Oher die stochastische Unabhangigkeit gewisser Funktionen von RanggroSen

Von HANS-JOACHIM ROSSBERG in Berlin

(Eingegangen am 4. 6. 1963)

Wir betrachten n unabhangige ZufallsgroBen x1 , . . . , x,, die die Ver- teilungsfunktion F (x) haben mogen. Die RanggroBen

(1) t I 5 E P i * * - i 5,, Bind dann wie folgt definiert : Treten bei einem Experiment an den xi die Zahlen Xi (i = 1 , . . . , n) auf und werden die Xi der GroBe nach geordnet, so ist tk dcr k-te unter ihnen ( k = 1, . . . , n) ; sind mehrere Xi einander gleich, so werden sie irgeiidwie numeriert. Die Gesamtheit der Zufalls- grol3en t, , t2, . . . , 5, nennt man eine Variationsreihe mit der Grund- verteilungsfuiiktion F (x).

Infolge der Beziehungen ( 1) sind die RanggroBen einer Variationsreihe stets voneinarider abhangig. Es gibt jedoch Funktionen der tl, 1 2 , . . . , f , , die fur gewisse F voneinander unabhangig sind. Beispiele dafur findet man in [3]. Die vorliegende Arbeit licfert hinreichende Bedingungeii fiir die Unabhangigkeit von

Y J ( t L , 5 2 , . * , 5 k ) und Y ( E k , t k , 3 , * * - , 5J (1 < k < n ) ; dabei sind y uiid cp stets BoREL-mefibare Funktionen ihrer Argumente. Wie in [3] gezeigt wurde, kann die Unabhangigkeit gewisser y und y eine starke Einschrankung fiir F bedeuten, so daB man die Grundvertcilungs- funktion einer Variationsreihe durch diese Unabhangigkeit von y und y charakterisieren kann. Wir behalten uns vor, auf dieses Thema zuriickzu- kommen.

Durch die hier vorgelegten Resultate und ihre Beweise wird die Ver- mutung nahegelegt, daB in der eingeschlagenen Richtung weitere Aussagen gelten. Es mag daher als gerechtfertigt erscheinen, daI3 wir hier zwei ver- schiedene Beweismethoden ausfuhrlich darlegen, die sich zur Losung der gestellten Probleme anbieten.

Zum Ausgangspunkt nehmen wir den folgenden einfachen Satz, den wir liier nur der Vollstandigkeit halber anfiihren :

Satz 1. Wenn t k unabhiingig von ?+(ti, t2 , . . ., lk) oder unabhangig von y ( C k , tk L , , . . . , En) i s t , so sind y und y unabhangig voneinander. 11"

158 Rossberg, tfber die stochastische Unabhiingigkeit

Beweis. Da die RanggroBen t,, t 2> . . ., tn eine MARKovsche Kette bilden (vgl. [I], [3]), gilt nach Voraussetzung

P{p < x} = P{p < X I tk = a,} = P{p < 2ItL = a [ , t j = a,, . . .) tk = c L k } .

Mit P sind hier in der iiblicheii Weise unbedirigte bzw. bedingte IYahr- scheinlichkeiten bezeichnet. Wenn aber die Werte ai, a?, . . . , ak, die die RanggroBen E l , E x , . . . , El annehmen, keiiien EinfluB auf die Verteilung von ~1 haben, dann hat auch der entsprechende Wert von y ( E [ , t2, . . . , tA) keinen EinfluB auf sie, d. h. ly und q sind unabhangig. 1st aber Ek unabhangig von ly, so kann man in derselben Weise schlieBen; q. e. d.

Wir zielen im folgenden darauf ab, die Voraussetzungen des Satzes 1 aus anderen Voraussetzungeii herzuleiteii. Dabei beginnen wir mit eirieni Satz, den G. S. ROGERS [ 2 ] erstmals bewiesen hat, ohne jedoch Unstetig- keiten von F ( x ) zuzulassen.

Satz 2. Wenn bei festem h und k E h unabhangig von p(t,, E k + , , . . . , En) ( 1 2 h < lc < n) ist, so ist auch t k unabhangig von p; is t bei festern 1 und k Er unabhngig won ly ( E L , ( 2 , . . . , E k ) ( 1 < k < 1 5 n) , so ist auch tk unabhangig von ?y.

