Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerische Methoden, SS 2003 Teil II: Kp. 33/1 Diese

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Institut für Kernenergetikund Energiesysteme

Numerische Methoden, SS 2003 Teil II: Kp. 3 3/1

Diese Fragen sollten Sie beantworten können

Was ist das Ziel der Vorlesung -Rechner zur Unterstützung der Berechnung technischer Vorgänge

Was ist ein Modell - Abstraktion Was sind die mathematischen Grundbeziehungen technischer Modelle -

Erhaltungsgleichungen in integraler und differenzieller Form Was ist ein Abstrakter Datentyp - Kapselung von Daten Was ist ein Modul - Kapselung von Funktionalitäten Drei Auswirkungen der Endlichkeit von Rechnern

Rundung, Diskretisierung, Abbruch Was bedeuten Kondition, Konsistenz und Konvergenz

Rundungsfehler, Diskretisierungsfehler, Abbruchfehler beherrscht


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V3: Rechnen auf endlichen Maschinen

Teil II: Rechner als endliche Maschine

Kap. 3: Rechnen auf endlichen Maschinen Inhalt: Rundungsfehler, ihre Ursachen und Auswirkungen Diskretisierung von Funktionen

Punkte und Interpolation mit Lagrange Polynomen

Entwicklung nach Polynomen: Taylorreihen

Stückweise stetige DarstellungExperimente:

Fehlerfortpflanzung

Näherung eines Polynomes nach verschiedenen Ansätzen. Übung 1:

Numerik mit Excel und Matlab


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Das sollten Sie heute lernen

Was sind Rundungsfehler und wie wirken sie sich aus Fehlerfortpflanzung bei Operationen Wie können wir Verläufe diskretisieren Was ist ein Lagrange Polynom Wie erzeugt man eine Taylorreihe und zu was nutzt sie


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Sei a der exakte Wert einer gesuchten Größe und ã eine Näherung, dann sind der

absolute Fehler a und der relative Fehler a der Näherung ã definiert durch

Umgekehrt gilt

Für die Genauigkeit eines Resultates ist meist der relative Fehler maßgebend, da er direkt mit der Anzahl N der korrekten bedeutsamen Ziffern in a zusammenhängt:

Aus (2) folgt Additivität des absoluten Fehlers bei Addition,

und näherungsweise Additivität von kleinen relativen Fehlern bei Multiplikation bzw. Division

Anders verhält sich die Subtraktion. Hier kann aufgrund von Stellenauslöschung der relative Fehler über alle Grenzen wachsen

wird genähert durch

aaa aaa ~

)1(~aaa

)()(~~ bababa

aN log10

)1()1)(1(~~ baaa bababa

bac

baccbac

bac

bac

c

)()(~

Rundungsfehler bei Grundoperationen


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Interpolationsformel von Lagrange

Lagrangesche Formel für beliebige Stützstellen

L x L x y yx x

x xk k

k

n

ki

k ii i

n

k

n

0 0 00 ;

An den Stützstellen xi L x y i ni i , ..0muß wegen der Interpolationsbedingung gelten

Für die gelten die Beziehungen L xk i

1 für k = i

0 für k i

und allgemein

Lk

Die Lk sind Polynome vom Grad n, so daß L ein Polynom vom Höchstgrad n ist.

Beispiel für eine Interpolationsformel mit 2 Stützstellen damit Grad 1.

L x L x yx x

x xy

x x

x xyk k

k

0

11

0 10

0

1 01

L x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x xk

k k n

k k n

0 1 1 1

0 1 1 1

1/2

Der Versuch wird durchKlick gestartet

Die mathematische Darstellung der Eulerzahl lautet:

e = f(n) =nn

n

lim

1

1

Die Limesbildung meint, daß bei einem sehr groß gewählten n das numeri-sche Ergebnis und die mathematisch exakte Lösung übereinstimmen. DieseTheorie stimmt jedoch nur solange n so klein bleibt, daß 1/n nicht in den Bereich der Rundungsfehler von 1 gelangt. Auf unseren Rechnern beträgt dieMantissenlänge für double 53 (für float 24) . Daraus ergibt sich ein Rundungs-fehler an der 55 Stelle. Nähert sich n dem Wert ,so erhält man für die Ergebnisfunktion ein Sägezahnprofil mit dem Höchstwert e² bei n= . Steigt n weiter an, dann gilt f(n)=1 Für n < wirkt sich der Rundungsfehler bei dervorgegebenen Zeichengenauigkeit nicht sichtbar aus.

