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Uber K~rper der Charakteristik p, Von
P. Sengenhorst in Charlottenburg.
1o
Vorbemerkungen.
In der vorliegenden Arbeit wird die arithmetische Theorie gewisser KSrper der Chara~eristik p entwiekel~. Dabei sagen wir nach S te in i t z (2, w 4)1) yon einem K6rper K, dab er die Charalr~eristik p hat (p ist eine positive Primzahl), wenn das p-fache jedes Elements yon K gleich dem Nullelement ist. Das einfachste Beispiel solcher K6rper bilden die endlichen K6rper. Sei iv(q) ein endlicher K6rper yon q Elementen (~ ~ 1). Dann gilt q-----p~, we p eine positive Primzahl, ~ ~ 1 ist, und iv(q) ist yon der Charakteristik p. Adjungiert man nun zu iv(q) eine in bezug auf iv(q) transzendente GrSBe t, d. h. betrachtet man den K6rper aller rationalen Funktionen yon t mit Koeffizienten in F(q) , und bezeichnet man als ganze Gr6~en yon D die Polynome in der Variablen t mit Koeffi- zienten in iv(q), so kann man eine arithmetische Theorie des K6rpers entwiekeln, die grebe Analogie zeigt zar Theorie des K6rpers der rationalen Zahlen. Adjungiert man ferner zu ~Q eine in bezug auf ~ algebraische Gr6~e ~, so erh~lt man in dem so entstehenden K6rper ~ ( ~ ) ein Ana- logon zu den gew6hnlichen algebraischen ZahlenkSrpern.
Die folgende Arbeit gibt eine Idealtheorie und eine Theorie der Ein- heiten flit den so definierten KSrper ~(v~). Fiir den Fall, daiS v~ in bezug auf ~2 vom zweiten Grade und da~ v --~ 1, also q -~ p ist, liegt die Theorie bereits vor in einer Arbeit yon Herrn .a.rtin (6), die dariiber hinaus auch die analytische Theorie bringt. Ferner sind einige Ergebnisse dieser Arbeit.fiir spezielle F~lle yon Herrn Ki ihne (12) entwickelt worden.
1) Die eingeklammerten fettgedruckten Zahlen beziehen sich auf das am Schlu~ der Arbeit befindliche Literaturverzeichnis.
Mathematische Zeitschrift. XXIV. 1
2 P. Sengenhors t .
Zur Anwendung gelangen in der vorliegenden Arbeit auller den Schlull- weisen der klassisehen Zahlen- und Idealtheorie vor allem die Resultate der algebraisehen Theorie der abstrakten K6rper yon,Herin S t e in i t z (2) und die Methoden, die Herr I-Iensel bei der Behandlung der p-adisehen Zah]en entwiekelt hat (8). Die Darstellung wird wesentlich vereinfacht durch Verwendung der Begrif[e der yon Herrn Ki i rsch~k (3) begriindeten Bewertungstheorie.
@2. Polynome in einem K@rper.
Wit setzen den Begriff des abstrakten K6rpers als bekannt voraus (vgl. etwa 2, S. 172f. und 10). Wit verwenden unbedenklich aueh im abs~rakten KSrper die Ausdriieke Addition, Multiplikation usw. mid die Operationszeiehen-t-, �9 usw. Dagegen wollen wit das NuUelement in dem jeweils betraehteten abstrakten KSrper zum Untersehied yon der Zahl 0 stets mit z, entspreehend das ginheitselement s t e t s mit u be- zeiehnen. ][st a ein Element eines KSrpers K, so kann man, wean n eine ganze Zahl ist, in iiblicher Weise das ,,ganzzahlige Viel]ache" n .a und zuniiehst im Falle a + z - die Potenz a n definieren. Fiir n > 0 setzen wir z " - - - z, ferner sei z ~ wenn n < 0 ist, wird z" nieht definiert.
Unter einem Polynom im KSrper K verstehen wit einen Ausdruek der Form
f(w) = a , x ~ "4- a ,_ l x n-1-4- . . . + ao,
w o n > 0 ist, a n, a ,_ 1, . . . , a o Element~ yon K sind mid x ein Symbol ist. Zwei Polynome hei@en gleich, wenn die eihander entspreehenden Koeffizient~n gleieh sin& Das Polynom, dessen siimtliehe Koeffizienten gleieh z sind, nennen wir das igullpolynom; wit bezeiehnen es, wenn Verweehslungen mit dem NuUdement nieht zu befiirehten sind, einfaeh mit z. Der Grad eines Polynoms wird in iiblieher Weise definiert. Als Grad des Nullpolynoms wiihlen wit nieht 0 , sondern -- was einige Vor- ziige hat -- das Symbol (-- cr Es soll gelten, wenn n e i n e (endliehe) ganze Zahl ist,
- - e x ) ~ - - c ~ ; - - ex) <: n ;
- ~ + n = - ~ : - ~ o + ( - c c ) = - ~ . Wit wollen den Grad des Polynoms f (x ) .,nit { f (x )} bezeiehnen.
Summe und Produkt yon Polynomen lassen sich in der iibliehen Weise definieren. Es gilt dann, wenn f u n d g zwei Polynome sind,
{ f ' g } - ~ - { f } ' q - { 9 ) .
Zwei yon z verschiedene Polynome f und g im K6rper K heiflen assoziiert, wenn f---- a.g ist, w o a ein (eo ipso yon z versehiedenes) Element yon K
Uber KSrper der Char~kteristik l~. 3
ist. Ein yon z ve~schiedenes Polynom heil]t primdr ') , wenn die hSchste wixklich anftretende Potenz yon z als Koefllzienten das Einheitsele- ment u hat.
Man kann nun, wie iiblieh, die TdlbarkdtsSheorie der Polynome ent- wiekeln. Die Polynome des Grades 0 spielen die Rolle der F,/nhe/ten. Ein Polynom P, das yon z mad yon den Einheiten verschieden ist, he i f l t Primpolynom~ wenn es nut dutch die zu ibm assoziierten Polynome und dutch die Einheiten teilbar ist. Es gilt der
Satz. Jedes yon z und van den Einheiten verschiedene Polynorn f ldflt sic& au] eine und nut eine Wdse in der Form
f f a . P , . P , . . . . .P,, ( n ~ l )
darstdlen, wo a eine Einheit ist und P~, P~, . . . , P, l~rirndre Prim. ~olynome sind.
Aueh die Definition yon Polynomen in mehreren ,,Variablen" x l ,xg . . . . , x , (die wieder als blol3e Symbole aufzufassen sind) bexeitet keine Sehwierigkeiten. Wit definieren insbesondere in iiblicher Weise (fiix n ~ 1) die elementarsymmetrisc&en Potynome in den Vaxiablen xa, z~ . . . . , x,,:
c~ = x ~ + . . . + x , , ; % = xl ~, -.1- z~ :~s + . . . + x,_~ z,, . . . . , % ~ xa.~, . . .x , , .
Dann besagt der
H a u p t s a t z yon den s y m m e t r i s c h en P o l y n o m e n . F(:vl, xg,..., z~) 8ei ein symmetrisc&es Polynom der Variablen x~ . . . . , ~,,. Die Koef/i- zien~en A, B, C, . . . . seien Elemen~e yon K oder allyemeiner Polynome in irge, ndwelc&en anderen Variablen vl, % . . . . . v~ (mit Koe//izienSen in K). Dann kann man F ( x l, x~ . . . . . xn) darstellen als ganze ra$ionale Funktion in den elementarsymmetrisc&en Polynoraen c~, %, . . . , e,,, wobei als Koe/]i. zienten nut ganzzahlige Viel/ac&e yon A, B , C . . . . auflreten.
w
Die K~rper s und ~ ' .
Zu einer wiehtigen Einteihng der KSrper gelangt man, wenn man die ganzzahligen Vielf~hen des Einheitselements u betrachtet. Entweder diese Vielfachen sind alle voneinander verschieden -- dann enthRlt der KSrper einen Unterk5rper, der zum KSrper der rationalen Zahlen isomorph ist -- oder es gibt zwei ganze Zahlen m und n, derart, dal~ m < n und m u ~ n u ist. Im Ietzteren Fall gibt es eine Primzahl ~, derart, daft
2) Herr Hensel (8, S. 64) verbindet mit diesem Ausdruck eine andere Be- deutung.
1"
4 P. Sengenhorst.
fiir ein beliebiges Element a des KSrpers, das yon z versohieden ist, das ganzzahlige Vielfache k .a yon a dann und nur dann gleich z ist, wenn k dutch p teilbar ist. Der KSrper hei6t dann nach S t e i n i t z (2, w 4) ,,yon der Uharakteristik p". Er enth~ilt dann einen (genau die ganz- zahligen Vielfachen yon u umfassenden)Unterk6rper, der zum K6rper der Restklassen mod p isomorph ist.
Das einfachste Bei.~piel yon KSrpern mit Primzahlcharakteristik bietOn die endlichen K6rper (vgl. 7, Kap. I - - I I I ; 2, w 4; w 15). Sei F(q) ein endlioher KSrper mit q Elementen; dann nennen wir q die Ord~ung yon F(q) . Es gibt dann stets eine Primzahl p und eine positive ganze Zahl ~, derart, dal] q-----p" is~; ferner hat dann F(q) die Charakteristik p. Ist umgekehrt die Primzahl p und die positive ganze Zahl ~ gegeben und setzt man q ----- p ' , so gibt es einen endlichen K6rper der Ordnung q. Schliefl- lich sind alle endlichen K6rper der gleichen Orduung zueinander isomorph.
Wit legen nun /iir alles Folgende einen ]esten endliehen K6rper F (q ) der Ordnung q = p" zugrunde. Dann betrachten wit (vgl . 6 , w 2) Atts- driicke von folgender Form:
R ( I) = ~ a~ t ~ = a , t ' - t - an_a t n-x -I- a,_~ t n-~ + . . . ; - - a o
dabei ist n e i n e ganze Zahl, die aueh negativ oder gleich 0 sein daft; t ist ein Symbol; a, , a,_ l , a , _ 2 , . . , sind Elemente yon F(q); k durch- l~iuit alle ganzen Zahlen, die nieht grSl~er als n sind, wird aber nieht etwa gleich.dem (in w 2 eingefiihrten) Symbol - - o r . Wit wollen einen Ausdruck der gekennzeichneten Art kurz eine Reihe nennen. Zwei Reihen werden als gleich bezeichnet, wenn die einander entsprechenden Koeffi- zienten gleieh sind. Addiert, bzw. subtrahier~ werden Rei/aen, indem man d ie entsprechenden Koeffizienten addiert, bzw. subtrahiert. Auch die Multiplikation yon Reihen liil]t sich in naheliegender Weise definieren: Sei
R ( t ) = a m f ~ + a m _ ~ t ' - a q - . . . ,
S ( t ) = b,~ t" + b,~_, t '~-a + . . . .
Dann sei;zen wir
R ( t ) . S ( t ) = c,~_~,, tm+n q -- Cm+,~_x t"*+n- x % - . . . . WO
ca= .,~ atbr l + r = k
is~. Diese Definitionen sind v o n d e r Sehreibweise der betreffenden Reihen (d. h. yon der Hinzufiigung hSherer Potenzen yon t mit dem Koeffizienten z) unabh~ngig. Sei wieder
R (t) = am tm-{- am-, t m-a-4-...
Uber K6rper der Charakteristik ~,
eine Reihe und sei insbesondere a= ~ z; dan~ heil~t m der Grad der Reihe. Der ,,Nullreihe", deren siimtliche Koeffizienten gleich z sind und die wiz, wenn Mil~verstAndnisse nieht zu befiirchten sind, kurz mit z bezeichnen, geben wit den Grad - -o r .
In dem Falle, da~ die Reihen insbesondere Polynome sind, befinden wit uns im Einklang mit der in w 2 erw~ihnten Definition des Grades. Wir wollen den Grad der Reihe R mit { R} hezeichnen. Es gilt
{ R . S } f { R } + { ~ ) . Ferner gilt
{~ +_ s } < M~x({R), {S}) .
Ist { R ) + { 8 } , so gilt
{R -I- S ) = Max ({R}, {S}).
