430 ARCH. MATH.

Uber eine Klasse homogener partieller Difierentialgleidmngen gerader Ordnung

Von

KARL WILHELM BAUER

(1)

mit

(2) und

I n der vorl iegenden Arbei t wird die Differentialgleichung

dn f D':..q~ I

2 a D~ De=(1-f-ezS)-0-~' D:~-I-~DED~' yeN,

(3) d ~ de-~( l+sz2)2:z , d:+l~ded~, yeN,

behandel t , die in enger Beziehung zur inhomogenen Differentialgleichung

(4) (l+~z2)2Wz~+en(n+l)w----65(z, 5), e ~ = t = l , h e N ,

steht . I n [1] wurde un te r ande rem ein Dars te l lungssatz ffir die in einfach zusammen- h/~ngenden endlichen Gebieten G definierten komplexwer t igen LSsungen yon (4) ffir den Fal l

5 n - j z n-j ' -

TI (z), ~01 (z) ho lomorph in G,

ermit te l t . Ffir die Anwendung dieses Darste l lungssatzes und der fibrigen in [I] ge- wonnenen Ergebnisse ist die Frage yon Bedeutung, ob sich der inhomogene Anteil 65 (z, 2) bei Vorgabe einer Differentialgleichung (4) in der F o r m (5) darstel len laBt, und wie welt die Funkt ionen ~ (z) und ~0j (z) b e s t i m m t sind. Bei einer en tsprechenden Unte rsuchung wird m a n auf die Differentialgleichungen

(6a) D n 65 ---- 0,

(6b) d n 65 ---- 0

(vgl. [1]) und auf die Differentialgleichung (1) gefiihrt, die im folgenden behande l t werden soll. Dabei bezeichne G ein einfach zusammenh/ ingendes endliches Gebiet der R iemannschen Zahlenkuge] (e ---- A- 1) bzw. des Einheitskreises (e = - - 1).

1) Mit N wird die Menge der natilrlichen Zahlen bezeichnet.

Vol. XVIII, 1967 Eine Klasse homogener partieller Differentialgleichungen 431

Satz 1. E.s 9elten ]olgende A ussagen:

a) Jede in G de]inierte L6sung der Di//erentialgleichung (I) ldflt ~'ich gem~ifl

(7) r i t ] -V ~i- ) ~J (~) + ~ ~ - s - - j=l

mit in G holomorphen Erzeugenden qDj(z) und v2j (z) darstellen. b) Umgekehrt stellt (7) eine LSsung yon (1) in G dar, wenn die Erzeugenden q~l(z)

und ~Pl (z) in G holomorph sin& c) 1st eine in G de/inierte L6sung yon (1) vorgegeben, die sich durch die Erzeugenden

~j(z), ] ~- 1, . . . , n, allein darstellen l~iflt, so sind diese Funkt ionen eindeutig bestimmt gemd]3:

j -1 (s) ~,(~) = ~ ( - 1)~ ( ~ _)kD,~_S+k ~

k=o k f ( n _ 7)~. t l + ~z~ ] ~

d) Fiir eine in G de/inierte LSsung yon (1), die sieh dutch die Erzeugemten v2j(z), j ~ 1 . . . . . n, allein darstellen Id[3t, gilt:

= i ~ 1 (__ !)_~ " ( Z ] k d n _ i + k ~) (9) ~PS(Z) {2"=0 k:(n-- i): tl + ez~ ! -~ "

e) Ist eine in G de[inierte LSsung yon (1) gegeben, die sich nicht in der unter e) bzw. d) genannten Weise darstellen Ibiflt, so sind die Erzeugenden cf~(z) und ~pt(z) his au/ Polynome P j (z), QI (z) vom Grade 2 n j 1 bestimmt. Die allgemeinsten Erzeugenden q~ (z), ~o~ (z) erhdlt man gemdfl

(10) q~,*. (z) ---- q~t(z) -k Pt (z ) , yJ~(z) ---- y)~(z) + Ot(z)

mit

Oil)

