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Ober Losungenlinearer partieller Differentialgleichungen 11. Ordnung in einem hyperbolischen Gebiet mit einem isolierten parabolischen Punkt. Von HENNING TOLLEin Braunechweig (Eingegangen am 25. 7. 1956) Rei der Untersuchung der allgemeinen linearen partiellen Differential- gleichung. 11. Ordnung (0.1) (Au,+Bu,),+ (Bu,+Cu,),+ Pu,+Qu,+Fu+G=O') mu13 man je nach Charakter des Ausdrucks K2 = B2 - A drei Gebiete unterscheiden, in denen jeweils andere Nebenbedingungen fur die Diffe- rentialgleichung sinnvoll sind. Man nennt Gebiete mit s2 - 3 c > 0 von hyperbolischem, mit B2 - A C = 0 von parabolischem und mit @ - A C < 0 von elliptischem Typus. Eine Reihe physikalischer Vorgange - z. B. der Gasdynamik und der Elastizitatslehre - erfordern nun Losungen in Gebieten von gemischtem Typus, d. h. in Gebieten, die teilweise parabolisch, elliptisch und hyper- bolisch sind. W. HAACK hat gezeigt [312), da13 die Einteilung in Gebiete eines be- stimmten Typus erst verhaltnismal3ig spat notwendig wird, wenn man statt der Differentialgleichung (0.1) und ihrer Losungen eine, (0.1) durch den GAussschen Satz zugeordnete Integralrelation $5 (Au,+Bu,+Pu)dy-((Bu,+Cu,+&u)dr =; JJ {(Fz + Q, - F) u - G} [dz d y] Bi (Q) (0.2) QI und deren Losungen betrachtet. Wahrend eine Funktion u (z, y) als Losung von (0.1) zweimal stetig differenzierbar sein mu13, braucht sie als Losung von (0.2) nur einmal stetig differenzierbar nach z, y zu sein. W. HAACK l) Setzt man = 3 - By, = - Bz--C',, so erhalt man die iibliche Schreibweise : xur5 + 2 zuu,, + cu,, + UUE + Eu, + Pu + G = 0. 1, [ ] vgl. Literaturverzeichnis.

Über Lösungen linearer partieller Differentialgleichungen II. Ordnung in einem hyperbolischen Gebiet mit einem isolierten parabolischen Punkt

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Ober Losungen linearer partieller Differentialgleichungen 11. Ordnung in einem hyperbolischen Gebiet mit einem isolierten parabolischen Punkt.

Von HENNING TOLLE in Braunechweig

(Eingegangen am 25. 7. 1956)

Rei der Untersuchung der allgemeinen linearen partiellen Differential- gleichung. 11. Ordnung

(0.1) (Au,+Bu,),+ (Bu,+Cu,),+ Pu,+Qu,+Fu+G=O')

mu13 man je nach Charakter des Ausdrucks K 2 = B2 - A drei Gebiete unterscheiden, in denen jeweils andere Nebenbedingungen fur die Diffe- rentialgleichung sinnvoll sind. Man nennt Gebiete mit s2 - 3 c > 0 von hyperbolischem, mit B2 - A C = 0 von parabolischem und mit @ - A C < 0 von elliptischem Typus.

Eine Reihe physikalischer Vorgange - z. B. der Gasdynamik und der Elastizitatslehre - erfordern nun Losungen in Gebieten von gemischtem Typus, d. h. in Gebieten, die teilweise parabolisch, elliptisch und hyper- bolisch sind.

W. HAACK hat gezeigt [312), da13 die Einteilung in Gebiete eines be- stimmten Typus erst verhaltnismal3ig spat notwendig wird, wenn man s ta t t der Differentialgleichung (0.1) und ihrer Losungen eine, (0.1) durch den GAussschen Satz zugeordnete Integralrelation

$5 (Au ,+Bu ,+Pu)dy - ( (Bu ,+Cu ,+&u)dr

=; JJ {(Fz + Q, - F) u - G} [ d z d y] Bi (Q)

(0.2) QI

und deren Losungen betrachtet. Wahrend eine Funktion u (z, y) als Losung von (0.1) zweimal stetig differenzierbar sein mu13, braucht sie als Losung von (0.2) nur einmal stetig differenzierbar nach z, y zu sein. W. HAACK

l ) Setzt man = 3 - By, = - Bz--C',, so erhalt man die iibliche Schreibweise :

xur5 + 2 zuu,, + cu,, + UUE + Eu, + P u + G = 0. 1, [ ] vgl. Literaturverzeichnis.

Tolle, Lijsungen linearer partieller Differentialgleichungen 11. Ordnung 101

bezeichnet deshalb die Losungen von (0.2), die die Losungen von (0.1) umfassen, als erweiterte Losungsmenge von (0.1) und weist Losungen aus dieser erweiterten Menge nach.

