OItMANN, D. Math. Annalen, Bd. 130, S. 386--393 (1956)

Ungleichungen zwischen den Quermaflintegralen beschr~inkter Punktmengen. HI

Von

D° 0HMANN in Milano

In diesem dritten Teil bedienen wir uns der Hilfsmittel der Teile 11) und II2), um notwendige und hinreiehende Bedingungen ffir das Auftreten yon G]eieh- heit in der in Tell I bewiesenen Ungleiehung

(1) w~>= vPnwo-P (p = 1, 2 . . . . , n - - l )

zwischen den inneren Quermal~integralen w~ und w 0 besehr~nkter Mengen herzuleiten (vn= Volumen der n-dim. Einheitskugel). Des weiteren unter- suehen wit das Vollst~ndigkeitsproblem ffir das Ungleichungssystem

(2) w~-r :> vVn-r u~-~ (p, r = O, 1 . . . . , n - - 1 ; p :>r),

dessen Riehtigkeit wit allerdings erst in den F~tlen r = 0 (Tell I) und p = n - - 1 (nut "fiir abgesehlossene Mengen; Teil II) dargetan haben.

Die Ergebnisse formulieren wit folgenderma~en: (~) In (1) tritt fi~r eine beschrdnkte Menge genau dann Glei~chheit ein, wenn sie

fast ganz in einer maflgleichen Kugel gleichen p-ten Quermaflintegrals enthalten ist. (fl) Unter der Voraussetzung der Richtigkeit aller Ungleichungen (2) kSnnen

aufler diesen keine weiteren allgemein giiltigen und von ihnen unabhiingigen Ungleichungen zwischen den Quermaflintegralen abgeschlossener Mengen bestehen.

In (a) bezieht sieh ,,fast ganz" und ,,mal~gleich" auf das innere MaB; ,,fast ganz" bedeutet daher ,,bis auf eine Teilmenge des inneren MaBes null".

§ 1. Vorbereitungen V¢ir stellen eine Reihe yon Hilfsmitteln und Formeln bereit, die wir vor-

wiegend den Teilen I und I I entnehmen. Fiir n~here Erkl~rungen und Beweise wird daher zumeist aufdie entsprechenden Stellen in diesen Aufs/itzen verwiesen.

1. Bezeichnet A (~) den NormalriB der Menge A in der Riehtung ~, vn das Volumen der n-dim. Einheitskugel ~n und m (A) das n-dim, irmere Lebesgue- Mai~ von A, so werden die irmeren Querrrmllintegrale w~ (A) durch das Formel- system (Teil I, § 1)

1 / w ~ _ l (A;~) d~ (w~_ 1 (A;~) = w~_l[A (~)]; w ~ , ( A ) - nv,-1 (3) ~n p = 1, 2 . . . . , n - -1 ) ,

wo(A )--- re(A), w,~(A) = vn

1) D. Om~m~: Ungleiehungen zwischen den Quermal3integralen. I. Math. Ann. 124, 265--276 (1952).

2) D. 0 ~ : Unglelehungen zwisehen den Quermaflintegralen. II. Math. Ann. 127, 1--7 (1954).

QuermaBintegrale beschr~nkter Punktmengen. III 387

definiert, in dem die Integra]e als un~ere Lebesgue-Integrale zu verstehen shad, die fiir abgeschlossene Mengen allerdings in Lebesgue-Integrale schlecht- hin iibergehen (TeilII, § 1). Einheitlicher Bezeichnung halber wird das inhere MaB einer Menge A im folgenden vorwiegend durch wo(A ) wieder- gegeben.

2. Die durch Verkiirzung (Tefl I, § 3) in der Riehtung ~ um den Betrag v > 0 aus der abgeschlossenen Menge A hervorgegangene (wiederum abgeschlossene) Menge A (~/v) umfaBt genau alle Punkte ~ C A, ffir die der Durchschnitt der yon ihnen in der R i c h t u n g - ~ ausgehenden Halbgeraden mit A kein ge- ringeres lineares MaB als ~ besitzt,. Fiir die Abnahme der QuermaBintegrale bei Verkiirzung abgeschlossener Mengen gelten die Formeln

V t ,

(a) wo(A ; ~c') - - wo(A ; ~") = f wo(A ; t ,$) d t (z'< "r') (4) ~,,

(b) w ~ ( A ; z ' ) - - w ~ ( A ; z " ) > " - P [ w ~ ( A ; t , Dgt (p = 1 , 2 . . . . . n - - 1) .

