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Topologische Fragen der Differentialgeometrie44. Uber die Tangenten einer ebenen algebraischen Kurve. Von W. BLASCHKE und G. HOWE in Hamburg. Ein Gebiet der x, y-Ebene sei mit n(n ~ 3) Kurvenscharen u~(x, y) ~ konst, bedeckt, und zwar von jeder einzelnen Kurvenschar schlicht. Die Tangenten an die n Scharkurven in jedem Punkt unsres Gebiets setzen wir als verschieden voraus: (1) 0 ui Ox 0 uk ~x 0 ui Oy ~=0 ffir i ~: k. 0 Uk Oy Wir sprechen dann von einem ,,n-Gewebe". Wir wollen folgenden Satz beweisen: Wenn die Kurven eines n-Gewebes geradlinig s~nd und die Bedinqung n (2) ~ui(x, y) : koust. 1 identisch in x, y erfi~llen, dann sind diese Linien die Tangenten einer algebraischen Kurve der Klasse n. Dieses Ergebnis enthiilt ftir n ~--3 einen Satz von GRAr und SAUER ~) und ftir n ~ 4 einen yon uns beiden gefundenen Satz~) als Sonderfi~lle. Zur Bequemlichkeit des Lesers werden wir den Inhalt vorher- gehender Arbeiten dieser Reihe nicht als bekannt voraussetzen, sondern Dinge, die wir hier nochmals ben6tigen, wiederholen~). 1) H. GRA~ und R. SAUER, Sitzungsberichte Mtinchen (1924), S. 119--156. Ein einfacher geometrischer Beweis von BLASCttKE erscheint ni~chstens in Tohoku Math.- Journal. 2) W. BLASCHKE und G. HowE, Tso, hbbandlungen Hamburg 9 (1932), S. 95---101. Das hier benutzte Verfahren ist wie in Ts~ einem yon G. DARBOUX ~) nachgebildet. Die eine in T89 eingeftihrte Bedingung wird in T44 als unwesentlich erkannt. 3) Wir mSchten diese Gelegenheit benutzen, um Herrn E. KXHLER (zur Zeit in Rom) und den Herren G. LOCHS und E. SPERNER (zur Zeit in Hamburg) ftir ihre Hilfe bei der Ausarbeitung des Hilfssatzes yon w 2 bestens zu danken. Ferner mSchten wir darauf hinweisen, dal~ ein wesentlicher Fortscbritt in unserer Untersuchungsrichtung erzielt werden kSnnte dutch Vermeidung der in w 1 benutzten Einschriinkungen fiber Differeuzierbarkeit. Eine geometrische Deutung der Bedingung (2) ftir n z 4 bei W.]~LASCHKEand R. C. BOSE, Quadrilateral 4-webs of curves in a plane, Indian Physico- Mathematical Journal 3 (1932), S. 99--101.

Über die Tangenten einer ebenen algebraischen Kurve

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Page 1: Über die Tangenten einer ebenen algebraischen Kurve

Topologische Fragen der Differentialgeometrie 44.

Uber die Tangenten einer ebenen algebraischen Kurve. Von W. BLASCHKE und G. HOWE in Hamburg.

Ein Gebiet der x, y - E b e n e sei mit n ( n ~ 3) Kurvenscharen

u~(x, y) ~ konst, bedeckt, und zwar von jeder einzelnen Kurvenschar

schlicht. Die Tangenten an die n Scharkurven in jedem Punk t unsres

Gebiets setzen wir als verschieden voraus:

(1)

0 ui Ox

0 uk ~x

0 ui Oy

~=0 ffir i ~: k. 0 Uk

Oy

Wir sprechen dann von einem , ,n-Gewebe". Wir wollen folgenden Satz

beweisen: Wenn die Kurven eines n-Gewebes geradlinig s~nd und die Bedinqung

n

(2) ~ u i ( x , y) : koust. 1

identisch in x, y erfi~llen, dann sind diese Linien die Tangenten einer algebraischen Kurve der Klasse n.

