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Unendliche Determinanten zur Behandlung von periodischen Differentialgleichungen

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Universitat RegensburgNaturwissenschaftliche Fakultat I

- Mathematik -

Unendliche Determinanten zur Behandlung von

periodischen Differentialgleichungen

Diplomarbeit von

Andreas Schmauß

gestellt von

Prof. Dr. E. Wagenfuhrer

Regensburg, 22. Januar 2007

Page 3: Unendliche Determinanten zur Behandlung von periodischen Differentialgleichungen

Inhaltsverzeichnis

Einleitung 1

1 Grundlegendes und Notation 4

2 Nukleare Operatoren und Hilbert-Schmidt-Operatoren 102.1 Spektrum und singulare Zahlen kompakter Operatoren . . . . . . . . . 102.2 Nukleare Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.3 Hilbert-Schmidt-Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3 Unendliche Determinanten 283.1 Holomorpher Funktionalkalkul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.2 Stetigkeit der regularisierten Determinante . . . . . . . . . . . . . . . 34

4 Lineare Differentialgleichungen und Floquettheorie 424.1 Existenz- und Eindeutigkeitssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.2 Floquettheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5 Determinantenmethode zur Berechnung der Floquet Exponenten 495.1 Struktur der regularisierten Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . 515.2 Konvergenzeigenschaft der unendlichen Determinante . . . . . . . . . . 60

Literaturverzeichnis 65

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Einleitung

Unendliche Determinanten, d. h. der Grenzwert endlicher Abschnittsdeterminanten,in Zusammenhang mit der Untersuchung periodischer Differentialgleichungen, tretenerstmals in der Arbeit ”On the Part of the Motion of the Lunar Perigee which is aFunction of the Mean Motions of the Sun and Moon“ [10] von G.W. Hill auf.

Die von Hill untersuchte periodische lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung,die sogenannte Hillsche Differentialgleichung, und die damit verbundene Determinan-tenmethode zur Bestimmung der Floquetschen Exponenten - dies sind gewisse kom-plexe Zahlen, welche beispielsweise Auskunft uber die Existenz periodischer Losungengeben - wurde seitdem eingehend untersucht. So konnte die Konvergenz der Methodeverbessert werden (z. B. in [12],[13]) und auf Systeme von Hillschen Differentialglei-chungen erweitert werden [1].

Der allgemeine Fall einer periodischen linearen Differentialgleichung wurde von R.Denk in [2] untersucht, und eine Determinantenmethode entwickelt, welche sich aufdie Theorie der Hilbert-Schmidt-Operatoren stutzt.

Das Ziel der vorliegenden Arbeit ist es, diese Methode vorzustellen und derenfunktionalanalytischen Grundlagen, vorallem die Determinantentheorie fur Hilbert-Schmidt-Operatoren und nukleare Operatoren, zu entwickeln.

Das erste Kapitel dient zunachst der Einfuhrung wichtiger Funktionenraume.Anschließend wird erlautert, wie sich stetige Operatoren in einem HilbertraumH, nach Einfuhrung einer Orthonormalbasis anhand der Fourierentwicklung alsunendliche Matrizen darstellen lassen.

Ausgehend von der Spektraltheorie kompakter selbstadjungierter Operatoren, wer-den in Kapitel 2 die singularen Zahlen eines kompakten Operator eingefuhrt.

Wie Theorem 2.1.10 zeigt, lasst sich jeder kompakte Operator T nach seinen Sin-gularzahlen sj(T ) ∈ R+ entwickeln, d. h. es existieren Orthonormalsystemen (ej)j

und (fj)j , sodass T =∑

j sj(T )〈·, ej〉fj gilt.Auf der anderen Seite gestatten die singularen Zahlen eine Klassifikation der kom-

pakten Operatoren: Ein kompakter Operator ist genau dann Element der sogenanntenSchattenklasse Sp(H) (1 ≤ p ≤ ∞), falls die Folge seiner Singularzahlen p-summierbarist. Fur die in dieser Arbeit relevanten Falle p = 1 und p = 2 der nuklearen Operatorenbzw. Hilbert-Schmidt-Operatoren wird unter anderem gezeigt, dass diese ein zweiseiti-ges Ideal im Raum der stetigen Operatoren bilden, und Kriterien fur die Zugehorigkeiteines Operators zu den Schattenklassen S1(H) bzw. S2(H) formuliert.

Aufgrund des Zusammenhangs zwischen den Eigenwerten eines kompakten Opera-tors und seinen Singularzahlen, welcher durch die Weylsche Ungleichung

∑∞n=1|λn|p ≤∑∞

n=1 spn (Satz 2.1.17) gegeben ist, erhalt man nun fur nukleare Operatoren die Kon-

vergenz des Produktes det1 (1− T ) :=∏∞

j=1 1− λj(T ). Dies ist die Determinante furnukleare Operatoren. Analog zum endlichdimensionalen Fall, lasst sich fur jene aucheine Spur als Summe der Eigenwerte erklaren.

Um auch fur Hilbert- Schmidt-Operatoren eine Determinante definieren zu konnen,muss obiges Produkt jedoch regularisiert, d.h. um konvergenzerzeugende Faktoren

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Einleitung 2

erweitert werden. Die Weylsche Ungleichung zeigt auch hier die Existenz der soge-nannten regularisierten Determinante det2 (1 − T ) :=

∏∞j=1(1 − λj(T )) e λj(T ) fur

Hilbert-Schmidt-Operatoren.Die regularisierte Determinante eines dem Differentialgleichungssystem zugeord-

neten Operators, wird in Kapitel vier die Grundlage fur die Determinantemethodezur Berechnung der Floquetschen Exponenten bilden.

Im dritten Kapitel wird zunachst der holomorphe Funktionalkalkul entwickelt. Die-ser beschreibt, wie sich vermoge einer holomorphen Abbildung f , einem stetigenOperator A auf sinnvolle Weise ein Operator f(A) zuordnen lasst, und untersuchtden Zusammenhang beider Spektren. Jener ist durch den Spektralabbildungssatzσ(f(T )) = f(σ(T )) gegeben.

Unter gewissen Voraussetzungen kann fur kompakte Operatoren diese Aussage so-gar dahingehend verscharft werden, dass die beiden Folgen der von Null verschiedenenund gemaß algebraischer Vielfachheit aufgefuhrten Eigenwerte von A bzw. f(A), iden-tisch sind, d. h. λj(f(A))∞j=1 = f(λj(A))∞j=1.

Dieses Resultat wird zum Beweis der darauffolgenden Stetigkeitsaussage fur dieregularisierte Determinante benotigt. Anhand dieser Aussage kann die Operator-Determinante auf den Grenzwert endlicher Abschnittsdeterminante, d.h. auf eineunendliche Determinante zuruckgefuhrt werden, und auch ein Determinantenmulti-plikationsgesetz formuliert werden.

Im vierten Kapitel der vorliegenden Arbeit wird die Floquettheorie fur eine Klassevon Differentialgleichungen entwickelt, deren Koeffizientenabbildungen nicht notwen-dig stetig sind; genauer wird die Differentialgleichung y′(x) = A(x)y(x) betrachtet,wobei A(·) ∈ L∞(R,Cn×n) eins- periodisch ist.

In Satz 4.2.5 kann anschließend gezeigt werden, dass ein ν ∈ C genau dannFloquetscher Exponenten der Differentialgleichung ist, falls 1 ein Eigenwert des demDifferentialgleichungssystem zugeordneten Operators BL(ν) ist.

Dies stellt den Ausgangspunkt fur die weiteren Uberlegungen in Kapitel 5 dar.Hierin wird zunachst gezeigt, dass BL(ν) fur alle ν ∈ C ein Hilbert-Schmidt-Operatorist, und somit die Nullstellen der regularisierten Determinante det2 (1−BL(ν)) genaudurch die Floquet Exponenten gegeben sind.

Die anschließende Strukturanalyse des Operators BL(ν) zeigt, dass die (nicht regu-larisierte) unendliche Determinante det (1−BL(ν)) existiert, und der Zusammenhangdet (1−BL(ν)) = exp (−n(1− ν)− sp A0) det2 (1−BL(ν)) besteht, mit A0 ∈ Cn×n

(vgl. hierzu Lemma 5.1.4). Somit sind die Floquetschen Exponenten also durch dieNullstellen einer unendlichen Determinante gegeben.

Ausgehend hiervon kann unter Analyse eines gegenuber BL(ν) leicht modifiziertenOperators BL(ν), das Kernresultat der Determinantenmethode gezeigt werden: Dieunendliche Determinante det (1 − BL(ν)) ist bis auf Normalisierung ein Polynom inexp (ν) (Theorem 5.1.6).

Um die Nullstellen der unendlichen Determinante, und somit die Floquetschen Ex-ponenten zu bestimmen, genugt also die Durchfuhrung endlich vieler Grenzwertbe-rechnungen. Eine numerisch aufwendige Integration der Differentialgleichung kannvermieden werden.

Als letztes Resultat wird fur den Fall eines trigonometrischen Polynoms als Koeffi-zientenabbildung der Differentialgleichung gezeigt, dass sich die Konvergenzordnungder Determinantenmethode durch geeignete Faktoren verbessern lasst, und so der

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Einleitung 3

numerischen Anwendung zuganglich wird.

Abschließend mochte ich mich recht herzlich bei Herrn Prof. Dr. Wagenfuhrer furdie interessante Themenstellung meiner Diplomarbeit bedanken, welche mich an vieleKonzepte der Mathematik, vorallem der Operatortheorie, herangefuhrt hat.

Auch fur die hervorragende Betreuung und die zahlreichen nutzlichen Hinweise undBemerkungen, mochte ich meinen Dank aussprechen.

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1 Grundlegendes und Notation

Wichtige Funktionenraume. Sei (Ω,A , µ) ein Maßraum, und M der Raum allermessbaren Abbildungen von Ω nach Cn, wobei n ∈ N sei.

Fur 1 ≤ p ≤ ∞ sei die Abbildung ‖·‖Lp: M → [0,∞] gegeben durch

‖f‖Lp :=

( ∫Ω|f |p dµ)1/p fur 1 ≤ p <∞

ess supx∈Ω |f(x)| = infN∈A

µ(N)=0

supx∈Ω\N

‖f(x)‖ fur p = ∞

Hiermit definiert man fur 1 ≤ p ≤ ∞

Lp(Ω,Cn) :=f ∈ M : ‖f‖Lp <∞

.

Bekanntlich ist (Lp(Ω,Cn), ‖·‖Lp) ein vollstandiger halbnormierter Raum (vgl. [4]S. 228, 230). Dass ‖·‖Lp keine Norm auf Lp(Ω,Cn) induziert, liegt darin begrundet,dass ‖f − g‖Lp = 0 lediglich f = g fast uberall1 impliziert.

Dies gibt Anlass zu einer Aquivalenzklassenbildung.

Definition 1.0.1. Fur 1 ≤ p ≤ ∞ sei

(1) Lp(Ω,Cn) := Lp(Ω,Cn)/ ∼ , wobei f ∼ g :⇔ f = g fast uberall

(2) ‖·‖Lp : Lp(Ω,Cn) → [0,∞) mit ‖[f ]‖Lp := ‖f‖Lp

Dies ist wohldefiniert und macht (Lp(Ω,Cn), ‖·‖p) zu einem Banachraum (vgl. hier-zu [4] S. 231).

Im Weiteren werden die Aquivalenzklassen von Lp(Ω,Cn) als Funktionen gesehen,und mit f ∈ Lp(Ω,Cn) anstatt [f ] ∈ Lp(Ω,Cn) notiert.

Lemma 1.0.2. Fur J ⊂ R kompakt und 1 ≤ p ≤ q ≤ ∞ ist Lq(J,Cn) ⊂ Lp(J,Cn),genauer gilt fur f ∈ Lq(J,Cn) (mit der Vereinbarung 1

∞ = 0) und |J | := µ(J)

‖f‖Lp ≤ |J | 1p− 1q ‖f‖Lq .

Beweis. Die Abschatzung ist fur den Fall q = ∞ leicht zu sehen. Sei also q <∞.Da

(q

q−p

)−1 +(

qp

)−1 = 1 folgt mit der Holderschen Ungleichung

J

‖f‖p dµ ≤( ∫

J

‖f‖q) p

q( ∫

J

1 dµ) q−p

q

.

1Dies soll bedeuten, dass die Menge x ∈ Ω : f(x) 6= g(x) das Maß Null hat, d. h. eine Nullmengeist.

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1 Grundlegendes und Notation 5

Ein wichtiger Spezialfall des Lp-Raumes ergibt sich fur den Maßraum(Z,P(Z), µZ), wobei P(Z) die Potenzmenge von Z und µZ das zahlende Maß sei.

Dann ist Lp = Lp, d. h. die Aquivalenzklassen sind alle einelementig und manerhalt mit lp(Z,Cn) := Lp(Z,Cn) die Folgenraume

(1.1) lp(Z,Cn) =(xk)k∈Z : xk ∈ Cn , ‖(xk)k‖lp <∞

,

wobei

‖(xk)k‖lp =

( ∑k∈Z |xk|p

)1/p fur 1 ≤ p <∞supk∈Z

|xk| fur p = ∞

die Norm auf lp(Z,Cn) definiert.

Lemma 1.0.3. Fur 1 ≤ p ≤ q ≤ ∞ ist lp(Z,Cn) ⊂ lq(Z,Cn) und es gilt

‖x‖lq ≤ ‖x‖lp ∀x ∈ lp(Z,Cn).

Beweis. Sei zunachst x = (xk)k∈Z ∈ lp(Z,Cn) mit ‖x‖lp = 1 angenommen. Wahlehierzu ein m ∈ Z mit |xk| ≤ |xm| fur alle k ∈ Z. Dann ist |xm| ≤ 1 und folglich

k

|xk|q ≤ |xm|q−p∑

k

|xk|p ≤ 1 ,

was die Behauptung fur ‖x‖lp = 1 zeigt.Der allgemeinen Fall ergibt sich hieraus durch Betrachtung der Folge

(xk

‖x‖lp

)k∈Z.

Definition 1.0.4. Sei J ⊂ R . Eine Abbildung f : J → Cn heißt absolutstetig in J ,falls zu jedem ε > 0 ein δ > 0 existiert, sodass fur jede endliche Folge ((ak, bk))p

k=1

von paarweise disjunkten offenen Teilintervallen von J , die Implikation

p∑

k=1

(bk − ak) < δ ⇒p∑

k=1

|f(bk)− f(ak)| < ε

gilt.

Wie man leicht zeigt, ist jede lipschitzstetige Funktion absolutstetig, und jede ab-solutstetige Funktion gleichmaßig stetig.

Die wesentliche Charakterisierung absolutstetiger Funktionen liefert jedoch derHauptsatz der Differential- und Integralrechnung.

Theorem 1.0.5 (Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung). Sei J ⊂ R kom-pakt.

(1) Ist f : J → Cn absolutstetig, dann ist f fast uberall differenzierbar, f ′ ∈L1(J,Cn) und es gilt

f(t)− f(s) =∫ t

s

f ′(τ) dτ ∀s, t ∈ J .

(2) Fur g ∈ L 1(J,Cn) und a ∈ J beliebig ist die Funktion f(t) :=∫ t

ag(τ) dτ

absolutstetig und es gilt f ′ = g fast uberall.

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1 Grundlegendes und Notation 6

Der Beweis dieses Theorems findet sich in [17] S. 342 oder [4] S. 301.

Mit diesem Hintergrund lassen sich die sogenannten Sobolev-Raume einfuhren.

Definition 1.0.6 (Sobolev-Raum). Fur 1 ≤ p ≤ ∞ und J ⊂ R sei

W 1p (J,Cn) := f ∈ Lp(J,Cn) : f absolutstetig, f ′ ∈ Lp(J,Cn) ,

undH1(J,Cn) := W 1

2 (J,Cn) .

Bemerkung 1.0.7: Offensichtlich sind die Aquivalenzklassen in W 1p (J,Cn) alle ein-

elementig, denn zwei stetige Funktionen, welche fast uberall identisch sind, mussenbereits in ihrem ganzen Definitionsbereich ubereinstimmen.

In der Tat, denn eine stetige Funktion, welche an einem Punkt von Null verschiedenist, muss dies auch in einem Intervall sein. Da Intervalle keine Nullmengen sind, ergibtsich hieraus die Behauptung, indem man die Differenz beider Funktionen betrachtet.

Fourierentwicklung in Hilbertraumen. Sei(H, 〈 , 〉) ein separabler2 (komplexer)

Hilbertraum mit der abzahlbaren Orthonormalbasis (ek)k∈Z , und L(H) der Banach-raum aller beschrankten Operatoren T : H → H, versehen mit der Operatornorm‖T‖ := sup‖x‖≤1‖Tx‖.

Fur x ∈ H wird 〈x, ek〉 ∈ C als der k-te Fourierkoeffizient von x bezuglich derOrthonormalbasis (ek)k bezeichnet.

Eine wichtige Erkenntnis der Hilbertraumtheorie ist nun, dass sich jedes Elementvon H nach seinen Fourierkoeffizienten entwickeln lasst, d. h. es gilt

x =∑

k

〈x, ek〉ek ∀x ∈ H .

Dies bezeichnet man als Fourierentwicklung und∑

k〈x, ek〉ek als die Fourierreihe vonx bezuglich der Basis (ek)k.

Die Parsevalsche Gleichung besagt nun, dass die Folge der Fourierkoeffizienten(〈x, ek〉)k fur jedes x ∈ H aus l2(Z,C) mit ‖(〈x, ek〉)k‖l2 = ‖x‖ ist. Die sogenannteFourier-Transformation

(1.2) Φ : H → l2(Z,C) , x 7→ (〈x, ek〉)k∈Z

ist also normerhaltend und injektiv.Der nachstehende Satz zeigt sogar, dass dieser Operator eine normerhaltende Iso-

morphie zwischen dem separablen Hilbertraum H und dem Folgenraum l2(Z,C) stif-tet.

Satz 1.0.8. Sei H ein Hilbertraum mit der Orthonormalbasis (ek)k∈Z. Dann ist dieFourier-Transformation Φ : H → l2(Z,C) ein normerhaltender Isomorphismus.

Beweis. Die Linearitat der Abbildung ist leicht zu sehen. Dass Φ normerhaltend undinjektiv ist, wurde bereits gezeigt.

Die Surjektivitat der Fourier-Transformation folgt aber aus dem Satz von Pythago-ras, denn sei (xk)k ∈ l2(Z,C), so ist ‖∑t

k=s xkek‖2 =∑t

k=s‖xk‖2 fur alle s, t ∈ Z.

2In einem separablen Hilbertraum sind alle Orthonormalbasen abzahlbar (vgl. [20] S. 231).

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1 Grundlegendes und Notation 7

∑k∈Z xkek ist also genau dann eine Cauchy-Reihe, wenn dies

∑k∈Z‖xk‖2 ist. Da H

vollstandig ist, konvergiert∑

k∈Z xkek also genau dann gegen ein x ∈ H, falls (xk)k

in l2(Z,C) liegt. Sei also x :=∑

k∈Z xkek .Wegen 〈x, em〉 =

∑k∈Z xk〈ek, em〉 = xm folgt somit Φ(x) = (xk)k, was den Beweis

abschließt.

Wichtige Beispiele fur Hilbertraume sind

(a) der Folgenraum l2(Z,Cn) (n ∈ N) mit dem Innenprodukt

〈(xk)k, (yk)k〉 =∑

k∈Zxk · yk ,

wobei fur xk = ((xk)i)ni=1 und yk = ((yk)i)n

i=1

xk · yk :=n∑

i=1

(xk)i(yk)i .

Sei τj : Cn → l2(Z,Cn) , a 7→ (δkja)k∈Z und es der s-te Einheitsvektor in Cn.Die kanonische Orthonormalbasis in l2(Z,Cn) ist dann gegeben durch (gk)k∈Z,

mit gk := τj(es), wobei k ∈ Z eindeutig dargestellt sei als k = nj + s − 1 mit(j, s) ∈ Z× 1, . . . , n.

Der k-te Fourierkoeffizient einer Folge (am)m∈Z = (((am)i)ni=1)m∈Z in l2(Z,Cn) ist

bezuglich der Standardbasis fur k = nj + s also gegeben durch

〈(am)m∈Z, gk〉 = (aj)s .

(b) der Raum L2(T,Cn) mit T := R/Z, welcher also gegeben ist durch

L2(T,Cn) = f ∈ L2([0, 1],Cn) : f(0) = f(1)mit dem Innenprodukt

〈f, g〉 =∫ 1

0

(f · g)(t) dt ,

wobei fur f = (f1, . . . , fn) und g = (g1, . . . , gn) mit fi, gi ∈ L2(T,C)

(f · g)(t) :=n∑

i=1

fi(t)gi(t)

definiert sei.Die Standardbasis in L2(T,Cn) ist dann gegeben durch (gk)k∈Z, wobei fur k =

nj + s− 1 mit (j, s) ∈ Z× 1, . . . , ngk(t) := e 2πijt es

gesetzt sei. Der k-te Fourierkoeffizient einer Funktion f = (fi)ni=1 ∈ L2(T,Cn) ergibt

sich also bezuglich der Standardbasis zu

〈f, gk〉 =∫ 1

0

fs(t) e −2πijt dt (k = nj + s− 1) .

Der k-te Fourierkoeffizient einer Funktion f ∈ L2(T,Cn) bezuglich der Standard-basis wird auch als fk geschrieben.

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1 Grundlegendes und Notation 8

Matrixdarstellung von Operatoren. Sei A ∈ L(H), wobei H wieder ein komple-xer Hilbertraum mit Orthonormalbasis (ek)k∈Z sei. Dem Operator A wird dann diezweifach unendliche Matrix (aij)i,j∈Z mit

(1.3) aij := 〈Aej , ei〉zugeordnet und man schreibt A = (aij)i,j∈Z.

Diese Schreibweise ist gerechtfertigt, denn fur x ∈ H ergibt die Multiplikation derMatrix (aij)i,j∈Z mit dem (unendlichen) Spaltenvektor (〈x, ej〉)j∈Z der Fourierkoef-fizienten von x gerade den Spaltenvektor (〈Ax, ej〉)j∈Z der Fourierkoeffizienten vonAx, denn:

Da (ej)j eine Orthonormalbasis bildet, ist das Skalarprodukt 〈x,A∗ei〉 gegebendurch (vgl. [20] S. 230)

〈x,A∗ei〉 =∑

j

〈x, ej〉〈ej , A∗ei〉

=∑

j

〈x, ej〉〈Aej , ei〉

Wegen 〈Ax, ei〉 = 〈x,A∗ei〉 und aij = 〈Aej , ei〉 folgt hieraus also

〈Ax, ei〉 =∑

j

aij〈x, ej〉 .