Dabei ist w~ (A ; T) abkiirzend fiir w~ [A (~/z)] gesetzt, und w~ (A ; t, ~) bezeichnet das Quermal~integral des Normalrisses der verkiirzten Menge in der Ver- kiirzungsrichtung: w~(A ; t, ~) = w~ (A'; ~) (A ' = A (~/t)). Die Beziehungen (4) sind ha Teil I (§ 3) ffir die dort definierten QuermaB-K.Integrale (K = konvex) hergeleitet worden. Die dortigen Entwicklungen behalten ]edoch - - wie leicht einzusehen - - auch ffir Lebesgue-Integrale ihre Giiltigkeit.

3. Wir skizzieren das in Teil I I (§ 3) eingefiihrte Abgnderungsverfahren fiir Mengen, die aus endlich vielen konvexen KSrpern bestehen. Da wh" es hier nur in der Ebene anwenden werden, betrachten wir dazu eine ebene Menge A, die sich aus endlich vielen konvexen Bereichen zusammensetzt. Durch Aussonderung der Bereiche verschwindenden Inhalts entstehe die Menge A0, zu deren konvexen Hiille~i 0 wir die Parallelbereiche A~ im Abstand v > 0 nach hmen (im G. Bolschen Sinne 3) bilden. Ihre Durchschnitte mit A 0 stellen dann schon die abgegnderten Mengen A, dar. Es ist jedoch noch hin- zuzufiigen, dab an den Stellen z~(v = 1, 2 . . . . ), fiir die A ~ konvexe Bereiche verschwindenden Inhalts umfaBt, die Parallelbereichbildung erst nach Ausson- derung dieser Bereiche auf die konvexe Hiille der dadurch entstandenen Menge A~ weiter angewendet wird. Dadurch ergibt sich die endgiiltige abschnitts- weise Darstellung A t - - A~ ~ ~I~( ~- ~) (v~ < ~< v~+ 0.

Es seien noch die spgter benStigten Formeln notiert: T t~

(5) (a) w o ( A " ) - - w o ( A e') = ,'f i'(A~) d t (v" > ~'),

(b) w~{A~')--w~(A~")~ u (v" - -T ' )

bei denen l' (21~) die Gesamtlgnge des zu A* gehSrenden Tefles der Berandung der konvexen Htille ~ bezeichnet.

s) G. BOL: Beweis einer Vermutung yon It. MIm~OWSKi. Abh. Math. Sere. Univ. Hamburg 15, 37---56 {1943).

388 D. OH~AN~ :

4. Ein Approximationssatz ffir ebene Mengen: Jede ebene, besehrfiz~kte und abgeschlossene Menge A l~Bt sieh derart durch Mengen A*D A appro- ximieren, die aus endiich vielen konvexen Bereichen bestehen, dab sieh die QuermaBintegrale w 1 yon A* und A beliebig wenig voneinander unterscheiden. Zum Beweis sei A 1 C As C" " ' C A eine gegen A konvergente Folge yon Mengen, die sieh jeweils aus endlich vielen konvexen Bereichen zusammensetzen. Sodann konvergieren auch die Normalrisse A 1 ($) C A~ (~) C" • • C A (~) gegen A (~), und es folgt lira w 0 (A ~; ~) = w 0 (A ; ~). Durch Integration fiber Q2 ergibt

~¢--> o o

sieh wegen der Existenz des Lebesgue-Integrals w 1 (A)= ¼ f w o (A; ~)d ~ aber

schon lira w 1 (A ~) = w 1 (A) und mithin die Riehtigkeit des Approximationssatzes.

5. Die KernhiiUe K~ zur beschr~inkten Menge A ffihren wir als den kon- vexen Durehschnitt aller abgeschlossenen Halbr~ume ein, deren Durehsehnitt mit der Menge A zu dieser maBgleich ist. KA ist damit der kleinste unter alien konvexen KSrpern, ffir die der Durehschnitt mit A gleiches inneres MaB wie A selbst besitzt. Wir notieren wo(K ~ ~ A) = wo(A ).

