Unterricht zur Gravitation am 08.09/ 09.09.2010Ausgangssituation und AnmerkungenNachdem die Gravitationskraft thematisiert wurde, soll nun die Arbeit und Energie im Gravitationsfeld behandelt werden. Die Schler kennen bereits die Keplerschen Gesetze und die damit verbundenen Besonderheiten hinsichtlich der Bahnbewegung. Ein zentrales Problem ist die Potentielle Energie im Gravitationsfeld. Sie ist hat einen negativen Wert. Hierin erwarte ich vor allem Verstndnisschwierigkeiten seitens der Schler. Ich werde die Schler einzelne Teilprobleme in Form von Arbeitsauftrgen erarbeiten lassen.Phase/ ZeitErarbeitung 20 min

LehrerttigkeitIch werde den Schlern das wesentliche zur Arbeit und Energie im Gravitationsfeld vortragen. Dabei werde ich eine Gegenberstellung vornehmen, was der Unterschied zwischen einem homogen und einem inhomogenen Feld ist. Wie haben wir Vorgnge im Gravitationsfeld bisher betrachtet? Was ist jetzt neu? Dies werde ich herausarbeiten. Auerdem werde ich die Berechnung der potentiellen Energie am Beispiel eines Satelliten demonstrieren. Ich gebe den Schlern ein Handout aus. Ich lasse einen Schler seine Ergebnisse vortragen.

SchlerttigkeitZuhren, Beitrge und Ideen einbringen

MediumRechner und Beamer

Erarbeitung 15 min Kontrolle 10 min Erarbeitung 15 min Kontrolle 10 min Erarbeitung 15 min

Die Schler bearbeiten die Aufgabe zur Ermittlung der Fluchtgeschwindigkeiten. Zuhren, Vergleichen, Fragen stellen

Schreibmittel, Tafelwerk Tafel, Schreibmittel, Tafelwerk, Taschenrechner Schreibmittel, Tafelwerk, Taschenrechner Tafel, Schreibmittel, Tafelwerk, Taschenrechner Schreibmittel, Tafelwerk, Taschenrechner Tafel, Schreibzeug Tafel, Schreibmittel, Tafelwerk, Taschenrechner

Ich lasse einen Schler seine Ergebnisse vortragen.

Die Schler bearbeiten die Aufgabe zur negativen Gesamtenergie. Zuhren, Vergleichen, Fragen stellen

Kontrolle 5 min

Ich lasse einen Schler seine Ergebnisse vortragen.

Die Schler bearbeiten eine zustzliche Anwendungsaufgabe zur kinetischen und potentiellen Energie eines Raumschiffes in unterschiedlicher Hhe. Zuhren, Vergleichen, Fragen stellen

I.

Lehrervariante

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Arbeit und Energie im Gravitationsfeld Die Arbeit im Gravitationsfeld Wir wollen hierzu das Problem des geostationren Satelliten mSat= 56kg aufgreifen, der sich in einem Abstand von rEO=35885,9km ber der Erdoberflche befindet. Das entspricht einer Entfernung von r= 42255,9km vom Erdmittelpunkt.Satellit

Umlaufbahn Erde

Nun stellt sich zunchst die Frage, welche Arbeit verrichtet werden muss, um diesen Satelliten von der Erdoberflche auf eine entsprechende Hhe zu bringen. Wir erinnern uns an Klasse 12: Arbeit ist die mit Hilfe von Kraft zugefhrte Energie; sie ist das Produkt aus der in Richtung des Verschiebungsweges s wirkenden Kraft F. W F s Bisher sind wir immer von einer konstanten Kraft ausgegangen, auch als wir die Arbeit der Gewichtskraft berechnet haben. Diese Gewichtskraft ist nichts anderes als die Gravitationskraft, d.h. durch sie wird ein Krper der Masse m von der Erde angezogen. Auch haben wir bisher angenommen, dass die betrachteten Vorgnge relativ nah an der Erdoberflche stattfinden und die Feldlinien dort parallel sind. Aber: Die Erde hat ein radialsymmetrisches Gravitationsfeld.

