UNTERSUCHUNG DER SPONTANEN KERNSPALTUNG AUF GRUND DES STATISTISCHEN KERNMODELLS

Von

D. K I S D I

ORSCHUNGSGRUPPE F• THEORETISCHE PHYSIK DER UNGARISCHEN AKADEMIE DER WISSEN- SCHAFTEN, BUDAPEST

(Vorgelegt r o n P. Gomb• - - E i n g e g a n g e n : 27. I. 1956)

I n der vor l i egenden Arbe i t wird die BOI~IR-WHEELERsehe Theorie a u f das s t a t i s t i sche Model l der A t o m k e r n e a n g e w a n d t , wobei die Rolle der Oberf l i ichenenergie v o n der Weizs~icker- s c h e n k ine t i s chen Energ ie ª wird. Bei A n n a h m e von Y u k a w a - K r i i f t e n erh~ilt m a n f ª die O r d n u n g s z a h l bzw. Massenzah l des s c h w e r s t e n s tab i len K e r n e s die fo lgenden Wer t e :

Zkrit = 107 ; Akrit = 266.

1. Einleitung

Die Theorie der spontanen Spaltung von Atomkernen wurde zuerst von BOHR und WHEELER ausgearbeitet [1]. Ihre Theorie beruht auf dem phiino- menologischen Triipfchenmodell der Atomkerne.

Ein Kern ist gegenª spontaner Spaltung dann stabil, wenn die Variation der Bindungsenergie im Falle einer infinitesimal kleinen Deformation des Kernes positiv ist. Bei der Deformation bleibt der volumenproportionale Anteil der Bildungsenergie unver~ndert, es ver/indert sich nur die Coulombsche Wechsel- wirkungsenergie Ec der Protonen sowie die Oberfliichenenergie E~ des Kernes. Aus der Forderung, dass die Energievariation �91 = �91 �91 �91162 positiv zu sein hat, leiteten BOHR und WHEELER folgende Stabilit~tsbedingung ab : Z2/A __< 47,8.

5 Mit Hilfe der bei schweren Kernen bestehenden Beziehung A ~ - ~ Z erge-

ben sich fª die Ordnungszahl und Massenzahl des schwersten stabilen Kernes die folgenden Werte : Z~i t = 120 bzw. Akrit = 300.

In der vorliegenden Arb› soll nun die Methode ron BOHR und WHEELER auf das statistische Modell des Atomkernes angewandt werden. Wie zu sehen sein wird, ª hier die Weizsiiekersche kinetische Energie die Rolle der Oberfl~ichenenergie. Die so durchgefª Berechnungen ergaben fª die Ordnungszahl des schwersten stabilen Kernes einen Wert ron Zk~it ~ 107 und fª dessen Massenzahl einen Wert r o n A k r i t - - - - - 2 6 6 .

2. Die statistische Theorie der Atomkerne

Auf Grund der von GOMB�93 [2 ] ausgearbeiteten statistischen Theorie der Atomkerne l~sst sich in dem aus beliebig vielen (N) Neutronen und (Z) Pro-

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tonen bestehenden Kern die Dichteverteilung der Nukleonen bzw. die Kern- energie ira Gleichgewichtszustand verh~iltnismiissig leicht bestimmen. Diese Aufgabe wurde von GOMB~.S ira Falle ron Majorana-Kr~ifte auf Grund der Minimumforderung der Energie so gelSst, dass zun~ichst die Energie als Funk- t ion der Neutronendichte on und der Protonendichte ~p ermittelt wurde und dann jene Dichteverteilungen berechnet wurden, bei deren Vorhandensein die Energie E (on, ~p) ein Minimum ist, wobei fª ~n und ~p die folgenden Randbe- dingungen

y~ndv = N , y~pdv = Z (1)

bestehen. Es seien in diesem Abschnitt die Resuhate y o , GOMB�93 kurz zusam- mengefasst.