6. Zur Herleitung einer wichtigen Absch~itzung bezeichne C den Rand der konvexen Hfille der ebenen und aus endlich vielen konvexen Bereiehen besteilenden Menge A und C' bzw. C" den zu A bzw. nicht zu A gehSrenden Teil yon C. Wir merken zun~chst die MaBdarstellung w0(A; ~) = ~ f g(%; ~) ×

C

× [$ ~1 d~c fiir den NormalriB A (~) an, in der ~ die ~uBere Normalenrichtung yon C im Punkt ~ ~ C angibt, und g (~; ~) = 1 bzw. g (~; ~) = 0 zu setzen ist, je nach dem, ob die durch den Punkt ~ mit der Richtung ~ hindurchgehende Gerade die Menge A trifft oder nicht. Integration fiber alle Riehtungen ~, anschlieBende Umkehrung der Integrationsordnung und Einfiihrung des

+ ~ zwischen ~ und ~r ]iegenden Winkels ~ liefert dana Wl(A) = ¼ f f g (~; ~) ×

C 2

× cos 7 d ~ d~. Getrennte Integration fiber C' und C" ergibt wegen g (%; ~) = l ffir ?: ~ C'

+ ~

(6) w~(A) = ½l'(A) + ¼f f g (%; ~) cosTdyd~:, 0 " :~

2

wobei l' (A) das lineare MaB yon C' angibt. Auf Grund der Definition yon g(%;$) sieht man noeh die Riehtigkeit der folgenden UngIeiehung ein:

2 ~ +~-

g 0 c ; ~ ) c o s } ' d T ~ 2 c o s ~ d F ~o= ~ 9 ( ~ ; ~ ) d 7 ~ - ~ , a u s d e r

+~-

/ / wegen oos~,d~, = 1 - - cosTo =>--~ sofort g ( ~ ; ~ ) c o s T d ~ , ~ folgt. g¢ ~g y - y . -~-

QuermaBintegrale beschr~nkter Punktmengen. III 389

Da fiir alle durch ~c mit der Richtung ~ hindurchgehenden Geraden, die A treffen, g 0 c ; ~ ) = 1 besteht, m u f weiterhin 7oD(A)~wo(A) ausfallen (D(A) = Durchmesser yon A). Aus (6) erschlieft man daher, wenn l"(A) noch das lineare Mar yon C" bezeichnet :

wo(A? (7) 2wI(A ) - - l'(A) >= l"(A) 2D(A)' "

§ 2. Die Gleichheitsbedingungen Wit ~ndern die eingangs formulierte Aussage (~) in folgender Weise ab:

(~*) Existiert zu einer beschriinlcten Menge A* positiven inneren Mafles eine Folge abgeschlossener Mengen A~(~t = 1, 2 . . . . ), /i~r die die Bedinilunqen

(8) (a) As g A~+I ~_ A*, (b) lim wo(A~) = wo(A*), K - - ~ o o

(c) l iE ¢~(A~) = 0 ( ~ = w$-- V~Wo-P ) x - - > ~

er/i~llt Bind, so ist A* ]ast ganz in einer maflgleichen Kuget enthalten. (~) selbst ist hieraus leicht zu gewinnen: Einerseits lgflt sich n~mlieh

jeder beschri~nkten Menge A positiven MaiZes, fiir die in (1) Gleichheit Platz greift, eine Mengenfolge gem~B (~*) zuordnen, womit aus ((z*) folgt, d a f A fast ganz in einer maBgleichen Kugel K liegt. Die in (~) zus~tzlich enthaltene Bedingung w~(A)= w~(K) ist dann aber zur Sicherstellung der Gleichheit ebenfalls notwendig. Andererseits ist unmittelbar einzusehen, da f die Bedin- gungen yon (~) fiir das Eintreten yon Gleichheit hinreichen. Fiir Mengen verschwindenden Males ist (~) trivialerweise richtig.