Zum B e we i s dieses Satzes betr~ehten wir eine Einteilung der komplexwertigen l~unktionen in ~quivalenzklassen ~ , ~ . . . . . wobei ~u -- ~ eine beliebige in G holomorphe Funktion darstellt. D~mit liegt eine Aquivalenz modulo ~ vor, wobei .~ die Menge aller in G holomorphen Funktionen bezeiehnet. Der Operator I i erzeuge sodann diejenige Klasse von Funktionen, die partiell nach 5 abgeleitet die urspriing- liche Funktion liefert:

(12)

AuBerdem sei Is dureh

(i3) = I w

definiert. Entsprechend definieren wir bezfiglich der partiellen Ableitung nach z die Operatoren (14) I a { f } -~ ~ mit ~z ---- iv und

(15) I4{w} = 18 ~ i ~ z ~ ) 2 �9

432 K . W . BAUI~R ARCH. MATH.

Il i lfssatz 1. Es gilt:

--~1 (k --j) '1(1 t ~ ) k-j / j(z)~z~ (16) /~{O} : . = . , h(z) beliebig holomorph, k e N ,

k 1 ( z \k - f--:--c (17) I~{0}=j=~l-(k ]),. l + s z ~ ) gj(z), gj(z) beliebigholomorph, k e N .

Das in (16) formulier te Ergebnis wurde bereits in [1] (vgl. Hi l fssatz 2) bewiesen. Da m a n die Aussage (17) in entsprechender Weise durch vollst/~ndige I n d u k t i o n erh/~lt, soll der Beweis hier n icht explizit geffihrt werden.

Hilfssatz 2. Fiir eine geniigend o/t di//erenzierbare Funktion U = U (z, 5) gilt:

(18) D ~ U = ~ ( m ) ( m - l ) ' OuU •=1 tt (1~ ~ 1)i (ez)m-u (1 -~ ezS)m+u-b~-.

Der B e w e i s wird durch vollst/~ndige I n d u k t i o n fiber m geffihrt. Man erh/~lt mi t r e = l :

D ~ U = (1 + ez~)2 ~u

Wir nehmen an, die Aussage gelte fiir m. Durch noehmalige Anwendung des Opera- tors De folgt sodunn

Om+l [7

,= ( /~ - - i ) ! ( ez )m-u (m + ,u)(ez)(l +~~~, O~u -- ~ ' O~,~j

OU ezS)2m+2 0 m+l U : (m + 1)] (ez)m(1 + ezS) m+~ O~" + (1 -~ O~m+ 1 +

, = /, (/~~-i)! ( m + / t ) + / z - - l / ( / ~ - - 2 ) ! l , �9 , , O ~ u - m + 1

,,=1 ~ ( ; 2 f)-!- (ez)m+l-u (1 + ez~),,,+~+u ~,,u ab, -~ �9

Wir beweisen zun/iehst, daft die durch (7) gegebene Funk t ion ~b (z, 2) der Differential- gleiehung (1) genfigt. Zun/~chst gilt (vgl. [1])

Wende t m a n Hilfssatz 2 mi t m =- n und

/ Z \ n - i - u - -

]=1

~n, so folgt n~ch e lementarer U m f o r m u n g und Zusammenfassung

(19) D , O = " + ezS)l+u .u)(Z) ~=l ~,=n-j+l # (] + / t - l - .

Vol. XVIII, 1967 Eine Klasse homogener partieller Differentialgleidmngen 433

bZW.

Beri icksicht igt m a n aul]erdem, dab { ( )on d: { ( y - ~ z E ) " } = 0 ( s S ) n a ( a - 1 ) " - C a - - n + 1) eZ-~ fiirfiir a<n,a >= n,

so folgt wegen n - - ~ ~ n - - 1, fiir 2 -~ 1 . . . . . n,

{ D~e / d~ (1 + sz~)2"J = 0 .

Wir zeigen nun, dab sich alle in einem einfach zusammenhi~ngenden Gebie t G definier- ten LSsungen yon (1) in der F o r m (7) mi t geeigneten in G ho lomorphen Funk t ionen ~l(z) und ~fj(z), ] ~ 1 . . . . . n, darstel len lassen. Geht m a n yon der Differential- gleichung (1) aus, so folgt, wenn m~n in t t i l fssatz I die Fo rme l (17) mi t k = n ver- wendet :

(1 + e z ~)e,~ a ~ (n - 2)! [ i ~ - ] ga (z), g~ (z) beliebig holomorph.