Bei gegebener Basis lasst sich also jeder Operator A ∈ L(H) als zweifach unendlicheMatrix A = (aij)i,j∈Z : l2(Z,C) → l2(Z,C) auffassen.

Im Falle eines Operators A im Raum L(l2(Z,Cn)) ist es sinnvoll die zugehorigeMatrix (aij)i,j∈Z (bezuglich der Standardbasis) als Blockmatrix (Aij)i,j∈Z zu gliedern,mit den endlichen Matrizen

(1.4) Aij := πiAτj : Cn → Cn ,

wobei πi : l2(Z,Cn) → Cn , (ak)k∈Z 7→ ai und τj : Cn → l2(Z,Cn) , a 7→ (δkja)k∈Z.

Der Operator A erfahrt hiermit eine Darstellung der Form

A = (Aij)i,j∈Z : l2(Z,Cn) → l2(Z,Cn)

(xi)i∈Z 7→(∑

j∈ZπiAτjxj

)i∈Z .

Auch Operatoren in L(L2(T,Cn)) lassen sich auf diese Weise als unendliche Block-matrizen darstellen, denn die Fourier-Transformation Φ (vgl. (1.2)) stiftet auf naturli-che Weise einen Isomorphismus

(1.5) Ψ : L2(T,Cn) → l2(Z, Cn) , f = (fi)ni=1 7→

(Φ(fi)

)n

i=1,

wobei fi ∈ L2(T,C) fur i ∈ 1, . . . , n ist.

Satz 1.0.9. Sei Φ die Fourier-Transformation, dann gilt

Φ(H1(T,C)

)= (ck)k∈Z ∈ l2(Z,C) : (2πikck)k∈Z ∈ l2(Z,C) .

Page 12: Unendliche Determinanten zur Behandlung von periodischen Differentialgleichungen

1 Grundlegendes und Notation 9

Beweis. ”⊂“: Sei (ck)k ∈ Φ(H1(T,C)

), d.h. es existiert ein f ∈ H1(T,C) mit

fk = ck fur alle k ∈ Z .

Mittels partieller Integration ergibt sich fur die Fourierkoeffizienten von f ′:

f ′k =∫ 1

0

f ′(t) e −2πikt dt

=[f(t) e −2πikt

]1

0+ 2πik

∫ 1

0

f(t) e −2πikt dt

= 2πikfk .

Da (f ′k)k ∈ l2(Z,C) ist, folgt auch (2πikck)k ∈ l2(Z,C). Dies zeigt ”⊂“.

”⊃“: Seien nun (ck)k und (2πikck)k beides Folgen in l2(Z,C). Zu zeigen ist: Esexistiert ein f ∈ H1(T,C) mit fk = ck fur alle k ∈ Z.

Hierzu sei g := Φ−1((2πikck)k

) ∈ L2(T,C). Aufgrund von Lemma 1.0.2 ist g inte-grabel; setze daher weiter

G(t) :=∫ t

0

g(τ) dτ (0 ≤ t ≤ 1) .

Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (Theorem 1.0.5) ist Gabsolutstetig, insbesondere also G ∈ L2([0, 1],C). Wegen G′ = g fast uberall ist G′ ∈L2(T,C). Da nach Definition G(1) =

∫ 1

0g(τ) dτ = g0 = 0 = G(0) ist, folgt G ∈

H1(T,C).Mittels partieller Integration ergibt sich

2πikck = gk =∫ 1

0

g(t) e −2πikt dt

=∫ 1

0

G′(t) e −2πikt dt

=[G(t) e −2πikt

]1

0+ 2πik

∫ 1

0

G(t) e −2πikt dt

= 2πikGk

Daher gilt ck = Gk fur alle k 6= 0. Setzt man nun

f(t) := G(t)− G0 + c0 ,

so ist f ∈ H1(T,C) und es gilt fk = Gk fur k 6= 0. Fur k = 0 folgt aber durchEinsetzen:

f0 =∫ 1

0

G(t) dt− G0 + c0 = c0 .

Dies zeigt schließlich auch ”⊃“.

Page 13: Unendliche Determinanten zur Behandlung von periodischen Differentialgleichungen

2 Nukleare Operatoren undHilbert-Schmidt-Operatoren

2.1 Spektrum und singulare Zahlen kompakterOperatoren

Es sei H ein separabler (unendlichdimensionaler) Hilbertraum.

Definition 2.1.1. Ein Operator T : H → H heißt kompakt, falls die Menge T (B)kompakt ist, wobei B := x ∈ H

∣∣ ‖x‖ ≤ 1 die abgeschlossene Einheitskugel in Hbezeichne.

Jeder kompakte Operator ist beschrankt, denn ist die Menge T (B) kompakt, soauch beschrankt, d. h. es gilt sup‖x‖≤1‖Tx‖ <∞.

Die Menge K(H) der kompakten Operatoren bildet bekanntlich ein zweiseitigesIdeal in L(H), d. h.

a) K(H) 6= 0, K(H) 6= L(H);

b) fur A,B ∈ K(H) ist A+B ∈ K(H);

c) fur A ∈ L(H) und B ∈ K(H) ist AB ∈ K(H) und BA ∈ K(H).

Bemerkung 2.1.2: Da K(H) ein abgeschlossener Teilraum von L(H) ist (vgl. hierzu[20] S. 66), bildet der Raum der kompakten Operatoren sogar ein abgeschlosseneszweiseitiges Ideal in L(H).

Eine spezielle Klasse kompakter Operatoren, welche ebenfalls ein (nicht abgeschlos-senes) zweiseitige Ideal in L(H) bilden, ist durch die endlichdimensionalen Operatorengegeben, wobei diese definiert sind durch

Definition 2.1.3. Ein Operator F aus L(H) heißt endlichdimensional, falls derBildraum F (H) endliche Dimension hat.

Der Raum der endlichdimensionalen Operatoren sei mit F(H) bezeichnet.

In der Tat ist jeder endlichdimensionale Operator kompakt, denn der Abschlussbeschrankter Mengen in endlichdimensionalen Raumen ist kompakt.

Sind nun φjn1 und ψjn

1 zwei beliebige Systeme von Vektoren aus H, so ist durch

Fx :=n∑

j=1

〈x, φj〉ψj (x ∈ H)

offensichtlich ein endlichdimensionaler Operator mit hochstens n-dimensionalem Bildgegeben. Es gilt aber auch die Umkehrung.

Page 14: Unendliche Determinanten zur Behandlung von periodischen Differentialgleichungen

2.1 Spektrum und singulare Zahlen kompakter Operatoren 11

Lemma 2.1.4. Sei F ∈ F(H) mit n-dimensionalem Bild. Dann gibt es Systemeφjn

1 und ψjn1 in H, sodass F die Darstellung

F =n∑

j=1

〈·, φj〉ψj

erfahrt.

Beweis. Sei ψjn1 eine Orthonormal-Basis von F (H). Dann gilt fur x ∈ H: Fx =∑n

j=1〈Fx, ψj〉ψj , also Fx =∑n

j=1〈x, F ∗ψj〉ψj .

Eine Darstellung analog zu Lemma 2.1.4 lasst sich auch fur beliebige kompakteOperatoren erreichen, wie Theorem 2.1.10 zeigen wird.

Im Folgenden sollen die wichtigsten Resultate uber das Spektrum kompakter Ope-ratoren zusammengetragen werden.

Definition 2.1.5. Fur T ∈ L(H) definiere:

(1) σ(T ) := λ ∈ K : (λ − T ) ist nicht bijektiv heißt das Spektrum, und ρ(T ) :=Cr σ(T ) die Resolventenmenge von T .

(2) σp(T ) := λ ∈ K : (λ− T ) ist nicht injektiv heißt das Eigenwertspektrum vonT . In diesem Fall existiert also eine nichttriviale Losung x ∈ H der Gleichungλx − Tx = 0. Ein derartiges x ∈ H wird als Eigenvektor zum Eigenwert λbezeichnet.

(3) Fur λ ∈ σp(T ) heißt ker(λ− T ) der Eigenraum, und

N (λ, T ) := x ∈ K : ∃n ∈ N : (λ− T )nx = 0

der zu λ gehorige Hauptraum. Die Dimension des Eigenraums wird als die geo-metrische und jene des Hauptraums als die algebraische Vielfachheit von λbezeichnet.

Bemerkung 2.1.6: Das Spektrum eines Operators T ∈ L(H) ist eine kompakte Teil-menge von C, wobei |λ| ≤ ‖T‖ fur alle λ ∈ σ(T ) gilt. Ein Beweis dieses wohlbekanntenResultats findet sich beispielsweise in [20] S. 253.

Weiter ist der Eigenraum ker(λ − T ) zu einem Eigenwert λ ∈ C offensichtlichTeilmenge des zugehorigen Hauptraumes. Fur selbstadjungiertes T ∈ L(H) gilt sogarGleichheit :

Fur beliebiges λ ∈ R und x ∈ H folgt aus (λ− T )2x = 0 auch (λ− T )x = 0, denn

‖(λ− T )x‖2 = 〈(λ− T )x, (λ− T )x〉= 〈(λ− T )∗(λ− T )x, x〉= 〈(λ− T )2x, x〉 .

Da alle Eigenwerte eines selbstadjungierten Operators reell sind, wie folgende Rech-nung

λ〈x, x〉 = 〈Tx, x〉 = 〈x, Tx〉 = λ〈x, x〉 ,fur einen Eigenvektor x ∈ H zum Eigenwert λ ergibt, zeigt dies die behauptete Gleich-heit von Eigenraum und Hauptraum fur selbstadjungiertes T .

Page 15: Unendliche Determinanten zur Behandlung von periodischen Differentialgleichungen

2.1 Spektrum und singulare Zahlen kompakter Operatoren 12

Die kompakten Operatoren zeichnen sich vorallem durch ein besonders einfachesSpektrum aus, dieses besteht namlich bis evtl. auf die Null nur aus Eigenwerten, wienachstehendes Theorem zeigt.

Theorem 2.1.7 (Spektrum kompakter Operatoren). Sei T ∈ K(H). Dann gilt:

(1) Ist H unendlichdimensional, so ist 0 ∈ σ(T );

(2) Das Spektrum σ(T ) ist abzahlbar und hat keinen von Null verschiedenenHaufungspunkt;

(3) Jedes λ ∈ σ(T )r 0 ist ein Eigenwert von T ;

(4) Der Hauptraum (und damit auch der Eigenraum) eines von Null verschiedenenEigenwertes, ist von endlicher Dimension;

(5) Zu λ ∈ σ(T ) r 0 existiert ein Unterraum Rλ ⊂ H mit H = N (λ, T ) ⊕ Rλ

und T(Rλ

) ⊂ Rλ, sodass durch (λ − T )|Rλein Isomorphismus von Rλ auf Rλ

gegeben ist;

(6) Fur λ ∈ σ(T )r 0 gibt es eine kleinste Zahl n(λ) ∈ N, sodass

N (λ, T ) = ker(λ− T )n(λ) .

Der Beweis von Theorem 2.1.7 findet sich in [20] S. 263 unter Berucksichtigung vonLemma VI.2.2 auf S. 259.

Ein wichtiges Resultat fur kompakte selbstadjungierte Operatoren ist, dass diesediagonalisiert werden konnen:

Theorem 2.1.8 (Spektralsatz fur kompakte selbstadjungierte Operatoren). Ist T ∈K(H) selbstadjungiert, so existiert ein Orthonormalsystem (e1, e2, . . . ) von H mitlin e1, e2, . . . = kerT⊥ und eine Nullfolge reeller Zahlen λk mit |λk| ≥ |λk+1| > 0,sodass

Tx =∑

k

λk〈x, ek〉ek ∀x ∈ H .

Hierbei sind die λk die entsprechend ihrer algebraischen Vielfachheit aufgezahlten von0 verschiedenen Eigenwerte von T , und ek ist ein Eigenvektor zu λk.

Beweis. Ein Beweis findet sich in [20] S. 265-67. Bei der Lekture ist lediglich zu be-achten, dass fur selbstadjungiertes T die algebraische gleich der geometrischen Viel-fachheit ist, wie sich aus Bemerkung 2.1.6 ergibt.

Bemerkung 2.1.9: Die Folge (Tm)∞m=1 der Operatoren

Tmx :=m∑

k=1

λk〈x, ek〉ek (m ∈ N , x ∈ H)

konvergiert sogar in der Operatornorm gegen T , denn wie der (verallgemeinerte) Satzvon Pythagoras zusammen mit der Besselschen Ungleichung zeigt, ist

‖∞∑

k=m+1

λk〈x, ek〉ek‖2 =∞∑

k=m+1

λk2|〈x, ek〉|2 ≤ λ2

m+1‖x‖2 → 0 .

Page 16: Unendliche Determinanten zur Behandlung von periodischen Differentialgleichungen

2.1 Spektrum und singulare Zahlen kompakter Operatoren 13

Theorem 2.1.10 (Entwicklungssatz fur kompakte Operatoren). Zu T ∈ K(H) exis-tieren Orthonormalsysteme (e1, e2, . . . ) und (f1, f2, . . . ) in H, sowie positive Zahlens1 ≥ s2 ≥ · · · > 0 mit sk → 0, sodass

(2.1) Tx =∑

k

sk〈x, ek〉fk ∀x ∈ H .

Dabei sind die Zahlen sk2 die von 0 verschiedenen und gemaß algebraischer

Vielfachheit gezahlten Eigenwerte des selbstadjungierten Operators T ∗T .

Beweis. Zunachst sei festgestellt, dass alle Eigenwerte des kompakten, selbstadjun-gierten Operators T ∗T nichtnegativ sind, denn ist e Eigenvektor zum Eigenwert λ, sogilt

0 ≤ 〈Te, Te〉 = 〈T ∗Te, e〉 = 〈λe, e〉 = λ .

Nach Theorem 2.1.8 existiert ein Orthonormalsystem (ek)k aus Eigenvektoren vonT ∗T mit

T ∗Tx =∑

k

s2k〈x, ek〉ek (x ∈ H)

wobei sk :=√λk(T ∗T ) gesetzt sei.

Definiert man fn := 1snTen , so bilden die fn ein Orthonormalsystem, denn:

〈fn, fm〉 =1

snsm〈Ten, T em〉 =

1snsm

〈en, T∗Tem〉

=sm

2

snsmδnm = δnm .

Aus dem Zirkelschluss

(T ∗Tx = 0) ⇒ (〈T ∗Tx, x〉 = 0) ⇒ (〈Tx, Tx〉 = 0) ⇒ (Tx = 0) ⇒ (T ∗Tx = 0)

gewinnt man ker(T ) = ker(T ∗T ).Bezeichnet nun P die Orthogonalprojektion auf kerT⊥, so gilt aufgrund der Zerle-

gung H = kerT ⊕ kerT⊥:Tx = TPx ∀x ∈ H .

Nach Theorem 2.1.8 ist

ker(T )⊥ = ker(T ∗T )⊥ = lin e1, e2, . . . .

Somit ist die Orthogonalprojektion auf ker(T )⊥ gegeben durch:

Px =∑

k

〈x, en〉en

Dies liefert

Tx = TPx = T∑

k

〈x, en〉en =∑

k

〈x, en〉Ten =∑

k

sn〈x, en〉fn .

Page 17: Unendliche Determinanten zur Behandlung von periodischen Differentialgleichungen

2.1 Spektrum und singulare Zahlen kompakter Operatoren 14

Bemerkung 2.1.11: Theorem 2.1.10 zeigt also, dass die endlichdimensionalen Ope-ratoren dicht in K(H) liegen, denn setzt man fur x ∈ H und m ∈ N

Tmx :=m∑

k=1

sk〈x, ek〉fk ,

so ist ‖T − Tm‖ ≤ sm+1 , wie eine zu Bemerkung 2.1.9 analoge Rechnung zeigt.

Definition 2.1.12. Die positiven Zahlen sk = sk(T ) aus Theorem 2.1.10 heißen diesingularen Zahlen oder s-Zahlen von T.

Die Zahlen s21 ≥ s22 ≥ · · · > 0 sind also die entsprechend ihrer algebraischen Viel-fachheit gezahlten von 0 verschiedenen Eigenwerte des Operators T ∗T ∈ K(H).

Um die Umkehrung von Theorem 2.1.10 zeigen zu konnen, ist nachstehendes Lemmaentscheidend.

Lemma 2.1.13. Sei (αk)k eine Nullfolge in Cr 0 mit |αk| ≥ |αk+1| und (ek)k bzw.(fk)k Orthonormalsysteme in H. Dann gilt:

(1) Die Reihe∑

k αk〈x, ek〉fk konvergiert fur alle x ∈ H und der Operator T , defi-niert durch Tx :=

∑k αk〈x, ek〉fk ist kompakt.

Desweiteren ist der zu T adjungierte Operator fur x ∈ H gegeben durch T ∗x =∑k αk〈x, fk〉ek. Insbesondere ist auch der Operator T ∗ kompakt.

(2) Sei Tx :=∑

k αk〈x, ek〉ek fur x ∈ H, so sind die gemaß geometrischer Viel-fachheit aufgezahlten und von Null verschiedenen Eigenwerte des kompaktenOperators T gegeben durch λk(T ) = αk (k ∈ N).

Beweis. Die Konvergenz der Reihe in (1) folgt aus dem (verallgemeinerten) Satz vonPythagoras und der Besselschen Ungleichung, denn

‖∑

k

αk〈x, ek〉fk‖2 =∑

k

|αk|2|〈x, ek〉|2 ≤ |α1|2‖x‖2 <∞ .

Die Linearitat und Stetigkeit von T folgt aus der jeweiligen Eigenschaft des Skalar-produkts. Um die Kompaktheit zu zeigen, sei fur m ∈ N und x ∈ H

Tmx :=m∑

k=1

αk〈x, ek〉fk

gesetzt. Dies ist ein endlichdimensionaler Operator und damit kompakt. Wegen

‖Tx− Tmx‖2 = ‖∞∑

k=m+1

αk〈x, ek〉fk‖2 =∞∑

k=m+1

|αk|2|〈x, ek〉|2 ≤ |αm+1|2‖x‖2 ,

folgt aber ‖T − Tm‖ ≤ |αm+1| → 0 fur m→∞ .Da K(H) abgeschlossen in L(H) ist (vgl. Bemerkung 2.1.2), folgt somit auch die

Kompaktheit von T .Um den zu T adjungierten Operator zu bestimmen, seien x und y aus H gewahlt.Einerseits ist

〈Tx, y〉 =⟨ ∑

k

αk〈x, ek〉fk, y⟩

=∑

k

αk〈x, ek〉〈fk, y〉 ,

Page 18: Unendliche Determinanten zur Behandlung von periodischen Differentialgleichungen

2.1 Spektrum und singulare Zahlen kompakter Operatoren 15

und andererseits⟨x,

k

αk〈y, fk〉ek

⟩=

k

αk〈fk, y〉〈x, ek〉 .

Dies zeigt T ∗x =∑

k αk〈x, fk〉ek fur alle x ∈ H. Hiermit ist Behauptung (1) bewiesen.

Zum zweiten Teil der Behauptung. Jedenfalls gilt Tek = αkek , d. h. αk ∈ σ(T ) furalle k ∈ N.

Sei nun U := lin ek : k ∈ N gesetzt. Offensichtlich gilt U⊥ ⊂ kerT . Weiter seix ∈ H ein Eigenvektor mit Tx = λx. Aufgrund der Zerlegung H = U ⊕ U⊥ gibt esu ∈ U und v ∈ U⊥ mit x = u + v. Hiermit folgt dann Tx = Tu =

∑k〈u, ek〉Tek =∑

k αk〈u, ek〉ek, d. h. Tx ∈ U . Wegen Tx = λu + λv folgt fur λ 6= 0 hieraus x ∈ U .Mit x =

∑k〈x, ek〉ek folgt weiter

Tx =∑

k

αk〈x, ek〉ek = λ∑

k

〈x, ek〉ek ,

d. h.∑

k(αk − λ)〈x, ek〉ek = 0.Da die ek als Orthonormalvektoren voneinander linear unabhangig sind, folgt (αk−

λ)〈x, ek〉 = 0 fur alle k ∈ N. Wegen x 6= 0 muss daher ein k0 ∈ N existieren mitαk0 = λ.

Also sind durch (αk)k alle von 0 verschiedenen Eigenwerte von T gegeben. Diegeometrische Vielfachheit eines Eigenwertes αk stimmt aber, wiederum aufgrund derlinearen Unabhangigkeit der ek , mit der Haufigkeit des Wertes αk innerhalb der Folge(αk)k uberein.

Hiermit ergibt sich die Umkehrung zu Theorem 2.1.10:

Lemma 2.1.14. Ist (αk)k eine absteigende Nullfolge positiver Zahlen und (ek)k bzw.(fk)k Orthonormalsysteme in H, so definiert Tx :=

∑k αk〈x, ek〉fk einen kompakten

Operator mit sk(T ) = αk fur alle k ∈ N.

Beweis. Die Kompaktheit des Operators T wurde in Lemma 2.1.13 (1) gezeigt.Weiter folgt T ∗Tx =

∑k α

2k〈x, ek〉ek fur x ∈ H. Nach 2.1.13 (2) stimmen die von 0

verschiedenen Eigenwerte von T ∗T , entsprechend ihrer geometrischen Vielfachheit ,mit den Zahlen α2

k fur alle k ∈ N uberein.Da aufgrund der Selbstadjungiertheit des Operators T ∗T die geometrische gleich

der algebraischen Vielfachheit ist (vgl. Bemerkung 2.1.6), folgt sk(T ) = αk fur allek ∈ N.

Theorem 2.1.15. Sei T ∈ K(H) ein kompakter Operator. Dann ist auch der adjun-gierte Operator T ∗ kompakt und es gilt sk(T ) = sk(T ∗) fur alle k ∈ N, d. h. die Folgender singularen Zahlen sind identisch.

Beweis. Stellt man T gemaß Theorem 2.1.10 als T =∑

k sk(T )〈·, ek〉fk dar, so zeigtLemma 2.1.13 (1) die Kompaktheit von T ∗ mit T ∗x =

∑k sk〈x, fk〉ek (x ∈ H).

Wegen sk = sk folgt hieraus mittels Lemma 2.1.14 die Behauptung.

