U ber die Verbiegung yon FlPchenstucken positiver Krummung und einige Bemerkungen zum Verhalten der Losun gen partieller

Differentialgleichungen im Ubergangsgebiet.

Herrn Professor Dr. ERNST HULDER ZII seinem 60. Qeburtstag gewidnlet.

Von HERBERT BECBERT in Leipzig.

(Eingegangen am 9. 2. 1951.)

Die analytisclie Erfassung der stetigen Verbiegung von Fl&chenstiicken hat, obwohl der VerbiegungsprozeB der Anschauung besonders zugiinglich erscheint, seine eigentumlichen Schwierigkeiten. Der Grund hierfiir ist einfach anzugeben : Die Verbiegung ist ein ProzeB, der seine analytische Beschreibung durch nicht- lineare partielle .Differentialgleichungen bzw. Systeme solcher findet. Das Ver- fahren einer ersten Linearisierung, welche auf die Theorie der infinitesima,len Verbiegungen fiihrt, hat zwar auch fur die stetigen Verbiegungen wichtige Re- sultate ans Licht gefordert, allein es ist klar, daB eine wirkliche, uber Angn13r. von Starrheitssiitzen hinausgehende Beschreibung des stetigen Verbiegungs- prozesses auf diese Weise nicht gewonnen werden kann. Die Fortschritte in der Theorie der stetigen Verbiegung der Fliichen scheinen an die gekniipft zii sein, iqelche auf dem Gebiete der nichtlinea,ren partiellen Differentialgleichungeri gemacht werden. Andererseits liefert die Theorie der stetigen Verbiegung - ins- besondere mehr nnter Heniitzung topologischer Hilfsmittel erwiesene Stmrheits- satze - a.ufschluBreiche Aussagen uber das Verhalten der Liisungen nichtlinearrr Problenie in den nbergangsgebieten, worauf ich am SchluS hinweisen miicht'e. I n meiner Note ,,Bemerkungen iiber die Verbiegung von Flnchenstiicken neg a t' iver lWimmung"l) habe ich niiher ausgefiihrt, wie sich auf Grund der Existenx- uncl UnitStssiitze uher quasilineare hyperbolische Systeme pmtieller Different,id- gleichungen erster Ordnung2) eine gewisse Ubersicht iiher die Mannigfnltigkrit, geniigend reguliir vorausgesetzter Fliichenstiicke negativer Kriimmung ergil)t, die aus einem vorgegebenen Fliichenstiick iiegativer Kriiiiimung diirc4i Ver- biegung hervorgehen. Die Fundanientirlgleichu~ig~n der F18(,)1e1it.li~ol.ir siml

l ) Die Arbeit wurde im Juli 19!% durch Herrn Prof. Dr. E:. HC~LDXR der Saclisisc.hrn Akade~nie der Wissenschaften zu Leipzig vorgelegt. Sie diirfte in Kurze in dcn Bcr. Sacha. Akad. Wiss., Leipzig, math.-physische K1. erscheinrw.

2, Vgl. hicrzu H. BEVKERT, uber quasilinearc hypcrbolischc Systrnie partieller Difftx- rentidgleichungen rrstc'r Ordnung mit zwti unabhangigen Variablm, dasAnf~.iigsw(.rtpr~l)Iem, die gemischtc Anfangs-Randwertaufgabr, das charaktrristischr I'roblcm. H ~ T . Sacha. Aknd. Was., Leipzig, mat1i.-physischr KI. 97, Hvtt 6 (1950).

124 Beckert, Die Verbiegung von Flactenstiicken positiver Kriimmung.

niimlich einem quasilinearen System partieller Differentialgleichungen erster. Ordnung fur zwei der zweiten FundamentalgroBen aquivalent. Nimmt man die GauBsche Gleichung zur Bestimmung der dritten hinzu, so ist damit der Zugang zu den erwahnten Siitzen ohne weiteres hergestellt. Die Konstruktion des zu einem Losungssystem D , D' , D" der Fundamentalgleichungen gehorigen Fliichen- stiickes erfolgt dann in bekannter Weise iiber den Bonnetschen Satz.

