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Universitt Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut fr K ernenergetik und E nergiesysteme Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 02 Teil 3 : V9 FEM V9: Finite-Elemente-Methode Teil 3: Numerische Verfahren zur Lsung partieller Differentialgleichungen V9: Finite-Elemente-Methode -Grundlagen und Anwendungen Inhalt: Das Verfahren der Finiten-Elemente (FEM) Lsung von elliptischen Gleichungen mit der FEM 1D Experiment: Lsung einer elliptischen Gleichung mit der FEM (in Vorbereitung)

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Universitt Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut fr K ernenergetik und E nergiesysteme Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 02 Teil 3 : V9 FEM Das sollten Sie heute lernen Wie lst man partielle Dglen numerisch Was ist die Finite Elemente Methode und wie wird sie zur Lsung von Differenzialoperatoren angewandt Wie sind FE- Programme zur Lsung partieller Differentialgleichungen aufgebaut

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Universitt Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut fr K ernenergetik und E nergiesysteme Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 02 Teil 3 : V9 FEM Numerische Lsung von partiellen Dglen - prinzipielles Vorgehen 1.Beschreibung des Lsungsgebietes durch Zonen und Maschen 2.Beschreibung der Gebiete mit gleichem Lsungsansatz durch Basisgebiete 3.Auswahl des Lsungsansatzes -punktweise Darstellung - Entwicklung nach bekannten Funktionen -stochastisch 4.Diskretisierung der Operatoren 5.Aufstellung der Systemgleichungen 6.Lsung des linearisierten Gleichungssystems 7.Darstellung der Ergebnisse

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Universitt Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut fr K ernenergetik und E nergiesysteme Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 02 Teil 3 : V9 FEM Numerische Lsung von partiellen Dglen - Das Finite Elemente-Verfahren 1.Zonen, Maschen und Basisgebiete sind Gebiete beliebiger Form (FiniteElemente), ber die Differentialgleichung integriert werden kann 2.Maschen und Basisgebiete identisch - Lsungspunkte auf FE-Rand 3. 4.Integration so, da am Rand Stetigkeitsbedingungen erfllt 5.Unregelmig strukturierte Gleichungssysteme, schwach diagonal-dominant 6.Lsen auf Basis konjugierter Gradienten-Verfahren oder direktes Lsen 7.Darstellung von Zustnden in Gebieten ber Postprozessoren

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Universitt Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut fr K ernenergetik und E nergiesysteme Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 02 Teil 3 : V9 FEM Lagrange-Interpolation mit Galerkin-Wichtung Folgende Festlegungen werden in der Regel verwendet: Entwicklungsfunktionen Lagrange-Polynome Entwicklungskoeffizienten Werte der genherten Funktion an Sttzstellen (Knoten) Wichtungsfunktionen sind mit Entwicklugnsfunktionen identisch (Galerkin-Wichtung). Ergebnis der Nherung Verstmmelungsfehler Modifikation Aufspaltung des Nherungsgebietes in Teilgebiete mit separaten Annherungen.

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Universitt Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut fr K ernenergetik und E nergiesysteme Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 02 Teil 3 : V9 FEM Wahlen der Entwicklungskoeffizienten Folgende Wahlen sind besonders hufig: d.h. Lsung an einem Punkt. Dann sind die Basisfunktionen die Lagrange-Funktionen d.h. Steigung an einem Punkt. Dann sind die Basisfunktionen in der Regel Hermitesche Funktionen. d.h. mittlere Lsung im Gebiet. Dann sind die Basisfunktionen in der Regel problemabhngige Spezialfunktionen. d.h. mittlere Steigung (hufig fr ein Oberflchenelement definiert).

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Universitt Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut fr K ernenergetik und E nergiesysteme Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 02 Teil 3 : V9 FEM FEM - Vorbemerkungen Ausgang sind integrale Formulierungen und im folgenden speziell das Galerkin-Verfahren. Anders als bei den Lsungen nach Galerkin wird nicht versucht, spezielle, ber das ganze Lsungsgebiet gltige und an das Problem angepasste Entwicklungsfunktionen zu finden. Stattdessen wird das Lsungsgebiet in nicht berlappende Gebiete zunchst beliebiger Gestalt, die sog. Finiten Elemente, unterteilt. In jedem Element wird die Lsung nach Funktionen entwickelt, die nur in diesem Element definiert sind und auerhalb verschwinden. Dadurch wird die Integralgleichung in eine Reihe von Teilintegralen zerlegt. ber Koppelungsbedingungen - Randbedingungen fr die finiten Elemente - werden die Teillsungen zusammengesetzt. In der Regel gelten die Koppelungen ber den ganzen Elementrand. Sie sind daher sehr stark. Das Vorgehen wird wieder am Beispiel der Helmholtz-Gleichung erlutert.