Beweis. Um die erste Behauptung zu beweisen, gehen wir davon am, da13 nach Voraussetzung auch beliebige stuckweise stetige Funktionen g ( t h ) und q ( q ) voneinaiider unabhangig sind und daher fiir ihre mathe- matischen Erwartungen, sofern sie existieren, die Gleichung

M [ g ( E h ) 4(p)1 = M g ( E h ) q ( q ) gilt. Wegen der schon erwahnten MARKovscheii Eigenschaft einer Varia- tionsreihe sind g ( t h ) und q(p ) unter der Bedingung th+, = u unabhangig (vgl. [3], Satz 8). Die obige Gleichung 1aBt sich daher in der Form

~ [ M { 9 ( E h ) I t h , i = 4 M(p(O1)/Eh+l = .>I =

= J ! f [ M { g ( E h ) I E h + , = 7-41] M g ( F )

schreiben. Mit q(u) = (1 (u 5 4 und der Abkiirzung 10 (u > x)

Rossberg, Uber die stochastische Unabhiingigkeit 159

Wir wahlen Stetigkeitspunkte y und y + d (d > 0) von 3'; y gehore keinem Konstanzintervall von F an. Die Zahl c > 0 wird durch

F h ( y ) = C(Fh(Y 3- 4 - m y ) ) bestimmt. Es sei I 1 P S Y )

1 O ( y + d < v ) .

l o

g(v) = - c (y < v 5 y + d )

Dann ist

J f { g ( E A I E , , I = u> =

(u 5 9)

(Y 2 Y + 4. = I' F-"(u) [P (y) - c ( F h (u) - Fh (y))] = T y , d (u) (y 5 u 5 y + d )

Die Gleichung (2) liefert nun

= p ( v < x, l h + 1 < y> - (P'< p ( l h + f < Y> y t d

f T y , d ( u ) H h , L ( U ) d P { E h ~ l <")* Y

Das Integral kann mit d beliebig klein gemacht werden, denn

(vgl. [4]) ist an der Stelle y stetig, und der Integrand ist beschrankt. Daraus folgt aber die Unabhangigkeit von F h , I und p. Durch weitere Anwendung des beschriebenen Verfahrens gewinnt man in endlich vielen Schritten die erste Behauptung.

Der zweite Teil des Satzes 1aBt sich auf den ersten zuriickfuhren, indem man die ZufallsgroBen yi = - xi einfuhrt, die die Variationsreihe

?]i = - CVL + I - % ( i = 1, . . . , n)

lieferii. Satz 2 ist hiermit bewiesen. Die hier vorgefiihrte Methode legt den Gedankeii nahe, die Aussagen von

Satz 2 auch aus anderen Voraussetzungen herzuleiten. In den folgenden beiden Satzen sind zwei Falle behandelt, in denen die dabei entstehenden analytischeii Schwierigkeiten gering sind.

zcnd - FF(Eh) Satz 3. F ( x ) sei stetig. Wrnn

umbhiingig sind, dann sind auch Ek und cp unabhangig. Wenn Fx und F(E7n)

y ( t ~ , t?, . , . , E k ) (1 < ks I < rnz n)

uncibhungig sind, dann sind auch Ek und y unabhungig.

160 Rossberg, Uber die stochastische Unabhangigkeit

Beweis. Der zweite Teil des Satzes larjt sich wieder auf den ersten zuruckfuhren, indem man die Variationsreihe (qi) benutzt, die die Grund- verteilungsfunktion 1 - F ( - x) besitzt.

Urn den ersten Teil zu beweisen, fuhren wir die ZufallsgroBen

zi = - log (1 - F ( ( x ~ ) )

ein. Sie fuhren zu der Variationsreihe Ti = - log (1 - F(Ei)) (i = 1, . . . , n ) mit der Grundverteilungsfunktion P{zi < z } = 1 - e - ' = E ( z ) ( z 2 0). Nach Voraussetzung sind also Ti - Ch und q unabhangig. Wie beim Beweis voii Satz 2 erhalten wir daher jetzt die Bedingung

(3)

Hier wird nur uber u-Werte integriert, die aurjerhalb der Konstanzintervalle von F liegen. Sie bilden den Wertevorrat der Umkehrfunktion P ( u ) von F (u). Wir fuhren daher in (3) eine neue Integrationsvariable durch

u = P(l - e - w ) = G(w)

eirr und erhalten ca E ( w )