I n der folgenden Betrachtung wird darauf hingewiesen, daB die in der vor- stehenden Arbeit ,,Abhangigkeit der Losungen quasihearer elliptischer Systemc partieller Differentialgleichungen erster Ordnung mit zwei unabhlngigen Variablen von einem Parameter'' geeignet sind, ganz allgemein die Verbiegung eines vor- gegebenen regularen Flachenstiickes positiver Kriimmung (vom Typus der Kreis- scheibe) analytisch zu beherrschen, sobald nur die von einern Parameter E ab- hangigen Anderungen gewisser Daten 1b;ngs des Randes nicht zu groI3 ausfallen 9).

Der Hinweis auf die zitierte Arbeit sei im folgenden durch A gekennzeichnet. Es mogen in bekannter Weise E , F , G ; D, D', DIt die ersten und zweiten

FundamentalgroBen bezeichnen. Mit ddn Abkiirzungen

f = (EG - F2) K ( u , V )

( K (u, w ) bedeutet das GauSsche KriimmungsmaB und

die Christoffelschen Symbole) nehmen die umgeformten Fundamentalgleicliunget~ die Form*)

LID aD' av au - A t

a D aD D 2 + f aD' 20' (1) I X+XT(T) au ( D ) x f , *

an. Sei jetzt So ein auf den Einheitskreis bezogenes Fliichenstiick elliptisclier Kriimmung:

5,: qI@, V ) , Y,(U, V ) , ZO('16, V ) .

E,, F,, Go; Do, D i , 0:' seien die zugehorigen Fundnmentnlgrijl3eii. E, , F,, Go setzen wir als zweimal holderstetig differenzierbar vornus. Do, DL, Dy , KO seien einmnl liijltlerstetig differenzierbar. Offenbar geniigen E,, . . . , 0:' dem System (1)

a) Uber die analytische Definition des Bcgriffes der stetigen Verbiegung vgl. etwa A. DUSCHEK und W. MAYICR, Lehrbuch der Differentialgeometrie I. Lcipzig 1930, S. 178.

4, Vgl. loc. cit. Fuhotc 1 .

Beckert, Die Verbiegung von Fllchenstucken positiver Kriimmung. 125

uber dem Einheitskreis E + S in der (u, w)-Ebene. Liings dsr Berandung S von E miigen die Fundamentalgrofien Do, DL als Funktionen der Bogenliinge s von S der linearen Randrelation (2) a0 (4 Do (4 + Po (4 u: (4 = Yo (4 genugen. Wie in A werde angenommen, es seien Funktionen ao(u, v), P0(u, v) mit in E + S H-Bedingungen mit dem Exponenten A geniigenden partiellen Ablcitungen erster Ordnung vorhanden, welche in E + S nicht zugleich ver- schwinden und die Randwerte a. (s) , Bo (s) annehmen. Seien weiter a (u, w) , @(u, v ) in E + S definierte Funktionen mit den gleichen Eigenschaften wie ao(u, v), Bo(u, w), ferner die Funktionen y 0 ( s ) , y ( s ) liings S holderstetig differen- zierbar und E > 0 ein Parameter, 0 < E 5 1. Wir suchen jetzt das Flachenstuck %o so ZII verbiegen, daB 1b;ngs der Berandung, auf den gleichen Definitionsbereich E + S bezogen, gilt:

(3) + Ea(s)lD(S) + [P&) + &11D'(4 = Y O ( 4 + &?(a) mit

a(4 =a($) --a,(s), B(4 = 8 ( 4 - P o w , ?(a) = y ( 4 - y o ( s ) .

Das aus .den ersten beiden Gleichungen (1) bestehende System ist ein quasi- lineares System partieller Differentialgleichungen erster Ordnung fur D und Df vom elliptischen Typus. Wir haben, um die kanonische Gestalt herzuleiten, als charakteristisclie Gleichung

(4)

Hieraus erhalten wir D' i

und fur die Koeffizienten pll, p12 der kanonischen Umformung ergibt sich

PI, = - D' i (T+-&)? P12 = 1,

Die kanonische Form des qnasilinearen elliptischen Systems lautet rlaher schlieBlicli

(5) A l ( A Z D U + 03 + (&D" + a) = M I + 1 * t z , A2(AlDU + 0;) + ( l 1 Q + D 3 = A l f l + 1 * f,.

