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1 Wie lässt sich intelligentes Wissen im Mathematikunterricht fördern? Die neue Unterrichtseinheit „Trigonometrie“ des MINTLernzentrums der ETH Zürich Bei der Behandlung des Themas Trigonometrie erleben Mathematiklehrpersonen oftmals, dass die Sinusfunktion nicht genau verstanden wurde, obwohl sie ausführlich erklärt und geübt worden ist. Beispielsweise erhalten sie von Jugendlichen bei der Diskussion der Gleichung sin(x)=0.5 die Rückmeldung „Mein Taschenrechner spinnt“ oder „Was ist das für ein komisches Zeichen?“ Und tatsächlich fällt es dem Taschenrechner nicht leicht auszudrücken, dass für die Gleichung 5 . 0 ) sin( = α unendlich viele Winkel α in Frage kommen. Dass er dazu einen Parameter verwendet, wird von den Schülerinnen und Schülern leider häufig nicht verstanden. Würden sie nämlich die Definition von Sinus gut verstehen, so könnten sie die entstehenden Lösungen aus der Gleichung nachvollziehen und einsehen, dass unendlich viele Winkel α auf den Sinuswert 0.5 führen. Es ist ein typisches Problem in der Trigonometrie, dass die Lernenden zu sehr auf die TaschenrechnerFunktion fixiert sind und zu wenig Wert auf das Konzeptverständnis legen. Was kann man tun, um solche Verständnisschwierigkeiten zu beheben? Um diese Frage zu beantworten, arbeiten im MINTLernzentrum der ETH Zürich erfahrene Gymnasiallehrpersonen gemeinsam mit Lehr und Lernforschern daran, anspruchsvolle mathematischnaturwissenschaftliche Konzepte anhand besonders lernwirksamer Unterrichtsmethoden zu vermitteln. Zu zentralen Themen des Biologie, Chemie, Mathematik und Physikunterrichts werden Unterrichtseinheiten entwickelt, in denen Lernformen eingesetzt werden, die sich in empirischen Vergleichsstudien als besonders effizient und nachhaltig erwiesen haben. Um zu gewährleisten, dass diese Lernformen in den Unterrichtseinheiten optimal umgesetzt wurden, werden diese Einheiten in Schulversuchen mit mehreren Klassen geprüft und mit herkömmlichem Unterricht verglichen. Auf diese Weise soll den Lehrpersonen in Kombination mit Fortbildungen Unterrichtsmaterial bereitgestellt werden, das ihnen hilft, die knappe Unterrichtszeit besser zu nutzen. Die Trigonometrie ist zentraler Bestandteil des gymnasialen Mathematikcurriculums. Da viele Schülerinnen und Schüler mit diesem Thema erfahrungsgemäss Schwierigkeiten haben, ist es ein lohnendes Feld für die Anwendung innovativer Lernformen. Im Folgenden wird vorgestellt, wie besonders wirksame Unterrichtsmethoden in der neuen MINTUnterrichtseinheit zu diesem Thema umgesetzt werden.

Unterrichtseinheit trigonometrie mint lernzentrum

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Wie  lässt  sich  intelligentes  Wissen  im  Mathematikunterricht  fördern?  

Die  neue  Unterrichtseinheit  „Trigonometrie“    

des  MINT-­‐Lernzentrums  der  ETH  Zürich  

 

Bei   der  Behandlung  des   Themas  Trigonometrie   erleben  Mathematiklehrpersonen  oftmals,   dass  die  

Sinusfunktion  nicht   genau  verstanden  wurde,  obwohl   sie   ausführlich  erklärt  und  geübt  worden   ist.  

Beispielsweise   erhalten   sie   von   Jugendlichen   bei   der   Diskussion   der   Gleichung   sin(x)=0.5   die  

Rückmeldung   „Mein   Taschenrechner   spinnt“   oder   „Was   ist   das   für   ein   komisches   Zeichen?“  

Und   tatsächlich   fällt   es   dem   Taschenrechner   nicht   leicht   auszudrücken,   dass   für   die   Gleichung  

5.0)sin( =α  unendlich  viele  Winkel  α  in  Frage  kommen.  Dass  er  dazu  einen  Parameter  verwendet,  

wird   von   den   Schülerinnen   und   Schülern   leider   häufig   nicht   verstanden.   Würden   sie   nämlich   die  

Definition   von   Sinus   gut   verstehen,   so   könnten   sie   die   entstehenden   Lösungen   aus   der   Gleichung  

nachvollziehen  und  einsehen,  dass  unendlich  viele  Winkel  α  auf  den  Sinuswert  0.5  führen.  Es  ist  ein  

typisches  Problem  in  der  Trigonometrie,  dass  die  Lernenden  zu  sehr  auf  die  Taschenrechner-­‐Funktion  

fixiert  sind  und  zu  wenig  Wert  auf  das  Konzeptverständnis  legen.    