Dieses Ergebnis enthiilt ftir n ~ - - 3 einen Satz von GRAr und SAUER ~) und ftir n ~ 4 einen yon uns beiden gefundenen Satz~) als

Sonderfi~lle. Zur Bequemlichkeit des Lesers werden wir den Inhal t vorher-

gehender Arbei ten dieser Reihe nicht als bekannt voraussetzen, sondern Dinge, die wir hier nochmals ben6tigen, wiederholen~).

1) H. GRA~ und R. SAUER, Sitzungsberichte Mtinchen (1924), S. 119--156. Ein einfacher geometrischer Beweis von BLASCttKE erscheint ni~chstens in Tohoku Math.- Journal.

2) W. BLASCHKE und G. HowE, Tso, hbbandlungen Hamburg 9 (1932), S. 95---101. Das hier benutzte Verfahren ist wie in Ts~ einem yon G. DARBOUX ~) nachgebildet. Die eine in T89 eingeftihrte Bedingung wird in T44 als unwesentlich erkannt.

3) Wir mSchten diese Gelegenheit benutzen, um Herrn E. KXHLER (zur Zeit in Rom) und den Herren G. LOCHS und E. SPERNER (zur Zeit in Hamburg) ftir ihre Hilfe bei der Ausarbeitung des Hilfssatzes yon w 2 bestens zu danken. Ferner mSchten wir darauf hinweisen, dal~ ein wesentlicher Fortscbritt in unserer Untersuchungsrichtung erzielt werden kSnnte dutch Vermeidung der in w 1 benutzten Einschriinkungen fiber Differeuzierbarkeit. Eine geometrische Deutung der Bedingung (2) ftir n z 4 bei W.]~LASCHKE and R. C. BOSE, Quadrilateral 4-webs of curves in a plane, Indian Physico- Mathematical Journal 3 (1932), S. 99--101.

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w 1. Ansatz nach Darboux'). Es seien x, y Parallelkoordinaten in unserer Ebene. Die Kurven

ui(x , y) ~ konst, i ~ 1, 2, 3, 4 m0gen mit den Geraden

(3) x + gi (ui) y ~-- hi (ui)

zusammenfallen. Dann ist

(4) O u, O ui Oy - - gi Ox

Aus (2) folgt mittels (4)

(5) ~ OUi __ 0 ~ g i OUi __ O. Ox ' Ox

Nach (4), (5) ist ffir, jeden Wert der Konstanten g

(6) , ~

Somlt kClnnen wir die Funktion

O ui O ui g Oy Ox Ou~.

= z . , ~ y - o . g i - - g

(7) F = X - - auch durch

(s) g F = y . -

0 ~i 0x

g i - - g

0 u~

Oy g~--g

erkli~ren und wegen (1) oder gi ~: gk ist F sicher nicht identisch Null. Aus (8) und (7) folgt ftir festes g

O ui O ui oF o z~ o ~ _ o ~ o~ _ oF

(9) g Ox - - Ox g i - - g Oy g i - - g Oy

Dazu ist nur nachzuweisen

(10) ~ 0ui 0 1 Oy Ox g i - - g

Das stimmt wegen Ox Oy g i - - g

Oui O 1

Ox Ox g i - - g

O ui O 1

Oy Oy g i - - g

-~ 0,

4) G. DARBOUX, Leqons sur la th~orie g~n~rale des surfaces, 1. Bd., 2. Aufl., Paris 1914, S. 15J--161; BLASCHKE-REIDEMEISTER, Differentialgeometrie 2 (1923), w 37.

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168 W. Blaschke und O. Howe.

da nach (3) gi nur yon ui abhiingt. Aus (9) oder

(11) g 0x 0y- F = 0

folgt, dal~ F yon x, y nur in der Verbindung x + g y ~ h abhi~ngt

(12) F = F(g , h).