Auf das System (5) wenden wir, ausgehend von deni LosungsFaar Do, Di , das die Randrelation (2) befriedigt, die SLtze von A an. Wir erhalten:

Wir kiinnen das Problem, Losungen D, D'von (5) uber dem Definitionsbereich E + S zu finden, welche die Randrelation (3) erfullen, auf die Losung eines Systems von Integrodifferentialgleichungen fur D - Do, Df - Dh zuriicl.f"l \ u iren. Dieses lsflt sich in ein System von nichtlinearen Funktionalbeziehungen fur D - Do, Df - DL und deren erste Ableitungen nebst H-Konstanten uberfuhren und fur hinreichend kleine E > 0 durch sultzessive Approximationen lijsen. Scliliel3en wir vorerst den Verzweigungsftill am, so erhalten wir fur alle hin-

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reichend kleinen E el ein einziges, samt seinen partiellen Ableitungen erster Ordnung nebst deren H-Konstanten beziiglich eines Exponenten 1 (0 < 1 < 1) hinreichend wenig von der Ausgangslosung abweichendes Losungssystem

a(%, v ) 3 v ) 9

das (3) liings S befriedigt: Die letzte Gleichung (1) liefert das zugehorige B’,’(u, v ) . Nach der Bonnetschen Fliichenkonstruktion gehort dann zu Dr(u , v), D’,(u, v ) , D’,’(w, w) fiir jeden Wert des Parameters E E~ ein in 3, stetig verbieghares Fliichenstiick ’&. Lassen wir, die Randdaten stetig abiindernd, den Parameter e das Interval1 0 E monoton durchlaufen, so liefert unsere Konstruktions- inethode in stetiger Ahhiingigkeit von E die einzelnen sich bei dem stetigen VerbiegungsprozeB von 8, in 3e, ergebenden Flachenstiicke. Diese analytische Beherrschung des Verbiegungsprozesses im Interval1 0 _I E 5 c1 1iiiSt sich nach A iiber el hinaus Eortsetzen, indem wir das entsprechende Problem mit &, als ~411sgangsflachenstiick stellen. Wir gelangen zu einem Fliichenstiick (q < E ~ ) ,

1ii.ngs dessen Bemndung die Relation (3) fur E = e2 erfiillt ist, und einer ent- sprechenden Ubersicht uber die einzelnen Stadien der Verhiegung im Int.ervnl1 el 5 E c2, usf. Wenn so die Losung unseres Biegeproblems innerhalb eines hinreichend kleinen Intervalls 0 < E E + mittels unserer Methode der Fort- setzung der Losungen nach einem Parameter gelingt, so bleibt jeweils natiirlich die Frage, ob wir his zum Parameterwert E = 1 gelangen konnen. 1st dies tier Fall, dann konnen wir ersichtlich in der gewiihlten Darstellung u , v iiber E -I- J’ den stetigen VerbiegungsprozeB von 5, in ein Fliichenstiick 3 verfolgen, tlessrn Fundamenta.lgronen langs des Randes i n derselben Durstellung der IEelntion

(6) a (4 D (4 + B (4 D‘ (4 = y (4 genugen. Es ist zwar ein Uberspringen des Systems (1) ins Hgperl)olisclie lvegen (4) grundsiitzlich ausgeschlossen, doch konnen natiirlich die von den vorher- gegangenen Liisungen abhiingigen Koeffizienten iinseres Systems bzw. tleren Ableitungen bei dem Fortsetzungsverfahre~i unbegrenet zii wachsen beginnen. Wir stonen dann auf eine zusiitzliche an die Nutur des Uiegii~igs~~rohlrni~ zu stellende Forderung, dnB sich niimlicti a priori Abschiitziuigen fiir letztwe fintlrn lilssen6).

In diesem %i~sammenhnng sei noch eine Schwirrigkeit i n ii~isrrtw -4nsat.z liervorgeliohen: Es ist dies die Notwendigkeit, iins auf lineare, naturgrinl8 nicht in~ar i i~nte l?iindrelationen fiir zwei der tlrei Fiind;imeiitnlgrd8eri D , D’. D” 1)esctiriinken zii miissen. Wir sind :ilso weitgehend a n die einrnnl gtwiililte Dnr-

Bislier Iinben wir den Vrrzwrigungafull ~ I I I S ~ P S C ~ I ~ O S S ~ I I . JAussen wir ihii ZU, so liaben wir ersiclitlich niicli niit der Mijgliclikeit drr rerllen Verzweigung tler Losungen iiiiseres I3irgungsprol1Ierns zu rec:hnen ( n i i i n vgl. liirrzu tlir Ausfiih- riiiige~i i i i A). Perner kilnri niitiirlicli in diesem Fall tlrr ariiilytisi:he Fortsrtzuiigs- prozeB geheninit werden.

stellung gebllntlen.