  Was  kann  man   tun,  um  solche  Verständnisschwierigkeiten   zu  beheben?  Um  diese  Frage   zu  

beantworten,   arbeiten   im   MINT-­‐Lernzentrum   der   ETH   Zürich   erfahrene   Gymnasiallehrpersonen  

gemeinsam  mit  Lehr-­‐  und  Lernforschern  daran,  anspruchsvolle  mathematisch-­‐naturwissenschaftliche  

Konzepte   anhand   besonders   lernwirksamer   Unterrichtsmethoden   zu   vermitteln.   Zu   zentralen  

Themen   des   Biologie-­‐,   Chemie-­‐,   Mathematik-­‐   und   Physikunterrichts   werden   Unterrichtseinheiten  

entwickelt,   in   denen   Lernformen   eingesetzt   werden,   die   sich   in   empirischen   Vergleichsstudien   als  

besonders  effizient  und  nachhaltig  erwiesen  haben.  Um  zu  gewährleisten,  dass  diese  Lernformen  in  

den  Unterrichtseinheiten  optimal  umgesetzt  wurden,  werden  diese  Einheiten  in  Schulversuchen  mit  

mehreren  Klassen  geprüft  und  mit  herkömmlichem  Unterricht  verglichen.  Auf  diese  Weise   soll  den  

Lehrpersonen  in  Kombination  mit  Fortbildungen  Unterrichtsmaterial  bereitgestellt  werden,  das  ihnen  

hilft,  die  knappe  Unterrichtszeit  besser  zu  nutzen.    

Die  Trigonometrie  ist  zentraler  Bestandteil  des  gymnasialen  Mathematikcurriculums.  Da  viele  

Schülerinnen   und   Schüler   mit   diesem   Thema   erfahrungsgemäss   Schwierigkeiten   haben,   ist   es   ein  

lohnendes   Feld   für   die   Anwendung   innovativer   Lernformen.   Im   Folgenden   wird   vorgestellt,   wie  

besonders  wirksame  Unterrichtsmethoden   in  der  neuen  MINT-­‐Unterrichtseinheit   zu  diesem  Thema  

umgesetzt  werden.  

 

 

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(1)  Wie  können  wir  die  Schülerinnen  und  Schüler  besser  auf  das  Lernen  vorbereiten?  

Am  Anfang   des   Lernens   steht   die   Einsicht,   dass  man   noch   nicht   über   die   erforderlichen   Konzepte  

verfügt,   die  man   bräuchte,   um   bestimmte   Phänomene   oder   Zusammenhänge   zu   erklären.   Um  die  

Schülerinnen   und   Schüler   auf   das   Lernen   vorzubereiten,   hat   es   sich   daher   bewährt,   ihnen   vor   der  

Präsentation  der  Lerninhalte  zunächst  die  Grenzen  ihres  Wissens  vor  Augen  zu  führen  (Kapur  2014,  

Schwartz  et  al.  2011).  Dafür  eignen  sich   insbesondere  Aufträge,  mit  denen  sie   sich  ein  Verständnis  

der  Problemstellung  erarbeiten,  ohne  dass  ihnen  dabei  schon  die  Lösung  präsentiert  wird.  

  Als  Einstieg  in  die  Trigonometrie  werden  die    

Lernenden   deshalb   aufgefordert,   die   Graphen  

periodischer   Prozesse   zu   skizzieren.   Dazu   werden  

ihnen   verschiedene   Beispiele   präsentiert,   wie   das  

Drehen   eines   Riesenrades,   die   Veränderung   des  

Wasserstandes   bei   Ebbe   und   Flut,   die   Höhe   eines  

Kindes   über   dem   Boden   bei   gleichmässigem  

Schaukeln   bis   hin   zu   der   sich   ändernden   Position  

eines  Fahrradventils,  wenn  sich  das  Rad  gleichmässig  

drehend  vorwärts  bewegt.  Die  Beispiele  sind  so  gewählt,  dass  sie  oberflächlich  möglichst  verschieden  

sind,  aber  in  dem  abstrakten  Merkmal  „Periodizität“  übereinstimmen.