1. Der Beweis yon (~*) ffir n = 2. Es sei A* eine ebene Menge, die den Bedingungen yon (~*) geniigt. Sodann kSnnen wit die abgeschlossenen Mengen A, dem Approximationssatz yon § 1.4 entsprechend derart durch Mengen B~ D A~ approximieren, die sich als Vereinigungsmenge endlich vieler konvexer Bereiche darstellen, daft lim [w a (BK)--w 1 (A~)] = 0 besteht. Wegen

x - - - ~ o o

~1 ~ 0 folgt daraus unter Beachtung yon (8b) und (8c)

(9) (a) l imwn(B,) = wo(A*), (b) lim %(B, ) = 0. g - - ~ oo K - - ~ Qo

Ffir hinreichend grofes ~ (etwa ~ ~ b) ist daher sicher, daft die durch die in § 1,3 beschriebene Abgnderung aus den B x hervorgegangenen Mengen B ~ ffir v 2 = ~I(B~) nicht leer sind. Nun erscbliefen wit aus den Formeln (5) fiir die Abnahme yon ~1 die Abschiitzung

v x

o Bezeichnet t~ dann noch einen der Werte yon t auf (0, TM), fiir den der I n , grand seinen Mittelwert nicht fiberschreitet, so folgt bei Beriicksichtigung yon (~I(B~ ~) ~_ 0 die Ungleichung ¢~ (B~) ~ g v~ [2 wx(B~) --/'(Bt~)]. Diese l~ft sich unter Benutzung der Ungleichung (7) wegen ~x (Bg) -- ~ zu

(lO) v,~ :> ~ l"(B') w,(B;,)' - 2 D i ~ . ) ,

umformen, wenn zur Abktimung noeh/~2 -~ B~, gesetzt i~.

3 9 0 D. O ~ A ~ :

Aus (9b) ist lim v~ = 0 zu folgern, so dag sich gemi~fl (5a) aus (9a) auch

lim w e ( B " ) = w e ( A * ) sowie vermSge wt(B~,)< wl(B~) aus (9b) anschliel~end

lira ~ q ( B ' ) = 0 ergibt. Wegen (10) ist zudem tim l " ( B ' ~ ) = 0, woraus der x - - ~ oo g - - + oo

Bedeutung yon l" entspreehend (§ 1.6) fiir die konvexe Hfille B~ yon B~ unmit telbar lira [w 1 (B~) - - w 1 (B')] = 0 folgt. Dies zieht wegen B" 2 B~

x - c - oo

weiterhin lim ~q(B') = 0 sowie lim wo(B'~) = w e ( A * ) n a c h sich. Endlich hat

man der Konstrukt ion der konvexen Bereiche B~ nur noch lim w o ( B ' v ~ A * ) x - + o o

= w e ( A * ) zu entnehmen, um auf deren Konvergenz gegen die Kernhfille K * yon A* schlieBen zu k6nnen. Fiir K* ist dann w o (K*) = w o (A* (~ K*) = w o (A*). Weiter finden wir ~1 (K*) = 0, so dab sich K* nach bekannten Methoden als Kreis ausweisen lgl~t. A* liegt mithin fast ganz im mal~gleichen Kreis K*.

2. Der Beweis yon (~*) fiir n >2 . Wir ffihren die Induktionsvoraus- setzung ein, dab (¢t*) ffir geringere als n-re Dimension richtig sei, und sondern aus der Folge der abgesehlossenen Mengen A~, die der Menge A * den Bedingun- gen yon (a*) gemgB zugeordnet ist, derart eine Teilfolge A~ (4 = l, 2 . . . . )

p n - - p

aus, dab fiir das Funktional toy= w , - - v,~ w 0 n die Ungleiehung ,vv(A~) < 1

< (~+ 1)l besteht, was wegen (8e) sicher m6glich ist. Die Mengen A~. werden 1

sodann in der festen Richtung ~ um die Betrgge T~ = ~ verkfirzt, wobei ).

wegen (8b) so grofl gewghlt werden kann (etwa 2 >/) , daft w0(A~;T~):-- > ½ w e ( A * ) ausfallt.