0 = J M , ( W ) H ~ ( G ( W ) ) ~ J ( I - 0 0

Dabei ist (vgl. [3])

J q w ) = M W j - MI E j = G:(w)) = M{g(i'j - M I C j = w> E(7J)

Es sei y > 0 eine beliebige Zahl und d genuge der Bedingung 0 < d < y. Wir definieren die Funktion I" ( O ~ w ~ y - d )

11 (w 2 y ) ; (4) R(w) = Y ( W ) (y - d 5 w 5 y)

dabei sei die Funktion r (w) definiert durch ihre Ableitung Y

r'(w) = c[(y - w)(w - y + d ) ] h + ' , J' r ' ( w ) d w = 1. y - d

Wenn eine Funktion g ( u ) existiert, so daB

( 5 ) M,(W) = R(w), kairii man mit den am Ende des Beweises von Satz 2 arigewendeten Sehliisseir die Unabhangigkeit von Ef und cp zeigen. Satz 2 besagt dann, darj auch E . und p unabhangig sind.

Rossberg, Uber die stochastische Unabhangigkeit 161

Um die Losbarkeit der Integralgleichung (5) zu zeigen, fuhren u-ir die Abkiirzungen

ein. Eine einfache Rechnung liefert

Falls g (0) = 0, haben wir hiernach die Integralgleichung (NB : w - v = u) W

vor uns, deren Losbarkeit wir zeigen mussen. Der Fa l l j > h + 1 1aBt sich wegen

e icht auf den Fal l j = h + 1 zuriickfiihren. In diesem aber kann man durch mehrfaches Differenzieren einen ausgearteten Kern gewinnen, der die Form K 1 (w) K2 (u) hat. Da die entsprechende Integralgleichung eine Losung besitzt, ist auch ( 5 ) losbar. Wir fiihren die erforderlichen einfachen Rech- nungen hier nicht vor, zumal wir Satz 3 noch auf andere Art beweisen werden. Satz 3 ist damit bewiesen.

Lemma. Es sei F ( 0 ) = 0 ; F ( x ) sei fur x > 0 h-mu1 differenzierbur; die Ableitungen P'(z) , . . . , F ( h ) ( ~ ) seien von beschrankter Vuriation fur 0 s x 5 00.

ferner F' (+ 0 ) > 0. Dunn hut die Integrulgleichung

(6)

tvop(x) (h + l)-muZstetigdifferenzierburuundp3(i)(0) = O ( i = 0 , 1, . . ., h -1) ist Und p'h- (x) eine einseitige LAPLACE- Transformution besitzt, eine stetige Losung g ( x ) mit der Eigenschuft g(0) = 0 .

Beweis. Die unbekannte Funktion g(y) setzen wir als stetig mit g(0) = 0 voraus. Aus

5 2

JgC. - Y) dPh(Y) = J - Y) dg(y) = P(X) ( x 2 01, 0

162 Rossberg, Uber die stochastische UnabhBngigkeit

ergibt sich, wenii man ( h - 1)-ma1 differenziert, die Integralgleichung

X

( 7 )

mit d t m Kern S(z) =I h ! F'h (2) + F ( x ) s ( x ) , wo s ( x ) von beschrankter Variation in 0 5 x 5 00 ist. Die Funktion X(x) hat somit einen Sprung an der Stelle 0. Bezeichnet man die (einseitigen) LAPLACE-STIELTJES-Trans- formationen der Funktionen S , G, bzw. durch c, y , n, so liefert der Faltungssatz in einer Halbebene fiir die komplexe Variable z

S S ( x - y) d G(y) = p ' h - " ( x ) I J

1 y ( z ) = --n (2).

rs ( z ) 1

Nach einem Satz voii HILLE I ) ist __ uiiter unseren Voraussetzungen (im CT (2)

wesentlichen wegen des Sprungs von S (x)) eine LAPLACE-STIELTJES- Transformation; da,her ist auch y ( z ) eine Eolche. Die Integralgleichung ( 7 ) hat daher nach dcm Faltungwatz eine Losung von der Form

1 a o die Originalfunkticn S ( x ) zu __ von beschrankter Variation in jedem

ciidlichcn Intcrvall ist und die EigenEchaft S ( 0 ) = 0 hat. G ( x ) ist stetig differenzierbar 2) ; unsere obige VorausEetzung uber g (x) ist daher erfullt. Folglich konnen wir jetzt auf die Losbarkeit von (6) zuriickschliel3eii.

