Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 02

Universität Stuttgart W

isse

nsv

erar

be

itu

ng

un

d N

um

erik

Institut für Kernenergetikund Energiesysteme

Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 02 Teil 3 : V9 FEM

V9: Finite-Elemente-Methode

Teil 3: Numerische Verfahren zur Lösung partieller Differentialgleichungen

V9: Finite-Elemente-Methode -Grundlagen und Anwendungen

Inhalt:Das Verfahren der Finiten-Elemente (FEM)

Lösung von elliptischen Gleichungen mit der FEM 1D

Experiment:Lösung einer elliptischen Gleichung mit der FEM (in Vorbereitung)


isse

nsv

erar

be

itu

ng

un

d N

um

erik



Das sollten Sie heute lernen

Wie löst man partielle Dglen numerisch Was ist die Finite Elemente Methode und wie wird sie zur Lösung

von Differenzialoperatoren angewandt Wie sind FE- Programme zur Lösung partieller

Differentialgleichungen aufgebaut


isse

nsv

erar

be

itu

ng

un

d N

um

erik



Numerische Lösung von partiellen Dglen- prinzipielles Vorgehen

1. Beschreibung des Lösungsgebietes durch Zonen und Maschen

2. Beschreibung der Gebiete mit gleichem Lösungsansatz durch Basisgebiete

3. Auswahl des Lösungsansatzes

- punktweise Darstellung

- Entwicklung nach bekannten Funktionen

- stochastisch

4. Diskretisierung der Operatoren

5. Aufstellung der Systemgleichungen

6. Lösung des linearisierten Gleichungssystems

7. Darstellung der Ergebnisse


isse

nsv

erar

be

itu

ng

un

d N

um

erik



Numerische Lösung von partiellen Dglen- Das Finite Elemente-Verfahren

1. Zonen, Maschen und Basisgebiete sind Gebiete beliebiger Form (FiniteElemente), über die Differentialgleichung integriert werden kann

2. Maschen und Basisgebiete identisch - Lösungspunkte auf FE-Rand

3.

4. Integration so, daß am Rand Stetigkeitsbedingungen erfüllt

5. Unregelmäßig strukturierte Gleichungssysteme, schwach diagonal-dominant

6. Lösen auf Basis konjugierter Gradienten-Verfahren oder direktes Lösen

7. Darstellung von Zuständen in Gebieten über Postprozessoren

j i d L mit Na nein alle fürn

jni i0 ) ( ) ( ) (


isse

nsv

erar

be

itu

ng

un

d N

um

erik



Lagrange-Interpolation mit Galerkin-Wichtung

Folgende Festlegungen werden in der Regel verwendet:

Entwicklungsfunktionen Lagrange-Polynome Entwicklungskoeffizienten Werte der genäherten Funktion an Stützstellen (Knoten)

ii xya

• Wichtungsfunktionen sind mit Entwicklugnsfunktionen identisch (Galerkin-Wichtung).

• Ergebnis der Näherung

xyxyxy ii

n

i

0

• Verstümmelungsfehler

• Modifikation Aufspaltung des Näherungsgebietes in Teilgebiete mit separaten Annäherungen.

10 nx


isse

nsv

erar

be

itu

ng

un

d N

um

erik



Wahlen der Entwicklungskoeffizienten

Folgende Wahlen sind besonders häufig:

,

,

,

,

dxxydx

da

dxxya

xxydx

da

xya

i

xi

ii

ii

i

d.h. Lösung an einem Punkt. Dann sind die Basisfunktionen die Lagrange-Funktionen

d.h. Steigung an einem Punkt. Dann sind die Basisfunktionen in der Regel Hermitesche Funktionen.

d.h. mittlere Lösung im Gebiet. Dann sind die Basisfunktionen in der Regel problemabhängige Spezialfunktionen.

d.h. mittlere Steigung (häufig für ein Oberflächenelement definiert).


isse

nsv

erar

be

itu

ng

un

d N

um

erik



FEM - Vorbemerkungen

Ausgang sind integrale Formulierungen und im folgenden speziell das Galerkin-Verfahren.

Anders als bei den Lösungen nach Galerkin wird nicht versucht, spezielle, über das ganze Lösungsgebiet gültige und an das Problem angepasste Entwicklungsfunktionen zu finden. Stattdessen wird das Lösungsgebiet in nicht überlappende Gebiete zunächst beliebiger Gestalt, die sog. Finiten Elemente, unterteilt. In jedem Element wird die Lösung nach Funktionen entwickelt, die nur in diesem Element definiert sind und außerhalb verschwinden. Dadurch wird die Integralgleichung in eine Reihe von Teilintegralen zerlegt. Über Koppelungsbedingungen - Randbedingungen für die finiten Elemente - werden die Teillösungen zusammengesetzt. In der Regel gelten die Koppelungen über den ganzen Elementrand. Sie sind daher sehr stark.