Das radialsymmetrische Feld der Erde (und anderer kugelfrmiger Himmelskrper) Quelle: Dorn/ Bader, Physik, Oberstufe MS

Das homogene Gravitations- bzw. Schwerefeld in der Nhe der Erdoberflche (Hier: G= FG). Quelle: Dorn/ Bader, Physik, Oberstufe MS

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Was ist nun neu? Betrachten wir das Gravitationsgesetz von Newton. Es lautet:

m1 m2 . r2 Diese Kraft ist nicht konstant, sondern von der Gre des Abstandes beider Punktmassen abhngig! FG GWas muss getan werden, wenn die Arbeit berechnet werden soll? Man bedient sich hierzu der Integralrechnung.

Prinzipieller Verlauf des Betrages der Gravitationskraft in Abhngigkeit des Abstandes r. Aus technischen Grnden hier F= FG

Vergrerte Ansicht, wobei die Punkte R1 und R2 das Integrationsintervall entlang der Abszissenachse kennzeichnen, bzw. die untere und die obere Integrationsgrenze bezglich der Integrationsvariablen r

Somit folgt fr die Arbeit, die aufgewendet werden muss:R2 R2

WR1

F (r )dr

GR1

mE ms dr r2

R2

G mE mS

1 dr r2 R1

Allgemein gilt:b

Fb

Faa

f x dx und

1 dx xn

1 n 1 xn1

C,1 ist, xn

Wobei F ( x)

1n 1

n 1 x fr: n IN , n 2, x 0

die zugehrige Stammfunktion zu f x

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W

G mE

1 mSat r

R2

G mE mSatR1

1 1 G mE mSat . R1 R2

Mit R1= 6370km und R2= 35885,9km folgt: W 2,8852 109 J Dies ist die zu verrichtende Arbeit. Ermittlung der Potentiellen Energie Wir wissen aus Klasse 12: Durch das Verrichten von Arbeit ndert sich die Energie. Es gilt: W= E. Die potentielle Energie eines Krpers in der Hhe h ber einem Nullniveau NN ist die Energie, die er durch seine Gewichtskraft FG beim Absinken um die Hhe h liefern kann. Fazit: Es wird ein Nullniveau festgelegt. Es ist Konvention, dass Nullniveau dort hinzulegen, wo gilt: Dies ist in diesem Fall nur erfllt, wenn gilt: r Es gilt: . Somit folgt: E pot

0.

1 0. x2 Das bedeutet, dass die potentielle Energie im Unendlichen ihr Nullniveau hat. limx

Daraus folgt mit W= E: W= Epot= Epot,R- Epot,0 und schlielich:E pot r G m M . r

Bezglich der potentiellen Energie ergibt sich der folgende Kurvenverlauf in Abhngigkeit von r:

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Im Hinblick auf unseren Satelliten folgt mit M= mE, m= mSat und r= 42255,9km: E pot 52,9 106 J . Die Fluchtgeschwindigkeit a) Erste Fluchtgeschwindigkeit Betrachten Sie einen Krper, der die Erde unmittelbar an ihrer Oberflche umkreist. Wie gro muss seine Geschwindigkeit vF1 sein, damit er seine Kreisbahnbewegung gerade noch aufrecht erhlt? (Luftwiderstand vernachlssigen!) Lsung: Die Gravitationskraft bringt hier die Radialkraft auf. Durch sie wird der Krper auf eine Kreisbahn gezwungen (1. Newtonsches Axiom).Fr2 mK vF 1 FG => RE

G mK mE => 2 RE

vF 1

G mE RE

7,9km s

1

Dies ist die erste Fluchtgeschwindigkeit. b) Zweite Fluchtgeschwindigkeit Wie gro muss die Geschwindigkeit vF2 eines Krpers mindestens sein, wenn er von der Erdoberflche aus ins Unendliche gehoben werden soll? (Luftwiderstand vernachlssigen, Energieerhaltungssatz der Mechanik nutzen!) Lsung:

