UNGLEICHUNGEN FUR UMFANG, FLACHENINHALT UND TR/~GHEITSMOMENT KONVEXER KURVEN

Yon

HORST SACHS (Halle) (Vorgelegt yon G. HAJOS)

w 1. Einleitung; Resultate w 2. Beweise. Literaturverzeichnis

lnhal t

w 1. Einleitung; Resultate

Den Anlafi zu dieser Arbeit gab folgender mir aus der bekannter

SATZ. Fiir jede ebene konvexe Figur mit der Randkurve 27r, welche den Ursprung als inneren Punkt eathdlt, gilt

(1) [r'-'ds > t~r"-dct

(r, q~: Polartcoordinaten), und alas Gleichheitszeichen steht genau dann, wenn (~ der Einheitskreis mit dem Ursprung als Mittelpunkt ist.

Beim Beweise ergab sich eine Reihe von Ungleichungen fiir die in der IJberschrift genannten elementaren GrOl~en, die im folgenden systematisch hergeleitet werden sollen; sie scheinen mir auch deshalb von Interesse, weil dadurch auf neue Weise die klassische isoperimetrische Ungleichung (in ver- sch/irfter Form) in e i n tiefer liegendes System yon Ungleichungen eingeordnet wird.

Zuerst werden Raumkurven, dann ebene und schliel~lich konvexe Kurven \ behandelt; dabei gewinnt man eine I]bersicht tiber den Gtiltigkeitsbereich 1 der betrachteten Ungleichungen. Das Hauptresultat dieser Arbeit ist die Un- gleichung ds

(14) 8:~'-'LI--L4--(4:,t-F) ~ ~ 0;

Hauptbeweismittel ist die Schwarzsche Ungleichung. Fig. 1

Literatur nicht

(~ der Ldinge

104 msAcns

(~ sei eine rektifizierbare geschlossene Kurve der L~inge L, 1 bezeichne das minimale (das ist das auf den Schwerpunkt S yon ~ bezogene) Tr~tg- heitsmoment yon (S:

I - - .[ r ~ d s, t~

und F sei, falls ~ eine ebene Kurve ist, der yon ~ umschlossene Fl~ichen- inhalt. Wir ftihren folgende Bezeichnungen ein:

,~ Kreis,

gleichseitiges Dreieck,

9~ Nadel (das ist die aus den beiden Ufern und den Endpunkten einer geraden Strecke bes/ehende Kurve).

Dann besteht flit beliebige 6 des n-dimensionalen euklidischen Raumes die Ongleichung

(2) U 4:r2I>- 0,

wo das Zeichen >- bedeuten soll, daft der Fall der Gleichheit genau dann .R

eintritt, wenn ~ ein Kreis ist? Ftir ebene ~ beweisen wir eine weitere Ungleichung: Wir ftihren als

neuen Parameter an Stelle der Bogenl~inge s ftir die Punkte yon ~ die Gr6Be 2.w

O h - - T s ein, so dab

d x ~2 , d y 2

. 4 :~"

Dann ist 2yr

L 3 - - 2 : r L f I~.d~. fb

2~r

2 x ~ + 2Y~--~I dq~,

4:T~I - - 2 ~ L X {x2 -t- y2} d ~ , i i

1 Siehe [6], Satz 3; (2) ist im wesentlichen ~iquivalent einem Lemma von WIRTINCJEP (siehe [1], S. 105, sowie [2], S. 184 if) und wird am schnellsten bewiesen, wenn man L - - 2n setzt und r(s) in eine Fourierreihe entwickelt (man beachte die Verwandtschaft mit dem bekannten Hurwitzschen Beweis [3] der klassischen isoperimetrischen Ungleichung).

UNGLEICHUNGEN FOR UNIFANG, FLXCHEN1NHALT UND TR~.GHEITSMOMENT 105

(3)

folglich

(4)

und durch Addition ergibt sich 2~g

0

L 3 - 8 ~ L F + 4~"I >= O,

dy d e n n die rechte Seite von (3) verschwindet nur dann, wenn l~ings ~ x = d ~

clx ist, d. h. wenn ~ ein Kreis mit dem Ursprung als Nlittel- und y d q~

punkt ist. Durch Addition ergibt sich aus (2) und (4) sofort die klassische iso-

�9 perimetrische Ungleichung

(5) L"---4~F >= O. .~

Wir bekommen hier auch eine erste Versch~iffung derselben, indem wir (2) in der Form

(6) 2L(L~--4:qrF) >= L"~--8rrLF-t-4:~21

schreiben und (4) beachten; auf eine geometrische Deutung des rechten Ausdrucks U--8:TLF+4:T~I kommen wir noch zurack.