1013

n 1000

253

n 1013

253

Auswirkungen von Rundungsfehler bei der Berechnung von e


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Ein Beispiel soll die Wirkung von Rundungsfehlern erläutern. Zu berechnen sei

Nach dieser Formel wurden die folgenden Werte mit 10stelliger Dezimalarithmetik berechnet.

Die Abweichungen in der rechten Spalte sind Folge von Rundungsfehlern.

So gilt etwa für n = 2 • 109 für 1/n = 5 • 10-10 und gerundet 10-9.

Für n = 2.5 • 109 erhält man für 1/2 = 4 • 10-10 und gerundet gerade 0. Die Verwendung der Potenzreihe für würde hier Abhilfe schaffen. Im Rahmen der numerischen Experimente wird ein entsprechender Versuch mit einem 32 bit-Rechner angeboten.

n f(n) n f(n)

50 000 2.7182 54646 125 000 2.7182 81828 = e

100 000 2.7182 54646 125 001 2.7183 03575

120 000 2.7181 73099 1.0 109 2.7182 81828 = e

124 998 2.7182 38336 2.0 109 7.3890 56098 = e2

124 999 2.7181 58501 2.5 109 1.0000 00000

enfn

n

nnf

)(lim,

11)(

)1( 1nnl

Bestimmung von e


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Berechnet man aus einer Größe x über einen Algorithmus f(x) eine Größe y, so gibt es zwei Ursachen für Fehler Fehler in x

Fehler in Operation

Daraus folgt

Darin bedeutet den absoluten Fehler durch die Operation

den absoluten Fehler durch das Argument

Nach dem Mittelwertsatz gilt

oder

Damit wird

cond f heißt Kondition der Operation. Für cond f < 1 führt die wiederholte Anwendung einer Operation zum Verschwinden des Fehlers durch das Argument, man sagt, die Operation ist stabil.

xx x )1(~

f)1(f~

f

)()~()~(

)~()1()~(~

)()~(~

)~(~~

xfxfxff

xfxfwirdxfxfmitxfy

y

fy

)~(xff

)()~( xfxf

fcondxfxfx

xf

xfxfxf

bcaab

afbfcf

xfxfy

y

x

)()('

)(

)()()('

)()()('

Fehler bei Operationen


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Akkumulation von Rundungsfehlern

In der Numerik haben wir es mit einer Vielzahl von Rechenoperationen zu tun. Man muß deshalb untersuchen, wie sich Fehler dabei ausbreiten.Bei Verwendung gerundeter Arithmetik wird im allgemeinen in zufälliger Folge gleich häufig auf- oder abgerundet. Weitaus die meisten Rundungsfehler kompensieren sich so gegenseitig. Die Abweichung einer berechneten Größe von ihrem (im Verlauf der Rechnung variablen) exakten Wert hat daher den Charakter einer statistischen Schwankung. Zählt der Index n die für die Größe a wirksamen Operationen, d.h. diejenigen, welche a direkt oder indirekt beeinflussen, so ergibt der zentrale Grenzwertsatz für den akkumulierten Rundungsfehler von a die Ordnung

nconsta

aa

alson

~

0

Dieses langsame Fehlerwachstum kann unter günstigen Bedingungen auch bei abgeschnittenen Arithmetik auftreten (bei günstiger Verteilung der Operationen und Vorzeichen). Weit häufiger aber zeigen die Rundungsfehler dann eine systematische Tendenz. Dann wächst der akkumulierte Fehler von a linear mit der Anzahl n der wirksamen Operationen, ist also von der Ordnung 0(n). Die Abbildung zeigt typische Verläufe.


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L x L x y yx x

x xk k

k

n

ki

k ii i

n

k

n

0 0 00 ;



1 für k = i

0 für k i

und allgemein

Lk



L x L x yx x

x xy

x x

x xyk k

k

0

11

0 10

0

1 01


k k n

k k n

0 1 1 1

0 1 1 1

1/2

Die Summe der einzelnen Fehler ist eine normal verteilte Größe. Die Streu-ung der Normalverteilung ist . Wobei n die Zahl der Operationen und die Proportionalitätskonstante vom Rundungsfehler der einzelnen Opera-tionen abhängt.

