Übungsaufgaben Lösen von Gleichungen mit Substitution 68 Nr Aufgabe Lösung 1 Lösen Sie die Gleichung - 2·x 4 + 34·x² – 32 = 0 - 2·x 4 + 34·x² – 32 = 0 ⇔ - 2·z² + 34·z – 32 = 0, Substitution mit x² = z ⇔ z² – 17·z + 16 = 0 ⇔ z² – 17·z + 72,25 = 56,25 ⇔ ( z – 8,5 )² = 56,25 ⇔ z – 8,5 = 7,5 ∨ z – 8,5 = -7,5 ⇔ z = 16 ∨ z = 1 ⇔ x² = 16 ∨ x² = 1 (Rücksubstitution) ⇔ x = 4 ∨ x = -4 ∨ x = 1 ∨ x = -1 2 Lösen Sie die Gleichung - 3·x 4 – 60·x² + 1728 = 0 - 3·x 4 – 60·x² + 1728 = 0 ⇔ - 3·z² – 60·z + 1728 = 0, Substitution mit x² = z ⇔ z² + 20·z - 576 = 0 ⇔ z² + 20·z + 100 = 676 ⇔ ( z + 10 )² = 676 ⇔ z + 10 = 26 ∨ z + 10 = -26 ⇔ z = 16 ∨ z = -36 ⇔ x² = 16 ∨ x² = -36 (unlösbar) (Rücksubstitution) ⇔ x = 4 ∨ x = -4 3 Lösen Sie die Gleichung - 6·x 4 – 30·x² - 24 = 0 - 6·x 4 – 30·x² - 24 = 0 ⇔ - 6·z² – 30·z – 24 = 0, Substitution mit x² = z ⇔ z² + 5·z + 4 = 0 ⇔ z² + 5·z + 6,25 = 2,25 ⇔ ( z + 2,5 )² = 2,25 ⇔ z + 2,5 = 1,5 ∨ z + 2,5 = -1,5 ⇔ z = -1 ∨ z = -4 ⇔ x² = -1 ∨ x² = -4 (Rücksubstitution) unlösbar 4 Lösen Sie die Gleichung - 2·x 4 + 80·x² – 288 = 0 - 2·x 4 + 80·x² – 288 = 0 ⇔ - 2·z² + 80·z – 288 = 0, Substitution mit x² = z ⇔ z² – 40·z + 144 = 0 ⇔ z² – 40·z + 400 = 256 ⇔ ( z – 20 )² = 256 ⇔ z – 20 = 16 ∨ z - 20 = -16 ⇔ z = 36 ∨ z = 4 ⇔ x² = 36 ∨ x² = 4 (Rücksubstitution) ⇔ x = 6 ∨ x = -6 ∨ x = 2 ∨ x = -2 5 Lösen Sie die Gleichung 5·x 4 + 130·x² + 125 = 0 5·x 4 + 130·x² + 125 = 0 ⇔ 5·z² + 130·z + 125 = 0, Substitution mit x² = z ⇔ z² + 26·z + 25 = 0 ⇔ z² + 26·z + 169 = 144 ⇔ ( z + 13 )² = 144 ⇔ z + 13 = 12 ∨ z + 13 = -12 ⇔ z = -1 ∨ z = -25 ⇔ x² = -1 ∨ x² = -25 (Rücksubstitution) F. Mergenthal – www.mathebaustelle.de.de ab_substitution.doc 03.12.101-2

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Übungsaufgaben Lösen von Gleichungen mit Substitution68

Nr Aufgabe Lösung1 Lösen Sie die Gleichung

- 2·x 4 + 34·x² – 32 = 0 - 2·x 4 + 34·x² – 32 = 0 ⇔ - 2·z² + 34·z – 32 = 0, Substitution mit x² = z ⇔ z² – 17·z + 16 = 0 ⇔ z² – 17·z + 72,25 = 56,25 ⇔ ( z – 8,5 )² = 56,25 ⇔ z – 8,5 = 7,5 ∨ z – 8,5 = -7,5 ⇔ z = 16 ∨ z = 1 ⇔ x² = 16 ∨ x² = 1 (Rücksubstitution) ⇔ x = 4 ∨ x = -4 ∨ x = 1 ∨ x = -1

2 Lösen Sie die Gleichung - 3·x 4 – 60·x² + 1728 = 0

- 3·x 4 – 60·x² + 1728 = 0 ⇔ - 3·z² – 60·z + 1728 = 0, Substitution mit x² = z ⇔ z² + 20·z - 576 = 0 ⇔ z² + 20·z + 100 = 676 ⇔ ( z + 10 )² = 676 ⇔ z + 10 = 26 ∨ z + 10 = -26 ⇔ z = 16 ∨ z = -36 ⇔ x² = 16 ∨ x² = -36 (unlösbar)(Rücksubstitution)⇔ x = 4 ∨ x = -4