Aus (2) folgern wir noch

(7) L (L"--- 4 ~F) >= 4Jr(:-rl-- L F) .ri

und aus (4)

(8 ) 4:~,(:rI--LF) ~ --L(L- ' - -4,rF); ,~1

(7) und (8) zusammen ergeben eine andere Versch~irfung yon (5):

(9) L'-'--4,rF ~ 4 ~ I:~I--LFI.

Wir bemerken, dais es Kurven gibt mit :~ I - -LF>O (siehe (16)) als auch solche (nichtkonvexe) m i t - , r I - - L F < 0.'-'

Bezeichnen wir mit Q das Quadratmittel der paarweisen Entfernung der Punkte von (~:

1

Q_~ pp'12dsds ' ,

-' Zur Konstruktion yon Kurven mit nI--LF< 0 vergleiche [9], S. 363.

106 rL SACHS

so besteht zwischen Q, I u n d L die Relation

(10) L Q2 _ 2i,~

und wir gewinnen aus (2) und (9) die Ungleichungen

I U 2 ~ - Q 2 > O ,

(2') L - - l[2-:T Q > 0,

(9') E'-- 4 z F > 2:T :rQ~---2F.

Die Ungleichungen (2), (2') und (5) lassen sich zu tolgendem (bekann- ten) Satz zusammenfassen:

Unter allen geschlossenen rektifizierbaren Kuruen gleicher Ldnge liefert der Kreis und nur dieser den grOfiten Wert fiir das minimale Tr~gheitsme- ment, 4 alas Quadratmittel tier Entfernung ~ und den umschlossenen Fldchen- inhalt?

(l Oa)

Welter gilt far beliebige ebene Kurven (~ die Ungleichung

LI 4 F > 0 . -'a

Wir kommen zurack zur Ungleichung (4). Das Integral auf der rechten Seite yon (3) bei beliebiger Lage des Ursprungs ist gleich

(11)

L l dJ' d x l den Einheitsvektor in Richtung mil d - - r - - 2~-wn' wo n - - ds ' ds

a Siehe [6], Bemerkung (1) (S. 124; es ist Q---M~.[g]); die entsprechende Oleichung f/Jr endliche Summen findet sich schon bei STEINER. - - ( 1 0 ) gilt auch ffir Raumkurven.

4 Siehe [6], S~itze 1 und 3. 5 Hier beschr~inken wir uns auf ebene Vergleichskurven. ~,a Zum Beweis siehe [5], S. 49. Ungleichung (17); dort finder sich auch der Hinweis.

dab (10a) leicht aus der Schwarzschen Ungleichung folgt:

4F-~ IL. tS t$

Man beachte auch [5], S. 50. wo ffir konvexe 6 eine Ungleichung

alL < 4 F e

bewiesen wird (z hat eine einfache geometrische Bedeutung).

UNOLEICHUNGEN FOR UMFANG'~ FL,a, CHENINHALT UND 'I-R~.OHEITSMOMENT 107

der ~ufleren Normalen bezeichnet. Far den Kreis mit dem Ursprung als Mittelpunkt und nur ffir diesen ist d~-~o, das Integral (11) gibt uns also ein Mal~ ffir die Abweichung der Kurve ~ yon der Kreisgestalt, bezogen auf ,f den Ursprung. Man zeigt leicht, dal~ das Infegral -L-- d"-ds bei variabler

e Lage des Ursprungs seinen kleinsten Wert genau dann annimmt, wenn der Ursprung mit dem Schwerpunkt von t5 zusammenfallt. Die (nichtnegative) Quadratwurzel aus diesem Minimum bezeichnen wir mit R:

1

R -~- '2ds ;

0--,'r

nach (3) und (10) gilt

-~- -~ (L 3 - 8 : T L F + 4:~'-'R-'

+ 4 ~ - ' I ) = L~ + 2~'-Q'-'--8:cF.