Das Vorgehen wird wieder am Beispiel der Helmholtz-Gleichung erläutert.


isse

nsv

erar

be

itu

ng

un

d N

um

erik



Beschreibung des Lösungsgebietes

Beschreibung des Lösungsgebietes durch Zonen

Unterteilung der Maschen in Basisgebiete oder finite Elemente

Für das Beispiel werden eine Zone und zwei bzw. drei finite Elemente verwendet.

Wahl der Entwicklungsfunktionen.

Für das Beispiel wurde Lagrange-Funktion 1. Ordnung gewählt. Dann gilt im Element m

rxx

lx

mii

mi

m

2

1

~~


isse

nsv

erar

be

itu

ng

un

d N

um

erik



Darstellung der Lösung

Für die gesamte Lösung gilt

Anmerkungen:

1. Es ist möglich, in verschiedenen Elementen verschiedene Ansätze zu wählen.

2. Wählt man die Knoten i so, dass je ein Knoten auf dem linken und auf dem rechten Rand eines Elements liegen und gilt

so gibt es keine Sprünge im Verlauf von

3. Durch die in 2) getroffene Knotenwahl ist die Zahl der Knoten der Elemente (lokale Knoten) kleiner als die Zahl der Knoten im System (globale Knoten).

xm

i

m

im i

m

m

~~ 2

1

me

mr

~1~

~


isse

nsv

erar

be

itu

ng

un

d N

um

erik



Aufstellung der Residuengleichung -1

Bei Verwendung der Galerkin-Methode sind Wichtungs- und Entwicklungsfunktionen gleich und je nur im zugehörigen Element definiert.

Im Element m gilt:

Differentialgleichung

Zur Lösung sind Randbedingungen erforderlich.

Es gilt

l und r meinen linken und rechten Rand. m-1 und m+1 linkes und rechtes Nachbarelement.

02

2

2

mm Bdx

d

1

1

ml

mr

mr

ml


isse

nsv

erar

be

itu

ng

un

d N

um

erik




Der Beitrag zum Residuum, der durch die Wichtungsfunktion geleistet wird, ist dann

Wendet man die Regeln der partiellen Integration an, wird daraus

dxmi

i

mi

Bdx

dxx

mj

mj

R mr

ml

~22

2

1

0

1

0

21

0

~dxBdx

dx

d

dx

dxR m

i

m

j

m

i

m

j

m

i

m

ji

m

im

m

j


isse

nsv

erar

be

itu

ng

un

d N

um

erik




Das Residuum für das Gesamtsystem erhält man als Summe der Teilresiduen

Bei der Summe gilt: Der Randbeitrag am linken und rechten äußeren Rand

verschwindet wegen der Randbedingung. Wegen der Anschlussbedingung heben sich Beiträge innerer

Elemente gerade auf. Man erhält ein Gleichungssystem für die globalen

Entwicklungskoeffizienten (Lösungen an globalen Knoten).

0 j m

m

jRR


isse

nsv

erar

be

itu

ng

un

d N

um

erik



Bestimmung der Elementintegrale

Die Versuchsfunktionen und ihre Ableitungen sind

Zur Durchführung der Integration über die Elemente transformieren wird die Elemente in das Einheitselement mit 0 x h. Dort lauten die Versuchsfunktionen

Dann gilt im Element

mx

mdx

d

mx

mdx

dm

xe

xxm

mx

xmr

xm

12

11

21

hh

xhh

xh

1

1

22

11

1

1

1

121

1

2

2

11

1

6

1

hjj


isse

nsv

erar

be

itu

ng

un

d N

um

erik



Lösung 1: 2 Elemente

Lösung für 2 Elemente 3 globale Variablen h = 1

1~3

0~3

22

0~~

~~~~~~~

~~

2

2

22

31

223

12

212

111

2

1

2

1

φ

Bgenwert EiLösung:

φB systemGleichungs

φφRand

φφφφφφφriable Globale Va

mi

ξmi

φφm i


isse

nsv

erar

be

itu

ng

un

d N

um

erik



Lösung 2: 3 Elemente

955.0

5.13

7.2

03

2

2

9

6

1

4

9

06

1

4

9

3

2

2

9

~~

3

243

~~

~~

~~

