Erstellt von Olaf Gramkow Seite 1/13

Übungsaufgaben "Vektorrechnung"

1) Von einer Geraden g ist der Punkt P1 = (4; 2; 3) und der Richtungsvektor

=312

a�

bekannt. Berechnen Sie den Abstand des Punktes Q = (4; 1; 1) von dieser Gerade.

Lösung:

1,2251421

14

241

14

210312eee

det

14

21

0

312

312

324

114

312

d

114

Q

312

324

aPr:g

321

1

==

−=

−−=

−−×

=

−

×

=

=

⋅λ+

=⋅λ+=��

2) Die in der x,y-Ebene verlaufende Gerade g1 schneidet die beiden Koordinatenachsen

jeweils bei 3. Welchen Abstand besitzt diese Gerade von der z-Achse?

Lösung:

2,121189

18

900

18

003033eee

det

033

003

033

d

000

Q

033

003

r:g

321

==

=

−−

=

−

−×

−

=

=

−⋅λ+

=�

3) Zeigen Sie, dass sich die Gerade g1 und g2 in genau einem Punkt schneiden und

bestimmen Sie Schnittpunkt und Schnittwinkel:

−=

−

=−

=

033

003

030

PP

003

P

12

1

=030

P2

Erstellt von Olaf Gramkow Seite 2/13

g1 durch P1 = (4; 2; 8) und P2 = (3; 6; 11) g2 durch P3 = (5; 8; 1) und P4 = (7; 10; 31)

Lösung:

( )

( )

⋅−

−⋅λ=

⋅+

=

−⋅λ+

=

⋅+

=

−

⋅+

=−⋅λ+=

−⋅λ+

=

−

⋅λ+

=−⋅λ+=

1022

µ341

1361

1022

µ2185

341

824

rr

1022

µ2185

2185

31107

µ2185

PPPr:g

341

824

824

1163

824

PPPr:g

21

34322

12111

��

�

�

2µ1 −λ−= (1) 2µ46 −λ= (2) 10µ313 −λ= (3)

( )

155

2µ462µ1

=λλ−=−

−λ=−−λ−=

1µ2µ2

2µ11

−=−=

−−=

Punkt einemin sich schneiden Gerade10313246211

⇒

+=+=+−=

11) 6; (3;S1163

341

1824

rs

=

=

−⋅+

=�

Erstellt von Olaf Gramkow Seite 3/13

°=

⋅++−=

⋅

−

⋅

=ϕ 47,2118263082arccos

1022

341

1022

341-

arccos

4) Wie lautet die Vektorgleichung der Ebene E, die den Punkt P1 enthält und parallel zu den

Richtungsvektoren a� und b�

verläuft? Bestimmen Sie ferner einen Normalenvektor n� der Ebene. Welche Punkte gehören zu den Parameterwertepaaren λ=1, µ=3 und λ=-2, µ=1?

a) P1 = (3; 5; 1),

=111

a�

,

=312

b�

b) P1 = (6; 0; -3),

−=

382

a�

,

−=

332

b�

Lösung: a)

−−==

×

=

⋅+

⋅λ+

=

11

2

312111eee

312

111

n

312

µ111

153

r

321�

�

λ=1, µ=3:

=

⋅+

⋅−

=119

10

312

3111

1153

rQ1�

Q1 = (10; 9; 11)

λ=-2, µ=1:

=

⋅+

⋅−

=243

312

1111

2153

rQ2�

Q2 = (3; 4; 2)

Erstellt von Olaf Gramkow Seite 4/13

b)

−

−=

−−=

−×

−=

−⋅+

−⋅λ+

−=

10015

332382

eee

332

382

n

332

µ3

82

306

r

321�

�

λ=1, µ=3:

−=

−⋅+

−⋅+

−=

151714

332

33

82

13

06

rQ1�

Q1 = (14; 17; -15)

λ=-2, µ=1:

−=

−⋅+

−⋅−

−=

0134

332

13

82

23

06

rQ2�

Q2 = (4; -13; 0)

5) Bestimmen Sie die Gleichung der Ebene E durch die drei Punkte P1, P2 und P3. Welche

Punkte erhält man für die Parameterwertepaare λ=3, µ=-2 und λ=-2, µ=1?

a) P1 = (3; 1; 0), P2 = (-4; 1; 1), P3 = (5; 9; 3) b) P1 = (5; 1; 2), P2 = (-2; -1; -3), P3 = (0; 5; 10) Lösung: a)

( ) ( )

⋅+

−⋅λ+

=

−

⋅+

−

−⋅λ+

=

−⋅+−⋅λ+=

382

µ107

013

013

395

µ013

114

013

r

PPµPPPr 13121

�

�

)3;15;22(Q 3

1522

382

2107

3013

r

:2µ 3,

1Q1 −−−=

−−−

=

⋅−

−⋅+

=

−==λ

�

1) 9; (19;Q 19

19

382

1107

2013

r

:1µ 2,

2Q2 =

=

⋅+

−⋅−

=

=−=λ

�

Erstellt von Olaf Gramkow Seite 5/13

b) ( ) ( )

−⋅+

−−−

⋅λ+

=

−

⋅+

−

−−−

⋅λ+

=

−⋅+−⋅λ+=

845

µ527

215

215

1050

µ215

312

215

r

PPµPPPr 13121

�

�

29) 13; 6;(Q 29136

845

2527

3215

r

:2µ 3,

1Q1 −−−=

−−−

=

−⋅−

−−−

⋅+

=

−==λ

�

20) 9; (14;Q 209

14

845

1527

2215

r

:1µ 2,

2Q2 =

=

−⋅+

−−−

⋅−

=

=−=λ

�

6) Liegen die vier Punkte P1 = (1; 1; 1), P2 = (3; 2; 0), P3 = (4; -1; 5) und P4 = (12; -4; 12) in

einer Ebene?

Lösung:

−⋅+

−⋅λ+

=

−

−⋅+

−⋅λ+

=

−−−−

⋅+

−−

⋅λ+

=

42

3µ

112

111

124

12

42

3µ

112

111

1511

14µ

01213

111

r:E �

3µ62µ

2µ28

4µ1122µ143µ2112

==

+=

+λ−=−λ+=−+λ+=

1614

=λ−λ+=−

Ebeneeiner in liegen Punkte 4 Die 121112611492112

⇒

+−=−+=−++=

Erstellt von Olaf Gramkow Seite 6/13

7) Wie lautet die Gleichung einer Ebene E, die auf den drei Koordinatenachsen jeweils die gleiche Strecke a abschneidet und ferner den Punkt Q = (3; -4; 7) enthält? Hinweis: Stellen Sie zunächst die Gleichung der Ebene durch die drei Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen in Abhängigkeit von der Strecke a auf. Lösung:

−⋅+

−⋅λ+

=

−

−⋅+

−⋅λ+

=

−−−

⋅+

−−−

⋅λ+

=

a0a

µ0aa

00a

74

3

a0a

µ0aa

00a

0a00a0

µ000aa0

00a

r:E �

3264

67µ

6µ7

6a

74aa7a

a4aa3

a4

a7µ

aµ7a4

aµaa3

−=λ

λ=−

=

=

=

−+=−−−=

−=λ

=

=λ=−

−λ−=

( ) ( )

76677

46324

37466676

3263

=⋅=

−=⋅

−=−

=−+=−⋅+−⋅

−+=

−⋅+

−⋅λ+

=606

µ066

006

r:E�

Erstellt von Olaf Gramkow Seite 7/13

8) Eine Ebene E verläuft senkrecht zum Vektor

=134

n�

und enthält den Punkt

A = (5; 8; 10). Bestimmen Sie die Gleichung dieser Ebene. Berechnen Sie ferner die fehlende Koordinate des auf der Ebene gelegenen Punktes B = (2; y=?; 1). Lösung:

( )

01085

r134

0rrn 1

=

−⋅

=−⋅

�

���

( ) ( ) ( )

54z3y4x010z243y204x

010z18y35x4

=++=−+−+−

=−⋅+−⋅+−⋅

B = (2; y; 1)

15y453y

5413y24

==

=++⋅

B = (2; 15; 1)

9) Welche Lage haben Gerade g und Ebene E zueinander? Bestimmen Sie gegebenenfalls Abstand, Schnittpunkt und Schnittwinkel.

a) g durch P1 = (5; 1; 2) mit dem Richtungsvektor

=213

a�

E durch P0 = (2; 1; 8) mit dem Normalenvektor

−=

131

n�

b)

⋅λ+

=⋅λ+=λ152

635

ar)(r :g 1��

( ) 01z1y1x

11

3rrn :E 0 =

−−−

⋅

−−=−⋅

���

c) g durch P1 = (2; 0; 3) und P2 = (5; 6; 18)

Erstellt von Olaf Gramkow Seite 8/13

E durch P3 = (1; -2; -2), P4 = (0; -1; -1) und P5 = (-1; 0; -1)

Lösung: a)

sichschneiden E Ebene und g Gerade 02233213

131

an ⇒≠=++−=

⋅

−=⋅

��

°=

⋅=

⋅

−=

=

=

+

=

++

=

−⋅

−

+

=

−

⋅

−

+

=

9,2741411

2arcsin

213

131

2arcsin

11) 5,5; (18,5;S221137

21

18927

21

215

213

263

215

213

2603

131

215

213

2215

812

131

215

rS

ϕ

�

b)

1,51115

115212

11

524

11

3

11

3

111

635

1-1-3

d

g||E 0156152

11

3an

==−−

=

⋅

−−

=

−−

−

⋅

=

⇒=−−=

⋅

−−=⋅ ��

c)

−⋅+

−⋅λ+

−−=

+−+−−

⋅+

+−+−−

⋅λ+

−−=

122

µ111

22

1

212011

µ2121

10

22

1r:E �

Erstellt von Olaf Gramkow Seite 9/13

−−

=−−=

−×

−=

011

122111eee

122

111

n321

�

sichschneiden E Ebene und g Gerade 09631563

011

an ⇒≠−=−−=

⋅

−−

=⋅��

−−=

−−−

+

=

−

−−−

⋅

−−

+

=

−

−

−−⋅

−−

+

=22

1

521

302

1563

9521

011

302

1563

9302

22

1

011

302

rS�

S = (1; -2; -2)

°=

⋅=

⋅

−−

−= 7922

27029arcsin

1563

011

9arcsin ,ϕ

10) Eine Gerade g durch die Punkte A = (1; 1; 1) und B = (5; 4; -3) verlaufe senkrecht zu

einer Ebene E. Wie lautet die Gleichung dieser Ebene, wenn P1 = (2;1; 5) ein Punkt dieser Ebene ist?

Lösung:

( )

−=

−⋅λ+

=−⋅λ+=

434

n

434

111

ABAr:g

�

�

( ) 0rrn:E P =−⋅

���

05z1y2x

434

0512

r4

34

=

−−−

⋅

−

=

−⋅

−

�

( ) ( ) ( ) 05z41y32x4 =−⋅−−⋅+−⋅

Erstellt von Olaf Gramkow Seite 10/13

11) Eine Ebene E1 gehe durch den Punkt P1 = (1; 2; 3), ihr Normalenvektor sei

=a

n 12

�

.

Bestimmen Sie den Parameter a so, dass der Abstand des Punktes Q = (0; 2; 5) von dieser Ebene d=2 beträgt. Wie lautet die Gleichung der Parallelebene E2 durch den Punkt A = (5; 1; -2)?

