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Untersuchung von hybriden

Filtersystemen - Reduktion von

Oberschwingungen in

Spezialanwendungen der

Leistungselektronik

Von der Fakultät für Elektrotechnik

der Helmut-Schmidt-Universität

Universität der Bundeswehr Hamburg

zur Erlangung des akademischen Grades eines

Doktor-Ingenieurs

genehmigte

Dissertation

vorgelegt von

Jörn Bergmann

geboren am 19.08.1980

in Lahr, Schwarzwald

Hamburg 2016

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 1

2 Möglichkeiten zur Reduktion von Oberschwingungen in

leistungselektronischen Systemen 3

2.1 Steuerverfahren zur Erzeugung von Wechselspan-nungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.1.1 Grundfrequenzsteuerung . . . . . . . . . . 62.1.2 Trägerverfahren . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2 Passive und aktive Filterung . . . . . . . . . . . . 152.3 Multilevel-Umrichter zur Erzeugung von hochfre-

quenten Wechselspannungen . . . . . . . . . . . . 212.3.1 Design eines 15-Level-Umrichters . . . . . 26

2.4 Zusammenfassung der bisherigen Erkenntnisse . . 312.5 Operationsprinzip des Kompensationsverstärkers 33

3 Analoge Realisierung des Kompensationsverstärkers 37

3.1 Auslegung eines aktiven Bandpasses mit Mehr-fachkopplung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.2 Auslegung des aktiven Allpasslters . . . . . . . 433.3 Simulation des analogen Kompensationsverstärkers 443.4 Betrieb und Messungen des analogen Kompensa-

tionsverstärkers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.5 Ergebnisdiskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4 Digitale Realisierung des Kompensationsverstärkers 55

4.1 Grundlagen digitaler Filter . . . . . . . . . . . . 564.1.1 IIR-Filtersynthese . . . . . . . . . . . . . 604.1.2 FIR-Filtersynthese . . . . . . . . . . . . . 63

4.1.2.1 Fenstermethode . . . . . . . . . 644.1.2.2 Frequenz-Abtast-Methode . . . . 66

4.1.3 Vergleich der Filtersysteme . . . . . . . . 68

iii

Inhaltsverzeichnis

4.2 Simulation des gesteuerten Kompensationsverstär-kers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.3 Aufbau des Kompensationsverstärkers . . . . . . 804.3.1 Auskoppelnetzwerk . . . . . . . . . . . . . 854.3.2 Einkoppelnetzwerk . . . . . . . . . . . . . 91

4.4 Messung des gesteuerten Kompensationsvertärkers 93

5 Entwurf eines geregelten adaptiven Kompensationsver-

stärkers 101

5.1 Grundlagen adaptiver Filter . . . . . . . . . . . . 1025.1.1 LMS-Algorithmus . . . . . . . . . . . . . 1065.1.2 FxLMS-Algorithmus . . . . . . . . . . . . 114

5.2 Simulation des adaptiven Systems mit FxLMS . 1165.3 Messtechnische Validierung des Kompensations-

verstärkers mit adaptivem Filter . . . . . . . . . 1245.3.1 Systemidentikation . . . . . . . . . . . . 1265.3.2 Messung mit Prelter erster Ordnung . . 1275.3.3 Messung mit Prelter dritter Ordnung . . 1355.3.4 Ergebnisdiskussion . . . . . . . . . . . . . 140

6 Zusammenfassung 143

Literatur 149

Anhang 157

A Schaltplan eines 15-Level-Umrichters 157

B Bauteilwerte 158

C Beispiel zur analytischen Auslegung des FIR-Filters 159

D Schaltplan des MMC-Umrichters nach Marquardt 161

iv

Abbildungsverzeichnis

2.1 System zur Erzeugung einer variablen Wechsel-spannung aus dem Versorgungsnetz . . . . . . . . 3

2.2 Beispielhaftes Spektrum eines Mischsignals . . . 52.3 H-Brücken-Wechselrichter . . . . . . . . . . . . . 62.4 Ausgangssignal des Wechselrichters bei Blocktak-

tung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.5 Drei-Level-Ausgangssignal eines H-Brücken-Wech-

selrichters in Abhängigkeit des Einschaltwinkels αaus [29] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.6 Verlauf des Klirrfaktors k3Level in Abhängigkeitdes Einschaltwinkels α aus [29] . . . . . . . . . . 10

2.7 Erzeugung eines PWM-Signals durch Sinus-Drei-eckvergleich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.8 Allgemeines Spannungsspektrum bei Trägerverfah-ren aus [29] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.9 Toleranzbanddarstellung für Filter aus U. Zölzer [78] 162.10 Tiefpass N -ter Ordnung . . . . . . . . . . . . . . 172.11 Übertragungsfunktionen von Butterworth-Tiefpäs-

sen erster bis dritter Ordnung . . . . . . . . . . . 172.12 Prinzipschaltbild einer aktiven Filterung von Strom-

harmonischen im Netz aus [6] . . . . . . . . . . . 192.13 Hybrides Filter, bestehend aus passiven Saugkrei-

sen und aktivem Filter mit einprägender Span-nung aus [6] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.14 Ausgangssignale eines N -Level-Wechselrichters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.15 Prinzipschaltbild eines Flying-Capacitor-Umrich-ters und einer kaskadierten H-Brücke . . . . . . . 23

2.16 Allgemeine Zellenstruktur vonMultilevel-Umrichtern . . . . . . . . . . . . . . . 24

v


2.17 MMC-Umrichter nach Marquardt . . . . . . . . . 252.18 Schaltplan des 15-Level-Umrichters . . . . . . . . 262.19 Steuerverfahren des 15-Level-Umrichters . . . . . 272.20 Exemplarische Schalterbelastung

der verschiedenen Umrichter . . . . . . . . . . . . 28(a) Spannungs- und Stromverlauf von Schalter S1 28(b) Spannungs- und Stromverlauf von Schalter S9 28

2.21 Versuchsaufbau des 15-Level-Umrichters . . . . . 292.22 Gemessene Spannungen und Ausgangsstrom des

15-Level-Umrichters für eine ohmsche Last . . . . 30(a) Ausgangsspannungen der einzelnenWechsel-

richter so-wie deren Resul-tierende . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

(b) Ausgangsstrom und Ausgangs-spannung des 15-Level-Umrichters . . . . . 30

2.23 Spektren der Ausgangssignale von Multilevel-Um-richtern mit variabler Stufenanzahl . . . . . . . . 30

2.24 Operationsprinzip des Kompensationsverstärkers 332.25 Vergleich Prelterordnungen . . . . . . . . . . . . 35

3.1 Aufbau eines aktiven All- und Bandpasses für dreiStufen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.2 Aufbau eines aktiven Bandpasses 4-ter Ordnungmit Mehrfachkopplung . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.3 Simuliertes aktives Bandpasslter 4-ter Ordnungmit der Resonanzfrequenz fGr = 75 kHz . . . . . 42

3.4 Allpass 1-ter Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . 433.5 Übertragungsfunktion des Prelters für die Simu-

lation des aktiven Kompensationsverstärkers, fGr =25 kHz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.6 Simulierte Übertragungsfunktion des Auskoppel-netzwerkes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.7 Auskoppelnetzwerk des analogen Kompensations-verstärkers zweiter Ordnung . . . . . . . . . . . . 46

3.8 Simulierte Übertragungsfunktion des analogen Kom-pensationsverstärkers mit Variation der Prelter-ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

vi


3.9 Simulierte Übertragungsfunktion des analogen Kom-pensationsverstärkers mit optimiertem Phasenab-gleich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.10 Auswirkung von Bauteilvariationen (C = ±5%)auf die Übertragungsfunktion des analogen Filters 49

3.11 Steckaufbau des analogen Kompensationsverstär-kers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50(a) Platine mit aktivem Filter . . . . . . . . . . 50(b) Beispielhafter Aufbau der analogen Filter mit

drei Frequenzstufen . . . . . . . . . . . . . 503.12 Messaufbau analoger Kompensationsverstärker . 513.13 Gemessene Ein- und Ausgangsspannung des ana-

logen Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.14 Spektrum der Ein- und Ausgangsspannung mit

und ohne analogem Kompensationsverstärker . . 52

4.1 Direktstruktur eines FIR-Filters . . . . . . . . . . 574.2 Direktstruktur eines IIR-Filters . . . . . . . . . . 584.3 Entwicklungsschema für IIR-Filter . . . . . . . . 604.4 Verzerrung der Frequenzachse aus [78] . . . . . . 624.5 Zeit- und Frequenzverlauf eines idealen Tiefpasses 65

(a) Fourier-Transfor-mierte der Si-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

