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Astron. Nachr., Bd. 298, H. I (1977)

Uber turbulente Bewegungen, die von Temperaturschwankungen hervorgerufen werden - eine kritische Betrachtung

zur BoussmEsQ- Approximation G. RUDIGER, Potsdam

Z e n t r a l i n s t i t u t f u r A s t r o p h y s i k d e r A k a d e m i e d e r W i s s e n s c h a f t e n d e r D D R

(Eingegangen 1976 RIai 14)

Ftir ein unter der Wirkung von Gravitation stehendes, im RIittel gleichniaBig erwarmtes Gas werden die stochastischen Bewegungen bestimmt, die ein vorgegebenes stochastisches Temperaturschwankungsfeld hervorruft. Es zeigt sich, daO die niit Hilfe der BoussIxEsQ-Approsimation erhaltenen horizontalen Bewe- gungskomponeiiten bei ausgedehnten Ternperatursch~~aiikungen die wirklichen Werte unterbieten. Fur geniigend groBe Skalenlangen iibersteigt schon bei vollig isotropen Temperaturschwankungen die horizon- tale Bewegung die vertikale. I n der Thermosphare der Erde fiihren horizontale Temperaturschwankungen von 1000 km Ausdehnung uncl 106 s Lebensdauer auf das beobachtete Verhaltnis von uioriz m 10 * uiertik AbschlieBend werden neben den Zusammenhangen fiir Dichte- und Druckkorrelationen die GroBen des turbulenten Massetransportes bestinimt. Letzterer verschwindet niit der molekularen Viskositat.

This paper deals with fluctuating motions which are caused by a given stochastical temperature field acting i n a gas with gravitation and r= const. It results that the often used BOUSSINESQ approximation much underestimates the horizontal motions in case wide-spread temperature fluctuations occur. For sufficiently large scales the horizontal motion exceeds the vertical ones even in the case of the temperature field fluc- tuating completely isotropically. Scales of 1000 km and I day in the Earth atmosphere lead to the observed value u~oriz/u;ertic 10.

Finally besides the relation between density correlation and pressure correlation we determine the expres- sion for the turbulent mass transport vanishing with the molecular viscosity.

1. Einfiihrung

Die in jungster Zeit vorgeschlagenen Beitrage zur Hydrodynamik in turbulenten Medien ( KRAUSE 1969, RUDIGER 1972) gehen wesentlich von der '4nnahme aus, daB die stochastischenBewegungen nicht von der mittleren Bewegung hervorgerufen werden. Dies fuhrt fur inkompressible hfaterie in ubersichtlicher Weise zur Ableitung turbulenter Viskositatskoeffizienten (KRAUSE und RUDIGER I974a, b) sowie bei Betrachtung zweidimensionaler Turbulenzfelder ohne weitere scliwerwiegende Annahmen zur Deutung der Superrotation in der oberen Erdatmosphare (RUDIGER 1975) und zum Verstandnis der differentiellen Rotation der Sonne (RUDIGER 1976). Nun kann man sich in inkoinpressiblen Medien solclie Turbulenz- felder nur als von kunstlich eingefuhrten ,,Ruhrwerken" erzeugt vorstellen. In Wirklichkeit sind es Druck- und Dichteschwankuiigen, die die stochastischen Bewegungen hervorrufen. Dichteschwankun- gen sind der Masseerhaltung wegen mit Zu- und Abstromungen verbunden ; im Gravitationsfeld geben sie zu Auftriebskraften AnlaB. Druck- und Dichteschwankungen werden ihrerseits von Temperatur- schwankungen verursacht, die entweder von Warmequellen herriihren oder die Folge zufalliger Aus- lenkungen in Temperaturschichtungen sind. Letzteres ist in der Konvektionszone der Sonne der Fall, wogegen es in der Erdatmosphare eine Fulle auI3erer Warmequellen gibt : Wolken, Aufheizung durch verschiedenartiges Reflexionsvermogen der Erdoberflache, Aufheizung durch Absorption hochener- getischer Strahlung (VOLLAND 1973).