In der Visualisierung sind dargestellt:a)die Einzelfehlerb)die Summenfehler c)der 2 Sigma Bereich für den Summenfehler

Bei diesem Versuch werden Zufallszahlen (a) generiert und durch die Vor-schrift (a/b+1)-1 gerundet. Die Differenz zwischen der ursprünglichen und der gerundeten Zufallszahl ergibt den Rundungsfehler (Rundfe). Wobeib=10 gilt.

Rundfe = a -a

bb

1 1


n

Fehlerfortpflanzung bei Addition


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Maßnahmen zur Reduktion von Rundungsfehlern

Maßnahmen zur Reduktion von Rundungsfehlern können sein

• Verwendung gerundeter Arithmetik,

• Verwendung von doppelter Genauigkeit,

• Rechnungen auf Maschinen mit verschiedenen Mantissen,

• Abänderung der Algorithmen,

• Verwendung von Intervallarithmetik.

Akkumulation von Rundungsfehlern bei Grundoperationen


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Neben der diskreten Darstellung der Zahlen interessieren in der Numerik vor allem die diskrete Darstellung von Verläufen (Funktionen) und der darauf möglichen Operationen (vor allem Integration und Differentiation).

Drei Möglichkeiten der Diskretisierung von Verläufen sollen im Rahmen dieser Vorlesung behandelt werden. Ausgang ist

y = f(x)

x steht für die unabhängigen Variablen,

y steht für die abhängigen Variablen,

f gibt den Verlauf an und wird im Folgenden als Operation auf x gedeutet, die die Gerade y ergibt.

a) Diskretisierung der unabhängigen Variablen

wird durch Werte yi = f(xi) dargestellt.

Für weitere Operationen kann zwischen den Werten yi interpoliert werden. Als Interpolationsfunktion werden häufig Lagrange-Polynome verwendet.

yyixx

~

y~

Diskretisierung von Funkionen -1


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Diskretisierung von Funktionen -2

b) Diskretisierung der abhängigen Variablen

Wählbar sind die Entwicklungsfunktionen Ni(x), die Bedeutung der Entwicklungskoeffizienten ai und die Art der Näherung von

c) Diskretisierung durch statistische Methode

wird über Werte beschrieben, wo xi zufällig bestimmt und nach verteilt sind.

xiN

i iayy ~

xxfxf *

y~ xf * x


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1. Festlegung des Approximationsbereiches

xa x xb

2. Festlegung der Stützstellen

a) Einschluß der Ränder x1 = xa, xn+1 = xb

b) Gebietsmitte

3. Berechnung der Werte der abhängigen Variablen

yi = y (xi)

4. Interpretation

a) Wert gültig im Bereich (Basisgebiet) um Stützstellen

b) Werte interpolieren mit Lagrange-Polynomen

b1) Polynom durch alle Punkte (wenig Stützstellen, hohe Interpolationsordnung)

b2) stückweise Näherung (viele Stützstellen, mehrere Polynome niederer Ordnung).

Diskretisierung der unabhängigen Variablen- Näherung von Funktionen


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y wird durch zwei Punkte xo und x1 beschrieben. ist eine Gerade durch die Punkte (xo, yo) und (x1, y1)

Faßt man die Glieder mit yo und y1 zusammen, so gilt

Die Ausdrücke vor den Werten yo und y1 sind Funktionen von x. Wir bezeichnen sie mit

Offensichtlich gilt

und

1001

01

0

0

~ xxxyyxx

xxyy

1

01

0

0

01

1~ yxx

xxy

xx

xxy

xx 1

1

1

0 und

y~

xyyi

ii

11

0

~

100

1

01

1

0

01

11

0

xundxmitxx

xx

010

1

11

1

1

01

01

1

xundxmitxx

xx

Lineare Interpolation


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Quadratische Interpolation

x wird durch drei Punkte x0, x1, x2 beschrieben.

