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Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik Institut für Kernenergeti und Energiesystem Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 03 Teil 2: V5: part. Dglen V 5: Partielle Differentialgleichungen - Grundlagen Teil 2: Partielle Differentialgleichungen V 5: Partielle Differentialgleichungen - Grundlagen Inhalt: Einführung in die Theorie partieller Differentialgleichungen Beispiele für partielle Differentialgleichungen 2. Ordnung Musterlösungen

Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 03

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Institut für Kernenergetikund Energiesysteme

Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 03 Teil 2: V5: part. Dglen

V 5: Partielle Differentialgleichungen - Grundlagen

Teil 2: Partielle Differentialgleichungen

V 5: Partielle Differentialgleichungen - Grundlagen

Inhalt: Einführung in die Theorie partieller Differentialgleichungen Beispiele für partielle Differentialgleichungen 2. Ordnung Musterlösungen

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Institut für Kernenergetikund Energiesysteme

Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 03 Teil 2: V5: part. Dglen

Das sollten Sie heute lernen

Was ist eine partielle Differentialgleichung ? Wie löst man partielle Differentialgleichungen analytisch ? Wie unterscheiden sich elliptische, parabolische und hyperbolische

Differentialgleichungen ? Geben Sie Beispiele für partielle Differentialgleichungen und

ordnen Sie diese den Typen zu Was sind Charakteristiken ? Was ist ein System von partiellen Differentialgleichungen ?

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Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 03 Teil 2: V5: part. Dglen

Grundbegriffe aus der Theorie partieller Dglen -1

Partielle Differentialgleichungen enthalten Ableitungen nach mehreren unabhängigen Variablen. Die wichtigsten Unabhängigen sind die Ortsvariablen x, y und z und die Zeit t. Die abhängigen Variablen entsprechen dem Anwendungsgebiet. Beispiele sind Masse, Energie, Impuls, Temperatur oder Druck. Im Folgenden wird die Abhängige mit oder y bezeichnet, wenn keine physikalisch e Vorstellung mit der Gleichung verbunden werden soll. Ansonsten wird die übliche physikalische Bezeichnung verwendet (z.B. T für Temperatur). Die Dimension einer Differentialgleichung entspricht der Zahl der unabhängigen Variablen.Kommen mehrere abhängige Variablen vor, so spricht man von einem System von Differentialgleichungen. Die Ordnung n einer Differentialgleichung gibt die höchste Ableitung in der Differentialgleichung an. Eine Differentialgleichung heißt

linear, wenn ihre Koeffizienten nicht von den abhängigen Variablen oder ihren Ableitungen abhängen;halb-linear, wenn in den Randbedingungen nichtlineare Funktionen der Abhängigen oder ihren Ableitungen vorkommen;quasi-linear, wenn auch in den Koeffizienten der Differentialgleichung Abhängigkeiten der Lösungen auftreten,nicht-linear, wenn die Differentialgleichung Potenzen von Ableitungen enthält.

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Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 03 Teil 2: V5: part. Dglen

Grundbegriffe aus der Theorie partieller Dglen -2

Entsprechend heißt ein Operator linear, wenn gilt

L(a u + b v) ) = a L u + b L v

Eine Differentialgleichung heißt homogen, wenn ihre rechte Seite verschwindet. Differentialgleichungen, die physikalische Geschehen beschreiben sollen, sind nur sinnvoll, wenn

a) eine Lösung existiert,

b) genau eine Lösung existiert - dazu sind genau n Rand bzw. Anfangsbedingungen anzugeben,

c) die Lösung relativ stabil ist.

Jede Differentialgleichung der Ordnung n kann in ein äquivalentes System von n Differentialgleichung 1. Ordnung transformiert werden. Man erreicht das durch Transformation der Art:

yycwxxv

ycwxv

2

22

11

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Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 03 Teil 2: V5: part. Dglen

Grundbegriffe aus der Theorie partieller Dglen -3

Die einfachste partielle Differentialgleichung ist eine Differentialgleichung der Dimension 2. Für eine abhängige Variable und die Ordnung 2 lautet die allgemeine Form der linearen Differentialgleichung:

Analog den Flächen zweiter Ordnung unterteilt man diese Differentialgleichung entsprechend den Werten, die = B2 -4AC annimmt

> 0 hyperbolisch

für = 0 ist die Dgl parabolisch

< 0 elliptisch.

Die drei Klassen repräsentieren verschieden physikalische Geschehen und verhalten sich numerisch sehr unterschiedlich.