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Universitt Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut fr K ernenergetik und E nergiesysteme Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 02 Teil 3 : V9 FEM Beschreibung des Lsungsgebietes Beschreibung des Lsungsgebietes durch Zonen Unterteilung der Maschen in Basisgebiete oder finite Elemente Fr das Beispiel werden eine Zone und zwei bzw. drei finite Elemente verwendet. Wahl der Entwicklungsfunktionen. Fr das Beispiel wurde Lagrange-Funktion 1. Ordnung gewhlt. Dann gilt im Element m

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Universitt Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut fr K ernenergetik und E nergiesysteme Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 02 Teil 3 : V9 FEM Darstellung der Lsung Fr die gesamte Lsung gilt Anmerkungen: 1.Es ist mglich, in verschiedenen Elementen verschiedene Anstze zu whlen. 2. Whlt man die Knoten i so, dass je ein Knoten auf dem linken und auf dem rechten Rand eines Elements liegen und gilt so gibt es keine Sprnge im Verlauf von 3.Durch die in 2) getroffene Knotenwahl ist die Zahl der Knoten der Elemente (lokale Knoten) kleiner als die Zahl der Knoten im System (globale Knoten).

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Universitt Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut fr K ernenergetik und E nergiesysteme Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 02 Teil 3 : V9 FEM Aufstellung der Residuengleichung -1 Bei Verwendung der Galerkin-Methode sind Wichtungs- und Entwicklungsfunktionen gleich und je nur im zugehrigen Element definiert. Im Element m gilt: Differentialgleichung Zur Lsung sind Randbedingungen erforderlich. Es gilt l und r meinen linken und rechten Rand. m-1 und m+1 linkes und rechtes Nachbarelement.

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Universitt Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut fr K ernenergetik und E nergiesysteme Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 02 Teil 3 : V9 FEM Aufstellung der Residuengleichung -2 Der Beitrag zum Residuum, der durch die Wichtungsfunktion geleistet wird, ist dann Wendet man die Regeln der partiellen Integration an, wird daraus

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Universitt Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut fr K ernenergetik und E nergiesysteme Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 02 Teil 3 : V9 FEM Aufstellung der Residuengleichung -3 Das Residuum fr das Gesamtsystem erhlt man als Summe der Teilresiduen Bei der Summe gilt: Der Randbeitrag am linken und rechten ueren Rand verschwindet wegen der Randbedingung. Wegen der Anschlussbedingung heben sich Beitrge innerer Elemente gerade auf. Man erhlt ein Gleichungssystem fr die globalen Entwicklungskoeffizienten (Lsungen an globalen Knoten).

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Universitt Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut fr K ernenergetik und E nergiesysteme Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 02 Teil 3 : V9 FEM Bestimmung der Elementintegrale Die Versuchsfunktionen und ihre Ableitungen sind Zur Durchfhrung der Integration ber die Elemente transformieren wird die Elemente in das Einheitselement mit 0 x h. Dort lauten die Versuchsfunktionen Dann gilt im Element

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Universitt Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut fr K ernenergetik und E nergiesysteme Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 02 Teil 3 : V9 FEM Lsung 1: 2 Elemente Lsung fr 2 Elemente 3 globale Variablen h = 1

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Universitt Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut fr K ernenergetik und E nergiesysteme Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 02 Teil 3 : V9 FEM Lsung 2: 3 Elemente

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Universitt Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut fr K ernenergetik und E nergiesysteme Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 02 Teil 3 : V9 FEM Vergleich der Ergebnisse zur Lsung

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Universitt Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut fr K ernenergetik und E nergiesysteme Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 02 Teil 3 : V9 FEM Lsung der Helmholtz-Gleichung im Dreiecksgebiet Weitere Potentiale der FEM zeigen wir an folgendem Problem: Folgende Aufgaben sind zu lsen: a)Diskretisierung des Lsungsgebietes b)Generierung der Elementintegrale c)Erzeugung der Systemmatrizen d)Lsung des Gleichungssystems e)Darstellung der Ergebnisse

