Uber eine Mittelwertseigenschaft yon Liisungen homogener linearer partieller Differentialgleichungen

2. Ordnung mit k o n s t a n t e n K o e f f i z i e n t e n .

Von

Leifur _~sgeirsson in Laugar (Island).*)

In der vorhegenden Arbeit wird der folgende Satz bewiesen: Es sei eine Funkt ion u ( x 1 . . . . . zn, Y I , , . . , Y,) zweimal stetig di[/eren-

zierbar im abgeschlossenen Gebiet

( + ( ( y , - _ , , i = l ~ = 1

wo (% o . . . . . x,,o, Y~ o . . . . . Ya o) ein /ester Punk.t ist und r ~ O, und ge. niige dog der partiellen Di//~entialgleichung

Dann ist der Mittelwert yon u ( x 1 . . . . , x , , Ylo, . . . , Y,~o) au/ der K u g d ~t

Z (x, - x,o) ~ = r ~

gleich dem Mit te lw~t yon u(x lo . . . . . x ,o , y~, �9 . . , yn) au/ der Kuflel

(y, - y~)" - - . r ~. / ~ 1

loller, wie iiberall im folgenden, werden alle vorkommenden GrSl~en reell vorausgesetzt.

Es wird gezeigt, wie dieser Satz mehr oder weniger direkt anwendbar ist auf jede zweimal stetig difie~enzierbare Funktion beliebig vieler Ver- i~nderlichen, die irgendeiner homogenen tinearen laartieilen Differential- gleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten geniigt. Hiervon ausgehend werden $ewisse L6sungsformeln der allgemeinen Wellengleichung

n

~" u ~ , - u*t-= 0 auf neuem Wege gewonnen, und einlge .andere An-

wendungen, u . a . auf LSsungen der allgemeinen Potentia]gleichung ?t

~" U| ~ = 0, gemacht.

*) Diese Arbeit ist yon der Ma~hematisch-Naturwlssenschaftlichen Fakult~ der Universitit G0ttingen als Dissertation angenommen" worden. '

Mathemat isehe Annalen. 113. 21

322 Leifur _~sgeirsson.

]~etreffs der Bezeichnungen ist folgendes zu beachten: Wegen der im folgenden h~iufig auftretenden Forderung der zwei-

m a l i g e n stetigen Differenzierbarkeit einer Funktion werden wir in Anlehnung a n Hadamard 1) Funktionen, die diese Bedingung in einem Gebiete erfiillen, sch lech th in als daselbst ,,reguliir" bezeichnen, welche Bezeichnung also nicht m i t , ,analytisch" verwechselt werden daft.

Bei einer Transformation der Koorflinaten, yon denen eine betrachtete Fuulc~ion abli~ngt, wird gelegentlich die Fuuktioasbezeichnung ungeiindert beibehal ten.

EI~ngt eine Funktion / yon n ~ n' Argumenten ab, die unter Bezug- n a h m e auf gewisse Eigenschaften dieser Funktion in zwei Gruppen: xl . . . . . x~ und Yl , - . . , Yn' eingeteilt werden, so werden wir h~ufig vom P u n k t (X, Y) s tar t vom Punkt (xl, . . . , Xn, y~, . . . , yn,) sprechen; einen l~un]~ (x~o . . . . . Xno, Ylo, . . . , Y~,o) bezeichnen wit mit (Xo, Yo), wo wit statf~ X o bzw. Yo auch 0 schreiben, falls sUe entsprechenden Koordinsten gleich 0 sind. Dementsprechend schreiben wit

l (x, r )= - t ( z l . . . . . z , , y l . . . . . y~,), t(Xo, Yo) = l(X~o, . . . , x,o, Y~o . . . . , Y~,o),

t ( x , ro) - t (z~ . . . . , x . , y~o . . . . . y~,o),

usw. Ist n" ---- 1, so schreiben wir such

t (X,y) ~ t(z~, . . . , ~ , y )

wo wi r nattir]ich such start y etws t oder r setzen kSnnen). Ebenso

/ (X) -= 1 (~ , . . . , ~); in diesen letzten :Fallen sprechen wit such yore Punkr (X, y) (Punkr (Xo, Yo)) bzw. yore Punkt (X) (Punkt (Xo)). Ferner setzen wit

I X - z o ) = ( ,~ (~ , - ~,o)')'~,,

r162 t

I r - r o l = ( Z , ( y , - y,o)')'z,. t ~ l

S t a r t

schre iben wit eiufacher

" 2 ,~t| | oder a'~ t

ebenso

1) Haclamard, Le Probl~me de Cauehy, S. 13--14.

Mittelwertseigenschaft yon L6sungeh partieUer Differentialgleiohungen. 323

usw. Die Ableitung einer Funktion / n a c h der ~uBeren Normalen einer

0/ bezeichnet, wobei das gelegentliehe Auftreten Fl~he wird mit [, oder

yon ~ als Dimensionszahl web! keine u verursachen ](ann. Es wird kurz als ,,Inneres" einer geschlossenen FI~iehe bezeichnet, was kor- rekter ,,Inheres und Rand" zu nennen w~re, n~mlich die abgesehlossene Menge aller nicht auBerhalb der Fliiehe gelegenen Punkte. Schliel31ich ist zu erw~hnen, dab nicht iiberall alle implizite gemachten Regularitiits- voraussetzungen explizite aufgezi~hlt werden, so, we es sich um Fliichen bzw. deren Parameterdarstellung handelt (Voraussetzung der sttickweise stetigen Differenzierbarkeit) und bei Transformationen allgemeineren Charakters.

w

Wit erinnern daran, da~ die allgemeinste homogene lineare partieIle Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten:

(1) L [ u ] - - ~ a, k u ~ k - ~ 2 ~ b j u x j 4 - c u = O,

we u-----u(xl , . . . , x~) zweimal stetig differenzierbar angenommen wird, sich auf eine Gleichung der Form

- v = - - , z = = o

zuriielKfihren liiBt. (/z = 0 bzw. ~ = 0 bedeutet natiirlich, dall in der betreffenden Snrnme fiberhaupt kein Glied auftritt. Jkhnliches ist im folgenden zu beaehten.)

Man kann dazu etwa so veffahren: Dutch eine geeignete ]ineare Transformation

x~ = ~ t~y~, i ---- 1 . . . . , n, k - ~ l

oder kiirzer

g6ht L [u] fiber in P q

X(u~v~+2b '~u~) - - X (u n n + 2 b ; u n ) + c u , 0 ~ p < ~ q ~ n

(hyperbolischer und elliptischer Fa]l), oder in

P q Z (u, t ~i + 2 b~ u,~) -- X (u,~ 'i -~ 2 b'~ u,,) -t- u~q +1 T c u,

i = l t = p + l

o < _ p ~ _ q ~ _ n - 1 (parabolischer Fall).

21"

324 Leifur ~sgeirsson.

Schre ib t man q

I (y~ . . . . , yq) = X b: y~,

so kSnnen die b~, die ja, ebenso wie unten c', Konstante sind, weggeschafft werden du rch Einffihrung von

V = e t u s t a r t u:

P q dL[u] = Z,v,,,v , - X v~,l,-i-c'v

~ = 1 t ~ - - - p + l bzw.