Durch Umformung von (0.2) in eine VoLTERRAsChe Integralgleichung hat W. HAACK gemeinsam mit G. HELLWIG bewiesen, da13 in einem sonst hyperbolischen Gebiet das CAucHY-Problem auf einer parabolischen Kurve als Anfangskurve untcr gewissen Einschrankungen genau eine Losung hat, wenn die Charakteristiken die parabolische Kurve nicht beriihren [4] ; man vergleiche auch I. S. BEREZIN 161.

Wir betrachten das charakteristische Anfangswertproblem in einem hyperbolischen Gebiet mit einem einzelnen parabolischen Punkt 3), in dem die Charakteristiken wie ein Polar- koordinatennetz zusammenlaufen. Bekanntlich besitzt (0.1) in einem charakteristischen Viereck genau eine Losung, wenn langs zweier ver- schiedener charakteristischer Linien die Funktion u(x, y) vorgegeben wird, nehmen wir etwa an, langs % % und %El (Abb. 1). Lassen wir nun % + El gehen, so geht auch El + D als auf derselben Charakteristik gelege- ner Punkt, und unsere Anfangsvor- gabe von u(x, y) langs der beiden Kurven % 8 und %El geht iiber indie Anfangsvorgabe von u ( z , y) langs om.

Abb. 1

Wir werden zeigen: Satz. Bilden die Charakteristiken im betrachteten parabolischen Punkt,

der im Koordinatenanfangspunkt liegen moge, und einer Umgebung B ein Polarkoordinatennetx :

-

d r =0, r Z = x 2 + y2,

dg, = 0, x = r cosp),

y = r sin g, - 2 x y - K c_

x p + y2

- -

(d. h. gilt: A = - C =

8 ) Das Thema dieser Arbeit verdanke ich meinem verehrten Lehrer, Herrn Professor Dr. W. HAACE. Die Aufstellung der Integralrelation ist seiner Vorlesung [3] entnommen, in der dariiber hinaus bereits gezeigt wurde, daB die Annahme einer bia in den Nullpunkt stetigen Losung u (5, y) auf keinen Widerspruch fiihrt. Der Existenzbeweis schlieI3t sich eng an den Beweis von G. HELLWIG in [4] an.

102 Tolle, Liiaungen hearer partieller Differentialgleichungen 11. Ordnung

und geniigen die Koeffizienten von (0.1) in einem Gebiet 8 u m den parabo- Zischen Punkt Gleichungen der Art :

- - _ _ K 2 = B2- A C = r v 0 ( l + b . rko + f k , ( x , y)r”)

- - p . y - Q . x = ~ v . + P o + l 9p ( X , 91, P. + Q * Y = rvO+ql * 90 (2, y), - - - -

h, (x 9 Y) G = r V o + 4 - 1 h, (5, Y), p, - Q - F = r v ~ + r ~ - l Y

mit: k,, p, , r , , s , , vo > 0 , k,, q1 > 1 , b = const, hR (2, y) , h,(x, y) stet@ in 5 , y,

g P ( 2 , y), gQ(x, y) f k , (x 9 Y)

einmal stetig differenzierbar nach x und y, zweimal stetig differenxierbar nach x und y 4);

dann existiert bei Vorgabe von u,(t) langs einer Charakteristik y = yo mit ui(t) = 0 im parabolischen Punkt 0 in einem Teilgebiet 8‘ eine eindeutige, einmal stetig nach x , y differenzierbare Losung u ( x , y) von (0.2), d. h. eine eindeutige Losung der erweiterten Losungsmenge von (0.1).

Das Teilgebiet 8’ ist begrenzt durch die aupersten Charakteristiken, die ganz in a‘‘ verlaufen, und durch diese abgeschlossen. (3’’ wird aus 8 n 6 durch die Forderungen 1 p I < und r 5 rm ausgeschnitten. rm ist dabei das Minimum con endlich vielen Einschrankungen r4 < Meo in n %3 mit E, > 0, Ms0 feste ZahZen5).

Die Losung kann durch ein Iterationsverfahren gewonnen werden. Zum Beweis dieses Satzes leiten wir (0.2) aus (0.1) her und gehen dann

zu Polarkoordinaten um den parabolischen Punkt als Nullpunkt uber. Analog wie W. HAACK und G. HELLWIQ in [4] formen wir die so erhaltene Integralrelation in eine VoLTERRAsche Integralgleichung urn (1). Die Ab-

schatzungen fur die Existenzsiitze von u ( x ( r , p) , y(r , p)) (3) und ar, (4) ziehen wir vor (2). Die Existenz zeigen wir, indem wir die Integralgleichung als Operator auffassen und durch Iteration einen Fixpunkt der so defi- nierten Abbildung nachweisen. Diese Losungen sind eindeutig (5) . Das Er- gebnis mu8 aus den Polarkoordinaten zuriick auf die x , y-Koordinaten uber- tragen werden (6).