~~~~~~~~~~

321

2

2

2

1

3

2

2

2

3

2

2

2

2

34

1

3

2

23

1

2

2

12

1

11

3

1

3

1

BBB

BB

BB

fürLösung

genwert EiLösung:

systemGleichungs

riable Globale Va

mi

ξmi

φφ

hVariablenglobaleElementefürLösung

m i


isse

nsv

erar

be

itu

ng

un

d N

um

erik



Vergleich der Ergebnisse zur Lösung

Analytisch FDM Galerkin FEM

~

2

12.467401

1.0

2.0

1.273

-

-

3.0

1.273

1

3

1

2

2

12.467401

22.206

0.87

0.87

1.0

3.0

0.955

0.955

2.46744

25.6

-

-

2.7

13.5

0.955

0.955

1

4

1

3

1

2

3

2

12.467401

22.206

120.8

0.707

1.0

0.707

22

2

22

0.75

1.06

0.75

2.467401

22.3

-

0.7071

1.0

0.7071


isse

nsv

erar

be

itu

ng

un

d N

um

erik



Lösung der Helmholtz-Gleichung im Dreiecksgebiet

Weitere Potentiale der FEM zeigen wir an folgendem Problem:

Folgende Aufgaben sind zu lösen:

a) Diskretisierung des Lösungsgebietes

b) Generierung der Elementintegrale

c) Erzeugung der Systemmatrizen

d) Lösung des Gleichungssystems

e) Darstellung der Ergebnisse

0

0

02

2

2

2

2

4

B

x


isse

nsv

erar

be

itu

ng

un

d N

um

erik



Diskretisierung des Lösungsgebietes

Zur Diskretisierung wird das Lösungsgebiet in Elemente unterteilt. Die Elemente werden durch folgende Daten charakterisiert:

- globale Nummern der lokalen Knoten (Element-Knoten-Liste)

- Koordination der Knoten (Knoten-Koordinaten-Liste)

- Typ des Elementes

- Material im Element

- Randdaten des Elements oder Randelemente.

Die Daten werden in Listen gehalten. Die Erzeugung und die Überprüfung dieser

Listen ist ein Problem, das zumindest nicht einfach lösbar ist. Es gibt zwei Grenzfälle:

a) Die Daten werden elementweise eingelesen, das ist immer möglich, aber sehr aufwendig.

b) Die Daten werden halbautomatisch generiert und durch kleine Korrekturen auf aktuelle Fälle angepasst. Dies ist vor allem für häufig wiederkehrende Netze interessant.

Zur Überprüfung der Listen müssen graphische Methoden verwendet werden. Bei dreidimensionalen Problemen ist jedoch auch dieses Vorgehen aufwendig.


isse

nsv

erar

be

itu

ng

un

d N

um

erik



Diskretisierung mit 6 Elementen

Für das Beispiel sollen nur Dreiecke mit einem Ansatz 1. Ordnung verwendet werden (Typ-Angabe entfällt). Außerdem sei das Gebiet homogen (Materialangabe entfällt). Wir verwenden 5 Elemente und 7 Knoten

Die Elementknotenliste lautet dann:

Die Knotenkoordinatenliste enthält 14 Einträge. Ihre Werte sind hier nicht von Bedeutung. Für die Elemente V und VI sind Randbedingungen je für die den lokalen Knoten 1 gegenüberliegende Seite vorzugeben.

IV 4

III

IIV

I

VI

1 2 5

63

7

643

342

763452

654321

IV

III

VIII

VI


isse

nsv

erar

be

itu

ng

un

d N

um

erik



Bildung der Elementintegrale

Verwendet man im Element einen linearen Ansatz, so gilt:

Unter Verwendung von Lagrange-Polynomen für ein Dreieck wird daraus

wo die Lösungswerte an den Dreiecksecken (Knoten) sind. Die Bestimmung des und die Bildung der Integrale über die Elementfläche kann auf verschiedene Arten geschehen.

Dazu wird auf die Literatur bzw. Teil 1 der Vorlesung verwiesen.

~i

yaxaax

o

m

21

~

yxi

i i

m

,3

1

~~

yxi

,


isse

nsv

erar

be

itu

ng

un

d N

um

erik



Erzeugung der Systemmatrix

1 2 3 4 5 6 7

1 I1 I1 I1

2 I2 +II1 + III1 I2 +III1 II1 +III3 II1

3 I3 + III2

+ IV1 + VI1

III3 + IV1 VI1 VI1

4 II3 + III2

+ IV2 + V1

II3 + V1 IV2 + V1

5 II2 + V2 V2

6 IV3 + V3

+ VI2 + VI2

7 VI3

Zur Erzeugung der Systemmatrix müssen alle lokalen Beiträge zu einem globalen Knoten und seinen Verknüpfungen zu Nachbarknoten aufsummiert werden. Im vorliegenden Fall erhalten wir folgende Matrixstruktur:


isse

nsv

erar

be

itu

ng

un

d N

um

erik



Analyse und Lösung

Die Matrix enthält auf allen besetzten Positionen sowohl Beiträge vom Diffusionsterm als auch vom Absorptionsterm. Dadurch wird sie zum einen weniger empfindlich gegen Maschenvergrößerung, zum anderen aber auch weniger diagonaldominant, ihre Konditionszahl verschlechtert sich (sie wird größer). Die Struktur der Matrix ist unregelmäßig und kann nicht allgemein vorhergesagt werden.