Wit fiit~en noch den ,,Be~rag" IRI der Reihe R e i n . Ist R ~ z, so setzen wir 1RI=q{R}; ist R = z , so setzen wit }Ri~-0 . Es gilt
}R.S]=]R].}SI, IR~S]~Max(]R],}S}). Ist i R } + ! s l, so gilt
!R • sl----~ax(l R ], j Sl)
Sei nun R1, Rs, . . . eine Po~e yon Reihen. Sie heil]t Iconvergent, wenn es eine Reihe R gibt, derart, daI~ l im]R k - - R f - ~ 0 ist (vgl. 3, S. 222).
Wi t schreiben dann
l imR k R oder Rk--*R.
Aus R~-~ R, S~-* 8 folgt offensichtlich
(R~ ~ S~) -~ (R _+ S), denn
l(Rk • ~ ) - ( n + ~)I = t(R~ - R) + (S~ -- S)!
< ~a~(IR~-- R I, lS~ - S l ) - * 0.
Wenn also Rk-* R und gleiehzeitig R~-:* S gilt, so folgt
( R ~ - R~) - - (R -- S), also
l(R~ - R ~ ) - (R -- S)} -~ 0,
also IR--SI~---0 , R --S---~z, R~---S, d. h. der Grenzwert einer kon- vergenten Folge ist eindeutig bestimmt.
Jetzt zeigt man in iiblicher Weise: Aus R~---~ R folgt fiir eine be- liebige Reihe K
K.Rk-~ K.R.
6 P. Sengenho~st.
Gilt ferner R~--~ R, Ek--~ E, so folgt
Rk .8~-* R.E.
Denn es ist R k ~ R + 8 ~ , wo levi - - ,0 . Also gilt
Also gibt es ein von ~ unabhgngiges positives o, derart, daii~R~[ < c ist. Dann wird
R ~ & - - R E = R ~ ( & - - E ) + E ( R ~ - - R), alSO
[R~S~- REI s Max(l R~T'I Ek-- El, IE[ .IR~- RI)
__< M~x(,-I E=-- El, tEl.tRy-- RI)-~ o.
Nunmehr beweisen wit ~ten grundlegenden
Satz. E d e n R und E zwei Reihen; ,e l E + z. D a n n gibt es eine
Rdhe Q, derarL daft R = Q . E ist.
Beweis . Sei R = a , ~ f ~ + a , ~ _ l $ ' ~ - I + . . . ,
8 = b~ t ~ + b~_~ t ~-~ + . . . ;
sei ferner b~ ~ z. Wir deiiaieren eine Folge yon Elementen Co, c1, cg , . . . , bilden
(fiir h = 0, 1, 2, . . . ) die Reihen
Q,, Cot ~-~ + c~ W -~-~ + . . . + c~t ~-~-h
(Qh+x unterscheidet sich also yon Qh nur dutch das hinzutretende Olied ch+lt '~-'~-h-1) und beweisen zun~iohst, daft
{ R - Q h . E } < m - h , d . h . I R - Q h . E l < q m-l'
am ist. Wit setzen c o = bT" Dann wird {R -- Qo" E} < m.
'Es seien bereits fiir ein festes h (h ~ 0) die Elemente Co, cl, . . . . . c h definiert und sei bewiesen, dal~ {R -- Qh-E} < ra - h, d.h.
/~ Qh" E .~ch~ ,m-~-l__ ~ ~m-~-~ + . . . - - = t ~ m _ h _ 1 ~, " 1 - U ' m - - h - - ~ l �9
ist. Wenn wit dann ~2'_~_~
setzen, so wird
R -- Q~+t .S = ( R - - Q~.E) - - c h + l t = - ~ - ~ - ~ . S = d~+~L,$ m-~- ' + . . . .
Die Behauptung {R - Q,,.,s} < m -
~ber K~rper der Chara~teristik p. 7
gilt also in der Tat flit alle h (h ~ 0). Nun setzen wir
Q -- Cot ~-" + ~i t ' - " - ~ + ' " ~ c~t ~ - " - i + . . . . ~ c~t m- ' -~ . k=O
Dann gilt (iir h ~> 0
IQh-Q]<g
Also folgt Qh-~ Q" Ferner ergibt sich, wean wir Q --- Qh "4- Rh setzen, I Rhl < g ~ - . - h also
IR - - = I (R - Q .8) - Max ( IR - - Q Sl, I R .SI)
Max (qm-h, q,,-,,-h.q,, ) ~ q,~-h.
Da dies flit ]edes nieht negative ganze h gilt, so ist [ R - Q S I ~ - 0 , R ~ Q. S, womit dot Beweis geiiihrt ist.
Das assoziative u n d das kommutative Gesetz fiir Addition und Mul- tiplikation yon Reihen sind leicht zu erweisen, ebenso das distributive Ge- setz (yon dem wir schon Oebrauch gemaeht haben). Aus der Beziehung
I R . S I = I R I . I S I
folgt ferner leicht, dag ein Produkt yon zwei Reihen nur dann gleich z ist, wean mindestens ein Faktor gleich z ist. Nunmehr ergibt slob: Wenn R = Q . E , R = Q 1 . S und S + z ist, so ist Q = Q x . Man erkennt also, da zwei Reihen aueh eine eindeutig bestimmte Diflerenz babes, dab die Gesamtheit der Reihen einen K6rper (2, S. 172f.) darstellt, den wit ~tets mit ~9' bezeicltnen werden.
Wit nennen eine Re;he insbesondere rational, wean sie gleieh dem Quotientenvon zwei Polynomen ist. Die Gesamtheit der rationalen Reihen bil- det ihrerseits oflensiehtlich emen Tedkorper yon ~J , den wit mit Q bezeichnen werden. Fiihrt man fiir die Reihe
m--i (3t --. ~--2 a , , t " § + . . . + o-~-a_ l~- l+a ~ -~-...
das bequeme Symbol a , a = _ ~ . . ~ a o, a_l a _ ~ . . , ein, so erkennt man leieht, dall die periodisehen Reihen und nur sie rational sind. Da nun F (q) mindestens die beiden (voneinander versehiedenen) Elemente z und u enthiilt, so kann man nieht.periodische Reihen bilden, so dall ~ ein echt~ TeilkSrper yon ist. ~3brigens ist die Menge aIler Polynome in F(q), also auch D, die Gesamtheit der rationalen Reihen, abziihlbar, wiihrend D' die (hShere) M~ehtigkeit des Kontinuums besitzt.
Der KSrper Q' ist per/ekt im Sinne yon Herrn Ki i r seh~k (3, S. 228). In der Tat gilt der
8 P. S e ~ o r s ~ .
Satz. Dann und nut dann i8~ die Foloe R~,R~, . . . ko'avetgent, wenn es zu ~edem positiven ~ ein ganzes ~o~itive.s m gib$, deTart, daft fiir k > ra, h ~ 0 die Beziehung
IRk+ h - - R~] < e eft.
Bewei~ Daft die Bedingung notwendig ist, ist gar~z evident. Wit zeigen, dal~ sie hinmiehend ist. Se~ also die Bedingung erfiillt. Wir setzen - - f i i r jedes positive ganze l --
Der zugehSrige Weft yon m sei m~. Wit diiffen
m~ < m~ < r~ < . . .
annehmen. Dann gilt fiir k ~ mr, k ' ~ m z die Bezlehung:
t R~-- R~, 1 < q-', d, h. ~ r k > raz stimmen alte R k bis hinab zur (--Z)-ten Potenz yon t (diese eingeschtossen) iiberein. Wir betrachten insbesondere die Reihen R~ , R~, . . . . R=~ m6ge etwa so beginnen:
a.!~'-k-a, ,_I t"- l + . . . + a o + a _ l t - l .
Dann beginnt R ~ mit eben diesen Gliedena; das n~ehsr Gli~t in R.,. sei a_~ t-% Dann beginnt auch/~m, mit den Gliedern
tn-1 + . t-1 a,, t" + a._~ . . + ao + a_~ + a_~ t -~.
Das n~ichste Glied in R,~, sei a_st -a usw. Wit setzen nun
R=a,~ t" - -~a ._ 1 -4~ -.{-ao-}-a_xt-l +a_~t , -~-~
Dana zeigen wit R~ ---.R.
Denn flit k ~ ~ ist
IR,--R .I<q alSO
Wit wollen zum Schlu~ dieses Paragraphen im AnschluB an die yon Herrn S te in i tz (2, w 12) entwickelte allgemeine Theorie de~ Wurzel- k6rper die KSrper 9 ~ und #2 ' ~ (fiir jedes ganzzahlige e)einfilhren. In jedem K6rper der Charakteristik p folgt aus
a ~ = b ~' und e ~ O
bekanntlieh a = b. Also hat die Gleichung ;V ~e -- ~ ----- Z
(r > o)
Uber KSrper der Charakteristik ~. 5
eine Reihe und sei insbesondere a~ ~ z; dan~ heiBt mder Grad der Reihe. Der ,,Nullrdhe", deren siimtliche Koeffizienten gleich z sind und die wit, wenn Mil~verstgndnisse nicht zu befiirchten sind, kurz mit z bezeichnen, geben wit den Orad --co.
In dem Falle, dab die Relhen insbesondere Polynome sind, befmden wit uns im Einklang mit der in w 2 .erwghnten Definition des Grades. Wit wollen den Grad der Reihe R mit {R) hezeichnen. Es gilt
{R.S}={~)+{S}. Ferner gilt
{ R + s } =< Max((R}, (S}).
Ist { R } + { 8}, so gilt
{R + S ) = Max ({R), (S}).
Wit fiihren noch den ,,Betrag" [R]der Reihe Re in . Ist R+z , so setzen wit [RI--q{n}; ist R ~ z , so setzen wir [ R ! ~ 0 . Es gilt
IR.~I-~IRI']~I, IR ~ S} ~ Max(IR], ISt).
Ist i R t + !81, so gilt
!R _+. St = Max(i ~ I, t s l ) .
Sei nun R1, Rn,... eine Folge van Reihen. Sie heiflt konvergent, wenn es eine Reihe R gibt, derart, da• lim lR ~ - - R i = 0 ist (vgl. 3, S. 222).
Wir schreiben dann
lira R~----- R oder R k-* R.
hus R~--. R, S k--~ 8 folgt offensiehtlieh
(R~'~ S~)--~ (? +_ S), denn
[(R~ • s~) - (R • s) l = I(R~- R) • (& - s)!
~Max( IR ~ - R I, tS~ -S t ) - -~ 0.
Wenn also R~-~ R und gleichzeitig R~-~ S gilt, so fol~
(R~ -- Rk) --* (R -- S), -_]so
](R~-- R~)-- (R -- S)] -* 0,
also I R - - S l ~ 0 , R --E----z, R ~ S , d. h. der Grenzwert einer kon- vergonten Folge ist eindeutig bestimmt.
Jetzt zeigt man in iiblicher Weise: Aus R~--~ R folgt fiir eine be- liebige Reihe K
K.R~---, K.R.
8 P. Sengenhorst.
Satz. Dann u.mi nut dann let die Folge R1, R ~ . . . . konvergent, wenn es zu jedem poeiti,ven ~ ein ganzee positives m gibt, derart, daft/iir k ~ m, h ~ 0 die Beziehung
]R~+ h - R ~ l <s gilt.
Beweis. Daft die Bedingung notwendig is~, ist ganz evident. Wir zeigen, daft sie hinreichend ist. Sei also die Bedingung erfiillt. Wir set~en - - f l i t jedes positive ganze l --
Der zugehSrige Weft yon m sei m v Wir diiffen
m a < m~ < m a < . . .
annehmen. Dann gilt fiir k ~ m s, k ' ~ m~ die Beziehung:
IRk -- Rv ] < q-z,
d, h. fiir k ~ m~ stimmen alle R~ bis hinab zur ( - - / ) - ten Potenz yon t (diese eingeschlossen) iiberein. Wir beCrachten insbesondere die Reihen Rmj, R~ , . . . . Rm~ m6ge etwa so beginnen:
t "-1 . . . tr!. a.t"-{-a,,_ 1 4:- +ao + a _ t
Dann beginnt R~. mit eben diesen Oliedem; dab niiohste Olied in R~, sei a ~ t -'~. Dann beginnt auch Rm, mit den Oliedern
n n--1 a , t ~ -a ,_ l t + . . . + a o + a _ l t - l + a _ ~ t -~.