Zur Lösung einer Dgl sind Rand-/Anfangsbedingungen nötig. Die allgemeine Form der Randbedingung lautet:

yxyxFxxCxyBxxA ,,,,

xn

xxx

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Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 03 Teil 2: V5: part. Dglen

Operatoren und Integralsätze

Die erste Ableitung wird oft mit dem Operator , die zweite Ableitung mit =

x abgekürzt.

heißt Nabla-Operator. Er kann auch als Vektor angeschrieben werden:

Der -Operator kann auf verschiede Datentypen angewandt werden:

Gauß‘sche Integralsatz

Setzt man statt dem Vektor das Produkt zweier Skalare u und v an, so gilt der Green‘sche Integralsatz

321

,,xxx

DeltaheißtGradient

aDivergenzheißtadivaVektor

GradientheißtgradSkalar

:

:

:

dOvdVv OV

v

OVVVV dOuvdVuvVdvuVdvuVdv

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Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 03 Teil 2: V5: part. Dglen

Klassifizierung partieller Differentialgleichungen

Allgemeine Form

+ Rand-/Anfangs-Bedingungen

Alternative Form über

Formale Aufteilung ACB 42

0 FC yyB xyA xx

0

0

wxcvy

Fwyc

CvB yvA x

c ywxv

< elliptisch (e)= 0 parabolisch (p) > hyperbolisch (h)

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Elliptische Differentialgleichungen

Als Beispiel einer elliptische Differentialgleichung wird die

stationären Wärmeleitgleichung (Diffusionsgleichung) mit inneren Wärmequellen betrachtet

mit = const.

ergibt sich für ein 2-dimensionales Lösungsgebiet:

Weitere Beispiele sind

Laplace-Gleichung u = 0

Poisson-Gleichung u = f (x)

Helmholtz-Gleichung u = (x) u + f (x)

( ) ( ) ( )* x u x q x 0

u x q x( ) ( )* 0

( ( , ) ( , )) ( , )*

2

2

2

2 0xu x y

yu x y q x y

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Helmholtz-Gleichung - analytische Lösung

Elliptische Differentialgleichungen lassen sich unter einfachen Bedingungen analytisch lösen. Ein Beispiel dafür ist die Helmholtz-Gleichung.

Die Gleichung lautet: + B2 = 0

Lösungsgebiet ist -1 x + 1

Es gelten die Randbedingungen (1) = (-1) = 0

Lösung ist: n = cos (Bnx)

Bn muss diskrete Werte annehmen

(n = heißt Eigenwert, n ist die zum Eigenwert n gehörende Eigenlösung)

Damit die Randbedingungen erfüllt sind, muss gelten

Für mehrdimensionale Fälle gilt der Produktansatz (x,y) = n (x) • m (y)

Die Formel für die Eigenwerte lautet dann

2nB

12)12(

206.222

467401.21

daher

2

22122

nn

nnB

n

212212

4

2

,2 mn

nmB

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Klassifizierung partieller Differentialgleichungen

Merkmal Elliptisch Parabolisch Hyperbolisch

Physik

Anwendung

Stationäre Probleme (WL,Diffusion, Potentiale)

Transient

(WL, Diffusion)

Raum-Zeit

Erhaltungsgleichungen,Wellengleichung, Systeme

Mathematik

Randwerte

Lösungsverhalten

Klassifizierung

Charakteristiken

2 Randwerte/Variable

Lösung als Funktion(analytisch)

B*B – 4AC < 0

O

1 Anfangswert2 Randwerte

Lösung als Tabelle

B*B – 4AC = 0

1

2 Anfangswerte2 Randwerte

Lösung als Programm

B*B – 4AC > 0

2

Numerik

Differenzenverfahren

Systemmatrix

Konsistent + konvergent

Positive definite

Konvergent wenn

konsistent + stabil

Konvergent wenn konsistent,stabil und phys. Existenz

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Parabolische Differentialgleichungen

ddt

T ddx

T2

2

Parabolische Dglen verbinden mindestens 2 unterschiedliche Unabhängige. Die Gleichungen sind daher häufig instationär und eindimensional Grundform parabolischer Dglen ist die transiente Wärmeleitgleichung

Ihre Lösung erfordert

eine Anfangsbedingung und zwei Randbedingungen

Als Anfangsbedingung wird ein Ausgangszustand vorgegeben.

Die Randbedingungen sind formal denen der elliptischen Dglen gleich. Sie lassen sich an diesem Beispiel sehr anschaulich interpretieren

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Randbedingungen -1

Allgemeine Form der Randbedingung

Interpretation am Beispiel Wärmeleitgleichung

xn

xxx

trahlungSonneneins durch z.B. Wärmestrom

gung) Randbedin(adiabate Abflußoder Zufuhr -Wärme keine0

Oberfläche die durch Wärmestrom einenbedeutet

gung RandbedinscheNeumann':0

qqn

n

n

xR

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Randbedingungen -2

= 0 Dirichlet‘sche Randbedingung

vorgegebene Randtemperatur, z.B. durch Ofen oder Kühlmedium

= 0 Homogene Randbedingung

Mit = wird aus der Allgemeinen Randbedingung

ist Wärmeübertragungszahl und es gilt

Wärmestrom Temperaturdifferenz zu Umgebungstemperatur 0

Vorgabe von Temperatur und Wärmestrom an einem Rand Cauchy-Randbedingung.

RR Tx

ung)Randbeding.(logxa

eoderan

0

n

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Lösungen parabolischer Dglen

Lösungen parabolischer Gleichungen lassen sich in der Regel nicht analytisch, wohl aber graphisch oder als Tabellen darstellen.