Die Ableitung von Bewegungen aus Temperaturschwankungen stellt das Geineinsame der Misch- wegtheorie, der Konvektionstheorie sowie der Meteorologie der Hochatmosphare dar. Wir sehen daher Grund genug, uns mit sozusagen nur der einen Seite der Konvektionstheorie genauer zu befassen. Ins- besondere sollen die Bedingungen gefunden werden, unter denen entweder zweidimensionale Turbulenz oder solche mit uberwiegend horizontalen Bewegungen entstehen. In der oberen Erdatmosphare werden namlich deutlich starkere horizontale Bewegungen registriert (CHIU 1972). In den Untersuchungen beziig- lich der Konvektionszone der Soniie spielen jedoch bisher die Auf- und Abwartsbewegungen eine domi- nierende Rolle. Es hat sich aber die Behandlung zweidimensionaler, horizonaler Turbulenz als wichtige theoretische Moglichkeit erwiesen, sowohl das Rotationsgesetz der Sonne als auch den beobachten

10 G. R ~ ~ D I C E R : Tnrbulente Bewegungen durch Temperaturschwankungen - Zur BoUssrNESQ-Approximation

raschen Zerfall der Sonnenflecke zu deuten (KRAUSE und RUDIGER 1975). Tatsachlich wurden von BOHM (1963) fur die oberste Schicht der Konvektionszone starke horizontale Bewegungen berechnet. uberdies werden wir im folgenden zeigen, daB die generelle Bevorzugung der vertikalen Bewegung in der Konvektionszone zum Teil eine Folge der allgemein verwendeten BoussrNEsQ-Approximation sein durfte.

Die BoussINEsQ-Approximation ist dadurch gekennzeichnet, daI3 nur im Auftriebsterm der NAvrER-STOKES-Gleichung eine Dichteschwankung zugelassen wird, welche uber den thermischen Aus- dehnungskoeffizienten mit der Temperaturschwankung verknupft wird. Die mittlere Dichte ist kon- stant, der mittlere Druck wegen der Gultigkeit der hydrostatischen Gleichgewichtsbedingung V p = eg nicht.

Nach diesen Prinzipien lauten die das Geschwindigkeitsfeld in Abhangigkeit vom Temperatur- schwankungsfeld darstellenden Gleichungen

div u' = o , (2)

(LANDAU-LIFSCHITZ 1966), sofern - wie im folgenden stets vorausgesetzt - das Medium die Eigen- schaften eines idealen Gases besitzt. Wir fuhren normierte ZufallsgroBen ein,

T = F(I + 6 ) = ;(I + Y ) (4) und erhalten fur genugend schwache Bewegungen,

u't U ' L min jZ , T)<I (5 )

( L und t sind charakteristische Werte fur Korrelationslange und -zeit), die Gleichungen

die nach FOURIER-Transformationen gemafi

die Gestalt 6 ( x , t ) = // $(k, w ) ei(kx-of) dlc dw

annehmen. Ihre Losung lautet

woraus als Spektralfunktion fl der normierten Druckschwankung

( R Gaskonstante pro Molmasse)

der Ausdruck

h ( k , w ) = 02 &(k, 0) c4k4

(3 = R?) und als Spektraltensor der Geschwindigkeitskorrelation der Ausdruck

G. RUDXGER : Turbulente Benegungcn durch TeinI ’cr“ tursc l~ \~~nkungcn - Zur ~ o r l s s I ~ E s Q - ~ p p r o ~ i m a t i o n 11

folgcn. 6 stellt die Spektralfunktion der normicrten ’Jemperaturscliwankung dar,? wurde als konstant vorausgesctzt. Aus (11) findet man sogleich, claB die Niihcrung in (3), namlich die Druckschwankungen fortzulassen, offenbar nur fur

K . c2 .@;

b

gercchtfertigt ist (innere Konsistenzbedingung). Die auf dcr rechten Seite dieser Ungleichung befindliche SkalengroBe der isothernien Dichteschichtung betragt fur die 13rdatniosphare etwa IOO km sowie fur die solare Konvektionszone etwa 3000 km. Somit bcstclit cine einschneidende Bedingung fur die Walil der zulassigen SkaIengroBe der Bewegung. Es ist (13) sowohl fu r I,, = o (zweidimcnsionale Turbulenz) als auch fur L x < c2/g stets erfullt. Irn Falle schr gro0er - abcr nicht unendlicher - vertikaler Wellen- lange L, mull diese das Verhaltnis z2g/c2 ubersteigen (2 horizontale Wellenlange).