Ist eine Parabel durch die Punkte 221100 ,,,,, yxyxyxy~

2210

~ xaxaay Mit

und 22

11

00

~

~

~

yxy

yxy

yxy

können die Koeffizienten a0, a1 und a2 bestimmt werden.


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Quadratische InterpolationDas Ergebnis ist

12

1

02

02

21

2

01

01

20

2

10

10

~

xx

xx

xx

xxy

xx

xx

xx

xxy

xx

xx

xx

xxyy

Die Ausdrücke vor den Werten y0, y1 und y2 sind jetzt ebenfalls Parabeln. Wir bezeichnen sie mit

xxx 22

21

20 ,,

Offensichtlich gilt 100

000

001

2221

220

22

22

112

102

1

2201

200

20

xxx

xxx

xxx

und xyy iii

22

0

~


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Höhere Interpolation

xyy nii

n

i

0

~

xni heißen Lagrange-Polynome.

Es gilt analog der linearen und der quadratischen Interplation

1

0j

ni x für i j,

für i = j

Ihre allgemeine Form lautet

nk

n

kk

k

kk

k

mk

n

kmm mk

mk xx

xx

xx

xx

xx

xx

xx

xx

xx

xxx

1

1

1

10

0

Höhere Interplation


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Ihre allgemeine Form lautet:

Für n = 3

Lagrange Polynome - Zusammenfassung

))...()()...((

))...()()...((

110

110

0 niiiiii

nii

mi

mn

imm

nm xxxxxxxx

xxxxxxxx

xx

xxx


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Lagrange Polynome - Zusammenfassung

Mit diesen Interpolationsfunktionen läßt sich eine Funktion y(x) etwa folgendermaßen nähern:

)()3

o ii

(xy(x)y~(x)y xi

x0 x1 x2 x3

xyxy~


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L x L x y yx x

x xk k

k

n

ki

k ii i

n

k

n

0 0 00 ;



1 für k = i

0 für k i

und allgemein

Lk



L x L x yx x

x xy

x x

x xyk k

k

0

11

0 10

0

1 01


k k n

k k n

0 1 1 1

0 1 1 1

1/2


L x L x y yx x

x xk k

k

n

ki

k ii i

n

k

n

0 0 00 ;



1 für k = i

0 für k i

und allgemein

Lk



L x L x yx x

x xy

x x

x xyk k

k

0

11

0 10

0

1 01


k k n

k k n

0 1 1 1

0 1 1 1



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L x L x y yx x

x xk k

k

n

ki

k ii i

n

k

n

0 0 00 ;



1 für k = i

0 für k i

und allgemein

Lk



L x L x yx x

x xy

x x

x xyk k

k

0

11

0 10

0

1 01


k k n

k k n

0 1 1 1

0 1 1 1

1/2

Versuch:Mit Hilfe von der Lagrangefunktion wird xsin(x) angenähert. Variiert werden der Approximationsbereich und der Grad der Approximation. Das Approximations-gebiet wird dann in n äquidistante Intervalle unterteilt. Als n+1 Stützstellen werden die Intervallgrenzen gewählt.


Lagrange

Interpolationsformel von Lagrange - 2


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Stückweise Näherung

Häufig möchte man sich bei der Näherung auf Polynome niederer Ordnung beschränken. Um trotzdem kompliziertere Verläufe darstellen zu können, unterteilt man den Bereich, in dem die Funktion genähert werden soll, in m-Teilbereiche (Basisgebiete, Elemente), für die man je separat eine Näherung bestimmt. Man fordert Stetigkeit der Näherungen an den Anschlußstellen und erreicht das dadurch, daß je eine Stützstelle auf dem Rand liegt. Es gilt dann

xnji

m

j

nj

iiyy

1 0

~

sind die im Teilbereich j gültigen Interpolations- oder Ansatz-Funktionen je der Ordnung nj

Die Näherung heißt stückweise stetig.

xnj

Diskretisierung von x

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21


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Diskretisierung der abhängigen Variablen

Der im letzten Abschnitt beschriebene Ansatz nähert y so, daß y und an den Knoten übereinstimmen. Für viele Anwendungen sind andere Anpassungen besser. Man erhält sie durch Diskretisierung der abhängigen Variablen

Ni(x) sind bekannte Entwicklungs- oder Basisfunktionen.

ai sind die Entwicklungskoeffizienten. Zu ihrer Bestimmung ist ein Kriterium, das angibt, wie die Näherung erfolgen soll, nötig.