.s tl

J Fig. 2

Damit ist dem Ausdruck L '~- -8 : zLF§ 4:T2/eine einfache geometrische Bedeu- tung beigelegt. Jetzt k6nnen wir auch die Ungleichung (6) folgendermafien schreiben:

(6') L'---4:~F >= 2:r~ R". ''

Auch die linke Seite yon (6') hat far (rektifizierbare) Jordankurven eine ein- fache geometrische Bedeutung, welche sich am leichtesten angeben l~Bt, wenn wir wieder den Vektor d zu Hilfe nehmen: Das "isoperimetrische Defizit"

1 (Le 4~rF ) ist bis auf das Vorzeichen gleich der yore Vektor d

(6")

mit

'; (6') l~[gt sich auf anderem Wege wetter verschiirfen zu

L2 - - 4 z F - > 2n2 (R 2 27 ['S 4 - T 4)

lo ! CS~S ~Sr

(die Punkte P,P' durchlaufen unabh~ingig voneinander die Kurve ~; Ursprung ist der Schwerpunk0; es gilt S~-- T4 ~ 0, S~ + T~ = R ~. -- Ffir Jordankurven darf in (6") das Zeichen ~ durch ~ ersetzt werden, aber ftir die Nadel z. B. gilt das Gleichheitszeichen.

108 n. SACnS

fiberstrichenen Fl~iche, wenn der Punkt P (Fig. 2) die Kurve g einmal im posifiven Sinne durchl~iuft.'

Gehen wir zu konvexen Vergleichskurven fiber, so finden wir drei wei- tere Ungleichungen ffir L, F u n d h zun~ichst die triviale

(12)

ferner, als Gegenstfick zu (2),

(13)

und schlieNich

(14)

f ~ O~ ~

5 4 I - - L 3 > 0:t

8 ~ 2 L I - - L 4 (4:~F) ~ > 0.1o

Wegen (10) schreiben wir statt (13) auch

(13.') 27Q 2 L 2 > 0 , 3V3Q L > O ,

und statt (14)

(14') (2;wLQ) 2 L 4 ( 4 J r F ) 2 > 0 .

(13) und (13') besagen:

Unter allen konvexen Kurven gleicher L6nge liefert alas gleichseitige Dreieck und nur dieses den kleinsten Wert far alas minimale 7"r6gheitsmoment und das Quadratmittel der Entfernung der Punkte der Kurve. ~

7 Wir k6nnen also statt (6') auch schreiben

(6*) 3 > 1 ~ R 2,

die rechte Seite ist gleich dem halben Flficheninhalt eines Kreises yore Radius R. (6*) 1 �9

bleibt erst rechl gtiltig, wenn R dutch das arithmetische Mittel ~- I d ds ersetzt wird.

Wir betrachten es als zum Begriff der konvexen Kurve geh6rig, daft diese so orientiert ist, dal3 bei einer Durchlaufung das Innere zur linken bleibt.

9 Zum Beweis siehe [7], Satz 1. Bei Beschr~inkung auf zentrisch-symmetrische konvexe Vergleichskurven gilt sogar

48I--La _>_ O,

wo das Gleichheitszeichen genau dann steht, wenn (~ ein Parallelogramm ist (siehe [7], Satz 2).

1o Ungleichung (14) wird in w 2 bewiesen. - - Lil3t man die Voraussetzung der Kon- vexit~it fallen, so 1st (14) nicht immer richtig, da die aus (14) gefolgerte Ungleichung (16) ffir geeignete nichtkonvexe ebene Kurven nicht gilt, siehe FuBnote 2.

UNGLEICHUNGEN FOR UMFANO~ FL,~CHENINHALT UND TRti.OHEITSMOMENT 109

(15)

hieraus folgt mit (10)

Wir wollen aus (14) einige Folgerungen ziehen. Anstelle yon (14) schre iben wit auch

(14a) L ( U - - 8 : r L F +4:CI ) ~ L(L3--4:z~I)+(U--4z~F)'~;

wegen (2) schlief~en wir daraus (4) (in versch~irfter Form), (4) ist also fti r konvexe Vergleichskurven eine Folge yon (14) und (2).