Der Satz laat sich erweitern - vgl. [5] - auf Differentialgleichungen, deren Charakteristiken nicht langer ein Polarkoordinatennetz bilden, son- dern nur noch wie ein solches im parabolischen Punkt zusammenlaufen.

au au

‘) Die Bezeichnungen sind den sich ergebenden Forderungen angepaSt. f, g, h sind Ortsfunktionen in Q beziiglich x, y, und zwar gibt h ( x , y) in x, y stetige, g(z , y) in X, y einmal stetig ditrerenzierbare und f (2, y) in z, y zweimal stetig ditrerenzierbare Funktionen an. Die Indizes der Exponenten sind so gewiihlt, daB gilt ai > k .

6) Von Interesse sind nur die Einschrankungen beztiglich I. Erreichen wir nimlich irgendein 7 = r,,, > 0, so k6nnen wir u(x, y) auf einer Charakteristik der nicht in den parabolischen Punkt einlaufenden Schar angeben und haben damit unsere Aufgabe auf den Fall des charakteristischen Vierecks zuriickgespielt.

Tolle, LBsungen linearer partieller Differentialgleichungen 11. Ordnung 103

Zusat,z. Der Existenxsatx bleibt wortlich erhalten, wenn die Charakteristdken statt: d r = 0, d 9 = 0 lauten

d r = r W a f C ( x , y ) - d g , ,

Fur die Koeffixienten des Hauptteils bedeutet dies

dg,=TwofA(X, y) - d r .

- { - rrno-1 f A - y2 + r2 ( I+ rrno+"'S f A f c ) x y + rw*-3fc. z2}, 2 A = * KfAfC r w , + w , - 1

x { - r w ~ - ' f A x2 - r-2 (1 + rrnOfw* f A f c ) x y + f c y2}. Dabei ist wo > 0 , m2 > 2,

f A ( 5 , Y), f c ( x , Y) stetig in 2 , Y? f A T w o , f c rwa xweimal stetig differenxierbar nach x , y.

Der Beweis erfolgt in [5 ] , indem die Existenz von Koordinaten nach- gewiesen wird, in denen die Charakteristiken ein Polarkoordinatennetz bilden. Die Koeffizienten der auf die neuen Koordinaten transformierten Integralgleichung gehorchen den Abschatzungen aus (2). Damit sind (3) bis (5 ) giiltig, und die Existenz einer eindeutigen Losung in den neuen Koordinaten ist gesichert. Es verbleibt nur noch die Obertragung und Diskussion des Ergebnisses in x , y-Koordinaten, die sich nicht wesentlich von der im hior behandelten Spezialfall unterscheidet.

1. Aufstellung der Integralgleichung

Formen wir die Integralgleichung (0.2) nach dem Gaussschen Satz um, so finden wir

JJ{Au , + Bu,), + (I? u, +c u,), + F u,+ Gu, + F u +G} [ d z d y] = 0. QI

Die Voraussetzungen des GAussschen Satzes fordern dabei:

im Innern und auf dem Rande des Gebietes eindeutig und stetig. Das Ge- biet (3 mup einfach geschlossen sein und der Rand N(@) stuckweise stetige Tangentenrichtung besitxen.

Existiert somit in einem Gebiet (3 eine Losung u ( z , y) der Differential- gleichung (0.1) und erfullen die Koeffizienten die Forderungen (l.l), so gilt fur jedes Teilgebiet @' die Integralrelation (0.2). Beziehungsweise

104 Tolle, L8sungen linearer partieller Differentialgleichungen 11. Ordnung

existiert ein u (x , y) in einem Gebiet @, in dem es fur jedes Teilgebiet die Integralrelation (0.2) erfiillt, und genugen u (2, y) und die Koeffizienten den Forderungen (l.l), so ist u (x , y) in dem Gebiet @ Losung von (0.1). Damit ist unter Voraussetzung von (1.1) die Aquivalenz von (0.1) und (0.2) gezeigt.

(0.2) bleibt aber auch sinnvoll, wenn A , B, C , P, Q, R, S stetig und u ( 2 , y) nur einmal stetig differenzierbar ist. Wir wollen die Menge aller stetig differenzierbaren Funktionen u (x, y) , die Losungen von (0.2) sind, als erweiterte Losungsmenge von (0.1) bezeichnen und uns darauf beschranke n, eine Losung aus dieser erweiterten Menge nachzuweisen.