(b) Si-Funktion nor-miert auf ΩG

π . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.6 Schematischer Aufbau des digitalen Kompensati-

onsverstärkers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704.7 Simulierter Kompensationsverstär- kerzweig . . . 724.8 Übertragungsfunktion des simulierten Prelters ers-

ter Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724.9 Übertragungsfunktion des FIR-Filters mit der Nor-

mierungsfrequenz fa = 1 MHz, Achsenwert = Ωπ =

2ffa

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744.10 Simulierter Zeit- und Frequenzverlauf der Eingangs-

und Lastspannung des gesteuerten digitalen Kom-pensationsverstärkers; fa = 1 MHz . . . . . . . . 75

vii


(a) Simulierte Ein-und Ausgangs-spannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

(b) Simuliertes Spek-trum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.11 Simuliertes Spektrum mit reduzierter Abtastratefa = 500 kHz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4.12 Simulierter Strom- und Spannungsverlauf am Ein-gang des Rekonstruktionstiefpasses . . . . . . . . 77

4.13 Simulierte Ein- und Ausgangsspannung des Re-konstruktionstiefpasses sowie aufzubringende Leis-tung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77(a) Spannungen am

Rekonstruktionslters . . . . . . . . . . . . 77(b) Ausgangsleistung des D/A-Wandlers . . . . 77

4.14 Simulierter Zeit- und Frequenzverlauf des Eingangs-signals mit Schwebungseekt . . . . . . . . . . . 78(a) Simulierte Ein-

gangsspannung . . . . . . . . . . . . . . . . 78(b) Simuliertes Spek-

trum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 784.15 Simuliertes Lastspektrum mit Eingangssignal mit

Schwebungseekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794.16 Aufbau des gesteuerten Systems . . . . . . . . . 804.17 Kompensationsverstärkerplatine mit FPGA-Modul 82

(a) Kompensationsverstärkerplatine mitFPGA-Modul . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

(b) FPGA-Modul . . . . . . . . . . . . . . . . . 824.18 Digitales FIR-Filter in Direktstruktur mit nur ei-

nem Multiplizierer . . . . . . . . . . . . . . . . . 834.19 Übertragungsfunktion des FIR-Filters mit Quan-

tisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844.20 Schaltplan der 25 kHz Bandsperre . . . . . . . . . 854.21 Platine der 25 kHz Bandsperre mit Gehäuse . . . 864.22 Simulation und Messung der

25, 252 kHz Bandsperre . . . . . . . . . . . . . . . 87(a) Simulierte Über-

tragungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . 87

viii


(b) Gemessener Impedanzverlauf . . . . . . . . 874.23 Netzwerk zur Erzeugung des dierenziellen Signals

für den A/D-Wandler . . . . . . . . . . . . . . . 884.24 Platine zur Erzeugung des dierenziellen Signals

für den A/D-Wandler . . . . . . . . . . . . . . . 884.25 Erzeugung der dierenziellen Eingangssignale für

den A/D-Wandler . . . . . . . . . . . . . . . . . 904.26 Einkoppelzweig, bestehend aus

dem Rekonstruktionstiefpass, galvanischer Tren-nung, Verstärker undBandsperre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4.27 Simuliertes Bodediagramm des Einkoppelzweigesnach Abbildung 4.26 . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4.28 Aufbau des skalierten Tischsystems . . . . . . . . 93(a) Schematischer Aufbau des digi-

talen Kompensa-tionsverstärkers . . . . . . . . . . . . . . . . 93

(b) Versuchsaufbau zur Validierungdes digitalen Kom-pensationsverstärkers . . . . . . . . . . . . 93

4.29 Einuss des Verstärkers auf dasQuellensignal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.30 Zeitverzögerung des Kompensationspfades . . . . 954.31 Spannungen mit dazugehörigen Spektren bei ak-

tiviertem und deaktiviertem Kompensationsver-stärker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96(a) Gemessene Ein-

und Ausgangs-spannungen desKompensationsverstärkers . . . . . . . . . . 96

(b) Gemessenes Spek-trum der Last-spannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

4.32 Zeitverlauf und Frequenzspektrum des Kompen-sationssignals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97(a) Kompensationssignal . . . . . . . . . . . . . 97(b) Spektrum des

Kompensationssignals . . . . . . . . . . . . 97

ix


4.33 Lastspannung und Laststrom . . . . . . . . . . . 98

5.1 Schematischer Aufbau eines adaptiven FIR-Filters 1035.2 Fehlerfunktion eines FIR-Filters mit zwei Koe-

zienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1055.3 Aufbau eines FIR-Filters mit einer LMS-Adaption 1095.4 Simulation zum Vergleich der unterschiedlichen

Adaptionsalgorithmen . . . . . . . . . . . . . . . 1125.5 Ein- und Ausgangssignal der Vergleichssimulation 1125.6 Simulation zum Vergleich von Restfehler und Kon-

vergenzgeschwindigkeit der Adaptionsalgorithmen 1135.7 Schematischer Aufbau des Kompensationsverstär-

kers mit adaptivem Filter . . . . . . . . . . . . . 1145.8 Einführung des Filtered-x Signales . . . . . . . . 1155.9 Simulationsmodell des adaptiven

Kompensationsverstärkers . . . . . . . . . . . . . 1165.10 Einschwingvorgang bei einer

Schrittweite von µ = 2−10 . . . . . . . . . . . . . 1175.11 Simulink-Modell zur Ermittlung

der Imulsantwort der sekundärenStrecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

5.12 Simulationsergebnisse des adaptiven Kompensati-onsverstärkers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119(a) Streckenidentikation, eFIR . . . . . . . . . 119(b) Lernkurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119(c) Spektrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119(d) Stationäre Signale . . . . . . . . . . . . . . 119

5.13 Variation der Abtastfrequenz bei konstanter Re-konstruktionstiefpassordnung NTP = 3 . . . . . . 121

5.14 Variation der Ordnung des Rekonstruktionstief-passes bei konstanter Abtastfrequenz fa = 2 MHz 121

5.15 Lernkurve mit Variation des Gewichtungsfaktors 122(a) Lernkurve des

FxLMS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122(b) Variation des Gewichtungsfaktors . . . . . . 122

5.16 Simuliertes Lastspektrum@fa = 2MHz, N = 10µ = 2−8, f0 = 100kHz . . . . . . . . . . . . . . . 123

x


5.17 Schematischer Versuchsaufbau des adaptiven Sys-tems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

5.18 Schematische Darstellung des Mess-pfades für dieSystemidentikation. . . . . . . . . . . . . . . . . 126

5.19 Gemessene Streckenidentikation durch einen Di-rac-Impuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

5.20 Foto des Versuchsaufbaus . . . . . . . . . . . . . 1295.21 Zeitsignale bei 75 kHz-Anregung und Prelter ers-

ter Ordnung-oben mit deaktiviertem KV,unten mit aktiviertem KV . . . . . . . . . . . . . 130

5.22 Spektrum bei 75 kHz-Anregung und Prelter ers-ter Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

5.23 Lastspannung uLast(t) mit und ohne KV bei 75 kHz-Sinusanregung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

5.24 Zeitsignale bei 25 kHz-Rechteckanregung mit Pre-lter erster Ordnung-oben mit deaktiviertem KV,unten mit aktiviertem KV . . . . . . . . . . . . . 134

5.25 Spektrum bei 25 kHz-Rechteckanregung mit Pre-lter erster Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . 134

5.26 Versuchsaufbau mit Prelter dritter Ordnung undfrequenzselektiver Last . . . . . . . . . . . . . . . 135

5.27 Zeitsignale bei 75 kHz-Anregung und Prelter drit-ter Ordnung-oben mit deaktiviertem KV,unten mit aktiviertem KV . . . . . . . . . . . . . 136

5.28 Spektrum bei 75 kHz-Anregung und Prelter drit-ter Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

5.29 Zeitsignale bei 25 kHz-Rechteckanregung und Pre-lter dritter Ordnung - oben mit deaktiviertemKV, unten mit aktiviertem KV . . . . . . . . . . 138

5.30 Spektrum bei 25 kHz-Rechteckanregung und Pre-lter dritter Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . 138

5.31 Zeitsignale bei 25 kHz-Sinusanregung und Prel-ter dritter Ordnung - oben mit deaktiviertem KV,unten mit aktiviertem KV . . . . . . . . . . . . . 139

xi


5.32 Spektrum bei 25 kHz-Sinusanregung und Prelterdritter Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

6.1 Dämpfungsverlauf von Bandpässen verschiedenerOrdnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

A.1 Detaillierter Schaltplan des15-Level-Wechselrichters . . . . . . . . . . . . . . 157