  In  diesem  Zusammenhang  wird  den  Lernenden  aufgezeigt,  dass  die  Funktionstypen,  die   sie  

bereits   kennen,   wie   lineare   und   quadratische   Funktionen,   Polynom-­‐   und   Wurzelfunktionen,  

gegebenenfalls   auch   Exponential-­‐   und   Logarithmusfunktionen   nicht   geeignet   sind,   um   periodische  

Prozesse  zu  beschreiben.  Sie  sollen  auf  diese  Weise  davon  überzeugt  werden,  dass  zur  Beschreibung  

periodischer   Prozesse   ein   neuer   Funktionstyp   gebraucht   wird   und   dass   sie   der   Unterricht   zur  

Trigonometrie  in  diesem  Punkt  voranbringt,  sofern  man  periodische  Funktionen  modellieren  möchte.  

 

 

(2)  Wie  lässt  sich  intelligentes  Wissen  über  Trigonometrie  aufbauen?  

Intelligentes   Wissen   zeichnet   sich   dadurch   aus,   dass   man   das   Gelernte   auf   neue   Situationen  

übertragen   kann.   Dazu   braucht   man   geeignete   geistige   Repräsentationswerkzeuge   wie   Formeln,  

Diagramme  oder  Graphen,  die  die   Inhalte  so  abstrakt  und  verständlich  repräsentieren,  dass  es  den  

Lernenden  leicht  fällt,  relevante  Gemeinsamkeiten  auch  zwischen  Situationen  zu  erkennen,  die  sich  

oberflächlich  unterscheiden.  Sind  diese  Repräsentationswerkzeuge  geschickt  gewählt,  dann  lässt  sich  

damit   beispielsweise   schon   bei   8-­‐Jährigen   das   Verständnis   linearer   Graphen   fördern   (Hardy   et   al.  

2005).  Aus  diesem  Grund  wird   in  der  Unterrichtseinheit  zur  Trigonometrie  besonderer  Wert  darauf  

 

 

 

 

 

 

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gelegt,   dass   die   Schülerinnen   und   Schüler   mit   dem   Repräsentationswerkzeug   des   Einheitskreises  

vertraut   gemacht   werden   und   dass   alle   wichtigen   Zusammenhänge   anhand   des   Einheitskreises  

erklärt  werden.    

Für   das   Thema   Trigonometrie   ist   es   entscheidend,   die   trigonometrischen   Funktionen   Sinus,  

Cosinus,   etc.   von   Grund   auf   zu   verstehen.   Sie   stellen   für   die   Schülerinnen   und   Schüler   aber   ein  

komplett  neues  Konzept  dar,  weil   sie   zum  ersten  Mal  mit   Funktionen  konfrontiert  werden,  die  bei  

ihrem  Wissensstand  nicht  algebraisch  berechnet  werden  können,  sondern  deren  Definition  auf  einer  

geometrischen  Zuordnung  beruht.  Der  Einheitskreis  soll  den  Lernenden  als  Repräsentationswerkzeug  

dienen,  weil  mit  ihm  die  trigonometrischen  Funktionen  definiert  werden.  Zudem  wird  den  Lernenden  

im  Unterricht   immer  wieder  Gelegenheit   gegeben,   auf   den   Einheitskreis   Bezug   zu   nehmen,   indem  

alle   wichtigen   Konzepte   an   ihm   erklärt   werden.   Beispielsweise   wird   anhand   des   Einheitskreises  

erklärt,   warum   es   für   Sinus   und   Cosinus     keine   Umkehrfunktionen   geben   kann,   lässt   man   sie  

uneingeschränkt.  

 

Beispiel:  Anna  und  Barbara  betrachten  den  Einheitskreis  und  machen  die  folgenden  Aussagen:  

 

Anna  behauptet:  „Aus  einem  gegebenen   )sin(: α=y  

bzw.   )cos(: α=x -­‐Wert  kann  genau  ein  Winkel  α  

zugeordnet  werden.  Somit  muss  für   )sin(: α=y  bzw.  