In erster Linie ist also die Funktion E (on, ~p) zu bestimmen. Die Energie E setzt sich aus fª Termen zusammen :

E = EK -~ E j -4- EA ~- Ec -}- ER, (2)

wo EK die Fermische kinetische Energie der Nukleonen, EJ die Weizsiicker- sche Korrektion der kinetischen Energie, EA die aus der Austauschwechsel- wirkung der Nukleonen resultierende Energie, Ec die elektrostatische Energie der Protonen und E R die aus der elektrostatischen Wechselwirkung der Proto- , en herrª Austauschenergie ist. Diese Energieterme sind als Funktionen der Neutro,en- und Protonendichte in I. hergeleitet worden. An Stelle der Nukle- onendichten ist es zweckmiissig, die folgenden dimensionslosen GrSssen ein- zufª :

ton = (3yt2) 1/3 ro Qn 1/3 ; top = (3yr2)113 ro ~plq , (3)

in denen r o den Wirkungsradius der Kernkriifte, d. h. den 2~r-ten Teil der Comp- tonschen Wellenliinge der ~r-Mesonen bezeichnet. Der Wert von ro ist in I., G1. (48) angegeben. Mit Hilfe der GrSssen con und cop lassen sich die Energieterme in einfacher Weise ermitteln. Der Ausdruck fª die kinetische Energie E N lautet wie folgt :

EK= 1 ~2 f [ 5~r 2 2Mr~ to~ ~- tos] d v , (4)

wo M die Nukleonenmasse ist. Die Weizs~ckersche Energie wird i n der Fol'm

_ 3 )~2 ~- E j 4~r 2 2Mr 3 j [ron (grad to,) ~ -4- top (grad top)2] dv (5)

und die Austauschenergie EA in der Form

-- Y ~ ~ [ 4 f ( t o , , top) + f @ n , to,) q-f(to•, top)] av EA = r~ J (6)

UNTERSUCHUNG DER SPONTANEN KERNSPALTUI'qG 253

geschrieben, wo 7 die im Yukawa-Potential der Kernkr~ifte vorkommende Kopplungskonstante ist, deren Wert laut I. y ~ 66,24e 2 betriigt (e ist die Elementarladung). Die in dem Ausdruck (6) stehende Funktion f (on, c0p) ist durch I. G1. (78) definiert.

Die elektrostatische Energie Ec kann folgenderweise angesetzt werden:

e ~ Vto3p dv, (7') Ec = ~ - ~ V~pdv -- e Z 3 6~ 2 r~ J

wo V das elektrostatische Potential der Protonenwolke bezeichnet und folgender- massen geschrieben werden kann:

V(r) : e ~ ~p(r') _ e f to~ (r') dv" . (7") J ~ ~ ; ( dv' 3 - ~o l ~ - ~" t

Schliesslich lautet der Ausdruck der Energieterme ER wie folgt :

1 ea fo~ 4 dv . (8) E R - 47t 3 r~

Die Summe dieser Energieterme liefert die Gesamtenergie als Funktion der Gr6ssen on und Op. Die n~ichste Aufgabe besteht in der Bestimmung jener Aus- drª ron on und op, die die Gesamtenergie zu einem Minimum machen und die den Randbedingungen (1) iiquivalenten Normierungsbedingungen befrie- digen :

1 fto~dv -N, l ftogdv=Z. (9) 3~2ro a 3ztar3o

Die Gr6ssen on und Op, die die L5sung fª das oben aufgestellte Variations- problem bilden, werden offensichtlich nur Funktionen der voto Kernzentrum gemessenen Entfernung r sein, da die Kerne in ihrem Gleichgewichtszustand kugelsymmetrisch sin& Von GOMB�93 wurde nachgewiesen, dass die Gr6ssen ~n und co, ira Falle des Vorhandenseins ron Yukawa-Kr~iften in recht guter N~herung eine Gausssche Verteilung haben, also in folgender Forro geschrie- ben werden k5nnen :

~ n = ~ n o ~ ~ ~ . t o , = ~ , o ~ ~ a~ (ro) . ( l O )

Werden diese Ausdrª in die Randbedingungen (9) eingesetzt, so lassen sich die Normierungskoeffizienten ron COno und topo wie folgt bestimmen:

tono : (9zt) l/ea N1/3 , eOp0 : (9n)X/6a Z1/3. (11)

Setzt man in die Ausdrª (4)--(8) der Energieterme die Ausdrª (10) ein und eliminiert man mit Hilfe der Gleichungen (11) die Normierungskoeffi- zienten, so erh~ilt man die einzelnen Energieterme als Funktionen des Parameters a.

254 D. KISDI

Die Aufgabe besteht nun darin, jenen Wert a zu bestimmen, der die Gesamt- energie E = E(a) zu einem MŸ macht.