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Universitt Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut fr K ernenergetik und E nergiesysteme Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 02 Teil 3 : V9 FEM Diskretisierung des Lsungsgebietes Zur Diskretisierung wird das Lsungsgebiet in Elemente unterteilt. Die Elemente werden durch folgende Daten charakterisiert: -globale Nummern der lokalen Knoten(Element-Knoten-Liste) -Koordination der Knoten(Knoten-Koordinaten-Liste) -Typ des Elementes -Material im Element - Randdaten des Elements oder Randelemente. Die Daten werden in Listen gehalten. Die Erzeugung und die berprfung dieser Listen ist ein Problem, das zumindest nicht einfach lsbar ist. Es gibt zwei Grenzflle: a)Die Daten werden elementweise eingelesen, das ist immer mglich, aber sehr aufwendig. b)Die Daten werden halbautomatisch generiert und durch kleine Korrekturen auf aktuelle Flle angepasst. Dies ist vor allem fr hufig wiederkehrende Netze interessant. Zur berprfung der Listen mssen graphische Methoden verwendet werden. Bei dreidimensionalen Problemen ist jedoch auch dieses Vorgehen aufwendig.

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Universitt Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut fr K ernenergetik und E nergiesysteme Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 02 Teil 3 : V9 FEM Diskretisierung mit 6 Elementen Fr das Beispiel sollen nur Dreiecke mit einem Ansatz 1. Ordnung verwendet werden (Typ-Angabe entfllt). Auerdem sei das Gebiet homogen (Materialangabe entfllt). Wir verwenden 5 Elemente und 7 Knoten Die Elementknotenliste lautet dann: Die Knotenkoordinatenliste enthlt 14 Eintrge. Ihre Werte sind hier nicht von Bedeutung. Fr die Elemente V und VI sind Randbedingungen je fr die den lokalen Knoten 1 gegenberliegende Seite vorzugeben. IV 4 III II V I VI 125 63 7

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Universitt Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut fr K ernenergetik und E nergiesysteme Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 02 Teil 3 : V9 FEM Bildung der Elementintegrale Verwendet man im Element einen linearen Ansatz, so gilt: Unter Verwendung von Lagrange-Polynomen fr ein Dreieck wird daraus wo die Lsungswerte an den Dreiecksecken (Knoten) sind. Die Bestimmung des und die Bildung der Integrale ber die Elementflche kann auf verschiedene Arten geschehen. Dazu wird auf die Literatur bzw. Teil 1 der Vorlesung verwiesen.

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Universitt Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut fr K ernenergetik und E nergiesysteme Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 02 Teil 3 : V9 FEM Erzeugung der Systemmatrix Zur Erzeugung der Systemmatrix mssen alle lokalen Beitrge zu einem globalen Knoten und seinen Verknpfungen zu Nachbarknoten aufsummiert werden. Im vorliegenden Fall erhalten wir folgende Matrixstruktur:

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Universitt Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut fr K ernenergetik und E nergiesysteme Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 02 Teil 3 : V9 FEM Analyse und Lsung Die Matrix enthlt auf allen besetzten Positionen sowohl Beitrge vom Diffusionsterm als auch vom Absorptionsterm. Dadurch wird sie zum einen weniger empfindlich gegen Maschenvergrerung, zum anderen aber auch weniger diagonaldominant, ihre Konditionszahl verschlechtert sich (sie wird grer). Die Struktur der Matrix ist unregelmig und kann nicht allgemein vorhergesagt werden. Die Eigenschaften der Systemmatrix erfordern besondere Anstrengungen zur Lsung des Gleichungssystems. Sowohl direkte als auch iterative Verfahren finden Verwendung. Als direktes Verfahren ist das Cholesky- Verfahren verbreitet. Unter den iterativen Verfahren haben sich konjugierte Gradienten- Verfahren bewhrt.