Page 19: Unendliche Determinanten zur Behandlung von periodischen Differentialgleichungen

2.1 Spektrum und singulare Zahlen kompakter Operatoren 16

Lemma 2.1.16 (Lemma von Schur).Zu T ∈ K(H) mit den - gemaß ihrer algebraischen Vielfachheit gezahlten - Eigenwer-ten λn, existiert ein Orthonormalsystem (en)n in H mit:

〈Ten, en〉 = λn .

Beweis. Seien mit µk die paarweise verschiedenen Eigenwerte von T bezeichnet.Nach Theorem 2.1.7 gilt dµk := dimN (µk, T ) <∞ fur alle k.

Deshalb lasst sich fur jedes k eine Basis (fk,1, . . . , fk,dµk) von N (µk, T ) so wahlen,

dass T |N(µk) Jordangestalt annimmt, d.h.

Tfk,l = µkfk,l + βk,lfk,l−1 mit βk,l ∈ 0, 1.

Setze(f1, f2, . . . ) := (f1,1, . . . , f1,dµ1

, f2,1, . . . , f2,dµk, . . . ).

Hiermit gilt also

(2.2) Tfn = λnfn + βnfn−1 mit βn ∈ 0, 1.

Da die fn bekanntermaßen linear unabhangig sind, lasst sich das Gram-Schmidt-Verfahren anwenden und ein Orthonormalsystem (en)n gewinnen. Gemaß Verfah-rensvorschrift hat dieses die Gestalt

en = αnfn + gn

mit αn := 1‖fn+gn‖ und gn ∈ lin e1, . . . , en−1 = lin f1, . . . , fn−1.

Wegen (2.2) ist auch Tgn ∈ lin e1, . . . , en−1 und es folgt fur alle n ∈ N:

〈Ten, en〉 =⟨αnTfn + Tgn, en

=⟨αn(λnfn + βnfn−1), en

⟩(nach (2.2))

= λn

⟨αnfn, en

= λn

⟨αnfn + gn, en

= λn〈en, en〉 .

Mit Hilfe des Lemmas von Schur lasst sich nun ein Zusammenhang zwischen denEigenwerten eines kompakten Operators und seinen singularen Zahlen herstellen.

Satz 2.1.17 (Weylsche Ungleichung). Sei T ∈ K(H) und (λn)n die Folge der Eigen-werte (gemaß algebraischer Vielfachheit) und (sn)n die Folge der singularen Zahlenvon T , dann folgt fur 1 ≤ p <∞:

∞∑n=1

|λn|p ≤∞∑

n=1

spn.

Page 20: Unendliche Determinanten zur Behandlung von periodischen Differentialgleichungen

2.1 Spektrum und singulare Zahlen kompakter Operatoren 17

Beweis. Sei T =∑

n sn〈·, fn〉gn gemaß dem Entwicklungssatz fur kompakte Opera-toren dargestellt, und (en)n ein Orthonormalsystem wie in Lemma 2.1.16. Dann giltfur jedes m ∈ N:

(2.3) λm = 〈Tem, em〉 =∑

n

sn〈em, fn〉〈gn, em〉

Mit amn := 〈em, fn〉〈gn, em〉 fur n,m ∈ N folgt

(2.4)∞∑

m=1

|amn| ≤ 1 (∀n ∈ N) und∞∑

n=1

|amn| ≤ 1 (∀m ∈ N) ,

denn mittels der Cauchy-Schwarzschen und der Besselschen Ungleichung gilt

∞∑m=1

|amn| =∞∑

m=1

|〈em, fn〉〈gn, em〉|

≤( ∞∑

m=1

|〈em, fn〉|2)1/2( ∞∑

m=1

|〈em, gn〉|2)1/2

≤ ‖fn‖‖gn‖ = 1 .

Die zweite Ungleichung ergibt sich analog.Sei zunachst p > 1 , 1

p + 1q = 1 und M ∈ N beliebig, dann gilt

M∑m=1

|λm|p(2.3)

≤M∑

m=1

(|λm|p−1

∞∑n=1

sn|amn|)

=M∑

m=1

∞∑n=1

|amn|1/psn|amn|1/q|λm|p−1

≤M∑

m=1

( ∞∑n=1

|amn|spn

)1/p( ∞∑n=1

|amn||λm|(p−1)q)1/q

(Holder)

≤( M∑

m=1

∞∑n=1

|amn|spn

)1/p( M∑m=1

∞∑n=1

|amn||λm|p)1/q

(Holder)

=( ∞∑

n=1

spn

M∑m=1

|amn|)1/p( M∑

m=1

|λm|p∞∑

n=1

|amn|)1/q

(2.4)

≤( ∞∑

n=1

spn

)1/p( M∑m=1

|λm|p)1/q

Da M ∈ N beliebig war, zeigt dies die Behauptung fur p > 1.Der Fall p = 1 ergibt sich aus der Abschatzung

M∑m=1

|λm|(2.3)

≤M∑

m=1

∞∑n=1

sn|amn| =∞∑

n=1

sn

M∑m=1

|amn|(2.4)

≤∞∑

n=1

sn ,

fur alle M ∈ N.

Page 21: Unendliche Determinanten zur Behandlung von periodischen Differentialgleichungen

2.2 Nukleare Operatoren 18

2.2 Nukleare Operatoren

Wie Theorem 2.1.10 gezeigt hat, lasst sich jedem kompakten Operator eine (evtl.abbrechende) Nullfolge positiver Zahlen zuordnen, die sogenannten singularen Zahlen.

Daher liegt es nahe die kompakten Operatoren nach den Konvergenzeigenschaf-ten ihrer s-Zahlen zu klassifizieren. Dies wird sich als fruchtbar in Hinblick auf eineDeterminantentheorie fur Operatoren erweisen.

Hierzu klassifiziert man:

Definition 2.2.1. Sei 1 ≤ p ≤ ∞. Dann nennt man

Sp(H) := T ∈ K(H) : (sj(T ))j ∈ lp(N,R+)die p-te Schatten-Klasse.

Desweiteren sei fur T ∈ Sp(H) die Abbildung ‖·‖Sp definiert durch

‖T‖Sp:=

(∑

j

sj(T )p)1/p

.

Bemerkung 2.2.2: Gemaß Theorem 2.1.15 ist fur T ∈ Sp(H) auch der adjungierteOperator T ∗ Element von Sp(H) und es gilt

(2.5) ‖T ∗‖Sp = ‖T‖Sp .

Es lasst sich zeigen, dass Sp(H) ein zweiseitiges Ideal in L(H) bildet, und durch(Sp(H), ‖·‖Sp) ein Banachraum definiert ist.

Fur p = 1 bzw. p = 2 wird dies (bis auf die Vollstandigkeit der Vektorraume) inden folgenden Abschnitten gezeigt. Der allgemeine Fall findet sich in [7] S. 92.

Desweiteren folgt aus Lemma 1.0.3

S1(H) ⊂ S2(H) ⊂ · · · ⊂ S∞(H) = K(H) .

In diesem Abschnitt soll nun der Fall p = 1 behandelt werden, und der Raum S1(H)genauer untersucht werden.

Dieser wird sich als geeignet zur Definition einer Spur und Determinante heraus-stellen, welche vollig analoge Eigenschaften zum endlichdimensionalen Fall aufweist.

Definition 2.2.3. Die nuklearen Operatoren sind die Elemente von S1(H).

Wichtig ist folgende Charakterisierung der nuklearen Operatoren.

Satz 2.2.4. Eine Abbildung N :H → H ist genau dann nuklear, falls es in H Folgen(xj)j und (yj)j gibt mit

∑j‖xj‖‖yj‖ <∞, sodass Nx =

∑j〈x, xj〉yj fur alle x ∈ H.

In diesem Fall gilt ‖N‖S1 ≤∑

j‖xj‖‖yj‖.Beweis. Sei N =

∑j sj(N)〈·, ej〉fj die kanonische Darstellung von N ∈ S1(H), dann

leisten die beiden Folgen (sj(N)ej)j und (fj)j das Verlangte.Seien nun andererseits (xj)j und (yj)j Folgen inH mit

∑j‖xj‖‖yj‖ <∞. Setzt man

Nx :=∑

j〈x, xj〉yj fur x ∈ H, so sieht man sofort N ∈ L(H) mit ‖N‖ ≤ ∑j‖xj‖‖yj‖.

Mit Nn :=∑n

j=1〈·, xj〉yj folgt aus

∥∥∥Nx−Nnx

n∑

j=1

〈x, xj〉yj

∥∥∥ ≤( ∞∑

j=n+1

‖xj‖‖yj‖)‖x‖

Page 22: Unendliche Determinanten zur Behandlung von periodischen Differentialgleichungen

2.2 Nukleare Operatoren 19

‖N −Nn‖ ≤∑∞

j=n+1‖xj‖‖yj‖ → 0 fur n→∞. Somit ist N als Limes endlichdimen-sionaler Opertatoren kompakt. Es bleibt noch

∑j sj(N) ≤ ∑

j‖xj‖‖yj‖ zu zeigen.Setze hierzu aj := ‖xj‖‖yj‖ und gj := xj

‖xj‖ , hj := yj

‖yj‖ .Hiermit ist also N =

∑j aj〈·, gj〉hj . Andererseits hat man auch die kanonische Dar-

stellung N =∑

j sj(N)〈·, ej〉fj .Wegen sm(N) = 〈Nem, fm〉 gilt zunachst fur alle M ∈ N

M∑m=1

sm(N) =∣∣∣

M∑m=1

j

aj〈em, gj〉〈hj , fm〉∣∣∣

=∣∣∣∑

j

M∑m=1

aj〈em, gj〉〈hj , fm〉∣∣∣

≤∑

j

aj

M∑m=1

|〈em, gj〉||〈hj , fm〉|

Die letzte Summe lasst sich nun mit Hilfe der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung undder Besselschen Ungleichung wie folgt abschatzen:

j

aj

M∑m=1

|〈em, gj〉||〈hj , fm〉| ≤∑

j

aj

( M∑m=1

|〈em, gj〉|2)1/2( M∑

m=1

|〈hj , fm〉|2)1/2

≤∑

j

aj‖gj‖‖hj‖

=∑

j

aj <∞ .

Also gilt∑M

m=1 sm(N) ≤ ∑j‖xj‖‖yj‖ fur alle M ∈ N .

Dies zeigt schließlich N ∈ S1(H) und ‖N‖S1 ≤∑

j‖xj‖‖yj‖ .

Bemerkung 2.2.5: Satz 2.2.4 zeigt gemeinsam mit Lemma 2.1.4 und Bemerkung2.2.2 also

F(H) ⊂ S1(H) ⊂ S2(H) · · · ⊂ K(H) .

Satz 2.2.6.(S1(H), ‖·‖S1

)ist ein normierter Vektorraum.

Beweis. Die Vektorraumeigenschaft λN ∈ S1(H) sieht man leicht, und auch‖λN‖S1 = |λ|‖N‖S1 ergibt sich sofort.

Seien nun A =∑

j sj(A)〈·, ej〉fj und B =∑

j sj(B)〈·, gj〉hj beliebige nukleareOperatoren. Dann ist auch der Operator A + B nuklear mit ‖A + B‖S1 ≤ ‖A‖S1 +‖B‖S1 , denn

A+B =∑

j

(sj(A)〈·, ej〉fj + sj(B)〈·, gj〉hj

)=

j

〈·, xj〉yj ,

mit (xj)j := (s1(A)e1, s1(B)g1, s2(A)e2, s2(B)g2, . . . ) und (yj)j := (f1, h1, f2, h2, . . . ).Da

∑j‖xj‖‖yj‖ = ‖A‖S1 + ‖B‖S1 zeigt dies wegen Satz 2.2.4 A+B ∈ S1(H) und

die Dreiecksungleichung fur die ‖·‖S1−Norm. Die Eigenschaft ‖A‖S1 = 0 ⇒ A = 0folgt schließlich aufgrund von Theorem 2.1.10, was den Beweis fertigstellt.

Page 23: Unendliche Determinanten zur Behandlung von periodischen Differentialgleichungen

2.2 Nukleare Operatoren 20

Der Vektorraum(S1(H), ‖·‖S1

)ist sogar vollstandig, also ein Banachraum (vgl.

hierzu [20] S. 282).

Satz 2.2.7. Seien A und B beschrankte Operatoren und N ∈ S1(H). Dann ist auchANB nuklear und es gilt die Abschatzung ‖ANB‖S1 ≤ ‖A‖‖N‖S1‖B‖.

Beweis. SchreibeN =∑

j sj(N)〈·, ej〉fj . Hiermit ist ANB =∑

j sj(N)〈·, B∗ej〉Afj .Wegen

j

sj(N)‖B∗ej‖‖Afj‖ ≤ ‖B∗‖‖A‖∑

j

sj(N) = ‖A‖‖N‖S1‖B‖

ergibt sich die Behauptung aus Satz 2.2.4.

Satz 2.2.7 besagt also, dass S1(H) ein zweiseitiges Ideal in L(H) bildet.

Nun soll das Konzept der Spur eines nuklearen Operators entwickelt werden, wel-ches auf folgendem Satz grundet.

Satz 2.2.8. Sei N ∈ S1(H) und (ek)k eine beliebige Orthonormal-Basis in H. Dannkonvergiert die Reihe ∑

k

〈Nek, ek〉

und ihr Wert ist unabhangig von der Wahl der Orthonormalbasis. Dabei ist die Kon-vergenz der Reihe absolut.

Beweis. Zur absoluten Konvergenz der Reihe. Sei (ek)k eine beliebige Orthonormal-Basis, dann folgt

k

|〈Nek, ek〉| ≤∑

k

∑n

sn|〈ek, fn〉||〈gn, ek〉| ,

wobei N =∑

n sn〈·, fn〉gn gemaß (2.1) dargestellt sei.

Aufgrund der Holderschen Ungleichung folgt aber

∑n

k

sn|〈ek, fn〉||〈gn, ek〉| ≤∑

n

sn

(∑

k

|〈ek, fn〉|2)1/2( ∑

k

|〈gn, ek〉|2)1/2

=∑

n

sn‖fn‖‖gn‖ (Parsevalsche Gleichung)

=∑

n

sn <∞ , da N ∈ S1.

Also konvergiert die Reihe∑

n

∑k sn〈ek, fn〉〈gn, ek〉 absolut.

Nach dem Doppelreihensatz ist somit auch die absolute Konvergenz von∑k〈Nek, ek〉 nachgewiesen.

Nun zur Unabhangigkeit des Grenzwertes von der expliziten Wahl der Orthonor-malbasis.

Page 24: Unendliche Determinanten zur Behandlung von periodischen Differentialgleichungen

2.2 Nukleare Operatoren 21

k

〈Nek, ek〉 =∑

k

∑n

sn〈ek, fn〉〈gn, ek〉

=∑

n

sn

k

〈ek, fn〉〈gn, ek〉 (da die Konvergenz absolut)

=∑

n

sn〈gn, fn〉(2.6)

Da die rechte Seite der Gleichung unabhangig von (ek)k ist, folgt die Behauptung.

Aufgrund von Satz 2.2.8 lasst sich schließlich die Spur eines nuklearen Operatorsdefinieren.

Definition 2.2.9. Sei N ∈ S1(H) und (ek)k eine beliebige Orthonormalbasis von H,dann heißt

sp N :=∑

k

〈Nek, ek〉

die Spur des Operators N .

Nun einige wichtige Eigenschaften der Spur. Es sei nochmals die Analogie zumEndlichdimensionalen bemerkt.

Satz 2.2.10.

(a) sp : S1(H) → C ist ein stetiges Funktional und fur beliebiges N ∈ S1(H) gilt|sp N | ≤ ‖N‖S1 .

(b) Fur N ∈ S1(H) und A ∈ L(H) gilt sp (AN) = sp (NA).

(c) Ist N ∈ S1(H) und A ∈ L(H) invertierbar, so folgt sp (N) = sp (A−1NA).

Beweis. (a) Die Linearitat ist klar, nach Definition. In der Notation von (2.6) folgtnun aufgrund der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung

|sp N | =∣∣ ∑

n

sn〈gn, fn〉∣∣ ≤

∑n

sn

∣∣〈gn, fn〉∣∣ ≤

∑n

sn ,

also |sp N | ≤ ‖N‖S1 .

(b) Sei N =∑

k sk〈·, ek〉fk gemaß Entwicklungssatz 2.1.10 dargestellt, dann gilt

AN =∑

k

sk〈·, ek〉Afk, und NA =∑

k

sk〈·, A∗ek〉fk .

Somit folgt fur die Spur einerseits

sp (AN) =∑

j

〈ANej , ej〉 =∑

j

⟨ ∑

k

sk〈ej , ek〉Afk, ej

⟩=

j

sj〈Afj , ej〉

und andererseits

sp (NA) =∑

j

〈NAfj , fj〉 =∑

j

⟨ ∑

k

sk〈fj , A∗ek〉fk, fj

⟩=

j

sj〈Afj , ej〉.

Page 25: Unendliche Determinanten zur Behandlung von periodischen Differentialgleichungen

2.2 Nukleare Operatoren 22

Dies bedeutet sp (AN) = sp (NA) fur alle A ∈ L(H) .

(c) folgt nun aus (b), denn

sp (A−1NA) = sp (NAA−1) = sp (N).

Theorem 2.2.11 (Lidskii (1958)). Fur beliebiges N ∈ S1(H) gilt

sp N =∑

j

λj(N) ,

wobei die λj(N) gemaß ihrer algebraischen Vielfachheit aufgezahlt seien.

Bemerkenswerter Weise ist also, analog zum endlichdimensionalen Fall, die Spureines nuklearen Operators durch die Summe seiner Eigenwerte gegeben. Beweise desTheorems von Lidskii finden sich beispielsweise in [5] S. 126, [7] S. 101 und [14] S. 328.

Das nachste Ziel ist die Einfuhrung einer Determinante fur Operatoren in S1(H).Fur eine Matrix M ∈ Cn×n ist die Determinante det(1 −M) bekanntlich gegeben

durch

det(1−M) =n∑

j=1

(1− λj(M)

).

Es stellt sich heraus, dass dieser Determinantenbegriff auch fur nukleare OperatorenSinn ergibt.

Nach Satz 2.1.17 (Weylsche Ungleichung) gilt namlich fur N ∈ S1(H)∑

i

|λi(N)| <∞ .

Dies bedeutet aber, wie aus der Funktionentheorie bekannt (vgl. [11] S. 104), dass dasunendliche Produkt ∏

j

(1− λj(N)

)

konvergiert, folgende Definition also berechtigt ist:

Definition 2.2.12. Fur N ∈ S1(H) sei

det1 (1−N) :=∏

j

(1− λj(N)

),

wobei die λj(N) entsprechend ihrer algebraischen Vielfachheit aufgefuhrt seien.

Stellt man den Operator N ∈ S1(H) gemaß (1.3) als unendliche Matrix dar, sowird sich in Kapitel 3 herausstellen, dass die Determinante det1 (1 − N) gerade derLimes der endlichen Abschnittsdeterminanten von 1−N ist.

Lemma 2.2.13. Sei T ∈ L(H) und A ∈ L(H) invertierbar. Dann haben T undATA−1 die gleichen Eigenwerte und die zugehorigen algebraischen Vielfachheiten sindidentisch.

Page 26: Unendliche Determinanten zur Behandlung von periodischen Differentialgleichungen

2.3 Hilbert-Schmidt-Operatoren 23

Beweis. Sei λ ∈ C, dann gilt

(λ− T ) injektiv ⇔ A(λ− T )A−1 injektiv ⇔ λ−ATA−1 injektiv ,

d. h. T und ATA−1 haben identische Eigenwerte.Fur m ∈ N gilt

(λ−ATA−1)m = (A(λ− T )A−1)m = A(λ− T )mA−1

und somitx ∈ N (λ, T ) ⇔ Ax ∈ N (λ,ATA−1) ,

also A(N (λ, T )) = N (λ,ATA−1). Da A als invertierbar vorausgesetzt wurde, sind dieDimensionen beider Hauptraume identisch.

Als unmittelbare Folgerung erhalt man

Satz 2.2.14. Fur N ∈ S1(H) und invertierbares A ∈ L(H) gilt

det1 (1−N) = det1 (1−ANA−1) .

2.3 Hilbert-Schmidt-Operatoren

Dieser Abschnitt untersucht nun den Fall der Operatoren in S2(H), deren singulareZahlen also im Folgenraum l2(N,R+) liegen.

Fur diese lasst sich zwar keine Spur wie im Fall der nuklearen Operatoren definie-ren, jedoch aber eine regularisierte Determinante. Diese unterscheidet sich von derDeterminante in S1(H) lediglich um konvergenzerzeugende Faktoren.

Zunachst soll jedoch gezeigt werden, dass auch die Hilbert-Schmidt-Operatoren einzweiseitiges Ideal in L(H) bilden.

Hierzu eine nutzliche Charakterisierung der Operatoren in S2(H):

Satz 2.3.1. Ist T ∈ S2(H) und (gm)m eine beliebige Orthonormalbasis von H, sogilt ∑

m

‖Tgm‖2 = ‖T‖2S2.

Insbesondere ist die Summe also unabhangig von der Wahl der Orthonormalbasis.Ist umgekehrt T ∈ L(H) und (gm)m eine Orthonormalbasis von H fur welche∑m‖Tgm‖2 <∞ gilt, so ist T bereits ein Hilbert-Schmidt-Operator.

Beweis. Sei zunachst T ∈ K(H) und T =∑

j sj〈·, ej〉fj die zugehorige s-Zahlen-Entwicklung. Dann gilt fur eine beliebige Orthonormalbasis (gm)m von H:

∑m

‖Tgm‖2 =∑m

∥∥∥∑

j

sj〈gm, ej〉fj

∥∥∥2

=∑m

⟨∑

j

sj〈gm, ej〉fj ,∑

j

sj〈gm, ej〉fj

=∑m

j

s2j |〈gm, ej〉|2(2.7)

Page 27: Unendliche Determinanten zur Behandlung von periodischen Differentialgleichungen

2.3 Hilbert-Schmidt-Operatoren 24

Weiter gilt wegen∑

m|〈gm, ej〉|2 = ‖ej‖2 = 1 :∑

j

s2j =∑

j

s2j∑m

|〈gm, ej〉|2

=∑

j

∑m

s2j |〈gm, ej〉|2(2.8)

Nach dem Doppelreihensatz ist die Summe (2.7) aber genau dann konvergent, wenndies (2.8) ist, mit jeweils gleichen Grenzwerten.

