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U n g l e i c h u n g e n fiir d e n Inha l t yon Trennfl~ichen

Von

Ji)RGEN ~BOKOWSKI

In einer Arbeit des Verfassers mit E. Sperner, jr. [1] wurde u.a. das Problem behandelt, bei beliebiger Zerlegung eines konvexen KSrpers in zwei Teilmengen mit vorgeschriebenen Volumina den Inhalt der Trennfl~che nach unten abzusch~tzen. Die dort angegebenen Abschs sind im Fall der Kugel scharf, fiir viele andere (z. B. nadelfSrmige) KSrper aber weir vom Optimum entfernt.

In dieser Arbeit werden Absch~tzungen angegeben, die in vielen Fallen das Er- gebnis in [1] verbessern. Dariiber hinaus sind die angegebenen Ungleichungen fiir sich interessant, da nut einfache einem konvexen KSrper zugeordnete Funktionale auftreten.

E n bezeichne den n-dimensionalen euklidisehen Raum (n ~ 2) und

I( :-- {K/K c E n, K ~ O, K kompakt, K konvex}

die Klasse der konvexen K6rper im E n. A sei die Klasse der Teilmengen des E n, deren Rand durch polyedrische (nicht notwendig konvexe) Mengen im Sinne der Hausdorffmetrik approximierbar ist.

B (x, r ) = {Yl Y e E n, I x - - y [ ~ r} sei die Kugel mit Mittelpunkt x und Radius r im E n. Mit V(A) = 2n(A) werde das n-dimensionale Lebesque-MaB (speziell on :-~

z~nl2 2n(B(0, 1 ) ) - , mit aA der Rand einer Menge A c E n und mit

F (aA) = ~_~ (aA)

das (n -- 1)-dimensionale HausdorffmaB yon aA bezeichnet. SchlielMich schreiben wir

A - - B : = { x [ x = a - - b , a e A , b e B } und D(A):----supd(x,y) x, yeA

ftir den Durchmesser der Menge A.

Zu jedem konvexen KSrper K e K und jeder Menge A e A definieren wir die durch A gebildete Trennfl~che T yon K

T = T ( K , A ) : = K n aA

und die durch A hervorgerufenen (nicht notwendig konvexen) Teilmengen M, M*,

Vol. 34, 1980 Inhalt yon Trennfl~iehen 85

die den konvexen KSrper K zerlegen:

M = M ( K , A ) : = K n A , M * = M * ( K , A ) : = K \ A .

Damit lassen sich die folgendeii Ungleichungen formulieren.

n(n + 1) /~(K)~+:-F(T) ~ ( :) V(M)V(M*), 1 - - ~ - " ( n - - 1)(.0~_1

2(~ -~ 1) (2) D(K). V(K--K)F(T) ~ 1 V(M) V(M*).

1 ~ - - 2n

B e m e r k u n g e n . 1. Die Ungleichungen (1) und (2) sind gegeniiber den Aussagen in [1] wesentlich versehieden. Dies gilt in noch stiirkerem Mai~e ftir die Beweis- methoden. W/~hrend in [1] ein sph~rischer Symmetrisierungsprozel3, die Brunii- Minkowskische Ungleichung auf Sph~ren und eine geeignete Transformation der Ergebnisse yon der Kugel auf beliebige konvexe K6rper wesentliche Beweiselemente waren, wird in dieser Arbeit ein integralgeometrischer Beweis angegebeii.

2. Die in (1) und (2) nur yon der Dimension abh&ngigen Koiistanten sind vermut- lich nicht optimal. In vielen Testfiilleii waren die erhaltenen Absch~tzungen ftir F (T) jedoch besser verglichen mit denen aus [1].

3. (1) und (2) sind invariant gegeniiber Homothetien des E n. Die Eigenschaft der Konvexit/it voI1 K ist wesentlich.

4. In einer Arbeit yon Tomonaga [6], die sich auf den 2-dimensionaien Fall be- schdinkt, werden analoge Probleme betrachtet, wenn die Anzahl der Teilmengen zwei iibersteigt. Mit dem Fall ebener Schnittfl/~ehen besch~ftigt sich Hadwiger in [3] und allgemeiner Iseli in [5].

5. Im Beweis des Satzes wird ein integralgeometrischer Ansatz verwandt, der in abgewandelter Form und im Fall gitterperiodiseher Mengen weitreichende Kon- sequeiizen hatte (vgl. Hadwiger [4]). Die naheliegende Verfolgung des dort ange- gebenen Beweises liefert ffir einen Wiirfel K G K der Kantenl~iige a die Ungleiehung

V(M) ( V(M) ) F(T) > 4. 1 . (3) -an_~ .~_ a n a n

6. Um die Giite der Abseh~tzungen fiir den Inhalt der Trennfl/iehen in (1) nnd (2) mit dem Ergebnis in [1] zu vergleiehen, formulieren wir dieses wie folgt.