Satz 4. F ( x ) gtnuge f i i r gtwisses h den Bedingungtn dPs Lemmas (1 5 h < k < n ) . Wmn dann - th unabhangig z'cn p ( E k , tkt , , . . . , tn) ist, so ist auch 6, unabhangig z'cn ~ 1 . Geniigt F ( x ) = 1 - F ( - x) f u r gewisses h = n + 1 - 1 (1 < Ic 5 1 < n) den Bedingungtn des Lemmas, so folgt au.s dtr Unabhiingigkcit tcn y ( t I , t 2 , . . . , Ek) und t I , I - El d ie zon y und &.

B t w c i e . VC'ir klcweircn wicdtiLm nur die trste Halftc des Satzes. Ebeiiso vie die Gleichung ( 2 ) aus dcn Vorzurtttzungcn von Satz 2 folgt jetzt

a (2)

A

j k 9 (h , 1 - E f , ) I [,(+I = u> H,.t 1 (u) dP{E,+l < 211 = 03

U O

1 ) L C E T I C H , Handljuth der Iaplace-Transformationen, Bd. 111, 2. Xbteilung S. 122 :) C C € T . L ( H , Har.dtuch cler LaPlace-Transformationen, Bd. I, S. 116.

Rossberg, cber die stochastische Unabhilngigkeit 163

In unserem Lemma setzen wir jetzt p ( u ) = R(u) (vgl. (4)) und erhalten 03

f R(u) H,+,(u)d (1 - F(u))n-h=O. iJ

Von hieraus gelangen wir wie am Ende des Beweises von Satz 2 auf die Beziehung

?H,+,(u)d(l -F(u))"-h=O ( O < y < 03). Y

Integriert man die Funktion (h

y bis co, so folgt (vgl. (2a))

Fh (u) beziiglich dieses Ausdrucks von

c-2

O = J' H h + 1 (u ) d p {[/I+ 1 < ; 31

also sind th L , uiid p unabhangig. Satz 2 liefert nun wieder die Behauptung. Die Gultigkeit der Aussage von Satz 4 hangt vermutlich nicht von den

dort uber F (x) angenommenen Voraussetzungen ab ; vielmehr scheinen diese nur durch analytische Schwierigkeiteii bedingt zu sein. Es liegt daher nahe, nach einer anderen Beweismethode zu suchen und insbesondere die von ,4. RENYI [I] in die Theorie der RanggroIJen eingeftihrten Mittel zu ver- wenden. Verfasser konnte jedoch auch mit ihrer Hilfe den Satz 4 nur auf Grund des obigen Lemmas beweisen. Fur Satz 2 und Satz 3 aber gestatten die Ideen von A. RENYI sehr einheitliche Beweise; allerdings muIJ dabei die Stetigkeit von F angenommen werden, was in Satz 2 nicht geschah. Dariiber hinaus werden wir auf diese Weise ein Resultat gewinnen, das die Satze 2 und 3 als Spezialfalle enthalt.

Die Methode von R ~ N Y I beruht auf der schon erwaihnten Tatsache, daIJ man aus den [, durch die Transformation Ci = - log (1 - F ( t i ) ) , deren Umkehrung ti = G(Ci) (i = 1, . . . , n) sei, eine Variationsreihe mit der Grundverteilungsfunktion E (x) = 1 - ecx (x 2 0) gewinnen kann. Eine solche Variationsreihe hat besonders einfache Eigenschaften : Die Diffe- renzen 6, = Ck - [,_ , (c0 = 0; k = 1, . . . , n) sind insgesamt unabhangigund haben die Verteilungsdichte (n - k ) e - ( n c k ) x ; feriier ist jedes [,L unabhangig von b,, = Ck - [, ; (1 2 h 5 j < k 5 n). dus diesen Tatsaclien und einigen Angaben, die sich z. B. in [3] finden, kann man sehr leicht die Verteilungsdichte fkh (x) von a,, berechnen. Es gilt