Andrerseits ist 2' nach (7) der Quotient zweier Polynome der Grade n - - 1 und n in g

Pn-1 (g) (13) F - -

.P. (g) ,

deren Koeffizienten yon x, y abh~tngen. Pn hat genau den Grad n, dagegen P~-x in Wirklichkeit h(ichstens

den Grad n - - 3 . Entwickelt man ni~mlich F aus (7) nach Potenzen yon 1 :g, so erhi~lt man

1 ~ Ox __ 1 .d~ Ou~ 1 ~ Oui (14) F

g 1 gi g Ox .q~ __.qi 3x g

und nach (5) fallen darin die beiden ersten Glieder weg. F hat also ffir g = ~ eine Nullstelle mindestens dritter 0rdnung und somit kann P~-I ( g ) = P~-8 (g) h(ichstens den Grad n - - 3 besitzen.

Aus (12), (13) oder der Funktionalgleichung

(]5) . F ( g , x ' 4 - q y ) - - AOn--8(g) P~ (g)

wollen wir nun weiter schliel]en, da~ F rational in g und h = x + g y , d. h.' Quotient zweier Polynome in g, h ist. Dazu brauchen wir einen naheliegenden Hilfssatz.

w 2. l~ilfssa~z. Die Funktion g(~_ , ~) der beiden reellen Vergnderlichen ~, ~ soll f i ir

jedes feste ~ der Strecke c ~ ~ < d rational in ~ al le in, also yon der F o r m

A(~, ~) .q(~' ~) - - B (~, ~)

sein, wobei

A = . k (~) ~k, B = ~ , Zk (7) ~k 0 0

ist. Wit setzen voraus, daft e und ~ im ganzen ~-Intervall feste Zahlen sind. Ferner." daft g(~, ~) bei jedem festen ~ der Strecke a ~ ~ ~ b in

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(~ber die Tangenten einer ebenen algebraischen Kurve. 169

allein rational ist. Dann, wollen wir beweisen, ist g(~, ~) in beiden Vergnder~ichen gleichzeitig rational, d.h. Quotient zweier _Polynome in ~, ~'~).

I. Wir ktinnen durch Kfirzen erreichen, da~ an Stelle von A und B Polyuome A' und B' yon ~ treten, die ffir jedes feste ~] teilerfremd sind. Deren Grade werden in den einzelnen Punkten ~ verschieden sein. Die Maximalgrade der Polynome A' und B' nennen wir r und s. Wir ktinnen also

( 1 6 ) ~ = g(_~ , ~/) - - ~ _ A ' s B ~

o

annehmen ffir alle Punkte des ~-Intervalls, wobei an mindestens einer Stelle ~-----~o der Koeffizient bs(~o)�89 0 ist und fe l ler Zi~hler und Nenner teilerfremd sind. Die ak und bn sind (nicht notwendig stetige) Funktionen yon y.

II. Setzen wir in (16) ftir ~ den Wert ~i ein, so wird

A' (~i, ~]) (16a) ~i -~ g(~i, ~) - - B' (~.i, 'l)

nach Voraussetzung eine rationale Funktiou in v. Aus (16a) folgt

2 k~0 k~0

Hierin fassen wir die an, bn als Unbekannte auf. Dann behaupten wir: Es gibt r ~ - s ~ - 1 Stellen ~i, so da6 das Gleichungssystem

8 r

o o

den Rang q = r + s + 1 hat, so dal~ die q-reihigen Unterdeterminanten der Matrix

~1~ ~ - : ~1; ~:, _: , . . . , -1~ ~1.1 ; "" "~ (18) ~q~ r 6 '-1 ~r ~-1

nieht samtlich identisch in +/ verschwinden. Waren namlich h0chstens p < r g= s-f- 1 ~ q linear unabhi~ngige

Gleichungen (17) vorhanden, wie wir auch die _~i wahlen mt~gen, so ktinnten wir daraus einen Widerspruch herleiten. Dazu wi~hlen wir p Punkte -~1,-.',-~o so, dai~ in der Matrix

5) Fiir Funktionen zweier komplexer Veriinderlichen findet sich ein verwandter Hilfssatz bei W. F. 0SGOOD, Lehrbuch der Funktionentheorie 2 (Leipzig und Berlin 1932), S. 238.

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(19)

W. Blaschke und G. Howe.

. . . : , ; . . .

