letzten

Zeile yon (13) e dutch -8 ersetzt wird:

q2(K) = qo(K) sin2~ + 2 q (K) cos ~ sin ~ + q2(K) cos2~.

Es folgt

2ql cos fl = (q2 - qo ) sin ( i6)

und damit dee

Arnold 25

SATZ 4. Bei einem Pereich K ~ ~2 konstanter Breite ist der Vektor q2(K)-qo(K)

ein Vielfaches yon q1(K). Insbesondere liegen die Vektoren qo(K),ql(K),q2(K)

und s(K) in einer Ebene.

3 . Zur D i s k u s s i o n d e s d r e i d i m e n s i o n a l e n F a l l s Hbertragen wit z u n ~ c h s t einige

Elemente der auf BLASCHKE zurHckgehenden Flgchentheorie des dreidimen-

sionalen elliptischen Raumes auf S 3 (siehe [13],IV,w

Sei K e X3 ein glatter konvexer Bereich. Mit jedem Fl~chenpunkt x e aK ist ein

begleitendes Polartetraeder Ao, AI,A2, A 3 depart verbunden, d~u8 A 3 den

sph~rischen Mittelpunkt der Teungentialsph~re an aK im Punkt x = A bildet 0

(d.h. A = N = A*). Die A wePden fiblicherweise als normierte Quaternionen 3 0 j

aufgefaBt. Wegen <dAo,A3> = 0 erh~it man Ableitungsgleichungen der Gestalt

dA = A~ + As 0 i i 2 2

= - + -

dA 1 AO~Z 1 A2~ 3 A3~ 2

d A 2 = - AO~ 2 - A1/~ 3 + A3/~ 1

dA 3 = AI~ 2 - A2~ I

mit Pfaffschen Formen ~i,~j. Auf OK bzw. OK

Bogenelementes

(17)

ergibt sich ffir das Quadrat des

ds 2 Cr i 2 2

( d s * ) 2 : /31 + /3 2,

f~r das Fl~chenelement

do = ~ do 1 A ~2' = ~i A ~2 (18)

und ffir das Fl~chenelement des sph~rischen Normalenbildes

do + do* : (19)

Die mittlere Krilmmung H i und die Gaul3sche Kri]mmung H 2 gehen aus

~ H ~ ~ + ~ A ~ = 2H do , ~ = H do = do = 2H 1 do = ~1 A ~1 2 2 2 2 (2O)

hervor, wobei fQr die HauptkrHmmungen KI,K 2 gilt:

26 Arnold

~i + K2 = 2Hi, KIK2 = H2 - I. (21)

Wit benStigen ferner die aus (17) flieRenden Integrabilit~tsbedingungen

d81 = 8 3 ^ 8 2 , d8 2 = - 83 ^ 81 - (22)

LEMMA i. Fur allr glatten Bereiche K ~ X 3 gilt

�9 f �9 f (i) 3qo(K ) = XKIK2do, (ii) 3qi(K ) = xHido.

3K 8K

Beweis. Aus (19) bis (21) folgt do = (H- l)do = K K do. Satz l(b) liefert 2 I 2

= do ~ ~ AoKIK2d~ ~ XKIK2 d~ 3qo(K*) ~ A* = = 3 3K OK OK

also (i). Zum Nachweis von (ii] beginnen wit mit der rechten Seite

erhalten sukzessive Anwendung von (20),(17),(22) und (18)

und

2AoHido = AO(~ I A 81 + ~2 ^ 82) =

= + - A382) ^ 81 + (-dA - + ^ 82 (-dAl A283 2 A183 A381) =

= 2A381A 82 - (dA 1 ^ 81 + dA 2 A 82 + A2d82 + Ald8 I) =

= 2A ~ do ~ _ d[Ao, A3,dA3].

Die Behauptung folgt aufgrund der Geschlossenheit yon OK mit Hilfe des Satzes

yon Stokes. []

Definiert man die stetigen Funktionale

q 2 ' q 3 : }(3 ~ E4 _ {0} , q2(K) := q l ( K ~ ) , q3(K) = qo(K~) ,

so fallen also q2(K) und q3(K) im glatten Fall in die Richtung der

Schwerpunkte yon aK bzgl. der Massenverteilungen (K + K )/2 und K K . Fiir die 1 2 1 2

Querma8vektoren qo, ql,q2, q3 der S 3 folgt der

SATZ 5. Auf X 3 gilt

qo = q3 ' q l = q2" o (23 )

Arnold 27

Im glatten Fall fQhrt

(Ao) c = A ~ c o s c - A 3 s i n c , (A1) r = A 1,

(A3 ] c A o = A 2, = s i n ~ + A 3 COS C, (A2 ] ~ (24)

zu einem Polartetraeder der Parallelfl&che

erfahren dabei die Transformation

8K yon 8K. D i e Formen cz i , 8j

( a l ) e = ~1 c o s c - ~2 s i n r ( ~ l ) c = ~1 c o s c - ~2 s i n c ,

(~2)c = ~1 sin c + a 2 cos c , (~2)c = al sin c + ~2 cos c ,

Es folgt

2 do ~ . 2 do = do cos c + 2H do sin c cos c + sln c, C 1

(H) do = (do - do) sin c cos c + H do (cos2c - sin2c), (25) 1 C ~ 1

(H)c d o s = H2 do = ft.