Eine häufig verwendete Anpassungsmethode ist die Methode der gewichteten Residuen. Sie versucht, den Gesamtfehler integral zu minimieren. Dazu führt man Wichtungsfunktionen wi ein und fordert

xNayy ii

n

i

0

y

00

dxxNaywdxyywn

iiijj


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Methode der gewichteten Residuen

Die Zahl der Wichtungsfunktionen entspricht dabei der Zahl der anzupassenden Unbekannten ai. j läuft also wie i von 0 bis n.

Mit dieser Beziehung erhält man durch Einsetzen der n+1 Wichtungsfunktionen w j gerade n+1-Gleichungen. Aus diesen können die Entwicklungskoeffizienten a i bestimmt werden. Voraussetzung dafür ist, dass die Wichtungsfunktionen linear unabhängig sind, d.h. nicht durch lineare Transformationen ineinander überführt werden können.

Mit der Abkürzung

hat das Gleichungssystem folgende Form

ywNwaNwaNwa

ywNwaNwaNwa

ywNwaNwaNwa

nnnnnn

nn

nn

1100

11111010

00101000

........

jjij NwdxNw


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Stückweise Näherung

Häufig möchte man sich bei der Näherung auf Polynome niederer Ordnung beschränken. Um trotzdem kompliziertere Verläufe darstellen zu können, unterteilt man den Bereich, in dem die Funktion genähert werden soll, in m-Teilbereiche (Basisgebiete, Elemente), für die man je separat eine Näherung bestimmt. Man fordert Stetigkeit der Näherungen an den Anschlußstellen und erreicht das dadurch, daß je eine Stützstelle auf dem Rand liegt. Es gilt dann

xnji

m

j

nj

iiyy

1 0

~

sind die im Teilbereich j gültigen Interpolations- oder Ansatz-Funktionen je der Ordnung nj

Die Näherung heißt stückweise stetig.

xnj

Diskretisierung von x

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1 3 5 7 9

11 13 15 17 19 21Diskretisierung von y

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1


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Alternative Wahlen der Entwicklungskoeffizienten

Folgende Wahlen sind besonders häufig:

,

,

,

,

dxxydx

da

dxxya

xxydx

da

xya

i

xi

ii

ii

i

d.h. Lösung an einem Punkt. Dann sind die Basisfunktionen die Lagrange-Funktionen

d.h. Steigung an einem Punkt. Dann sind die Basisfunktionen Polynome (Ableitungen an einer Stelle) oder Hermitesche Funktionen (Ableitungen am linken und rechten Rand).

d.h. mittlere Lösung im Gebiet. Dann sind die Basisfunktionen in der Regel problemabhängige Spezialfunktionen.

d.h. mittlere Steigung (häufig für ein Oberflächenelement definiert).


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Beispiel: Taylor-Reihenentwicklung

Folgende Festlegungen führen zur Taylor-Entwicklung: Entwicklungsfunktionen Polynome von (x - xo)

Entwicklungkoeffizienten Wert und Ableitung an Stelle x0:

xn

n

n

x

x

xfdx

d

na

xfdx

da

xfdx

da

xfa

/)(!

1

..........

/)(!2

1

/)(

)(

2

2

2

1

00

• Art der Näherung y und stimmen an der Stelle x0 in Wert und allen Ableitungen bis zur Ordnung n überein.

y~


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Taylor-Reihenentwicklung -2

Ergebnis der Näherung

• Verstümmelungsfehler gleich erstes vernachlässigtes Glied

• Konvergenz

xoxf

ndx

nd

n

noxx

xoxf

dx

dxxxfxyxy /)(

!