Ekin, AvF 2

E pot , A11,2km s

Ekin, End1

E pot , End =>

mK 2 v 2

G mK mE RE

0 => vF 2

2 G mE => RE

Wrde ein Krper auf der Erde auf diese Geschwindigkeit beschleunigt, so wrde er nicht mehr zurckkehren. Die Gesamtenergie im Gravitationsfeld Jeder Erdsatellit hat im Gravitationsfeld der Erde eine negative potentielle Energie Epot< 0. Das liegt daran, dass wir das Nullniveau in das Unendliche gelegt haben. Dies gilt auch fr die Erde im Feld der Sonne. Untersuchen Sie, ob die Gesamtenergie (die Summe potentielle und kinetische Energie) negativ oder positiv ist! Nehmen Sie vereinfacht an, dass sich die Erde im Schwerefeld auf einer annhernd kreisfrmigen Bahn um die Sonne bewegt! 6

berlegen Sie zunchst, welche Bahngeschwindigkeit mindestens fr eine Kreisbahn erforderlich ist! Was wrde fr eine positive und fr eine negative Gesamtenergie folgen?

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Lsung:

mE 2 G mE mS v 2 r Fr eine Kreisbahn ist folgende Geschwindigkeit erforderlich:

Eges

Ekin

E pot => Eges

v

vF1

EgesEges

G mS => Einsetzen r mE G mS G mE mS 2 r r G mE mS 0 2 r

Die Gesamtenergie ist ebenfalls negativ. Somit verbleibt die Erde auf einer nahezu kreisfrmigen Bahn. Wre sie positiv, so knnte die Erde ber das Nullniveau hochsteigen und dem Gravitationsfeld der Sonne entfliehen. Eine Aufgabe zur Festigung Eine Rakete der Masse m= 150kg bewegt sich radial mit einer Geschwindigkeit von v= 3,7km*s-1 von der Erde weg. In einer Hhe von h= 200km oberhalb der Erdoberflche werden die Triebwerke abgeschaltet. a) Bestimmen Sie die kinetische Energie der Rakete in einer Hhe von 1000km ber der Erdoberflche unter Vernachlssigung des Luftwiderstandes! b) Welche Maximalhhe erreicht die Rakete? Lsung: a) Ekin(1000km)= 9,9*108J; b) Rmax= 5,85*104km.

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II.

Schlervariante

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Arbeit und Energie im Gravitationsfeld Die Arbeit im Gravitationsfeld Wir wollen hierzu das Problem des geostationren Satelliten mSat= 56kg aufgreifen, der sich in einem Abstand von rEO=35885,9km ber der Erdoberflche befindet. Das entspricht einer Entfernung von r= 42255,9km vom Erdmittelpunkt.Satellit

Umlaufbahn Erde

Nun stellt sich zunchst die Frage, welche Arbeit verrichtet werden muss, um diesen Satelliten von der Erdoberflche auf eine entsprechende Hhe zu bringen. Wir erinnern uns an Klasse 12: Arbeit ist die mit Hilfe von Kraft zugefhrte Energie; sie ist das Produkt aus der in Richtung des Verschiebungsweges s wirkenden Kraft F. W F s Bisher sind wir immer von einer konstanten Kraft ausgegangen, auch als wir die Arbeit der Gewichtskraft berechnet haben. Diese Gewichtskraft ist nichts anderes als die Gravitationskraft, d.h. durch sie wird ein Krper der Masse m von der Erde angezogen. Auch haben wir bisher angenommen, dass die betrachteten Vorgnge relativ nah an der Erdoberflche stattfinden und die Feldlinien dort parallel sind. Aber: Die Erde hat ein radialsymmetrisches Gravitationsfeld.

Das radialsymmetrische Feld der Erde (und anderer kugelfrmiger Himmelskrper) Quelle: Dorn/ Bader, Physik, Oberstufe MS

Das homogene Gravitations- bzw. Schwerefeld in der Nhe der Erdoberflche (Hier: G= FG). Quelle: Dorn/ Bader, Physik, Oberstufe MS

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Was ist nun neu? Betrachten wir das Gravitationsgesetz von Newton. Es lautet:

m1 m2 . r2 Diese Kraft ist nicht konstant, sondern von der Gre des Abstandes beider Punktmassen abhngig! FG GWas muss getan werden, wenn die Arbeit berechnet werden soll? Man bedient sich hierzu der Integralrechnung.