Setz~ m~n im Hinbl ick auf (20)

g~(z) = ( ~ - 2)! (~ - ~ ) ~ ~ + ~ _ , . . . . . . .

so folgt aus (21) zungchst nach Mult ipl ikat ion mi t (1 q- szS) 2n

~= i ~=n-~+l # (i+#--l--n)! und sodann unter Ber{ieksi~htigung vol~ ~-Ii]fssa{z 1, Forme] (16), die in (7) genann~e Darste l lung ffir ~b (z, 2). D a m i t sind die unter a) und b) formul ier ten Aussagen be- wiesen.

L~Bt sich eine LSsung yon (1) in der F o r m

(d.h. mi t den Erzeugenden ~ (z) allein) darstellen, so erhi~lt m a n du tch wiederholto Anwendung des Opera tors D~

~-~ [ ~ /~ - ; -~

j ~ l

Es liegen dami t n Gleichungen zur Bes t immung der n Erzeugenden ~ ( z ) vor. Zu- n~chst folgt aus (22), wenn m a n # = n - - ~ setzt und nach ~#(z) aufl5st :

(n--/'t)!q)a(z) : Dn~-t'~--~, (~-Z~;-)i. ~-l---~Sz~) c~](z), l g t z ~ n . j=l

Ard~iv dot Mathematik XVllI 29

434 K . W . BAUE~ ARCH. ~iA'r~.

( 2 3 )

mit

Dabei ist die reehts stehende Summe im Falle # = 1 mit Null zu interpretieren. Aus dieser Relat ion folgen die Erzeugenden sukzessiv f i i r /z --= 1 . . . . . n. Setzt m a n bei der Berechnung yon ~a (z) die bereits ermit te l ten Funkt ionen epl (z) . . . . . epg-1 (z) ein, so erh/ilt man naeh geeigneter Zusammenfassung das in (8) formulierte Ergebnis. Die unter d) genannte Relat ion (9) folgt bei entsprechender Verwendung des Opera- tors de.

Liegt eine L6sung der Diffcrentialgleichung (1) vor, die sich nicht mit den Er- zeugenden efj (z) bzw. Y~l (z) allein darstellen l~Bt, so sind die Erzeugenden nicht mehr eindeutig best immt. Unte r Verwendung yon (20) erh~lt man zun~ehst

D~q~ ~ [ z ~ - ~ (1 + ~)~'~ =~=~/- h + ~ ) A~(z)

n

#=+I

Die Funk t ionen Az(z) sind bei Vorgabe einer L6sung r ~) eindeutig bes t immt und folgeu unter Berficksichtigung yon (9) gem/~fl

= ~ (-1)~ AA(Z) k~__0k!(n - - ~). (1 Z . _lkdn+k--.~ .D:+ �9 = ' + e z ~ / ~ ( l + ~ z ~ ) 2" "

Leitet man die Relat ion (24) (n - - 2)-mal naeh 2 ab, so erhglt man

...... n-~--i

T ~ 0

Dabei ist die rechts stehende Summe im Falle ~ ---- n mit Null zu interpretieren. Dami t sind die Ablei tungen der Ordnung 2n - - ~ flit die Erzeugenden ~v I (z) ein- deutig bes t immt u n d folgen aus (25) sukzessiv ffir 2 = n, n - - I . . . . . 1. Fiir die Erzeugenden ~0~ (z) folgt entsprechend

dn-'~ Ba(z) ;-~o-l ( n ) (n-- l - - z)[s n+r+~t (26) ~ ~.'2n-~)(z) . . . . . . ~/z'-~ = r + ~ (X ~ 1)! ~ v ~ ) ( z )

mit

(27) = + ~ z : ) 2" /"

Wit gehen nun yon einer vorgegebenen, in G definierten L6sung yon (1) aus und s e t z e n :

-~ ~ . 5 n - i / z \ n - i - - I

j = t

Dami t gilt

Vo]. XV]II, 1967 Eine Klasse homogener partieller Differentialgleidmngen 435

Mit q)0 liegt wiederum eine in G definierte L6sung von (l) vor. Wendet man darauf die in (25) und (26) gewonnenen Ergebnisse an, so erh/flt man

und damit 2n--]--I

(29) ~2,1(z) -- ql,~(z) : Pl(z) = ~. pj , zg,

2n-j--1 (30) W2,j(Z)--W,.j(Z)= Qj(z) = ~ qj~z, .