(8)

Die Funktion f,,,(x) ist ubrigens die Dichte von 6,, = Ck - C0 = tk. Diffe- renziert man (8), so ergibt sich die Beziehung

(9) f ; h (z) = - (n - k + 1) [ f k , (4 - f k - J , h (x)l * Zmeiter Beweis von Sa tz 2 . Nach Voraussetzung ist

iM(eitv 1 lh = xf (-- 00 < t < co)

164 Rossberg, Uber die stochastische Unabhingigkeit

unabhangig von x; daher ist

M{exp [it p (W3, G ( t k I A, . . . ., G(5,)l I 5;, = Y>=

== &f {exp lit a) ( C : ( c h f G ( < h f d h + I $ ) > * * * *

( c h f + d n k ) ) l I c h = y)

unabhangig von y. Nun ist aber ch unabhangig von den hier auftreteiideii 8, und deshalb ist dieser Ausdruck gleich

{exp lit + G(?# + + sk i f , k ) 7 ' * )

(y f f 6 n k ) ) l } = K ( t ) . Fiihreii wir die Abkiirzung

M {exp [it p (C:(L), . . ., G(5,)l I 5, = u>=

= M{exp [it p ( G ( u ) , . . ., G(u + d n k ) ) ] } = N ( u ) (10)

ein und beachten, daIj dhh unabhangig von den iibrigen hier auftretendeii 6 ist, so erhalteii wir

M

K ( t ) =s M{exp [it p (C: (y + a ) , C: (y + 2) + 6 k + I $ ) , . . ., 0

Q (y f + d,,))] I 6 k h = v} d P {&h < v} = Ca M

(11)

= s M (Y f w ) f k h ( w ) d f f = J f k h ( W - M ( w ) d z r * o Y

Falls k - h > 1, folgt nach (8) und (9) fiir fast alle y 00

K ( t ) = J f k - - I , h ( W - Y) "w) dw. Y

Nach k - h - 1 Schritten liegt somit die Gleichung M

K ( t ) = J f h + l , h ( W - y) M ( w ) dw Y

00

= (n - h) e + ( n - h ) ~ J e - ( n - h ) W M ( w ) dw Y

vor, uiid jetzt folgt M (y) = R(t) fast iiberall, undzwar zunbchst im LEBESGUE- schen Sinne, da Ck eine Dichte hat, aber auch im Sinne des MaSes voii T r , Dieses Resultat ist aber gleichbedeutend mit der Behauptung.

Zweiter Beweis von Sa tz 3 : Nach Voraussetzuiig sind

Rossberg, Ober die stochastische Unabhangigkeit 166

unabhangig von y. Hieraus folgt mit der Abkiirzung (10) a) f i i r j = k

Do

K ( t ) = JM{exp[it(?'(G(ch f Y ) , . . . , G ( c h f y f 6 , k ) ) ] 1 c h = u } d P { 5 , < u ) 0 Do

= J M ( u + Y)fhO(u) d u , (1

b) f u r j < k cem

R(t) = .f s iexp tit? (cr:(ch $. y f 8k3) , * . * ) G ( c h + Y f f b n k ) ) l I 0 il

i h = u, 6 k j = v} f h o (u) f k j ( v ) d u d v

=TTNcu f " + Y > f h O ( U ) f k j ( v ) d U d v il 0

Do Do =s f h 0 ( l J -- y ) M ( w + v ) f k T ( v ) d v d w * Y 0

Durch Differenzieren nach y folgt wie oben m

K ( t ) = J ' M ( y + v ) f k j ( v ) d v - 0

Der Fall a ) stellt somit, wie man durch Vergleich mit (11) erkennt, im wesentlichen dasselbe Problem wie das im Satz 2 behandelte dar. Der Fall b) dagegen wird in endlich vielen Schritten auf Satz 2 zuriickgefuhrt. Damit ist der Beweis beendet.

An die Stelle der Bedingungen [h = y und 6,h = y, die wir hier in die charakteristische Funktion von p eingefuhrt haben, kann man in der gleichen Weise Bedingungen der Form

PIs, f p2 82 f * * f /-l'kBk

,setZen, wo die Zahlen p, , p 2 , . . . , pk entweder 0 oder 1 sind. Man erkennt sofort, da13 die eben beschriebene Methode dann zur folgenden Ver- allgemeinerung fiihrt, die die Satze 2 und 3 als Spezialfalle enthalt.