Unsere Voraussetzung, daI3 die Differentialgleichung (0.1) einen iso- lierten parabolischen Punkt im hyperbolischen Gebiet besitzen 5011, legt uns nahe, auf Polarkoordinaten um diesen Purlkt als Nullpunkt uberzugehen. Wir fragen deshalb, welche Invarianten bei einer Koordinatentransformation

- - - - - - -

x = x ( t , g) 9 y = Y (597) auftreten und finden wegen:

1 UE=Uz'xE+Uy-YE, Uz = {UE Y,, - u,, YE},

u,, = U,' x,, + uy ' Y,,, uy = d ( - U E ",,+ u,, YE} (1.2) 1

und 1

a x = XE dE + x,, d g , aE = A . {XEd y - ygdx},

d y = Y$E + Y&?. d g = 2' {-X,,dY + Y,,dX} (1.3) 1

mit:

durch Einsetzen in die Integralrelation und Koeffizientenvergleich, wenn die neue Integralrelation lautet :

A = X E * y,, - x,, * YE

dal3 die charakteristische Gleichung

G(x, y) = A dy2 - 2 B d y a x + Ed22 = 0

bis auf den Faktor der Funktionaldeterminante - Ch (2, y) = A - Ch ( 5 , q )

und die zugehorige Diskriminante

vollstandig invariant bleiben:

m x , y) = K(E, 3).

Tolle, L8sungen linearer partieller Differentialgleichungen 11. Ordnung 105

Dabei ist aus der geometrischen Deutung der Charakteristiken als Kurven- schar von vornherein klar, da13 sich ch(z, y) , K ( 2 , y) und Ch(E, q), K ( E , q) nur urn einen Faktor unterscheiden konnen.

Die einzelnen Koeffizienten von (0.2) transformieren sich dabei so : 1 -

(1.6) A ( E , q ) =;r { A Y; - 2 Bz, y, + q}, ~ ( t , q ) =: {-AYE Y, + B(xE Y,+ Y~z,) - 8 x 6 x9},

c (637) r= i{i 9; - 2 f cxi}, p ( E , 7) = P y, - &",, R ( E , 7) = * ( P Z + av - F ) , Q (6911) = PyE - QzE, ( F 7) = * - G.

- (1.7)

Wir formen unsere integralrelation (1.4) in eine VOLTERRAsChe Integral- gleichung um. Aus der charakteristischen Gleichung :

A d q 2 - 2 B d y d l + C d E 2 T O

erhalten wir als Charakteristiken :

(1.8) a) d t ( B - K ) - A d y = 0 bzw. a) C d l - ( B + K ) d y = 0

/?) d [ ( B + K ) - A d q = 0 bzw. /I) C d [ - ( B - K ) dq = 0')

Das Randintegral zerfallt fur unser betrachtetes Gebiet '$ a % 'B (siehe Abb. 1, S. 101) in vier Linienintegrale:

Nun gilt langs der Charakteristiken:

( A U E + Bu,) d 7 - (BuE + CU,) d k = ( A d 7 - B d 5 ) U E + ( B d q - Cd E ) uT (1.8)

= ?fKuEdl+ ?Kuu,dq = F K d u .

Ordnen wir den Charakteristiken tive Vorzeichen zu, so finden wir:

%, '23 '$ die @-Richtung, also das posi-

91 b 8 9)

- ~ u d K + ~ u d K - ~ u d K + [ u d K .

Die Zuordnung erfolgt durch: Fur A = C = 0 liefert die eine Schreibweise d l = 0, die andere dq = 0, und zwar als a- oder p-Charakteristik je nachdem, ob B = + K oder B = -K gesetzt wird. Dies miissen aber Charakteristiken verschiedener Scharen sein. 8 Math. Nachr. 1967, Bd. 16, H. 2

106 Tolle, Losungen linearer partieller Differentialgleichungen 11. Ordnung

Wir setzen (1.9) in (1.4) ein und erhalten:

(1.10) 2Kul=2Kuj+2Ku(-2Kul + J u d K - u d K 8 %3 Q a a Q/ 'D 61 + J u d K - J u dh' - C j i (P d q - Q d 5 ) + JJ (R + 8) [ d 5 d q l -

m cp

Fallen nun speziell die Charakteristiken in die Koordinaten :

a) d E = 0, p ) d q = 0,

dann konnen wir die Eckpunkte 0, %, 8, 8 (vgl. Abb. 1, S. 101) so be- nennen (D sei der Nullpunkt des Systems, & = 0):

8 : { E l , %I a: (619 r72)

93: (0, q1> %: (0 , qz) (1.11)

und (1.9) ausfiihrlich schreiben:

Geben wir vor:

Langs 5 2 % : u = u l ( x , y ) Langs % %: u = uo(z, y) mit u1 (3) = uo (%) ,

so wissen wir, da13 die Differentialgleichung (0.1) im charakteristischen Viereck D % 8 eine eindeutige Losung hat'), also auch die VoLTERRAsChe Integralgleichung (1.12). Wir fragen nun nach Losungen in dem charakte- ristischen Dreieck D 93 '$, das durch Grenxiibergang aus dem charakte- ristischen Viereck 52 % B '$ entsteht.

7) Vgl. etwa : COURANT-HILBERT, Methoden der mathematischen Physik. Berlin 1937, Bd. 11, S. 316-316.