Zur Erzeugung einer orthogonalen Koeffizientenmatrix in (25) f~hren wir die

2-Formen

( m i t T* 1

1 * = - : = H do ~1 : = ~ ( d o - d o ) ~ d o , ~2 i

= -TI, x*2 = ~2 ) ein und erhalten

[:] [cos2 sn2 o1[ 1 = -sin 2c cos 2c 0 x ,

2 0 0 1 2 C

( 2 6 )

insbesondere auch die Steinerformel (2).

Ein vektorielles Analogon der Formel (2) mit einer Koeffizientenmatrix aus der

Gruppe S0(4) ergibt sich durch eine regul&re lineare Transformation des

Systems qo' q1' q2'q3" Da fiJr. jeden glatten konvexen Bereich

1 1 1 ; AoTI = 2(q3 - ql)' ~ f AOT2 = q2 '

1 1 1 ~ ~ A3T1 = ~(-qo + q2 ), ~ ; A3T2 = q I

28 Arnold

ist, setzen wit auf ~3

1 1( PO := 2(q3 - ql ) ' Pl := q2' P2 := 2 -qo + q2 ) ' P3 := ql"

Es gilt einerseits Po = -P2' Pl = P3' andererseits folgt aus (24) und (26) der

~3 SATZ 6. Fur alle K e und 0 ~ c < ~ m i t K c

Po(Kc ) ]

Pi(Kc ) ] =

P2(K8) [ ~C

P3(Kc)J

wobei o- e S�9 mit 8

e 1< 3 g i l t

Po CK) ]

PI(K) I

P2(K)I '

P3(K)J

0-

I cos 2e sin 2c 0 0

= l-sin 2c cos 2~ 0 O

[: 0 cos 28 sin 2e

0 -sin 2c cos 2c

cos r O -sin c 0 ]

I 0 cos c 0 -sin e

sin 8 0 cos e 0

0 sin c 0 cos c

B

Die Drehung ~ l~St sich als Produkt aus einer Linksschiebung ~ und einer 8 L

Rechtsschiebung ~ des elliptischen Raumes E 3 deuten, wobei ~ und ~ durch R L R

die Q u a t e r n i o n e n (cos 2c, - s i n 2e, O, O) und (cos e, O, s i n e, O) d a r g e s t e l l t

werden (siehe auch [13], S.74).

LITERATUR

[I] ALLENDOERFER, C.B.: Steiner's formulae on a general S n+1. Dull. Amer. Math. Soc. S4, 128-135 (1948).

[2] BANGERT, V.: Konvexitgt in riemannschen Mannigfaltigkeiten. Diss. Univ. Dortmund. 1977.

[3] BANGERT, V.: Konvexe Mengen in Riemannschen Mannigfaltigkeiten. Math. Z. 162, 263-286 (1978) .

[4 ] BANCERT, V.: Ober d i e A p p r o x i m a t i o n yon l o k a l konvexen Mengen. Manusc r i p - t a Math. 2S, 397-420 (1978) .

[6 ] BLASCHKE, W.: Beweise zu den S&tzen yon Brunn und Minkowsk i f iber d i e Mi - n i m a l e i g e n s c h a f t des K re i ses . Jber . DMV 23. 1914.

[6 ] BLASCHKE, W.: E i n i g e Bemerkungen f iber Kurven und F l&chen k o n s t a n t e r B r e i - t e . L e i p z i g e r Ber. 67, 290-297 (1915) .

[7 ] BOSE, R.C. , ROY, S.N. : Some p r o p e r t i e s o f t he convex o v a l w i t h r e f e r e n c e to i t s p e r i m e t e r c e n t r o i d . B u l l . C a l c u t t a Math. Soe. 27, 79-86 (1936) .

Arnold 29

[8] FLANDERS, H.: The Steiner point of a closed hypersurface. Mathematika 13, 181-188 (1968).

[9] GIERING, 0.: Vorlesungen Nber hShere Geometrie. Braunschweig: Vieweg. 1982.

[i0] HADWIGER, H.: Die erweiterten Steinerschen Formeln fNr ebene und sph~ri- sche Bereiche. Comment. Math. Helv. 18, 59-72 (1945).

[ii] HERGLOTZ, G.: Ober die Steinersche Formel fNr Parallelfl~chen. Abh. Math. Sem. Hamburg 15, 165-177 (1943).

[12] KUBOTA, T.: Ober Schwerpunkte der geschlossenen Kurven und Fl~chen. Tohoku Math. J. 14, 20-27 (1918).

[13] MOLLER, H.R.: Sph~rische Kinematik. VEB Deutscher Vlg. d. Wissenschaften Berlin 1962.

[14] SANTALO, L.A.: On parallel hypersurfaces in the elliptic an hyperbolic n- dimensional space. Proc. Amer. Soc. I, 325-330 (1950).

[15] SCHNEIDER, R.: KrNmmungsschwerpunkte konvexer KSrper I. Abh. Math. Sem. Hamburg 37, 112-132 (1972).

[16] STEINER, J.: Ober parallele Fl~chen. Monatsberichte der Akadademie der Wissenschaften zu Berlin 114-118 (1840). Oder: Ges. Werke Bd. 2, 171-176. G. Reimer. Berlin 1882.

[17] WALTER, R.: Konvexit~t in Riemannschen Mannigfaltigkeiten. Jber. DMV 83, 1-31 (1981).

Randolf Arnold Fachbereich Mathematik Universit~t Dortmund Postfach 500 500 D-4600 Dortmund, Bundesrepublik Deutschland

(E ingegangen am 29. Juni 1990)

( R e v i d i e r t e Form am 22. A p r i l 1991)