Man nehme Falle ein:

es ist

P q e E L [u] = Z % ,,, - - Z v,,, ,,~ + v ,q + ~ + c' v.

eine neue Ver~nderliche z hinzu und fiihre im erstea

~2 f C t U = f ( z ) v mit ~-Fz'~= + / ( / ~ 0 ) ;

P q ! e I L [u] ---- Z U,,. ~, - 27 U~ ,i • U,

(wo flit c" = 0 auch U , , - = 0). I m zweiteu Falle setzt man

U = / ( y q + l , z ) v , wo etwa /----eZ+C'uq+l; m a n setze noch

y - F z - - - s , y - - z = - t . Es is~ a l sdann

P ~ U n -4- U , , - - Ut~.

Bezeichnet man jetzt die Ver~inderlichen mit ~ . . . . . ~,, ~ . . . . . ~ , so gilt m i t h i n in beiden Fiillen eine Gleichung der Form

Kni ip fen wit wieder an die Bezeichnungen yon Ghichung (1) an, so werden w i r darauf geftihrt, den speziellen Fall mit

0 ffir i # k b

a t e = 1 fiir i----k___~ v, b j = 0 ( j = 1 . . . . ,n) , v = 0 --I ftir i = k >

besonders zu betrachten.

Die Gleichung w

t - ~ v 4 - 1 -----0

Mittelwertseigensehaft yon LSsungen partieller Differentialgleichungen. 325

ist sowohl translationsinvariant, als aueh invariant gegeniiber einer Gruppe homogener linearer Transformationen %,~_, der Ver~nder]ichen,

n~mlich der Gruppe der Transformationen, welche den charak~teristischen Kegel

n

�9 : - 2:

in einen Kegel derse]ben Gestalt

transiormieren. Diese Gruppe werde als die der Gleichung

�9 = I t - - - - v + l

zugehSrige Oruppe bezeichnet. Es sei H,,~_, die Matrix der quadratischen

Form ~ x, ~ -- Z x•. Dann ist die zugeh6rige Oruppe die Oruppe allot i=l i = v + l

.ml~ehrbaren Transformationen mit der Matrix T, fiir die

T' H ~ , . _ . T = e H . , n - ,;

es ist hierbei T' die zu T transponierte Matrix, c ein Zahlfaktor. (Bei- spiele: Gruppe der $_hnlichkeitstransformationen bei der allgemeinen Potentialgleichung; Lorentz-Oruppe bei der gewShnlichen Wellengleichung u . . + u, . , + u , , - u , , = 0,)

w

Der Mittelwerr f(F) ether auf ether hn n-dimensionalen Raume ge- ]egenen k-dimensiona]en Fl~iche F mit dem Fl~ichenelement do gegebenen stetigen FunkCion ], tiber diese Fl~che genommen, wird dutch

J'lao T(F) =

.fdo F

definiert. Die Integrale sind, wie angedeutet, tiber die ganze Fl~che F zu. erstrecken; im Nenner steht somit der als endlich angenommene In- halt ~) der Fl~che. Der Mitte|wert ether Konstanten ist hiernach gleich dieser Konstanten; der Mittelwert einer Summe yon Funktionen ist gleich der Summe der Mittelwerte der einze]nen Funktionen. Da der Inhalt

~) Zu dem Begriff 'des Inhalts einer im n-dimensionalen Raume gelegenen k-dimensionalen ~]~che sieh~ z. B. R. Courant, Vorlesungen fiber Differential- und Integralreehnung, II. Bd., 2. Aufl., S. 244--248.

326 Leifur Asgeirsson.

einer Fl~che unabh~ngig ist yon der Dimensionszahl des Raumes, in den sie eingebettet wird, d. h. ds eine im (x~ . . . . . x , ) -Raume gelegene, durch

x~ ~ 9~(~1 . . . . ,~k), i----- 1 , . . . , n ; k ~ n ,

gegebene Fl~che und eine im (x 1 . . . . . xn , x,~ + ~ . . . . . x,~ + ,.)-Raume gelegene, dutch

zi---: ~ ( ~ l , . . . , ~ k ) , i = 1 , . . . , n ,

xn+, = konst., i =- 1 . . . . . v,

gegebene Fl~che, wo a~ . . . . , a , in beiden Fhllen dasselbe Gebiet durch- lauien, denselben Inhalt haben, so ist auch der Mittelwert einer Ftmktion auf der Fltiche yon jener Dimensionszahl unabh~iugig.

Es sei nun u (X) ----- u (x I . . . . . x,) irgendeine in einem Gebiete G re- gul~re Fuakt ion (siehe w 1), und es werde jetz~ der Mittelwert von u auf einer in G gelegenen, dutch

IX - Xo[ = r

gegebenen (n -- l)-dimensionalen Kugel Kxo, r mit

M (Xo; r) ---- M(x~o . . . . , X~o; r)

bezeichnet. M existiert fffr jeden imaeren Punkt (Xo) yon G und ge- niigend kleine positive Werte yon r, und ist in diesem Gebiet der x j o , . . . , x .o , r einschlieillich der Begrenzungsebene r = 0 reguDr; man definiert hierbei natfirlich

M iX0; o) = u (X0)- Es sei

~,, I (Xo; r) das fiber das in G gelegene Inhere yon Kxo,T erstreckte Integral yon A| also n

~ I ( X o ; r) = [ A~udx~ . . . d x , . [ 'X - - XO [ ~ - - r n

~ soll hier den Fl~eheninhalt der Einheitskugel im n-dimensionalen Raume

bedeuten, /2, = . d~J sei das Fl~iehenelement der Einheitskugel Kx0, x,

bzw. das , ,Raumwinkelelement" yon Kxo,,; also d D = r - (~-~)go, wo d o das entsprechende Fli~chenelement yon Kx0. r ist. Dann ist

~ , I = ~ u ~ d ~ ~ I u d ~ = ~ ' * r ~ - ~ o ~ M(Xo;r)' K X o , r K X o ~ r

(1~ I = ~ - ~ M , . Es ist aber aueh

(2) i x - ol-~__r

Mittelwert~eigenschaft yon L6sungen l~rtieller Differentialgleichungen. 327

e s ~ j a

u ( X ) d x l . . . d x , I.v-x01 =<r

und rechts hiingt das Integrationsgebiet nur von r a b ; man kann somit nach den x~0 unter dem Integralzeichen differenzieren. Abet

r r

IX-- I -~-r o KXo, e o

aad somit r

i x - l ~ r o Es folgt

r

(4) r ~ - I M , ( X o ; r) = I ~ ~ - 1 A.~, M ( X o ; e ) d o , 0

(5) r ~ - l M , r ~- (n - - 1 ) r " - 2 M r = r ~ - l A ~oM ,

(5') ~xoM -- M,~ -- nz--Jr Mr ----- O.