C.1 Übertragungsfunktion des Testlters . . . . . . . 160

D.1 Schaltplan des MMC-Umrichters nach Marquardt 161

xii

1 Einleitung

In vielen leistungselektronischen Systemen spielt die spektraleQualität von Spannungen und Strömen eine groÿe Rolle. Nichtlineare Lasten beziehen teilweise uktuierende bzw. stark ober-schwingungsbelastete Ströme aus dem Energieversorgungsnetz.Als Beispiel können hier leistungselektronische Umrichter wiez.B. Wechselstromsteller oder netzgeführte Thyristorgleichrich-ter genannt werden. Die Oberschwingungen im Netzstrom ver-ursachen einen Spannungsabfall an der Netzimpedanz, was zuVerzerrungen der Kurvenform der Netzspannung führt.Um dem entgegenzuwirken, existieren Normen und Richtlinienwie z.B. die DIN EN 61000-3-2:2010-03. Diese schreibt für dieAmplituden der Oberschwingungen im Netzstrom in Abhängig-keit von der Frequenz Grenzwerte vor. In vielen Applikationenwerden daher Maÿnahmen ergrien, um die erzeugten Ober-schwingungen zu minimieren. Dazu gehören Schaltungen, die denLeistungsfaktor λ verbessern oder passive bzw. aktive Filter.

Nicht nur im Versorgungsnetz, sondern auch in anderen Applika-tionen spielt die Spannungs- bzw. Stromqualität eine groÿe Rolle.So erzeugen oberschwingsbehaftete Spannungen, die zur Steue-rung von elektrischen Maschinen eingesetzt werden, zusätzlicheKupferverluste und minimieren den Wirkungsgrad. Nicht seltenstören sie den sicheren Betrieb der Maschine [58]. Der Minimie-rung der Oberschwingungen dienen Filter oder moderne Multi-level-Wechselrichter mit PWM-Steuerung.Bei den oben genannten Applikationen liegt meistens die Grund-schwingung bei ca. 50 Hz und die Oberschwingungen liegen imBereich f ≤ 1 kHz. In Spezialapplikationen, wie sie in der Me-dizintechnik Anwendung nden, werden beispielsweise hohe Ma-gnetfelder bei hohen Frequenzen ≥ 30 kHz im Rahmen der me-

1

Kapitel 1. Einleitung

dizinischen Bildgebung benötigt. B. Gleich und J. Weizeneckerstellten 2005 ein neues bildgebendes Verfahren vor, mit dem esmöglich ist, drei dimensionale Echtzeitbilder von magnetischenPartikeln zu visualisieren [22]. Bei diesem Verfahren wird ebendiese Kombination aus hochfrequenten Magnetfeldern mit hoherEnergie benötigt. Spektrale Unreinheiten, herrührend von ober-schwingungsbehafteten Spulenströmen, verzerren das Bild underschweren somit die örtliche Auösung der zu begutachtendenAbbildung.

Durch die Kombination aus hoher Ausgangsfrequenz und Aus-gangsleistung scheidet die Minimierung der Oberschwingungenmittels aktiver Filter aus, weil der getaktete Wechselrichter zuhohe Schaltverluste aufweisen würde. Passive Filter können auf-grund des Kupferaufwandes voluminös und teuer werden.

Diese Arbeit stellt ein hybrides Filterkonzept zur Reduzierungder Ordnung von passiven Filterstrukturen vor, wodurch sowohldas Volumen als auch die Kosten verringert werden können. Da-zu werden in Kapitel 2 die verschiedenen Möglichkeiten, die zurReduktion der Oberschwingen genutzt werden können, detail-lierter erläutert und das Operationsprinzip des hybriden aktivenKompensationsverstärkers erarbeitet. Im Gegensatz zu anderenaktiven Filtern erzeugt ein Kompensationsverstärker direkt ausdem Störspektrum ein Kompensationssignal, welches sich mitden Oberschwingungen der Last überlagert und diese minimiert.In Kapitel 3 und 4 werden analoge und digitale Realisierungs-möglichkeiten des Kompensationsverstärkers vorgestellt undmesstechnisch validiert.Anschlieÿend wird die digitale Variante zu einem geregelten ad-aptiven System erweitert und anhand eines Prototyps der Funk-tionsnachweis erbracht.

2

2 Möglichkeiten zur Reduktion von

Oberschwingungen in

leistungselektronischen Systemen

In diesem Kapitel werden die Wichtigkeit von spektraler Rein-heit von Signalen hervorgehoben und betreende Applikations-beispiele aufgezeigt. Als Gütemaÿ für die Signalqualität wirdder Klirrfaktor herangezogen und es werden Möglichkeiten dis-kutiert, diesen in leistungselektronischen Umrichtersystemen zureduzieren. Dabei werden sowohl hardware- als auch steuerungs-technische Maÿnahmen in Betracht gezogen. Abschlieÿend ndeteine Gegenüberstellung statt und es wird ein neuer 15-Level-Um-richter zur Reduzierung des Klirrfaktors vorgestellt. Danach wirddas Operationsprinzip eines hybriden Filters präsentiert, beste-hend aus passiven und aktiven Komponenten. Dabei wird dasKompensationssignal nicht durch PWM-Wechselrichter erzeugt,sondern durch einen Kompensationsverstärker.

UZ uLast(t)

Netzstromrichter Wechselrichter Filter

Steuerung

uN(t)

Abbildung 2.1: System zur Erzeugung einer varia-blen Wechselspannung aus dem Ver-sorgungsnetz

3

Kapitel 2. Möglichkeiten zur Reduktion von

Oberschwingungen in leistungselektronischen Systemen

Abbildung 2.1 stellt ein typisches leistungselektronisches Um-richtersystem dar, dessen Aufgabe es ist, aus der vorhandenenNetzspannung UNetz über eine Gleichrichtung eine Wechselspan-nung uaus(t) mit variabler Frequenz und Amplitude zu generie-ren. Solche Umrichtersysteme werden zum Beispiel bei elektri-schen Antrieben oder Akku-Ladegeräten in verschiedenen Leis-tungsklassen eingesetzt. In vielen Applikationen, in denen sol-che Umrichtersysteme vorkommen, spielt die Qualität der Aus-gangsspannung eine wichtige Rolle. So zeigt sich, dass durch un-erwünschte Wechselanteile zusätzliche Verluste bei elektrischenAntrieben auftreten. Im Bereich der Netzqualität gibt es Nor-men, die Qualitätsmaÿstäbe für Spannungen und Ströme setzen.Ein weiteres Anwendungsbeispiel ist die Medizintechnik. In mo-dernen bildgebenden Verfahren, wie zum Beispiel dem MagneticPartical Imaging (MPI), werden sehr hohe Ansprüche an diespektrale Reinheit von Signalen gestellt. Unerwünschte Wechsel-anteile verschlechtern das später erzeugte diagnostische Bild.In der Literatur werden viele Möglichkeiten beschrieben, die Sig-nalqualität von Antriebswechselrichtern zu verbessern [29], [51].Die dort auftretenden Oberschwingungen liegen im Bereich von100 − 500 Hz. Im Bereich der Medizintechnik ist die Frequenzum ein Vielfaches höher (1− 500 kHz) und die Ansprüche an dieReinheit steigen entsprechend [69].In dieser Arbeit werden Möglichkeiten aufgezeigt, wie die Qua-lität derartig hochfrequenter Signale verbessert werden kann.

Für die Beurteilung der spektralen Reinheit bzw. der Qualitätvon Mischsignalen kann der Klirrfaktor k herangezogen werden.Dieser gibt den Grad der Verzerrung bzw. des Oberschwingungs-gehaltes in Bezug auf das Gesamtsignal Un an und errechnet sichnach

k =

√√√√√√√√N∑n=1

U2n

U20 +

N∑n=1

U2n

. (2.1)

Der Klirrfaktor ist dabei immer kleiner gleich eins. Manchmalwird statt des Terminus Klirrfaktor auch der Begri Total Har-

4

monic Distortion (THD)

THD =

√√√√√ N∑n=1

U2n

U20

(2.2)

benutzt, der durch Gleichung (2.2) deniert ist, in dieser Ar-beit jedoch nicht verwandt wird Für die Berechnung muss dasMischsignal in Grundschwingungs- und Oberschwingungsanteilzerlegt sein. Dies kann durch die Anwendung der Fourier-Ana-lyse erreicht werden. Das Spektrum eines sinusförmigen Signalsmit Oberschwingungen ist beispielhaft in Abbildung 2.2 aufge-zeigt.