Schreiben wir die linke Seite yon (14a) in der Form

2 L~-(L~--4 7t F ) - - L ( U - - 4 : ~ I),

so entnehmen wit aus (14a).

(14b) 2 U ( U - - 4 ~ F ) ~ 2L(U--4~r~ + ( U - - 4 ~ z F ) 2,

eine Versch~irfung der isoperimetrischen Ungleichung (5) ." Addiert man in (14b) auf beiden Seiten --(L2--4~rF) 2, so erh~ilt man

(14c) (L 2 + 4 ~ F ) (L ' - ' - -4~ F) ~ 2L(U--4zr~

Eine weitere Umformung yon (14) ist

(14d) 4~r~-(LI--4F) ~ L (U- -4 :CI ) ,

in Verbindung mit (2) folgt daraus

L I - - 4 F ~ 0; tl~

(15') I L~ - ~ O,

L Q - - V 8 F ~ 0. ua

Eine andere Umformung yon (14) ist

9 9 1 o (14e) 8s tL( :TI - -LF) > (L---4yrF)"; -

11 AtlS (14) und (2) folgt also zun~ichst 2 L ~ (L~-- 4 ~ F) ~:~ (L 2 - 4 n F)~

,it

und daraus L2--4nF~O, ein bemerkenswerter Schlug: Eine Gr613e kann deshalb nicht

negativ sein, weft sie durch ihr eigenes Quadrat abgesch~itzt wird! 11a (15) und (15') gelten flit beliebige ebene Kurven, siehe (10a) (man beachte auch

FuSnote 5a). 12 In Verbindung mit (7) ergibt sich

2L~(L 2 - 4 n F ) ~ 8nL(n l - L F) ~ (Le--4n F) 2.

110 n. sAcns

das ist eine Versch~irfung der Ungleichung

(16) ~ I - - L F >-- O,

gleichwertig mit

(16') .~Q2 2 F > _ 0 .

Aus (16), (5) und (12) gewinnen wir

:a21 '2 > L~F 2 > 4 : rF . F 2,

folglich

(17) ~12 4 F 3 ~ 0 .

(16') und (17) fassen wir in folgendem Satz zusammen:

Unter allen ebenen konvexen Figuren gleichen Fldcheninhalts liefert der Kreis und nur dieser den kleinsten Wert far das Quadratmittel der Entfernung der Punkte der Randkurve sowie fiir das minimale Tr6gheitsmoment tier Ranclkurve.

Aus (16) folgt im Falle L - - 2 ~

(16") I ~ 2 F (L - - 2:r), .R

und das ist nichts anderes als der eingangs genannte Satz (Ungleichung (1)). Es sei noch hingewiesen auf einige Ungleichungen, in denen das Kriim-

mungstr~igheitsmoment J vorkommt, insbesondere kann die Ungleichung (1) in interessanter Weise erweitert werden.

,9 bezeichne den St0tzwinkel, J sei das minimale Kr0mmungstr~igheits- moment yon ~:

j - - [ r2d,9,

O~S*

wo S* den Steinerschen Krtimmungsschwerpunkt bezeichnet, a3 Dann gilt

(18) 2 y c F + . w J L ~ ~ O, J'

oder anders geschrieben :

(18')

daraus folgt wegen (5)

(19)

2 :z j L ~ > L ~ 4 ~ F ;

2 ~ J - - L ~ - > O. ~

1.~ Verg/eiche [81, S. 347, sowie das Literaturverzeichnis yon [8]. 14 Beweis in w 2. 15 Siehe [8], Satz 5.

UNGLEICHUNGEN FOR UMFANO~ FLACHENINHALT UND TR~GHEITSMOMENT 111

Weiter gilt

(20) srL ~ - 8J ~ 0. 1~

Aus (19) und (2) folgen (in Verbindung mit (10))

(21) L J - - 2 ~ I ~ O, ! 6

(21') ] - -sTQ 2 ~ O,

(22) f f - - 2 ~ l ~ >= O.