Tolle, Losungen linearer partieller Differentialgleichungen 11. Ordnung 107

2. Absehatzungen*) Dazu machen wir nahere Voraussetzungen uber die charakteristischo

Gleichung und ihre Diskriminante K . W7ir verlangen, da13 die Charakteristiken in einer Umgebung des para-

bolischen Punktes mit dem Polarkoordinatennetz bezuglich dieses Punktes zusammenfallen. Wir setzen :

(2.1) y = E , r = r l und miissen dann fordern:

a) d y = 0 , p ) d r = O . C h ( r , y ) = - 2 B d r d y

Bei unseren Vereinbarungen wird K = - B.

Wir schreiben deshalb:

(2.2)

Die Integralgleichung (1.10) erfordert die Existenz von d K aul3erhalb des Nullpunktes, wahrend die Grenzwertbildung bis in den Nullpunkt nur die Existenz der Integrale erfordert. Zunachst miissen wir also verlangen:

(2.3) vo > 0 , f k , (2, y) einmal stetig differenzierbar.

Wir schatzen nun ab. Fur K gilt:

K sollte unabhangig vom Einlaufwinkel gleichmafiig gegen Null gehen.

K = rvo (1 f b rko + rkl f k , ( z , y)}, b = const.

(2.4) 0 5 R rvo 5 K mit R = (1). Dabei definieren wir :

(2.5) {1}= 1 + r e o h ( x , y ) , F ~ > O , h ( z , y ) stetig, (1}>0; + 1 fur r + O , C, k, , k, > 0 zu fordern,

(l}* = 1 + Max I Ten h ( x , y)

Die Ableitungen von K liefern:

(2.6) K , = vo rvo-

in B

1

Vgl. die FuBnote iiber Bezeichnungen: FuBnote 4, Einleitung S. 102. 8’

108 Tolle, Losungen linearer partieller Differentialgleichungen 11. Ordnung

s) Man vermutet zuniichst, wenn man im Verlaufe des Existenzsatzes sieht, daB Kr, K,, P , Q nur in diesen charakteristischen Kombinationen auftreten, daB es Sonder- fiille von P , Q , K gibt, bei denen P , Q zwar nicht unseren allgemein geforderten Ab- schiitzungen gentigen, aber doch die Voraussetzungen des Existenzsatzes erfiillen. Bei genauerer Untersuchung zeigt sich aber, daB dies nicht der Fall ist.

Tolle, Losungen hearer partieller DiiTerentialgleichungen 11. Ordnung 109

und finden schliefllich nach (2.6) und (2.11) bzw. (2.2):

(2.14) IKtf(r, pl) - K F ( r , cp2) I 5 r M i n ( " ~ + k ~ - I * p . + " a ) . 1 f = ~ Y * + U I - * * L?, IW, 9 1 ) - K ( r , p2) I 5 rkl+vo Lo

mit Lo, i[, L; feste endliche Zahlen.

3. Der Existenzsatz fur Losungen u (T, 9) Setzen wir in (l.ll), (1.12) entsprechend (2.1)

p = t , r = q

und lassen r2gegenNull gehen, so geht das charakteristische Viereck % B '$ a in dascharakteristische Dreieck D% '@ uber, und (1.12)geht wegenK,(r,, p) + O , P ( r , , p) + 0 , Q (r2, p) + 0 fur r2 -+ 0 mit den Bezeichnungen (2.13) uber in:

61

(3.1) 2 K(r1, Qll) u (r1, P1) = 2 K0.190) u(r1, 0 ) - J - J u ( T , O ) K : ( r , O ) d r

+ 1

p) K y ( r 1 , y ) dy 0

TI

0

'1

971) K: ( f . 9 Qll) d r 0

Wir betrachten diese Integralgleichung in einem Teilgebiet 8' des Ge- bietes 8, in dem die Funktionen in der Integralgleichung definiert sind und unsere Forderungen erfullen. (3' sei durch die auBersten Charakte- ristiken begrenzt, die ganz in 8 verlau- fen, und durch diese abgeschlossen (Abb. 2). Dann sind alle Punkte von 8' als Schnittpunkte von CI-, @-Charakte- ristiken erreichbar, die ganz in 8' ge- legen sind. Die Anfangskurve p = 0 sol1 in @ liegen und liegt daher auch in 8'.

Wir fassen nun die rechte Seite der Gleichung (3.1) als Integraloperator auf und zeigen: Setzen wir eine in 8' stetige Funktion u (x ( r , p) , y ( r , p)) auf der rechten Seite ein, die langs D 93 (p = 0) die Randwerte u ( r , 0) annimmt, so erhalten wir links eine Funktion W ( T , y ) , die in 8' stetig istlO) und langs p = 0 die Randwerte u ( r , 0) annimmt:

!

i i

Abb. 2

- ~ _ _ 10) Wir verlangen Stetigkeit in x, y . Nun gilt: r = I/xa + ya, Q = arc tg y : x. Schriin-

ken wir unser Gebiet durch die Forderung I q I < ?! ein, so sind in r , Q eindeutige und stetige Funktionen, die unabhangig von Q in ( 0 , q ) denselben Wert annehmen, auch eindeutig und stetig in x , y.