0

−10

−20

−30

−40

U in dB

ff0 2f0 3f0 4f0 5f0 6f0 7f0 8f0

Oberschwingungen

Grundschwingung

Abbildung 2.2: Beispielhaftes Spektrum einesMischsignals

Die Grundschwingung besitzt die Frequenz f0, alle weiteren Si-gnale sind gerad- oder ungeradzahlige Harmonische der Grund-schwingung.

Es existieren mehrere Möglichkeiten zur Reduktion der Ober-schwingungen bzw. zur Verbesserung des Klirrfaktors in leis-tungselektronischen Systemen. ImWesentlichen können die Maÿ-nahmen unterteilt werden in Lösungen, die die Hardware mo-dizieren, also das Umrichtersystem selbst verändern oder inSoftwarelösungen, wie zum Beispiel die Modikation der Steue-rung des Wechselrichters. Zu den Hardwarelösungen gehören die

5



Nutzung passiver oder aktiver Filter höherer Ordnung oder dieVerwendung eines Multilevel-Umrichters statt einer klassischenBrücke. All diese Maÿnahmen können den Klirrfaktor verbessern,jedoch muss der Aufwand und der Nutzen für jede Applikationneu abgewogen werden. Im Folgenden werden die verschiedenenMaÿnahmen kurz vorgestellt.

2.1 Steuerverfahren zur Erzeugung von

Wechselspannungen

2.1.1 Grundfrequenzsteuerung

Bei selbstgeführten Stromrichtern ist die einfachste erdenklicheSteuermethode um eine hochfrequente Wechselspannung zu er-zeugen die Grundfrequenzsteuerung, auch Blocktaktung genannt.Als einfaches Beispiel soll diese an einem H-Brücken-Wechsel-richter betrachtet werden. Dabei werden zwei Schaltvorgänge ineiner Periode durchgeführt. Abbildung 2.3 zeigt den Aufbau ei-nes H-Brücken-Wechselrichters.

uAus(t)UZ

S1

S2

S3

S4

Abbildung 2.3: H-Brücken-Wechselrichter

Die Transistoren werden abwechselnd für je eine halbe Schalt-periode T der Ausgangsspannung UAus ein- bzw. ausgeschaltet.Die Schaltfrequenz der Brücke entspricht bei der Grundfrequenz-steuerung der Frequenz der Grundschwingung des Ausgangssi-

6

2.1. Steuerverfahren zur Erzeugung von

Wechselspannungen

gnals. Die Schaltfrequenz des Wechselrichters ist bei dieser Artder Steuerung die kleinstmögliche. Des Weiteren zählt dieses Ver-fahren zu den synchronen Steuerverfahren, weil im stationärenBetrieb die Spannungsverläufe pro Periode identisch sind. Abbil-dung 2.4 illustriert das Ausgangssignal bei einer Grundfrequenz-taktung des Wechselrichters.

uAus(t)/V

ωt2ππ0

UZ

−UZ

Abbildung 2.4: Ausgangssignal des Wechselrichtersbei Blocktaktung

Der Vorteil dieser Steuermethode neben der kleinstmöglichenSchaltfrequenz liegt in der optimalen Ausnutzung der Zwischen-kreisspannung UZ. Der Modulationsgrad m, deniert als Quo-tient der Amplitude der Grundschwingung uAus zur Zwischen-kreisspannung, ist bei der Grundfrequenzsteuerung maximal undbeträgt 4

π und ist damit immer gröÿer eins

m =uAus

UZ. (2.3)

Die Nachteile dieser Methode bestehen zum einen darin, dassdie Amplitude des Ausgangssignals nicht verändert werden kann,zum anderen im hohen Klirrfaktor der Ausgangsspannung. ZurBerechnung des unerwünschten Oberschwingungsanteils am Ge-samtsignal kann die Fourier-Analyse herangezogen werden. Dasrechteckförmige Ausgangssignal wird dadurch in eine Reihe vonSinusfunktionen zerlegt. Die Fourier-Reihe der Ausgangsspan-

7



nung ist in Gleichung (2.4) gegeben und lautet:

uAus(t) =4UZ

π·

∞∑i=1,3,5,...

1

isin(i · ω0t) . (2.4)

Die Reihe beinhaltet die Grundschwingung (i = 1) und die un-geradzahligen Harmonischen (i = 3, 5, 7, ...) der Schaltfrequenzω0 = 2πf0. Ferner ist zu erkennen, dass die Oberschwingungenum den Faktor 1

i abnehmen. Die dritte Harmonische weist alsonoch 33 % der Amplitude der Grundschwingung auf und stelltan nachfolgende passive Filter eine hohe Anforderung. Der Ef-fektivwert der sinusförmigen Grundschwingung UAus0 beträgt:

UAus0 =4UZ

π√

2. (2.5)

Eine einfache Methode, den Klirrfaktor zu reduzieren, ist dieGenerierung eines Nulllevels in der Ausgangsspannung. Hier-zu werden die Schalter S1 und S3 oder S2 und S4 aus Abbil-dung 2.3 gleichzeitig leitend und erzeugen so im oberen bzw.unteren Brückenteil einen aktiven Freilauf. Der so erzeugte Ver-lauf der Ausgangsspannung beinhaltet drei Spannungsniveaus (0,+UZ und −UZ) und ist in Abhängigkeit des Einschaltwinkels αin Abbildung 2.5 zu sehen.

Dieses Nullplateau ergibt sich zwangsläug, da bei der Transitionvon +UZ auf −UZ eine Totzeit eingehalten werden muss. Ist diesnicht der Fall, kann es aufgrund eines Brückenkurzschlusses zuerhöhten Bauteilverlusten des Wechselrichters kommen. Die Aus-wirkung der Totzeit bzw. des Einschaltwinkels der Halbleiter aufdas Spektrum kann mit der Fourier-Analyse ermittelt werden.Die Fourier-Reihe des Drei-Level-Signals ist in Gleichung (2.6)dargestellt.

u3Level(t) =4UZ

π·

∞∑i=1,3,5,...

1

icos(iα) sin(i · ω0t) (2.6)

Aus der Gleichung geht hervor, dass der Grundschwingungsef-

8


Wechselspannungen

u(t)/V

ωtα

π − α

2πππ2

3π2

0

UZ

−UZ

Abbildung 2.5: Drei-Level-Ausgangssignal eines H-Brücken-Wechselrichters in Abhän-gigkeit des Einschaltwinkels α aus[29]

fektivwert der Ausgangsspannung

U3Level0 =4UZ

π√

2cos(α) (2.7)

beträgt. Dies bedeutet, dass mit steigendem Einschaltwinkel derEektivwert der Ausgangsspannung sinkt und somit bei gleichemStrom weniger Energie übertragen werden kann. Der Vorteil ei-nes solchen Drei-Level-Signals liegt jedoch im niedrigeren Ober-schwingungsgehalt. Der Klirrfaktor des in Abbildung 2.5 darge-stellten Signals errechnet sich mit Gleichung (2.8) zu:

k3Level =

√1− 8 cos2 α

π(π − 2α). (2.8)

Der Klirrfaktor k3Level ist eine Funktion des Einschaltwinkels.Der Verlauf der Funktion ist in Abbildung 2.6 dargestellt. DerKlirrfaktor besitzt ein Minimum bei einem Einschaltwinkel vonα ≈ 0, 4. Mit der Wahl des optimalen Einschaltwinkels wird derKlirrfaktor um ca. 10 % verbessert, wobei der Eektivwert derGrundschwingung sinkt.

9



0 0.5 10.2

0.4

0.6

0.8

1

α

k

Abbildung 2.6: Verlauf des Klirrfaktors k3Level in Ab-hängigkeit des Einschaltwinkels α aus[29]

Mit komplexeren Trägerverfahren als der Blockmodulation kön-nen die Oberschwingungen zu höheren Frequenzen hin verscho-ben werden. Wird die Grenzfrequenz eines passiven Filters in diespektrale Lücke zwischen Signal und Oberschwingungen gelegt,so können höhere Dämpfungswerte erreicht werden, was gleich-bedeutend der Minimierung des Klirrfaktors entspricht.Aus diesem Grund wird im Folgenden die Pulsweitenmodulationnäher erläutert.