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Universitt Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut fr K ernenergetik und E nergiesysteme Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 02 Teil 3 : V9 FEM Finite Elemente in der Automobilentwicklung -1 ( von Hans Mller,Spektrum der Wissenschaften, Mrz 1997) Die Entwicklungsabteilungen der Automobilindustrie mssen immer umfang- reichere Leistungen in sehr kurzer Zeit und unter erheblichem Kostendruck erbringen. In den letzten Jahren hat sich hierbei die numerische Simulation als unentbehrliches Hilfsmittel etabliert, denn sie liefert die geforderten Aussagen schnell und reproduzierbar, macht Modifikationen und Variantenuntersuchungen einfach und bietet fast unbegrenzte Analysemglichkeiten. Zudem ist sie in der Regel sehr kostengnstig. Ihre Bedeutung wird in Zukunft noch weiter zunehmen, denn die Berechnungs- methoden werden immer noch zgig weiterentwickelt, und ein Ende des Preisver- falls fr Hardware ist nicht absehbar. Berechnet werden heute routinemig unter anderem Bauteilsteifigkeiten und -festigkeiten, Schwingungen und akustische Eigenschaften, das Crashverhalten, die Aerodynamik, das Fahrverhalten, die Verbrennungsprozesse im Motor, die Wrmeleitung sowie Blechumformvorgnge. Die folgenden Beispiele fr Finite- Elemente-Analysen stammen aus der Karosserieentwicklung bei Mercedes-Benz.

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Universitt Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut fr K ernenergetik und E nergiesysteme Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 02 Teil 3 : V9 FEM Finite Elemente in der Automobilentwicklung -2 Das links abgebildete Rechenmodell der Rohkarosserie des Mercedes SLK wird fr Steifigkeitsuntersuchungen eingesetzt, beispielsweise um sicherzustellen, dass sich auch dann alle Tren und Klappen einwandfrei ffnen und schlieen lassen, wenn das Fahrzeug auf extrem unebenem Untergrund steht. Es besteht aus ungefhr 107.000 Schalenelementen und hat etwa gleich viele Knoten; wie fr Verformungsanalysen typisch, sind die Elemente von annhernd gleicher Gre.

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Universitt Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut fr K ernenergetik und E nergiesysteme Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 02 Teil 3 : V9 FEM Finite Elemente in der Automobilentwicklung -3 Weil die blichen Belastungen nur kleine Geometrienderungen hervorrufen (geometrische Linearitt), das Material im linear elastischen Bereich bleibt (Materiallinearitt) und dynamische Effekte keine Rolle spielen (Statik), spricht man von einer linear statischen Analyse. Rechts die berechnete verformte Struktur. Der Deutlichkeit zuliebe sind die lokalen Verschiebungen um den Faktor 30 berhht dargestellt. Die Einfrbung kennzeichnet ihre Gre (ansteigend von hellblau nach rot). Fr Schwingungs- und Akustikanalysen wird ein anderes Modell verwendet (unten); es besteht aus etwa 105.000 Elementen und enthlt smtliche dynamisch relevanten Komponenten des Fahrzeugs wie die Karosserie mit Einbauten, Motor und Triebstrang, die Abgasanlage sowie das Fahrwerk mit der Lenkung und das Pedalwerk.

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Universitt Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut fr K ernenergetik und E nergiesysteme Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 02 Teil 3 : V9 FEM Finite Elemente in der Automobilentwicklung -4 Beispiel fr eine dynamische Simulation ist eine Fahrt ber eine schlechte Wegstrecke. Dabei werden die Radaufstandspunkte in unregelmiger Weise gehoben und gesenkt (rechts). Andere untersuchte Anregungen sind Schwingungen von Motor und Triebstrang oder Unwuchten von Rdern und Antriebswellen. Die Simulation liefert als Ergebnis zum Beispiel Beschleunigungen am Lenkrad, die fr den Fahrer sprbar sein knnen, oder - bei einer akustischen Analyse - den nach Frequenzen aufgeschlsselten Schalldruck am Ohr des Fahrers (unten).