)cos(: α=x  eine  Umkehrfunktion  existieren.“    

 

Barbara  hingegen  behauptet:  „Es  gibt  mehrere  Winkel  

α ,  die  auf  denselben  gegebenen   )sin(: α=y  bzw.  

)cos(: α=x -­‐Wert  führen.  Somit  sind   )sin(:)( αα =y  

und   )cos(:)( αα =x  keine  umkehrbaren  Funktionen.“  Wer  hat  Recht?  Begründen  Sie  Ihre  

Entscheidung  anhand  des  abgebildeten  Einheitskreises.  Sie  dürfen  Zahlenbeispiele  zu  Hilfe  nehmen  

und  die  entsprechenden  Punkte  einzeichnen.  

Mit  solchen  Aufgaben  soll  erreicht  werden,  dass  die  Schülerinnen  und  Schüler  den  Einheitskreis  stets  

präsent  haben  und  die  Kompetenz  erwerben,  alle  Fragen  zum  Thema  Trigonometrie  mit  seiner  Hilfe  

zu  beantworten.  

  Zum   intelligenten   Wissen   gehört   auch   die   Kenntnis,   welche   Vorstellungen   aus   welchen  

Gründen   falsch   sind.   Es   gibt   eine   umfangreiche   Forschungsliteratur   dazu,  wie   sich   dies  mithilfe   so  

genannter   Selbsterklärungs-­‐Aufträge   bewerkstelligen   lässt,   die   den   Lernenden   im  Anschluss   an   die  

Lektionen   gestellt  werden.  Gerade   für   den  Mathematikunterricht   ist   sehr   gut   belegt,   dass   sich  mit  

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solchen   Aufträgen   das   Verständnis   besonders   effizient   fördern   lässt   (Berthold   &   Renkl   2010).   Zur  

Vertiefung   des   Gelernten   sowie   zur   Beseitigung   von   Fehlvorstellungen   werden   daher   in   dieser  

Unterrichtseinheit  zu  den  zentralen   Inhalten   jeder  Lektion  Vorschläge  für  Selbsterklärungs-­‐Aufträge  

gemacht.  

 

Beispiel:   Hugo   möchte   bei   einem   rechtwinkligen   Dreieck   nicht   α ,  

sondern   αβ −°= 90  berechnen.  Anita  hat  ihm  die  Skizze  (siehe  die  

Abbildung   rechts)   bereits   vorbereitet,   und   Hugo   stellt   aufgrund   der  

Formeln,   die   er   im  Mathematikunterricht   gelernt   hat,   die   folgende  

Gleichung  auf:  HypGK

=)sin(β .  

Führt  diese  Gleichung  auf  den  gewünschten  Winkel   αβ −°= 90 ?  

Wenn  ja,  wieso?  Wenn  nein,  welche  Fehlüberlegung  hat  Hugo  gemacht?  

 

 

 (3)  Vom  Allgemeinen  zum  Spezialfall:  Wie  können  wir  den  Transfer  von  Wissen  unterstützen?  

Die  menschliche  Kognition  ist  wesentlich  bereichsspezifisch:  Gelerntes  wird  vor  allem  auf  Situationen  

angewendet,  denen  man  im  Lernprozess  bereits  begegnet  ist.  Hingegen  findet  ein  spontaner  Transfer  

auf   neue   Situationen   nicht   statt   und   muss   durch   geeignete   Mittel   unterstützt   werden.   Um   den  

Wissenstransfer  zu  erleichtern,  kommt  wiederum  dem  Einheitskreis  eine  wichtige  Rolle  zu,  indem  die  

Schülerinnen  und  Schüler  mit  geeigneten  Aufträgen  angeleitet  werden,  ihr  Wissen  vom  Einheitskreis  

auf  den  Spezialfall:  das  rechtwinklige  Dreieck,  zu  übertragen.    