Die GI. (12) sol1 - unter Benutzung riur der einfachsten Strukturen fur 0 - AufschluD uber das Verhaltnis der vertikalen zu den horizontalen Geschwindigkeitskomponenten geben. Dazu bilden wir die GriiBe A 1 ~ & , ~ / 2 - tt&ik, also

- . .- -

folgt. Ein zweidimensionales Temperaturschwankungsfeld, dessen I<orrelationsfunktion nicht von der Koordinate parallel zu y abhangt. besitzt nur die Struktur

es erzeugt nach (I j) offensichtlich ausschlieBlich negative ‘4. 1-etzteres gilt ebenso fur ein dreidimensio- nales homogenes und isotropes Temperaturschwankungsfeld,

&(k, 0) = &(k, m) , (17)

wie man nach Ausfiihrung der Winkelintegration in (15) erfihrt . Die unter Verwendung der BOUSSINESQ- Approximation berechneten.Geschwindigkeitsfelder erwiesen sich also fur im Mittel isotherme Gase fur die bciden einfachsten Teniperaturschwankungsfelder ‘als in der 1 iauptsache vcrtikal gerichtet. Es wird wichtigsein zu priifen, ob diese Eigenschaft auch nach Gberwindung der Approximation bestehen bleibt.

3. Das ungekurzte Gleichungssystem

Im idealen Gas gilt fur die Druckschwankungen die Reziehung

Damit kann man in der ~ \ ‘ . 4 V I E R - S T O K E S - G k i C h U n g fur schwache Bewegungen,

die Druckschwankungen eliminieren, wogegen die Dichteschwankungen ubcr die Kontinuitatsgleichung

bestimmt wertlen. Die auftretenden Diclitegradienten sind niit der hydrostatischen Gleichgewichts- bedingung

KT grad 6 = @g (21)

zu behandeln. Wieder haben wir von der Annahme konstanter mittlerer Temperatur im Gas Gebrauch gemacht . Die Eigenlosung der freien Konvektion beim Erreichen der kritischen RAYLEICH-Zahl bleibt daher ausgeschlossen - der einzige turbulenzerzeugende Mechanismus bestcht im Auftreten fremderreg- ter Temperaturschwankungen. Wir wollen noch voraussetzen, daB die mittleren GroDen und T nicht

12 G. RUDIGER : Turbulente Bewegungen durch Temperaturschwankungen - Zur BoussINEsQ-Approximation

von der Zeit abhangen, und erhalten nach (IS) bis (21) die Gleichung

auf at

a w aul __- at2 at v d - - c2 grad div u' - grad div - - grad (u'g) = -

Eigenartigerweise steht an keiner Stelle dieses Ausdruckes die (ortsabhangige) Dichte, wodurch wir, da das Temperaturschwankungsfeld 6 als homogen vorausgesetzt werden soll, wieder nur homogene GroBen zu behandeln haben. Gleichung (22) nimmt nach der somit moglichen FOURIER-Transformation die Gestalt

,. - (w2 + ivWk2) 6,j + c2 - i~ p + - kiki - ik,g, ~i = -(c2wki - iwg;) 6 (23) { ( ( 3) 1-

an. Die Losung einer solchen Gleichung, allgemein

lautet {Akad, l + Bk,ki + Ckigi} Gj = Ri , (24)