Dies geschieht etwa im Wärmeatlas.

Ein einfaches Excel-Programm zur Lösung der Wärmeleitgleichung

mit 0 x 1, 0 t T (0, t) = T< T (1, t) = TR

und T (x, 0) = 2x für 0 x 0,5

= 2-2x für 0,5 x 1

kann über Excel-Programm aufgerufen werden.

2

2

x

T

t

T

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Weitere Beispiele parabolischer Dglen

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Klassifizierung partieller Differentialgleichungen

Merkmal Elliptisch Parabolisch Hyperbolisch

Physik

Anwendung

Stationäre Probleme(WL, Diffusion,Potentiale)

Transient

(WL, Diffusion)

Raum-Zeit

Erhaltungsgleichungen,Wellengleichung, Systeme

Mathematik

Randwerte

Lösungsverhalten

Klassifizierung

Charakteristiken

2 Randwerte/Variable

Lösung als Funktion(analytisch)

B*B – 4AC < 0

O

1 Anfangswert2 Randwerte

Lösung als Tabelle

B*B – 4AC = 0

1

2 Anfangswerte2 Randwerte

Lösung als Programm

B*B – 4AC > 0

2

Numerik

Differenzenverfahren

Systemmatrix

Konsistent + konvergent

Positive definite

Konvergent wenn

konsistent + stabil

Konvergent wenn konsistent,stabil und phys. Existenz

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Wellengleichung als Beispiel einer hyperbolischen Dgl

Die Wellengleichung kann durch eine einfache Substitution in ein System von Gleichungen überführt werden.

Wir heißen dies das System der charakteristischen Gleichungen.

1001

folgt./und/Für

cAwoux

Aut

vw

u

mitx

ct

w

x

wc

t

xycwty

2

22

2

2

xc

t

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Lösungseigenschaften der Transportgleichung

Hat der Vektor {u} nur eine Komponente u und gilt [A] {u} = f (u), so erhält man die allgemeine Form der Erhaltungsgleichung:

Für f (u) = c u erhält man die lineare Transportgleichung

Für Ihre Lösungen gilt

Das heißt, längs x + c t = const breitet sich der Anteil u an der Lösung (mit allen eventuell aufgeprägten Störungen) unverändert aus.

Dies hat schwerwiegende numerische Konsequenzen.

Die Gerade heißt Charakteristik. constxc

t 1

)(ufx

uAx

ut

ux

cut

)0,()(),( tcxutcxgtxu

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Charakteristiken der Wellengleichung

Die Wellengleichung hat zwei Charakteristiken mit den Steigungen Sie lassen sich anschaulich interpretieren:

a) Längs der Charakteristiken bleiben die Lösungswerte unverändert erhalten. b) Störungen breiten sich längs Charakteristiken unvermindert aus.c) Charakteristiken begrenzen den Raum in dem physikalisch Information

zugänglich ist. Dem dürfen Diskretisierungen nicht widersprechen.

x

Todbereich

t

Abhängigkeitsbereich

TodbereichP (x1, t1)

x

c

1

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Charakteristiken der unterschiedlichen Dglen

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Klassifizierung partieller Differentialgleichungen

Merkmal Elliptisch Parabolisch Hyperbolisch

Physik

Anwendung

Stationäre Probleme(WL, Diffusion,Potentiale)

Transient

(WL, Diffusion)

Raum-Zeit

Erhaltungsgleichungen,Wellengleichung, Systeme

Mathematik

Randwerte

Lösungsverhalten

Klassifizierung

Charakteristiken

2 Randwerte/Variable

Lösung als Funktion(analytisch)

B*B – 4AC < 0

O

1 Anfangswert2 Randwerte

Lösung als Tabelle

B*B – 4AC = 0

1

2 Anfangswerte2 Randwerte

Lösung als Programm

B*B – 4AC > 0

2

Numerik

Differenzenverfahren

Systemmatrix

Konsistent + konvergent

Positive definite

Konvergent wenn

konsistent + stabil

Konvergent wenn konsistent,stabil und phys. Existenz

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Beispiele gemischter Dglen

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Systeme von Dglen

Energieinnereespezifisch Druck or gkeitsvektGeschwindi Dichte

nktionZustandsfu eichungZustandsgl

ichungEnergiegle

chungImpulsglei

gtsgleichunKontinuitä

),(

0

0

p

u

pF

uPut

puut

ut

F

1001

cAwoux

Aut

hungellengleiclautetdieWvw

umit

Wellengleichung als System

Eulersche Gleichungen

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Navier-Stokes-Gleichungen (inkompressibel)

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Eigenschaften der Navier-Stokes-Gleichungen

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Diese Fragen sollten Sie beantworten können

Was ist eine partielle Differentialgleichung Wie unterscheiden sich elliptische, parabolische und

hyperbolische Dglen Geben Sie Beispiele für elliptische, parabolische und

hyperbolische Dglen Was sind Charakteristiken Was sind Randbedingungen Wie lautet die allgemeine Form der Randbedingung Was ist ein System partieller Dglen