T 224 Numerische Analysis

ZAMM 64, T 224 -T 225 (1974)

K. KILBERTH

uber Typen von kubischen Splinefunktionen T

1.

Sei [a, b] ein reelles Intervall, d : a = x1 < - * < xn = b eine Zerlegung von [a, b]. Ein kubischer Spline SA(r) ist eine auf [a, b] zweimal stetig differenzierbare Funktion, die auf jedem Teilintervall [ ~ g - ~ , xi] , i = 2(l)n, ein Polynoni vom Grade 3 ist, und erfordert somit die Berechnung von 4 (n - 1) Koeffizienten. 3 (n - 2) Koeffizienten ergeben sich aus den Stetigkeitsforderungen an den inneren Punkten des Intervalls. Mit Stutz- werten f i definiert man weitere n - 2 Bedingungen

1st f E C3[a, b] mit fi = f (x i ) , so erhalt man mit den noch fehlenden4Bedingungen folgendeTypen des inter- polierenden Splines && ; f ) :

&A(%) = f i i = 2(1) n .

Splines mit pi, qc > 0 sind also interpolierende Splines im weiteren Sinne, da nur an den inneren Punkten des Intervalles Funktionswerte vorgeschrieben sind.

a,: = S i ( x j ; I), j = l(1) n, fur p i = 3, qt = 3 aus folgendem Gleichungssystem: Bei iiquidistanter Zerlegung A mit Schrittweite h = (b - a)/(. - 1) berechnet inan die Momente

1 -1 1

1 1 0

4 1 . . . . . . . . .

1

0

4 1 1

1 h2 mit f i? l = - ( f j - I - 2f j + f j + l ) .

Das Gleichungssystein laBt sich auf ein System niit streng diagonaldominanter Koeffizienten-Matrix reduzieren und ist soinit eindeutig losbar.

11. Fur die Konvergenzordnung bei der Approxiination von hinreichend glatten Funktionen mit kubischen Splines gilt folgender Satz :

Sa tz : Sei f E C3 [a, b ] , 5, = a + ( j - 1) h, j = l(1) n, h = ( b - a)/(n - l), S&; f ) der Eubische SpEine mit den Randbedingungen (l.l), der f iiber [a, b] zur &quidistanten Zerlegung mit Schrittweite h interpoliert, dann gilt gleichma/?ig auf [a, b] :

lfi’f)(x; f ) - f@)(x)I = o(h3-‘) r = 0(1)3.

Beweis: Furpi = 0, qi E {1, 2, 3} vgl. [I]; p i = 2, qi = 3, r = 3:

j = 2(1) n , 1 Definiert man N j : = ~S’i’(zj;f) = (Nf - Mi-1) so erhiilt man aus (1.2) fur (Nj);:; das (n - 3) x (n - 3)-Gleichungssystern: C . N = 6 c Abschiitzung :

mit c = (cj);:;, undesgiltdie

n - 2

7=3 IIN - ell 5 2 . 1 1 C-l I] . max 1 1 cj+i - cjII

c3 = c,,-l = f;’ -

c j = - (fj-1 - fj?z)

mit

(fE2 - j;;) , 1 1

1 I1

(f‘y - f;) - 1;” ,

j = 4(1) n - 2 . h

Numerical Analysis T 228

Weiter gilt: KB p([’’’; h), und da auBerdem Ic j - f;Ill S K3 p(f”’; h), erhiilt man [Sp(s; f) - f(3)(z) I I K p(f”’;.h). Da p ( Y ; h) = o(1) fur f E C3 [a, b] und h - 0, folgt die Behauptung fur r = 3. Den Rest der Behauptung fur r < 3 erhalt man durch Integration und Abschiitzen der Integrationskonstanten (vgl. [3]). Der Beweis fur p $ = 1 ,q t E {2, 3} verliiuft analog. Die ersten beiden Gleichungen in (1.2) lauten dann:

- c ~ I S K,p(f”’; h), wobei p der Stetigkeitsmodul fur f”’ ist. Somit ist IN, - c,]

= f;‘

3 Ml + 5 M, + M ‘ - h ( 7 j3 - ” -fi)

(fd - f;)

-

- - - h f;‘

p 1 = 1, q1 = 2:

Ml - M2 3 Ml + 5 M , + M3 = h

p 1 = 1, q1 = 3:

Die beiden letzten Gleichungen lauten entsprechend.

111. Einen nberblick uber die Gute der Approximation liefert folgende Tabelle der relativen Fehler bei der Inter- polation der Funktion f(x) = x6 + xa + 1 uber dem Intervall [l, 21. In jedem Teilintervall wurde der Spline mit der Funktion an 7 weiteren Teilpunkten verglichen.

p r = O p i = o p c = o p r = 1 p r = 1 p t = 2 q ( = 1 q c = 2 q r = 3 q 1 = 2 q c = 3 q i = 3

5 9

17 33 68

6.5-5 1.6-4 5 . 3 4 4-6-4 1.7-3 5.9-3 4.1-8 1.0-5 3.4-5 2.9-5 1.1-4 3 - 9 4 2.6-, 6.3-, 2 .14 1.8-8 6 .84 2.4-5 1.6-8 4.0-8 1.3-7 1.2-7 4.3-7 1.5-6 1.0-, 2.8+ 8.4-, 7.3-, 2.7-, 9.6-,

Dabei ist a(u, v ) = (uzz + 4 u,, uyy + uyu) dx dy die zugeordnete DIRIcHLETfOrm. R

Bei verschiedenen Lagerungsarten der Platte verwendet man entsprechende Typen von Cardinalsplines mit speziellen Werten fiir p r und qI in (1.1)

1) fest eingespannt: pi = 0 , qr = 1 2) frei aufliegend: pi = 0 , q1 = 2 3) freier Rand: p , = 2 , q t = 3 .

Die naturlichen Randbedingungen beim freien Rand 1a.ssen sich mit diesen Cardinalsplines nur naherungs- weise erfullen. Besser geeignet sind hierfiir die bikubischen Splines (vgl. [2]) mit ensprechenden Randbe- dingungen.

Literatur 1 AHLBERO, J. H., NILSON, E. N. und W ~ ~ S H , J. L., The Theory of Splines and Their Applications, Academic Press, New

2 BOOR, C. DE, Bicubic Spline Interpolation. J. Math. and Phys. 41, 212-218 (1962). 3 KILBERTH, K., Eine Randbedingung fur kubische Splinefunktionen. Erscheint in Computing.

Anschrift: K. -BERTH, Mathematisches Institut der Universitit, D-4000, Dusseldorf, MoorenstraSe 5, IA, BRD

York-London 1967.

ZAMM 54, T 225 -T 226 (1974)

N. KRIER

Komplexe Kreisarithmetik

Eine komplexe Kreisarithmetik wurde von G~RGANTINI und HENRICI in [ 11 angegeben. Im folgenden sol1 eine optimal-abschiitzende Kreisarithmetik, eine weitere Fehlerschrankenarithmetik (siehe etwa NICKEL [2], [3]) uber den komplexen Zahlen, erkliirt werden. Zu diesem Zweck geben wir die nachstehenden Definitionen.

Definition 1: Die abgeschlossene Menge komplexer Zahlen K : = ( 2 E q 1.2 - zm( 5 r }

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