Die Erzeugenden sind also bis auf Polynome Pj(z), Ql(z) vom Grade 2n ] 1 bestimmt, die mit I~ficksieht auf (28) noch der Bedingung (11) geniigen mfissen. (Diese Bedingung ist f~r beliebiges n �9 N z.B. f~r

(al) P j ( z ) : z ~ - J , Q j ( z ) = - z ~ - J , i = 1 . . . . . n ,

erffillt.) Damit ist aueh die unter e) formulierte Aussage yon Satz 1 bewiesen. Liegt eine in einem einfach zusammenhKngenden Gebiet definierte LSsung yon (1)

vor, so sind wegen (25) und (26) die Ableitungen der 0rdnung ( 2 n - ~) der Er- zeugenden T1(z) und ~j (z) eindeutig bestimmt und stellen im betraehteten Gebiet holomorphe Funktionen dar. Geht man andererseits von einer in einem nicht not- Wendig einfaeh zusammcnh~ngenden Gebiet G definierten eindeutigen LSsung ~b (z, 2) von (1) aus, so gilt die oben formulierte Aussage ffir jedes einfaeh zusammen- h~ngende Teilgebie$ yon G. Damit erhglt man zugleich das folgende Ergebnis:

Korollar. Fiir eine in einem beliebigen (nicht notwendig ein/ach zusammenhiingenden ) Gebiet de/inierte eindeutlge LSsung von (1) slnd die Ableitungen der Ordnung (2n -- ]) der Erzeugenden in jedem Punkt von G eindeutig bestimmt. Diese Ableitungen stellen damit in G (global) eindeutige holomorphe Funktionen dar.

Damit ist die M6glichkeit gegeben, ein in [2] ffir die Differentialgleichung

(l ~- szS)2Wz~ ~- ~n(n ~- l ) w = O , s = =j= l , n ~ N ,

angewandtes Verfahren zu iibertragen und einen allgemeinen Entwicklungssatz ffir die LSsungen yon (1) in der Niihe isolierter Singularits herzuleiten. Dazu be- trachten wir eine im Kreisring

R = { z l 0 --<

definierte eindeutigo L6sung yon (1). ~P1.2n-i) (z) in R eindeutige holomorphe Laurentreihen

(32)

(33)

Dann stellen die Ableitungen qp~."'t-J)(z) und Funktionen dar, die sich um den Punkt zo in

entwickeln lassen. Durch unbestimmte

- - o o

o o

~(?' ~-~)(z) = ~ ~. (z - ~0)~ - - o o

Integration folgt aus (32) und (33)

29*

4 3 6 K . W , BAUEIt AltCH. MATIL

(34)

(35)

mit

(36)

und

(37)

~fj (z) = /t (z) + S 1 (z). log (z - - zo),

y~j (z) --~ gj (z) A- Tj (z). log (z - - Zo)

oo oo

h (~) = ~ az , (2 - zo)", 9j (2) = ~ bz,(2 - - 2o)~

2 n - - i - - 1 2 n - - i - - I s~(2)= ~ ej.z., Tj(2)= ~ dj. 2~.