Das n~hste Oiled in Rm, sei a_st -a usw. Wir setzen nun
R =a , t " - -~a ,_ l t'~-l + . . . -P ao + a l t - l + a_~t-~ + . . . .
Dann zeigen wir R k --~ R.
Denn fiir /c ~ m s ist
l ~ - R,,,I < q-', [R.,,- RI < q-', also
IRk- - R l < q -~.
Wir wollen zum Schlug dieses Paragraphen im Ansehlu~ an die yon Herrn Steini~z (2, w 12) entwickelte allgemeine Theorie der Wurzel-
k6rper die K6rper ~r~ und ~'v~ (ftir jedes ganzzahlige e) einfiihren. In jedem KSrper der Charakteristik p folgt aue
a ~ = b ~ und e ~ 0
bekanntlich a-----b. Also hat die Gleichung
~ p e __ t ~ Z (e>O)
Uber K6rper der Chsrskteristik ~. 9
in einem geeignet gew~dten ErweiterungskSrper L yon ~ ' , in welchem
ihre lilLke Seite x p ~ - t in Lineadsktorenzerfiillt (2, w 8), nur eine, pe.fsch
zu z~i~lende L6sung, die wit mit t ~-~ oder einfacher mit t_~ bezeichnen wollen. Das Element t_e geh6rt (flit e > 0) nicht zu Q'. Denn w~e t_~ eine Reihe, so wi lde wegen t_~ ~ z folgen:
ltl=q"% was wegen I t I ---- q nnm~ lich~ist-
Wit bemerken noch, daft das Polynom der Variablen z
x ~r t (e > 0)
in ~ ' (aIso~ auch in Q) itreduzibel ist. Denn g~be es eine Zerlegung, so hiitte jeder irteduzible Faktor die Form (vgl. $, S. 219)
t_e) ~--- X ~ r - t - r X ~ r
wo 0 ~ r < e und e ein Element von ~2' wiire. Es erg~be sieh
(x~'-- ~ ) ~ - ' = x ~ ' - = ~ - t,
also, wenn wit e -- r -~ f set~en, e ~f~-~ t,
f > 0 , e eine Reihe, was, wie oben gezeigt, unmSglieh ist. Demnach hat t_ e fiir e > 0 in bezug auf D" sowohl sls in bezug auf D den genauen Grad p~.
Wir setzen ferner t o -~ t und flit e > 0
t e ~--- t ~.
Damit ist t~ fftr alle ganzzahligen e definiert. Nut im Falle e ~ 0 gehfrt t, zu ~2 und Q'; im FaUe e < 0 hat t~ in bezug auf Q und s den Grad ~-, ,
Sei eine Reihe I t = a~,t~'--1 - am-~ t "-~ + . . .
gegeben. Wit setzen fiir h > 0
R~ = a ~ + . . . -[-% -t- a -~ t -x + . . . + a -~ t -~,
so dsll R~--~ =~ gilt. Dann ergibt sieh fiir e > 0
1, = , ~ ~, + . . . + a ~ + a _ ~ t , + . . . ~ -~,~, , also folgt
R =( I imR~, ) ~'' l im(R~") - ~ " " - - - ~ ' " t ~ - x + . . h----*o h=~
R~r witd also eine Reiha in der Variablen t~ mit Koeffizienten in F (q ) . Sei umgekehrt
S = b , t ? "4- bin_ a t ? -~ - f - . . .
12 p. Sengenhor~
Wir wollen -- nut fiir die Bewsise dieses Paragraphen -- sin Polynom f ( z ) ,aztsgezdcttnet" 8) nennen, worm die beiden folgenden Bedingungen erfiillt sind:
1. If(x)]-----X (also insbesondere f ( z ) + z ) ; 2. der Koeffizient clef h6ehsten Potenz yon x hat die Form t ~, wo
k eine (infolge 1. nieht positive) ganze Z ~ ]st.
Es ssi h (z) ~ a n z ~ A- a~-I x ~-1 ~ . . . ~ ao ein Polynom (immer , i t
Koeffizienten in ~ ' ) und ssi a, ~ z. Es sei endlich I-h(~I-~ q ' . Dann ist oflenbar dss Polynom
/ - - n )
f ( x ) = t - ' . h ( ~ ) = t - ' z " + . . . an
sin zu h(x) assoziiertes atmgezeielmetes Polynom. Sind ierner h 1 und hg zwei zueinandex assoziierte ausgezeiehnete Polynome, so folgt ~ =c .h~ , uncl dabei mul3 wegen 1. Ir und wegen 2. e eine Potenz yon t, also mull c • t o e u, h 1 = h e ssin. Es gibt also zu jeclem yon z verschiedenen Polynom sin und nut sin ausgezsiehnetes assoziiertes P o l y n o m . -
Seien f u n d g zwei Polynome in 9 ' . Wit schrsiben
f ~ g (rood t k) oder kiirzer f ~ g (tt),
wenn I f - - g l ~ ~t ist; k ist eine ganze Zahl.
Aus fl=___ l',, f, ~ f8 folgt f, ~ fs(tk). Aus f ~ t h , fg~-g~ folgt f ~ - t - f ~ g ~ • Aus f ~ g ( t k ) , lct<:I lolgt c f ~ c g ( t ~ ) .
Ferner folgt aus fl -~ g~, f9 ~ g~ (tk), wenn noeh l[~ l ~ 1, t gl I -~ 1 ist, d a l l f~ f~ ----- gx gg (t t) ist. Denn es wird f~ f~ ~ g~ fg ~ g-~f~ (tk).
Wit erinnern noch an die Definition der Resultante: Sei
f ( z ) = a m ~ m + . . . + a o, g ( z ) = b n z n ' 4 - . . . ~ - b o , a~, # z, b, # z, r e > O , n > O .
Dann set~en wir a~ . . . aoz . . . z ] . . . . . . . . . . . t n Zeilen, Z . � 9 Z C~ m . . . . ~0 R (f, g)-~
b . , . . boz . . . z |
. . . . . . . . . . i m Zsilen. z . . . zb~ . . . bo
~) Herr Hent~el (8, S. 64) gebrsucht fiir den entsprechenden Begriff den Au~ druck ~pr/mdr ~, der bei u n s schon vergeben ist (vgl. w ~).
Ober K6rper der Ch&rakteristik p. 13
Satz II. ~ d { f ( x ) } = m , {g(x)} ---- n, r e > O , n ~ O , ] f (x) [_~l , Ig(x)J <1, R(f,g)~=z, etwa jR(f,g)l=qe. Be=" lerner {F(x)} < m § iF(x)i ~__ qr. Dann kann man au/ eine und nut eine Weiae zwd Poly. home fl (x) und gl (x) angeben, derart, daft
=~rd. Es w/rd da.n / ~ [ f~[ < q'-~, I g~ t < q"~ (ygl. 8, S. 63). Beweis. Sei
f = a . ~ ' + . . . + % , g----b.z"§ (a .+z,b,+z) , ~1 ----- " ~ ' + S - - 1 ~ ; t "~*t$- - I .Jr_ . , , ...{._ ~0~
Setzt man dann
f l = ~ , _ l ~ = - , + . . . + c o , g l = D , _ l x - ~ + .... +Do,
so erhiilt man aus fg,-F gf~= F
ein System yon m - { - n Gleiehungen ers~n Grades fl i t D , _ l , .... , Do, G,,,_I, . . - , Co- Die De~zminante' dieses GleichungssysC, ems ist gleieh .B (f, g)=~= z, so daft d i e d k und G= auf eine und nut eine Weise bestimmt sind (2, S. 174). Jedes D k und C= wird ein Bruch; der Nenner ist R (f, g), sein Betrag qe. Der Z~ihler ist homogen linear in den E~, und zwar sind die Koeflizienten Unterdeterminanten yon R(f , g). Es is~ n u n
J E ~ [ ~ q r, ferner hat jede der genannten Unterdeterminanten wegen J f i l l . , l gl ~ 1 hiichstens den Betrag 1. " Also wird ICk[~q'-Q, ID, I < q~-'.
Man ]:ann nun die ~on Herrn Hense] fiir den KSrper der p-adischen Zahlen entwiclreIten Zerlegungsmethoden (8, Kap. 4) auf .den KSrper ~t iibertragen; insbesondere l~il~t sich durch ein endliches Verfahren ent- scheiden, ob ein Polynom f(x), dessen Koeffizient.en zu Q gehiiren, in ~ ' reduzibel ist; ferner kann man die" Koeffizienten der in ~ irreduziblen Bestandteile als Reihen nach fallenden Potenzen yon t beliebig weir ent- wickeln. An dieser Stelle soil jedoch nur alas flit den folgenden Aufbau Not-
wendige abgeleitet werden.
Sa~z III. Sei F(x) = t~+~ x"+" -~ A,,+,_~ x'a+n-~-~ . ., + Ao,
f(x) =t=x'~+a,,_~ x=-aLF... + a o, g(x)=t~x . '~+b,_ix"-~+ ... + b o, [ fJ=[g[=]F]----1, m>O~ n > O , R(f,g)=~z, etwa I ~ ( f , g ) l = q e , sei /erner r~ ganz, r ~ 2~, sei endlich F_~ fg(t~'-~). Dann gib~ a~ zwei Polynome f und y, derart, daft
( f - f } < m , {g - y }<n , f=f(f,_e_~), y_g(/,,_~-l), I l l ---- l Yl = 1, I R ( f , Y)] = JR( f , g) l ---- q~
14 P. S e n ~ o m t .
u ~ p - [~(t,, -~)
~zt (vgl. 8, S. es). Beweis. { F - - f g ) < m-t- n, [~ -- fg] ~ q"- ' . 8ei
F-f.g=r s]8o iml__<l, { m } < m + n . Es gibt also naeh Satz II ~) zwei Polynome ~ und q~, derazt, daft
f ' C ~ + g ' l f = t o ' ~ , { l t } < m , ( ~ } < n , l I ~ [ ~ 1 , t r
wird. Sei = t~'-1-~'~i, Z ~= t " - l - e ' @ .
Dann ist
~.Z ~ z(t"-9), ( f - l - ~ ) ( g + z ) = f g + f z + g q ~ ( t " - g ) , j~ ffi fg -}- tr, -1. ~ ffi fg -~ tr,-1-e, te
also
F_= ( f§ ~)(g + z) (z'~-~). Man setze
Dann ist F ~ f- ~ (t'~-~), lerner
{ f - - D - - - { ~ } = { ~ ) < m, ebenso ( g - ~ l ) < n , If-[I--I~I_-<q ",-~-1, eben~o I~-~l----<q"-'~-'-
Ferner ist 0 ~_ O, also
r ~ - - o - - l ~ 2 0 - - e - - l - - - - o - - l < O , I ~ l ~ r I f l = l , a;]so
[ [ [ = I f + 91 ---], ebenso I ~ I = 1.
also wegen I f l = l g l - - I / l = l ~ l = l , daft
R ( f , ~ ) ~ R ( f , g ) ( t e - 1 ) , [ R ( f , ~ ) l = q e ist.
Satz IV. 8ei
F----- ff+Pz "+" d- Am+~_~ z'~+~-I -t- �9 �9 �9 -{- Ao,
fo---t" z ' - I -a ,_ lz~- t -} - . . . -+-ao, go----tPz" ~-b,~_~x"-l-~-...J~bo,
I f o l f l go l= l~ ' l= l , , ~>o , n > o , R(fo, go)-pz,
a) Dem dortigen F ent~prioht bier t e. ~, dem dortigen r sowohl wie dem dortigen entsp~ioht hier ~.
Ober K~rper der Charakterktik p. 15
e~wa IR(fo, gg]=qe, s e / # r n e r r ganz, r ~ 2 0 , sei endlich
F ~ fogo ( f - ' ) (vgl. die Vorsussetzungen yon Satz III). Dann gibt es zwei Pol~mome H ~nd K, derar~, da~
(H-- fo}< m, {K--go}<n, H----fo(t'-~-z),
K - go(:-~-!), IHt=I~[=I und
F----H.K i8~ (vgl. 8, S. 71).