Nun setzen wir die Formeln (4) zu

t * n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . tv~(A,) - - w , ( aa ; v,) > w~(A'a; t, ~) - - v n

wo(A'a;t)n ] zusammen und teilen das Integral aus sparer ersichtlichen Griinden folgender-

lr a r~ + 1 z~

m a B e n : f . . . d t = f . . . d t + f . . . d r . B e z e i c h n e t - - M alsdann ffir 2 > l 0 0 v;t+ 1

eine wegen wo(A~; va) >½wo(A*) (4 > / ) sieher existierende, yon 2 unab- h~ngige untere Schranke ffir den Integranden auf (0;za+1) und genfigt ta(~a+ 1 < ta < za) der Forderung, dag der Integrand dort seinen Mittelwert auf

1 ( r a + l , ~ '2 , ) nieht iiberschreitet, so ergibt sich bei Beachtung yon W~ (A a) - i~7~i)!

za = ~-~ fiir ;t > 1 die Ungleiehung und

1 (n--p)'M ( a + l ) ! + n( / t+l) ! >

n- -p 1 1 • (A~; ~) - - vn ~ . . . . . . . , >~,(A~;~:a) + - ~ - - ).! (;t+ 1)t

wo(A~) W] in der zur Abkfirzung A~ ftir A~($/ta) steht. Berficksichtigung der aus (1)

QuermaBintegrale beschr~nkter Punktmengen. III 391

folgenden Ungleichung ~r > 0 ffihrt zu

Iw ] lim ~ (A~ ; $ ) - - v~ wo(A~;~) ~-~[ ----~- ~ o , wo(A~) n

woraus die Beziehung n--p--i

(11) vnn2-~l Vn n lim wo(A~;$) n-~

~-~ wo(A~)~ > Jim ~p~ (A* ; ~) ~ 0

nach einigen Umformungen abzuleiten ist. Nachdem wir zun/~chst noch

(12) lira wo(A* ) = lira wo(A'~ ) = wo(A* ) 7,--~ c¢ , t - ~ oo

festgehalten haben [folgt aus (4a) und lim T~= 0 sowie .(8b)], erschliellea wit' ~ - - > oo

aus (11)

(13) lim[(W°(A~-;-~));~~i--(w°(A'Dl2-1>_O ~ . . ~ . ~ L \ Vn-1 \ vn / J --

und daraus wegen (12) unter Beachtung yon wo(A' ~ ;~) > wo(A* ; 4 ~.) aber auch

I< )" "1 (14) lim wo(A~; ~) ;-~:1 __ (wo(A1) 't ~-

Man kann jedoch andererseits aus lim ~ov(A~) = 0 mit Hilfe der Definitions-

formel (3) zunachst

lim wo_~(A'~;$) ( wo(A~!_) --~- d ~ = 0 ).-->co Vn - 1 \ Vn ]

12n

gewinnen, um dann verm6ge ~ P v - 1 (A~ ; ~) ~ 0 atff

lim u,o(A'~;~)~n-l (w~A'D~ -~ d~<--O v~- t / \ v~ ] - -

A - ~ D n

zu schliegen, was aber mit (14) sicher nur dann vertr~glich ist, wenn eine auf Qn fiberM1 dicht liegende Menge .(2' yon Richtungen ~ existiert, fiir die in (14) Gleichheit eintritt. ])ann hat abet ffir ~ E Q' ebenfMls in (13) Gleichheit start, was wit mit ttiffe yon (12) in der Form

P P ~) (

;t...~ oo \ v n - 1 \ v n ]

festhalten kfnnen. Weiterhin ist aus (11) noeh auf

(16) lim A* ~, ( , ; ~) = 0 (~ E ~9') ~ - - > oo

zu sehlieBen.