Somit gilt im Falle∑

j s2j <∞ , d. h. T ∈ S2(H)

∑m

‖Tgm‖2 = ‖T‖2S2.

Dies zeigt den ersten Teil der Behauptung.

Sei nun T ∈ L(H) und∑

m‖Tgm‖2 < ∞ fur eine Orthonormalbasis (gm)m in H.Um den zweiten Teil der Behauptung zu beweisen, reicht es die Kompaktheit vonT zu zeigen, denn dann liefert ein Vergleich der Summen (2.7) und (2.8) nach demDoppelreihensatz ∑

j

s2j =∑m

‖Tgm‖2 <∞ ,

und somit also T ∈ S2(H) .Hierzu bezeichne PN die Orthogonalprojektion auf lin g1, . . . , gN, also PNx =∑Nm=1〈x, gm〉gm. Dann ist TPN fur alle N ∈ N endlichdimensional, und es folgt mit

Hilfe der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung fur alle x ∈ H:

‖Tx− TPNx‖ = ‖T (1− PN )x‖ =∥∥

∞∑

m=N+1

〈x, gm〉Tgm

∥∥

≤∞∑

m=N+1

|〈x, gm〉|‖Tgm‖

≤( ∞∑

m=N+1

‖Tgm‖2)1/2( ∞∑

m=1

|〈x, gm〉|2)1/2

Die Parsevalsche-Gleichung zeigt schließlich

‖T − TPN‖ ≤( ∞∑

m=N+1

‖Tgm‖2)1/2

→ 0 fur N →∞ .

Also ist T als Limes endlichdimensionaler Operatoren kompakt. Dies zeigt auch denzweiten Teil der Behauptung.

Satz 2.3.1 gestattet nun ein, fur spater folgende Rechnungen, wichtiges Resultat zuformulieren.

Lemma 2.3.2. Sei T = (Tkl)k,l∈Z die Blockmatrixdarstellung eines Operators inS2(l2(Z,Cn)) bezuglich der Standardbasis in l2(Z,Cn), dann gilt

‖T‖S2 =( ∑

k,l∈Z|Tkl|2

)1/2

,

Page 28: Unendliche Determinanten zur Behandlung von periodischen Differentialgleichungen

2.3 Hilbert-Schmidt-Operatoren 25

wobei | · | die Quadratsummennorm der Matrix Tkl =((Tkl)ij

)n

i,j=1bezeichne, also

|Tkl| :=( n∑

i,j=1

|(Tkl)ij |2)1/2

.

Ist umgekehrt fur einen Operator T = (Tkl)k,l∈Z aus L(l2(Z,Cn)) die Reihe∑k,l∈Z|Tkl|2 konvergent, so ist T ein Hilbert-Schmidt-Operator.

Beweis. Sei (gm)m die Standardbasis in l2(Z,Cn). Nach Satz 2.3.1 gilt

‖T‖2S2=

∑m

‖Tgm‖2

=∑m

〈Tgm, T gm〉

=∑m

∑n

〈Tgm, gn〉〈gn, T gm〉

=∑m

∑n

|〈Tgm, gn〉|2 .

Aufgrund des Großen Umordnungssatzes, hat die Summationsreihenfolge keinen Ein-fluss auf die Konvergenz und den Grenzwert der letzten Summe, d. h. man hat

(2.9) ‖T‖2S2=

m,n∈Z|〈Tgm, gn〉|2 .

Da (Tkl)ij = 〈Tgs, gt〉 (mit s, t ∈ Z geeignet) liefert eine geeignete Wahl der Sum-mationsreihenfolge in (2.9) schließlich

‖T‖2S2=

k,l∈Z

n∑

i,j=1

|(Tkl)ij |2 .

Die Umkehrung ergibt sich ebenfalls aus dem Großen Umordnungssatz, denn kon-vergiert

∑k,l∈Z|Tkl|2 so auch die Doppelreihe

∑m

∑n|〈Tgm, gn〉|2.

Da nach obiger Rechnung∑

m‖Tgm‖2 =∑

m

∑n|〈Tgm, gn〉|2 ist, folgt die Behaup-

tung aus Satz 2.3.1.

Hiermit ergibt sich nun auch

Lemma 2.3.3. Sei K ∈ F(l2(Z,Cn)) ein eindimensionaler Operator, dann gilt furalle 1 ≤ p ≤ ∞

‖K‖Sp =( ∑

k,l∈Z|Kkl|2

)1/2

,

wobei K = (Kkl)k,l∈Z die Blockmatrixdarstellung (bzgl. der Standardbasis) sei, und| · | die Quadratsummennorm der Matrix Kkl bezeichne.

Beweis. Da der Operator K eindimensional ist, gibt es nach Lemma 2.1.4 Vektorenφ und ψ aus l2(Z,Cn) , sodass K = 〈·, φ〉ψ gilt, d. h.

K = ‖φ‖‖ψ‖⟨· , φ

‖φ‖⟩ ψ

‖ψ‖ .

Page 29: Unendliche Determinanten zur Behandlung von periodischen Differentialgleichungen

2.3 Hilbert-Schmidt-Operatoren 26

Gemaß Lemma 2.1.14 ist somit die (einzige) singulare Zahl des Operators K durchs(K) = ‖φ‖‖ψ‖ gegeben. Nach Definition der Norm in Sp(H) gilt also fur alle 1 ≤p ≤ ∞

‖K‖Sp= ‖K‖S2 .

Die Behauptung folgt nun aus Lemma 2.3.2.

Satz 2.3.4. (S2(H), ‖·‖S2) ist ein normierter Vektorraum.

Beweis. Sei T ∈ S2(H), dann sieht man unmittelbar λT ∈ S2(H) mit ‖λT‖S2 =|λ|‖T‖S2 .

Sei nun auch U ∈ S2(H) , dann sind nach Satz 2.3.1 die beiden Folgen (Tgm)m

und (Ugm)m Elemente des Folgenraums l2(N,H) fur eine beliebige Orthonormalbasis(gm)m in H. (Hierbei ist zu beachten, dass sich die in (1.1) fur den Fall H = Cn

gemachte Definition auf beliebige Banachraume ubertragen lasst und auch hier dieDreiecksungleichung gilt).

Die Dreiecksungleichung fur die l2- Norm liefert dann( ∑

m

‖Tgm + Ugm‖2)1/2 ≤ (∑

m

‖Tgm‖2)1/2 +

(∑m

‖Ugm‖2)1/2

,

d. h. gemaß Satz 2.3.1 gilt T +U ∈ S2(H) mit ‖T +U‖S2 ≤ ‖T‖S2 + ‖U‖S2 . Die Nor-meigenschaft ‖T‖S2 = 0 ⇒ T = 0 folgt mittels Theorem 2.1.10, was die Behauptungzeigt.

Satz 2.3.5. Sei T ein Hilbert-Schmidt-Operator und A,B ∈ L(H). Dann ist ATB ∈S2(H) mit ‖ATB‖S2 ≤ ‖A‖‖T‖S2‖B‖.

Der Raum S2(H) ist somit ein zweiseitiges Ideal in L(H).

Beweis. Bezeichne (gm)m eine Orthonormalbasis in H.Wegen ‖ATgm‖ ≤ ‖A‖‖Tgm‖ folgt aus Satz 2.3.1 zunachst AT ∈ S2(H) und

‖AT‖S2 ≤ ‖A‖‖T‖S2 .Da TB = (B∗T ∗)∗ folgt hieraus mittels Bemerkung 2.2.2 TB ∈ S2(H) mit

‖TB‖S2 = ‖(B∗T ∗)∗‖S2 ≤ ‖T‖S2‖B‖.Dies zeigt die Behauptung.

Erstaunlicherweise ist das Produkt zweier Hilbert-Schmidt-Operatoren nuklear:

Satz 2.3.6. Seien S, T ∈ S2(H), dann ist der Operator ST nuklear und es gilt

‖ST‖S1 ≤ ‖S‖S2‖T‖S2 .

Beweis. Ist (gm)m irgendeine Orthonormalbasis von H, so hat man fur Tx ∈ H dieEntwicklung

Tx =∑m

〈Tx, gm〉gm ,

alsoSTx =

∑m

〈x, T ∗gm〉Sgm ∀x ∈ H.

Nach der Cauchy-Schwarz-Ungleichung in l2(H) gilt:∑m

‖T ∗gm‖‖Sgm‖ ≤( ∑

m

‖T ∗gm‖2)1/2(∑

m

‖Sgm‖2)1/2

= ‖T ∗‖S2‖S‖S2 <∞ .

Page 30: Unendliche Determinanten zur Behandlung von periodischen Differentialgleichungen

2.3 Hilbert-Schmidt-Operatoren 27

Nach Satz 2.2.4 ist daher der Operator ST nuklear mit

‖ST‖S1 ≤ ‖S‖S2‖T ∗‖S2 = ‖S‖S2‖T‖S2 ,

wobei die letzte Gleichung aus (2.5) folgt.

Um die Determinante fur Hilbert-Schmidt-Operatoren zu erklaren, sind wie be-reits angesprochen konvergenzerzeugende Faktoren notig, welche durch nachstehendesLemma eingefuhrt werden.

Lemma 2.3.7. Sei T ∈ S2(H) und λj(T )j die gemaß algebraischer Vielfachheitaufgefuhrten Eigenwerte von T . Dann konvergiert das unendliche Produkt

det2 (1− T ) :=∏

j

(1− λj(T )

)e λj(T ) .

Beweis. Sei ohne Einschrankung angenommen, dass |λj(T )| < 12 fur alle j ∈ N gilt.

Aufgrund der Weylschen Ungleichung (vgl. Satz 2.1.17) folgt

j

| ln(1− λj) + λj | =∑

j

∣∣∣∣λ2

j

2+λ3

j

3+ . . .

∣∣∣∣

≤∑

j

|λj |22

(1 + |λj |+ |λj |2 + . . . )

≤∑

j

|λj |22− 2|λj | ≤

j

|λj |2 ≤ ‖T‖2S2,

also konvergiert die Reihe∑

j ln(1− λj) + λj , und somit auch das Produkt

j

(1− λj) e λj = e∑

jln(1−λj)+λj .

Dies gestattet folgende

Definition 2.3.8. Das unendliche Produkt det2 (1 − T ) fur T ∈ S2(H) aus Lemma2.3.7 heißt die regularisierte Determinante.

Eine wesentliche Eigenschaft dieser Determinante ist, dass wie im Endlichdimensio-nalen und im Falle der S1-Determinante, die Nullstellen der regularisierten Determi-nante genau durch die Eigenwerte (gemaß ihrer algebraischen Vielfachheit) gegebensind.

Satz 2.3.9. Fur T ∈ S2(H) und beliebigem invertierbaren Operator A ∈ L(H) gilt

det2 (1− T ) = det2 (1−ATA−1) .

Beweis. Dies folgt aus Lemma 2.2.13.

Page 31: Unendliche Determinanten zur Behandlung von periodischen Differentialgleichungen

3 Unendliche Determinanten

Ausgehend von den in 2.2.12 bzw. 2.3.8 definierten Operator-Determinanten fur nu-kleare Operatoren und Hilbert-Schmidt-Operatoren stellt dieser Abschnitt den Zu-sammenhang zur Determinantentheorie endlicher Matrizen her.

Wird namlich ein Operator A ∈ L(H) bezuglich einer Orthonormalbasis als un-endliche Matrix dargestellt, so ergibt sich im Fall der nuklearen Operatoren die De-terminante det1 (1−A) gerade als Limes der endlichen Abschnittsdeterminanten von1−A , wie Satz 3.2.13 zeigen wird. Dies kann auch als Definition fur die Determinan-te nuklearer Operatoren dienen und anschließend die Aquivalenz zu Definiton 2.2.12gezeigt werden. Diese Herangehensweise findet sich (in allgemeinerer Form) z. B. in[8] oder [5].

Fur die Determinante eines Hilbert-Schmidt-Operators erhalt man ein analogesErgebnis: die regularisierte Determinante ist der Grenzwert, der um konvergenzerzeu-gende Faktoren erweiterten endlichen Abschnittsdeterminanten (vgl. hierzu 3.2.12).Auch ein Multiplikationsgesetz fur regularisierte Determinanten wird folgen.

Diese Ergebnisse grunden auf der stetigen Abhangigkeit der regularisierten Deter-minante det2 (1−A) vom Operator A ∈ S2(H). Dies ist der Inhalt von Theorem 3.2.5,auf dessen Beweis der nun folgende Abschnitt uber den holomorphen Funktionalkalkulvorbereiten soll.

3.1 Holomorpher Funktionalkalkul

Ausgehend von einer bestimmten Klasse komplexwertiger Funktionen f und einembeschrankten Operator T , soll auf sinnvolle Weise versucht werden einen Operatorf(T ) zu konstruieren und dessen Spektrum zu analysieren.

Grundlage hierfur bildet die Funktionentheorie, vorallem der Integralsatz vonCauchy.

Zunachst ist es jedoch notig, die klassische Theorie auf Funktionen mit Werten ineinem komplexen Banachraum zu verallgemeinern. Dies bereitet jedoch keine Schwie-rigkeiten, da in den Definitionen, Satzen und Beweisen lediglich Betragsstriche durchNormen zu ersetzen sind.

So wird wie im komplexwertigen Fall fur eine stetige Funktion f : Γ → B, wobeiΓ ⊂C ein Integrationsweg und B ein komplexer Banachraum sei, das Kurvenintegral∫

Γf(λ)dλ als Grenzwert Riemannscher Summen

∑k f(ξk)(λk − λk−1) erklart.

Die Grundlage des Kalkuls bildet die folgende Funktionenklasse.

Definition 3.1.1. Zu T ∈ L(H) bezeichnet H(T ) die Menge aller komplexwerti-gen Funktionen, welche in einer Umgebung von σ(T ) holomorph, d. h. lokal in einePotenzreihe entwickelbar sind.

Die (nicht notwendig zusammenhangende) Umgebung darf hierbei mit f ∈ H(T )variieren, und sei mit ∆(f) notiert.

Definition 3.1.2. Eine beschrankte Umgebung B von σ(T ) heißt zulassiger Bereich

Page 32: Unendliche Determinanten zur Behandlung von periodischen Differentialgleichungen

3.1 Holomorpher Funktionalkalkul 29

(bezuglich T ), wenn der Rand ∂B aus endlich vielen rektifizierbaren Jordankurven1

B1, . . . , Bn besteht, deren Orientierung durch folgende Vorschrift gegeben ist: Bi wer-de entgegen dem Uhrzeigersinn durchlaufen, falls es Punkte aus B gibt welche imInneren von Bi liegen; andernfalls erfolge der Durchlauf im Uhrzeigersinn.

Aus dem Borelschen Uberdeckungssatz fur kompakte Mengen gewinnt man leicht,dass es zu f ∈ H(T ) stets einen zulassigen Bereich B mit σ(T ) ⊂ B ⊂ B ⊂ ∆(f)gibt. Ist B′ ein weiterer zulassiger Bereich dieser Art, so folgt mittels des CauchyschenIntegralsatzes ∫

∂B

f(λ)(λ− T )−1dλ =∫

∂B′f(λ)(λ− T )−1dλ.

Dies garantiert die Wohldefiniertheit der folgenden Definition:

Definition 3.1.3. Zu T ∈ L(H) und f ∈ H(T ) sei

f(T ) :=1

2πi

∂B

f(λ)(λ− T )−1dλ ,

wobei B ein zulassiger Bereich mit σ(T ) ⊂ B ⊂ B ⊂ ∆(f) ist.

Es ist leicht zu sehen, dass mit f, g ∈ H(T ) und α ∈ C auch αf , f+g und fg inH(T )liegen. Hiermit lassen sich nun die wichtigsten Rechenregeln des Funktionalkalkulsformulieren:

Satz 3.1.4. Seien f und g Elemente von H(T ). Dann gilt:

(a) (αf)(T ) = αf(T ) fur α ∈ C ;

(b) (f + g)(T ) = f(T ) + g(T ) ;

(c) (fg)(T ) = f(T ) g(T ) , insbesondere kommutiert der Operator f(T ) mit g(T ) ;

(d) Mit f(λ) = λn ist f(T ) = Tn fur n ∈ N;

(e) Sei f(λ) 6= 0 fur λ ∈ σ(T ), so existiert f(T )−1 und es gilt f(T )−1 =(

1f

)(T ) .

Beweis. (a) und (b) sind trivial.Zu (c). Wahle zulassige Bereiche Bf und Bg mit Bf ⊂ Bg ⊂ Bg ⊂ ∆(f) ∩∆(g).

Dann gilt nach Definition

f(T ) g(T ) =

[1

2πi

∂Bf

f(λ)(λ− T )−1dλ

]

[1

2πi

∂Bg

g(µ)(µ− T )−1dµ

]

=− 14π2

∂Bf

∂Bg

f(λ)g(µ)(λ− T )−1(µ− T )−1dµ dλ .

Aus µ− λ = (µ− T )− (λ− T ) folgt die sogenannte Resolventengleichung :

(µ− λ)(λ− T )−1(µ− T )−1 = (λ− T )−1 − (µ− T )−1 ,

1Eine Jordankurve soll eine geschlossene einfache Kurve bezeichnen.

Page 33: Unendliche Determinanten zur Behandlung von periodischen Differentialgleichungen

3.1 Holomorpher Funktionalkalkul 30

und hiermit

f(T ) g(T ) =− 14π2

∂Bf

∂Bg

f(λ)g(µ)µ− λ

[(λ− T )−1 − (µ− T )−1

]dµ dλ

=− 14π2

∂Bf

f(λ)(λ− T )−1

[∫

∂Bg

g(µ)µ− λ

]dλ

+∫

∂Bg

g(µ)(µ− T )−1

[∫

∂Bf

f(λ)µ− λ

]dµ ,

wobei die Integrationsreihenfolge im zweiten Term der Summe aufgrund des Satzesvon Fubini vertauscht werden durfte. Wegen λ ∈ ∂Bf⊂Bg und µ ∈ ∂Bg gilt nun nachder Cauchyschen Integralformel:

∂Bg

g(µ)µ− λ

dµ = 2πi g(λ) und∫

∂Bf

f(λ)µ− λ

dλ = 0 .

Schließlich folgt

f(T ) g(T ) =1

2πi

∂Bf

f(λ)g(λ)(λ− T )−1dλ = (fg)(T ) .

Zu (d). Sei C ein Kreis mit Radius R > ‖T‖. Der Satz uber die Neumannsche Reiheliefert:

f(T ) =1

2πi

C

λn(λ− T )−1 dλ =1

2πi

C

λn

( ∞∑

k=0

T k

λk+1

)dλ .

Da die Reihe∑∞

k=0T k

λk+1 auf C gleichmaßig konvergiert, darf gliedweise integriertwerden, dies bedeutet

f(T ) =1

2πi

∞∑

k=0

C

λn T k

λk+1dλ .

Wegen ∫

C

1ξm

dξ =

2πi fur m = 10 sonst

folgt Behauptung (d).

Zum Beweis von (e). Da f holomorph auf ∆(f) ist, existiert eine offene Menge∆ ⊃ σ(T ) so, dass sogar f(λ) 6= 0 auf ∆ ist. Also ist 1

f holomorph auf ∆ und somit1f ∈ H(T ). Wegen f(λ)

(1f

)(λ) = 1 fur λ ∈ ∆, folgt die Behauptung nun aus (c) und

(d).

Satz 3.1.5 (Spektralabbildungssatz). Sei f ∈ H(T ), dann ist das Spektrum von f(T )gegeben durch:

σ(f(T )) = f(σ(T )).

Beweis. Sei zunachst µ ∈ σ(f(T )) vorausgesetzt.Angenommen es ware µ /∈ f(σ(T )), also µ − f(λ) 6= 0 fur alle λ ∈ σ(T ). Nach

Satz 3.1.4(e) besaße µ − f(T ) eine Inverse, also µ /∈ σ(f(T )) im Widerspruch zurVoraussetzung. Dies zeigt σ(f(T )) ⊂ f(σ(T )).

Page 34: Unendliche Determinanten zur Behandlung von periodischen Differentialgleichungen

3.1 Holomorpher Funktionalkalkul 31

Nun zu f(σ(T )) ⊂ σ(f(T )). Sei µ ∈ f(σ(T )), d. h. es existiert ein ξ ∈ σ(T ) mitµ = f(ξ). Hiermit setze fur λ ∈ σ(T ):

g(λ) :=

f(λ)−f(ξ)

λ−ξ fur λ 6= ξ

f ′(ξ) fur λ = ξ

Dann ist g ∈ H(T ) und wegen g(λ)(ξ − λ) = µ− f(λ) folgt mit Satz 3.1.4 (c)

g(T )(ξ − T ) = (ξ − T )g(T ) = µ− f(T ).

Angenommen es ware µ ∈ ρ(f(T )) , d. h. µ− f(T ) bijektiv.Dann musste aufgrund von µ− f(T ) = g(T )(ξ − T ) der Operator ξ − T einerseits

injektiv, und wegen µ− f(T ) = (ξ − T )g(T ) auch surjektiv sein.Dies stande im Widerspruch zu ξ ∈ σ(T ) , also ist µ ∈ σ(f(T )).

Satz 3.1.6. Sei f ∈ H(T ), g ∈ H(f(T )) und h(λ) := g(f(λ)). Dann liegt h in H(T )und es gilt h(T ) = g(f(T )).

Beweis. Setze ∆(h) := ∆(f)∩f−1(∆(g)). Dann ist ∆(h) offen, und wegen Satz 3.1.5folgt σ(T ) ⊂ f−1(∆(g)), also auch σ(T ) ⊂ ∆(h). Dies zeigt h ∈ H(T ).

Seien nun A und B zulassige Bereiche bezuglich T bzw. f(T ) mit

σ(T ) ⊂ A ⊂ A ⊂ ∆(f) und σ(f(T )) ⊂ B ⊂ B ⊂ ∆(g).

Daruber hinaus sei f(A) ⊂ B, was aufgrund der Stetigkeit von f und Satz 3.1.5 immerrealisierbar ist. Hiermit gilt:

h(T ) =1

2πi

∂A

g(f(ξ))(ξ − T )−1 dξ

=1

2πi

∂A

[1

2πi

∂B

g(λ)λ− f(ξ)

](ξ − T )−1 dξ

=1

2πi

∂B

g(λ)[

12πi

∂A

(ξ − T )−1

λ− f(ξ)dξ

]dλ .