Ihrer tterleitung nach sind diese Gleichungen IdentitAtea, in dem 8inne, dal~ u beliebig genommen wurde. Wit bemerken bier, dal~ offenbar My 1

I A= u d x I . . . d x, fiir r ~ 0 einen Grenzwert besitzt, F ~ r ~ F n ~ n

[X- -Xo l < : r

und zwar ist

lira Mr 1 A~ u (X0).

l~iir n -~ 1 ist zu setzen

M (xo, r) = �89 [u (xo + r) + u (% -- r)],

und es folgt unmittelbar M~o ~o - - M y , ~ 0

in ~J~ereinstimmung mit (5'). ]~tir ~ ~- 3 ha t man

rg M , , -t - 2 r M~ - - r~ A~o M ----- r [(r M ) , r - A~ o (r M)] : - O. 8

D. h. ist u ( x , , xs, xs) eine beliebige regul~ire Funktion, so geniigt v (x,, x=, ~8, t) ~- t M (x~, x,, x~; t) der gewShnlichen Wellengleichuug, eine Tatsache, welche in der Poissonschen Formel ihren Ausdruck finder.

8chreiben wit, um den funlrtionalen Zusammenhang anzudeuten,

M (Xo; r) ~ M (~] X o; r

328 Leifur A~geirsson.

s o i s t

oder , wenn wi r der Kiirze halber die ,,Argumente" Xo, r weglassen,

M ~ M [u], u n d a l lgemeiner , indem wit u noch yon gewissen Parametern y ~ , . . . , y~, abh~ngen lassen, wobei u als Funktion von % . . . . , x. , y~ . . . . . y., regular sei,

J" u (= . . . . . x , y~ . . . . . Y,v) do

~Xo, ~ = M ~ (u] X0; Y; r) = M [~] [u],

K X 0 , r

ebenso

a, ML~1 [u] = M[~J [u~ ~k], ~X~o 0Xko

OX~o Oy~

O~

0 Yt 0 Yk

Mc~} [u] = M r~J [u=~ ~k]'

was m a n wie oben einsieht, wenn man s ta t t x~ . . . . . x . y on u x 1 o -b ~l, . . . , z.0 �9 ~. schreibt.

als Argumente

w

Wir wollen je tz t die partielle Differentialgleichung

(A ) = o

' b e t r ach ten . Rx, r sei der (n ~- n')-dimensionale Raum der Koordinaten x 1 , . . . . x,,,, Y l , . . . . y,,; Rx, ro bzw. Rxo, r seien die n- bzw. n'-dimensionalen Tei l r~ume ode r ,,Fl~chen" mit den laufenden Koordinaten xl, . . . , x . bei ~ e s t e n Y l , �9 . . , Y, , ' ~ Y l o , - . . , Yn'o bzw. mit den laufendeu Koordinaten Yl, . . . . y. , bei festen x~ . . . . , xn -- xl0 . . . . , x~o. u (x~ , . . . , x . , y~ . . . . ,yn,) -----u(X,Y) sei in einem Gebiet G~+~, reguliir. Indem wit zuniichst Y ~ o , - . . , yn'o als Parameter betraehten, bilden wir den Mittelwert yon u (X, Yo) a u f der in Rx, ro gelegenen Kugel

)X - Xo] = r, die nebs t ibxem Inneren ganz in G.+. , hegen soU. Wie im vorigea P a r a g r a p h e n bezeietmen wit diesen Mittelwert

IX-~-I-o = u ( X , Yo) d o

I.,V-~ol = =d o

ode r : kiixzer mi~ ~ c ~ (u] Xo; Yo,~ ri

~ J [~]-

Mittelwertseigenschaft yon LSsungen partieUer Differentialgleichungen. 329

Ebenso bilden wit den Mit~elwert von u (Xo, Y) auf der in Rxo, r gelegenen, nebst ihrem Inneren ganz in G~+~, enthal~enen Kugel

t Y - - Y o l = r

and schreiben

~o u ( X ~ d~ IY-- [-~r : Mt~l(uJ Xo; Yo; r) = M[~J[u].

iF-- Y~ol = r d o

Wit wollen nunmehr bier und ira (olgenden, solange anderes nicht ausdriicklich erwi~hnt wird, annehmen

ea sei also

(B)

ES gilt nun nach (5'), w 3

(1) A ME~[u]--~-~ n xo

Ferner Faben wit gesehen, dab

4"~ M~ [~] = M[~ [ ~ ~],

Nach (B) ist nun

- = o.

i,o M[ ' ] - - r,,7, ,, u].

Mt~I (~| Xo; Yo; v) ----- Mt~J (A,u] Xo; Yo; r), woraus folgt

0 ~ n - - 1 0 (2) A. Mt~J [u] - - - Mt~l [u] ME~1 [u] = 0. n ~~ Or '~ r Or

Aus Symmetriegriiuden ist es nun klar, daft auch die ~olgenden Gleichungen bestehen:

n - - 1 0 (3) A~o M[v~ [u] -- Mt~l [u] ~ Or M[~I [u] = O,

n - - I O M[y][u] -~- O. (4) 4 " M[~I [u] -- Mcul [u] r Or

Nut ist bier (4) Idenfitiit im Sinne yon w 3, wiihrend (3) aus (B) folgt. -- Natiir]ich braucht die Ausdehnung der Existenzgebiete yon Mt~ [u] and Mtvl [u] in tier r-Richtung nicht die gleiche zu seim

Wit bemerken, dab wit hier keinen Gebrauch von den gemischten zweiten Ableitungen yon u gemacht habea; die Voraussetzung ihrer Existenz and Stetigkeit wird erst dana n6tig, wenn wit spiiter die gemischten

~ a~ ~ ~ MI~][u]'~ / benStigen.

330 Leifur /ixsgeirsaon.

Es gilt mm offenbar (vgl. w 3)

(5) M I~1 (u] Xo; Yo; 0) = Mt~l (u] Xo; Yo; 0) = u (X o, Yo)-

(6) M~3 (u] Xo;Yo;0 ) = M~3 (u] Xo; Yo; O) = O. Oreifen wir alas eine der Gleichungspaare (1), (3) oder (2), (4) heraus,

so kSnnen wir aus ibm und den Anfangsbedingungen (5), (6) schlieflen

M ~ l̀ (u] Xo; Yo; r) ---- M[vl (u] X0; Yo;r) fiir genfigend kleine r.

w

Diese Aussage kann und Boll noeh pr~zisiert werden. Zu diesem Zwecke bringen wir einen nach bekanntem Muster gefiihrten Eindeutig- keitsbeweis 8).

Es sei G ein abgeschlossenes Gebiet des (x~ . . . . . x~, r)-Raumes, das yon einer stiickweise glatten geschlossenen Fl~iehe berandet wird, v o n d e r ein mit R bezeichneter Tell aus einem Stiick der Ebene r = 0 bestehe; der Rest der F]iiche, wo ~ ~ 0 sei, werde mit F bezeichnet. In G sei eine regul~re Funk t ion

v ( : ~ . . . . , z~ , ~') = v ( X , r )

gegeben, die dor t der partiellen Differentialgleiehtmg

(1 ) z l , v - v,.,. - - - v , - - 0

and den Anfangsbedingungen

(2) v (X, o) = o, v~ (X, 0) = o

geniigt. Es sei dg das Volumenelement des (xl, . . . , x , , r ) -Raumes , do das Fl~ichenelement yon R bzw. F. Darm ist also

(3) I 2 v ~ ( ~ x v _ v , , n--1 -r re) dg G

l = l i m l 0

~ 1 '~ R + F O

----- O,

s) Siehe K. Friedriehs und H. Lewy, l~ber die Eindeutigkeit und das Abh~mgig- keltsgebiet der LSsungen beim Anfangswertproblem linearer hyperbolischer Differen- tialgleichungen, Math. Annalen 98 (I928), S. 192 if.