Dieser Wert a, der im weiteren mit a~ bezeichnet werden soll, entspricht dem Gleichgewichtszustand und d e r m i t diesem a3 berechnete Energiewert, der mit E o bezeichnet werden m6ge, ist die Energie des Kernes im Gleichgewichts- zustand. Die so bestimmten Werte a0 und Eo sind ausserdem noch Funktionen der Massenzahl A und der Ordnungszahl Z :

a o = a o (A, Z) , E o = E o (A, Z ) . (12)

Bei einem gegebenen Wert von A sind also ao und E0 noch Funktionen der Ordnungszahl Z, so dass man Parameterwerte ao und Energiewerte Eo berech- nen kann, die einer zu einem gewissen A geh6rigen Isobarenreihe entsprechen. Die Energiewerte einer Isobarenreihe werden bei einem gewissen Wert von Z ein Minimum aufweisen, dem das stabilste Element dieser Isobarenreihe ent- spricht. Die stabilste Isobarenenergie sei hier mit Eoo und der entsprechende Wert des Variationsparameters mit aoo bezeichnet. Die Ordnungszahl Z des stabilsten Isobars, ferner der Parameter aoo und die Energie Eoo h~ingen ausschliess- lich ron der Massenzahl A der Isobarenreihe ab.

Z = Z ( A ) , a o o = % o ( A ) , E o o = E o o ( A ) . (13)

In I. wurden die Werte ron Z, a30 und Eoo fª den Fall von mehreren Werten ron A berechnet.

3. Die Bestimmung der Dichte des deformierten Atomkerns

Es sei angenommen, dass sich in einem Atomkern mit der Massenzahl A und der Ordnungszahl Z die der Gleichgewichtslage entsprechende Nukleonen- dichteverteilung infolge einer iiusseren Einwirkung ver/indert, dass sich also der Kern deformiert. Der deformierte Kern wird nicht kugelsymmetrisch sein, doch sei hinsichtlich der Deformation angenommen, dass die Fl~ichen ~ = konst, ira deformierten Kern achsensymmetrisch sind. Es wird der Radius jener Kugel mit R bezeichnet, auf der die Dichte des nichtdeformierten Kernes einen ira vor- hinein gegebenen Wert ~ hat. Es sei nun jene Fliiche ira deformierten Kern be- trachtet, ah der die Nukleonendichte denselben konstanten Wert ~ haben wird. Die Gleichung dieser Fl~iche kann in der folgenden allgemeinen Forro geschrieben werden :

r(v~) : R (% -4- al cos z9 -4- a~ cos~~ + . . . ) , (14)

wo r und v ~ die ª Polarkoordinaten bezeichnen. Falls angenommen wird, dass sich der Schwerpunkt des Kernes w~ihrend

der Deformation nicht verschiebt, so ist in der Reihenentwicklung (14) a 1 = 0.

UNTERSUCHUNG DER SPONTANEN KERNSPALTUNG 25~

In erster Naherung genª es, die ersten zwei Glieder der Reihenentwicklung zu berª Man hat also :

r(t~) = R (% q- a2 cos 2 v~) = ___R (1 -- a sin 2 # ) , (15) g

WO

a 2 1 a -- - - und g -- (15") ao + a2 ao --]- a 2

Es sei noch angenommen, dass die Deformation nur eine Formiinderung besitzt, aber keine Kompression oder Dilatation des Kernes zur Folge ha t , Es wird also gefordert, dass der durch die Fliiche (15) eingeschlossene Raum- inhal t genau so gross sei wie der einer Kugel mit dem Radius R.

7t

2zr f 4zt R3 . r 3 (z$) sin t~d~ = 3 3

O

(16)

Setzt man dies in die Gleichung (15) ein, so gelangt man zu

1 f (1 -- a sin 2 t~)3 sin tgdt9 = 1 . 2g 3

O

(17)

Aus dem Ausdruck (17) ergibt sich zwischen g und a die folgende BezŸ :

( 8 a2 16 )1/3 . . . . . a3 ( 1 8 ) g 1 2a -4- 5 35 "

Setzt man die Gleichung (18) in den Ausdruck (15) ein, so erh/ilt man die Gleichung der eine konstante Dichte aufweisenden Fliichen des deformierten Kernes als Funkt ion des Deformationsparameters a .

Da die Nukleonendichten ah der Oberfl/iche (15) genau so gross sind wie ira rtichtdeformierten Kern an der Oberfl/iche der Kugel mit dem Radius R, so wird die Verteilung der Grtissen con und cop folgende sein [vgl. die Gleichun- gen (10) ] :

O) n ~ ~ - O)no e x p - - ~ - a 2 (1 - - a s i n 2 v~)2 r 2 ;

{ 1 2 ~2 r 2 1 o, , , = ,Opo o x p - ~ - , , o (1 - a s i n 2 ~ ) 2 ro ~ "

(19)

2 5 6 D. K I S D I

Hier sind ao, cono und t%o die dem Gleichgewichtszustand des undeformierten Kernes entsprechenden Werte, fª sie gelten also die Beziehungen (11). Diese Ausdrª r on con und cop befriedigen die Normierungsbedingungen (9) in glei- cher Weise.