Da f(A) ⊂ B folgt mittels Satz 3.1.4 (e)

12πi

∂A

(ξ − T )−1

λ− f(ξ)dξ = (λ− f(T ))−1

.

Dies stellt den Beweis fertig:

h(T ) =1

2πi

∂B

g(λ) (λ− f(T ))−1dλ = g(f(T )) .

Definition 3.1.7. Eine Menge σ ⊂ σ(T ) heißt Spektralmenge, falls σ offen undzugleich abgeschlossen in der von σ(T ) induzierten Relativtopologie ist.

Naturlich ist σ(T ) selbst eine spektrale Menge. Andernfalls ist eine Spektralmengeein isolierter Teil des Spektrums, d. h. eine Teilmenge σ von σ(T ) welche positiven

Page 35: Unendliche Determinanten zur Behandlung von periodischen Differentialgleichungen

3.1 Holomorpher Funktionalkalkul 32

Abstand zum Rest τ := σ(T ) r σ hat. Deshalb gibt es stets offene Mengen ∆σ ⊃ σund ∆τ ⊃ τ mit ∆σ ∩∆τ = ∅. Hiermit definiert man nun die Funktion eσ durch

eσ(λ) :=

1 fur λ ∈ ∆σ

0 fur λ ∈ ∆τ

,

und den Operator Pσ durch

Pσ := Pσ,T := eσ(T ) =1

2πi

Γσ

(λ− T )−1 dλ ,

wobei Γσ ein geeigneter Integrationsweg mit σ ⊂ Γ ⊂ ∆σ sei.Analog hierzu werde Pτ definiert. Mit Satz 3.1.4 folgt nun unmittelbar P 2

σ = Pσ

und Pτ = 1− Pσ .Somit ist Pσ ein Projektor, der zu σ gehorende Rieszprojektor, und Pτ die zugehorige

Komplementarprojektion.

Satz 3.1.8. Sei f ∈ H(T ) und τ ⊂ σ(f(T )) Spektralmenge von f(T ), dann istσ := σ(T ) ∩ f−1(τ) Spektralmenge von T und es gilt die Gleichung

Pτ,f(T ) = Pσ,T .

Beweis. Da f stetig ist, ist f−1(τ) relativ zu f−1(σ(f(T ))

)offen und abgeschlossen.

Nach dem Spektralabbildungssatz 3.1.5 gilt f−1(σ(f(T ))

) ∩ σ(T ) = σ(T ). Also ist σeine spektrale Menge.

Nach Definition ist Pτ,f(T ) = eτ (f(T )) und Pσ,T = eσ(T ). Wegen eσ(λ) = eτ (f(λ))folgt die Behauptung mittels Satz 3.1.6.

Definition 3.1.9. Ein Eigenwert λ0 von T ∈ L(H) heißt normal, falls

(i) dimN (λ0, T ) <∞ , wobei N (λ0, T ) den zu λ0 gehorigen Hauptraum bezeichne.

(ii) Es existiert ein Unterraum Rλ0 ⊂ H mit folgenden Eigenschaften:

1) H = N (λ0, T )⊕Rλ0

2) TRλ0 ⊂ Rλ0

3) (T − λ0)|Rλ0: Rλ0 → Rλ0 ist ein Isomorphismus.

Unter 3) ist zu beachten, dass TU ⊂ U ⇔ (T − λ)U ⊂ U fur einen Unterraum Ugilt.Bemerkung 3.1.10: Nach Theorem 2.1.7 sind alle von Null verschiedenen Eigenwerteeines kompakten Operators normal.

Fur normale Eigenwerte ist der zugehorige Rieszprojektor eine Projektion auf denHauptraum. Dies ist der Inhalt des nachsten Theorems.

Theorem 3.1.11. Sei λ0 ein normaler Eigenwert von T ∈ L(H), dann ist λ0 einisolierter Punkt des Spektrums und Pλ0H = N (λ0, T ).

Beweis. Sei T1 := T |N (λ0,T ) , T2 := T |Rλ0und B := T1 − λ0.

Nach Theorem 2.1.7 existiert eine Zahl v ∈ N mit (T − λ0)vN (λ0, T ) = 0. WegenTN (λ0, T ) ⊂ N (λ0, T ) folgt hieraus auch (T1−λ0)v = 0 . Sei weiter n ∈ N die kleinsteZahl, welche (T1 − λ0)n = 0 erfullt.

Page 36: Unendliche Determinanten zur Behandlung von periodischen Differentialgleichungen

3.1 Holomorpher Funktionalkalkul 33

Hiermit gilt trivialer Weise −(λ− λ0)n = Bn − (λ− λ0)n. Da fur beliebige X,Y ∈L(H) die Teleskopsummendarstellung Xn−Y n =

∑nj=1X

n−j(X−Y )Y j−1 gilt, folgtsofort:

−(λ− λ0)n =n∑

j=1

Bn−j(T1 − λ)(λ− λ0)j−1

= (T1 − λ)[ n∑

j=1

Bn−j(λ− λ0)j−1

]=

[ n∑

j=1

Bn−j(λ− λ0)j−1

](T1 − λ) .

Somit ist der Operator (T1 − λ) invertierbar mit der Inversen

(T1 − λ)−1 = −n∑

j=1

(λ− λ0)j−1−nBn−j .

Da nach Voraussetzung auch (T2−λ0) umkehrbar ist, folgt mit R0 := (T2−λ0)−1 auchdie Invertierbarkeit des Operators (T2 − λ) fur |λ− λ0| < ‖R0‖−1 mit der Inversen

(T2 − λ)−1 =∞∑

k=0

(λ− λ0)kRk+10 .

Insgesamt ist also fur |λ− λ0| < ‖R0‖−1 der Operator (T − λ) invertierbar mit

(T − λ)−1 = (T1 − λ)−1P + (T2 − λ)−1(1− P ) ,

wobei P : H → H die Projektion mit PH = N (λ0, T ) und PRλ0 = 0 sei. UnterBeachtung der vorhergehenden Ergebnisse folgt

(T − λ)−1 = −[ n∑

j=1

(λ− λ0)j−1−nBn−j

]P +

[ ∞∑

k=0

(λ− λ0)kRk+10

](1− P ) ,

und schließlich aufgrund der Definition

Pλ0 = − 12πi

Γ

(T − λ)−1 dλ

=1

2πi

Γ

[ n∑

j=1

(λ− λ0)j−1−nBn−j

]P dλ− 1

2πi

Γ

[ ∞∑

k=0

(λ− λ0)kRk+10

](1− P ) dλ .

Wegen ∫

Γ

(λ− λ0)k dλ =

2πi k = −10 sonst

folgt Pλ0 = P , also Pλ0H = PH = N (λ0, T ). Dies zeigt die Behauptung.

Satz 3.1.12. Sei A ∈ K(H) und f ∈ H(A) mit f(A) ∈ K(H). Desweiteren seiλ ∈ σ(f(A))r 0 und 0 /∈ σ := f−1(λ) ∩ σ(A). Dann gilt:

N (λ, f(A)) =⊕α∈σ

N (α,A) .

Page 37: Unendliche Determinanten zur Behandlung von periodischen Differentialgleichungen

3.2 Stetigkeit der regularisierten Determinante 34

Beweis. Nach Satz 3.1.8 gilt

Pλ,f(A) = Pσ,A =∑α∈σ

Pα,A .

Die Voraussetzungen sind gerade so, dass λ und die Punkte von σ normale Eigenwertevon A bzw. f(A) sind. Mittels Theorem 3.1.11 folgt dann

N (λ, f(A)) =∑α∈σ

N (α,A) .

Da die auftretenden Hauptraume alle endlichdimensional sind, folgt die Direktheitder Summe analog zur Theorie der Linearen Algebra.

Hiermit lasst sich die Aussage des Spektralabbildungssatzes noch verscharfen:

Korollar 3.1.13. Seien die Voraussetzungen von Satz 3.1.12 erfullt. Dann gilt furdie beiden gemaß algebraischer Vielfachheit angeordneten Folgen, der von Null ver-schiedenen Eigenwerte von A bzw. f(A)

λj(f(A))∞j=1 = f(λj(A))∞j=1 .

Diese Erkenntnis lasst sich sofort gewinnbringend in die Theorie der nuklearenOperatoren einbringen.

Korollar 3.1.14. Sei A ∈ K(H) und 0 ∈ σ(A) (bekanntlich trifft dies fur dimH = ∞immer zu).

Weiter sei f ∈ H(A) mit f(0) = 0 , und f(A) ∈ S1(H). Dann gilt fur die Spur

sp f(A) =∞∑

j=1

f(λj(A)) .

Beweis. Da wegen f(0) = 0 die Voraussetzungen von Satz 3.1.12 erfullt sind, folgtdies sofort aus Theorem 2.2.11.

3.2 Stetigkeit der regularisierten Determinante

Fur Hilbert-Schmidt-Operatoren konnte die Konvergenz der regularisierten Determi-nante det2 (1−A) =

∏∞i=1

(1− λj(A)

)e λj(A) gezeigt werden.

Dieser Abschnitt untersucht diese Determinante, als eine von der Variablen Aabhangige Funktion, und formuliert als Hauptergebnis die Stetige Abhangigkeit derDeterminante vom Operator A. Hierfur ist jedoch eine Erweiterung der bisherigenDefinition notig:

Definition 3.2.1. Zu A ∈ S2(H) sei die regularisierte charakteristische Determinantedefiniert durch

dA(µ) :=∞∏

i=1

(1− µλi(A)

)e µλi(A) .

Wegen∑

j |λj |2 < ∞ folgt zunachst jedenfalls die punktweise Konvergenz diesesProduktes.

Dass dieses Produkt sogar lokal gleichmaßig konvergiert, und somit nach dem Wei-erstraßschen Konvergenzsatz eine ganze Funktion definiert, zeigt der Beweis des nunfolgenden Lemmas.

Page 38: Unendliche Determinanten zur Behandlung von periodischen Differentialgleichungen

3.2 Stetigkeit der regularisierten Determinante 35

Lemma 3.2.2. dA(µ) ist eine ganze Funktion und fur ihre Ableitung gilt

d

dµdA(µ) = −dA(µ) ·

∞∑

i=1

µλ2i

1− µλi.

Beweis. Setze fn :=∏n

i=1(1−µλi) e µλi . Nach dem Weierstraßschen Konvergenzsatzreicht es die lokal gleichmaßige, d. h. kompakte Konvergenz der Funktionenfolge (fn)n

zu zeigen. Da die fn punktweise gegen dA konvergieren, ergibt sich die kompakteKonvergenz aber bereits aus der lokalen Beschranktheit der Funktionenfolge (fn)n.Mittels der wohlbekannten Ungleichung 1 + x ≤ e x folgt nun:

|fn(µ)| ≤n∏

i=1

(1 + |µλi|) e |µλi| ≤n∏

i=1

e |µ|2|λi|2 = e µ2

∑n

i=1|λi|2 2.1.17≤ e µ2‖A‖2S2

Also fn −−−−−→kompakt

dA , und somit bekanntlich auch fn′ −−−−−→

kompaktdA

′.

Per Induktion folgt schließlich

fn′(µ) = −fn(µ)

n∑

i=1

µλ2i

1− µλi.

Dies zeigt die Behauptung.

Definition 3.2.3. Zu A ∈ L(H) definiere die Menge

FA : = µ ∈ C : (1− µA)−1 existiert in L(H) = 0 ∪ µ ∈ Cr 0 : µ−1 ∈ ρ(A)

Der holomorphe Funktionalkalkul gestattet nun folgende wichtige Schlussfolgerung.

Lemma 3.2.4. Sei A ∈ S2(H) und µ ∈ FA , so ist dA(µ) 6= 0 und man hat dieDarstellung

dA′(µ)

dA(µ)= − sp

(µA2(1− µA)−1

).

Insbesondere ist durch die rechte Seite der Gleichung eine auf FA holomorphe Funk-tion gegeben.

Beweis. dA(µ) 6= 0 fur µ ∈ FA folgt sofort aus den Definitionen. Weiter ist der Fallµ = 0 ist trivial. Sei also 0 6= µ ∈ FA . Da die Funktion µz2

1−µz in Cr µ−1 holomorph

ist, folgt wegen µ−1 ∈ ρ(A) also µz2

1−µz ∈ H(A). Daher lassen sich die Ergebnisse desholomorphen Funktionalkalkuls anwenden. Aufgrund von Satz 2.3.5 und 2.3.6 ist derOperator µA2(1− µA)−1 nuklear, und somit folgt mittels Korollar 3.1.14

sp(µA2(1− µA)−1

)=

∞∑

i=1

µλ2i

1− µλi.

Der Vergleich mit Lemma 3.2.2 liefert das Gewunschte.

Page 39: Unendliche Determinanten zur Behandlung von periodischen Differentialgleichungen

3.2 Stetigkeit der regularisierten Determinante 36

Die Differentialgleichung

f ′(µ) = − sp(µA2(1− µA)−1

)f(µ)

hat genau eine auf ganz FA holomorphe Losung welche der Anfangsbedingung f(0) =1 genugt. Somit folgt mittels Lemma 3.2.4 fur alle µ ∈ FA die Gleichung

(3.1) dA(µ) = e −∫ µ

0sp (νA2(1−νA)−1)dν

Hiermit lasst sich nun das zentrale Theorem uber die stetige Abhangigkeit der Abbil-dung dA(µ) vom Operator A beweisen.

Theorem 3.2.5. Sei A ∈ S2(H) und F ⊂ C eine beliebige kompakte Menge. Dannexistiert zu jedem ε > 0 ein δ > 0 so, dass fur alle B ∈ S2(H) mit ‖A − B‖S2 < δgilt:

maxµ∈F

|dA(µ)− dB(µ)| < ε .

Beweis. Sei Γ eine rektifizierbare Jordankurve, welche vollstandig in FA liegt unddie Menge 0∪F umlauft. Desweiteren sei G ⊂ FA eine rektifizierbare Jordankurve,welche den Punkt 0 mit einem Punkt auf Γ verbindet.

Die Existenz dieser Kurven ist aufgrund von Theorem 2.1.7 immer gegeben. Sobesteht die Menge λ ∈ σ(A) : |λ| ≥ ε fur alle ε > 0 aus endlich vielen Elementen,sonst gabe es einen von Null verschiedenen Haufungspunkt des Spektrums.

Deshalb ist die Menge K r F (A) fur jedes Kompaktum K ⊂ C endlich, und somitdie Existenz der beiden Kurven Γ und G garantiert.

Zu µ ∈ Γ ∪G bezeichne Γµ den kurzesten Weg entlang Γ ∪G welcher die 0 mit µverbindet. Sei nun

‖A−B‖S2 · maxµ∈Γ∪G

|µ|‖(1− µA)−1‖ < 12,

dann gilt wegen ‖A‖ ≤ ‖A‖S2 auch

‖µ(B −A)(1− µA)−1‖ < 12

fur alle µ ∈ Γ ∪G .

Nach dem Satz uber die Neumannsche Reihe ist

1− µB =(1− µ(B −A)(1− µA)−1

)(1− µA)

fur alle µ ∈ Γ ∪G stetig invertierbar, und man hat die Abschatzung

maxµ∈Γ∪G

‖(1− µB)−1‖ ≤ maxµ∈Γ∪G‖(1− µA)−1‖1−maxµ∈Γ∪G‖µ(B −A)(1− µA)−1‖

< 2 · maxµ∈Γ∪G

‖(1− µA)−1‖ =: 2M(3.2)

Aus (1−µA)−1A(1−µA) = (1−µA)−1(1−µA)A = A ergibt sich sofort die Gleichung

(3.3) (1− µA)−1A = A(1− µA)−1 .

Setzt man Aµ := µA2(1− µA)−1 und Bµ entsprechend, so erhalt man mit (3.3)

Aµ −Bµ =µ((1− µA)−1A2 −B2(1− µB)−1

)

=µ(1− µA)−1(A2(1− µB)− (1− µA)B2

)(1− µB)−1

=µ(1− µA)−1(A(A−B) + (A−B)B − µA(A−B)B

)(1− µB)−1

Page 40: Unendliche Determinanten zur Behandlung von periodischen Differentialgleichungen

3.2 Stetigkeit der regularisierten Determinante 37

Also gilt mit (3.2) fur alle µ ∈ Γ ∪G die Ungleichung

‖Aµ−Bµ‖S1 ≤ 2M2|µ| · (‖A(A−B)‖S1 + ‖(A−B)B‖S1 + |µ|‖A(A−B)B‖S1

)

≤ 2M2|µ| · (‖A‖S2‖A−B‖S2 + ‖A−B‖S2‖B‖S2 + |µ|‖A‖‖A−B‖S2‖B‖S2

)

≤ C · ‖A−B‖S2 ,

mit C > 0 geeignet gewahlt.Wegen |sp (T )| ≤ ‖T‖S1 fur T ∈ S1(H) folgt hieraus

maxµ∈Γ∪G

|sp [A(µ)−B(µ)]| ≤ maxµ∈Γ∪G

‖A(µ)−B(µ)‖S1

≤ C · ‖A−B‖S2 .

Dies bedeutet aber, dass fur µ ∈ Γ ∪G

|dA(µ)− dB(µ)| =∣∣∣∣dA(µ) ·

(1− e

∫Γµ

sp (A(ν)−B(ν))dν)∣∣∣∣

≤ maxµ∈Γ∪G

|dA(µ)| ·∣∣∣1− e C‖A−B‖S2 |Γµ|

∣∣∣(3.4)

gilt, wobei |Γµ| die Lange der Kurve bezeichne.Offensichtlich folgt aus (3.4) die Behauptung fur µ ∈ Γ ∪G. Das Maximumprinzip

der Funktionentheorie zeigt

maxµ∈F

|dA(µ)− dB(µ)| ≤ maxµ∈Γ

|dA(µ)− dB(µ)|

Hiermit ist das Theorem bewiesen.

Um Schlussfolgerungen aus der Stetigkeit der Determinantenabbildung ziehen zukonnen, und die (regularisierte) Determinante auf endlichdimensionale Operatorenzuruckzufuhren, ist folgender Satz entscheidend.

Satz 3.2.6. Sei (Xk)k∈N eine Folge beschrankter selbstadjungierter Operatoren, wel-che punktweise gegen X ∈ L(H) streben. Dann gilt fur A ∈ Sp(H) mit p = 1 oder 2und k →∞:

(i) ‖XkA−XA‖Sp → 0

(ii) ‖AXk −AX‖Sp → 0

(iii) ‖XkAXk −XAX‖Sp → 0

Beweis. Zu (i). Sei A =∑∞

j=1 sj〈·, ej〉fj die kanonische Darstellung von A mit(sj)j ∈ lp(N,R+) .

Zunachst beobachtet man (vgl. hierzu Lemma 2.1.14), dass ‖A − Am‖Sp → 0 furm→∞ gilt, wobei Am :=

∑mj=1 sj〈·, ej〉fj gesetzt sei.

Hiermit gilt

XkAm −XAm =m∑

j=1

sj〈·, ej〉(Xkfj −Xfj) .

Da nach Lemma 2.1.14 die singulare Zahl des eindimensionalen Operatorssj〈·, ej〉(Xkfj −Xfj) fur alle j gerade durch sj‖Xkfj −Xfj‖ gegeben ist, folgt mit

Page 41: Unendliche Determinanten zur Behandlung von periodischen Differentialgleichungen

3.2 Stetigkeit der regularisierten Determinante 38

der Dreiecksungleichung in Sp(H):

‖XkAm −XAm‖Sp≤

m∑

j=1

‖sj〈·, ej〉(Xkfj −Xfj)‖Sp

=m∑

j=1

sj‖Xkfj −Xfj‖ .

Dies impliziert aberlim

k→∞‖XkAm −XAm‖Sp

= 0 .

Wegen

‖XkA−XA‖Sp≤ ‖XkAm −XAm‖Sp

+ (‖X‖+ ‖Xk‖) ‖A−Am‖Sp,

zeigt dies bereits die Behauptung, denn nach dem Satz von Banach-Steinhaus (vgl.[20] S. 141) folgt aus der punktweisen Konvergenz der Xk sogar supk‖Xk‖ <∞.

(ii) folgt aus (i), da wegen der Selbstadjungiertheit der Xk aus XkA∗ → XA∗ auch

AXk → AX folgt.Auch (iii) folgt aus (i) und (ii), denn

‖XkAXk −XAX‖Sp ≤ ‖XkA−XA‖Sp‖Xk‖+ ‖AXk −AX‖Sp‖X‖ .

Bemerkung 3.2.7: Satz 3.2.6 gilt sogar fur Sp(H) mit 1 ≤ p ≤ ∞ (vgl. hierzu [7]S.90). Der Beweis verlauft vollig analog wenn gezeigt wurde, dass Sp(H) fur jedes1 ≤ p ≤ ∞ ein zweiseitiges Ideal in L(H) bildet.

Als unmittelbare Folgerung zu Theorem 3.2.5 erhalt man

Korollar 3.2.8. Sei A ∈ S2(H) und (Ak)k eine Folge endlichdimensionaler Opera-toren mit ‖Ak −A‖S2 → 0 fur k →∞, dann gilt

limk→∞

det2 (1−Ak) = det2 (1−A) .

Auch fur nukleare Operatoren erhalt man eine identische Aussage:

Korollar 3.2.9. Sei A ∈ S1(H) und (Ak)k eine Folge endlichdimensionaler Opera-toren mit ‖Ak −A‖S1 → 0 fur k →∞, dann gilt

limk→∞

det1 (1−Ak) = det1 (1−A) .

Beweis. Wegen ‖Ak −A‖S2 ≤ ‖Ak −A‖S1 (vgl. Lemma 1.0.3) konvergiert Ak gegenA in S2(H).

Nach Theorem 2.2.11 (Lidskii) gilt fur beliebiges A ∈ S1(H)

(3.5) det1 (1−A) = det2 (1−A) e − sp A ,

Page 42: Unendliche Determinanten zur Behandlung von periodischen Differentialgleichungen

3.2 Stetigkeit der regularisierten Determinante 39

denn

det2 (1−A) e − sp A = limk→∞

k∏

j=1

(1− λj) e λj · limk→∞

e −∑k

j=1λj

= limk→∞

e −∑k

j=1λj

k∏

j=1

(1− λj) e λj

= limk→∞

k∏

j=1

(1− λj) = det1 (1−A)

Somit folgt mittels Theorem 3.2.5 und Satz 2.2.10

det1 (1−A)(3.5)= det2 (1−A) e − sp A

= limk→∞

det2 (1−Ak) limk→∞

e − sp Ak

= limk→∞

det2 (1−Ak) e − sp Ak

(3.5)= lim

k→∞det1 (1−Ak)

Dies zeigt die Behauptung.