Beweis. Man bestimme gem~fl Satz I I I fx und g, so, da~
{ f , /o} < m , {g, go} < n , fI~fo(Z'-e-1), "--~'tZ'-e-*'~ - - ~ V l " " V O '~ / ,
] f , . l - - Ig, l - - z, IR(fx, gz)l=e e und F_=..f~.g,(='-') ist. Dann kann man nach dem gleichen Satz f, und g, bestimmen, tier- art, dal~
{f~ - - f , } < m, {g, -- g l ) < n , also such
{ f , - - fo}<m, { g , - - go} < n, ferner
f -- f,(=,-e-'), g--g,(t,-e-'), lf21____[g,l___ ] '
IR(&,g,)l--9 e una /'-- f, g, (t'-')
ist usw. Offensichtlich sind die beiden Folgen
f,, f,, . .. m*d g,, g,, ...
nach Satz I konvergent, d a {f h } - m und da flit ~ ~_ 0
Ifh+=-- &] < q,.-e-h-x ist (entsprechend fiir die gh)" Sei H = lira fh, K--~ lira gh" Dann ist in der Tat ~= = ~= |
{UL-fo}<m, { K - - go} < -n, H=_fo(f-e-z), K--go(t'-e-z); ferner gilt
al~o t i l l = l , entsprechend I K I = I . Endlich folgt aus
f~,+,-~f1,(t "-e-i-') (ffz~ h>O., I>O) leicht
H ~ fh (~'--8--'k--1) ~" ebenso K _----- gh ( t ' -e-1 ' - t ) , also
.f - ,- t t ' -e-/J- l ,~ da Ilt]TA
.e ' - f,,.g,,(f-A-~),
16 P. Sengenhorst.
also wegen ~=<0 auch F--fh.gh(~ "-~-h-1) is~, so iolgt F--H.K(~ "-e-~-l) fiir jedes h > _ 0 , also F----H.K.
Satz V. B e / d a s P o l y a o m
F= A.z" + A._iz "-I + ... +Ao
in ~9' i~eduzibd, se{ .4, + z, n_~ 2, IF] --- 1, {Aol < 1. Dann ~/4 Max([A,_~]. IA ,_ , I . . . . , [ A , [ ) < I (vgl. 8, 8 .74; 8, 8.218).
Beweis. Sei 2'I= C.F=B.x"+B._,x,-I+...+Bo d~ m 2 assoziierte ausgezeichnetle Polynom; dann gilt, da [Flt = I F 1 -- 1 ist, ] C] ---- 1, also 1B~] ----- ] A~ [. Zu zeigen ist also
M ~ ( I B . - , I , IB.-+,i . . . . , I B i l ) < i .
Wiixe dies falsch, so g~ibe es unter den Elementen B,-1, B ,_ , , r . . , B ein Element B~ mit kleinstem Index, flit welshes
!B.I---- i wiire. Es erg~be sieh
~ ~ (B.x "-~ + B~_ix ~-~-I + . . . + BA.x~(t-i) ,
wo f=x ~', g=B.x"-~LS...-~B~ ws Nun ist
{ f } = ~ > o , { g I = ~ - ~ > ~ - C n - 1 ) = i > o , { ~ l - f g I < r + , lft------.1, ] g l=Max( lB . ] , lB._~i, ..., IB.t)
<max( iB.I , ]B.-~I, ... , iB+li=l~i=i, femer' t g i --~ [B~ [ = 1, also i g I ----- 1 ; ferner sind f und g atmgezeichnet. Endlich ist
R ( f , g ) = R ( x ~ , a ) = B ; , also ]R( f , g ) i - - -1 .
Man kann also Satz IV anwenden (was dort F, m 4 - n , m, n, e und r is% ist hier $'1, n , ]~, n -- ,u, 0 und 0). ~) Es w+Lre also F 1 und dami~ aueh F redu~+ibeI, gegen die Annahme.
Satz VI. Sei das Potynom
"f(x) = a, x" - k . . , + a++ ++
in ~ ' irreduzibel, n ~ 2 , ]a,I = 1, l ao[ ~ q~, wo a entweder gleich 0 ader gleich - -1 ist. Dann ist
MaxC[a.-t[ , la . - . [ , . . . , [a,I)<__q".
Beweis . Sei die Behauptung falsoh, sei also
M ~ ( t a . - 1 ], ..+.,+ ]axt)----q'~_q'++t~_l+
~) Es ist a = 0; setzt man B, = t r, so ist u + fl = fl = Z.
Uber K6rper der Charakteristik p. 17
Da l a o l ~ l , la,,I---1, so erg~ibe sieh I f l - - -q ~. Sei F ~ - t - ~ f , wo ebenfalls irreduzibel und I F [ ~ I . Sei etwa F = A , x n - ~ . . . - ~ A o .
Es wiirde folgen
A , , + z , I A o [ = l a o [ . q - r ~ q " . q - " ~ q " . q - ~ ' - X - ~ q - ~ < l .
Satz V wiirde also liefern
Max(IA,_~[ . . . . , I A ~ ] ) ~ q -~, Max([a~_~[, . . . , [ a t [ ) ~ q , . q -x = q " - ~ ,
im Widerspruch mit der Annahme Max([an- l . . . . .
w
Algebraisohe Gr~iSen. Ist K~ ein KSrper der Oharakteristik p, so kann es vorkommen, daft
eine in K 1 irreduzible ganze rationale Funktion f (x ) in einem Erweiterungs- kSrper mehffache Nullstellen oesitzt (2, S. 218; vgl. auch w 3 dieser Arbeit). Es ~olgt dann Xeieht f(x)I f ' (x) , ') also f '(x)----z. Sei
f( x ) = a N x ~ --~ aN_ 1 x N-1 .at-... -~ a,) ; dann ist also
k . a k = z ~ 0, 1 . . . . . N);
also kSnnen in f (x) nut .solehe Potenzen yon x wirklich auftreten, deren Exponenten dureh p teilbar sin&
Ein irreduzibles Polynom f (x) in einem KSrper Kt der Charak- teristik p heiflt nun yore Exponenten e (e ~ 0), wenn die Exponenten aller wirklioh auftretenden Potenzen yon x dvxoh pc, dagegen nieht s~imtlich dutch p,+l teilbar sind; aueh jede Nullstelle eines solehen f ( x ) heist yore Exponenten e. Ein solches f (x) kann dann gesohrieben werden in der Form
f (x ) = anx '~'p" + an-1 x (n-ll'pe -~-... + a0 mit an + z.
Dann heillt n der reduzierte Grad yon f(x) ; ist ~ eine Nullstelle yon f (x) in einem ErweiterungskSrper, so heiflt n aueh der redtmierte Grad yon v a (in bezug auf K~). Die Polynome bzw. Elements vom Exponenten 0 heil]en auoh , y o n erster Art" (vgl. 2, S. 231 f.).
Ein irreduzibles Polynom yon erster Art hat, wie aus dsm Obigen hervorgeht, nut einfache Nullstellen. Ist ferner der Exponent e des
irreduziblen f (x) posi~iv und ist 1 s e~ s e, so gilt in K~ -e' offenbar
die Zerlegung f ( x ) = [%~(x)] pe', w o r in --LKP-~e' irreduzibel und vom
Exponenten e - e~ ist. Jede Nullstelle yon f ( x ) ist also genau p'-faeh.
8) g lh bedeutet: gist ein Teiler yon h. Mathematisehe Zeitschrift. XXIV. 2
i8 P. E~ngenhomt.
~ nun K 1 i~beao~ere D oder ~J. Habe ~ in bezug auf K 1 den Exponenten e und den reduzierten Grad n. Dann gilt, worm wit im Anschlufl a n 2, S. 196 und S. 199 -- mit [#: L] den Grad des Elements # in bezug auf den K6rper L , mit [ ~ : L ] den Grad des KSrpers ~ in bezug auf den K6rper L bezeichnen,
[# : K ~ " ] = n , [ K f - ' : Zq] = p ' ,
also (2, S. 200)
[K~-'(O): X'~] ---- [ ~ - ' ( 0 ) : Kf- ' ] . [X~'-": X d --[O:XU'] . " - ' - [K; :K~] = n . f
Da nun auch [#:K~] = n . p ' ist, so folgt leicht
KV ' ( ,~ ) = K, (,~). Wegen
[~: KU'] = n
l~Bt sich jedes Element ~ yon K a (# ) ' = K ~ - 6 ( ~ ) i n der Form
g : C O -~- C 1 # "~- . . . + C,-- a O " - 1
sehreiben, we co, ca, . . . . c,-z zu K~ -e geh6ren. Dann wird
~e pe tg{n_a).~ ~ a ~' =Co + c ~ ' # ~ ' + . . . + e , _ ~
ein Element yon K~ (#~'). Nun hat #PJ in bezug auf K a den Exponenten 0 und den Grad n ($, S. 232). Kmo hat ein befiebiges Element # yon
K 1 (#~') die Form
# = do + da 0 " + . . . + d,_~ #~,-a~.~'
we do, . . . . d,_ a zu K a geh6ren, ist also die ~ - t e Poten~ eines Elementes p--r
yon K a ( # ) : K, ~ (#). Offensiehtlieh ist diese Zuordnung isomorph, und es gilt
[K, ( 0 ) ] " = K~ (0~'). Damit ist bewiesen:
Satz I. K a aei en|weder .(J od~ Q'; ~ $d in bezug au] Ka veto
Exponenten e und veto reduziert~ Grade n. Dann iet K a (#) = K~- ' (#) , pe
]erner ist [K a (#)]~' = Kx (~ ). Man erh~/t eine isomov~he Beziehung pr
zwieehen K a (#) und K x ( # ) , indem man dem Element
'~ = ~o + ca # + . . . + ~,,-a 0 " - '
Ober K6rper tier Charakteristik p. 1 9
~o. K~ ( 0 ) = ~ ; - ' ( a ) - wo co, c., . . . , c,,_, z= .K~- ' g e n r e . - d = ~ m v U
~ ' • Y-q~' ~' 0 ("-l)'f KI (0" ) (g~e ~ ~o 7 - '~z '~ "J" �9 �9 �9 - ] - e n - 1 Y O n
=uordnet. I0 is: i~. bezug au/ K~-', ebenao 0:" in be.z~ au/ X~ ~ ers|er Art u~t yore Grade n.
Wit bemerken noch, dal~ t _ , - t p-' zu K=(O)- K~-=(~)gehSrt; da- gegen gehS~ t-e-1 nieht zu Kt(@), da t_,_l in bezug auf KI den Expo- nenten e + 1 hat (vgl. 2, S. 238).
Sei nun 0 in bezug suf ~9 (also such in bezug auf ~9 ~) slgebraiseh; sei e der Exponent in bezug auf ~J, e' in bezug aui ~ ' . Dsnn geh6rt t_, zu ~ (0 ) , also s fortiori zu ~ ' (0 ) , also ist e ~ e ' . Sei g(z), bzw. ?(x) das zu ~ geh6rige primiire irreduzib]e Polynom in ~ , bzw. Q'. Dann gilt in Q'
r ig , 6 t Da 7 nur p -faehe, g nur p*-~ache NuNstellen hat, so gilt e'<~ e,
also e ' - - e . Es ergibt sieh also SaOz II. Eine in bez~j an/ fJ (also auch i~ bezug an/ IJ') al.
gebraische GrOfle ~ hat in bezug a=] fJ und ~ ' den gleichen B~ponen~en. Sei nun. 0 algebraisch in bezug auf .0'. Das zugeh6rige primate
irreduzible Polynom in ~ ' sei
g(r = ~ + ~ - ~ ~ - ~ + . . . + ao-
Dann definieren wit den Betrag yon ~ in folgender Weise: 1
]~1= I=ol ~. Diese Definition hat einen Sinn, da [Sol bereits definiert war. Ferner stimmt in dem Fall, da/~ ~ zu ~ ' geh6rt, die neue Definition mit der bishezigen iiberein.
Sei nun a ein Element yon D'~= (e~0); dann geh6rt a~-~ = a zu ~ ' . Wir behaupten, daft
ist. Das ist trivial im Fall e ~ O. Sei e < O. Dann geniigt a in ~ ' d~r Oleichung
1 ~ - r ~ - ~ - Z .