Prinzipieller Verlauf des Betrages der Gravitationskraft in Abhngigkeit des Abstandes r. Aus technischen Grnden hier F= FG

Vergrerte Ansicht, wobei die Punkte R1 und R2 das Integrationsintervall entlang der Abszissenachse kennzeichnen, bzw. die untere und die obere Integrationsgrenze bezglich der Integrationsvariablen r

Somit folgt fr die Arbeit, die aufgewendet werden muss:R2 R2

WR1

F (r )dr

GR1

mE ms dr r2

R2

G mE mS

1 dr r2 R1

Allgemein gilt:b

Fb

Faa

f x dx und

1 dx xn

1 n 1 xn1

C,1 ist, xn

Wobei F ( x)

1n 1

n 1 x fr: n IN , n 2, x 0

die zugehrige Stammfunktion zu f x

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Ein kleiner Arbeitsauftrag : Berechnen Sie die Arbeit, die erforderlich ist, um einen geostationren Satelliten der Masse m= 56kg von der Erdoberflche in eine Hhe von rEO=35885,9km zu bringen!

Ermittlung der Potentiellen Energie Wir wissen aus Klasse 12: Durch das Verrichten von Arbeit ndert sich die Energie. Es gilt: W= E. Die potentielle Energie eines Krpers in der Hhe h ber einem Nullniveau NN ist die Energie, die er durch seine Gewichtskraft FG beim Absinken um die Hhe h liefern kann. Fazit: Es wird ein Nullniveau festgelegt. Es ist Konvention, dass Nullniveau dort hinzulegen, wo gilt: Dies ist in diesem Fall nur erfllt, wenn gilt: r . Somit folgt: E pot

0.

Es gilt: 1 lim 2 0 . x x Das bedeutet, dass die potentielle Energie im Unendlichen ihr Nullniveau hat. Daraus folgt mit W= E: W= Epot= Epot,R- Epot,0 und schlielich:E pot r G m M . r

Bezglich der potentiellen Energie ergibt sich der oben dargestellte Kurvenverlauf in Abhngigkeit von r.

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Im Hinblick auf unseren Satelliten folgt mit M= mE, m= mSat und r= 42255,9km:

E pot

52,9 106 J .

Die Fluchtgeschwindigkeit a) Erste Fluchtgeschwindigkeit Betrachten Sie einen Krper, der die Erde unmittelbar an ihrer Oberflche umkreist. Wie gro muss seine Geschwindigkeit vF1 sein, damit er seine Kreisbahnbewegung gerade noch aufrecht erhlt? (Luftwiderstand vernachlssigen!) b) Zweite Fluchtgeschwindigkeit Wie gro muss die Geschwindigkeit vF2 eines Krpers mindestens sein, wenn er von der Erdoberflche aus ins Unendliche gehoben werden soll? (Luftwiderstand vernachlssigen, Energieerhaltungssatz der Mechanik nutzen!)

Die Gesamtenergie im Gravitationsfeld Jeder Erdsatellit hat im Gravitationsfeld der Erde eine negative potentielle Energie E pot< 0. Das liegt daran, dass wir das Nullniveau in das Unendliche gelegt haben. Dies gilt auch fr die Erde im Feld der Sonne. Untersuchen Sie, ob die Gesamtenergie (die Summe potentielle und kinetische Energie) negativ oder positiv ist! Nehmen Sie vereinfacht an, dass sich die Erde im Schwerefeld auf einer annhernd kreisfrmigen Bahn um die Sonne bewegt! berlegen Sie zunchst, welche Bahngeschwindigkeit mindestens fr eine Kreisbahn erforderlich ist! Was wrde fr eine positive und fr eine negative Gesamtenergie folgen?

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Eine Aufgabe zur Festigung Eine Rakete der Masse m= 150kg bewegt sich radial mit einer Geschwindigkeit von v= 3,7km*s-1 von der Erde weg. In einer Hhe von h= 200km oberhalb der Erdoberflche werden die Triebwerke abgeschaltet. a) Bestimmen Sie die kinetische Energie der Rakete in einer Hhe von 1000km ber der Erdoberflche unter Vernachlssigung des Luftwiderstandes! b) Welche Maximalhhe erreicht die Rakete?

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