Die folgenden Uberlegungen stellen nun den Zusammenhang zwischen endlichdi-mensionalen Operatoren und endlichen Matrizen her, und damit mittels Korollar3.2.8 und 3.2.9 zu den nuklearen Operatoren bzw. Hilbert-Schmidt-Operatoren.

Ist F ein endlichdimensionaler Operator, so gibt es stets einen endlichdimensionalenUnterraum N von H mit

(3.6) FN ⊂ N, N⊥ ⊂ kerF .

Denn sei F =∑n

j=1(·, φj)ψj gemaß Lemma 2.1.4 dargestellt, so braucht man nur

N := linφjn

1 , ψjn1

zu setzen. Bezuglich der Zerlegung H = N ⊕ N⊥ lasst sich F also als 2 ×2−Operatormatrix

(3.7) F =(F 00 0

)

mit der endlichen Matrix F := F |N schreiben.Man sieht leicht, dass die von 0 verschiedenen Eigenwerte von F - gemaß algebrai-

scher Vielfachheit - mit den von 0 verschiedenen Eigenwerten von F ubereinstimmen.Ist nun ϕjr

1 eine Orthonormalbasis von N , dann hat F die MatrixdarstellungF = (Fϕj , ϕi)

ri,j=1.

Satz 3.2.10. Sei F ∈ F(H) und F wie in (3.7), dann gilt:

(1) sp (F ) = sp (F );

Page 43: Unendliche Determinanten zur Behandlung von periodischen Differentialgleichungen

3.2 Stetigkeit der regularisierten Determinante 40

(2) det1 (1− F ) = det(1− F );

(3) det2 (1− F ) = det1 (1− F ) · e sp (F );

Ist auch G ein endlichdimensionaler Operator, so gilt weiter

(4) det1 (1− F )(1−G) = det1 (1− F ) det1 (1−G) und

(5) det2 (1− F )(1−G) = det2 (1− F ) det2 (1−G) · e − sp (FG).

Beweis. (1), (2) und (3) sind nach obigen Uberlegungen klar.Auch (4) ergibt sich leicht. Seien N1 und N2 Raume wie in (3.6), d. h.

FN1 ⊂ N1, N⊥1 ⊂ kerF und GN2 ⊂ N2, N⊥

2 ⊂ kerG .

Dann ist auch N := N1 +N2 ein endlichdimensionaler Raum mit

(F +G− FG)N ⊂ N, N⊥ ⊂ ker(F +G− FG) ,

denn es ist FN ⊂ N , GN ⊂ N und N⊥ ⊂ N⊥1 ∩N⊥

2 ⊂ kerF ∩kerG = kerF ∩kerG∩kerFG ⊂ ker(F +G− FG).

Mittels des Determinanten-Multiplikationssatzes der Linearen Algebra folgt nun:

det1 (1− F )(1−G) = det(1− (F +G− FG)|N ) nach (2)= det(1− F |N +G|N − F |NG|N )= det(1− F |N )(1−G|N )= det(1− F |N ) · det(1−G|N )= det1 (1− F ) det1 (1−G)

Die Behauptung (5) folgt nun aus (3) und (4).

Bemerkung 3.2.11: Ist A ∈ L(H) und ϕii eine Orthonormalbasis in H, sokann man die endlichdimensionalen Operatoren Ak := PkAPk bilden, wobei Pkx :=∑k

j=1〈x, ϕj〉ϕj die Orthogonalprojektion auf den Raum lin ϕ1, . . . , ϕk sei.Offensichtlich erfullt der Raum N := lin ϕ1, . . . , ϕk die Bedingung (3.6), und die

Matrix der Abbildung Ak := Ak|N ist gegeben durch

Ak =[〈Ak|N ϕj , ϕi〉

]k

i,j=1=

[〈Akϕj , ϕi〉]k

i,j=1

=[〈PkAPkϕj , ϕi〉

]k

i,j=1=

[〈Aϕj , Pkϕi〉]k

i,j=1

=[〈Aϕj , ϕi〉

]k

i,j=1

Gemaß Satz 3.2.10 gilt also

sp (Ak) =k∑

i=1

〈Aϕi, ϕi〉 , und

det1 (1−Ak) = det[δij − 〈Aϕj , ϕi〉

]k

i,j=1

det2 (1−Ak) = det[δij − 〈Aϕj , ϕi〉

]k

i,j=1· e

∑k

i=1〈Aϕi,ϕi〉(3.8)

Hiermit lassen sich nun zwei wichtige Folgerungen zu Theorem 3.2.5 formulieren:

Page 44: Unendliche Determinanten zur Behandlung von periodischen Differentialgleichungen

3.2 Stetigkeit der regularisierten Determinante 41

Satz 3.2.12. Seien A,B ∈ S2(H) und ϕii eine Orthonormalbasis in H, so gilt:

(i) det2 (1−A) = limk→∞

det([δij − 〈Aϕj , ϕi〉

]k

i,j=1· e

∑k

i=1〈Aϕi,ϕi〉

)

(ii) det2 (1−A)(1−B) = det2 (1−A) det2 (1−B) · e − sp (AB)

Beweis. Seien Ak = PkAPk und Bk = PkBPk wie in Bemerkung 3.2.11. Nach Satz3.2.6 gilt dann ‖Ak − A‖S2 → 0 und ‖Bk − B‖S2 → 0 fur k → ∞. Behauptung (i)folgt demnach aus (3.8) und Theorem 3.2.5.

Zu (ii). Wegen (1−Ak)(1−Bk) → (1−A)(1−B) in S2(H) und

limk→∞

‖AkBk −AB‖S1 ≤ limk→∞

‖Ak(Bk −B)‖S1 + limk→∞

‖(Ak −A)B‖S1

≤ limk→∞

‖Ak‖S2‖Bk −B‖S2 + limk→∞

‖Ak −A‖S2‖B‖S2 = 0

folgt die Behauptung mittels Satz 3.2.10 (5).

In gleicher Weise ergibt sich

Satz 3.2.13. Sei A ∈ S1(H) und ϕii eine Orthonormalbasis in H, dann folgt furdie Determinante

det1 (1−A) = limk→∞

det([δij − 〈Aϕj , ϕi〉

]k

i,j=1

).

Ist auch B ∈ S1(H), so gilt det1 (1−A)(1−B) = det1 (1−A) det1 (1−B).

Page 45: Unendliche Determinanten zur Behandlung von periodischen Differentialgleichungen

4 Lineare Differentialgleichungen undFloquettheorie

4.1 Existenz- und Eindeutigkeitssatz

Zu A ∈ L∞(R,Cn×n) sei die lineare Differentialgleichung

(4.1) y′ = Ay , A ∈ L∞(R,Cn×n)

gegeben.Zu jeder Differentialgleichung stellt sich Frage, unter welchen Voraussetzungen

Losungen in welchen Funktionenraumen existieren. Diese wird durch den nachste-henden Satz geklart.

Satz 4.1.1 (Existenz - und Eindeutigkeitssatz).Sei J ⊂ R kompakt. Zu jedem Tupel (a, c) ∈ J ×Cn gibt es genau ein f ∈ H1(J,Cn)mit f(a) = c und f ′(t) = A(t)f(t) fur fast alle t ∈ J , d. h. f lost die Differentialglei-chung (4.1) fast uberall.1

Beweis. Fur f ∈ L2(J,Cn) sei die Abbildung T gegeben durch

(Tf)x := c+∫ x

a

A(t)f(t) dt (x ∈ J) .

Da A(·)f(·) ∈ L2(J,Cn) ⊂ L1(J,Cn) ist, folgt aus dem Hauptsatz der Integral- undDifferentialrechnung (vgl. Theorem 1.0.5):

(1) Tf absolutstetig, insbesondere Tf ∈ L2(J,Cn),

(2) (Tf)′ existiert fast uberall,

(3) (Tf)′ = A(·)f(·) f. u., also (Tf)′ ∈ L2(J,Cn).

Somit ist ein Fixpunkt f der Abbildung T Losung der Differentialgleichung (4.1) mitf ∈ H1(J,Cn). Die Idee ist es deshalb, die behauptete Existenz und Eindeutigkeitmit dem Banachschen Fixpunktsatz zu zeigen. Hiefur ist nachzuweisen, dass T einekontraktive Selbstabbildung ist.

Wegen

‖(Ty)x‖ =∥∥c+

∫ x

a

A(t)y(t) dt∥∥ ≤ |c|+ ‖A‖L∞‖y‖L1 ,

ist Ty fur alle y ∈ L2(J,Cn) Element von L∞(J,Cn), und da J ⊂ R als kompaktvorausgesetzt wurde, insbesondere Element von L2(J,Cn).

Die Abbildung T : L2(J,Cn) → L2(J,Cn) ist also eine Selbstabbildung.

1Im Folgenden sei meist auf den Zusatz”fast uberall“ verzichtet, d. h. man sagt f lost die Differen-

tialgleichung.

Page 46: Unendliche Determinanten zur Behandlung von periodischen Differentialgleichungen

4.1 Existenz- und Eindeutigkeitssatz 43

Weiter ist T fur |J | ≤ 1‖A‖L∞

eine Kontraktion, denn fur f, g ∈ L2(J,Cn) gilt:

‖Tf − Tg‖2L2=

J

∣∣∣∫ x

a

A(t)(f(t)− g(t)) dt∣∣∣2

dx

≤ ‖A‖2L∞∫

J

‖f − g‖2L1dx

≤ ‖A‖2L∞ |J |2‖f − g‖2L2(nach Lemma 1.0.2)

≤ ‖f − g‖2L2.

Der Fixpunktsatz zeigt also fur genugend kleine Intervalle, die Existenz und Eindeu-tigkeit einer Losung des Anfangswertproblems.

Fur beliebige kompakte Intervalle J folgt die Behauptung, indem man IntervalleJ1, . . . Js wahlt mit J =

⋃si=1 Ji und |Ji| ≤ 1

‖A‖L∞.

Korollar 4.1.2. Fur jedes (a, c) ∈ R × Cn gibt es genau eine Losung y der Diffe-rentialgleichung (4.1) mit:

y ∈ HLoc1 (R,Cn) und y(a) = c .

Hierbei sei HLoc1 (R,Cn) := y : R→ Cn : y|J ∈ H1(J,Cn) fur alle J ⊂ R kompakt.

Beweis. Zu t ∈ R habe nach Satz 4.1.1 eine eindeutige Losung ft ∈ H1([a, t],Cn)mit ft(a) = c. Setze y(t) := ft(t).

Dies ist wohldefiniert und leistet das Gewunschte.

Betrachtet man den Operator

H : HLoc1 (R,Cn) → LLoc

2 (R,Cn)f 7→ f ′ −Af ,

so ist ein f ∈ kerH Losung der Differentialgleichung (4.1) und es gilt

Satz 4.1.3. Fur jedes a ∈ R ist durch

Fa : ker H ∼→ Cn , f 7→ f(a)

ein Isomorphismus gegeben.

Beweis. Die Surjektivitat folgt aus der Existenzaussage, und die Injektivitat aus derEindeutigkeitsaussage von Korollar 4.1.2.

Definition 4.1.4. Eine Abbildung Y = (y1, ..., yn) : R→ Cn×n heißt Wronskimatrixzur Differentialgleichung (4.1), falls yi ∈ kerH fur alle i ∈ 1, . . . , n ist.

Eine Wronskimatrix wird Fundamentalmatrix genannt, falls yini=1 eine Basis von

kerH bildet.

Lemma 4.1.5.

(1) Eine Abbildung Y ist genau dann Wronskimatrix zu (4.1), falls Y Element vonHLoc

1 (R,Cn×n) ist, und die Matrix-Differentialgleichung Y ′ = AY lost.

(2) Sei Y eine Wronskimatrix. Dann sind aquivalent:

(i) Y ist eine Fundamentalmatrix zu (4.1).

Page 47: Unendliche Determinanten zur Behandlung von periodischen Differentialgleichungen

4.1 Existenz- und Eindeutigkeitssatz 44

(ii) Fur alle x ∈ R ist Y (x) invertierbar.

(iii) Es existiert ein x ∈ R, sodass Y (x) invertierbar ist.

(3) Zu Y0 ∈ Gl(n,C) und a ∈ R existiert genau eine Fundamentalmatrix mit Y (a) =Y0.

(4) Sei Y eine Wronskimatrix, dann gilt:y ∈ HLoc

1 (R,Cn) lost (4.1) genau dann, wenn es ein c ∈ Cn gibt mit y(x) =Y (x) c fur alle x ∈ R.

(5) Sei Y eine Fundamentalmatrix und Z : R→ Cn×n eine Abbildung, dann gilt:

(i) Z ist genau dann eine Wronskimatrix, falls es ein C ∈ Cn×n gibt mitZ(x) = Y (x)C.

(ii) Z ist genau dann eine Fundamentalmatrix, falls es ein C ∈ Gl(n,C) gibtmit Z(x) = Y (x)C.

Beweis. Die Behauptung (1) ist klar.Zu Behauptung (2). (i) ⇒ (ii): Da fur alle x ∈ R Fx : kerH ∼→ Cn ein Iso-

morphismus ist, mussFx(yi)

n

i=1=

yi(x)

n

i=1eine Basis des Cn fur alle x ∈ R

sein.Die Schlussfolgerung (ii) ⇒ (iii) ist trivial.(iii) ⇒ (i): Da Y (x) invertierbar ist folgt, dass

yi(x)

n

i=1eine Basis des Cn ist.

Somit istF−1

x

(yi(x)

)n

i=1= yin

i=1 eine Basis von ker H.Zu Behauptung (3). Die Existenz und Eindeutigkeit einer Wronskimatrix ist klar.

Dass Y eine Fundamentalmatrix ist, folgt aus (2).(4) ist klar, und (5) folgt aus (4).

Satz 4.1.6 (von Liouville). Sei Y eine Fundamentalmatrix der Differentialgleichung(4.1) und a ∈ R, so gilt

detY (t) = detY (a) e sp∫ t

aA(τ) dτ

,

fur alle t ∈ R .

Beweis. Sei τ ∈ R ein Punkt, fur welchen Y ′(τ) = A(τ)Y (τ) gilt. Dies ist, bis aufeine Nullmenge, fur alle Punkte in R der Fall.

Desweiteren sei fur t ∈ RΦ(t) := detY (t) = det(y1(t), . . . , yn(t)) ,

wobei yi(t) die i- te Spalte der Matrix Y (t) bezeichne. Die Determinantenformel vonLeibniz

detY (t) =∑

σ∈Sn

sign (σ) · y1σ(1)(t) · . . . · ynσ(n)(t)

(wobei Sn die Menge aller Permutationen von 1, . . . , n bezeichne) zeigt, dass Φ ∈HLoc

1 (R,C) ist.Fur die Ableitung von Φ an der Stelle τ gilt dann

·Φ(τ) =

n∑

i=1

det(y1(τ), . . . , yi−1(τ),

·yi(τ), yi+1(τ), . . . , yn(τ)

).

Page 48: Unendliche Determinanten zur Behandlung von periodischen Differentialgleichungen

4.2 Floquettheorie 45

Sei zunachst Y (τ) = In angenommen. Wegen yi(τ) = ei und·yi(τ) = A(τ)ei (ei sei

der i- te Einheitsvektor in Cn), folgt:

·Φ(τ) =

n∑

i=1

det(e1, . . . , ei−1, A(τ)ei, ei+1, . . . , en

)

=n∑

i=1

aii(τ) = sp A(τ) .

Fur den allgemeinen Fall, betrachte die Fundamentalmatrix Z(t) := Y (t)Y (τ)−1 . Mit

Ψ(t) := detZ(t) gilt dann nach obiger Rechnung·Ψ(τ) = detY (τ)−1

·Φ(τ) = sp A(τ) ,

d. h. ·Φ(τ) = Φ(τ) sp A(τ) .

Somit lost Φ ∈ HLoc1 (R,C) die Differentialgleichung

·y = sp Ay fast uberall, wobei

offensichtlich sp A ∈ L∞(R,C) ist.

Auch die Abbildung ϕ(t) := detY (a) e∫ t

asp A(τ) dτ lost diese Differentialgleichung

nach dem Hauptsatz der Differential - und Integralrechnung fast uberall, fur a ∈ Rbeliebig.

Da ϕ ∈ HLoc1 (R,C) und Φ(a) = ϕ(a) ist, folgt aus Korollar 4.1.2 ϕ = Φ f. u.

Bemerkung 1.0.7 zeigt sogar ϕ(t) = Φ(t) fur alle t ∈ R.Wegen

∫ t

asp A(τ) dτ =

∫ t

a

∑ni=1 aii(τ) dτ =

∑ni=1

∫ t

aaii(τ) dτ = sp

∫ t

aA(τ) dτ ,

folgt schließlich

detY (t) = detY (a) e sp∫ t

aA(τ) dτ

.

Korollar 4.1.7. Sei A ∈ Cn×n eine Matrix, dann gilt

det e A = e sp A .

Beweis. Die Abbildung e At ist eine Fundamentalmatrix der Differentialgleichung·y = Ay. Nach Satz 4.1.6 gilt dann

det e A = det In · e sp∫ 1

0A dτ = e sp A .

4.2 Floquettheorie

In diesem Abschnitt sollen zu gegebenem einsperiodischem A ∈ L∞(R,Cn×n) , d. h.A ∈ L∞(T,Cn×n) die Fundamentalmatrizen der Differentialgleichung

(4.2) y′ = Ay , A ∈ L∞(T,Cn×n)

untersucht werden.

Satz 4.2.1. Sei Y eine Fundamentalmatrix von (4.2), dann gilt:

(1) Die Abbildung Z definiert durch Z(x) := Y (x+ 1) ist ebenfalls eine Fundamen-talmatrix.

Page 49: Unendliche Determinanten zur Behandlung von periodischen Differentialgleichungen

4.2 Floquettheorie 46

(2) Es existiert genau eine invertierbare Matrix B(Y ) ∈ Gl(n,C) mit Y (x + 1) =Y (x)B(Y ).

B(Y ) wird als die Monodromie- bzw. Periodizitatsmatrix von Y bezeichnet.

(3) Ist F eine weitere Fundamentalmatrix zu (4.2), so existiert ein C ∈ Gl(n,C)mit B(F ) = C−1B(Y )C, d. h. Periodizitatsmatrizen sind zueinander ahnlich,haben also insbesondere die gleichen Eigenwerte.

Beweis. (1) folgt aus einer einfachen Rechnung, und (2) ergibt sich mit Hilfe vonLemma 4.1.5 (5).

Zu Behauptung (3). Da F eine Fundamentalmatrix ist, existiert nach Lemma4.1.5 (5) ein C ∈ Gl(n,C) mit F (x) = Y (x)C fur alle x ∈ R , folglich gilt:

F (x+ 1) = Y (x+ 1)C = Y (x)B(Y )C

= Y (x)C(C−1B(Y )C

)= F (x)

(C−1B(Y )C

)

= F (x)B(F ) .

Definition 4.2.2. Eine Losung y ∈ HLoc1 (R,Cn) 6= 0 der linearen Differentialglei-

chung (4.2) heißt Floquetsche Losung, falls es ein λ ∈ Cr 0 gibt mit

y(x+ 1) = λy(x) .

Dann heißt λ Floquet Multiplikator, und ein ν ∈ C mit λ = e ν Floquet Exponent derDifferentialgleichung (4.2).

Satz 4.2.3 (Floquet). Sei Y eine Fundamentalmatrix der Differentialgleichung (4.2)und B(Y ) die zugehorige Periodizitatsmatrix. Dann sind die Eigenwerte von B(Y )genau die Floquet-Multiplikatoren der Differentialgleichung.

Beweis. ”⇒“: Sei c ∈ Cn ein Eigenvektor von B(Y ) zum Eigenwert λ. Mit y(x) :=Y (x)c gilt dann:

y(x+ 1) = Y (x+ 1)c = Y (x)B(Y )c = λy(x).

Da B(Y ) regular ist, folgt λ 6= 0. Somit ist λ ein Floquet Multiplikator.

”⇐“: Sei y ∈ HLoc1 (R,Cn) 6= 0 eine Floquetsche Losung. Da Y eine Fundamental-

matrix ist, existiert ein c ∈ Cn r 0 mit y(x) = Y (x)c. Hiermit folgt

y(x+ 1) = Y (x+ 1)c = Y (x)B(Y )c ,

d. h.y(x+ 1) = λy(x) = λY (x)c = Y (x)B(Y )c .

Da Y(x) invertierbar ist, folgt bereits B(Y )c = λc .

Lemma 4.2.4. Ist y ∈ HLoc1 (R,Cn) 6= 0 eine Floquetsche Losung der Differential-

gleichung (4.2) mit Floquet Exponent ν ∈ C, so existiert ein f ∈ H1(T,Cn) 6= 0 mity(x) = e νx f(x).

Page 50: Unendliche Determinanten zur Behandlung von periodischen Differentialgleichungen

4.2 Floquettheorie 47

Beweis. Sei also ν ein Floquetscher Exponent und y Floquetsche Losung der Diffe-rentialgleichung (4.2). Mit f(x) := e −νx y(x) gilt

f(x+ 1) = e −νx e −ν y(x+ 1) = e −νx e −ν e ν y(x)

= e −νx y(x) = f(x) ,

d. h. die Abbildung f ist einsperiodisch. Dass f ∈ H1([0, 1],Cn) ist, folgt sofort nachDefinition; somit gilt also f ∈ H1(T,Cn) 6= 0.

Dies zeigt die Behauptung.

Der nachstehende Satz liefert eine weitere wichtige Charakterisierung der FloquetExponenten.

Satz 4.2.5. Fur ν ∈ C sind aquivalent:

(i) ν ist Floquet Exponent von (4.2);

(ii) −ν ist Eigenwert der Abbildung

L : H1(T, Cn) → L2(T,Cn) , f 7→ f ′ −Af ;

(iii) Es existiert ein g ∈ l2(Z,Cn) mit

(L+ ν)Fg = 0 ,

wobei L := ΨL Ψ−1 mit Ψ wie in (1.5), d. h.

H1(T,Cn) L−−−−→ L2(T,Cn)

Ψ−1

xyΨ

Ψ(H1(T,Cn)

) −−−−→L

l2(Z,Cn)

undF : l2(Z, Cn) → l2(Z,Cn) , (ck)k 7→

((2πik + δ0,k)−1ck

)k;

Somit ist ν ∈ C genau dann Floquetscher Exponent der Differentialgleichung (4.2),falls 1 Eigenwert der Abbildung BL(ν) := 1− (L+ ν)F ist.