Ist g(x) das zu a geh6rige prim~re irreduzible Polynom in ~ ' , so gilt (vg], 2, S. 219)
~ ' - = = ( ~ ' ~ - a~) , ~ = a~ , l= 1 = I~, I "-~-~
" = U " i ~ -" ]'=l I - a ~ - - l = ~ - - i = l ~' 2*
2 0 P. S e n g e n h o r s t .
Damit ist die Behauptung bewiesen. Man sehreib'e etwa a, als Element
voB ~2 '~*, in der Form
= ck t~ + ok-1 t, ~ - 1 4 - . . . + Co
mit Koeffizienten in F(q); ist dann e~ ~ z, so folgt naeh dem Vorigen
Satz 'III. Sei ~ in bezug au/ O' algebrai,ch, veto Exponenten e und veto reduzierten Grade n. Seien #x, ~ , �9 . "~ ~,,, we wit 0 a = ~ annehmen diir/en, die in bezug au/ Q' kon]ugierten Gr6flen. Sei a = r ( O ) ein
Element yon ~ ' ( ~ ) = Q'~-~(~) (dabei k6nnen wit r(x) entweder als Po.
lynom in 12 'p-* oder als Polynom in ~ ' annehmen); /erner sei
ai = r(~i) (i = 1, 2 , . . . , ~b). Dann iat
1 1
I~i = I ( ~ 1 . ~ . . . ~ ) ~ ' / ~ ~ ' = I ~ 1 . ~ . . . ~ , l ~ .
Beweis. Habea den Exponenten e~, den reduzierten Grad n 1. Dann
gilt (~, S. 239) e 1 ~ e, nl In. In O '~-~' ist r Nullstelle eines prim~en irreduziblen Polynoms 9 (~) erster Art veto Grade n~, und es gilt
/~(~ - ~,) = [ ~ ( z ) ] r , . i = 1
Sei
e ( x ) = z " P " + a , , - ~ z ( " ~ - ~ " + . . . + ao
das zu a gehSrige prim~ire irredtmible Polynom in ~2'. Dann gilt
g ( ~ ) = [~ (~)]~", �9 - ~,) = [~ (~)]" = [u (~)] " ~ ,
n _ [ n \pe _.pc e , = ~l[et, ) ;
aont - / = 1 "
also wird
I ~ 1 = l aol ~ '~ ' ' = l ao ~' ~ / ~ ~ ' = I(~1 "~0.-. �9 ~,,)~' l ~ ~ ' -
Da ferner naeh dem Vorigen, well a 1.a~.. . r zu l~ ~-e gehSrt,
ist, so ergibt sieh 1
I~1= I~1.~ . . .~1 ~ 8atz IV. a und fl seien in bezug au] 12 ~ algebraiseh. Dann ist
i ~ l =l~l-I~l.
Uber K6rpor tier Charakteristik 1o. 21
Beweis. Da [Q,~-I: D,] = P, also in bezug auf ~ ' algebraisehes ~, derart, (~, S. 244). v~ 1, ~ , . . . , ~ , seien die zu Gr6~en, seie----r(v~), fl_--,(v~), a'fl-----y,
7~ ----- ai'fl~; darmist y~ = R (v~).
Sei a~ .a., , . . a,, = h , fl~. fl~ . . . fl, = e der :Exponent yon ~ in bezug auf ~2'.
[D ' : Q'P] = p ist, so gibt es ein dab a und fl zu ~ ' (~) geh6ren
in bezug auf Q' konjugierten ?----R(O), a,----r(~,), f l ,=s (v~ , ) ,
B, ~,~.y~... ~, ,= F. Sei wieder Dann gilt nach Satz I I I
1 1
lal = I A~"In.,', 1,61 = I B~'I,,-p ' , also
1 1 1
l a l . lp t = ( IA" I'1 S'" l/"'~e-- - I A~': S " J~--~ = t r~' l - '~ ~ = Irl.
Dabei haben wit benutzt, dab A r~ und B ~ zu •' geh6ren.
Satz V. 8e/C algebraisch i n bezug a u / ~ ' u n d sei t C ] ~ I . D a n n
is t [uA-r und, wenn ] r ist, ]uA-CI----1.
Beweis (vgl. 3, S. 218). Das zu ~ geh6rige irreduzible Polynom in D' sei
f ( x ) ---- x" ~- a,,-1 x s-~ + . . . + ao.
Is$ zuniiehst n----1, so ist die Behanptung bereits bewiesen (w 3) . 1
Sei n ~ 2 . Dann ist [~1 I ~-~ -~-- aoi , l ao l -~ l~ l n, also ] a o ] ~ l , . u n d , wenn ] ~ 1 < 1 ist, l ao . t .< l . Setzt man also a-----0 oder a = - - l , je nachdem ob man die Voraussetzung tCt ~ 1 oder ] C l < 1 zugrunde legt, so sind die Voraussetzungen yon w 4, SatzVI erfiillt. Es folgt also I ak [ ~ q ~ fiir k ---- 1, 2, . . . , n -- 1. Wir bilden das Polynom
g ( y ) = f ( y - - u ) -~ y'--]-, b , _ ~ y , - t + . . . -t- b o.
g ( y ) is t irreduzibel; ferner ist u + C eine Nullstelle yon g ( y ) .
Es folgt 1
i u+C!=Ib . l ". Nun ist
bo = g(z)---- f(-- u ) = ( - - =). + a ._1 - ( - -u ) - - l+ . . .+ao , also
]bol ~ Max(l , ] a ,_l] , . . . . laol) = 1,
and, wenn 1~] "< 1, also a---- -- 1 zugrunde gelegt wird, sogar
f b o l = l . Damit ist die Behauptung bewiesen.
~9. P. Sengenhorst.
Nunmel~r fo|gt der aUgemeine Fall:
Satz VI. ~ und p aden abgebraisch in bezug au/ Q'; ]erner 8ei I~[>lpl bzw. I~l>[Pf. Da.n ist [ ~ + p l < [ ~ l bzw. I ~ + P l = l ~ l -
B e w e i s . Der Fall a = z ist trivial. Sei a ffi~z. Danu setze man
-~ = r Auch r ist algebraisch in bezug auf ~ ' , und es wird nach Satz IV
IP l - - I ,~ I . I r a~o I r bzw. I r .A.~o wi~ [ u + r __1 b,.w. I ~, + r =- 1, aJ~,o ~olgt die Beha~pt~ng ~ t ~ Benutzung yon Satz IV.
Sind gl(z), g2(x), . . . , g~,(z) endlich viele Polynome in ~ ' ( ~ ) , so kann man durch Adiunktion yon endlich vielen in bezug aut ~'(g~) algebraischen Elementen einen K6rper erhalten, in welchem nile g~ (z) in Lineaffaktoren zedallen. Gem~ifl $, S. 244 kann dieser K6rper auch dutch Adjunktion eines einzigen in bezug auf ~ ' ( ~ ) algebraischen Elementes erhalten werden.
Wit legen ~un /iir aUe ]olgenden Betracktungen einen /eaten KOtper K zugrunde, der au] ]olgende Weise entsteht:
Eel ~ eine /este, in bezug au] Q (also auch in bezug au] ~ ' algebraiscke Ordpe. Dann soll K = 0 ' (~ ) sein.
Wit betrac, hten dann nut noch Grd~en aus K, und ]iihren ]olgende Terminob~n'e tin:
Or6pen aus Q hei~en ,,rational"; haben hie die Form
Co + Cl t + . . . + c, t", wo die c~ zu F(q) gehOten, so twipe'a Me ,,ganz rational". Eine OrOt~e aus K hei[3t algebrainch, wenn 8ie in bezug au] ~ algebraisch int, d .h . wean ea ein Polyno,m positiven Grades g:( z ) mi| ,,ra~ionalen" Koe]fizienten gibt, dan a zur Nullntelle hat. Insbesondere ~hei~ a ganz algebraisch, wenn es ein Ffimdres Polynom g ( x ) rail ,,ganzen rdtgonalen" Koeffizienten gibt, dan a zur Nullstdle hat.
Unter Zugrundelegung dieser Terminologie kann man ohne weiteres die elementaren S~itze fiber algebraische Zahlen iibertragen, wie sie etwa in" 1, w 2 entwickelt werden. Auch die an derselben Stelle bewiesenen �9 S i i t z e 2 7 - - 3 0 gelten unver~ndert. An die Stelle des K6rpers der komplexel~ Zahlen (etava in 1, w 2, Satz 21) tritt der K6rper K.
Eine Einschr~inkung ist zu machen, da der K6rper K nich~ algebraisch abgeschlossen ist~). Sei
z ' + ~.x'-~ + p . z ' - " + . . . + ~ z + ~
~) Z. B. hat in ihm; wenn ~ den Exponenten cx hst, die Gleiehung
keine L~sung.
Uber K6rper der Charskteristik ~. 23
eine gsnze rationale Funktion mit Koeffizienten, die im obigen Sinne algebraisoh sind (vgL 1, w 2, Satz 25); dann brauchen die •ullstellen nicht zu K zu geh0ren. Geh6rt abet eine Nullstelle zu K, so ist sie algebraiseh, und, wean die ~, ~, . . . , x, ~ ganz algebraisch sind, sogar ganz algebraisoh.
Sei nun ~ algebraisch im obigen Sinne; der Exponent yon ~ sol e, der redusierte Grad yon ~ (in bezug auf D) sei n . Die konjugierten GrSflen (damit sind im ]olgende~ immer die in bezug au] D konj~ierte~ gemeint) se ien~ (~, ~cg),..., ~9(n). Wit setzen voraus, daft nicht nut ~, sondern auc~h die kon~ugierten Or6~e~ zu K geh6ren. Wit wollen dana den K6rper D(~) betrachtenS). Sei r ein Element yon D ( ~ ) , Man schreibe a in der Form s(~) , wo 8(z) ein Polynom mit Koeffizienten
i n D t-s ist. Dana setzen wir
N,(a! heiBt d ie red~.zzie~e Norm, Sr(a ) die red~ierte ~pur yon ~. Ferner definieren wi~ die Norm:
Sa NC~) = [~r .
2V,(a) und 8 , (a ) s!nd unabhiingig davon, wie man das Polynom s ( z ) in ~p--# . .
wahlt; insbesondere ]~nn man s (x) so w~den, dab die Koeffizienten
sogar zu D geh~ren. N~(g) und ~r(a) sind Elemente yon D~-6, und zwar sind sie ganz algebraisch, wenn g es ist. N ( ~ ) i s t ,.rationaI" und, wenn a ganz algebraisoh ist, 8ogar ,,ganz rational".
Sind ferner ~1, g~, - . . , a, genau n Elemente yon D (tg) --~ D~-~(~),
ist welter g ~ s ~ ( z g ) , wo sz(x ) ein Polynom in D~-~ ist, so setzen wit
~ (0~') . . . ~, ( ~ ' ) I ' ~ , ( ~ , . . . , ~,) . . . . . . . . .
s~ (0~"~)... s , (~ ~') po
~C~,, ~, . . . . , ~,)--- [~ . (~ , , ~, . . . . , ~.)] �9 A gehsrt zu Dr-~, A ist ,,rational"; sind die a~ gan~ algebraisch,
so werden A bzw. A ganz algebraisoh bzw. , ,ganz rational", a~, . . . . a ,
sind dann und nut dann linear unabhiingig in bezug auf ~2 ~-~, wenn
~) Es entgeht uns kein K~irper D(@). Denn ist @ algebraisoh in bezug auf D, so imnn man z .B . ~ so bestimmen, da~ ~ algebraisoh in bezug suf D und daS D(~) = D (@a), .. :, @(s~) ist. Dann setze man K = D' (~). - ~Porigens kSnnte man sioh wegen der Isomorphie zwisohen D (@)= D~-s(@) und D (@~s) ~ui den Fall e= 0 besehriinken; dsdureh wfirde sieh im folgenden die Eiuffihrung der ,,reduzierten" Norm, der ,,reduzierten" B~sis usw. eriibrigen.