Mit L = 2 ~ geht (21) fiber in J ~ 1 (L = 2:~),

in Verbindung mit (16") ergibt sich

(23) .f ,.2as>= .f 0=8* O~,q O beliebig

j 'as= f a,p=- . Q,

Aus (2) gewinnt man durch Multiplikation mit 2~L-

2 - - ~ --> 0, L ~-

oder, wegen (10),

folglich

(24)

2F--:T~Q ' => 0,

V)-I_~cQ 3 _> 0.! 7

Ebenso schliel~t man aus (13)

(25) 3 V3Q:~--2I _ > - 0.

Ungleichungen (24) und (25) besagen:

Unter allen konvexen Kurven gleichen minimalen Triigheitsmomentes liefert clef Kreis und nut dieser den grOl3ten Wert and das gleichseitige Drei- eck and nut dieses den kleinsten Weft far alas Quadratmittel der Entfernung tier Pankte der Kurve.

Der ersie Teil des Satzes gilt auch ftir Raumkurven. SchlieNich kann man diejenigen der gewonnenen Ungleichungen, in

1~ Vergleiche [7], Satz 6. 17 Ungleichung (24) gilt auch fiir Raumkurven.

112 H. SACHS

denen nur zwei der betrachteten GrOl~en vorkommen und in denen im Falle des Kreises Gleichheit eintritt (also die Ungleichungen (2), (5), (2'), (16'), (17), (19), (21'), (22), (24)) unter Benutzung einer von POLYA und SZEfi61~ eingeftihrten zweckm~il~igen Schreibweise tibersichtlich zusammenfassen:

(26) j >- L > [ > Q > F.

Unter alien angegebenen Ungleichungen zwischen L, F und I ffir kon- vexe Kurven sind unabh~ngig nut die folgenden vier:

(2) L3--4.~f~I > 0,

(12) F > 0,

(13) 541 L 3 ~ 0,

(14) 8 . ' ~ L I - - L ~ (4.wF): ~ O;

(2) gilt allgemein for Raumkurven, (12), (13), (14)aber sind ohne Voraussetzung der Konvexit~it nicht immer erftillt. Die vier genannten Ungleichungen bilden jedoch kein vollst~indiges System, das heil~t: Wenn die drei Zahlen L > 0, F, I alle vier Ungleichungen erftillen, so folgt daraus nicht die Existenz einer konvexen Kurve, deren L~inge mit L, deren Fl~cheninhalt mit F u n d deren minimales Tr~igheitsmoment mit 1 tibereinstimmt: Man setze etwa L ~ 2.w, I = 2 : ~ , O u F < ~ , dann sind alle vier Ungleichungen erf~llt, wegen (2) mtil~te der Kreis vorliegen, dann mtifite aber F - - : T sein. Aus Kompaktheits- gr~nden ~9 gibt es auch Zahlentripel L > 0, F, I, welche nicht zu einer kon- vexen Kurve gehOren und alle vier Ungleichungen mit dem > -Zeichen erftillen.

w 2. Bewe i se

BEWEIS VON UNGLEICHUNG (14):

8 ~ 2 L I L 4 - - ( 4 : ~ F ) ~ ~ 0.

Wir ffihren Stfitzkoordinaten 6~,p ein (Fig. 3) und zeigen zun~chst: Ffir eine beliebige konvexe Kurve ~ gilt

1

18 [4], 1.5 (S. 4), vergleiche auch 1.15 (S. 10); siehe auch [9], S. 358. 19 Man benutze den Auswahlsatz von BLASCHKE, [I], S. 62.

113

,% f,~ . i ~ ~ . p , . , '

/ S

Zum Beweise nehmen wir der Einfachheit halber an, da f ip (? )zwe ima l stetig differenzierbar sei; das ist keine Einschrtinkung, weil jede konvexe Kurve durch Kurven mit der genannten Eigenschaft beliebig genau approxi- miert werden kann, und dann folgt (27) durch Grenztibergang. - - Wir beachten:

r2-~-p"-+p '2, ds-- (p+p")d&

fp,t~--L, (pas--2F. g

Es ist I--.((p2+p'2)ds.. Wir formen g

das zweite Olied |p"~ds urn: ~. x

.f P'2ds-- fP'2(P+P")d&-- (5 g

(28) --JP'2P d'~, Fig. 3

da p'2p"d,~-- p'a = 0 ist. Partielle Integration liefert (5

j . , , . s - = f . . ' . . > , - g g

2a wo wieder [ pp ' . p | o<o - -O ist, so dal~

(29) ,f p'~'ds-- -- . fp' 'pd9 ,fp2p"d,9". g g t~

Aus (28) und (29) ergibt sich durch Addition

UNGLEICHUNGEN FOR UMFANG, FL~.CHENINHALT UND TR,~GHEITSMOMENT

(30) f p''ds = 2 2

Daraus ergibt sich

I=fp2as+ fp"as=�89 fF-us+ fp~aS f, r g r

das ist aber gerade die zu beweisende Relation (27).