Mittelwertseigenschaft yon Lbsungen partieller Differentialgleichungen. 331

und hieraus, da die Ableitungen yon v auI R verschwinden, indem wit

Oxi - - x'~, Or = r' schreiben,

2 " f i ~ l i ~ l

F G

Diese Gleichung liil3t sich auch so schreiben:

F

v ~

= 2 ( , - 1 ) i - ~ g . q

Es sei nun F durch n

(r - to) ~ = IX - Xol ~ - - 2 , (x~ - X i o ? , 0 < r ~ n o t - ~ - I

gegeben und b~tehe also aus einem St, tick des charakteristischen Kegels, dessen Spitze (Xo, ro) ist. R ist dann dutch

, r = O , I X - X o L < n o

gegeben, und G umfal~t alle Punkte (X, r) mit

r + l X - X o l ~ to, r > o.

Es ist dann auf F r ' > O, und (wie auf jeder beziiglich (1) charak- teristischen Flgche)

Es steht somit links in (4) eine nicht-positive, rechts eine nicht-negative GrS•e, und daher auf beiden Seiten 0.

Folglich ist in G (wit sehen bier von dem trivialen Falle n = 1 ab)

(5) ~, = o,

und hie~aus, da v (X 0, 0) = 0, (6) v -= 0

in G, also insbesondere (6') v (Xo,ro) = O.

Ist (X,, ~,) ein Punkt yon G, so liegt das yon dem ,,tmte~en" Mantel des eharakteristischen Kegels I r -- rl[ -~ IX - X,I und yon r -= 0 begrenzte abgesctdossene Gebiet Gt ganz in G, und um das Verschwinden yon v (Xx, r,) zu beweisen, geniigt es, G, s t a~ G zu betraehten.

332 Leifur .6sgeirsson.

w

Wir wenden nun dieses Ergebnis an auf

v (X, r) = Mt~l (u] X; Yo; r) -- Mc.~J (u] X; Yo; r),

wo also Yo fest ist, Y~o . . . . , Y~o somit als Parameter zu betraehten sin& Es ist demnach, falls M l~j (u] X; Yo; r) und Mi~ (u] X; Yo; r) existieren fiir

r + l x - Xol ~ to, r _ ~ o,

welches Gebiet wir jetzt mit G o bezeichnen,

(1) M ~ (u] Xo; Yo; to) = M~vl (u] Xo; Yo; to).

Hierzu mu~ M r*~ (u] X; Yo; O) = u (X, Yo) fiir {X -- Xo] ~_~ r o existieren. Dann existiert aber auch Mt~(u] X; Yo; r) in ganz Go; denn ' i s t

r, + [x~ - Xo ] <_ ~o, r, > o,

so ist ftir jedes X mit [X- -X~[ = r x

i x - Xo} ~ Ix - x,I + ix , - Xol <_ ,o,

d. h. die Kugel {X--X~] = r x im (xx, . . . , x~) -Raume liegt ganz im Gebiete ]X--Xo] <:2 r o, und da dort u ( X , Yo) definiert ist, so existiert M tz] (u] X1; Yo; r~).

Ftir die Existenz yon Mtv] (u] X; Yo; r) in G i s t es notwendig und hinreichend, dal~ u (X, Y) bei jedem X mit

I X - X o l + r <_ ~o, ~ > o, flit alle Y mit

[Y--Yo[----- r definiert ist.

Es sollen nun VE*: (u] Xo; Yo; to) und Vtvl (u] Xo; Yo; ro) die Volumen- mittel yon u (X, Yo) iiber das Innere der Kugel I X - Xol = r o bzw. yon u ( X o , Y ) fiber das Innere der Kugel I Y - - Y o l = r o bedeuten, d .h .

u(X, Yo)dXl". .dxn Vt~J(u] Xo; Yo; to) = Ix-xol _~,o

S d x i . . . d x n ' IX--Xol ~ r,

U(Xo'Y) dYx ' "dYn V~vJ(u]Xo; yo;ro) = Ir-Yol <,o= ....

dYl""dY~ I r - Yol_~ro

Da bier die Nenner gleieh sind (und zwar = 1 D. r~) und

ro

u ( X , Yo)dX~ . . . d x , = On J r~- t Mt~3 (u] Xo; Yo; r)dr, I-~--Xo I ~ ro o

ro

u(Xo, Y ) d Y l . . . d y n = ~,, ~ r~-~ mtvJ(u]Xo; Yo; r)dr, I Y ~ Y o I ~ r o 0

Mi~telwertseigenschaft yon L6~ungen partieUer Differentialgleiehungen. 333

so folgt sofort aus M[ ~] (u] Xo; Yo; r) ~ M[~ 1 (u]Xo; Yo; r) ffir 0 ~ r ~ : r o

(2) V [~ (u] Xo; Yo; ~o) = V[~l (u] Xo; Yo; to), und umgekehrt folgt (1) aus (2) dutch Differentiation nach r o.

Zusammenfassend kiSnnen wir den folgenden ,,Mittelwertsatz" aus- spreehen:

Es sei im abgesehlossenen Gebiet

[ 2~ (~ , - ~,o)~] ~ + [ ~ (y~- y~o)~]~ ~ %

eine zweimal stetig di//erenzierbare, der partiellen Di/]erentialgleichuny

Uxi ~l - - Uui vi ~ 0 i ~ l ~

geniigende l~unktion u (xl, . . . , xn, Yl . . . . . y , ) gegeben. Dann ist der Mittelwert yon u ( x l , . . . , Xn, Ylo . . . . . Y~o), wo Ylo . . . . , Y~o /est sind, au] der Kugel

X (x~ - Xio) 2 = rg

qleich dem Mittelwert yon u(Xlo, . . . , x~,o, y~ . . . . . y~), wo xao . . . . , xno ]est "sind, auf der Kugel

n

X ( y ~ - y,o) ~ = ~o. i = l

Es sind also auch die entspcechenden Mittelwerte iiber die VoU- kugeln einander gleich.

Aus Symmetriegriinden ist einzusehen, dal~ wit zu keinem anderen Ergebnis gekommen w~ren, wenn wit

w ( Y , r ) = M[~1 (u] Xo; Y; r) -- MtuJ (u] Xo; Y; r) mit

~ w - w , , - ~--"-~w~ = o; w ( y , o ) = o, w~( r ,o ) = o

start Mt~l (u] X; Yo; r) -- M iv1 (u] X; Yo; r) betrachtet h~tten. Die Flache

[ X - - XoI § I Y - Yo[ = ro

ist beziigtich der partiellen Differentialgleichung (A. _ / 1 , ) u ----- 0

eine charak~teristische Fl~che, wie zu vermuten.

w Es soll bier ein in e~was anderer Weise gefiihrter Beweis des Mittelwert-

satzes skizziert werden. Es bedeute bier

M1 (u] r, s)

334 Leifur ~_sgeirsson.

den Mittelwert von u(X , Y) auf der (2 n - 2)-dimensionalen Fl~che

I X - Xol = ~', ] Y - Yol = s.