4. Die Energie des deformierten Atomkerns

Es soll nun die Energie des deformierten Kernes als Funktion des Defor- mationsparameters a best immt werden. Zu diesem Zwecke werden die Aus- drª (19) von con und cop der Reihe nach in die Energieterme (4)--(8) einge- setzt. Auf diese Weise erhiilt man fª dŸ Fermische kinetische Energie den Ausdrur

E K (a) ---- 5zt~- 2Mr--~- to"5 + t~ dv ==

y t ve

1 ]Ÿ [ ~~ + t~ 2zt dv~sine drr 2 exp - - 5 a 2 (1--asinZt~) ~ ~o 2 = 5zt 2 2MrSo ~ . -

o o (20)

r R 2

1 ~2 ~(1 sin2z$) 3 sin0dv~fe 5"~ 7 Y 4 ~ R ~ d R _ 5~t 2 2Mro 5 [tosn 0+to~o] 1 i - - a 2g 3 J o o

und nach Einsetzen der Gleichung (17):

va

1 Ii 2 ] ~ 5a~R~ E K (a) - - 5zc 2 2Mr~o [tOSno + ta~o Je- X o ~ , 4~tR2dR = EK (0) . (21)

o

Bei der Deformation tr i t t also keine Veriinderung der Fermischen kinetischen Energie ein. Auf v611ig gleiche Weise ergibt sich, dass sich auch die aus den Kern- kr~iften und der elektrostatischen Wechselwirkung der Protonen resultierenden Austauschenergien nicht ~indern :

E A ( a ) = E A (0) ; E n ( a ) = E n ( O ) . (22)

Die n~ichste Aufgabe besteht jetzt in d e r Best immung der Weizsiicker- schen und Coulombschen Energien. Fª die Weizs/ickersche Energie erhŸ237 man den folgenden Ausdruck:

3 ~2 [tOn(grad ron) ~ + ~Op(grad t%) 2] dv = E j ( a ) = 4~t 2 2 M r a

(23)

1[�89 ~1/32 cO ]�91 i r [ ] = I - - I A 1q 1 - - a sin ~ O + 4a z c~ '~ sin~ t9 sin t~dg. 2Mro 2 2g 1--a sin 2 O

o

UNTERSUCHUI'~G DER SPONTANEN KERNSPALTUI~G 257

wo c o die nachstehende Konstante bezeichnet :

Co--~ 2 (3ytl/2 ~)l /3a o .

Es sei die folgende Verkª eingefª :

2g 1 - - a sin 2 ~9 o

(24)

sin ~d~ =

(25)

- - g l l 5 - - 2 a - - 4 V 1-aa arctgVl--~--~a } "

Bei Benutzung dieser Bezeichnung und bei Einfª der Energieeinhei 16 e 2

e o -- -- 17,01 MeV erh/ilt man : ro

Ej(a) = 0,1297 c 2 A1/3j (a)s o . (26)

Ira weiteren sollen nur noch infinitesimale Deformationen behandelt werden, also jene F~lle, w o a eine sehr kleine Zahl ist. In diesem Falle 1/isst sieh j (a) durch die ersten zwei Glieder der Potenzenreihe u m a = 0 ersetzen.

j ( a ) = 1 + ! a s + . . . (27) 9

Ej(a)=O,1297c2oA1/3(1 + 9 a 2 ) s 0 . (28)

Es bleibt noch die Coulombsche Energie zu bestimmert. Wird in den Ausdruck (7) der elektrostatischen Energie E c die Dichte (19) des deformierten Kernes eingesetzt, so erh~ilt man Ec als Funkt ion von a. Bei kleinen Deformatio- nen 1/isst sich auch die Funkt ion Ec (a) durch die ersten zwei Glieder der Poten- zenreihe a = 0 ersetzen. Auf diese Weise ergibt sich fª die elektrostatische Energie der nachstehende Ausdruck"

•2Z|2 ( 7 } (29) Ec(a) -- 0,002250 c o [-A-I As/a 1 45 a2 s~ "