2

110 Tolle, Lijsungen linearer partieller Differentialgleichungen 11. Ordnung

so sehen wir: Langs p = 0 nimmt w(rl , pl) die Randwerte u ( r l , 0) an, wie behauptet.

2. Fur r1 + 0, p beliebig, strebt w (rl, vl) -+ u (0 ,O) , den vorgegebenen Wert im Nullpunkt, ist also uberall in @’ stetig und nimmt die Randwerte an. Urn das zu zeigen, schatzen wir unter Beachtung von (2.14), (2.6), (2.13) und (2.11) I w (rl , tpl) - u (0 ,O) I ab. Die Stetigkeit von u(z (r , p), y (r , p)) liefert dabei:

IuP, 0) - -u(r , Vl) I 5 IW, 0) - u ( 0 , O ) I + lu (0 ,O) - u ( r , TI) I < 2 E y

r < B ( E ) .

Ferner schreiben wir :

K (71 2 TI) * {w (r1 9 V l ) - u P l y O ) } = K (r1 Y Yl) * {w 0.1 Y p1) - u (0 ,o,> +K(r1, 9%) {W, 0 ) - 0 ) )

und setzen das Maximum von ( u ( r , p) 1 in (35’: M . Wir finden:

und sehen sofort: Geht auf der rechten Seite rl + 0, E + 0, so geh t die game rechte Seite und damit auch die linke Seite gegen Null:

lim Iw(rl, pl) - u(0 ,O) [ = 0 . r,+O

Daruber hinaus sehen wir bei den mit ’) und ”’ bezeichneten Summanden von (3.3): Gilt fur u ( r , p) eine HOLDER-Bedingung in r :

- MI 1. ( r , TI) - u (0, v2) I I; rrll - fi, I; Mink,, q, T,, ro + 1,8,, + 1,

Tolle, Liisungen linearer partieller Differentialgleichungen 11. Ordnung 11 1

Wir wissen aus unserer Oberlegung, (3.1) als Integraloperator aufzufassen, da13 jede so definierte Funktion ~ " ( r , p) stetig ist und die Randwerte an- nimmt, sobald wir vorschreiben, daB die erste Funktion dieser Folge u0 die Randwerte u ( r , 0) besitzt.

Wir definieren nun eine Grenzfunktion u (7, p) : m

u ( r , v ) = l i m u " ( r , p ) = u ( r , O ) + C ( ~ " - u ~ - ~ ) . u+ m u = 1

(3.5)

Diese unendliche Reihe ist gleichmaflig konvergent, denn:

(3.6)

Wir behaupten nun, Iun - u"-' I gehorcht der Abschatzung:

Aus (3.2) und unseren Abschatzungen ((3.3) ohne die E-Glieder) folgt:

Max Iul - uo I 2 M , - r p ; q, = Mink,, o,, tl, ro+ 1, so+ 1, In B'

zunachst ist nur q, > 0 zu fordern.

und beweisen das durch vollstandige Induktion. Fur n = 1 gilt die Formel (3.6). Fur n finden wir aus (3.4):

11 2 Tolle, LGsungen hearer partieller Differentialgleichungen 11. Ordnung

Ohne Einschrankung der Allgemeinheit konnen wir voraussetzen (r , klein genug) :

und damit wird:

Nun ist:

a' klein genug vorausgesetzt (vgl. FuBnote uber Gebietseinschrankungen, FuBnote 5, S. 102). Die geometrische Reihe ist also Majorante der unend- lichen Reihe der stetigen Funktionen (u" - un-l), d. h. auch die Grenz- funktion u(r, p) ist stetig in a'.

Um den Limes in der Integralrelation (3.2) links und rechts bilden zu konnen, d. h. um zu zeigen, daB die Grenzfunktion Losung von (3.1) ist, miissen auch die Reihen der Integranden gleichmaBig konvergieren. Man hat:

Nun sind K:, K F ) , R stetig in a' und unabhangig von n , also auch die Reihen der Integranden gleichmafligkonvergent und bildenstetige Grenzfunk- tionen. Unsere Grenzfunktion ist wirklich Losung von (3.1) und darstellbar:

(3.8) u(7, p) = u ( r , 0) + h"b.9 91) * T'l'.