Dann ist fiir eine beliebige regul~re Furrktion u (X, Y)

(0 2 n- -1 a 0 ~ n - - 1 0 ) M ~ ( u ] r , s ) = M x ( ( A _ (1) 0 ~ + r a r O~ ~ ~ 0-8 ~ ~,

A~) u] r,s).

Der Beweis folgt z. B. aus den Ausffihrungen des w 3, wenn man bemerkt, dal~ M~ (u] r, s) g]eich dem Mittelwert yon M ~r (u] X o; Y; ~) auf der Kugel I Y - - Y o l - - - - s bzw. dem Mittelwert von M M ( u ] X ; Y o ; s ) auf der Kugel I X - - 2s -= r i s t .

Es existiere nun u fiir I X - - X o] + [ Y - - Yol ~ a (a > 0), und es sei

0

Fig. I .

: o

Schreiben wit start M 1 (u] r, s) der Einfach- heit halber v (r,s), so gilt im Dreieck A AOB (s. Fig. 1)

( 2 ) L Iv] = v . + ~----A1 v , - - v~ , - - - - v ~ = 0. ?" 8

Es ist nun auch fiir v~ (r, s) = v (s,r)

(23 L [v~] = 0. Wit betrachten w (r, s) ~ v - - va in einem

der beiden Dreiecke A A O M oder A BOM, etwa in A BOM. Man hat dann

(3) J" 2r~-~w,L[w]d~'ds zt BOM

I 2 ~n-- I = - - {~n-- l (w~ r + W$ )$ - - 2 (r ~ - I w r ws)~ * + 2 (~ - - I ) - - ~ w~} d T (~8

ztBOM

{~ ( w , + w , ) s - 2 ( n - l ) ""-- a B O M , tBOM

: 0

(r', s' Normalableitungen naeh au~en, ~ Bogenlgnge). Da nun auf 0 M w = 0, also dort wr-] -w, : 0, scMiel~t man aus diesen Gleichungen (n > 1)

(4) . w ~ 0 in A B O M .

Es ist somit in A A O B v (r,s) symmetriseh in r u n d s, also insbesondere

(5) v (a, 0) -~ v (0, a),

oder

(6) M [x~ (u] Xo; Yo,a) = M~J (u] Xo; Yo; a).

Mitte lwer~seigenschaf~ y o n L 6 s u n g e n pa r t i e l l e r D i f f e ren t i a lg l e iohungen . 3 3 5

Beil~iufig sei erw~hnt, dal~ wenn man speziell u = [(q) setzt mit

q ~ Z ( x i - y~)~, wobei ] eine beliebige zweimal stetig differenzierbare

Funktion ist, man hat (r + 8)2

1 ? n- - 8 M~ (~] ~,~) = konst. �9 r ~i._~ ) /(~) [((~ + ~)~ - z) (~ - (~ - ~)~)]-T g ~.

(r.- s)2

Die reehte Seite ist fiir ein beliebiges (und nieht nut ganzzahliges) > 1 eine LSsung yon (2), welche Gleichung, passend transformiert, ein

spezieller Fall der Eulerschen Gleiehung ist. (Siehe Darboux, TMorie des surfaces, T. II.)

w

Wir wollen noch kurz zeigen, dal~ (1) und (2), w 6 nut spezielle Formen eines allgemeineren Satzes sind.

Fassen wir die Mannigfaltigkeiten F mit

I X - X o l =< ~, I r - r 0 1 = o und G mit

I X - - X o I = O , IY--YoI ~__r

als Fl~chen in Rx, r auf, so hat man mit den Bezeichnungen des w 3

(1) ~ (F) = ~ (G).

Dutch eine Transformation ~ , ~ der der Oleiehung (B), w 4 zugeh6rigen Gruppe, welche Rx, r auf eiuen (X', Y')-Raum Rx,,r, abbildet, so dab also

in Rx, ,y , gilt (A~' -- z]~')u = 0,

werde F in F' , G in G' transformiert. Dann gilt, wenn man die Fl~ichen- elemente yon F, F', G, G' mit doF, doy,. doG, doG, bezeichnet, fiir ein- ander entspreohende Elemente yon Y und F bzw. yon G und G':

do G dop = konst., - - konst., do F do o,

wie man leicht finde% wenn man als Parameter flit F' ebenso wie flit Fx~ . . . . , x, , und ffir G' wie fiir Gy 1, . . . . y~ w~hlt. (Siehe w 3, Ful~note).

Es geht also in Rx,,r, (1) fiber in

(2) ~ (F') = ~ (a').

Wegen der Umkehrbarkeit der Transformation gilt abet offenbar (2) flit jede im Innern der Bildfl~che yon IX--X0[ + IY- - Y0l = r in Rx,,r, regulate Funktion u(X', Y') mit (A~'- - A~')~ u = 0.

B36 Leifur ~sgeir~on.

Vertauschen wir jetzt die gestrichenea Vergnderliche.n mit den un- gestrichenen und bezeichnen zwei Mannigfaltigkeiten des (X, Y)-Raumes, welche in Rx,,y, auf ] X ' - X o l " ~ r , I Y ' - Y o l - - 0 bzw. auf ]X'-Z'ol=O, ]Y'--Y'ol ~ r dutch eine Transformation ~:,,~ verbunden mit einer Translation abbildbar sind, als konjugiert in bezug auf die Gleichung (A, -- A=)u = 0, die auf I X ' ~ Xol + ] Y ' - - Yo] = r abgebildete Fliich.e

als ihre charakteristische' Verbindungsfl~he, so haben wir den folgenden Satz:

Ist u (X, Y) ~ u (x 1 . . . . , x.,, y~ . . . . . y.) zweimal stetig differenziero bar mit

im Innern einer charakteristischen Verbindungsfl~che, so sind die Mittel- werte yon u iJber die konjugier ten Mannig/altigkeiten einander gleich.

w

Es ist nun leicht zu zeigen: falls u(X, Y ) = u(xl . . . . . x,,, Yl, .... Y,) in der Umgebung eines Punk tes (Xo, Yo) regular is~, und fiir alle gentigend ldeinen r

Mtz~ (u] X 0; Yo ; r) = M~ (u] X,; Yo ; r) gilt, so ist

(A = - - . zl,) , ) u (Xo, Yo) = O.

Denn nachw 3 ist

1 u (Xo, ro), Mt~ (u] Xo; Yo; O) = u

und ebenso O~ M[~I(u]Xo; Yo; O) = 1 ~t lu(Xo, Yo),

.WOI:&U8 - - n . ) (Xo, r o ) = o,

n

Es fragt sich nun, ob m a n hier nicht etwa auf die Forderung der stetigen Differeuzierbarkeit h~otte verzichten kSnnen, indem diese allgemein sus der Mittelwerteigenschaft allein folgte. Dies ist zu verneinen, dean aus M ~z~ (u] Xo; Yo; r) = Mfv] (u] X.o; Yo; r) folgt, wenn u~ vorhanden und s~tig ist,

Mt~ (u~i ] X o ; Yo; r) = Mt~l (u~] X o; Yo; r),

wie man d ~ e h Differentiation unter den Integralzeichen (sieh~ w167 bestiitigt: ]~s miiBfe demnach u unendlieh oft differenzierbar sein, was im allgemeinen nicht der Fall sein wird (man betraehte z. B. LSsungen

Yon ~xx ~ u~ ~ 0).