24 P. Sengenhorst.
zir( % . . . . , ~,) - - oder, was gleichbedeutend ist, wenn zl (%, . . . . ~n) - - yon z verschieden iat (vgl. zu diesen Entwicklungen 1, w 3).
Es gibt im KSrper ~ ( ~ ) e i n System yon n ganzen algebraischen,
in bezug auf ~2 v-" unabhgngigen Elementen fll . . . . , ft,. Fiir jedes solehe Sys t em ist zt(/),, . . . . ft,) yon z verschieden Und ,,ganz rational". W i r wolIen f l , , . . . , ft, insbesondere so w~hlen, dab ]~ (~1 , - - ' , fl~)!, d: h. der Betrag von zt ( f l , , . . . , #~), mSglichst klein wird. Darm bilden fl~, . . . , #. eine , ,reduzierte B a s i s " yon ~ ( 0 ) , d .h. stellt man irgendein Element yon ~ ( 0 ) dar in der Form
a = b, fl, -~ . . i -4- b, fl/,e
wo b, . . . . , b~ zu ~2 p - ' geh0ren - - diese Darstelhmg ist nut auf eine Weise mi~glieh - - , so sind die Elemente b,, : . . , b, dann und nur dann ganz algebraisch, wenn a es ist.
Man kann also, wenn diese Voraussetzung zutrifIt, schreiben:
b ~ = e ~ o + C ~ . t _ , + ~ t,~: "~,
wo t:-, = t ~-" ist und die c,~ ,,ganz rational" sind. Setzt man also
B, = A , = t - , . A . . . . , B,,,---- t " : - '
B~,+I-=-- & , B,,+, = t_,,.jS=, B,.p,----- t , t - z R �9 �9 �9 �9 . . . ~ �9 �9 . �9 - * �9 �9 �9 �9 �9 i . �9 �9
. , B~r --'-- t_~t, "~I -&,
wo h r = r t . p ' ist, so bilden B,, . . . , 'Bx eine Basis yon ~ ( 0 ) (in bezug auf Q), d. h. alle ganzen algebraisch~n GrSllen yon O ( 0 ) ~ und nur solehe Gr611en - - lassen, sich in der Form
B 1B 1 ~ - . . . + B N B N
mit ,,ganzen rationalen" Koeffizienten B~, . . . . BN, also alle GrSllen yon ~2(0) in derselben Form mit , ra t ionalen" B~, . . . , B~v darstelIen. Aus der letzteren Tatsaehe folgt wegen [~2(0) : ~2] = ~ leieht die lineare Unab- h~ingigkeit yon B~, . . . . B~ in bezug auf ~2.
w
Ideale im K~rper ~ ( ~ ) .
Sei k ~ 1, seien % . . . . . % k ganze aigebraische Gr6~en yon ~ ( 0 ) , die nicht s~imtlich gleich z' sind. Dann verstehen wit unter dem Ideal
a = . . . ,
die Oesamtheit der Or6Ben, die sich in der Form
t~ber Kiirper der Charakteristik ~. 25
darstellen l~ssen, wo ~1 . . . . , ~ ganze algebraische GriiSen yon • (v ~) slnd. Es iibertragen sich sinngem~t~ al]e elementaren S~tze iiber Ideale, wie sie etwa in 1, w 4 entwickelt werden. Eine von z verschiedene gauze alge- braische GrSl~e a, die zu ~_~ geh(irt, kann nut endlich vielen Idealen angehSren, wie man dutch Ubertragung des Beweises yon Satz 67 in 1, w 5 (unter Benutzung einer reduzierten Basis) leieht erkennt. Zu jedem Ideal a gibt e s ein Ideal b und eine ,,ganze rationale" yon z verschiedene GriiBe a, derart, dab
a. b = [a] ist. Sei niimlieh
a = [ ~ , a z _ , , . . ; , % ] , ~ : t :z , g ( x ) = ~ z + ~ z _ l ~ - l + . . . + % , ,~= r~(~), ~ = r,(,~*~),
~(~)= [rr~___ (,~" ~>'~ + . + d~>)] "' t
t ( l ) Jet ein Polynom mit ,,ganzen rationalen"' Koeffizientmn. Ferner ist
k(~) = g ( ~ ) . h ( ~ ) ,
we auch die Koeffizienten yon h(x) ganz algebraiseh sind und zu Q(~) gehiSren. Ist nun
~ ( z ) = ~ , x - + . - - + ~ o und ist a tier g~i$6te gemeinsame Teiler tier Koefiizienten yon k(z) (diese Koeffizienten sind Polynome in tier Variablen t; tier gri$Ste gemeinsame Teiler ist zu verstehen im Sinne yon w 2)> so gilt, wenn man
b - - [ ~ , , . . . , ~o]
setzt, a .b = [a] (vgh 1 , w 5, Satz 68) . Nunmehr ergibt sieh leieht die Teilbarkeitstheorie der I~eale, die im
Hauptsatz tier Idealtheorie gipielt (1, w 5). Auch die Grundbegriffe der Kron~c.kersehell ~eorie tier algebraise#~en
Gr6pen tassen sieh miihelos auf den Kiirper ~ ( 0 ) iibertragen. Sei F(v~,. . . , v~) eine ganze rationale Funk~ion der Variablen v l , . , v~, die Koefllzienten seien ganze algebra isehe Orfllen yon ~(v~) und nie~t sim~- lieh gleieh z. Dann heist F eine Form des Kdr~ers ~ (v~). Es daft k ---- 0 sein, dann ist F eine ganze algebraieehe, yon z versehiedene GrfSo aus '~ (v~). F heillt eine rationale Form, wenn die Koeffizienten ,,rational", also ,,ganz rational" sind. Sind, in irgendeiner Reihenfolge, ~t, u~ . . . . , u t die Koeffizienten der Form F, so bezeiehnen wir das Ideal
a = [ ~ , . . . . ~l]
a~ den liilialt tier Form F. t t a ~ n F und G bzw. die Inhalte a und b, am hat die Form F .G den Inhalt a .b (vgh 9, S. 186f.).
26 P. Sengenhorst.
Ist [wieder F eine Form yon Q(@), so sei F(r die ganze rationale Funktion, die man erh~It, indem man jeden Koeffizienten ~k = r~ (@) yon t dutch ~c~ r (~cs~) Fr r = ~ ersetzt, ist eine Form yon D (~ ). Die Formen F r heiflen die zu F kon~ugieff~m Forme~. Wi~ definieren
i=I
N,.(F) ist eine Form yon Q_,, N(F) eine rationale Form.
Sei ferner d der gr61~te gemeinsame Teller der Koeffizienten yon iV(F) 9) (ira Sinne yon w 2; wit diirfen d prim~ir annehmen); dann de- finieren wit
n(F)----d. Offenbar gilt, wenn IV x und Fg Formen yon ~ (#) sind,
n F,) =, (F,). n
Wenn n ( F ) = u ist, so heist F eine Einl~ei~/orm; ist F iiberdies eine rationale Form, so heigt F eine ratz'ona/e Einhei~s/orm. Es gilt
Satz I. Jede E i n h d ~ / ~ ~ den Inl~al~ o. Der Beweis hat keine Schwierigkeiten.
Satz H. Jede Form des Int~alts o ist eine ~'nl~dts/orm. B e w e i s . F sei eine Form des Inhalts o; ~ , % , . . . , ~ z seicn die
Kodfizienten yon F. Dann ist o = [~z~, . . . , ~z], also
u-----~ ~ ~ . . . ~ z ~ z ,
wo ~,, . . . , ~z ganze algebraische Gr61~en yon ~ ( ~ ) sind. Wit betrach~en den K6rper ~(@r . . . , ~(~)), der ein Teilk6rper yon K ist (vgl. w 5). Ee gi|t
~(o+, ..., ~"~) = ~9(~),
wo such ~ algebraisoh ist. Aus
folgt nun
wo die ~o und die =~" ganze algebraische Or6~en yon 9(~r also yon (~) sind. Ist also ~) das Einheitsideal in ~ (~) , so hat jede der Formen
F(~), als Form in ~ (~ ) betrachtet, den Inhalt ~), also gilt das gleiche yon der Form
---- (Fm. F ~ . . . F~,,)/'~.
~) Diese Koeffizienten sins Polynome d~r Variablen ~ mit Koeffizienten 'in F(~),
Uber KGrper der Charakteristik i~. 27
Seien al, . . . , a m die Koeflizienten yon G, sei d ihr (prim~lx genommener) grfllter gemeinsamer Teller. Dann gilt in ~ (~) oflenbar
- - a , , . . . , a . ] = [ a ] ,
also ist d = u, was zu zeigen war.
Man nennt zwei Formen F u n d G des KGrpers Q ( ~ ) dgu/va/cmt - - in Zeiehen F__-~ G --, wenn es zwei Einheitsformen F z und G z gibt, der art daft
FFI = O G I
ist. Aus dem Vorigen folgt leicht:
Sa tz I IL ~gu/~/ente Formen haben de~ glei~en Inltatt.
Femer zeigt man in bekannter Weise:
Sa tz IV. 1st F 1 eine Form yon Q(t~), s~ gibt es eine Form F~ in ~ ( ~), derart, clap F~ F~ eirter Farm a Quivalent i~t, too a eine ,,ganze rationale" von z v~schiedene Grdpe ist.
Nunmehr kaun man beweisen:
H a b ~ die F o r m ~ F u n d G d ~ gleldwn Inha~, so sind S a t z V. s/e Qu/valettt.
Beweis . Man be~timme die Formen F 1 und G I derart, da~
wird (etwa F 1 ----G, Gx----F). Zu F 1 gibt es eine Form F, derart, dall
F, F, = a E
wird, wo a ~ z, a ,,ganz rational" und E eine Einheitdorm ist. Es fotgt
FF, Fg = GG, F, =aFE.
Habe G, Fg den Inhalt c. Inhalt yon F und Gis t .
Dann hat G G 1 Fj den Inhalt a c, wo a der Es folgt
a - c = [ a ] . a . o , c = [ a ] . Also i~
wo E~ eine Einheitsform ist~ Es ist demnach
GaE,=aFE, GE,----FE, G~---F.
Natiirlich gilt
Sa tz VL Aus F~---G Iolgt ~t (F )=~ t (G) .
Sei nun wieder a ein Ideal in ~ ( ~ ) . Die Grfllen/~1 . . . . , / ~ m~gen eine redtmierte Basis yon Q(~) bilden. Sei ~/ eine yon z verschiedene Grflle von a; dann gehSrt a----IV(~/) zu a, also auch die n GrSl~en
28 P. Sengenhorat.
a . f l l , . . . , a.fl,~. Dabei ist a =~ z. Man wiihle nun (flit m - - 1, 2 , . . . , n) unter den GrSflen von a, die sich in der Form
a,a, flx -[- a,,,gfi~ -~ ...--~-a,,,,,fi,,~
sehreiben lassen, wo die amh nut zu g2_~ zu gehSren brauehen und
am, " ~= z ist, eine solehe aus, wo l a, ,= I m~glichs~ klein i st (d. h. wo a ~ ,
als Polynom in t_, = t ~-6 geschrieben, einen m6glichst kleinen Grad hat). Dann sind die n Gr6flen
a ,n-~-a ,~ l f l l - -~ . . . -~ -a , , ,~ f lm (m-----l, 2 . . . . , n ) wegen
A,. (ax, . . . . an) = ( a~a .a,r . . . a,,,~)'..d,. (fl , . . . . ,' fl,,) =]= z
linear unabh~gig in be~ug auf $2~, und man beweist leicht, dall sie eine , ,reduzierte B a s i s " von a bilden, d.h. da]~ sich alle GrfBen von a - - und nut diese Grffien - - in der Form sehreiben lassen:
a = bl al + . . . -~ b, a , ,
wo die b 1 . . . . . b n ganze algebraische Gr6flen aus ~P-Ssind. (Man kann natiirlich -- genau wie in w 5 bei der K6rperbasis -- zu einer Basis in bezug atff den K6rper f2 iibergehen). Habe nun a~m - - als Folynom in
pc t = qf~'" Nun er- r _ , = t p-e au~gefai~t - - den Grad f , . Dann ist t atom erh~ilt man offensichtlich ~ wenn man in der iiblichen Weise Kongruenzen naeh Idealen einfiihrt ~ ein vollst~diges Restsystem rood a, wenn man in dem Ausdruck f l f i ~ - ~ . . . - ~ r , f l , f f~ r l , . . . , r ~ aIle Polynome der Variablen t_~ einsetzt, die entweder z sind oder Grade haben, die bzw.
kleiner als f~, . . . , fn sin(t. Demnach gibt es qf~ . q t y . . . qf~-~- la~l . . . a n n I ~* Restklassen rood ct.