Die Eigenschaften der Systemmatrix erfordern besondere Anstrengungen zur Lösung des Gleichungssystems. Sowohl direkte als auch iterative Verfahren finden Verwendung. Als direktes Verfahren ist das Cholesky-Verfahren verbreitet.

Unter den iterativen Verfahren haben sich konjugierte Gradienten-Verfahren bewährt.


isse

nsv

erar

be

itu

ng

un

d N

um

erik



Finite Elemente in der Automobilentwicklung -1(von Hans Möller,Spektrum der Wissenschaften , März 1997)

Die Entwicklungsabteilungen der Automobilindustrie müssen immer umfang-reichere Leistungen in sehr kurzer Zeit und unter erheblichem Kostendruck erbringen. In den letzten Jahren hat sich hierbei die numerische Simulation als unentbehrliches Hilfsmittel etabliert, denn sie liefert die geforderten Aussagen schnell und reproduzierbar, macht Modifikationen und Variantenuntersuchungen einfach und bietet fast unbegrenzte Analysemöglichkeiten. Zudem ist sie in der Regel sehr kostengünstig.

Ihre Bedeutung wird in Zukunft noch weiter zunehmen, denn die Berechnungs-methoden werden immer noch zügig weiterentwickelt, und ein Ende des Preisver-falls für Hardware ist nicht absehbar.

Berechnet werden heute routinemäßig unter anderem Bauteilsteifigkeiten und -festigkeiten, Schwingungen und akustische Eigenschaften, das Crashverhalten, die Aerodynamik, das Fahrverhalten, die Verbrennungsprozesse im Motor, die Wärmeleitung sowie Blechumformvorgänge. Die folgenden Beispiele für Finite-Elemente-Analysen stammen aus der Karosserieentwicklung bei Mercedes-Benz.


isse

nsv

erar

be

itu

ng

un

d N

um

erik



Finite Elemente in der Automobilentwicklung -2

Das links abgebildete Rechenmodell der Rohkarosserie des Mercedes SLK wird für Steifigkeitsuntersuchungen eingesetzt, beispielsweise um sicherzustellen, dass sich auch dann alle Türen und Klappen einwandfrei öffnen und schließen lassen, wenn das Fahrzeug auf extrem unebenem Untergrund steht. Es besteht aus ungefähr 107.000 Schalenelementen und hat etwa gleich viele Knoten; wie für Verformungsanalysen typisch, sind die Elemente von annähernd gleicher Größe.


isse

nsv

erar

be

itu

ng

un

d N

um

erik




Weil die üblichen Belastungen nur kleine Geometrieänderungen hervorrufen (geometrische Linearität), das Material im linear elastischen Bereich bleibt (Materiallinearität) und dynamische Effekte keine Rolle spielen (Statik), spricht man von einer linear statischen Analyse. Rechts die berechnete verformte Struktur. Der Deutlichkeit zuliebe sind die lokalen Verschiebungen um den Faktor 30 überhöht dargestellt. Die Einfärbung kennzeichnet ihre Größe (ansteigend von hellblau nach rot).

Für Schwingungs- und Akustikanalysen wird ein anderes Modell verwendet (unten); es besteht aus etwa 105.000 Elementen und enthält sämtliche dynamisch relevanten Komponenten des Fahrzeugs wie die Karosserie mit Einbauten, Motor und Triebstrang, die Abgasanlage sowie das Fahrwerk mit der Lenkung und das Pedalwerk.


isse

nsv

erar

be

itu

ng

un

d N

um

erik




Beispiel für eine dynamische Simulation ist eine Fahrt über eine schlechte Wegstrecke. Dabei werden die Radaufstandspunkte in unregelmäßiger Weise gehoben und gesenkt (rechts).