~ . ~,, . . . ~ ; ~," . . .

die ersten p Zeilen linear unabhi~ngig werden. Es verschwinden also nieht alle aus den ersten p Zeilen g ebildeten Unterdeterminanten. Spezialisieren wit das in (19) auftretende .~, so geht ~ in ~z ~--g(~, ~) fiber. Ftir jedes besondere ~ ---- .~z des _~-Intervalls versehwinden alle (p ~ 1)-reihigen Determinanten yon (19), weil nicht mehr als p linear unabh}tngige Zeilen der Matrix (19) vorhanden sind. Daher mfissen auch alle (p-{-1)-reihigen Determinanten yon (19), die ja statt der speziellen ~ die Veranderliche ,~ enthalten, identisch in ~ und ~ versehwinden, wobei _~ und ~ auf die Strecken a < ~ ~ b, c ~ ~ ~ d beschri~nkt sind.

Eine leichte Uberlegung zeigt nun, dal~ ~ dann eine rationale Funktion yon ~ ist, deren Nenner im ganzen Intervall c ~ ~ ~ d kleineren Grad als s in ~ besitzt. Wir unterscheiden hierbei zwei FMle:

a) Alle p-reihigen Unterdeterminanten, die kein Element der ersten Spalte und der letzten Zeile der Matrix

,q ~8--1 ~r . . . ~i ~I ~1 . i " ' " ~1; - I 1

~2-~ ~ - 1 . . . ~ ; ~'-2 "'" 1 (19) . . . . . . . . . . . . .

.p �9 �9 .p �9 -. 1 ~s ~ ~s--1 . . . ~; ~r . . . 1

enthalten, verschwinden. Dann gibt es aber mindestens eine nicht- verschwindende p-reihige Determinante, die Elemente der ersten Spalte, aber nicht der letzten Zeile enthi~lt. Wir wi~hlen nun eine (p ~-1)-reihige Determinante, die Elemente der letzten Zeile und mindestens eine der nichtverschwindenden p-reihigen Determinanten enthMt. Wir entwiekeln diese (p-t-1)-reihige Unterdeterminante nach der }etzten Zeile. In der so entstehenden linearen Gleichung ftir .~ mull ~ einen nicht identisch in } und ,1 verschwindenden Koeffizienten besitzen, da sonst eine algebraische Relation, deren Koeffizienten nicht samtlieh verschwinden, zwischen } und ,/ be- stehen wfirde. Das ist aber nicht m0glich, well _~ und ,; unabhangig sind. ~ li~ltt sich also rational berechnen. Schreiben wir ~ als Quotient zweier Polynome in .~, so hat der Nenner kleineren Grad als s, weil ~ }8 mit einer p-reihigen Determinante, die keine Elemente der ersten Spalte enthiilt, also mit Null, multipliziert ist.

b) Nieht alle p-reihigen Unterdeterminanten, die die letzte Zeile und die erste Spalte nicht enthalten, verschwinden. Dann wi~hlen wir

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t~er die Tangenten einer ebenen algebraischen Kurve. 171

eine (p+ l ) - r e ih ige Unterdeterminante aus, die die erste Spalte nieht enthalt. Das ist m6glich, weil mindestens p + 2 Spalten vor- handen sein mfissen. In der entstehenden linearen Gleiehung ftir kommt aber ~_~s gar nicht vor, so dal~ der Nenner also wiederum kleineren Grad als s besitzt. Aus demselben Grunde wie friiher verschwindet der Koeffizient yon ~ nicht identiseh. Wenn also wirklich p ~ r ~ - s . + 1 ware, so ware ~ darstellbar als

eine rationale Funktion in .~ und 7, die als Quotient zweier Polynome in ~ geschrieben, im ganzen 7-Intervall einen Nenner mit kleinerem Grade als s hatte, lm Widerspruch dazu existiert aber naeh I mindestens ein Punkt ~ / ~ 7o, in welehem die Polynome A' und B' teilerfremd sind, und in dem B' den Grad s besitzt.