( 2 5 ) 6 I Ak2&j + B(k2Skj - k j k k ) c(gkdkj - gjkk) R j , 21k = 2 A k ( A + B ) k2 + C g k

sofern die homogene Form keine Losung besitzt - also

A k 2 + 0 , ( A + B ) k2 + C g k =# o (26)

ist. Im Unterschied zur Behandlung inkompressibler Materie treten aber freie Losungen auf, deren Moden im Spektrum der rechten Seite von (24) nicht vorhanden sein durfen. Mit

A - (w2 + i v d 2 ) / k 2 , B C' - iw p, + - , C = - i (27) ( J ) folgt, daB die Eigenlosung aus anisotropen ,,Schallwellen" rnit

0 2 = C2k' und g k = - w k a ( p + + v ) (28)

besteht. Deren Moden durfen vom Temperaturschwankungsspektrum 6 nicht angeregt werden. Aus diesem Grunde werden wir stets nur Moden rnit ck > w (Unterschallnaherung) betrachten. Hatten wir statt der Temperaturschwankungen die Entropieschwankungen als das Gegebene angesehen, waren in (28) wirkliche Schallwellen rnit c: = cp/c , . c2 aufgetreten.

Einsetzen von (27) in (25) ergibt h

(30)

c 2 ( g k - W V k 2 ) - i

c2k2 - - i ( g k + wk2(p + $4) x =

Der jeweils erste Term in Zahler und Nenner dieses Ausdruckes entspricht nach (12) dem rnit der BOUS- SINESQ-Approximation Erhaltenen.

Der Spektraltensor der Bewegungen lautet nunmehr

DefinitionsgemaB stellt 6 ( k , w ) eine semidefinite, nicht negative Funktion dar. Es ist rnit (31) leicht nachzuweisen, daB damit auch Q i j sowie kiki^Q,i solche Funktionen sind.

Es soll jetzt die GroL3e x etwas genauer betrachtet werden. In ihr tritt die Viskositat in Verbin- dung rnit zeitlichen Anderungen (w =/= 0) - verglichen mit den Resultaten der BoussrNEsQ-Approxima- tion - zusatzlich auf. Sie geht fur

wvk} 0 C < g < c2k (32)

bei annahernd isotropen Temperaturschwankungen in den von der BoussINEsQ-Approximation her bekannten Ausdruck xB E g k / k 2 uber. pe r Ausdruck (32) stellt somit eine hinreichende Bedingung fur

G. RUDICER: Turbulente Bewegungen durch Temperaturschwankungen - Zur BoussINEsQ-Approximation 13

die Gultigkeit dieser Approximation dar. Er enthalt auch die Ungleichung

was bei den meist anzutreffenden STRonHALzahlen u't/L = I zur Relation u' < c (Unterschallnaherung) fuhrt.

Da rnit der BoussINEsQ-Approximation fur einfache Temperaturschwankungsfelder nur vorwie- gend vertikal gerichtete Geschwindigkeitsfelder entstehen, hat die angestrebte Suche nach vorwiegend horizontal gerichteten Geschwindigkeitsfeldern nur einen Sinn fur den Fall der Verletzung von (32). Da der erste Teil der Ungleichungen (32) aber stets erfullt sein durfte (die charakteristische Zeit t N c/g betragt fur Sonne und Erdatmosphare 3-5 min), haben wir uns daher fur besonders ausgedehnte Tur- bulenzelemente zu interessieren. Denn nach (32) besitzt die BoussINEsQ-Approximation fur Skalen- groiBen oberhalb IOO km (Erdatmosphare) bzw. 3000 km (Sonne) keine Gultigkeit mehr.