/ ~ 0 p ~ 0

Man ha t nun zu untersuchen, welchen Bedingungen die Po lynome in (37) genfigen miissen, dami t die mi t den Erzeugenden (34) und (35) gebildete F u n k t i o n q)(z, 5) eine in R eindeutige L6sung yon (1) darstell t . Da der durch die Lauren t re ihen (36) bedingte Anteil in R eindeutig ist, ha t m a n lediglich die Eindeut igke i t des durch die Funk t ionen

S j ( z ) ' l o g ( z - - z0) un4 T j ( z ) . l o g ( z - - z0)

erzeugten Anteils ~ der L6sung q) zu sichern. Man erh/ilt m i t z - - z0 = r �9 e *a

n ~ n - j z n - j - -

i O ~ x n - i z n - i . . . . +

und dami t die Bedingung

Wir fassen das Ergebnis im folgenden Satz zusammen.

Satz 2. Es ffilt:

a) Jede im Kreisrin9 R de/inierte eindeutige L6sung von (1) ldflt sich in R gemdfl (7) mit den Erzeugenden

(39) ~ l ( z ) = b ( z ) - f - S l ( z ) . l o g ( z - z o ) , i = l , . - . , n ,

und

(40) ~j(z) = g l ( z ) + T1(z ) ' l og ( z - - zo ) , i = 1 . . . . . n ,

darstellen. Dabei sind die Funktionen h(z) und gj (z) holomorph und eindeutig in R, wdhrend mit Sj (z) und Tj (z) Polynome vom Grade 2 n ~ i bezeichnet werden, die der Bedinffung (38) geniigen.

b) Umgekehrt stellt ]ede mit den Erzeugenden (39) und (40) gemd[3 (7) gebildete Funktion qS (z, 5) eine in R eindeutige L6sung yon (1) dar.

I m F~lle r l = 0, d .h . wenn der Kreisr ing R in eine punkt ie r te Kreisseheibe

K = {zI0 < ] z - - z o ] < r ~ }

Vo]. Xu 1967 Eine Klasse homogener partieller Differentialgleidmngen 437

entartet , liegt eine in der Umgebung von z0 definierte eindeutige L6sung q)(z, 5) von (1) vor. Bezeichnet m a n den P u n k t z = z0 in diesem Falle als isolierte Singularit~t yon ~b (z, 5), so gilt der folgende

Satz 3. Eine L6sung qS (z, 5) yon (i) habe in z = zo eine isolierte Singularit~it. Dann ltiflt sich ~5(z, ~) in der Umgebung K yon zo 9emSfi (7) mit den Erzeugenden (39) und (40) darstellen, wobei diese den in Satz 2 genannlen Bedingungen geniigen miissen.

~Fiir die im Kreisring R eindeutigen L6sungen von (1), die sich mit den Erzeugen- den ~j(z), ] = 1 . . . . . n, allein darste]len lassen, sind diese Erzeugenden mit Rtick- sieht auf Satz l, c) in jedem P u n k t yon R eindeutig bes t immt und lassen sich des- halb um z0 in L~urentreihen entwicke]n. Entsprechendes gilt wegen Satz 1, d) ffir eine in R eindeutige LSsung, die sich mit den Erzeugenden YJ1 (z), j ~- 1 . . . . . n, allein darstellen li~I3t. Dami t gilt der folgende

Sa/z 4. Bei ]eder im Kreisring R de]inierten eindeutigen LSsung q5 (z, 5) yon (1), die sieh mit den Erzeugenden qJj (z) bzw. v21 (z) 9emdfl

i b w. r )

darstellen liiflt, sind die Erzeugenden in R eindeutig und holomorph.

Literaturverzeiehn|s

[1] K.W. BAUEB, Uber die LOsungen der inhomogenen elliptisehen Differentialgleichung (1 + ez~) 2 Wz~ + ~n(n + 1)w ~ ~(z, ~). Monatsh. Math. 71 (1967).

[2] K. W. BAYER und E. PESCItL, Ein allgemeiner Entwicklungssatz ffir die L6sungen der Differentialgleiehung (1 + ez~) ~ wz~ + en(n + 1) w --~ 0 in der Nghe isolierter Singularit~ten. S.-Ber. Bayer. Akad. Wiss., math.-naturw. Kl., 1965, 113--146 (1965).

Eingegangen am 13.9. 1966

Anschrift des Autors: Karl Wilhelm Bauer Mathematisches Institut der Universitiit 53 Bonn, Wegelerstra[~o 10