Die zur Deformation des Kernes notwendige Energie � 9 1 = E(a)--E(O) setzt sich aus der Ab/inderung der Weizs~ickerschen und Coulombschen Energie wie folgt zusammen :

[ (2Z~2 53 7 23 4~a2 -- O,OO225 Co { ~ J A / 4 ~ a ] % ' 6E = 6Ej -4- bEc = 0,1297 c02 Al/3 9

(30)

ZZ (41,175% Z 2 1) a2% . 6E = 0,00140 c o - ~ f "4"2/3

7 Acta Physica VI/2

258 D. KISDI

5. Die Stabilitiit des Atomkerns gegeniiber spontaner Spaltung

Wenn die Deforlnationsenergie �91 negativ ist, t r i t t die Deformation und Spaltung des Kerns spontan ein. Bei stabilen Kernen ha t also der Ausdruck auf der rechten Seite der Gleichung (30) positiv zu sein. Bei Anwendung auf stabile Kerne wird somit die Bedingung Z~q ~'3 ~ 41,175 Co erfª Erhebt man diese Ungleichung zur 3/~-ten Potenz, so ergibt sich:

Z312 - - < 16,25 Co3/4 . (31) Alq

Aus dieser Bedingung kann man jene kritische Massenzahl berechnen, bei der ein aus mehreren Nukleonen bestehender Kern nicht stabil sein kann. Die in I. bestimlnten Ordnungszahlen Z der stabilsten Isobare lassen sich ira Falle schwerer Kerne aus der folgenden Formel ermitteln :

Z(A) ~-- 0,4803 A - - 0,0002863 A ~ . (32)

Der Parameterwert c00, der dem Gleichgewichtszustand der stabilsten Isobaro entspricht, ist ira Falle schwerer Kerne durch die Formel

c3/4/A t~J~ 00 [~- j ~- 13,05 + 0,01243 A (33)

gegeben. Setzt man die Formel (33) in die Beziehung (31) ein, so erhiilt man eine

Ungleichung, aus der sich Ak~it, die maximale Massenzahl der stabilen Kerne, bestimmen liisst : wenn man nun diesen Wert Akrit in die Formel (32) einsetzt, dann gelangt man zu der maximalen Ordnungszahl der stabilen Kerne :

Akri t = 266 ; Zkrit---- 107 . (34)

Es wurde also bewiesen, dass sich ein Atomkern, wenn seine Ordnungs- zahl gr~sser als 107 ist, spontan so deformiert, dass die Nukleonendichten dem Ausdruck (19) folgen. Diese Deformation f ª im Endergebnis zur Spaltung des Kernes ; die Elemente mit einer grSsseren Ordnungszahl als 107 sind daher der spontanen Spaltung gegenª instabil.

Wenn nun die Ordnungszahl eines Atomkernes kleiner als 107 ist, dann bedeutet die durch den Ausdruck (19) beschriebene Deformation eine endother- mische Veriinderung, die also nicht spontan eintreten kann. Natª ist es nicht ausgeschlossen, dass eine durch einen anderen Ansatz charakterisierte Deformation spontan eintreten wird. Als Endresul ta t ergibt sich also, dass die Zahl 107 nur eine obere Grenze der Ordnungszahl von stabilen Kernen bedeu- tet.

UNTERSUCHUNG DER SPONTANEN KERNSPALTUNG 259 ~

Die s t a t i s t i s c h e Theor i e de r A t o m k e r n e b e z e i c h n e t desha lb i m vo l l en E in -

k l a n g m i t de r E r f a h r u n g die W e r t e 107 u n d 266 als obe re Grenze f ª d ie Ord-

n u n g s z a h l bzw. M a s s e n z a h l v o n s t a b i l e n K e r n e n .

A n d ieser S te l le d a n k t de r Ver fasse r H e r r n Prof . Dr . P. GOMBXS f ª seine

z a h l r e i c h e n w e r t v o l l e n Ra t sch l i ige .

LITERATUR

1. IN. BOHR und J. A. WHEELEll , Phys. Rey., 56, 426, 1939. 2. P. GOMBAS, Ann. d. Phys., (6)10, 253, 1952 bzw. Acta Phys. Hung., 1, 329, 1952. DieseArbeit

wird ira weiteren mit I. bezeichnet.

I~ICCJIE,/~OBAHFIE CI-IOHTAHHOFO ,~E.TIEHH~I ~I,~EP HA 0CHOBE CTATFICTHLIECKOiTI MO~E.YII/I ~j~PA

4. KHIM.rlH

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ZKpHT = 107 ; AKpI4T ~ 2‰211

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