Eine gesonderte Behandlung erfordert der Fall der extremen Anisotropie bei zweidimensionaler Turbulenz (L, = co). Die Gleichung (31) fuhrt dabei nur fur

(h horizontale Wellenzahl) auf den entsprechenden BovssrNEsQ-Ausdruck xB = 0. Wieder aber ist diese Bedingung mit den Ungieichungen (32) (nur statt K ) zu erfullen. Deninach konnte auch fur zwei- dimensionale Temperaturschwankungsfelder, fur die mit der nach (13) in sich konsistenten BOUSSI- NEsQ-Approximation nur vertikale Bewegungen entstehen, bei SkalengroBen von

ein qualitativ anderes Resultat moglich sein. Ein anderer Punkt der Betrachtung von (31) ist dieser: Als Folge der Gleichung fur die Warme-

energie existiert eine Abhangigkeit zwischen 6 und Gii sowie der Spektralfunktion fur die stochasti- schen Warmequellen. Streicht man probehalber die letzteren - deren Wirkung ansonsten hier unter- sucht werden sol1 - erhalt man unter Vernachlassigung der entropievermehrenden Prozesse und fur homogene Verhaltnisse den Zusammenhang

(ESCHRICH 1975). Einsetzen dieses Ausdruckes in die auf die gleiche Weise verkurzte Gleichung (31) liefert als Integrabilitatsbedingung

In diesem Falle besteht die Losung tatsachlich aus Schallwellen, die sich mit der Schallgeschwindigkeit c, = (cp/cu R?;)rlz ausbreiten.

4. Zweidimensionale Temperaturschwankungen

GemaiB unserem Ergebnis, G1. (31), taucht die &Funktion der Spektralfunktion zweidimensionaler Temperaturschwankungen, (IO), auch im Spektraltensor der Bewegung auf. Somit ruft ein von der Koordinate parallel zu g unabhangiges Teniperaturfeld auch ein von dieser Koordinate unabhangiges Bewegungsfeld hervor. Wegen der in Richtung von g immer vorhandenen auftriebsbedingten Bewegun- gen aber kann das Turbulenzfeld trotzdem nicht als zweidimensional im strengen Sinne bezeichnet werden. Es wird sogar die Ausnahme sein, wenn fur gewisse Moden die horizontalen Stroniungen die Auf- und Abwartsbewegungen uberwiegen. Solches ist - wie wir gesehen haben - im Rahmen der BOUssINEsQ-Approximation sogar ganz ausgeschlossen.

Freilich beobachtet man in der Erdatmosphare durchaus starkere horizontale als vertikale Be- wegungen, was mit dem Vorhandensein eines , ,schnellen hydrostatischen Gleichgewichtes" gp' = e'g gedeutet wird (FORTAK 1967; RISHBETH 1972). Der charakteristische Skalenwert der horizontalen Aus- dehnung betragt in der Thermosphare etwa 1000 km und der der Lebensdauer etwa I Tag. Mit (16) erhalt man aus (31) das Resultat

14 G. H U D X C E R : Turbulente Bcwegungen durch Tcmperaturschwankungen - Zur BoL.sslh’Esg-Approximation

wobei

ist. Die in (14) eingefulirte GroBe A , die das Verhaltnis der horizontalen und vertikalcn Hewegungen widerspiegelt, nimmt nunmehr das Ausselien

+ p)2 - V 2 C 4 i 2 ) - 6(&, w ) clk do) (40)

an. Tatsiichlich sind im Gegensatz zu (15) hloden mit positivem A, also uberwiegend horizontaler Bewe- gung, denkbar. Bei genugend kleincr Viskositat ist dies etwa mit

g $ i c 2 oder w2>ggllh (41) (kc > w ) mijglicli - gerade bei relativ starker Gravitation kanri die Iiorizontale Geschwindigkeit iiber die vertikale hinauswaclisen. Da fiir den hier betraclitcten Fall zweidimensionaler Temperaturschwan- kungen das Streichen der I>ruckscliwankungen wie in ( 3 ) crlaubt ist, kann das im Vcrgleicli zur Bous- SlNEsQ-Approximation neue Ergebnis nur aus der Verwendung der vollcn I<ontinuitatsglcichung anstatt (2) cntstehen.

Nach Einsetzen der fur die Thermosphare geltenden Werte folgt aus der ersten Bedingung (35) l e Beziehung

L $ 100 k m , so dal) die Erscheinung groBskaliger, vorwiegend horizontal gerichtcter Bewegungen in der oberen Erd- atmosphare verstandlich wird. Es wird auch verstandlich, daB grol3skalige Konvcktion zur Deutung der differentiellen Rotation der Sonne herangezogen werden muB, denn nur diese kann - wie wir sahen - vorwiegend horizontal gerichtet sein, somit den nach K I P P E N H A H N (1963) und RUU~CER (1976) beniitigten horizontalen Austausch bewirkend.