2.1.2 Trägerverfahren

Der Begri Träger entstammt ursprünglich der Nachrichtentech-nik und weist auf die Modulation eines Nutzsignals auf ein höherfrequentes Trägersignal hin. Die Pulsweitenmodulation PWMzählt zu den klassischen Trägerverfahren und wird in der Pra-xis häug eingesetzt. Die natürliche Pulsweitenmodulation wirdin der Leistungselektronik auch Unterschwingungsverfahren ge-nannt. Bei der Blocktaktung wird die Zwischenkreisspannungzweimal pro Periode an den Ausgang des Wechselrichters ge-schaltet, nämlich einmal positiv und einmal negativ. Bei einem

10


Wechselspannungen

PWM-Steuerverfahren geschieht dies weit häuger. Das gene-relle Ziel ist es, ein Pulsmuster der Spannung am Ausgang desWechselrichters zu erzeugen, welches in der Grundschwingungdie gleiche Spannungszeitäche hat wie der sinusförmige Span-nungssollwert [57]. Bedingt durch die höheren Taktfrequenzenkönnen sinusförmige Spannungen deutlich besser nachgebildetwerden als mit der Blockmodulation. Daraus resultiert eine Ver-besserung des Klirrfaktors.

Ein pulsweitenmoduliertes Signal uPWM(t) kann durch den Ver-gleich eines Referenz- oder auch Trägersignals uRef(t) mit einemSollwert usoll(t) generiert werden. Das PWM-Signal hat den Be-trag eins, wenn der Sollwert gröÿer ist als das Trägersignal. An-sonsten beträgt es Null. Der Zusammenhang wird nochmals inAbbildung 2.7 beispielhaft mit einem unsymmetrischen Träger-signal illustriert.

uPWM(t) =

1 : usoll(t) ≥ uRef(t)0 : sonst

(2.9)

usoll(t)

uRef(t)

t

uPWM(t)

t

u(t)

+1

-1

Abbildung 2.7: Erzeugung eines PWM-Signalsdurch Sinus-Dreieckvergleich

11



Früher wurden die Signale häug mit analogen Schaltungen er-zeugt. Heutzutage werden sie meist digital generiert. Das Soll-signal ist dann nicht mehr zeitkontinuierlich, sondern stufenför-mig bzw. zeitdiskret. Liegt ein kontinuierliches Sollsignal vor, sospricht man von Natural Sampling oder einer natürlichen PWM(NPWM ). Anderenfalls ist das Sollsignal abgetastet. Dieses Ver-fahren der Abtastung nennt man Regular Sampling [29]. Durchdie Abtastung entstehen unerwünschte Verzerrungen im Spek-trum. Diese werden mit steigender Abtastfrequenz jedoch klei-ner.Abbildung 2.8 illustriert den allgemeinen Verlauf des Spektrumsvon uPWM(t).

0

−10

−20

−30

−40

U in dB

ff0 fT 2fT 3fT

mfT + nf0mfT − nf0

BasisbanderstesTragerband

drittesTragerband

zweitesTragerband

unteresSeitenband

oberesSeitenband

Abbildung 2.8: Allgemeines Spannungsspektrum beiTrägerverfahren aus [29]

Es wird ersichtlich, dass das Spektrum aus dem Basisband undTrägerbändern besteht. Bei einem sinusförmigen Sollsignal be-steht das Basisband bei der Frequenz f0 aus nur einer Spektral-linie. In diesem Beispiel ist die Frequenz des Trägersignals fT 15mal gröÿer als die des Sollsignals. Die Oberschwingungen ergebensich aus der Summe bzw. der Dierenz des Sollsignals und derenVielfachen mit dem Trägersignal. Bei Vielfachen der Trägerfre-quenz m · fT wiederholt sich der Vorgang. Welche Spektralliniemit welcher Amplitude vorkommt, ist abhängig von den Modu-lationsparametern. Wird die Trägerfrequenz zu klein gewählt,

12


Wechselspannungen

ndet eine Überlappung des Basisbandes mit dem Trägerbandstatt. Die Oberschwingungen können nicht mehr durch passiveFilter gedämpft werden. Deswegen muss die Trägerfrequenz im-mer hinreichend groÿ gewählt werden, um die Überlappung zuverhindern.Sind die konzentriert um den Träger herum angeordneten Har-monischen unerwünscht, so ist es möglich, die Amplituden derHarmonischen zu beeinussen. Dies kann auf zweierlei Arten ge-schehen. Erstens können durch Hinzufügen von Rauschen dis-krete Frequenzlinien eliminiert werden. Zweitens kann das Ober-schwingungsspektrum durch Frequenzmodulation des Trägersi-gnals verschmiert werden. Durch die Modulation werden wei-tere Frequenzkomponenten generiert, die dominanteren Anteileaber reduziert [29].

Eine Alternative liegt in der Verwendung des von Streitenbergervorgestellten SB-ZePoC Verfahrens [61]. Dies ist ein Kodierungs-verfahren mit separiertem Basisband, wodurch sichergestellt ist,dass keine Überlappung des Trägerbandes mit dem Basisbandstattndet. Ferner zeigt es, dass die NPWM eine Näherung desSB-ZePoC darstellt. Dieses Verfahren ist in der Implementierungjedoch deutlich komplexer und wird in dieser Arbeit nicht weiterbehandelt.

Die primären Parameter zur Charakterisierung der PWM sinddie Schaltzahl q, der Modulationsgrad m und die Form des Trä-gers. Die Schaltzahl q ist deniert als Verhältnis der Trägerfre-quenz fRef zur Ausgangsfrequenz f0

q =fRef

f0. (2.10)

Ist die Trägerfrequenz ein ganzzahliges Vielfaches der Ausgangs-frequenz, so ist die Schaltzahl eine natürliche Zahl (2, 3, 4, 5, ...)und man spricht von einer synchronen Modulation, andernfallsvon einer asynchronen. Beide Arten kommen in der Praxis zumEinsatz. Bei Drehstrom-Wechselrichtern für groÿe elektrische Ma-schinen wird häug die synchrone Modulation angewandt, weilmit ihr die geradzahligen Harmonischen eliminiert werden kön-nen. Nachteilig ist jedoch, dass Trägersignal und Referenzsignal

13



in Phase sein müssen [29].Bei asynchroner Modulation ist dies nicht notwendig, allerdingskönnen bei kleinen Schaltzahlen Unterschwingungen entstehen,die das Lastspektrum verschlechtern. Deswegen wird im Falledes asynchronen Betriebes die Schaltzahl meistens gröÿer als 21gewählt und damit die Ausbildung von Unterschwingungen ver-mieden [29].

Als Trägersignal stehen eine Vielzahl von Signalformen zur Ver-fügung. Am häugsten werden symmetrische oder asymmetri-sche dreiecks- bzw. sägezahnförmige Signale eingesetzt. AndereSignalformen sind denkbar, solange der kurzzeitige Mittelwertdes erzeugten PWM-Signals proportional zum Sollwert ist.Symmetrische Trägersignale weisen ein Spektrum mit wenigerSeitenbändern und schnell fallenden Amplituden auf. In den Dis-sertationen von Stemmler [60] und Deplazes [16] wird aufgezeigt,dass für Modulationsgrade m > 0, 9 symmetrische Träger die ge-ringsten Oberschwingungen erzeugen.Sägezahnförmige Träger bieten jedoch den Vorteil, dass gewis-se Schaltpulse unterdrückt und somit auch die Oberschwingun-gen reduziert werden können. Ausführlich ist diese Pulsunter-drückung bei R. Deplazes [16] und P. Guggenbach [24] beschrie-ben.

Der Modulationsgrad ist analog zu Gleichung (2.3) als Quotientder Amplitude des Sollwertes zur Amplitude des Trägersignalsdeniert

m =uSoll

uTrager. (2.11)

Er bestimmt dadurch imWesentlichen die Amplitude der Grund-schwingung des Ausgangssignals. Der Verlauf der Grundschwin-gung in Abhängigkeit zum Modulationsgrad für einen H-BrückenWechselrichter, ergibt sich nach Gleichung (2.12) zu:

uAus(t) = m · UZ · sin(2πf0t) . (2.12)

Aus obiger Gleichung geht hervor, dass durch Variation von mder Scheitelwert der Ausgangsspannung uAus linear eingestelltwerden kann. Das gilt nur für den Fall m ≤ 1. Wird m gröÿer

14

2.2. Passive und aktive Filterung

als eins gewählt (m > 1), spricht man von Übermodulation. DerScheitelwert gehorcht dann nicht mehr Gleichung (2.12), sondernwird nichtlinear. Im Scheitel der Ausgangsspannung nden beiÜbermodulation keine Schalthandlungen mehr statt, die PWMsetzt aus und es kommt zu Verzerrungen.