3 Lösen Sie die Gleichung - 6·x 4 – 30·x² - 24 = 0

- 6·x 4 – 30·x² - 24 = 0 ⇔ - 6·z² – 30·z – 24 = 0, Substitution mit x² = z ⇔ z² + 5·z + 4 = 0 ⇔ z² + 5·z + 6,25 = 2,25 ⇔ ( z + 2,5 )² = 2,25 ⇔ z + 2,5 = 1,5 ∨ z + 2,5 = -1,5 ⇔ z = -1 ∨ z = -4 ⇔ x² = -1 ∨ x² = -4 (Rücksubstitution)unlösbar

4 Lösen Sie die Gleichung - 2·x 4 + 80·x² – 288 = 0

- 2·x 4 + 80·x² – 288 = 0 ⇔ - 2·z² + 80·z – 288 = 0, Substitution mit x² = z ⇔ z² – 40·z + 144 = 0 ⇔ z² – 40·z + 400 = 256 ⇔ ( z – 20 )² = 256 ⇔ z – 20 = 16 ∨ z - 20 = -16 ⇔ z = 36 ∨ z = 4 ⇔ x² = 36 ∨ x² = 4 (Rücksubstitution) ⇔ x = 6 ∨ x = -6 ∨ x = 2 ∨ x = -2

5 Lösen Sie die Gleichung 5·x 4 + 130·x² + 125 = 0

5·x 4 + 130·x² + 125 = 0 ⇔ 5·z² + 130·z + 125 = 0, Substitution mit x² = z ⇔ z² + 26·z + 25 = 0 ⇔ z² + 26·z + 169 = 144 ⇔ ( z + 13 )² = 144 ⇔ z + 13 = 12 ∨ z + 13 = -12 ⇔ z = -1 ∨ z = -25 ⇔ x² = -1 ∨ x² = -25 (Rücksubstitution)

F. Mergenthal – www.mathebaustelle.de.de ab_substitution.doc 03.12.101-2

Page 2: Übungsaufgaben Lösen von Gleichungen mit … · Übungsaufgaben Lösen von Gleichungen mit Substitution 68 Nr Aufgabe Lösung 1 Lösen Sie die Gleichung - 2·x 4 + 34·x²

unlösbar6 Lösen Sie die Gleichung

- x 4 + 17·x² – 16 = 0 - x 4 + 17·x² – 16 = 0 ⇔ - z² + 17·z – 16 = 0 , Substitution mit x² = z ⇔ z² – 17·z + 16 = 0 ⇔ z² – 17·z + 72,25 = 56,25 ⇔ ( z – 8,5 )² = 56,25 ⇔ z – 8,5 = 7,5 ∨ z – 8,5 = -7,5 ⇔ z = 16 ∨ z = 1 ⇔ x² = 16 ∨ x² = 1 (Rücksubstitution) <=> x = 4 ∨ x = -4 oder x = 1 ∨ x = -1

7 Lösen Sie die Gleichung 2·x 4 - 64·x² – 288 = 0

2·x 4 – 64·x² – 288 = 0 ⇔ 2·z² – 64·z – 288 = 0, Substitution mit x² = z ⇔ z² – 32·z - 144 = 0 ⇔ z² – 32·z + 256 = 400 ⇔ ( z – 16 )² = 400 ⇔ z – 16 = 20 ∨ z – 16 = -20 ⇔ z = 36 ∨ z = -4 ⇔ x² = 36 ∨ x² = -4 (unlösbar) (Rücksubstitution)⇔ x = 6 ∨ x = -6

8 Lösen Sie die Gleichung x 4 – 13·x² + 36 = 0

x 4 – 13·x² + 36 = 0 ⇔ z² – 13·z + 36 = 0 ⇔ z² – 13·z + 42,25 = 6,25 ⇔ ( z – 6,5 )² = 6,25 ⇔ z – 6,5 = 2,5 ∨ z – 6,5 = -2,5 ⇔ z = 9 ∨ z = 4 ⇔ x² = 9 ∨ x² = 4 (Rücksubstitution) ⇔ x = 3 ∨ x = -3 ∨ x = 2 ∨ x = -2

9 Lösen Sie die Gleichung - 2·x 4 – 90·x² – 648 = 0

- 2·x 4 - 90·x² - 648 = 0 ⇔ - 2·z² - 90·z - 648 = 0, Substitution mit x² = z ⇔ z² + 45·z + 324 = 0 ⇔ z² + 45·z + 506,25 = 182,25 ⇔ ( z + 22,5 )² = 182,25 ⇔ z + 22,5 = 13,5 ∨ z + 22,5 = -13,5 ⇔ z = -9 ∨ z = -36 ⇔ x² = -9 ∨ x² = -36 (Rücksubstitution)unlösbar

10 Lösen Sie die Gleichung 5·x 4 – 40·x² – 45 = 0

5·x 4 - 40·x² - 45 = 0 ⇔ 5·z² - 40·z – 45 = 0, Substitution mit x² = z ⇔ z² – 8·z – 9 = 0 ⇔ z² – 8·z + 16 = 25 ⇔ ( z – 4 )² = 25 ⇔ z – 4 = 5 ∨ z – 4 = -5 ⇔ z = 9 ∨ z = -1 ⇔ x² = 9 ∨ x² = -1 (unlösbar) )(Rücksubstitution)⇔ x = 3 ∨ x = -3

ab_substitution.doc 03.12.102-2