Fur zweidimensionale Temperaturschwankungen kann uiiser Ergebnis allerdings keine Bezie- hung zur crwahnten Bedingung des schnellen hydrostatischen (;leichgewichtes besitzen, denn der Druckgradient weist uberhaupt gar keine Koniponente in Richtung von g auf. AbschlieBend sollcn noch die Temperaturschwankungen abgcschatzt werden, die die beobachteten lliermospharenwinde treiben kiinnten. 1% ist

Man benotigt deninach nur sehr gcringe groBskalige Ternperaturscliwankungen, um die beobachtetc GroBenordnung von t (= I km s-l zu erzielen. hlit der ebenfaLls aus (38) folgcnden Abscliatzung Iiir die vertikalen Geschwindigkeiten

- 0 2 8 2 2c’‘ vertih ’-- p, v klein

w2 (44)

entsteht unter Benutzung von (43) die Beziehung 2thorizlUvertik z 10

Dieses Ergebnis stcht in sehr guter Obereinstimmung init den MeUergebnissen von Uvdrtlk 5 IOO ni s-l (CHIU 1972).

5. Dreidimensionale homogene und isotrope Temperaturschwankungen

Es bleibt zu fragen, ob nicht lediglich die extreme Auszeichnung der horizontalen Ebene, wie sie fur das zweidimensionale Temperaturschwankungsfeld charakteristisch ist, das uberwiegen dcr hori- zontalen gegenuber der vertikalen Bewegung hervorruft. In diesern Falle ware bislier immerhin fest- gestellt worden, daB die BovssI~EsQ-Approximation wenigstens fur diese Situation prinzipiell abwci- chende Resultate liefert. Wir werden aber im folgenden zeigen, daO auch fur dreidimensionale homo- gene und isotropc Tcmperaturschwankungen - die von sicli aus uberhaupt gar keine Richtung defi- niercn - Moden mit vorwiegend horizontaler Bewegungsrichtung mijglich sind. Fur die GrijBe /I ergibt

G. RUDIGER: Turbulente Bewegungen durch Temperaturschwankungen - Zur BoussrNEsQ-Approximation 15

sich mit (31) und der nunmehr zu verwendenden Spektralfunktion (17) der Ausdruck

Setzt man probelialber x = X(k, 0) - Isotropie des Druckes p' erzwingend -, folgt

Wegen der Positivitat des t$ erhalt man ein negatives A , also vorwiegend vertikal gerichtete Turbulenz. Dieses Ergebnis war zu erwarten, denn den als isotrop angenommenen Druckschwankungen uberlagert sich die anisotrope Wirkung des Auftriebes. Fur g = o verschwindet A naturlich, denn ohne Vorzugs- riclitung entsteht eben nur isotrope Turbulenz.

Den wirklich auftretenden Wert von d erhalt man nach Einsetzen von (30) in die obige Formel

= I ]J{ 3c4(9kI4 + ($ + zg2c2w2 + 304c4 - 5c4g2k2) (gk)2 -+

2g2

2g4c4k4 + zg4w4 - k2g6 - 2g4c2k202 + k2g2w4c4

(c2k2 - ( u ~ ) ~ + (gk )2

+ ___ (c2k2 - w2)2 + (gk)2 } w2 !vak4 dk d o , (47)

sofern - der Einfachheit halber - der EinfluR der Reibung gestrichen wird. Es ist nun die Winkel- integration durchzufuhren, deren Ergebnis wir lediglich fur den Fall

c k > o l , g > c 2 k

angeben werden. hIit der zweiten Ungleichung wird sozusagen ein genugendes RIaR von Anisotropie in die Formel fur x, also in den Druckgradienten, getragen. Das Resultat lautet

arctan (glkc?) - I ,. g2JJ UJ2 + y2k4 @ ( k , (fJ) dli dw .