Mittelwertseigenschaft yon L6sungen partieller Differentialgleiohungen. 337

w 10.

Der Mittelwertsatz des w 6 soll ietzt iibertragen werden auI reguliire Funktionen u (x I, . . . , z~, Yl, . . . , Y,') --= u (X, Y) mit

(A) (~. �9 - ~ v)" = o,

wo n ' ~ n, e~wa n '<= n. Hierzu hat man einfaoh n - - n ' neue Ver- ~inde~liche y~,+~ . . . . . y , formal hinzuzunetunen, indem man setzt

v (x , , . . . , x,,, y~ . . . . . y ,) =-- v (X, Y*) = u (X, Y);

es ist dann

(B) ( ~ , - a,),, = o.

Diese n - n' Hilfsver~nderlichen ]assen sich dann aus dora Ausdruck flit M[v] (v] X 0; Y~*; r) wieder wegschaffen.

v ist genau dann fiir IX - - Xol + I Y * - Y$I <_~ r definiert, wenn u f~r I X - Xol + I Y - Yol __~ r existiert. Hier ist

_ Yol = [ ~ (v , - V , o ) ' l ' " , I Y L ~ = I J

In der Gleiehung

(1) [ v (X, Yg) dx~ . . . d x , IX- s

= ~ v ( X o, Y * ) d y 1 . . . ely,, d y w + i . . . d y , , l Y*-- f~l ~ r

die bier in

(1') ~ u ( X , Yo )d% . . . d x ,

= ~ u ( X o, Y ) d y 1 . . . dye, gyp'+1 . . . d y , I r*- - r~ l - - -~r

libergeht, kSnnen wir auf der rechten Seite die Integration nach y~,+~ . . . . , y , expIizite ausfiihren; sie liefert einfach das Volumen der Vol]kugel im (Yw+l, . . . , y~)-Raume

n

l (y,- y,o) ~ ~ ~ ' - I r - Y o l L n ' + 1

also den Wert

Mathematisehe Annalen. 113.

338 Leifur Asgoirsson.

und es ist somit f i i r n ' > 0

(2) t" u(X, Yo)dx~ .. . dx~ { X - - A% I - :- : r

= n n' J ( r~_ jy_yo i~) 2 u(xo ,Y) d y , . . . d y , , . ] Y - - Y o J ~ r

Ist n'-~ 0, so hat man auf der rechten Seite einfach zu setzea ~2 n - - r~ u (Xo) .

n

Differenziert man auI beiden Seiten yon (2) nach r u n d dividiert durch De r ~-1, so ergibt eich fiir n" :~ 0

(3) Mt~] (u] X o ; Yo; 7) ~r - - n ' ~ n - - n ' - - 2

= r ' - ~ J ( v~ -- {Y-- Yo[2) ~ u(Xo, Y) dye. . , dy,v, nJy- -Yo l~r

und ha Falle n' = 0 (3') M (u] X o; 7) = u (Xo),

d .h . der gewShnliche Mittelwertsatz flit die aIlgemeine Potentialfunktion u ( x ) ~ u ( ~ , . . . . x~) .

Ist z. B. n ~ 3, n' ~ 1, so finder man yo+r

1 f u{X~ Mt~] (u] X 0; Yo; 7) ~ ~7 YO - - r

was auch direkt aus der Poissonechen Formel folgt. Die Form der Gleichungen (2) und (3) iet natiirlich eine spezielle,

in demselben Sinne wie die yon (1) und (2), w 6 es ist.

w

Unser Mittelwertsatz gilt also, gehSrig umgeformt, fiir alle reguliiren Funktionen, die einer homogenen linearen partiellen Differentialgleichung 2. Ordnung mit konetanten Koeffizienten genfigen. Es sollen hier einige Beispiele beeprochen werden.

l, U ~ - U ~ --~ 0.

Iet u im Innern einee ,,charakteristikenparallelen" Rechtecks regul~ir, so sind ]a die Summen der Ftmktionswerte fiir beide Paare gegeniiber- liegender Eckpunkte einander gleich. Dieser Satz erweiet eich ale der auf die obige Gleichung bezogene Spezialfall des allgemeinen Mittelwert- satzee in der Fassung (1), w 6.

2. A~u = 0.

Mittelwertseigenschaf~ yon L6sungea partieller Differentialgleichungen. 339

Wit haben gesehen, daft man hier auf den gewShnlichen Mittelwert- satz der allgemeinen Potentialgleichung kommt. Wir kSnnen aber einen allgemeineren Satz gewinnen, wobei wir zun~iehst den Fall n = 2 be- trachten. Wit schreiben

Uxx -}- %~ ---- O.

Setzt man v (x, y, x', y') = u (z, y),

so dab trivialerweise v ~: ~ --~ v v ~, - ~ v z , ~, , -}- v y , y ,

gilt, und ffihrt darauf die Transformation aus:

= ~Cos~+~'Sin~,

y = ~ Cos/3 + V' Sin fl,

a, fl befiebige Konstante, so geht, da diese Transformation, erg~nzt dutch

x' = ~ Sin ~ + ~' Cos ~,

y' = ~ Sin fl -5 ~' Cos ~,

der der Gleiehung v ~ + v u , , = % , ~ , + v y , v , zugehbrigen Gruppe angehbrt, v (x, y, x', y') fiber in

U (~, '7, ~', V') ---- u (~ Cos ~ + ~' Sin ~, ~ Cos fl + V' Sin fl) mit

Es ist folglich

(1)

giiltig ffir eine beliebige

u (~ Cos

reguliir ist ffir

Es wird bier liings

U$~ + U~ = U,,~, + Un,~,.

u ( r c o s 9 C o s ~ 1 7 6 d 0

---- I u ( r c ~ 1 7 6 d 0

Potentialfunktion u ( x , y ) , falls

+ ~' Sin ~, U Cos fl + ~' Sin fl)

+ ~')~J~ + (~'~ + ~2'~)~ ~ r. zweier Ellipsen: E~ mit der Gleichung

x ~ y~ r~ Co.~ ~ + r'-~CosV-~ = 1.

und E~ mit der Gleiehung x ~ yS

r ~ Sing ~ + r~ Sin~ fl - - 1

(es ~ird hier ~ ~= O, fl =~ 0 angenommen) nach dem Anomaliewinkel integriert.