4. Der Existenzsatz !ur die Ableitungen ur ( r , ~ ) und u, (r,(p)

Wir bilden die formale Ableitung von (3.1) und zeigen, da13 unter Voraussetzung des 0 2 die SO erhaltenen Integralrelationen stetige Losungen besitzen, also zu einer Losung u ( r , p) von (3.1) stetige Ableitungen u, und u, existieren.

a a rl

Als formale Ableitung - (3.1) finden wir:

(4.1) 2 K(r19 ~ 1 ) ur(r1, ~ 1 ) = 2 K(r190) ur (r l ,O) - 2 Kr(r1 , ~ 1 ) ~ ( ~ 1 9

+ 2 K , (TI, 0) ~ ( ~ 1 9 0) - ~ ( ~ 1 2 0) K: (TI, 0)

+ u(r1, p1) K: f f { R ( r l ,p) + S}dp 0

,1

- J';r ~ ~ ' d p -! u (71, p) K',+,) (rl, dp n

Tolle, Losungen linearer partieller Differentialgleichungen 11. Ordnung 113

a f2 T1

bzw. als formale Ableitung (3.1):

(4.2) 2 K (r1,Q)1) u'P (TI, 91) = - 2 Kp (TlY Q)1) (r1, pll) - Kd;" (r1, v1) b-1, Vl) ,I + J (rY 971) K:, ( r , p1) d r

+ J up, 94 K,' ( r , Yl) d r + J { R (r,pJ 7J ( r , 91)

+ s ( r , v1>> dr 9 -

0 I, rl

0 0

Wir ersetzen beide Integralrelationen durch Iterationsgleichungen und er- halten fur (4.1):

(4.3) 2 K ('1 ~ 1 ) u," ('1 > ~ 1 ) = 2 K 0) ur ( ~ 1 , 0) + 2 Kr ( ~ 1 , 0) u 0) - 2 Kr 0.1 3 91) un - + un-'(~1YV1)Kr+(r1,vl)

+ J ( W r 1 , d u n - l + W v

- Ju:-' (r1, v) Kd;t'(r,, p) dp,

- J un-l(rl , v) KZYr1, v) d v

v,) - u (r1 9 0) K: (7.1 Y 0)

81

0 ' P I

0 8,

0

bzw. eine entsprechende Gleichung fur (4.2). Wegen der formalen Ableitung von (3.8):

a 7 u ( r , ~ ) = ~ q ~ ~ & ( r , v ) -0 fur r + O a a L'qJ

ist u(0, v) = 0 notwendig. Zunachst wird gezeigt: 1st un-l ( r , rp) in ($5' einmal stetig differenzierbar

und nimmt die Randwerte u ( r , 0) an und ist u;-' (0, p) = 0, so sind auch u,"(r,p) und u ; ( r , ~ ) dort stetig und u:(r,O) = u,(r ,O),u;(O,~) = O .

Aus (4.3) folgt fur u,"(r, v): 1. Fur rl + 0 gilt nach (4.3): u:(r, p) ist stetig und nimmt fur tpl -to

wegen :

da K ( r l , 0) + 0 ist, die Randwerte an. 2. Fur v1 beliebig, rl + 0 formen wir (4.3) so urn, da13 die linke Seite

2 K (rl pl) {(u: (rl, rpl) - u,(O, 0)} lautet, schatzen ab und finden wie in tj 3:

Max Ium(rl, pl) - u,(O, 0) I 5 E + const - r p - l Q q1 > 1 zu fordern. In @'

Also ist u:(r, q) stetig bis in den Nullpunkt.

11) Betrachten wir v1 + 0, so finden wir die Randwerte +on up als Losung der Integral- gleichung (4.2), wenn wir, yl als Parameter aufgefafJt, den Parameter y1 = 0 setzen.

114 Tolle, Ltiaungen linearer partieller Differentialgleic hungen 11. Ordnung

Wir losen nun (4.3) durch Iteration: 0 ur ( 7 , 9)) u r ( T , 0)

sei stetig bis in den Nullpunkt, also langs v = 0 U ( T , 0) einmal stetig differenzierbar vorgegeben. Dann wird durch (4.3) eine stetige Funktionen- folge erklart, fur die wir eine Grenzfunktion ur(r , 9)) definieren:

m

u , ( ~ , 9)) = lim u:(r, y ) = ur ( T , 0) + C (u: - u:-'). n+- 1

Setzen wir voraus, es sei r1 klein genug, dal3

(yo + ql)};% 1.: 5 M , T ~ ~ - ' }

mal3ig konvergent. - Die Grenzfunktion u,(T, 9)) erfullt die Integral- gleichung, da die Folgen der Integranden

M m

ebenfalls gleichmal3ig konvergieren und stetige Grenzfunktionen haben : Denn K F ) , R, K!+,) sind unabhangig von TZ und stetig in a'.