Satz 5. F (x) sei stetig. U'enn d ie F u n k t i o n e n

u n d p ( E k , und p unabhangig. W e n n die F u n k t i o n e n

. . ., E n ) voneinander unabhangig s i n d , d a n n s i n d a u c h 6,

166 Rossberg, Uber die stochastische Unabhiingigkeit

und y (6, , E r , . . . , 6,) unabhangig sind, dann sind auch Ek und y unabh&ngig. Die Konstanten p , , p2, . . . , ,un haben dabei die Werte 0 oder 1 ; naturlich

tnussen die Bedingungen k n

pi > 0 bzw. pi > 0 erfullt sein. 1 k

Dieser Satz ist den von R ~ N Y I bereitgestellten Mitteln in besonderem NaI3e angepaBt. Dagegen zeigt sich bei Satz 4, daB die zweite Beweis- methode keinen Vorteil bietet. Wir skizzieren daher den Beweis nur kurz.

Zweiter Beweis zu Sa tz 4: Nach Voraussetzung ist, da eine Va- riationsreihe eine MARKovsche Kette bildet,

M{exp Lit 9 ( G ( c k ) ? . * . ) I G ( c h + l ) - ' ( e n ) = y) 00

= J'{exp Lit 9 ( G ( c h + l + d k , h t l ) , * * * j G ( c h , I f an,h f i ) ) I 0

G(Ch, , )=u + Y > G ( C h ) = U } d P { E h < uIth+i - t h = y } ma

=J'{exp Lit 9 (G cGCu f 9) + ' k , h T I ) , . * ) G ( G ( u + y) + d n , h I ,))I> I)

x dP{En < uI E h rl - = y} = h ' ( t ) - - uiiabhiiiigig von y. Den Integrandeii ktirzen wir mit M ( G ( u + y)) ab. Die iiitegrierende Funktion ist

P(th < u I & + I - 5, = YI s " [ ( l - F ( w + y , y - (1 - F ( w + y + o y ) ) n - h ] d F h ( w )

- - -~~ ~ = lim 'I ~

J y+o J[(l - F ( w + y ) ) n - h - (I - F ( w + y + ~ I y ) ) " - ~ ] d F ~ ( w ) I 1

U

J' (1 - F ( w + y))" F' (w + y) d F h ( W )

J(1 - F(w + y))?L-/L V ' ( w + y) dF"(w)

f { M ( G ( u ) - K } [Fh-' (26 - y)F ' (u- y)] d ( 1 - F(u))"-h = 0 .

F" I(x - y) F'(2" - y);

0 - - 03

I1

Einfache Umforinungen fiihren nun a uf - - ma

t (19)

In der Integralgleichung des Lemmas ersetzen wir den Kern durch

t's sei wieder p (a) = I? ( u ) (vgl. (4)). Natiirlich hat anch die jetzt vorliegende Integralgleichuiig eine stetige Liisung g , beziiglich deren wir (12) intc- grieren. Dann gelangen wir in einer Weise, die wir schon beschrieben habeii. mi der Gleichung

R.ossberg, uber die stochastische Unabhangigkeit 167

- Hi er setzen wir wieder G ( u ) = - log (1 - F((u)) = w und differenzieren. Jet zt folgt J? (x) = K ( t ) fast iiberall. Diese Bedingung aber ist der Ausgangs- punkt unseres zweiten Beweises zu Satz 2, der uns auch jetzt wieder die Be hauptung liefert. Damit ist der Beweis beendet.

Literatur

[ 11 A\. R ~ Y I , On the theory of order statistics, Acta Math., Acad. Sci. Hungar. 4, 191-232

121 G. S. ROGERS, A note on the stochastic independence of functions of order statistics,

[3] H.-J. ROWBERG, Uber die Verteilungsfunktionen der Differenzen und Quotienten von

[4] N. V. SMIRNOW, Grenzwertsatze der Verteilung fur die Glieder einer Variationsreihe

(1953).

Aim. Math. Statist. 30, 1263-1264 (1959).

RanggroBen, diese Nachr. 21, 37-79 (1960).

(russisch), Trudy mat. Inst. Steklov 25, 59 (1949).