Bedingt durch die Abhängigkeit der Grundschwingungsamplitu-de der Ausgangsspannung ist auch der Klirrfaktor eine Funktionvon m [29]

kPWM =

√U2

Aus − U20

UAus=

√1− 4

πm . (2.13)

Die PWM generiert im Gegensatz zur Blocktaktung nicht weni-ger Harmonische, allerdings liegen diese in höheren Frequenzbe-reichen. Dies ist vorteilhaft, da es nun unter Zuhilfenahme vonpassiven Filtern leicht möglich ist, die in den Trägerbändern lie-genden Frequenzanteile zu dämpfen. Dazu muss die Eckfrequenzdes passiven Filters in das Frequenzband zwischen Basisbandund Trägerband gelegt werden. Im idealen Fall wird somit dasBasisband nicht beeinusst und die Oberschwingungen werdenausreichend bedämpft.

2.2 Passive und aktive Filterung

Werden Amplitude und Phase eines elektrischen Signals in Ab-hängigkeit von der Frequenz verändert, so bezeichnet man dieSchaltung als Filter. Diese schwächen unerwünschte Signalteileab oder unterdrücken sie. Abbildung 2.9 stellt den Amplituden-frequenzgang |H(jω)| eines Tiefpasslters mit den verschiedenenBereichen dar.

Bis zur Durchlasskreisfrequenz ωD = 2πfD soll das Signal nichtbeeinusst werden. Es tritt je nach Filtercharakteristik maximaleine Welligkeit δD auf. Im Sperrbereich (w > wS) wird das Signalmit einer Sperrbanddämpfung beaufschlagt und somit in seinerAmplitude reduziert. In diesem Frequenzbereich liegen die un-

15



ω

|H(jω)|

ωD ωS

δD

δS

Abbildung 2.9: Toleranzbanddarstellung für Filteraus U. Zölzer [78]

erwünschten Frequenzanteile des zu lternden Signals. Für einFilterdesign sind diese Parameter frei wählbar. Die Flankensteil-heit und die zu erreichende Sperrbanddämpfung hängen von derOrdnung N des Filters ab. Die Ordnung korrespondiert mit derAnzahl der benötigten Bauelemente. Gleichung (2.14) beschreibtim Allgemeinen eine Übertragungsfunktion eines Tiefpasses [67].

A(sn) =A0

(1 + a1sn + b1s2n)(1 + a2sn + b2s2

n) + ...(2.14)

mit sn = jω

ωn= j

f

fGr(2.15)

Die Gleichung beinhaltet die auf die 3 dB-Grenzfrequenz nor-mierte komplexe Variable sn, die DC-Verstärkung A0 und diereellen Koezienten ai und bi. Die Filtercharakteristik beschreibtdas Verhalten der Übertragungsfunktion im Durchlass-, Sperr-und Übergangsbereich. Diese lässt sich unter verschiedenen Ge-sichtspunkten wie Welligkeit im Durchlassbereich, Sperrband-dämpfung oder Flankensteilheit optimieren. Für unterschiedli-che Optimierungen existieren unterschiedliche Sätze an Koe-zienten ai und bi. Die bekanntesten Charakteristiken sind dieButterworth, Tschebysche und die Cauer Charakteristik. Unterder Festlegung von Dämpfung, Welligkeit und Ordnung lassensich die Filterkoezienten aus Tabellenbüchern entnehmen. An-schlieÿend kann das Filter realisiert werden.

16


Findet eine passive Realisierung des Filters statt, so besteht dasFilter aus konzentrierten Bauelementen wie Kondensatoren C,Induktivitäten L und Widerständen R.In Abbildung 2.10 ist ein verlustfreies passives Filter N -ter Ord-nung dargestellt.

L1 L2 LN

C1 C2 CNuEin(t) uAus(t)

Abbildung 2.10: Tiefpass N -ter Ordnung

Zum Vergleich sind die Übertragungsfunktionen beispielhafterTiefpasslter mit verschiedenen Ordnungen in Abbildung 2.11gegenüber gestellt.

0

−10

−20

−30

−40

U/dB

ffGr

−50

−60

−70

TP 1. Ordnung

TP 2. Ordnung

TP 3. Ordnung

-20dB/Dekade

-40dB/Dekade-60dB/Dekade

Abbildung 2.11: Übertragungsfunktionen von But-terworth-Tiefpässen erster bis drit-ter Ordnung

Dort wird ersichtlich, dass mit höherer Ordnung der Übergangvon Durchlassbereich zu Sperrbereich steiler verläuft.

17



Im vorherigen Abschnitt wurden Blockmodulation und Träger-verfahren zur Steuerung von Wechselrichtern vorgestellt. Es zeig-te sich, dass bei der Ausgangsspannung der Blockmodulation alleungeradzahligen Harmonischen im Spektrum vertreten sind. Füreine gute Unterdrückung der dritten Harmonischen sollte ein Fil-ter mit hoher Ordnung verwendet werden, weil der Abstand zwi-schen Grundschwingung und dritter Harmonischer sehr klein ist.Wird eine PWM mit hoher Schaltzahl eingesetzt, so liegen dieFrequenzen weiter auseinander und ein Filter niedrigerer Ord-nung kann statt dessen verwendet werden.In der Leistungselektronik können die Induktivitäten aufgrunddes zu führenden Stromes groÿ und teuer werden. Je nach Ap-plikation und Leistungsbereich wird daher immer versucht, ihreAnzahl niedrig zu halten. Zusätzlich ist zu bedenken, dass es beider Nutzung von nichtlinearen Lasten in Kombination mit Filter-elementen zur Ausbildung unerwünschter Resonanzen kommenkann, die das Filter beschädigen können.

Eine Alternative zur passiven Filterung ist der Einsatz eines zu-sätzlichen aktiven Filtersystems. Dieses ist sowohl aus hardwa-retechnischer als auch aus steuerungstechnischer Sicht zwar nurmit gröÿerem Aufwand realisierbar, bietet aber die Möglichkeit,selektiv Harmonische zu eliminieren.Dies geschieht durch die Einspeisung eines Kompensationssignals,welches mit den Oberschwingungen im System interferiert unddiese bei exakter Regelung eliminiert. Die Grundlagen für die Re-gelung bietet die sogenannte Instantanous Power Theory oderp-q Theory. Sie wurde 1983 von Akagi, Kanazawa und Nabaein Japan [3] und 1984 erweitert im IEEE in englischer Spra-che veröentlicht [4]. Die p-q Theory basiert ihrerseits auf derAbbildungsvorschrift von Clark, auch Clark Transformation ge-nannt [15].

Hauptsächlich werden aktive Filtersysteme im Frequenzbereichvon 50/60 Hz genutzt, um Spannungsverzerrungen, herrührendvon nichtlinearen Strömen von Gleichrichtern, zu kompensieren.Ferner können im Versorgungsnetz niederfrequente Harmonischeim Frequenzbereich von 8 bis 30 Hz minimiert werden, welche

18


durch die Nutzung von nicht linearen Lasten entstehen [6]. Diemeisten Abhandlungen beziehen sich daher auf dreiphasige Ver-sorgungsspannung und können Harmonische mit groÿen Leistun-gen kompensieren. In [5] wird ein aktives Filter mit einem Leis-tungsrating von 7 kVA bei 200 V von Akagi und Nabae vorge-stellt.

Den allgemeinen Aufbau von aktiven Filtern zur Kompensationvon Stromharmonischen illustriert Abbildung 2.12.

ReglerPWM

controller

iN

iF

iL

iN iF iL

Abbildung 2.12: Prinzipschaltbild einer aktiven Fil-terung von Stromharmonischen imNetz aus [6]1

Der Laststrom hat aufgrund der nicht linearen Last einen block-förmigen Verlauf und besitzt damit eine Vielzahl an Oberschwin-gungen. Aus dem Versorgungsnetz soll wiederum im Idealfall nur

1Im Englischen auch als Shunt active Filter bezeichnet

19



die Grundschwingung in Form eines sinusförmigen Stroms ent-nommen werden. Den Oberschwingungsanteil des Laststromeskompensiert das aktive Filter.Der Laststrom wird permanent gemessen und im Controller ver-arbeitet. Dieser erzeugt aufgrund der p-q Theory die PWM-An-steuersignale für den Wechselrichter des aktiven Filters. Die Trä-gerfrequenz des PWM-Signals ist dabei mindestens zehn mal grö-ÿer als die der höchst zu kompensierenden Harmonischen, die inder Last auftreten kann [29].In der Literatur gibt es auch hybride Lösungen, bestehend auseinem aktiven und passiven Filter. In Abbildung 2.13 ist ein hy-brides Filter dargestellt [6].