Unsere Grenzfunktion ist wirklich stetige Losung von (4.1) und dar- stellbar:

(4.5) % ( T , 9)) = u,@, 0) + T 7 I - l hUr ( T , v).

rm Iu; -u;1 5 Mar!',

Fur u9(r , 91) setzt man u",~, p~) = 0 und erhalt unter den Einschran- kungen fur T,:

die an Stelle von (4.4) treten, genau so eine Grenzfunktion, die stetige Losung der Integralrelation (4.2) ist und sich darstellen lal3t:

(4.7) u9P, 94 = 71' h". ( T , 9)).

Tolle, Losungen h e a r e r partieller Diff erentialgleichungen 11. Ordnung 115

5. Die Eindeutigkeit Jede in 8' stetig differenzierbare Losung u ( r , p) mu13 einer LIPSCHITZ-,

also auch einer HOLDER-Bedingung genugen bezuglich r . Wir zeigen nun, es gibt keine von unserer iterativ gewonnenen Losung u ( r , p) verschiedene Losung u ( r , p) von (3.1), die eine HOLDER-Bedingung bezuglich r erfullt und dieselben Randwerte u (r , 0) annimmt.

Denn es gilt:

l Q 9 Vl) - > O ) I I Q (T1 9 PI) - uo 9 TI) I 5 r X O * M6, xo = Min (q l , Exponent der HOLDER-Bedingung) ,

wie man sofort sieht (aus (3.2), (3.3), u 1 1 ti, a ( r , 0) = u(r , 0) beachtet). Nun ist:

CI - J { Q - d - 1 ) Kd;t' dp

0

und wie man durch Iteration wie in 5 3 feststellt:

d. h.:

fur alle n, woraus folgt:

Die Ableitungen ur(r , p) , upi(r, p) sind als solche eindeutig.

6. Riickiibertragung in die a-y-Koordinaten

Wir haben gezeigt: Gelten fur die Koeffizienten von (0.1) in einem Ge- biet 8 die Voraussetzungen des Satzes aus der Einleitung, so existiert in einem Teilgebiet @', das durch die aufiersten, ganz in @ gelegenen Cha- rakteristiken der Schar p = const und durch r = r m begrenzt wird (wo- bei r m durch endlich viele Bedingungen eingeschrankt wird ((3.7), (4.4), (4.6)), eine in r , p einmal stetig differenzierbare Losung u ( r , rp), und es ist

Wegen r = fx2 + y2, p = arc tg y/x ist dann in dem (Teil-) Gebiet

(Ip 1 < 5) u ( r , p) auch stetig als Funktion von 2, y. Fur die Ableitungen gilt nach(l.3) :

-- U,(O, p) = 0.

1

1

u, = - - {u, sin y - ur r cos rp} ,

uy =7~{-ucosp-uu,rsinrp}.

r (6.1)

116 Tolle, Lijsungen linearer partieller Differentialgleichungen 11. Ordnung

Nun ist ((4.7) und (4.5) in (6.1) eingesetzt):

u, = h, ( r , cp) sin cp rV1-l- u, (r, 0) COB cp - r"1-l h,, (r, v) COB rp,

u,, = - h, ( r , cp) COB cp r71-1 - u,(r , 0) sin cp - r"1-l hUr ( r , cp) sin cp. 8

I

Wir miissen also zusatzlich fordern, damit auch in 2, y die Ableitungen stetig bis in den Nullpunkt Bind :

ur(0,O) = 0, was eine Forderung an unsere Randvorgabe u, (z ( t ) , y ( t ) ) langs

om: z = z ( t ) , y = y ( t ) D: t = O

darstellt: Wir mussen u,(t) so vorgeben, daB ui(t) stetig existiert und ub(0) = 0 ist.

Damit ist aber genau unser Satz von S. 101 gezeigt.

Literatur [l] R. COURANT - D. HILBERT: Methoden der mathematischen Physik, Berlin 1937, Bd. 11. [2] H. J. FISCHER, Der Verlauf von Integralkurven einer Differentialgleichung I. Ordnung.

Deutsche Math. 3, 153-188 (1938). [3] W. HAACK, Vorlesungen iiber Randwertprobleme partieller Differentialgleichungen

11. Ordnung. Freie Universitiit Berlin SS 1954, (Eigene Nachschriften). [4] W. HAACK und G. HELLWIO. Lineare partielle Differentialgleichungen 11. Ordnung von

gemischtem Typus. Arch. d. Math. 6, 60-75 (1954). [5] H. TOLLE, Ober das Verhalten der Integralrelation einer partiellen linearen D&-

rentialgleichung 11. Ordnung in einem isolierten parabolischen Punkt im Innern ekes hyperbolischen Gebietes, wenn die Diskriminante der charakteristischen Gleichung unabhiingig vom Einlaufwinkel gleichmiiI3ig gegen Null geht. Dissertation, Technische Univ. Berlin 1955.

[6] I. S. BEREZIN: Ober das Cauchy-Problem fiir lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit Anfangsdaten auf drr parabolischen Kurve. Math. Sbornik, 84, 301-320 (1949).