Wit fiihren nun folgende Bezeichnung ein: g:, . . . , a , sei eine beliebige. reduzierte Basis yon a, ill, . . . , ft, eine reduzierte Basis y o n ~ ( 0 ) . S e i
S
a~ -~- .~ C~kfl~, wo die c~u g~nze algebraische Gr6~en von ~ - e sind. Dann
setzen wit
=
Dabei bezeichnet [r (keinen Betrag, sondern) die Determinante
der e~ , so daI~ I c~ 1 ~* ,, ganz rational", also ein Polynom in der Variablen t ist. Ferner bezeichnet, wenn P ein solches (yon z versehiedenes)Polynom ist, sgn P den Koeifizienten der h6ehsten Potenz yon ~ in diesem Polynom,
P so daI~ ~ das zu P assoziierte prim~ire Polynom ist (vgl. 6, w 2).
Man erkennt ~tme weiteres, da~ 9~ (a) yon der Wahl der reduzierten KSrper- mad der reduzierten Idealbasis unabh~ingig ist. Man dad also
Uber KSrper dor Charakteristik p. 29
die oben konstruierte spezielle Idealbasis zugrunde tegen; dann ergibt sich, wenn At(a) die Anzahl dez Res~klassen rood a bezeichnet, aus den obigen Entwicklungen
wo l ~ ( a ) [ der Betrag yon 9~(a) ist.
Wit w011en die Beziehung des Polynoms ~ ( a ) zu den Begriffen der Kroneckerschen Formentheorie entwickeln. Dazu sind einige Hilfsbe- trachtungen nStig. Wit betrachten ganze rationale Funktionen//1, H~, . . . in den Variablen v 1, v.~, . . . ; die Koeffizienten seien ganze algebraische
Gr6Ben aus ~2_, = ~ ' -~ , . d. h. Polynome in der Variab]en t_, = ~v-* mit Koeffizienten aus F(q) . Sei ferner P eine ganze algebraische Gr.6~e aus Q , , die ~ als Polynom in t_ e aufgefaBt ~ irreduzibel ist. Dann nennen wir H~ dutch P teilbar, wenn jeder Koeffazient yon H, durch P teilbar isk Femer schreiben wit
H,-- ( moa P),
wenn Ar~- H, im angegebenen Sinne dutch P teilbar ist.
Hi l fssa tz . Seien H~ (i, k = 1, 2, . . . , n) n 2 Funktionen der gekenn- zeichneten Art; babe P die angegebene Bedeutung; sei n >_ 1. Ferner 8ei
]H~ l ~ z (rood P ) ,
wo ] H~, [ die Determinante der H~ bezeichnet. Dana kann man r~ Punk- tionen der genannten Art H 1 . . . . . . H, angeben, die nicht 85maich dutch P teilbar sind, derart, daft /iir i = 1, 2 . . . . . n
H,1 1tl + . . . + H,,,H,=_ z(mod P) gilt.
Bew0is. Ist n = l , so seize man H l - ~ u . Sei nun n ~ 2 . Ist jodes H~ duroh P teilbar, so kann man
/ / i = H , . . . . .
setzen. Sei nun nicht jedes / /~ dutch P teilbar. Dana hat die Deter- minante I H~I rood P einen bestimmten Rang r u n d es gilt
l ~ r < u - - 1 .
Man daft annehmen, dal~
/ G . : / / 1 , . . . . . . (moap)
80 P. Sengenhoret~
ist. Wit betrachten die Onterdeterminante
H,1 . . . H 1 , H,,.+,
Hr, . . . H ~ ' Hr,+~ ( l ~ k _< n -- r) .
H,+~, . . . H,+~,H,+I, ,+1
braisehe Komplement yon H,+~z in dieser Deterrn_inante. Dann hiingen H,,Hs,'.,.,H,.,H,.+j nicht yon k at). Femer ist H , + i ~ z ( m o d P ). Setzt man noch (ira Fails r + 1 < n)
H , § = ~,
so sind alle Behauptungen erfiillt.
Sa tz VII. S d a ein Ideal, sei F eine Fo~m des Inhalts a. Dann gil~
~(a) , ( ~ ) . (Vgl. 9, s. 19o, s ~ 2o). Beweis . Sei ca, . . . , e , eine reduzierte Basis von a. Dann ist
a = [ , , , . . . , ~ , ] . Also ist die Form
eine Form des Inhalts r Es folg~ nach Satz V und Satz VI
F--~ F1; n(F)---- ~(~I). Ks bleibt zu zeigen 9 ~ ( a ) = n ( F 1 ) .
Sei fll . . . . , fin eine reduzierte KSrperbasis. Dann ist e~ ff~ eine Gr613e aus a, liiflt sich also in der Form darstellen
% ~ + ~.. + c . ~ . ,
wo e l , . . . , c. ganz algebraisoh sind and zu Sg_, gehfren. Also koInmt
~ . F ~ = H ~ + . . . + H , ~ , ( ~ = 1 , 2 , . . . ,n) , wo die H~ Funk%ionen der Art sind, wie sie im Hilf~atz nufi;reten (sogar lineare). Ihre Determinante IH~ [ is~ dutch kein irreduzibles P der ge- kennzeictmeten Art teilb'ar. Denn sonst g~be es n Funktionen H~ . . . . . Hn mit den im Hilfssatz genannten Eigenschaften. Dann w~re jeder Koeffizient der Form
~t ~t
dutch das Ideal [ P ] . a teilbar. Sei b der Inhalt der Form
H ~ + . . . + H,,~,,. Dann w~drde gelten
[P]-al~-~;" [P]t~-
~ber KSrper der Charakteristik p. 31
Jeder Koeffizient der Form H i/~, -~- , . . -~- H, P. wiire dutch P teilbar, woraus sich leicht erg~be, daft jedes Hz dutch P teilbar w~re, im Wider- spmch mit dem Hilfssatz.
I H~k] ist also yon z verschieden und durch kein irr&luzibles P der gekennzeichneten Art teilbar. Also gibt es kein irroduzibles Polynom P,
der Variablen t (mit Koeffizienten in F(9)), das in ] / /~lP 'aufgeht .
Es folgt ~' P? = H~ ~;" + . . . + H~ ~',
(die Striche bezeichnen Determinanten), also, worm n
a~ - - 2 : c~ .~ ist, ~=1
also, wegen der bewiesenen Eigenschaft yon ]H~ I",
sg~ (t c*, ! ~) Satz VIII. Es ist
~ ( a . b ) ~ - - ~ ( a ) . ~ ( b ) , also Iv(a.b)~--iv(a). iv(b).
Der Beweis Iolgt ohne weiteres aus dora vorigen Satz in Vorbindung mit der Beziehung, n( FI.F,) = n(Fx) .n( Fg ).
Ferner gilt: Ist a eine ganze algebraische GrSBe yon ~ ( 0 ) und ist ~ z, so ist
wo iV(a) die Bedeutung yon w 5 hat.
w
Idealldassen. Einheiten.
Auch die weitere elementare Idealtheorie l~Bt sich dutch geringe Modifikation der ~Jblichen Methoden iibertragen. Wit schicken -- in engem Anschlu~ an 1, w 7 -- einige Hilfssiitze tiber lineare Formen voraus. Seien
t t
fk=~=lak, u , ( k = 1, 9., . . . , ~,)
P. Sengenhorst.
n lineare Formen in den n Variablen u l , . . :, u~ mit ,ganzen rationalen" Koeffizientem Sei n ~> 1, sei ierner die Determinante
D = Iak~ I + z.
Dann verstehen wir unter dem ,Modu l "
r. = [ 5 , . . . , f . ]
die Gesamtheit der Formen, die sich in der Gestalt n
f = Z v~ h k = l
mit ,,ganzen rationalen" v 1 . . . . , v , darstellen lassen. Seien m = [fl , . . . , f~] und ~ ~ - [ f ~ , . . . , f , ] zwei Modulm Wir nvnnen sie gleich, wenn sie die gleichen Formen enthalten.
Wir defmieren D
Ist dann m ~- m, so folgt leicht ~ ( m ) -~ ~ ( N ) . Wir nennen zwei Formen g u n d h kongment meal m, in Zeiehen
g _~ h (rood m), wenn ihre Differenz zu m geh6rt. Wit wollen ferner yon n Formen g~, . . . . , gn sagen, dab sie eine Bas i s des Moduls m ~ [fl . . . . . f~] bilden, wenn auch m -~ [g~ . . . . , g,,] ist. Man kann (vgl. 1, Satz 112) in m eine Basis g l , ' " , g , finden, derart, dab
g k ~ - d k l u l - k d k ~ u ~ + . . . ~ d k k u k (k--~ 1, 2, . . . , n),
dk~ ,ganz ra$ional", d~k ~ z und d ~ primer ist. Dann ist
(m) ~ - d ~ . d~ . . . d , , ,
and man beweist leicht, dab es rood m genau [ ~ ( m ) l - ~ [DI Rest- klassen g~bt.
H i l f s s a t z I. Es gibt i n m eine yon z verschiedene Form
g = a ~ u 1 + . . . + a. u. , derart, daft 1
Max (la~ ] . . . . , [a. I ) ~ 19~(m)[ ~ ist.
Bewei s . Sei N der Grad yon ~ ( m ) . Sei r die wohlbestimmte ganze rationale Zahl, fiir welche
r < ~ < r q - 1
ist. Dann folgt
n . r ~ N < n . ( r + l ) , q,,__< [ ~ ( m ) [ < q-~+~).
Wit betrachten die q~ ('+~ Formen
r, x ux + . . . --{- % u,~ mit I ck [ ~ qy.
t~oer K~rper der C ~ r i e t i k p. 83
Darunter miissen zwei rood m kongruente sein. Ihre Differenz erfiillt die Forderung des Satzes.
H i l f s s a t z II. Oegeben seien n g ,,ganze rationale" g/rdflen b~z (k = 1 . . . . , n; l = 1, . . . . n) rait
D = l b ~ [ + z .
Dann ~bt es n ,,ganze rationale" Grdflen z a . . . . . z , , die nicht ~dnttlich fleich z Mnd, derar$, daft /iir k = 1, . . . . n
1
[b~,~, + . . . + b~,~,l < IDI" ist (vgl. 1, Satz 113).
B e w e i s . Man setze
t t
f~ = ~ ' b I ~ u~ l--1
Dann v'izd
Man bestimme
gem~il] Hilfssatz I. Sei
Dann folgt
(k = 1, . . . . ~), n~ = [ f , , . . . , f , ] .
~ ( m ) = D s g n D "
n
k = l
g= Zz~ .h . 4----1
ak = bk 1 xl + " " -{-" b~,, z,,,
und es sind alIe Behauptungen erfiillt.
H i l f s s a t z I I [ . Die n ~ Gr6fen bk~ ( k = l , . . . . n; l = 1 . . . . , n ) m6gen zu Q' ge)tOren; 8ei
D ----- [bkzi ffi~ Z.
Dann gibt es n ,,ganze rationale" Ordfen x I . . . . . z,,, die nicht sdratlicYt 9leich z Bind, derart, daft
1
[bk~x , + . . . + bk,,z,s I s ]DI ~
ist (vgl. 1, Satz 114).
Bewe i s . 1. Zun~ichst erledigt sich -- wie in 1, S. 37 -- leicht der Fall, dal~ die b~z ,,rational" sind.
2. Seien nun die bki irgendwelche Gr613en aus D'. Wir entwickeln b~ nach fallenden Potenzen yon t. Brieht man (flit h = 1, 2, 3 . . . . ) die Entwicklung yon bk~ hinter der Potenz t -n ab, so erhglt man elne ,,ratio- nale" Gr6t~e b ~hl At. Es gilt
b ~hl ~ b~t. k l
Ma~hematische Zeitschrlft. XXIV. 3
34 P. Sengenhorst.
Setzt man
so gilt femer D m ._~ D .