8 Acta Mathematica XI/I--2

114 H. SACHS

Nun wenden wir mehrmals die Schwarzsche Ungleichung an:

,- I'r .fds l l;as! = P

2-~ f P 2 d ~ .ld .9" .IP2d~ > {.fPd~ }~-- L2;

daraus ergibt sich [ p2 d s > _ 4 F 2

- - L '

I(L'2]' L ' . ica~ >: -F iV-~ I - 4 ~ "

20

wo in jedem Falle das Gleichheitszeichen genau dann steht, wenn p kon- stant ist, also genau dann, wenn ~5 ein Kreis (mit dem Ursprung als Mittel- punkt) ist. - - Durch Addition ergibt sich

oder

wie zu beweisen war.

+ -~---i

8 z d L I L ~ (4mF) 2>0,

BEWEIS VON UNGLEICHUNG (18):

2 ~ F + :~J L 2 > O.

Wir benutzen Stfitzkoordinaten mit dem Krtimmungsschwerpunkt als Ursprung. - - Es ist

2 F - - ~ p c l s - - ( p ( p + p " ) d ~ - - .f(p~--p'~)d.9,

j - = - f r 2 d 8 - j '(p'-l-p")a' ,~,

2o Dasselbe ergibt sich bei Anwendung der Ungleichung fiir Potenzmittel:

UNQLEICHUNOEN Fi)R UMFANO~ FLACHENINHALT UND TI~AGHEITSMOMENT

und durch Addition ergibt sich

2 F + J ~ 2 J'ffd,~;

durch Anwendung der Schwarzschen Ungleichung gewinnt man

' If I (31) 2F+J>= 2 ~ p d ~ - -

wo das Gleichheitszeichen nur im Falle p = c o n s t , also nur im Falle Kreises steht. - - Aus (31) folgt sofort die Behauptung.

115

des

(Eingegangen am 8. September 1959.)

Literaturverzeichnis

[1] W. BLASCnKE, Kreis und Kugel (Leipzig, 1916). [2] G. H. HARDY, ]. E. LITTLEWOOD and G. P6LVA, Inequalities (Cambridge, 1934). [3] A. HO~wlTZ, Sur le probl~me des isop~rim~tres, Comptes Rendus Acad. Sci. Paris, 132

(1901), S. 401--402. [4] G. P6LVA and G. SzEo6, lsoperimetrie inequalities in mathematical physics (Princeton, 1951). [5] L. R~DE~ und B. Sz.-NAov, Eine Verallgemeinerung der lnhaltsformel yon Heron, Publ.

Math. Debrecen, I (1949), S. 42--50. [6]--[8] H. SACHS, IJber eine Klasse isoperimetrischer Pr0bleme, I.--3. Mitteilung, Wiss. Z.

Univ. Halle, Math.-Nat Reihe, VIII/1 (1958), S. 121--126, 127--133 und VIII/3 (1959), S. 345--350.

[9] H. SACHS, Zur Theorie gewisser geometrischer Funktionale und zugeh6riger isoperi= metrischer Probleme, Wiss. Z. Univ. Halle, Math:Nat. Reihe, VIII/3 (1959), S. 357--364.

Ferner sei allgemein hingewiesen auf die folgenden mit umfassenden Literaturverzeich- nissen versehenen Biicher" L. F~JES T6TH, Lagerungen in der s auf der Kugel und im Raum (Berlin-G6ttin-

gen--Heidelberg, 1953). H. HADWmER, Aires und Neues iiber konvexe K6rper (Basel und Stuttgart, 1955). H. HADWmER, Vorlesungen i~ber 1nhalt, Oberfli~che und lsoperimetrie (Berlin--Q6ttingen--

Heidelberg, 1957).

8*