6 , Alan vgl. liierzu dic wiciitigm Untcrsucliungcn von H. WEYT., l b e r die Bi~stininiring ciner grsclilossc~nrn konvrsen E’lrichr tlurch ihr I,iiiic,ncli,mcnt. V j s h . natrirf. Ges. Zurich 61, 40-72 (1915).

Beckert, Die Verbiegung von Flactenstiicken positiver Kriimmung. 127

Wir haben angenommen, die Randrelationen (3) seien von dem Parameter E

in hearer Weise abhiingig. Offenbar kann man sich ohne weiteres von dieser Einschrankung befreien.

Zusammenfassekd stellen wir fest : Im allgemeinen ist ein reguliires elliptisch gekriimmtes Fliichenstiick &, vom Typus der Kreisscheibe stetig verbiegbar, und wir konnen den VerbiegungsprozeB, wie es beschrieben wurde, analytisch festhalten. Eine Ausnahme ware nur im Verzweigungsfall moglich. Wir konnen daher die interessante Frage, ob nicht schlechthin jedes analytische Fliichenstuck positiver Kriimmung vom Typus der Kreisscheibe stetige analytische Ver- biegungen gestattet, in ein Diskussionsproblem der Verzweigungsgleichungeii uberfuhren6). Sei demzufolge &,' das zu verbiegende Fliichenstiick. Es genugt offenbar, die vorzuschreibende dnderung der Randdaten nur auf der rechteii Seite von (3) zum Ausdruck zu bringen. 1st y ( s , e ) eine analytische Funktion des Parameters E mit y ( 8 , O ) = y o ( s ) , so miigen die einzelnen Stadien der Ver- biegung von so durch

(7) a0 (4 D ( 8 ) + Po (8) D' (4 = y ( 8 , E ) ( E r 0) beschrieben sein. 3, ist dann unverbiegbar, wenn bei bel iebiger Wahl der Funk- tion y ( 8 , E ) liings 8 unser Fortsetzungsprobleni unlosbar bleibt. Nach der obigen Bemerkung (vgl. A) diirfen demnach die Verzweigungsgleichungen, wie aucli immer die analytische Funktion y ( s , E ) mit y ( s , 0) = yo(8) gewiihlt wird, keine reellen, mit den1 Parameter E zugleich verschwindenden Auflosungen gestatten. Der Allgemeinheit unserer Betrachtungen entsprechend miissen wir mit der Moglichkeit von n Nullosungen rechnen. Die Verzweigungsgleichungen heben in diesem Fall die Gestalt

(*) A&E + + A : , E ~ I + A & E B ~ + * . - + A&1L&8,1 + Ails; + - - - + AL1,s;' + A!28182 + .- * + Ay,t-l)pb8n-,8~,, + * - = 0 ( r = 1 , 3 I . . . , n).

Die n Verzweigungsgleichungen (8) sind bekaiintlich fur hinreichend kleirie Werte der Parameter E , sl, s2, . . . , a,, konvergente Potenzreihen, deren Terme erster Ordnung in S,, . . . , a , verschwinden. Die willkiirliche Randfunktion y ( 8 , E ) geht dabei nur in diejenigeri Koeffizienteri der Verzweigungsgleichungeii in hestimmter Weise ein, welch$ zu den Parameter c: enthaltenden Potenzprodukten gehoren, also nach unserer Bezeichnungsweise mindestens einmal den Index Null ent- halten. Endlich viele der nicht identisch verschwindenden unter diesen Koeffi- zienten wird man weitgehend durdi entsprechende Wahl der Funktion y ( 8 , E )

variieren kijnnen. Es entsteht die Frage, oh dies ausreicht, um stets mindestenx einen reellen, mit E zugleich verschwindenden Zweig des Systems der Verzwei- guqsgleichungen (8) zu erhalteri. Wenn dies der Fall wiire, dnnii wurde jedes elliptische analytische Fliichenstuck voni Typus der Kreisscheibe einen stetigen Verbiegungsprozefi gestatten. Indessen scheint dns Disltussio~isprohle~n einiger-

") H. LIEBMANN sprach die Vermutung aus, daB speziell eine Eiflache, in der man ein beliebig kleines Loch auaschneidet, stetig verbiegbar sei : H. LIEBMdNN, Bedingte Flachen - verbiegungen. S.-B. math.-naturw. Abt. Bayer. Akad. Wiss., Miinchen 19x0, insbes. S. 46. ST. COHN-VOSSEN hat dies fur infiniteaimale Verbiegungen bewiesen : ST. CO~N-VOSSEN, Zwei Siitze iiber die Starrheit der Eiflachen. Nachr. Ges. Wiss. Gottingen, math.- physik. K1. IW7, 125-134.