Da lira (I D m _ D I) - - 0 und ] D I > 0 ist, so ist flit h > m offensiehtlieh
ID~A~-DI<IDI, [D<h~[=ID I. Man kann nun fib jedes h ~ m naoh dem ersten Tell des Beweises die Gr6Ben z~ ~), . . . . x~ ), ,,ganz rational" und nicht stimtlieh verschwindend, bestimmen, derart, dal~
1 1
ist. Ferner kann man ein reelles positives A bestimmen, derart, dab - - fib beliebige /r l, h - - der Betrag yon b~ ~ kleiner als A und/iberdies
1
Iv I~'< ,4 is~. Setzt man dsnn
so wird f i i r h > m, da
ferner der Betrag yon b~] ~ kleiner als A ist, offenbal
A n I x~h~ i < iDt"
Daher gibt es unter den unendliob vielen Systemen ~r (k ---- m -I- 1, m -t- 2 . . . . ) nut endlieh v/ele verschiedene, also mindestens eins, xl, zt , . . . , zn, das fiir unendlich vie]e Werte h, , h2, h s , . . , von h wiederkehrt (h~ > m). Dann gilt
h~"~ < I D I a, o~ ~) b ~ , , also
"b~,~, <IDI ~. H i l f s s a t z IV. Unter den Vorausse~zungen volt Hii/ssatz I I I gibt es,
wean ~1"~ . . . ~, ~- [D[ , ~, > 0 ist (~ ~- 1, 2, . . . , n), n ,,ganze ratio- hale" xk, die nit, hi sdmtlich gleich z sind, derart, da~
z~=b.zz , " wird.
Beweis . Man bestimme die ganze rationale Zahl r~ so, dab
wird. Sei
Dann ist
8ei
Dann wird
Ober KSrper der Char~t~istik l~. 35
r ~ + r ~ + . . . + ~ ' , = B .
~ < I z) 1 < ~+".
~'~'
Demnsch kann man gem~B Hilfssatz I I I die ,,ganzen rationalen" Gr~illen x I . . . . , ~ , nicht s~mtlich verschwindend, bestimmen, dab
1
l ~ x , + . . . + ~ , ~,, I <I~P[ ~ < q, also
[g~x~ + . . . + g~.z , ] < 1, a ] ~ 8 o �9
i b~l xl _+.... _]_. bk,, :r.,, [ ~ qr~ ~ Jk wird.
Sei nun # eine algebzaisehe GrS•e im Sinne yon w 5 und w 6, sei 9(x) das zugehSrige primate irreduzible Polynom in ~9. In •' gelte die Zerlegung
g (~,) = g~ (~).g, (x) . . . g, (~).
Da, wenn e der Exponent yon g(~) in bezug aul ~ , is t , such jedes g~(z) gemiil~ w 5, Satz I I in bezug aus ~ ' den Exponenten e hat, so sind die g~(x) zu je zweien teiledremd. S e i n der reduzicrte Grad yon g(z) (in bezug auf g2), dr der reduziert~ Grad yon 9a~(x) (in bezug auf s Offenbar gilt z
Seien endlich, wie bisher, ~ (~ , . . . , ~ die zu 0 konjugierten slgebraisohen GrSl3en. Dann ssgen wit, dab die GrSl3en 0~1) . . . . . O~n) in l G~ruppe~ vo~ konj~'ert bo'mpleze~ Gr6~er~ zeHsllen, und zwar nennen wit die dr ver- schiedenen NuUsteUen des gleiehen Polynoms g;.(x) zueinsnder konjugicr~ komplex. Man erkenn~ iibrigens leicht, daft, wenu such ~ algebraisch und ~ ( # ) = ~2(~1) is~, flit 0 und ~/ nicht nut die Zshlen n und e, sondern such I und -- yon der Reihenfolge abgesehen -- dl, d ~ , . . . , d~ iibezein- stimmen.
Seien nun 71,--- , 7~ n in bczug au~ ~_~ linear unabh~ngige O~Sl~en yon ~(@). ][st
7 , = r , (# ) , so setzen wit
~.,<',, = , . , (~ ' , ) .
36 P. Sengenhor~.
Wit betrach~en die Formen
y(~)= ~ r~ (k) x, (k = 1, . . . . n) , 1:=1
deren Determinante F = 17~k~l yon z verschieden ist.
Wit nennen zwei von diesen Formen y(~) und y(~) kon]ugiert komplex, wenn 0 (kl) und v ~(~s) koniugiert komplex sind. Setzt man flit die x~ spe- zielle GrSfen aus 9'_~ ein, so entstehen aus zwei konjugiert komplexen Formen zwei Griis die" in bezug auf ~ ' konjugiert slnd, also den gleidaen Betrag haben.
H i l f s s a t z V. Bezeichnungen wie angegeben. Sei i~berdies e ~ 0 und n :> 1 (also ~=~z, ~(~ ~-z). Danngibtese inenurvon ~ (nicht yonder Wahl der r~) abhdngige positive Zahl C yon/olgender Art: Sind den n Formen ya!, y(~.) . . . . , y(~ die positiven Zahlen J~, 8~, . . . , O~ so zugeordnet, daft, wenn y(~) zu y(b~l kon]ugiert komplex ist, ~ , ~-~k, ist, und daft die Be- ziehung
gilt, so gibt es ein System ,,ganzer rationaler" x~, . . . , x,~, die nieht 8altar- lick gleieh z Bind, derart, daft /i~r diese Werte der Variablen die Be- ziehungen
] Y(~)t ~ ~k und (in/olgedessen) ]y(t~.y(~)...Y(')t ~ G'l F[
ffelten. Beweis . Wir denken tins - - na t flit diese~ Beweis -- die Null-
stelIen yon g(z) so geordnet, daft 0 ~), . . . , 0 ~) die Nullstetlen yon g: (x), 0 r . . . , 0 (~+~'~ die Nullstellen yon gn(z), sind usw. Sei
endlich 10r Es i s t ~ ~ 0 . Sei ferner
i u ... u 0 ... i
Ist dz = 1, so soll Ax = u sein. Es gilt zt~ ~ z. Nunmet~ sei
Io) ~(d~+1) ~ sol] die k-t~ Potenz yon ~(~+x) bezeiehnen usw.
Uber KGrper der Ch~kteristik p. 37
Seien die Zshlen ~ , . . . , ~. den V0raussetzungen gem~il3 vorgegeben. Dann ist
~ l = ~ s . . . . . ~ , ; ~ l + l = ~ d l + , o - - - - - . . . = ~ + d , usw.
Sei nun y(1) irgendein Koeffizient der Form 9(I). Dann gil~
),(~) -= a~ + a.,.Ow q -o . . + ad,.~ r
wo die a zu D' gehGren; also folgt fiir 1 ~ 0 =< dx:
7 (e) ---- a~ + a~ 0 (e) + ... A- adl # (~
wo ?~) der entsprechende Koefllzient in y(~) i s t . Demnaeh kann man schreiben fiir 1 ~ ~1 ~ dl:
y~'~ ~ wl ~- w~ z9 ~ + . . . -~ w~ Oce')~-~;
ebenso fiir d~ + 1 ~ ~ ~ d~ + d~
. . . . O~e~) ds-~ y(e,) w~+~ -4- w~+~ 0 ~') + q- w~+~ usw.
Dabei sind w~, w~, . . . , w, lineare Formen der Variablen xl , x , . . . . , x,, mit Koefilzienten aus ~ ' . Sei P die Determinante dieser Formen. Dann ist
Nunmehr setzen wit
~ = ~ fiir l~Kd~,
~,+~ =~+~___s--flit 1 K ~ K d , usw. ~e--1 Dann wird
Also kann man nach Hilfssatz IV die ,,ganzen rationalen", nicht siimtlich verschwindenden z~, . . . , z , bestimmen, daft
lw~l =< ~ wird. Dann folgt -- fiir diese ~x . . . . , z , --
(u '~ ) < Max (I w~ l, t w~ '~r I, �9 �9 )~,,1 o ~ ' - ~ I) ds-- I'~
" Max(~ , ~ . . . . , ~ ) = ~ ,
also fiir 1 ~ ~ <~ da
38 P. Sengenhorst.
Wit werden im ~olgenden annehmen, da~ ~ eine GrSl3e erster Ar~, also e-~ 0 ist. Auf diesen Fall l~i~t sich der Fall eines beliebigen Ex- ponenten leicht zuriiekfiihren (vgl. w 5, letzte FuBnote). Sei dann a ein Ideal in Q(~) , a l , . - . , e~n eine Basis von a,/~2, . . . . ~n eine Basis von
n
~ ( ~ ) , a~-~-.~r Wit betzachten die n Formen
r - - 2~ ~I k) ~,.
Sie entsprechen den Voraussetzungen von Hilfssatz V. Hat also G die- selbe Bedeutung wie deft, so kann man die ,ganzen rationalen", nicht s~imtlich verschwindenden x ~ , . . . , x~ bestimmen, derar~, daB, wenn wir
se~zen, zr I = I'~'"...'~("~ I < O.lrl
wird, we F = l a~ k) f ist . Es ist a ~= z. Ferner ist
r ~ = 4 ( ~ . . . . . ~ ) = I~,~ ["" I~g ~ I ~ = ( ~ ( . ) ) ' - ~ ' ~ ,
we z~ die (bis auf einen zu ~'(q) gehSrigen, yon z verschiedenen Faktor eindeutig bestimmte) K6rperdiskriminante, a ein yon z verschiedenes Ele- ment von F(q) ist. Es folgt
l N(,~)! < o.I ~(,~)!.~1,~ I = c , .N (a ) , we C 1 ---~ C . ] / ~ nut vom K6rper -- nicht yon a - - abh~ngt.
Satz I. In ~edem Ideal a yon ~ ( ~ ) gib~ es eine yon z verSchiedene Grd~e a, derart, daft
tN(,~)I < e , .N (a ) ist, we G~ eine nut veto Kdrper abhdngige positive Zahl ist.
Nunmehr ergibt sich leicht die Endlichkeit der Idealldassenzahl (1, Satz 125).
Auch die Theorie der Einheiten l~il~t sich auf Grund der Hilfss~itze leicht erledigen. Habe 1 die Bedeutung wie oben. Wit setzen r ~ l -- 1, also l ~ r ~ 1. Wit denken uns ~a), . . . , v~ ) j e t z t (anders als beim Be- weis yon Hilfssatz V)so geordnet, da~ zun~chst yon jeder Gruppe kon- jugiert komplexer GrSl~en je eine .kommt und dann die fibrigen v~(~) in beliebiger Reihenfolge. Ferner mSgen d~, d~ . . . . , d z ~ d~+~ die Bedeutung haben wie oben. Dann gilt wSrtlich 1, Satz 133. Der Beweis iibertr~gt sich vollst~indig, nur tritt U . ] / ~ an die Stelle yon ]/[~1 (vgl. Hilfs- satz V) . Ebenso gilt Satz 135, wenn wir eine Gr5t~e yon ~ (~ ) FMnheits- wurze~ nennen, sofern sie einer Gleichung
geniig~.
Uber K6rper der Charakteristik ~. 39
Sei in der Tat a eine Einheitswurzel in diesem Sinne, und gehSre zu ~)(~); das zugeh6rige, in ~ irreduzible Polynom sei
gt x) -~ x"* + b~- l x'~-l + . . .-~-bo.
Es < fol l icht l = 1, b nso I = 1 (k = 1 , 2 , . . . , m)' wenn a k eine Nullstelle yon g(x) ist, also I b ~ l ~ l . . D a ferner die ~ ganz algebraisch sind, so sind die b, ,,ganz rational". E s iolgt also wegen l b , ] ~ l , dal~ bin-l, b ~ , . . . , bo Elemente yon $'(q) sind, so da6 es flit g(x ) nut endlich viele MSglichkeiten gibt.
Satz II. WSrtlich wie 1, Satz 137.
Auch die Ubertragung des Beweises hat keine Schwierigkeitem
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