392 D. Om~A~:

Nun entnehmen wir A~+ 1 ~ A~ und ta > %a+~ > ta+ 1 unter Beachtung yon A * = A ' ~ ( ~ / t a ) die Beziehung A * + I ) A ~ und ffir die Normalrisse mithin A*+I(~ ) _~A~ (~). Damit l~Bt sich das Mal~ der Vereinigungsmenge

oo

A~= U A~(~) (~ E ~ ' ) dutch w0(A¢ ) = limwo(A~; ~) wiedergeben. Wegen

(16) entspricht A# daher den Bedingtmgen yon (~*) und liegt gem~B Induktio~s- voraussetzung fast ganz in einer maBgleichen ( n - 1)-dim. Kugel K~, deren

1

(wo(A*) ~ errechnet. Weiter gestattet die Be- Radius sich nach (15) zu r = \ ~ /

ziehung (12) in Verbindung mit A ~ ( A * die Folgerung, dal~ die Kernhfille K* yon A* ganz in dem von K~ in der Richtung ~ zu entwerfenden Pro- jektionszylinder liegen muB. Fiir ~ ~ ~ ' gilt daher die Ungleichung

n - - 1 n - - 1

w°(K* ' ~) g Vn-l \ Yn ] Vn--1 \----~n ~ ] '

deren zweiter Tefl sofort aus der Definition der Kernhiille (§ 1.5) folgt. Da K* konvex ist, h~ngt w0(K* ; ~) stetig yon ~ ab. Die Giiltigkeit der UngIeichung dehnt sich daher au£ alle ~ ~ ~ aus. Aus ~0~(K*) >_ 0 ist dann aber mit Hilfe der Formel (3) versch~rfend auf

n - - 1

w0(K*;~)= v~_~\ v~ /

zu schlie~en. Die Normalrisse K*(~) stimmen mithin in den Richtungen ~ ~2' mit den Kugein K~ fiberein und stellen aus Stetigkeitsgriinden such in

den anderen Richtungen (n-- 1)-dim. Kugeln von gleichem Radius dar. Aus der bekarmten Tatsache, dal~ K* damit selbst eine Kugel darstellen mug, ergibt sich schlie~lieh schon die Aussage yon (a*).

§ 3. Das Vollstiindigkeitsproblem Zum Beweis der Aussage (fl) brauehen wit offenbar zu jedem beliebigen

n-Tupel positiver Gr~iflen ao< a I < • • • < a~_ 1 bei vorgegebenem s > 0 nur je eine abgeschlossene Menge A zu konstruieren, fiir die

(17) tw~,(A) - - v,, a~, -~} < ~" (p = O, 1 . . . . . n - - I)

ausffiJl¢. Wir bflden dazu fiir p = 2, 3 . . . . , n - - 1 bei festem orthogonMem l~ichtungs-

n-Tupel ~1, $~ . . . . , $, und vorgegebener ganzer Zald I den Durchschnitt Ar der Oberflache C~ einer Kugel Kv des Radius a Tmit der Vereinigungsmenge Er aller ( n - - p + 1).dim. Ebenen e, die auf je p - 1 der Riehtungen ~1, ~ . . . . , ~,,

senkrecht stehen mad die vom Mittelpunkt von K~ die En t femungen-T~

(~--0 , 1 . . . . , l) besitzen. A~= C 2 , ~ E ~ besteht damit aus endlich vielen (n--p)-dim. Kugeloberfliichen, so dM~ also jedem v-dim. Normalrii~ yon A~ fib' v > n -- p das v-dim. MaB null zukommt. Aus der Definition der QuermaB- integrale folgt daher w~(A~,) = 0 (~ = O, 1, 2 . . . . . p - - 1). Anderemeits lassen

Quermallintegrale beschrankter Punktmengen. III 393

sich die Ebenen e durch hinreichend grolle Wahl yon 1 derart dioht anordnen, dag die ( n - p)-dim. Normalrisse av yon Av beliebig genau (n - -p ) -d im. Kugeln des Radius av approximieren. Wi~hlen wir 1 so groB, dab

Iwo(c~) - - v , -~a ,~ -v t < e v , _ ~ (e >0) Vn

besteht, so erschliel~t man mit Hilfe der Definitionsformel (3) lw~, (A) - - v,~@-v I < ~. Damit erftillt die Vereinigungsmenge einer Kugel K o des Radius ao, einer

zu ihr konzentrischen Kugeloberfli~che C 1 des Radius a 1 und den zu beiden konzentrisch anzuordnenden Mengen A.z, A a , . . , , A ~ _ 1 gerade die Be- dingungen (17).

(Eingegan~len am 20. Juli 1955)