Historisch  gesehen  entstand  die  Trigonometrie  aus  Fragestellungen  der  Astronomie  um  das  

rechtwinklige  Dreieck.  Die  Unterrichtseinheit  zur  Trigonometrie  ist  aber  bewusst  so  aufgebaut,  dass  

mit   periodischen  Prozessen  und  dem  Einheitskreis   begonnen  wird  und  erst   in   späteren   Sequenzen  

die  Anwendungen  auf  das  rechtwinklige  Dreieck  behandelt  werden.  Dies  hat  den  Vorteil,  dass  man  

die   Eigenschaften   trigonometrischer   Funktionen   am   Einheitskreis   gut   nachvollziehbar   behandeln  

kann  und  dann  vom  allgemeinen  Fall:  Winkel  ϕ  im  Einheitskreis  beliebig  gross  oder  negativ,  auf  den  

Spezialfall:   das   rechtwinklige  Dreieck,   schliessen   kann.   In   rechtwinkligen  Dreiecken   gilt   nämlich   für  

einen  Winkel  ϕ  aufgrund  der  Winkelsumme  die  Einschränkung:   °<<° 900 ϕ .  

  Da  dieser  Übergang  vom  Allgemeinen  auf  den  Spezialfall   vergleichsweise  einfach   ist,  bietet  

die   Unterrichtseinheit   in   dieser   Sequenz   Einstiegsfragen,   die   von   den   Lernenden   selbständig  

beantwortet   werden   können   und   die   sie   auf   die   gewünschten   Gesetze   im   rechtwinkligen   Dreieck  

führen  sollen.    

 

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Beispiel:  Sie  fahren  mit  Ihrem  Fahrrad  eine  Bergstrasse  hoch.  Die  Bergstrasse  ist   mit  

einer   konstanten   Steigung   geneigt,   der   Neigungswinkel   der   Strasse  

entspricht   °= 6α  (siehe  Abbildung).  

 

a) Wir  nehmen  an,  die  Bergstrasse  (Hypotenuse)  sei  1  km  lang.

Beantworten  Sie  folgenden  Fragen  mit  Hilfe  des  Einheitskreises:    

• Wie  viele  Höhenmeter  werden  überwunden?    

• Wie  viele  Kilometer  misst  die  zum  Winkel   °= 6α  anliegende  Kathete?  

• Wie  gross  ist  die  Steigung  dieser  Bergstrasse?  

 

b) Die  Bergstrasse  (Hypotenuse)  sei  nun  2,  3,  4,  5,…  km  lang.  

Wie  viele  Höhenmeter  werden  jeweils  überwunden?  Was  fällt  Ihnen  auf?  

Wie  viele  Kilometer  misst  die  zum  Winkel   °= 6α  anliegende  Kathete  jeweils?  

Was  passiert  mit  der  Steigung  der  Bergstrasse,  wenn  sich  die  Länge  der  Hypotenuse  ändert,  der  

Winkel   °= 6α  aber  bleibt?  

Stellen  Sie  für  obige  Fragen  eine  allgemeine  Vermutung  auf  und  begründen  Sie  diese.  

 

Wenn   die   Schülerinnen   und   Schüler   auf   diese   Weise   gelernt   haben,   die   trigonometrischen  

Funktionen   vom   Einheitskreis   auf   das   rechtwinklige   Dreieck   zu   übertragen,   dann   steht   auch   der  

vielseitigen   Anwendung   der   Trigonometrie   an   rechtwinkligen   Dreiecken   in   Geometrie   und   Physik  

nichts  mehr  im  Wege.  

 

Weitere   Informationen   zu   unseren  Unterrichtseinheiten   und   Fortbildungsangeboten   finden   Sie   auf  

unseren  Webseiten:  http://www.educ.ethz.ch/mint  

 

Literaturverzeichnis  

Berthold,   K.   &   Renkl,   A.   (2010).   How   to   Foster   Active   Processing   of   Explanations   in   Instructional  

Communication.  Educational  Psychology  Review  (22),  25  –  40.  

 

Hardy,  I.,  Schneider,  M.,  Jonen,  A.,  Stern,  E.  &  Möller,  K.  (2005).  Fostering  Diagrammatic  Reasoning  in  

Science  Education.    Swiss  Journal  of  Psychology  64  (3),  207  –  217.  

 

Kapur,  M.  (2014).  Productive  Failure  in  Learning  Math.  Cognitive  Science,  1  –  15.  

 

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Schwartz,   D.   L.,   Chase,   C.C.,   Oppezzo,  M.A.,   &   Chin,   D.B.   (2011).   Practicing   Versus   Inventing  With  

Contrasting   Cases:   The   Effects   of   Telling   First   on   Learning   and   Transfer.   Journal   of   Educational  

Psychology,  1  –  17.  

 

Autoren:  Armin  Barth,  Michael  Brunisholz  und  Ralph  Schumacher