2'2*

340 Lei~ur .~sgcinson.

Auch finder man (vgl. w 8), dal~ der Mittelwert yon u iiber chin Innere (~, von E~ gleich dem Mittelwert tiber da~ Innere (~s von E~ ist, d. h.

f udxdy ~udxdy

Dem Definitionsgebiet f~r /3:

(p + ,f),l, + (~'~ + ,f~)'/, < r entspricht als Definitionsgebiet ffir u

o ~ , ~ + ~osS~ ~ r ~, d. h. (~ . Denn aus

(~_,o~;-~ + p/ = [(~ + Tg ~) ' + (~ + Tg p)']*~,

< : (~'~ -{- ns)u, + (~'~ Tg'~ -{- W" Tg s/~)'~,

(Dreiecks. n~leichung) folgt

�9 ' v ' I ' I ' , f ) ' I ,

wo nu~ ritz ~' = ~' = 0 das Gleichheitszeichen gilt. Sohreiben wir

r Cos o~ = a, r ~ s ~' = b,

so lauten die Gleichungen fiir Ex bzw. E, zg ys aW+~" = 1.

=1 ys a s - rs ~ -b ' - - - - -~" - 1.

E x und E s sind Mso konfolml, und wit k6nnen sllgemein wegen der Invs~ianz der PotentiMgleichung Xhnlichkeitstmnsformstionen gegen0ber den folgenden Satz aussprechen:

Ix&yen zu~i Iconlokale Ellipsen E I u n d E s mit ~ren Innengebieten b~w. ~l ganz i~ einem Gebiete. d, cr (~,, y)-Ebene, wo eine reful~re Potentiah ~ n I ~ ~ (=~, y) g~eb~ ~st, so s i~ die M i U d ~ yon u ~er ~ bzw. e ~ n a ~ glde.,h.

Auch fttr eine Potentialfunktion u (~ . . . . , z~) im ~-dimensionales Raume l~13t sioh in ganz analogex Weise ein entsprechender Satz ge- winnen. Man setze

z, ---- ~ Cos ~, -{- ~ Sin ~ , i ---- 1 . . . . , n,

wodazch u (zx, . . . . ~ ) in U (~, . . . . , ~., ~h . . . . , ~1.) mit ( ~ - ~ ) U = 0 ttbergeht. Es Iolgt also:

IA~en zwd l~nlol~ale ( n - 1)-dimens/ona/e EIlipsoide E~ und E~ mit i~en In~enfebieten ~x bzw. ~, ~snz in ei~m Gebie~ ~ (z~ .... , x,O-Raum~,

Mittelwertseigenschaft yon L6sungen partieller Differentialg]eichungen. 341

wa ~ regulate Potential/unktion u ( x ~ , . . . , x~) gegeben ist, so sind die Miy.dwerte yon u iiber ~ bzw. ~ einander gleich.

In Gleichungsform:

Dieser Satz erwe~t sich ftir n : 3 als wesentlich ~iquivalent mit &m sogenannten Mac Laurinschen Satze '} fiber die Anziehung homogener konfokaler Ellipsoide. Setzt man n~imlich

konst. u - , r = I X - X o l ,

wo (Xo) ein in bezug auf die betrachteten Ellipsoide iluBerer Punkt ist, to hat man den MacLaurinschen Satz, aus welehem wiederum der obige Satz hergeleitet werden kann vermSge der DarsteUbarkeit von u als Potential einer einfachen und einer doppelten Schicht, die fiber eine beide Ellipsoide umschliel~ende Fliiche genommen sind.

$. a) As~u-~u = O, b) ~ r O.

Wit setzen

a) v (X, t) : u (X) sin t, b) v ( X , t ) = u ( X ) Sin t trod haben

8

Also a) Mt~J (v] Xo ; to ; r) = s in t o M (u] Xo ; r)

to + r

1 ~ sin r = ~ v ( X 0 , t) d t = s in to - 7 - u (Xo),

J fo-- r

(8) M (u] Xo ; r) ----- sin r u (Xo),

d.h. der Webersehe Mittelwertsatz. Genau so finder man

(4) b)

4.

~ihren wit ein

ist

M ( u ] X o; 7") - - S i n r u ( x o ) ,

~ ~ ~ ~ O.

v (~ , 8, 0 = e ' u (~, O,

V~z -- Vs~ ~ O.

~) ~ber den MacLaurineehen Satz siehe Ostwalds Kl~ssiker, Nr. 19: ~ber die Anaiehung homogener Ellipsoide. Herausgegeben yon A. Wangerin.

34:2 Leifur Asgeirsson.

Wit setzen noch (~, k ~ 0 beliebige Konstante)

x = 8 C o s ~ + ~' Sin ~,

1 s=~(-~+ff),

und linden

Also

(5)

(5')

v~$ + v , , = v~,~, -~- v,,, , .

e ~,2

k Cos z 2 t 2

+ --<'

' ~ u($ Cos ~, k ~ ) d ~ d ~

,7'

f eTZu(~ ' S ino~,k~ ' )d~ 'd~ ' ,

t

e ' k ~ u ( x , t ) d x d t

S , t

_ 1 e ~k--~ u ( x . t) d x d t , k Sia~

x 2 t 2 + - < ,

oder aUgemeiner, wegen der Willkiir in der Wahl yon ~, k, r,

1 f (al2-- a2~) t (5") at j e ,b, u (x , t ) d x d t

x2 ~2 ~ + ~ < - ~ g l 2

I I (%~--al~)t = - - e 462 u(x , t ) d x d t .

as Z2 t g a2Z

Es sind hierbei a,, a~, b beliebig, falls nut u im Innera der grhl~eren Ellipse regular ist.

w

Es soll hier gezeig~ werden, wie man mit Hilfe L6sungen der allgemeinen Wellengleichung

A~u -- ut , = O; n > l

findet, wenn fiir t = 0

u = u (X, O) = uo (X)

u, = u, (X, O) = u~ (X)

yon (3), w I0 die

Mitte lwertseigenschaf t yon L6sungen part iel ler Differentialgleiehungen. 343

gegeben sindS) �9 Falls die Anfangswerte auf einer anderen raumartigen

Ebene ( d . h . einer Ebene mit {Ot'~ ~ 2 {Ox,~% \b--~v/ ~ \-8~-~ / ) gegeben sind, kann man

die Aufgabe dutch eine lineare Transformation auf diese Gestalt bringen. Betrachten wir zun~ichst den Fall n = 3. Nimmt man an, dal~ fiir

I X - Xol + Itl ~ r eine LSsung existiert, so ist (vgl. w 10) +v

1 .I u (X~ t)dt, M (uo] Xo; r) =

- - T

(1)

und deshalb

(13 u (Xo, ~) + ~ ( x o , - ~) = 2 o ( , M (~o] X0; ~)). Fiir u, ergibt sich dann (vgl. w 9, Schlul~)

+ r

1 f u, (Xo, t) cZt = 1 [~ (Xo, r) - u (Xo, - r) ] , (2) M ( u ~ ] X o; r) = ~-r Tr - - T

(2') u (Xo, r) - - u (X o, -- r) = 2 rM (ua] X o ; r).

Also (3) u (Xo, + r) = ~ (~ M (%] X o ; r)) 4- r i (u~] Xo ; r).

Wit haben somit die Formel yon Poisson erhalten, deren nachtrtigliche Verifikation auch hier nStig ist.