Beweis. (i) ⇔ (ii). ”⇒“: Nach Lemma 4.2.4 existiert ein f ∈ H1(T,Cn) 6= 0 mity(x) = e νx f(x). Aber

Lf = L(e −νx y(x)

)

= e −νx y′(x)− ν e −νx y(x)− e −νxA(x)y(x)︸ ︷︷ ︸=y′(x)

= −ν e −νx y(x) .

Dies zeigt, dass −ν Eigenwert der Abbildung L ist.

”⇐“: Sei also f ∈ H1(T,Cn) 6= 0 ein Eigenvektor von L mit Lf = −νf . Definiertman y(x) := e νx f(x), so gilt offensichtlich y ∈ HLoc

1 (R,Cn) 6= 0. Weiter folgt

y′(x) = e νx f ′(x) + ν e νx f(x)

= e νx(Lf(x) +A(x)f(x)

)+ ν e νx f(x)

= −ν e νx Lf(x) + e νxA(x)f(x) + ν e νx f(x)= A(x)y(x) ,

Page 51: Unendliche Determinanten zur Behandlung von periodischen Differentialgleichungen

4.2 Floquettheorie 48

undy(x+ 1) = e νx e ν f(x+ 1) = e ν e νx f(x) = e ν y(x) .

Insgesamt zeigt dies also, dass y Floquetsche Losung mit Floquet Exponent ν ist.

(ii) ⇔ (iii). ”⇒“: Nach Voraussetzung gibt es ein f ∈ H1(T,Cn) 6= 0 mit Lf =−νf . Wie man leicht sieht gilt F (l2(Z,Cn)) = Ψ(H1(T,Cn)) (vgl. hierzu Satz 1.0.9).

Also vermittelt die Abbildung F : l2(Z,Cn) ' Ψ(H1(T,Cn)) einen Isomorphismus.Setzt man g := F−1(Ψf) ∈ l2(Z,Cn) , so ergibt sich

(L+ ν)Fg = ΨLΨ−1F (F−1Ψf) + νF (F−1Ψf)

= Ψ(Lf) + Ψ(νf) = Ψ(Lf + νf)= 0 .

”⇐“: Sei g ∈ l2(Z,Cn) mit (L + ν)Fg = 0. Jedenfalls ist aufgrund von Satz 1.0.9Fg ∈ Ψ(H1(T,Cn)) , also

Ψ−1(Fg) ∈ H1(T,Cn) .

Wegen LFg = −νFg folgt schließlich

LΨ−1Fg = Ψ−1LFg = −νΨ−1Fg .

Dies zeigt die Behauptung.

Page 52: Unendliche Determinanten zur Behandlung von periodischen Differentialgleichungen

5 Determinantenmethode zurBerechnung der Floquet Exponenten

Nach Satz 4.2.3 sind die Floquetschen Exponenten von (4.2) genau die Eigenwerte derPeriodizitatsmatrix B(Y ) = Y (1), wobei Y eine Fundamentalmatrix mit Y (0) = Insei.

Zur Berechnung der Floquet Exponenten muss also zunachst eine numerisch auf-wendige Integration der Differentialgleichung (4.2) durchgefuhrt werden, um dann dieNullstellen des Polynoms det(Y (1)− eνIn) bestimmen zu konnen.

Dieses Kapitel stellt nun ein Verfahren zur Bestimmung der Floquet Exponentenvor, bei der eine numerische Integration vermieden werden kann.

Stattdessen gestattet das Verfahren die Berechnung der Floquet Exponenten aus derNullstellenbestimmung eines Polynoms vom Grad n, welches durch Folgen endlicherAbschnittsdeterminanten eines Hilbert-Schmidt-Operators gewonnen wird.

Grundlage hierfur bildet Satz 4.2.5; zuvor jedoch zwei definierende Lemmata, wobeiim Folgenden der Hilbertraum

H := l2(Z,Cn)

betrachtet werde, und die Blockmatrixdarstellung eines Operators in L(H) stetsbezuglich der Standardbasis in H erfolge.

Lemma 5.0.6. Sei Z ∈ L∞(T,Cn×n) und fur f ∈ L2(T,Cn) definiere den Multipli-kationsoperator

MZf(t) := Z(t)f(t) .

Dann gilt:

(i) MZf ∈ L2(T,Cn) fur alle f ∈ L2(T,Cn);

(ii) MZ : L2(T,Cn) → L2(T,Cn) ist ein beschrankter Operator;

(iii) Die Blockmatrixdarstellung von MZ ist gegeben durch MZ = (Zk−l)k,l∈Z mit

Zk :=∫ 1

0

Z(t) e −2πikt dt ∈ Cn×n .

MZ hat also die Struktur einer (Block-) Band-Matrix.

Beweis. Jedenfalls gilt MZf(0) = MZf(1). Da Z ∈ L∞(T,Cn×n) ist, existiert eineNullmenge N und eine Konstante M , sodass |Z(t)| ≤M fur alle t ∈ [0, 1]rN gilt.

Die Behauptungen (i) und (ii) folgen nun aus der Abschatzung∫

[0,1]

|Z(t)f(t)|2 dt =∫

[0,1]rN

|Z(t)f(t)|2 dt

≤M2

[0,1]

|f(t)|2 dt = M2‖f‖2L2.

Page 53: Unendliche Determinanten zur Behandlung von periodischen Differentialgleichungen

5 Determinantenmethode zur Berechnung der Floquet Exponenten 50

Zu Behauptung (iii). Die Blockmatrixdarstellung des Operators MZ ist nach (1.4)und (1.5) MZ =

(πkΨMZΨ

−1τl)k,l∈Z .

Die Matrix πkΨMZΨ−1τl ∈ Cn×n ist aber gerade gegeben durch

(5.1)∫ 1

0

Z(t) e 2πi(k−l)t dt .

Denn sind ei und ej Einheitsvektoren in Cn, so berechnet sich der (i, j) -te Eintragder Matrix aus dem Skalarprodukt (πkΨMZΨ

−1τl)ij = 〈πkΨMZΨ−1τlej , ei〉.

Wegen Ψ−1τl(ej) = e 2πil · ej folgt aber MZΨ−1τl(ej) = Z(·) e 2πil · ej , und somit

ΨMZΨ−1τl(ej) =

∫ 1

0Z1j(t) e −2πi(s−l)t dt

...

∫ 1

0Znj(t) e −2πi(s−l)t dt

s∈Z

.

Dies bedeutet

πkΨMZΨ−1τl(ej) =

∫ 1

0Z1j(t) e −2πi(k−l)t dt

...

∫ 1

0Znj(t) e −2πi(k−l)t dt

,

und daher

〈πkΨMZΨ−1τlej , ei〉 =

∫ 1

0

Zij(t) e −2πi(k−l)t dt

Dies zeigt schließlich die Richtigkeit von Darstellung (5.1).

Block-Matrizen von der Struktur des Multiplikationsoperators MZ werden alsBlock-Laurent-Operatoren bezeichnet (vgl. hierzu auch [6] S. 564ff.).

Lemma 5.0.7. Seien F,L ∈ L(H) wie in Satz 4.2.5, dann gilt

(i) Der OperatorF = diag ((2πil + δ0,l)−1In)l∈Z

ist ein Hilbert-Schmidt-Operator.

(ii) Der OperatorBL(ν) := 1− (L+ ν)F

ist ein Hilbert-Schmidt-Operator fur alle ν ∈ C.

Beweis. (i) Sei (gm)m die Standardorthonormalbasis in H, dann ist∑

m∈Z‖Fgm‖2 =

l∈Z

∣∣(2πil + δ0,l)−1In)∣∣2 = n+

n

4π2

l∈Zr0l−2 <∞

wobei |·| die Quadratsummennorm bezeichne. Mittels Satz 2.3.1 folgt also F ∈ S2(H).

(ii) Es giltBL(ν) = 1− (L+ ν)F = 1−DF +MAF − νF ,

Page 54: Unendliche Determinanten zur Behandlung von periodischen Differentialgleichungen

5.1 Struktur der regularisierten Determinante 51

wobei D ∈ L(H) mit D((ck)k) := 2πi(kck)k ist.Die direkte Rechnung zeigt

1−DF = diag (δ0,lIn)l∈Z ,

also folgt mittels Satz 2.3.1 auch 1−DF ∈ S2(H).

Aufgrund der Idealeigenschaft von S2(H) (vgl. Satz 2.3.5) sind mit F auch MAFund νF Hilbert-Schmidt-Operatoren, und somit auch BL(ν).

Dies zeigt die Behauptung.

Als Folgerung zu Satz 4.2.5 gewinnt man

Satz 5.0.8. Ein ν ∈ C ist genau dann Floquetscher Exponent der Differentialglei-chung (4.2), falls

det2 (1−BL(ν)) = 0 ,

mit BL(ν) wie in Lemma 5.0.7.

Beweis. Nach Definition ist die regularisierte Determinante genau dann identisch0, falls 1 ein Eigenwert des Operators BL(ν) ∈ S2(H) ist. Dies folgt aber aus Satz4.2.5 (iii).

5.1 Struktur der regularisierten Determinante

Das nachste Ziel ist es nun zu zeigen, dass sich die Bestimmung der regularisier-ten Determinante det2 (1 − BL(ν)) , auf die Berechnung der endlichdimensionalenAbschnittsmatrizen detPN (1 − BL(ν))PN reduzieren lasst, wie Lemma 5.1.4 zeigenwird.

Hierbei bezeichne PN ∈ L(H) (N ∈ N) die Orthogonalprojektion auf den (2N+1)n-dimensionalen Unterraum

(ck)k∈Z ∈ H : ck = 0 fur |k| > N .

Hiervon ausgehend formuliert Theorem 5.1.6 das Hauptergebnis dieser Arbeit: dieunendliche Determinante det (1−BL(ν)), d. h. der Limes der endlichen Abschnitts-determinanten, ist bis auf eine Normalisierungsfunktion durch ein endliches Polynomgegeben.

Lemma 5.1.1. Es sei Z ∈ W 1∞(T, Cn×n) und detZ(x) 6= 0 fur alle x ∈ [0, 1]. Dann

ist der Operator F −MZFMZ−1 nuklear mit verschwindender Spur.

Beweis. Der Beweis verlauft in mehreren Schritten.

(i) Zunachst wird bewiesen, dass C := FMZ −MZF ein nuklearer Operator ist:Nach Definition gilt fur k 6= 0 6= l

Ckl = (FMZ)kl − (MZF )kl =(

12πik

− 12πil

)Zk−l .

Page 55: Unendliche Determinanten zur Behandlung von periodischen Differentialgleichungen

5.1 Struktur der regularisierten Determinante 52

Mittels partieller Integration lasst sich nun folgender Zusammenhang zwischen denbeiden Blockmatrizen Zk−l und Z ′k−l herstellen:

Z ′k−l =∫ 1

0

Z ′(t) e −2πi(k−l)t dt

=[Z(t) e −2πi(k−l)t

]1

0+ 2πi(k − l)

∫ 1

0

Z(t) e −2πi(k−l)t dt

= 2πi(k − l)Zk−l .

Folglich gilt fur k 6= 0 6= l und k 6= l:

Ckl =(

12πik

− 12πil

)Z ′k−l

2πi(k − l)= − 1

2πik1

2πilZ ′k−l .

Dies zeigt Ckl = (FMZ′F )kl fur k 6= 0 6= l und k 6= l. Fur k = l 6= 0 ist dies jedochoffensichtlich, somit gilt

(1− P0)C(1− P0) = (1− P0)FMZ′F (1− P0) .

Die Summe C = FMZ −MZF lasst sich also im Wesentlichen, d.h. bis auf einenendlichen Operator, als Produkt zweier Hilbert-Schmidt-Operatoren darstellen:

C = (1− P0)FMZ′F (1− P0) +K ,

mit K := P0C + CP0 − P0CP0 .Da die Operatoren (1− P0) und MZ′ beschrankt sind, folgt mittels Satz 2.3.5 und

2.3.6(1− P0)FMZ′F (1− P0) ∈ S1(H) .

Da K als endlichdimensionaler Operator nuklear ist, folgt schließlich C ∈ S1(H).

(ii) Der nachste Beweisschritt zeigt die Konvergenz des Operators PNFMZ −MZPNF fur N →∞ gegen C in der S1-Norm:

Hierzu sei DN := C − (PNFMZ −MZPNF ) fur N ∈ N gesetzt. Eine unmittelbareRechnung zeigt

DNkl =

0 fur |k|, |l| ≤ N

Ckl fur |k|, |l| > N

−(MZF )kl fur |k| ≤ N, |l| > N

(FMZ)kl fur |k| > N, |l| ≤ N

Dies bedeutet

(5.2) DN = (1− PN )C(1− PN )− PNMZF (1− PN ) + (1− PN )FMZPN .

Es ist nun limN→∞‖DN‖S1 = 0 zu zeigen.Da der Operator 1−PN punktweise gegen 0 strebt, konvergiert aufgrund von Satz

3.2.6 der erste Teil der Summe gegen 0 in S1(H).Der zweite Teil der Summe soll nun durch die Norm der einzelnen Zeilenoperatoren

abgeschatzt werden.

Page 56: Unendliche Determinanten zur Behandlung von periodischen Differentialgleichungen

5.1 Struktur der regularisierten Determinante 53

Jede der (2N+1)n Zeilen von PNMZF (1−PN ) stellt einen eindimensionalen Ope-rator dar, folglich ergibt sich aufgrund der Dreiecksungleichung in S1(H) zusammenmit Lemma 2.3.3

(5.3) ‖PNMZF (1− PN )‖S1 ≤∑

|k|≤N

( ∑

|l|>N

|(MZF )kl|2)1/2

Die rechte Seite der Ungleichung konvergiert aber fur N →∞ gegen 0, wie folgendeAbschatzung zeigt:

|k|≤N

( ∑

|l|>N

|(MZF )kl|2)1/2

=∑

|k|≤N

( ∑

|l|>N

∣∣∣Zk−l

2πil

∣∣∣2)1/2

≤ 12π(N + 1)

|k|≤N

( ∑

|l|>N

∣∣Zk−l

∣∣2)1/2

=1

2π(N + 1)

|k|≤N

( ∑

|l|>N

∣∣∣ Z ′k−l

2πi(k − l)

∣∣∣2)1/2

≤ 12π(N + 1)

|k|≤N

12π(N + 1− |k|)

( ∑

|l|>N

∣∣Z ′k−l

∣∣2)1/2

Da die Fouriertransformation normerhaltend ist (vgl. Satz 1.0.8), gilt fur jedes k ∈ Z:

(5.4)( ∑

l∈Z|Z ′k−l|2

)1/2

≤ ‖Z ′‖L2

Somit folgt weiter

|k|≤N

( ∑

|l|>N

|(MZF )kl|2)1/2

≤(

12π(N + 1)

|k|≤N

12π(N + 1− |k|)

)‖Z ′‖L2

=1

4π2(N + 1)

(1

N + 1+ 2

N∑

k=1

1k

)‖Z ′‖L2

≤ 14π2(N + 1)

(1

N + 1+ 2 + 2 lnN

)‖Z ′‖L2 → 0 ,

wobei die letzte Ungleichung aus dem Integralvergleichskriterium folgt.Somit gilt ‖PNMZF (1− PN )‖S1 → 0 fur N →∞.

Um schließlich den letzten Term von Summe (5.2) abzuschatzen, betrachtet manden normgleichen adjungierten Operator PNM

∗ZF

∗(1− PN ).Jener lasst sich analog zu (5.3) abschatzen, folglich konvergiert auch der letzte Term

in Summe (5.2) bezuglich der S1-Norm fur N →∞ gegen 0.Insgesamt gilt also

limN→∞

‖DN‖S1 = 0 .

(iii) Da M−1Z = MZ−1 ein beschrankter Operator ist, folgt aus (i) und der Idealei-

genschaft von S1(H) (vgl. Satz 2.2.7) F −MZFM−1Z ∈ S1(H).

Wegen (ii) konvergiert nun auch PNF − MZPNFM−1Z gegen F − MZFM

−1Z in

S1(H), wobei Satz 2.2.7 verwendet wurde.

Page 57: Unendliche Determinanten zur Behandlung von periodischen Differentialgleichungen

5.1 Struktur der regularisierten Determinante 54

Nach Satz 2.2.10 (c) gilt

sp PNF = sp MZPNFM−1Z

fur alle N ∈ N. Daher folgt aufgrund der Stetigkeit des Spurfunktionals schließlich

sp (F −MZFM−1Z ) = lim

n→∞sp (PNF −MZPNFM

−1Z )

= limn→∞

sp PNF − limn→∞

sp MZPNFM−1Z

= 0 .

Dies zeigt die Behauptung.

Korollar 5.1.2. Sei Z wie in Lemma 5.1.1. Dann gibt es eine Konstante C, sodassfur alle ν ∈ C gilt:

det2 (1−BL(ν)) = C · det2(1−BM−1

ZLMZ

(ν)).

Beweis. Sei R := (1− F−1MZFM−1Z ). Wegen

(1−BL(ν)) (1−R) = (L+ ν)F(F−1MZFM

−1Z

)

= (L+ ν)(MZFM−1Z ) = 1−MZBM−1

ZLMZ

(ν)M−1Z ,

gilt nach der Produktformel fur die regularisierte Determinante (vgl. hierzu Satz3.2.12) und Satz 2.3.9

det2 (1−BL(ν)) det2 (1−R) = det2(1−MZBM−1

ZLMZ

(ν)M−1Z

)

= det2(1−BM−1

ZLMZ

(ν))· e sp BL(ν)R .

Nach Definition gilt

BL(ν)R = (1− (L+ ν)F )(1− F−1MZFM−1Z )

= (1− LF )(1− F−1MZFM−1Z )− ν(F −MZFM

−1Z ) .

Gemaß Lemma 5.1.1 ist die Spur von BL(ν)R gegeben durch

sp BL(ν)R = sp((1− LF )(1− F−1MZFM

−1Z )

),

insbesondere also unabhangig von ν.Da (1 − R) = F−1MZFM

−1Z invertierbar ist, gilt det2 (1−R) 6= 0 (andernfalls

ware nach Definition der regularisierten Determinante der Punkt 1 Eigenwert von R ,folglich 1−R nicht invertierbar).

Die Konstante C := e sp BL(ν)R det2 (1−R)−1 leistet dann das Verlangte.

Definition 5.1.3. Ist fur B ∈ L(H) die Folge

detPN (1 − B)PN

N∈N konvergent,

so setzt mandet (1−B) := lim

N→∞detPN (1−B)PN .

Page 58: Unendliche Determinanten zur Behandlung von periodischen Differentialgleichungen

5.1 Struktur der regularisierten Determinante 55

Auch fur BL(ν) lasst sich fur jedes ν ∈ C auf diese Weise eine Determinante defi-nieren, wie folgendes Lemma zeigt.

Lemma 5.1.4. Fur BL(ν) existiert fur jedes ν ∈ C die Determinante gemaß Defini-tion 5.1.3 und es gilt:

det (1−BL(ν)) = e −n(1−ν)−sp A0 · det2 (1−BL(ν)) .

Beweis. Nach Satz 3.2.12 hat man

(5.5) det2 (1−BL(ν)) = limN→∞

det(PN (1−BL(ν))PN

)e sp PN BL(ν)PN .

Die Spur von PNBL(ν)PN ist aber unabhangig von N , denn:

BL(ν) = 1− (L− ν)F = 1−DF +MAF − νF ,

wobei D ∈ L(H) mit D((ck)k) := 2πi(kck)k ist. Dies bedeutet

BL(ν) = diag (δ0,lIn)l∈Z+((2πil+ δ0,l)−1Ak−l

)k,l∈Z+diag

(ν(2πil+ δ0,l)−1In

)k,l∈Z .

Somit berechnet sich die Spur der endlichen Abschnittsmatrizen PNBL(ν)PN zu

sp PNBL(ν)PN = sp In +N∑

l=−N

(2πil + δ0,l)−1 sp A0 −N∑

l=−N

ν(2πil + δ0,l)−1 sp In

= sp In + sp A0 − ν sp In = n+ sp A0 − νn .

Dies zeigt zusammen mit (5.5) die Behauptung.

Lemma 5.1.4 zeigt also, dass die Floquet Exponenten genau durch die Nullstellender unendlichen Determinante det (1−BL(ν)) gegeben sind.

Lemma 5.1.5. Fur ν ∈ Λ := z ∈ C : det sinh z−A02 6= 0 sei

BL(ν) :=((1− δk,l)Ak−l(2πil + ν −A0)−1

)k,l∈Z .

Dann existiert die unendliche Determinante det (1 − BL(ν)) fur ν ∈ Λ , und hatfolgende Eigenschaften:

(1) det (1−BL(ν)) = det (1−BL(ν) · det(2 sinh ν−A02 ) ,

(2) BL(ν) ∈ S2(H) fur alle ν ∈ Λ ,

(3) det (1−BL(ν)) → 1 fur |Re ν| → ∞.

Beweis. Aufgrund des Spektralabbildungssatzes 3.1.5 ist die Menge Λ gerade gege-ben durch

Λ = ν ∈ ρ(A0) : 2πil + ν ∈ ρ(A0) fur alle l ∈ Z ,somit ist BL(ν) wohldefiniert.

Vergleicht man weiter die Definitionen von BL(ν) und BL(ν), so ergibt sich furk, l ∈ Z und ν ∈ Λ

(5.6) (1−BL(ν))kl = (1−BL(ν))kl · 2πil + ν −A0

2πil + δ0,l.

Page 59: Unendliche Determinanten zur Behandlung von periodischen Differentialgleichungen

5.1 Struktur der regularisierten Determinante 56

Fur die endlichen Abschnittsdeterminanten folgt deshalb

detPN (1−BL(ν))PN = detPN (1−BL(ν))PN ·N∏

l=−N

det(

2πil + ν −A0

2πil + δ0,l

)

= detPN (1−BL(ν))PN · det

[(ν −A0)

N∏

l=1

(1 +

(ν −A0

2πl

)2)]

.

Da die letzte Determinante durch

det[· · ·

]=

n∏

j=1

(ν − λj(A0)

) N∏

l=1

(1 +

(ν − λj(A0)

2πl

)2)

gegeben ist, liefert die Produktformel fur den Sinus Hyperbolicus sinh z = z ·∏∞l=1

(1 + z2

π2l2

)(z ∈ C):

limN→∞

det[· · ·

]=

n∏

j=1

2 sinhν − λj(A0)

2= det

(2 sinh

ν −A0

2

).