Das Integral stellt wegen der Gultigkeit der obigen Ungleichungen eine positive GroBe dar. Wieder bewegt sich das Medium fur SkalengroBen uber c2/g in horizontaler Richtung mit hoherer Geschwindig- keit als in vertikaler. Offenbar wirken die anisotropen Druckschwankungen den Auftriebskraften ent- gegen - eine Vermutung, die im folgenden Abschnitt bestatigt werden wird.

Wir haben die Viskositat im Nenner des Integranden von (45) beibehalten, da sie dort eine wich- tige Rolle im Sinne der Integrabilitat spielt.

Ein homogenes und isotropes Temperaturschwankungsfeld zieht bei genugend starker Gravitation und geniigend schwacher Reibung in der horizontalen Ebene schnellere Bewegungen nach sich als sie in der vertikalen Richtung entstehen. Die in der Astrophysik iibliche BoussINEsQ-Approximation lie- ferte kein solches Resultat.

6. Die Dichte- und Druckkorrelationen

Nachdeni in den vorhergehenden Abschiiitten der .Zusammenliang der Geschwindigkeitskorrela- tion mit der Temperaturkorrelation diskutiert wurde, sol1 abschlieBend noch ein Blick auf die Korre- lationsfunktion von Dichte und Druck geworfen werden.

Zunachst folgt aus der Kontinuitatsgleicliung unter Benutzung der Beziehung fur das hydrosta- tische Gleichgewicht ohne weitere Rechnungen der Ausdruck

als Spektralfunktion der normierten Dichtekorrelation R(6, t) = Y ( Z , t ) Y ( Z + 6, t + t). Das Auftreten des Faktors C O - ~ weist darauf hin, daB die restlichen Faktoren - also etwa kiki^Qii im gravitationsfreien Falle - mit w2 fur w --+ o gegen Null gehen. Setzt man den Spektraltensor (31) in (49) ein, entsteht unter Vernachlassigung der Viskositatsterme der Ausdruck

A h

R(lt , U J ) = @(k , w ) . (C2k2 - w2)' + (gk)' A h

R(lt , U J ) = @(k , w ) . (C2k2 - w2)' + (gk)'

Wie es sein muB, erweist sich diese Verkniipiung der beiden Spektralfunktionen als positiv definit.

16 C . RUDICER: Turbplente Bcwcgungen durch Tcmpcraturschwankungen - Zur BousslNESQ-Approximation

Nach Kenntnis der Dichtekorrelation ist cs moglich, aus der Gasgleichung (18) die Druckkorre- lation zu bestimmen. Wir geben das Ergebnis ohne Rechnungen fur die beiden wichtigsten Spezialfalle an, namlich fur verschwindende Gravitation

02(w2 -t (4 v + p)2 k.') - - O(k , o) j i ( k , (0) r= ___ .-

(c2k2 - w ~ ) ~ -i- ( f Y + ,u)~ (u2k4

und fur verschwindende Viskositat

h h

n(k,o) = - - O(k , 0) . (c2k2 - 02)2 - (9k)2

Der crste Faktor der rechten Seite der letztgenannten Gleichung stcllt fur g < c2k > cw eine kleine GroBe dar, so da13 nur in dicscm Fallc die Druckschwankungen gcgenuber den Temperaturscliwankungen vernachlassigbar - wie cs in dcr BoussINEsQ-Approximation durchgefuhrt wird - sind. Die Bezichung zwischen Dichte- und Druckschwankung wird durch

gegeben. Wir wollen noch die GroBe

bestimmen, die ein Ma13 dafiir angibt, inwieweit sich grad p' = e'g, also schnelles hydrostatisclies Gleich- gewicht, einstellt. Insbesondere betrachten wir fur dreidimensionale homogene und isotrope Tempera- turschwankuneen das Verhaltnis

Die angegebene Abschatzung wurde unter Benutzung der Lnglcichung

g > c2k

erhalten. Es ergibt sich also cin kleiner Wert fur das gcsuchte Verhaltnis. Tatsachlich heben sich fur geniigend groBe Skalenlangcn die Wirkungen von Druckgradient und Auftrieb in der vertikalen Rich- tung annahcrnd auf.