Andere untersuchte Anregungen sind Schwingungen von Motor und Triebstrang oder Unwuchten von Rädern und Antriebswellen. Die Simulation liefert als Ergebnis zum Beispiel Beschleunigungen am Lenkrad, die für den Fahrer spürbar sein können, oder - bei einer akustischen Analyse - den nach Frequenzen aufgeschlüsselten Schalldruck am Ohr des Fahrers (unten).


isse

nsv

erar

be

itu

ng

un

d N

um

erik




Rechenmodell für die Frontalaufprallsimulation


isse

nsv

erar

be

itu

ng

un

d N

um

erik




Die Berechnung eines Aufpralls konfrontiert den Ingenieur mit fast allen Problemen, die eine strukturmechanische Simulation bieten kann. Geometrische Nichtlinerarität (große Geometrieänderungen) und Materialnichtlinearität (Fließen, Reißen) sind Teil eines hoch-dynamischen Vorgangs, bei dem nicht nur Trägheits- und Dämpfungseffekte zu berücksichtigen sind, sondern auch Unstetigkeiten in den Randbedingungen (sich öffnende und schließende Kontakte zwischen Flächen) sowie Gleit- und Reibeffekte.

Das Rechenmodell für die Frontalaufprallsimulation (wieder vom Mercedes SLK) besteht aus ungefähr 84.000 Elementen. Im vorderen Bereich, wo die größten Deformationen zu erwarten sind, ist die Diskretisierung im Interesse einer möglichst genauen Abbildung besonders fein. Bereiche, die ohnehin nicht oder kaum verformt werden, kann man zur Verringerung des Rechenaufwands gröber vernetzen.


isse

nsv

erar

be

itu

ng

un

d N

um

erik




Ergebnis einer typischen Seitenaufprallsimulation mit etwa 80.000 Schalenele-menten. In diesem Fall ist die Seite des Aufpralls besonders fein elementiert. Eine Barriere mit deformierbarem Stoßkopf aus Aluminiumwaben rammt das Fahrzeug seitlich mit einer Geschwindigkeit von 61 Stundenkilometern. Nach 0,07 Sekunden ist der Deformationsvorgang beendet. Ein Höchstleistungsrechner wie die CRAY T90 benötigt für die Simulation eines Frontalaufpralls etwa 10 Stunden Rechenzeit (netto) bei etwa 400 bis 500 Millionen Rechenoperationen pro Sekunde. Dabei wird der gesamte Crashvorgang von etwa einer Zehntel-sekunde Dauer in rund 170.000 Zeitabschnitten zerlegt.


isse

nsv

erar

be

itu

ng

un

d N

um

erik




Leistungsfähige Workstations setzen die Berechnungsergebnisse in realitätsnah schattierte Bilder um (rechts: Simulation eines Aufpralls mit 50 Stundenkilometern gegen eine ebene Wand). Bei Bedarf läßt sich auch ein kompletter Film des fiktiven Ereignisses erzeugen, der die Ergebnisinterpretation erheblich erleichtert. Je nach Bedarf kann man dabei beliebige Strukturteile ein- und ausblenden; so gewinnt man Einblicke, die ein Film von einem echten Crash niemals liefern könnte. Weitere Crash-Berechnungen befassen sich mit anderen Arten des Frontal-aufpralls, dem Heckaufprall, dem Überschlag, dem Zusammenstoß zweier Fahrzeuge in unterschiedlichen Konfigurationen sowie Schlittenversuchen zur Entwicklung von Rückhaltesystemen.


isse

nsv

erar

be

itu

ng

un

d N

um

erik



Numerische Lösung von partiellen Dglen - Volumenverfahren

1. Zonen, Maschen und Basisgebiete sind Gebiete beliebiger Form, für die integrale Bilanzierung möglich ist

2. Statt Maschen und Baisisgebiete Komponenten

3. Mittleres Verhalten aus lokalen Bilanzen

4. Euler-Diskretisierung der Zeit

5. Unregelmäßig strukturierte Gleichungssysteme primär für die Zeitfortschaltung

6. Lösen analog iterativer Verfahren - Iteration als Zeitfortschaltung

7. Darstellung von Zuständen im System


isse

nsv

erar

be

itu

ng

un

d N

um

erik



Volumen(Komponenten)basiertes Modell eines Kreislaufs


isse

nsv

erar

be

itu

ng

un

d N

um

erik



Diese Fragen sollten Sie beantworten können

Wie löst man partielle Dglen numerisch, geben Sie die wichtigsten Methoden und ihre Unterschiede an

Was ist die Finite Elemente Methode Geben Sie die Struktur der Matrix einer diskretisierten

Helmholtz Gleichung an. Wie unterscheiden sich die Matrizen bei Diskretisierung nach FDM und FEM

Wie sind Programme zur Lösung partieller Dglen nach der FEM aufgebaut

Documents

Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 02