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maBen konipliziert zu sein, 80 dal3 ich mich in dieser Note mit seiner blol3en Formulierung begnuge.

Ich mochte dagegen jetzt noch auf einige Konsequenzen hinweisen, die sich &us der Deutung gewisaer Starrheitwatze fur einen schwierigen analytischen Methoden hisher weitgehend unzugiinglichen Bezirk in der Theorie der partiellen Differentialgleichungen ergeben. Es ist dies das Verhalten der Lijsungen einer prtrtielleii Differentialgleichung, wenn diese ihren Typus werhselt, d. h. vom elliptischen iiber den parabolischen in den hyperbolischen Zustand, oder um- gekehrt, springt, oder auch nur ein Ubergang vom elliptischen bzw. hyper- bolischen in den parabolischen Zustand erfolgt.

Unser System (1) ist fur positiv gekriimmte Flacheiistucke vom elliptischen. fur negativ gekriimmte vom hyperbolischen, fur parabolisch gekriimmte voni parabolischen Typus. Dabei tritt, wie bereita erwiihnt, noch eine fur nichtlineare Gleichungen bemerkenswerte Vereinfachuhg ein insofern, als der Typus des Systems (1) nicht von den Gsuiigen abhiingt, sondern von vornherein feststeht. Fltichenutucke mit verschiedeiien aneinandergrenzenden Kriimmungsgebieten liefern Realisierungen fur die erwiihnten Sprungphanomene bei (1). Die sich anf mehr toplogisclie Beweismethoden grundenden Untersiichungen von SCHILT ') und vot allem von EFIMOV~) haben die Existenz sogar beliebig kleiner Fliiclien- stiicke aufgezeigt, die keine stetigen Verbiegungen gestatten, nnsonsten aber durchaus regulilr sind. Es handelt sich hier durchweg urn Fliichenstiicke mit vereinzelten parabolischen Elementen. Das ihnen zugeordnete System (1) ist daher sicher von wechselndem Typus. Welclie Konsequenzen ergeben sich aus der Starrheit eines Flachenstuckes &, gegenuber stetigen Verbiegungen fur die &, zhgeordneten Usungen des Systems (I)? Es sind dio folgenden: Andern wir die Bedinguiigen - Anfangs- bzw. Randbedinguiigen u. dgl. -, die die ISsungen bestimmen, be l ieb ig stetig innerhalb der zugruiide gelegten Fnnktionenklasm ab, 80 werden &ch die Lijsungen in ihr entweder sprunghaft (unstetig) iindern oder es existieren iiherhaupt keine Lijsungen mehr. Da nun nach Efimov die Exivtenz starrer FIBchenstiicke mit parabolischen Elementen feststeht, ersehen wir ganz allgemein aus diesem Beispiel, daB wir bei Differentialgleicliungen mit wechseln- dem T n u s unter Umstanden mit solchen als diskret zu bezeichnenden Lijsumigs- zustiinden werden rechnen miissen").

v) vgl. EI. SCEILT, ober die isolierten Nullatellen ufid einige Verbiegbarkeitsscitze. Corn-. math., Groningen 6, m9-283 (1936).

8 ) N. BIMOV, Demonetration de l'exietsnce d'une surface localement non deformable. Doklady Aknd. Nauk SSSR, n. S. 27, 314-317 (1940).

m) In dieearn Zueemmenhang iet auch noch der Satz von REMBS und seine Verallgemei- nerung duroh H. LIEBMANN zu erwiihnen; vgl. H. LIEBMANN, Die Verbiegung von geschlome- nen und offenen Fliichen poeitiver Krtimmung. 8.-B. math.-nccturw. KI. Bayer. Akad. Wim., Mbchen 1#1#, 267ff., eowie noch eine Reihe weiterer StarrbeiWtze, die sich in der Literatur finden.