7. Der turbulente Massetransport

Fur ein isotherm gcschiclitetes, also gegen Konvektion stabiles Medium ist - wenigstens fur adia- batischc Veranderungen - kein von Sul l verschiedener turbulentcr hlasscstrorn zu crwarten. Nur die infolgc der Viskositat auftretendc Dampfung der Bcwcgung konntc? einen cndlichcn vcrtikalen turbulenten hlassestrorn hervorrufen. Dicse Frage zu prufen, bcstimrnen wir zunlclist die dem vcrtika- len Massestrom proportionale GroDe 111 = gw/c mit den Forineln der L3oussrsEsg-Approsimation. Es ergibt sich

Dies stellt ganz offensichtlich einen positiven Ausdruck dar. Im Grenzfall verschwindender Viskositgt erhalt man

A

was naturlich fur @(k, 0) = o verscliwindet. Betrachtet inan also nur pcriodische Vorgangc d ine Ein- schluB der Reibung - wobei bekanntlich jener Teil der Spektralfunktion verscliwindet - wird kein turbulenter Massetransport zu verzeichnen sein. Dies haben h bcreits '~'JOTTA und TJOTTA (1974) aul andere Weisc ausgereclinet. ,\ndererscits treten fur endliclie O(k , 0) auch irn viskositiitsfreien Medium turbulente vertikale Massestr6me auf.

G. RUDIGER: Turbulente Bewegungen durch Temperaturschwankungen - Zur BoussINEsQ-Approximation 17

Ohne Benutzung der BOussINEsQ-Approximation stellt der Ausdruck fur den vertikalen Masse- strom eine recht verwickelte Bildung dar. Sie verschwindet aber in gleicher Weise wie (56) mit den Vis- kositatskoeffizienten. Ihr Vorzeichen zu bestimmen erweist sich bereits als recht umstandlich. Wir geben hier nur das Ergebnis fur zweidimensionale Temperaturschwankungen, namlich

an. Ersichtlich ist kein definites Vorzeicheii zu erlialten - der Massestrom ist positiv fur kc2> g und negativ fur K"c2 < g.

Literatur

BOHM, K.-H.: 1963. Astrophps. J. 137, 881. CRIU, Y . T.: 1972, in: Space Research XII, Berlin, 1025. ESCHRICH, K.-0. : 1975, in Vorbereitung. FORTAK, H. : 1967, Vorlesungen liber theoretische RIeteorologie, Berlin. KIPPENHAHN, R. : 1963, Astrophys. J. 137, 664. KRAUSE, F.: 1969, hlonatsber. DAW 11, 187. KRAUSE, F. und RUDIGER, G. : 1974a, Astron. Nachr. 295, 93. KRAUSE, F. und RUDIGER, G. : 1974b. Astron. Nachr. 295, 185. KRAUSE, F. und RUDIGER, G.: IQ7j, Solar Physics 42, 107. LANDAU, L. D. und LIFSCHITZ, E. M. : 1966, Lehrbuch der Theoret. Physik, Bd. 6 , Berlin. RISHBETH, H.: 1972. J. Atmospheric Terr. Physics 34, I . RUDIGER, G. : 1972, Dissertation DAW. Potsdam. RUDIGER, G.: 1976, Solar Phys., im Druck. RUDIGER, G. : 1975, Gerlands Beitr. Geophysik 84, 92. TJOTTA, J . N. and TJOTTA, S.: 1974. Astron. .4strophys. 30, 249. VOLLAND, H. : 1973, Kleinheubacher Berichte 16, 113.

Adresse des Autors:

GUNTHER RUDIGER Zentralinstitut fur Astrophysik der AdW der DDR Astrophysikalisches Observatorium Potsdam Telegrafenberg DDR-15 Potsdam Deutsche Demokratische Republik

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