Allgemein gilt nun nach (3), w 10 (n' = 1) q-r

I "-~- O" r~-2M(uo]Xo; r). (4) (,r ~ - t~) - ~ u ( X o , t) d t =

- - r

Ist - ~ ganz, n also ungerade, so differenziere man diese Gleiehung

n--3_real nach rL Es ergibt sich 2

+ r n - -3

wenn die i-re Ableitung nach r 2 dutch (o~r~)) ~ angezeigt wird. Hieraus

"n 0( 0 ) n-~

~) ~ b e r die L6sungen dieses Problems siehe e twa Hadamard , Le Probl~me de Cauchy, S. 336 u. a. a. St., wo auch die Arbei~en yon Tedone zi t ier t werden.

344 Leifur )~_sgeirsson.

Wird in (5) u bzw. u o du tch ut bzw. u~ ersetzt und links aus-

( n- -3~ , .o T / " - v t - 1

"a--3

integriert , so erh/ilt man

(7) u (Xo , r) - u ( X o , - r) =

Es folgt

(s') ~(Xo, +~ ) = [r "-~ M (Uo] Xo; r)]

- } [~-:2 M (%] Xo; r)]

Z ~ t - - U t t ~ r

Z J ~ g t ~ U t t ~ ~

~, (x , o) = ~, (x)

DZW.

bei den Anfangsbedingungen

u ( X , 0) = u0 ( X ) ,

Um die Oleiehungen

als allgemeine AuflSsungsformel fiir ungerade n.

n gerade, so k o m m t man nach ~-~2 ~-maliger Different ia t ion yon Is t

(4) nach r ~ auf eine verallgemeinerte, explizit ltisbare Abelsche Integral- gleichung fiir u (Xo, r) q- u (Xo, - - r); es gilt

r

n - - 3 n - - 5 3 1 (9) 2 2 "'" 2 2 ( r ~ - t ~ ) - ~ 1 2 [ u ( X o ' t ) ' - ~ u ( X o ' - t ) ] d t

J 0

Is t n ----- 2, so ist der Fak to r vor dem Integral finks d u t c h I zu e r se t~n ,

Wird in (9) u bzw. % durch ut bzw. u 1 ersetzr so l~il3t sich aus der so erhal tenen Gleichung u (X o, ~) - - u (Xo, - - r) bes t immen.

Man finder schlieBfich

(10) u ( X o, :Er) -- (~.~22)! ~-F (r,_t,)~h [ t~-~M(uo]Xo;t) ldt

0 ~ [ t" -~M(ul]Xo; t)]dt �9 i (r~.~_t~)~ 0

Mittelwertseigenschaft yon LSsungen partieller Difforentialgleichuugen. 345

zu 15sen, seize man

v(X*, t) ~ v(x~ . . . . , x~, x, ,+l, t) ---- u ( X , t) sin x~+l

bzw. v (X*, t) -~ u (X, t) Sin x~ + 1

und ha~; dann

n - b 1

mit den Anfangsbedingungen

v(X*,0) = u o(X) s inxn+l , v ~ ( X * , 0 ) = u l(X) s i a x . +

bzw. v (X*, 0) ~- u o (X) Sin x~ + 1, v~ (X*, 0) ~- u 1 (X) Sin x~ + 1,

wodurch die Aufgabe auf den sehon behandelten Fall zuriickgefiihrt ist.

w 13.

Betrachten wit zum Schlui] wieder die Gleichung (1), w 1:

i, k ~ l j -~- I

Den vorhergeheaden Ausfiihrangen kann das Bestehen des folgenden Sachverhaltes entnommen werden:

Es gibt Paare yon Mannigfaltigkeiten, oder kiirzer Fl~chen, F u n d G mit zugehSrigen ,,Belegungsftmktionen" / und g derart, daI~ fiir eine be- liebige, in einem dutch F u n d G bestimmten Gebiete existierende regul~ire LSsung yon (1) gilt (do Fl~ichenelement)

d o = d o . F O

Hierbei kann es eintreten, dab zu der einen Fl~che eines solchen Fl~iehenpaare.~ die andere, die ,,Gegenfl~ehe", nicht yon vornherein ein- deutig bestimmt ist; es kann eine Schar yon mSgliehen Gegenflhchen geben. Je nach der Art der Gleichung (1) kSnnen /~ und G ~ede Dimensionszahl ~ : n besitzen; es kann sogar die eine ,,Fliiche" oder beide aus diskreten Punkten bestehen, in welehem Falle in (2) Summationen an 8telle der Integrationen treten.

Zu jedem Punkte (Xo) des Definitionsgebietes yon u kann eine ein- parametrige Schar soleher Paare yon Fliiehen/~xo, ~ und GXo, r ausgewii.hlt werden, die nebst zugeh5rigen Belegangsfunktionen f u n d ff in stetiger Weise so yon X o and dem Scharparameter r abh~ingen, dab flit r ~ 0 Fx0, r and Gzo,~ sieh auf (Xo) zusammenziehen, da auf beiden Fl~ehen

Max [X - - xo l beschriinkt bleibt, und daI] dabei fiir ein beliebiges Poly- r

nora P zweiten Grades in x 1 - - x l o , . . . , x ~ - x~o gilt

(3) ~ / P d o - ~ gPdo=I~ '~§ "2, ~ 'Xo , r GXo, r

346 Leifur /~sgeirsaon, Mittelwert~eigenschaft yon I~sungen usw.

wobei [ eine nicht identisch vcrschwindende Linearfunktion der Koeffi-

zienten yon P ist und lira e--~ 0. Es sind ferner j" [/1 do und r ~ 0 F X ~ , r

]gl do beschrhnkt. (;A'O, r

Fiir die LSsungen v einer aus (1) vermSge eiaer Transformation

v = ~ (y~ . . . . , y.) u,

x ~ = / , ( y l . . . . . Y.). i = 1 . . . . , n

hervorgegangenen Gleichung mit nichtkonstanten Koeffizienten

(4) a . , , . , . , + '2 + c , , = o i, k:m I j=l

bleibt offenbar eine Au~age der obigen Form gtiltig. Es werde nun umgekehrt die Giiltigkeit einer solchen Auasage be-

ztiglich einer reguliiren Fun~ ion u (x~, . . . , x~) vorausgesetzt. Dann ge- niigt u in dem betreffenden Gebiet einer homogenen linearen partiellen Differentialgleichung 2. Ordnung.

Um dies zu beweise.n, hat man nur in der Gleichung

~'xo, r G.I'~, r u dutch die Taylorentwicklung nach x a -- x~o , . . . . x, -- x,o bis zu Gliedern 2. Ordnung eimmhliel~lich nebst Rastgli~l zu ersetzen. Fiir die linke Seite finder man nach Vorauasetztmg

r * L ' [ u ] + s r t mit l i m e = 0 , r - ~ o

wo L'[u] einen in (Xo) genommenen, nicht identisch verschwindenden linearen Differentialausdruck 2. Ordnung in u mit yon (X0) abh~ngigea Koeffizieuten bedeutet. Also mul3 sein

(5) L' [u] = O.

~Es arhebt sich nun die l~rage, inwieweit die~ex letzte Satz sich mn- kehren l~l]t, d . h . welchen Oleichungen yore Typus (4) sich ein Mittel- wertsatz der oben beschriebenen Art zuordnen liil3t. Von einem weiteren Eingehen auf diese Frage muff abet bier abgesehen we~len.

(Eingegangen am 20. 9. 1935.)