)(.../)(

!10)

0()(~)(

1)(0ˆ/)(1

1

)!1(

1)( noxx

oxxf

ndx

nd

n

noxx

)1(0ˆ)1(0ˆ1)(0

nhnxn

oxx


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Statistische Approximation

Eine dritte Methode, um Verläufe zu diskretisieren, kennen wir aus der Meßtechnik. Dort werden Verläufe mit Hilfe von Meßpunkten dargestellt. Dabei gibt es zwei Grenzfälle: Die Meßpunkte sind zufällig (Stichprobe), aber der Meßwert ist exakt. Dies

entspricht einer zufälligen Diskretisierung der unabhängigen Variablen. Die Meßpunkte sind vorgebbar, aber der Meßwert ist mit großer Unsicherheit

behaftet (Messung mit Meßfehler). Jetzt sind die Werte der abhängigen Variablen zufällig.

Um diese Technik auch auf dem Rechner verfügbar zu haben, ist es nötig, zufällige Zahlen zu erzeugen. Dies geschieht durch spezielle Funktionen (Zufallszahlgeneratoren). Diese Funktionen liefern in der Regel Zufallszahlen, die in einem Intervall (0,1) gleichverteilt sind, d.h. die auftretenden Zahlenwerte können alle aus diesem Intervall darstellbaren Zahlen mit gleicher Wahrscheinlichkeit annehmen. Abweichungen von dieser Aussage dürfen im Rahmen der Verwendung der Zufallszahlen nicht nachweisbar sein.

Dieser Ansatz ist vor allem dann von Bedeutung, wenn x hochdimensional und f schwierig zu berechnen sind


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Statistische Approximation

Um nun eine Funktion f (x) im Intervall (a, b) zu nähern, wird f (x) aufgespalten in f( x) = fx (x) • (x)

Die Näherung von f (x) erfolgt dann durch n Realisationen xi , wo die xi aus der Verteilung (x) stammen und jedem xi ein Wert fx (xi) zugeordnet ist.

Ist (x) eine Gleichverteilung, so gilt (x) = 1 / (b - a) und fX (x) = (b - a) • f (x).

Kann man direkt von f (x) Zufallszahlen ziehen, ist also f (x) - evtl. nach einer Normierung - eine verfügbare Dichtefunktion, so gilt:

(x) = f (x)

fx (x) = 1

Allen Beiträgen xi wird also derselbe Wert zugeordnet.

Eine Interpolation zwischen den zufälligen Werten kann nicht direkt erfolgen. Operationen werden über das Gesetz der grossen Zahlen realisiert.


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Regression - 1

Näherungsweise kann man einen Punkteschwarm mit der Methode der kleinsten Fehlerquadrate in einen Verlauf (Regression) umsetzen. Dabei hat man aus Messungen oder einem statistischen Computerexperiment Wertepaare xi, yi erhalten. Sie sollen durch eine Funktion , in der die Parameter a0 bis an noch zu bestimmen sind

möglichst gut approximiert werden. Dies erreicht man etwa, indem man die quadratische Abweichung Q zwischen Meßwerten yi und Näherung zum Minimum macht:

naaaxyy ,,,, 10

y

y

Qn

iiy

naa

ixyMin

0

2,,0

,


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Regression - 2

Wie aus der Analysis bekannt, wird ein Extremwert berechnet, indem man die 1. Ableitung = 0 setzt. Damit kann man für

genau n+1-Gleichungen folgender Art bilden:

Dies entspricht der Methode der gewichteten Residuen in der Galerkin-Formulierung, wenn wie dort gilt:

nj 0

0,,;,,2 00

0

nij

n

iini

j

aaxda

ydyaaxy

da

dQ

n

iii xNay

0

Anwendung: Bestimmung von Ersatzfunktionen für Simulationen Bestimmung von Sensitivität auf Datenänderung bei Simulationen


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erik



Diese Fragen sollten Sie beantworten können

Was sind die Hauptfehlerarten beim numerischen Rechnen und wie reduziert man sie

Wie breiten sich Fehler bei Operationen auf ungenaue Zahlen aus

Wie diskretisieren wir Funktionen Geben Sie das Lagrange Polynom der Ordnung n an Geben Sie für eine Funktion f(x) die zugehörige Taylor - Reihe

an Empfehlen Sie einen Ansatz zur Näherung einer Funktion f(x),

wenn deren Verlauf optimal beschrieben werden soll. Wie ändert sich Ihre Empfehlung, wenn es sich bei der zu nähernden Funtion im Näherungsintervall um ein Polynom der Ordnung 2 handelt

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