Lösung:

( )

2a1aa5

2a2201

a12

a52

a12

321

520

a12

2n

rrnd

2

2

1Q

−=⇒

−=+

+−=

−⋅

=+⋅

−

⋅

==−⋅

=�

���

( )

( ) ( ) ( ) 02z21y15x2

2z1y5x

212

215

r2

12

rrn:E

2) 1; (5;A

A2

=+⋅−−⋅+−⋅=

+−−

⋅

−=

−−⋅

−=−⋅

−=

���

12) Eine Ebene E enthält den Punkt P0 = (2; 1; 8) und verläuft senkrecht zum Vektor

−=16

2n� . Zeigen Sie, dass die Gerade

−⋅λ+

=⋅λ+=λ2

14

135

ar)(r :g 1���

zu dieser Ebene

parallel ist. Wie groß ist der Abstand zwischen Gerade und Ebene?

Lösung:

( ) 0812

r16

2rrn:E 0 =

−⋅

−=−⋅����

g||E 02682

14

16

2an ⇒=−−=

−⋅

−=⋅��

Erstellt von Olaf Gramkow Seite 11/13

2,0341

712641

723

16

2

16

2

812

135

16

2

d =−−

=

−⋅

−

=

−

−

⋅

−

=

13) Gegeben sind eine Gerade g und eine Ebene E:

( ) ( ) ( ) ( ) 03z12y11x2rrn :E3

21

023

ar)(r :g

0

1

=+⋅+−⋅+−⋅=−⋅

−⋅λ+

=⋅λ+=λ

���

���

Zeigen Sie, dass Gerade und Ebene sich schneiden und berechnen Sie den Schnittpunkt sowie den Schnittwinkel.

Lösung:

sichschneiden E Ebene und g Gerade 013223

21

112

an ⇒≠=−+=

−⋅

=⋅��

( )

−−

=

−−

+

=

−⋅−−+

=

−⋅

−

−⋅

+

=

−

−

−⋅

+

=

21124

21147

023

321

34023

321

302

112

023

321

1023

321

112

023

rS�

S = (-4; -12; 21)

°=

⋅=

−⋅

= 6,26

1461arcsin

321

112

1arcsinϕ

14) Zeigen Sie die Parallelität der beiden Ebenen E1 und E2 und berechnen Sie ihren Abstand:

E1 durch P1 = (3; 5; 6) mit dem Normalenvektor

−=

231

1n�

Erstellt von Olaf Gramkow Seite 12/13

E2 durch P2 = (1; 5; -2) mit dem Normalenvektor

−−

=693

2n�

Lösung:

21

321

21 E||E 000

693231

eee

693

231

nn ⇒

=−−

−=

−−

×

−=×

��

3,7414162

14

802

231

231

251

653

231

d =−

=

⋅

−=

−

−−

⋅

−=

15) Bestimmen Sie die Schnittgerade und den Schnittwinkel der beiden Ebenen:

( ) 0652

213

: 111 =

−−−

⋅

=−⋅zyx

rrnE ���

( ) 0151

302

: 222 =

−−−

⋅

=−⋅zyx

rrnE ���

Lösung:

sichschneiden E und E 25

3

302213eee

302

213

nn 21

321

21 ⇒

−−==

×

=��

=

=

0yx

r

0)rz(

0

0

0

0

�

�

( ) ( ) ( )

( ) ( )131x20105y1x

302

625y12x30605y2x

213

00

0

000

0

−⋅+−⋅==

−−−

⋅

−⋅+−⋅+−⋅==

−−−

⋅

Erstellt von Olaf Gramkow Seite 13/13

25x

5x2032x2

0

0

0

=

=⋅=−−⋅

231y

0125y6253

0125y6x3

0

0

00

=

=−−+−⋅

=−−+−⋅

°=

⋅+=

⋅

⋅

=

−−⋅λ+

=

27,191314

66arccos

302

213

302

213

arccos

25

3

023125

r:gS

ϕ