ReglerPWM

controller

passiveSaugkreise

Abbildung 2.13: Hybrides Filter, bestehend aus pas-siven Saugkreisen und aktivem Fil-ter mit einprägender Spannung aus[6] 2

2Im Englischen auch als Series active Filter bezeichnet

20

2.3. Multilevel-Umrichter zur Erzeugung von

hochfrequenten Wechselspannungen

Der Wechselrichter prägt durch den Transformator ein Span-nungssignal statt eines Stromsignals ein. Die Harmonischen derSpannung werden zusätzlich durch die passiven Filter bedämpft,wobei die Filter als Saugkreise fungieren. Die Resonanzfrequen-zen der L−C Schwingkreise werden dazu zu der dritten, fünftenund siebten Harmonischen gewählt. Je nach Anforderung kannsowohl eine alleinige passive als auch aktive oder hybride Lösungbevorzugt werden. Einen guten Überblick über die Theorie undApplikationsbeispiele bietet [6].

2.3 Multilevel-Umrichter zur Erzeugung

von hochfrequenten

Wechselspannungen

Eine Alternative zu den klassischen H-Brücken-Wechselrichtern,die zwei- bzw. drei Spannungspegel erzeugen, stellen die Multi-level-Umrichter dar. Diese generieren eine stufenförmige Wech-selspannnung mit N Stufen. Man spricht auch von einem N -Level-Umrichter. Je gröÿer die Anzahl der Stufen ist, desto bes-ser approximiert das stufenförmige Signal einen Sinus. Mit derStufenanzahl ist es also möglich, die Qualität bzw. den Klirrfak-tor der Ausgangsspannung zu verbessern.Die Grenze der Stufenanzahl orientiert sich an der Regelkom-plexität, den Kosten und Verlusten. Abbildung 2.14 visualisiertbeispielhaft den zeitlichen Verlauf eines Multilevel-Umrichtersmit unterschiedlichen Spannungsstufen.

Bedingt durch ihren Aufbau ist die Spannungsbelastung der ein-zelnen Leistungshalbleiter geringer als bei herkömmlichen Brü-cken-Umrichtern. Deswegen wurden ursprünglich Multilevel-Wechselrichter für Hochspannungsapplikationen eingesetzt, wiez.B. FACTS oder elektrische Antriebe im Mittelspannungsbe-reich [47], [48]. Mittlerweile werden sie aber auch in Gleichspan-nungswandlern (DC/DC Konvertern) benutzt [45] [77], in denen

21



Zeit[µs]0 10 20 30 40 50 60 70 80

u(t)[V]

-1000

0

10002 Level

3 Level

5 Level

Zeit[µs]0 10 20 30 40 50 60 70 80

u(t)[V]

-1000

0

100015 Level

Sinussignal

Abbildung 2.14: Ausgangssignale eines N -Level-Wechselrichters

eine galvanische Trennung benötigt wird.Nabae stellte 1981 einen Drei-Level-neutral-point-clamped -Wech-selrichter für den Antrieb von Motoren vor [44]. Im Laufe der Zeitwurden weitere Multilevel-Wechselrichter entwickelt. Hier sindvor allem der capacitor-clamped -Multilevel-Wechselrichter, auchFlying-Capacitor genannt [39], und der kaskadierte H-Brücken-Wechselrichter [25] [50] zu nennen. Abbildung 2.15 zeigt beideUmrichtertypen.

Aus Abbildung 2.15 ist zu erkennen, dass der Schaltungsauf-wand bei Multilevel-Umrichtern höher ist als bei einer H-Brücke.Allerdings ist anzumerken, dass durch die Reihenschaltung vonLeistungsschaltern in Multilevel-Wechselrichtern nicht die kom-plette Zwischenkreisspannung an den Schaltern anliegt, sonderndass die Spannung aufgeteilt wird. Dies ermöglicht den Ein-satz von kostengünstigeren und performanteren Halbleitern auseinem niedrigeren Spannungsbereich. Dies ist ein groÿer Vor-teil gegenüber der H-Brücke. Es ist jedoch jederzeit darauf zuachten, dass sich die Zwischenkreisspannung symmetrisch auf-

22



UZ0

uAus(t)

UZ1

UZ2

uAus(t)

Abbildung 2.15: Prinzipschaltbild eines Flying-Ca-pacitor-Umrichters und einer kaska-dierten H-Brücke

teilt und alle Komponenten gleichmäÿig belastet werden. Beider kaskadierten H-Brücke existiert diese Problematik nicht, weildort die Zwischenkreisspannung nicht aus einer Quelle generiertwird, sondern aus mehreren separierten und galvanisch getrenn-ten Quellen. In der Literatur nden sich viele Beiträge, die sichmit der Problematik der Spannungssymmetrierung auseinander-setzen [50], [46].Im Jahre 2000 stellte F. Peng in [46] einen verallgemeinertenMultilevel-Wechselrichter mit selbstständiger Spannungssymme-trierung vor. Er zeigt, dass es möglich ist, den Flying-Capacitorund den Dioden-Clamped-Umrichter aus dieser verallgemeiner-ten Struktur abzuleiten. Aus dieser Struktur gingen weitere To-pologien hervor, wie z.B derMarx-Multilevel-Umrichter [54] oderder Zigzag-Multilevel-Umrichter [76]. In [49] zeigt Peng, dass diekaskadierte H-Brücke ebenfalls aus der Basisstruktur abgeleitetwerden kann. Die pyramidenförmige Basisstruktur von Multile-vel-Umrichtern ist in Abbildung 2.16 aufgeführt.

23



S11

S21

C1

S12

S22

C2

S13

S23

C3

S14

S24

C4

S15

S25

C5

S16

S26

C6

UDC

uAC(t)

2 Level

3 Level

4 Level

Basiszelle

Abbildung 2.16: Allgemeine Zellenstruktur vonMultilevel-Umrichtern

Zur Reduzierung der Anzahl von Kondensatoren und Schalternsind, basierend auf der verallgemeinerten Zellenstruktur, in [18]und [23] asymmetrische Umrichter vorgestellt worden.Basierend auf der selben Basiszelle aus Abbildung 2.16 entwickel-te R. Marquardt einen Modularen Multilevel-Konverter (MMC)[33]. Zusätzlich zeigte er, dass sich die Basiszelle zu einer Voll-brücke erweitern lässt. Im Gegensatz zur Pyramidenstruktur ord-nete Marquardt die Basiszellen in Serie an und schate so einenredundanten und skalierbaren Konverter. Die Schaltverluste sindim Vergleich zur kaskadierten H-Brücke bei gleich groÿer Chip-äche kleiner [37].

24



Abbildung 2.17 zeigt den schematischen Aufbau eines Wechsel-richters nach Marquardt. Einen detaillierten Schaltplan bendetsich im Anhang D.

UZ

L1

L1

Phase L1

Abbildung 2.17: MMC-Umrichter nach Marquardt

In [56] ist ein Vergleich von Multilevel-Wechselrichter Topologienfür Mittelspannungsanwendungen durchgeführt worden. Die un-terschiedlichen Topologien werden dort auf Schaltungsaufwandund Lastspektrum untersucht. Es stellt sich heraus, dass derNPC-Wechselrichter bei steigender Stufenanzahl die meisten Bau-teile benötigt, weswegen in der Praxis die Stufenanzahl seltendrei überschreitet.

25



2.3.1 Design eines 15-Level-Umrichters

Im Folgenden wird ein neuer 15-Level-Umrichter vorgestellt. Die-ser wurde in [11] veröentlicht und ist für hochfrequente Aus-gangsspannung bis zu 30 kHz konzipiert. Er besteht aus derReihenschaltung eines Fünf-Level-NPC-Wechselrichters mit ei-ner H-Brücke. Diese Kombination ermöglicht den Betrieb an nureiner Spannungsquelle und verzichtet somit auf die separierten,galvanisch getrennten Quellen der kaskadierten H-Brücken. An-statt der separierten Quellen kommt hier ein kompakter Hoch-frequenztransformator zum Einsatz. Ferner wird im Gegensatzzum Flying-Capacitor- und dem Dioden-Clamped-Umrichter derSchaltungsaufwand reduziert. Die Anzahl der Schalter mit anti-paralleler Diode berechnet sich nach [56] zu 2 ·(N−1). Für einen15-Level-Flying-Capacitor werden damit 28 Schalter und Diodenbenötigt. Die hier vorgestellte Variante benötigt einen Hochfre-quenztransformator und kommt dafür aber mit 12 Elementenaus, was den Schaltungsaufwand erheblich vereinfacht.

In Abbildung 2.18 und 2.19 wird das Blockschaltbild und dasOperationsprinzip des Umrichters dargestellt.