Somit existiert die unendliche Determinante det (1 − BL(ν)) fur alle ν ∈ Λ , undes gilt Gleichung (1).

Um (2) einzusehen, betrachtet man die Ungleichung∑

k,l∈Z|(BL(ν))kl|2 ≤

k 6=l

|Ak−l|2 · |(2πil + ν −A0)−1|2

≤ ‖A‖2L2·∑

l∈Z|(2πil + ν −A0)−1|2(5.7)

= ‖A‖2L2·∑

l∈Z

1(2πl + δ0,l)2

∣∣∣∣((1− δ0,l)− A0 − ν

2πil + δ0,l

)−1∣∣∣∣2

,

wobei (5.4) verwendet wurde. Nach dem Satz uber die Neumannsche Reihe gilt furl, l0 ∈ Z mit |A0−ν|

2π < |l0| ≤ |l|:∣∣∣∣(1− A0 − ν

2πil

)−1∣∣∣∣ ≤

(1−

∣∣∣A0 − ν

2πl0

∣∣∣)−1

,

also existiert eine (von ν abhangige) Konstante M mit∣∣∣((1−δ0,l)− A0−ν

2πil+δ0,l

)−1∣∣∣ ≤M

fur alle l ∈ Z. Somit gilt fur alle ν ∈ Λ∑

k,l∈Z|(BL(ν))kl|2 ≤ ‖A‖2L2

M2 ·∑

l∈Z

1(2πl + δ0,l)2

<∞ .

Gemaß Lemma 2.3.2 ist also BL(ν) ∈ S2(H) fur ν ∈ Λ.

Um (3) zu erhalten, sei ohne Einschrankung |Re ν| > |A0| angenommen. Dann ist∣∣(1− A02πil+v

)−1∣∣ ≤ (1−

∣∣ A0Re ν

∣∣)−1 fur alle l ∈ Z , und folglich aufgrund von Ungleichung(5.7) und Lemma 2.3.2:

‖BL(ν)‖2S2≤ ‖A‖2L2

(1−

∣∣∣ A0

Re ν

∣∣∣)−2

·∑

l∈Z

1|2πil + ν|2 .

Page 60: Unendliche Determinanten zur Behandlung von periodischen Differentialgleichungen

5.1 Struktur der regularisierten Determinante 57

Es soll nun die letzte Summe abgeschatzt werden.Aus

l∈Z

1|2πil + ν|2 =

l∈Z

1(Re ν)2 + (2πl + Im ν)2

=∑l≤x0l∈Z

1(Re ν)2 + (2πl + Im ν)2

+∑l>x0l∈Z

1(Re ν)2 + (2πl + Im ν)2

,

wobei x0 ∈ R das Maximum der achsensymmetrischen Funktion f(x) :=1

(Re ν)2+(2πx+Im ν)2 bezeichne, d. h. 2πx0 + Im ν = 0 , folgt mittels des Integralver-gleichskriteriums

l∈Z

1|2πil + ν|2 ≤

2(Re ν)2

+∫

x≤x0

dx

(Re ν)2 + (2πx+ Im ν)2

+∫

x>x0

dx

(Re ν)2 + (2πx+ Im ν)2.

Wegen∫

R

dx

(Re ν)2 + (2πx+ Im ν)2=

12π|Re ν|

[arctan

|x||Re ν|

]∞

−∞=

12|Re ν|

bedeutet dies ∑

l∈Z

1|2πil + ν|2 ≤

2(Re ν)2

+1

2|Re ν| .

Hiermit ist ‖BL(ν)‖S2 → 0 fur |Re ν| → ∞ gezeigt.Aus der Stetigkeit der regularisierten Determinante (vgl. Theorem 3.2.5) folgt

hieraus sofort:lim

|Re ν|→∞det2 (1−BL(ν)) = det2 (1− 0) = 1

Da die Spur der endlichen Abschnittsmatrizen PNBL(ν)PN verschwindet, gilt nachSatz 3.2.12 det2 (1−BL(ν)) = det (1−BL(ν)).

Schließlich folgt die Behauptung.

Hiermit lasst sich nun die polynominale Struktur der Determinante erkennen:

Theorem 5.1.6. Fur jedes ν ∈ C gilt

det (1−BL(ν)) = (−1)n e −12 (nν+sp A0) · det

(Y (1)− e ν In

).

Die Determinante det (1−BL(ν)) ist also (bis auf eine Normalisierungsfunktion) einPolynom in e ν .

Beweis. Sei Y (t) die Fundamentalmatrix der Differentialgleichung (4.2) mit Y (0) =In.

Nach dem Theorem von Floquet existiert ein Z ∈ W 1∞(T,Cn×n) mit detZ(t) 6= 0

fur alle t ∈ T , und eine konstante Matrix K ∈ Cn×n, sodass Y (t) = Z(t) e tK fur allet ∈ T gilt.

Page 61: Unendliche Determinanten zur Behandlung von periodischen Differentialgleichungen

5.1 Struktur der regularisierten Determinante 58

Hiermit erhalt man nun fur f ∈ H1(T,Cn)

M−1Z LMZf = Z−1LZf = Z−1 ((Zf)′ −AZf)

= Z−1(Z ′f + Zf ′ −AZf) = f ′ − Z−1(AZ − Z ′)f.

Wegen

Z ′(t) = Y ′(t) e −tK −Y (t)K e −tK = A(t)Y (t) e −tK −Y (t)K e −tK

= A(t)Z(t)− Y (t) e −tK K = A(t)Z(t)− Z(t)K

folgt also M−1Z LMZf = f ′ −Kf fur f ∈ H1(T,Cn) .

Lemma 5.1.4 garantiert somit die Existenz der unendlichen Determinante det (1−BM−1

ZLMZ

(ν)) , und es gilt (wegen K0 = K) die Gleichung:

det (1−BM−1Z

LMZ(ν)) = e −n(1−ν)−sp K · det2 (1−BM−1

ZLMZ

(ν))

Nach Korollar 5.1.2 existiert also eine Konstante C, sodass

det (1−BL(ν)) = C e sp K−sp A0 · det (1−BM−1Z

LMZ(ν)).

Wegen Kj = 0 fur alle j 6= 0 ist (in der Notation von Lemma 5.1.5) der OperatorBM−1

ZLMZ

(ν) = 0 fur ν ∈ Λ.

Gemaß Lemma 5.1.5 (1) gilt det (1 − BM−1Z

LMZ(ν)) = det(2 sinh ν−K

2 ) fur alleν ∈ Λ . Dies bedeutet

det (1−BL(ν)) = C e sp K−sp A0 · det(2 sinh

ν −K

2

)

= C e sp K−sp A0 · det(e −

ν+K2

(e ν In − e K

))

= (−1)n C e sp K−sp A0 · det(e −

ν+K2

)det

(e K − e ν In

)

Aufgrund der Gleichungen e K = Y (1) und det(e −

ν+K2

)= e − sp ν+K

2 (vgl. Korollar4.1.7) fuhrt dies zu

det (1−BL(ν)) = (−1)n C e12 (sp K−sp A0) e −

12 (nν+sp A0) · det

(Y (1)− e ν In

).

Die Konstante C := C e12 (sp K−sp A0) lasst sich nun folgendermaßen berechnen.

Einerseits gilt

limRe ν→−∞

det (1−BL(ν)) · e 12 (nν+sp A0) = (−1)n C · detY (1).

Andererseits ist nach Lemma 5.1.5

det (1−BL(ν)) · e 12 (nν+sp A0) = det (1−BL(ν)) · det

(2 sinh

ν −A0

2

)· e 1

2 (nν+sp A0)

= (−1)n det(e A0 − e ν In

) · det (1−BL(ν)) .

Somit zeigt Lemma 5.1.5

limRe ν→−∞

det (1−BL(ν)) · e 12 (nν+sp A0) = (−1)n det e A0 .

Page 62: Unendliche Determinanten zur Behandlung von periodischen Differentialgleichungen

5.1 Struktur der regularisierten Determinante 59

Die Formel von Liouville (Satz 4.1.6) liefert schließlich

det e A0 = e sp∫ 1

0A(t) dt = detY (1).

Also muss C = 1 sein.Die Behauptung ist bewiesen.

Determinantenmethode fur Systeme von periodischen Differentialgleichungen.Im Folgenden sollen die Ergebnisse fur die eindimensionale Differentialgleichung (4.2)auf ein m-dimensionales periodisches Differentialgleichungssystem

(5.8) P (D,x)y(x) = 0

angewandt werden, mit P (D,x) := Dm +A(m−1)(x)Dm−1 + · · ·+A(1)(x)D+A(0)(x),wobei A(j) ∈ L∞(T,Cn×n) und D := d

dx sei.

Das aquivalente System erster Ordnung ist gegeben durch y′(t) = A(t)y(t) mit

A(t) =

0 In

. . . . . .

0 In−A(0)(t) −A(1)(t) · · · −A(m−1)(t)

.

Da[1−BL(ν)

]kl

=1

2πil + δ0,l

(−Ak−l + δkl(2πil + ν)In)

ist, folgt hiermit:

[1−BL(ν)

]kl

=1

2πil + δ0,l

αlδklIn −δklIn

. . . . . .

αlδklIn −δklIn

A(0)k−l A

(1)k−l · · · αlδklIn +A

(m−1)k−l

,

wobei αl := 2πil + ν gesetzt wurde.

Um die Floquet Exponenten der Differentialgleichung (5.8) zu berechnen istnach Theorem 5.1.6 die Determinante der zweifach unendlichen Blockmatrix

[(1 −

BL(ν))kl

]k,l∈Z , deren Koeffizienten alle mn-dimensional sind zu bilden.

Lemma 5.1.7 gestattet nun die Bestimmung der Floquetschen Exponenten auf dieBerechnung der Determinante einer Blockmatrix mit lediglich n-dimensionalen Koef-fizienten zu reduzieren, was die Berechnungszeit bedeutend verringert.

Lemma 5.1.7. Fur k ∈ Z sei

Pk(t) := δ0,kIntm +A

(m−1)k tm−1 + · · ·+A

(1)k t+A

(0)k und

1−B(m)L (ν) :=

[(2πil + δ0,l)−mPk−l(2πil + ν)

]k,l∈Z .

Page 63: Unendliche Determinanten zur Behandlung von periodischen Differentialgleichungen

5.2 Konvergenzeigenschaft der unendlichen Determinante 60

Dann sind die Floquet Exponenten der Differentialgleichung (5.8) genau durch dieNullstellen der Determinante det

(1−B

(m)L (ν)

)gegeben.

Die Funktion e12 mnν ·det (1 − B

(m)L (ν)) ist ein Polynom vom Grad mn in e ν mit

konstantem Term (−1)mn e12 sp A

(m−1)0 und fuhrendem Koeffizienten e −

12 sp A

(m−1)0 .

Beweis. Durch elementare Spaltenumformungen bringt man die endliche Abschnitts-matrix PN (1−BL(ν))PN (N ∈ N) auf die Gestalt

[Bkl

]N

k,l=−Nmit

Bkl :=1

2πil + δ0,l

0 −δklIn... αlδkl

. . .

0. . . −δklIn

Pk−l(αl) A(1)k−l · · · αlδklIn +A

(m−1)k−l

.

Sukzessives Anwenden des Entwicklungssatzes fur Determinanten liefert

det([Bkl]Nk,l=−N

)= detPN (1−Bm

L (ν))PN

fur alle N ∈ N.

Da sp A0 = − sp A(m−1)0 und det (1−BL(0)) = (−1)mn e

12 sp A

(m−1)0 ist, zeigt dies

zusammen mit Theorem 5.1.6 die Behauptung.

5.2 Konvergenzeigenschaft der unendlichenDeterminante

In Theorem 5.1.6 wurde gezeigt, dass sich die Floquetschen Exponenten der Differen-tialgleichung (4.2) auf die Berechnung der unendlichen Determinante det (1−BL(ν))fur endlich viele Werte ν ∈ C zuruckfuhren lasst.

Fur die Anwendung ist das Konvergenzverhalten der Determinante det (1−BL(ν))entscheidend. Dieses soll nun fur den Spezialfall, dass A(·) ein trigonometrisches Po-lynom ist untersucht werden, d. h. es existiert ein b ∈ N0 mit Ak = 0 fur |k| > b.

Im Folgenden sei angenommen, dass alle auftretenden Faktoren und Determinantenvon Null verschieden sind, und ν ∈ C fest gewahlt sei.

Zur Abkurzung schreibe Bkl := (BL(ν))kl und Bkl := (BL(ν))kl .

Desweiteren sei δN := det(PN (1−BL(ν))PN ) und entsprechend δN := det(PN (1−BL(ν))PN ) gesetzt.

Die folgenden zwei Lemmata werden nun das asymptotische Verhalten der beidenFolgen δN bzw. δN untersuchen.

Page 64: Unendliche Determinanten zur Behandlung von periodischen Differentialgleichungen

5.2 Konvergenzeigenschaft der unendlichen Determinante 61

Lemma 5.2.1. Fur N ∈ N sei

γN := det[In −

b∑p=1

B−N,−N+pB−N+p,−N(5.9)

−b∑

p,q=1p 6=q

B−N,−N+pB−N+p,−N+qB−N+q,−N

]

· det[In −

b∑p=1

BN,N−pBN−p,N

−b∑

p,q=1p 6=q

BN,N−pBN−p,N−qBN−q,N

].

Dann ist δN − γNδN−1 = O(N−4) fur N →∞.

Beweis. Der Darstellung in [12] S. 16 folgend, wird die Matrix (Bkl)k,l∈Z durchSpalten- und Zeilenvertauschungen auf die einfach- unendliche Matrix C := (Ckl)∞k,l=0

transformiert, wobei

Ckl :=(B−k,−l B−k,l

Bk,−l Bk,l

)(k 6= 0 6= l)

und C0,l :=

B0, l

2(l gerade)

B0,− l+12

(l ungerade)bzw. Ck,0 :=

B k

2 ,0 (k gerade)B− k+1

2 ,0 (k ungerade).

Offenbar gilt det(1−C)N = det(1−Bkl)Nk,l=−N fur alle N ∈ N , wobei (1−C)N :=

(1− Ckl)Nk,l=0 .

Verwendet man nun

det(1− C)N − det(I2n −

b∑p=1

CN,N−pCN−p,N(5.10)

−b∑

p,q=1p6=q

CN,N−pCN−p,N−qCN−q,N

)det(1− C)N−1 = O(N−4) ,

so folgt die Behauptung, denn det(1−C)N = δN , und fur N groß genug ist die zweiteDeterminante in (5.10) mit γN identisch.

Der Beweis von (5.10) ergibt sich aus [1] Satz IV.2.3 unter Berucksichtigung vonLemma IV.3.3 und IV.3.4. Der skalare Fall findet sich in [13].

Zu bemerken ist nur, dass aufgrund der konkreten Struktur von BL(ν) aus dersogenannten Konvergenz der Ordnung 4 bezuglich 1 − C (fur die Definition vgl. [1]S. 65), sich die behauptete Konvergenzgeschwindigkeit O(N−4) ergibt.

Lemma 5.2.2. Mit

γN := 1 +sp (ν −A0)2

(2πN)2+ 2

b∑p=1

sp (ApA−p)(2π)2N(N − p)

gilt δN − γNδN−1 = O(N−4).

Page 65: Unendliche Determinanten zur Behandlung von periodischen Differentialgleichungen

5.2 Konvergenzeigenschaft der unendlichen Determinante 62

Beweis. Setzt man in γN aus Lemma 5.2.1 die Definition von Bkl ein, so ergibt sichder erste bzw. zweite Faktor des Produktes (5.9) zu

det(∓2πiN + ν −A0

∓2πiN

)−1

· det

[∓2πiN + ν −A0

∓2πiN(5.11)

−∑

p

A∓p

∓2πiN

(∓2πi(N − p) + ν −A0

∓2πi(N − p)

)−1A±p

∓2πi(N − p)

+∑p,q

A∓p

∓2πiN

(∓2πi(N − p) + ν −A0

∓2πi(N − p)

)−1 A∓(q−p)

∓2πi(N − p)(∓2πi(N − q) + ν −A0

∓2πi(N − q)

)−1A±q

∓2πi(N − q)

],

wobei sich das obere Vorzeichen auf den ersten und das untere Vorzeichen auf denzweiten Faktor in (5.9) beziehen soll.

Verwendet man die Beziehung det(In + AN ) = 1 + sp AN + O(N−4) fur AN =O(N−2) und

(In ∓ ν −A0

2πi(N − p)

)−1

= In ± ν −A0

2πi(N − p)+O(N−2) ,

so ergibt sich fur γN aus (5.11) durch Ausmultiplizieren bis auf eine Genauigkeit vonO(N−4) :

γN = det(In +

(ν −A0

2πN

)2)−1

(5.12)

·[1 +

sp (ν −A0)2

(2πN)2+

∑p

2 sp (ApA−p)2πN · 2π(N − p)

+∑

p

(1

(2πiN)22πi(N − p)− 1

2πiN(2πi(N − p))2

)

· sp[(ν −A0)(ApA−p −A−pAp)

]

+∑

p 6=q

sp (ApAq−pA−q)− sp (A−pAp−qAq)2πiN · 2πi(N − p) · 2πi(N − q)

]+O(N−4) .

Da offensichtlich fur beliebiges α ∈ C1

N2(N − α)− 1N(N − α)2

= O(N−4)

gilt, lasst sich die zweite Summe in (5.12) bezuglich der OrdnungN−4 vernachlassigen.Die letzte Summe ist durch

(5.13)1

(2πiN)3∑

p6=q

[sp (ApAq−pA−q)− sp (A−pAp−qAq)

]+O(N−4)

gegeben. Beachtet man, dass die Summe∑

p6=q[. . . ] in (5.13) identisch mit∑p<q

[sp (ApAq−pA−q)− sp (A−pAp−qAq) + sp (AqA−pAp−q)− sp (A−qApAq−p)

]

Page 66: Unendliche Determinanten zur Behandlung von periodischen Differentialgleichungen

5.2 Konvergenzeigenschaft der unendlichen Determinante 63

ist, so folgt aus der Rechenregel sp (AB) = sp (BA) fur beliebige Matrizen A und B,dass die Summe verschwindet.

Hiermit ergibt sich also

γN = det(In +

(ν −A0

2πN

)2)−1

· γN +O(N−4) .

Nach (5.6) ist δN = δN ·KN mit KN := det[(ν −A0)

∏Nl=1

(In +

(ν−A02πl

)2)].

Aufgrund von Lemma 5.2.1 folgt somit

δN − γNδN−1 = KNδN − γNKNδN−1 = O(N−4) .

Dies zeigt die Behauptung.

Theorem 5.2.3. Fur N →∞ gilt δN − δN−1 = O(N−2) und δN − δN−1 = O(N−2).

Beweis. Wegen δN − δN−1 = (δN − γNδN−1)− (1− γN )δN−1 folgt der erste Teil derBehauptung aus Lemma 5.2.2 und (1− γN ) = O(N−2).

Der zweite Teil der Behauptung ergibt sich aus der Darstellung (vgl. (5.6))

δN − δN−1 =N∏

l=−N

det(2πil + ν −A0

2πil + δ0,l

)−1

·[δN − det

(In +

(ν −A0

2πN

)2)δN−1

].

Aufgrund der Annahmen am Anfang dieses Abschnittes bleibt namlich das erste Pro-dukt beschrankt fur N → ∞ , und da der letzte Faktor gleich δN − δN−1 + O(N−2)ist, folgt schließlich auch δN − δN−1 = O(N−2).

Im Vergleich zu Verfahren der numerischen Integration der Differentialgleichung,ist in der Anwendung eine Konvergenzgeschwindigkeit der Ordnung O(N−2) nichtbefriedigend. Daher ist eine Konvergenzverbesserung der Determinantenmethodewunschenswert, welche durch nachstehendes Theorem erreicht wird.

Theorem 5.2.4. Fur p = 0, . . . , b und z ∈ C sei

fp(z) :=

sinh(

√z

2 ) · ( 2√z) falls p gerade,

cosh(√

z2 ) falls p ungerade.

Desweiteren sei f0(sp (ν − A0)2) 6= 0 und fp(2 sp (ApA−p)) 6= 0 fur p = 1, . . . , bvorausgesetzt, und die Folge (δN )N gegeben durch

δN := δN ·N∏

m=1

[(1 +

sp (ν −A0)2

(2πm)2

) b∏p=1

p<2m

(1 +

2 sp (ApA−p)π2(2m− p)2

)]−1

.

Dann ist δN − δN−1 = O(N−4) und es gilt

det (1−BL(ν)) = limN→∞

δN · f0(sp (ν −A0)2)b∏

p=1

fp(2 sp (ApA−p)) .

Page 67: Unendliche Determinanten zur Behandlung von periodischen Differentialgleichungen

5.2 Konvergenzeigenschaft der unendlichen Determinante 64

Beweis. Zunachst ergibt die unmittelbare Rechnung

δN− δN−1 = (δN− γNδN−1) ·N∏

m=1

[(1+

sp (ν −A0)2

(2πm)2

) b∏p=1

p<2m

(1+

2 sp (ApA−p)π2(2m− p)2

)]−1

,

wobei

γN :=(

1 +sp (ν −A0)2

(2πN)2

) b∏p=1

(1 +

2 sp (ApA−p)π2(2N − p)2

).

Wegen γN − γN = O(N−4) ist deshalb nach Lemma 5.2.2 δN − δN−1 = O(N−4).Andererseits gilt

det (1−BL(ν)) = limN→∞

δN = limN→∞

δN ·∞∏

m=1

γm .

Die Behauptung ergibt sich somit aus der Produktformel fur die sinh- und cosh-Funktion.

Page 68: Unendliche Determinanten zur Behandlung von periodischen Differentialgleichungen

Literaturverzeichnis

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Literaturverzeichnis 66

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[20] Werner, Dirk: Funktionalanalysis. Springer, 5. Auflage, 2005.

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Erklarung

Hiermit erklare ich, dass ich die vorliegende Diplomarbeit ”Unendliche Determinantenzur Behandlung von periodischen Differentialgleichungen“ eigenstandig verfasst undkeine anderen als die angegebenen Quellen und Hilfsmittel verwendet habe.

Regensburg, den 22. Januar 2007Andreas Schmauß

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