Damit ist gezeigt, dab r - } - s + l Stellen _~i so gewahlt werden k0nnen, dab die Gleichungen (17 a) linear unabhangig sind.

III. Nun genfigen aber die Funktionen ak 0/) und bk (7) den Glei- chungen (17a). Daher mtissen die ak(7) und bk(~) wegen der linearen Unabhangigkeit der Gleichungen (17a) bis auf einen gemeinsamen Proportionalitatsfaktor gleich den (r+s+l)-reihigen Unterdeterminanten der Matrix (18) mit abweehselndem Vorzeiehen genommen sein. Diese Unterdeterminanten sind Polynome in den ~, und diese wiederum sind rational in 7. Setzen wir die Werte der ak und bk in (16) ein, so ist g(~, ~) in der Tat rational in den beiden Veranderlichen ~ und ~/ dar- gestellt.

w 3. Anwendung. Setzen wir in der Bezeichnung yon w 1

h - - g -~ ~., h -~ ~l (20) oder (21) ~--_~ : g , v : h,

so folgt aus (15), wenn wir

(22) y ( g , h) ---- , ,7) ---- ,j) setzen:

1. Ffir y ~ 0 ; h ~ x ; ~_ - ~ x - - g , 7- - - -x , dab G a u f den Geraden 7 ~ konst, rational in ~ ist mit Gradzahlen _< n.

2. Ftir y ~ 1; h - ~ x + g ; ~. ~ x , ~ -~ x + g , dal~ G auf den Geraden .~ ~--konst. rational in ~ ist. Somit ist nach unserm Hilfssatz G rational in beiden Verander-

lichen _~, 7 zusammen oder, was bis auf die lineare Substitution (20), (21) dasselbe ist, F ist Quotient zweier Polynome Q, Q in g, h

(23) F (g, h) - - Q (g' h) Q (g, h)'

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172 W. Blaschke und O. Howe.

Sind Q, Q teilerfremd, so haben die algebraischen Kurven Q = 0, Q~----0 in der x, y-Ebene, in der g, h Linienkoordinaten sind, nur endlich viele Tangenten gemein. Wi~hlen wir den Punkt x, y nicht auf diesen Tangenten, so zeigt die Darstellung (7) yon F, daft an Q ---- 0 dutch diesen Punkt genau n Tangenten g;, hi gehen. Somit ist Q ~--0 eine Kurve n-ter Klasse und alle Geraden unseres n-Gewebes sind Tangenten dieser Kurve.

w 4. Umkehrung. DaB die reellen Tangenten einer Kurve n-ter Klasse in einem

Gebiet, das yon ihnen n-fach bedeckt ist, die gewtinschte Eigenschaft haben, sieht man so. Es sei (24) Q (g, h) ---- 0

unsere Kurve und x, y ein Punkt der in unserm Gebiet beweglich ist, so dab die Gleichung (25) Q(g, x + g y ) = R(g) ~ 0

n reelle und verschiedene Wurzeln gi hat. Dann folgen aus der Teilbruchentwicklung

n 1 1 1 ~ 1 { ~_ (.q~)2 } 1 _ ~ R'(qi) --gi R'(.qi) 1-4- + q - ' " (26) R(g) 1 . . g g 1

da der Grad n yon R nach Voraussetzung =>_ 3 ist, die Identitiiten

(27) ~ 1 1~ g, R' (gi) - - O, R' (gi) - - O.

Andererseits ergibt sich aus (25) dutch Ableitung (Qt~ = 0 Q:oh)

(28) R'(gi) dgi+ Qh(gi, hi) (dx+g idy ) --~ O. Somit ist aus (27), (28)

" 2 (29) ~ dgi _ dx-f-.qi dy R' - - O. 1 Qh(gi, hi) 1 (gi)

Ftihren wir also auf unserer Kurve Q ~ 0 die sogenannten ABELSChen Integrale ein

~ i 7' d ~i

o Qh(gi, hi) ---- ui(x, y), (30)

so wird nach (29) n

(31) . ~ u i ( x , y) = konst. 1

Chicago und Hamburg, im Juli 1932.