KGK, AGA, T(K,A), M(K,A), M*(K,A)

seien wie oben erkl/irt und es sei

2(K) :---- supsup{r/R[ B(x, r) :K c B(x, R)} x E K

das g-r6Btm6gliche Verh~ltnis der Kugelradien zweier konzentrischer Kugeln, die in K enthalten sind bzw. K eiithalten.

Satz.

(1)

86 ]. BOKOWSKI AIKGH. MATH.

Ffir die Angabe des Ergebnisses ben6tigen wir die folgenden Funktionen.

/n: [o, ~/2] -+ [o, ~

oJn-1 j sin n t dt + tan n e . sin n t dt , ~ I , , ( ~ ) . - ~,, o

[n ~ zugeh6rige Umkehrfunktion,

d. : [0, 1] ~ [0, ~o~-d ,

[ d n ( 1 - - z ) , fMls � 8 9

T ~ dn (z) := / (n -- 1) O~n-1 tan n-1 (/~- 1 (z)) o f sinn-2 t dr, sonst

kn: (0, 1] • [0, 1 ] - + ~ ,

�9 dn(l-- 2n(1--r)).

Damit gilt (vgl. Satz 3 in [1]):

( (4) Y(T) >_ V(M)C~-~)~. G ~ ( K ) , - ~

un4 das Gleichheitszeichen wird angenoramen, wenn K eine Kugel und T Teil einer zu OK orthogonalen Sph/ire ist.

Die numerische Auswertung der obigen Funktionen ergibt fiir n ~ 2, 3, 4 die folgenden Gr~phen ffir kn(1, r).

5~

0 0

~ ( ~ ) : = ( ~ ~)-(~-1)!~. G(~) 0 =<_ ~ _< ~-

'NN.x~• ~4 ('c)

, , p I l | 1 , I , { 1 l

0,1 0,2 0.3 0,4- 05 0,6 02 0,8 0,9 1 C

Vol. 34, 1980 Inhalt von Trennfl~ichen 87

B e w e i s des Sa t ze s . Wir w~hlen ein konvexes Polyeder K e K und eine poly- edrisehe Menge A e A. Der Beweis frir beliebige Elemente yon K und A fol~ dann durch einen Grenzribergang. Wir bilden die Mengen

T = K n ~ A , M - - - - K n A und M * - - - - K \ A .

:Fiirt e (M* -- M) u (M -- M*) betrachten wir die Mengen (M -7- t) (~ M* und (M* ~ t) n M. Wir w~hlen t auBerdem so, dab t zu keiner der Seitenfl&chen yon T parallel ist.

Nach dem Satz yon Fubini l~Bt sich das Volumen dieser lYlengen wie folgt schreiben

I : ~ V ( (M ~ t) n M*) ~ V ( (M * -~ t) n M)

= f [21((m-~t) nm*)--~ )q((m* + t ) nm)]d2n- l ( y ) . yeTIt(K)

Dabei bezeichne T/t : E n ---> E~- 1 die Projektion yon E n auf den zu t orthogonalen ( n - 1)-dimensionalen Unterraum E~ -1 un4

m : = M n I I t ~ ( y ) , m * = M * n I l [ l ( y ) .

Die Mengen m bzw. m* bestehen aus endlieh vielen paarweise unzusammen- h~ngenden Intervallen m~ bzw. my

= U , , , 7 i=l j=l

J r - - r* I ~ 1, so dab gilt

I r r(y) r* (y) ] I : I ~ ( ( m ~ ( Y ) - ~ t ) n m * ( Y ) ) § ~ ~z((m,~(Y)~-t)nm(Y)) d2n-~ (Y).

k i = l j = l yeTis(K) Denkt man sich II[-l(y) in t-Riehtung positiv orientiert, dann kann

ml-~[t2i- l , t2i] mit t l ~ t 2 ~ ' " ~ t 2 r

angenommen werden. Schliel3t sich an ein Intervall m~ (bzw. my) in t-Richtung kein intervall des Typs my

(bzw. m~) an, dann gilt ,~1 ((m~ § t) n m * ) ----- 0 (bzw. ~l((m~ § t) n m) ----- 0), andern- fails liegen die rechten Intervallenden yon mi bzw. yon my auf verschiedenen Fliichen- stricken yon T.