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Universitt Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut fr K ernenergetik und E nergiesysteme Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 02 Teil 3 : V9 FEM Finite Elemente in der Automobilentwicklung -5 Rechenmodell fr die Frontalaufprallsimulation

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Universitt Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut fr K ernenergetik und E nergiesysteme Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 02 Teil 3 : V9 FEM Finite Elemente in der Automobilentwicklung -6 Die Berechnung eines Aufpralls konfrontiert den Ingenieur mit fast allen Problemen, die eine strukturmechanische Simulation bieten kann. Geometrische Nichtlineraritt (groe Geometrienderungen) und Materialnichtlinearitt (Flieen, Reien) sind Teil eines hoch-dynamischen Vorgangs, bei dem nicht nur Trgheits- und Dmpfungseffekte zu bercksichtigen sind, sondern auch Unstetigkeiten in den Randbedingungen (sich ffnende und schlieende Kontakte zwischen Flchen) sowie Gleit- und Reibeffekte. Das Rechenmodell fr die Frontalaufprallsimulation (wieder vom Mercedes SLK) besteht aus ungefhr 84.000 Elementen. Im vorderen Bereich, wo die grten Deformationen zu erwarten sind, ist die Diskretisierung im Interesse einer mglichst genauen Abbildung besonders fein. Bereiche, die ohnehin nicht oder kaum verformt werden, kann man zur Verringerung des Rechenaufwands grber vernetzen.

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Universitt Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut fr K ernenergetik und E nergiesysteme Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 02 Teil 3 : V9 FEM Finite Elemente in der Automobilentwicklung -7 Ergebnis einer typischen Seitenaufprallsimulation mit etwa 80.000 Schalenele- menten. In diesem Fall ist die Seite des Aufpralls besonders fein elementiert. Eine Barriere mit deformierbarem Stokopf aus Aluminiumwaben rammt das Fahrzeug seitlich mit einer Geschwindigkeit von 61 Stundenkilometern. Nach 0,07 Sekunden ist der Deformationsvorgang beendet. Ein Hchstleistungsrechner wie die CRAY T90 bentigt fr die Simulation eines Frontalaufpralls etwa 10 Stunden Rechenzeit (netto) bei etwa 400 bis 500 Millionen Rechenoperationen pro Sekunde. Dabei wird der gesamte Crashvorgang von etwa einer Zehntel-sekunde Dauer in rund 170.000 Zeitabschnitten zerlegt.

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Universitt Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut fr K ernenergetik und E nergiesysteme Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 02 Teil 3 : V9 FEM Finite Elemente in der Automobilentwicklung -8 Leistungsfhige Workstations setzen die Berechnungsergebnisse in realittsnah schattierte Bilder um (rechts: Simulation eines Aufpralls mit 50 Stundenkilometern gegen eine ebene Wand). Bei Bedarf lt sich auch ein kompletter Film des fiktiven Ereignisses erzeugen, der die Ergebnisinterpretation erheblich erleichtert. Je nach Bedarf kann man dabei beliebige Strukturteile ein- und ausblenden; so gewinnt man Einblicke, die ein Film von einem echten Crash niemals liefern knnte. Weitere Crash-Berechnungen befassen sich mit anderen Arten des Frontal- aufpralls, dem Heckaufprall, dem berschlag, dem Zusammensto zweier Fahrzeuge in unterschiedlichen Konfigurationen sowie Schlittenversuchen zur Entwicklung von Rckhaltesystemen.

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Universitt Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut fr K ernenergetik und E nergiesysteme Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 02 Teil 3 : V9 FEM Numerische Lsung von partiellen Dglen - Volumenverfahren 1.Zonen, Maschen und Basisgebiete sind Gebiete beliebiger Form, fr die integrale Bilanzierung mglich ist 2.Statt Maschen und Baisisgebiete Komponenten 3.Mittleres Verhalten aus lokalen Bilanzen 4.Euler-Diskretisierung der Zeit 5.Unregelmig strukturierte Gleichungssysteme primr fr die Zeitfortschaltung 6.Lsen analog iterativer Verfahren - Iteration als Zeitfortschaltung 7.Darstellung von Zustnden im System

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Universitt Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut fr K ernenergetik und E nergiesysteme Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 02 Teil 3 : V9 FEM Volumen(Komponenten)basiertes Modell eines Kreislaufs

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Universitt Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut fr K ernenergetik und E nergiesysteme Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 02 Teil 3 : V9 FEM Diese Fragen sollten Sie beantworten knnen Wie lst man partielle Dglen numerisch, geben Sie die wichtigsten Methoden und ihre Unterschiede an Was ist die Finite Elemente Methode Geben Sie die Struktur der Matrix einer diskretisierten Helmholtz Gleichung an. Wie unterscheiden sich die Matrizen bei Diskretisierung nach FDM und FEM Wie sind Programme zur Lsung partieller Dglen nach der FEM aufgebaut