Sei jetzt l: E n X (En\{0}) --~

(y, t) ~ l(y, t) = ~z (1If -2 (IIt(y) ) n K)

die LiLnge des Schnittes der Geraden {y -~ ;tt, )~ e R} mit K. Es ~ l t

)~1 ((mi + t) n m*) = 0 (bzw. 21((m~" + t) n m) = O)

falls I t I > l (y, t) und

2~((m, + t) n m*) < / It l = | l ( y , t ) - Itl

8 8 J . BOKOWSKI ARCH. MATH.

sowie

~1((.~* + t) n ,~) < ~ ItJ = [ l ( y , t ) - ltl

sonst. Wir definieren daher

JO falls [tI > l(y,t ) g(t,y):= [min{lt t ' l ( y , t ) - l t l } sonst

und erhalten nach den Voriiberlegungen die Abseh&tzung

(5) I ~ ~ g (t, u) n (u) �9 d;tn-1 (u) ;

n(u) bezeichne dabei einen Normaleneinheitsvektor im Punkt u a T an das ent- sprechende :Fl~chenstiick yon T.

Wir integrieren nun beide Seiten der Ungleichung (5) beziiglich t tiber ( M * - - M ) w ( M - M*). (5) ist h6chstens auf einer Menge vom MaB 0 nicht giiltig. Auf der linken Seite ergibt sieh naeh einer Formel yon Balanzat (vgl. Hadwiger [2], S. 229) 2 V(M) V(M*).

Insgesamt folgt daher

(6) 2 V(M) V(M*) <~ F(T) . Q(K, A)

mit

und

Q (K, A) : = m a x q5 (u, n (u)) u e K

t

Wir sch'&tzen nun Q(K, A) ab, urn nur yon K abh~ngige geometrisehe Gr5Ben zu erhalten. Wegen l(y,t)<= D(K) und

( M - - M * ) w ( M * - - M ) c K - - K c { t lit] ~ D ( K ) }

gilt

)L r <=t~B(O,/)(K))f rain{lt[,D(K)--l t[} ~ - [ ~ , n "d2n(t).

Dieses Integral l~Bt sich durch Transformation auf Kugel-Koordinaten auswerten und man erh~lt

/ ) n

r (u, n) ~ y min {r, D -- r} y I cos ~ ] ( n -- 11 On-1 rn-1 dq5 dr r=O ~=0

[ 1)/2 D 1 = 2 ( ~ - 1) ~ ._1 { ] r n e r + I ( D r " - I -- r~)e~

[ 0 D/2

. . . . . . . . . . . D n + l :2 1-- m~-i n(n + l)

und damit (1).

Vol. 34, 1980 Inhah yon Trennfl~ichen 89

W i r gehen wieder yon ~b (u, n) aus und ve rwenden

(M - - M*) u (M* - - M) c K - - K sowie ~ - , ~ 1.

Die I n t e g r a t i o n beziiglich r in K u g e l k o o r d i n a t e n l~l~t sich auswer ten , es gi l t

f m i n { r , R - - r } r n - l d r = _Rn+z 1 -- 9-~ n (n-k 1) o

i X 1 <~ D(K) 1 -- - - l - - - Jrn-ldr , d.h.

2n] n-~- lo

r 1 - - ~ " V ( K - - K ) ,

also (2).

Literaturverzeiehnis

[1] J. BoJcows~:z und E. S P E R ~ Jr., Zerlegung konvexer K6rper dureh minimale Trennfl~ichen. J. Reine Angew. Math. $11/1112, 80--100 (1979).

[2] It. HADWm~, Vorlesungen fiber Inhalt, Oberfl/iche und Isoperimetrie. Berlin 1957. [3] H. HADWZGER, Uber die Fl~cheninhalte ebener Schnitte konvexer K6rper. Elem. Math. 30,

97--120 (1975). [4] H. HADWIGER, Gitterperiodische Punktmengen und Isoperimetrie. Monatsh. Math. 76, 410

--418 (1972). [5] M. ISV.T.I, Uber die F1/icheninhalte ebener Schnitte konvexer KSrper. Elem. Math. 1111, 129

--134 (1978). [6] Y. TOMO~AGA, Geometry of length and area. Dept. of Math., Utsunomiya University, Ut-

sunomiya Japan 1974.

Eingegangen am20.8 . 1979

Ansehrift des Autors:

Jfirgen Bokowski Abteihmg Mathematik Ruhr-Universitgt Boehum Postfaoh 10 21 48 D-4630 Bochum 1