H− Brucke

u5Level(t)5-LevelNPC

u15Level(t)

u3Level(t)

6 : 1

UZ

Abbildung 2.18: Schaltplan des 15-Level-Umrichters

26



u(t)

t

u5Level(t)u3Level(t)u15Level(t)

UZ

6

UZ

UZ

t

t

Abbildung 2.19: Steuerverfahren des 15-Level-Um-richters

Eine detailliertere Darstellung des Schaltplans ist im Anhang Azu nden.Im oberen Teil des Schaltplans aus Abbildung 2.18 bendet sichder 5-Level-NPC und im unteren Teil der H-Brücken-Wechsel-richter. Der NPC kann mit einer Grundschwingungssteuerungbetrieben werden, während die Schaltfrequenz der Brücke umein Vielfaches gröÿer ist. In diesem Fall beträgt die Schaltfre-quenz der Brücke ca. 300 kHz bei einer Grundschwingung von25 kHz. Der Hochfrequenztransformator hat das Übersetzungs-verhältnis von 6/1 und transformiert damit die Ausgangsspan-nung der Brücke um diesen Faktor nach unten. Dadurch wird aufjede 5-Level-Stufe 1/6 der Zwischenkreisspannung durch die H-Brücke hinzu gefügt bzw. abgezogen. Der Umrichter ist für eineAusgangsleistung von ca. 5 kW ausgelegt worden. Da am idealenTransformator die Eingangs- und Ausgangsleistung gleich seinmüssen, wird der Strom in der Sekundärwicklung hoch trans-formiert. Die Schalter der H-Brücke müssen also bei voller Zwi-schenkreisspannung arbeiten. Allerdings ieÿt durch sie nur 1/6des Laststromes. Die simulierten Strom- und Spannungsverläufe

27



sind exemplarisch zum einen für einen Schalter des NPCs S1 undzum anderen für den Brückenschalter S9, wie in Abbildung 2.20skizziert.

(a) Spannungs- undStromverlauf vonSchalter S1

(b) Spannungs- undStromverlauf vonSchalter S9

Abbildung 2.20: Exemplarische Schalterbelastungder verschiedenen Umrichter

Dabei werden zwei Aspekte deutlich, einerseits die unterschied-lichen Taktfrequenzen der einzelnen Wechselrichter, andererseitsdie unterschiedliche Strom- und Spannungsbelastung. Bei demNPC teilt sich die Spannung auf, so dass nur die halbe Zwi-schenkreisspannung an den Schaltern anliegt. Dafür ieÿt derkomplette Laststrom durch die Schalter. Bei der H-Brücke hinge-gen wird die volle Zwischenkreisspannung wirksam, jedoch ieÿtnur 1/6 des Laststromes hindurch. Beides ermöglicht den Be-trieb bei dieser hohen Taktfrequenz. Abbildung 2.21 zeigt denVersuchsaufbau.

28



Abbildung 2.21: Versuchsaufbau des 15-Level-Um-richters

Die gemessenen Ausgangsspannungen der einzelnen Wechselrich-ter und die daraus resultierende Gesamtspannung sind in Ab-bildung 2.22a sichtbar. Die gemessene Überlagerung der Ein-zelspannung zur Gesamtspannung korrespondiert mit dem vor-her dargestellten Operationsprinzip. Die Spannung am Ausgangsowie der Ausgangsstrom sind in Abbildung 2.22b illustriert.Das Ausgangsspektrum wird in Abbildung 2.23 dargestellt. AlsVergleich dient das Spektrum eines H-Brücken-Wechselrichtersbei Blocktaktung mit Null-Level. Hier wird ersichtlich, dass derOberschwingungsgehalt bei dem 15-Level-Umrichter deutlich nied-riger ist als bei dem 3-Level-Umrichter.

29



0 10 20 30 40 50 60 70−500

0

500

t[µs]

U[V

]

15 Level5 Level3 Level

(a) Ausgangsspannun-gen der einzelnenWechselrichter so-wie deren Resul-tierende

(b) Ausgangsstromund Ausgangs-spannung des 15-Level-Umrichters

Abbildung 2.22: Gemessene Spannungen und Aus-gangsstrom des 15-Level-Umrichtersfür eine ohmsche Last

0 100 200 300 400 500−50

−40

−30

−20

−10

0

Frequenz [kHz]

U/U

Max

[dB

]

3−Level5−Level15−Level

Abbildung 2.23: Spektren der Ausgangssignale vonMultilevel-Umrichtern mit variablerStufenanzahl

30

2.4. Zusammenfassung der bisherigen Erkenntnisse

2.4 Zusammenfassung der bisherigen

Erkenntnisse

Im obigen Abschnitt wurden die Möglichkeiten zur Reduktionvon Oberschwingungen in leistungselektronischen Systemen er-läutert. Diese konnten in hardware- und steuerungsmodizieren-de Maÿnahmen unterteilt werden. Als Maÿ zur Beurteilung derspektralen Reinheit wurde der Klirrfaktor herangezogen.Es zeigt sich, dass bei der Nutzung moderner Trägerverfahren alsSteuerungsmethode die unerwünschten Harmonischen in höherenFrequenzbereichen liegen und somit eine anschlieÿende passiveFilterung erheblich erleichtert wird. Der Klirrfaktor der Aus-gangsspannung ist bei entsprechender Schaltzahl und entspre-chendem Modulationsindex gering. Dies hat allerdings nur dannGültigkeit, wenn die Schaltzahl, also das Verhältnis von Träger-zu Grundfrequenz groÿ ist [29]. Benden sich Träger- und Ba-sisband spektral zu nah beieinander, kommt es zur Überlappungund der Einsatz passiver Filter wird erheblich erschwert. Liegtdie zu erzielende Grundschwingung im Bereich von 10− 500 Hz,können mit modernen Leistungshalbleitern Schaltzahlen von 21und somit auch niedrige Klirrfaktoren leicht realisiert werden.In dieser Arbeit werden hochfrequente Ausgangsspannungen be-trachtet, deren Grundschwingungen im Bereich von 10 bis100 kHz liegen. Zusätzlich soll der Klirrfaktor so gering wie mög-lich sein. Bei einer Schaltzahl von 21 ergäbe dies eine PWM-Taktfrequenz von 2 MHz. Bei einer geforderten Ausgangsleistungvon beispielsweise 4 kW könnten die Verluste eines H-Brücken-Wechselrichters mit einer solchen Taktung kritisch werden. EineReduktion der Schaltzahl könnte durch den Einsatz zusätzlicherpassiver Filter kompensiert werden. Diese sind aber aufgrund derangestrebten Leistungsklasse voluminös und teuer.

Ein Multilevel-Umrichter erzeugt auch bei kleinerer Schaltzahlein Ausgangssignal mit geringerem Klirrfaktor. Die Stufenan-zahl des Wechselrichters bestimmt die Güte der Approximationdes Ausgangssignals an einen Sinus und somit auch den Klirr-faktor des Ausgangssignals. Im betreenden Abschnitt sind die

31



gängigsten Umrichtertopologien aufgezeigt worden.

Ein alternativer Multilevel-Wechselrichter zur Erzeugung einerhochfrequenten Ausgangsspannung mit geringem Klirrfaktor istvorgestellt und messtechnisch validiert worden.

Zusätzlich zur Reduzierung des Klirrfaktors durch die Erhöhungder Stufenanzahl existieren in der Literatur viele Beiträge zurEliminierung von einzelnen oder mehreren Oberschwingungen inMultilevel-Umrichtern mit PWM-Steuerung. (Siehe Ahmadi undWang [2] und Cheng und Zhong [14].Multilevel-Umrichter sind also eine Möglichkeit zur Reduktiondes Klirrfaktors in Umrichtersystemen. Nachteilig ist jedoch, dassder zu betreibende Schaltungs- und Regelaufwand gröÿer ist alsbei klassischen H-Brücken.

Soll der Klirrfaktor weiter reduziert werden, so müssen zusätz-liche passive, aktive oder hybride Filter integriert werden. Aufden Einsatz von passiven Filtern sollte, wie bereits erwähnt, we-gen der Kosten und des Volumens möglichst verzichtet werden.Aktive Systeme werden im Bereich von hohen Leistungen undniedrigen Frequenzen vermehrt eingesetzt. Sie beruhen auf derEinspeisung eines Kompensationssignals, welches sich mit denOberschwingungen in der Last überlagert und diese bei exakterRegelung auslöscht. Das Kompensationssignal wird dabei meistdurch einen PWM-Wechselrichter erzeugt.

Im weiteren Teil der Arbeit wird ein neues aktives Filter betrach-tet, welches auch bei hohen Frequenzen eingesetzt werden kann.Es verzichtet auf den Einsatz von PWM-Wechselrichtern underzeugt das Kompensationssignal direkt aus den unerwünschtenHarmonischen. Nachfolgend wird die Generierung des Kompen-sationssignals mittels eines Kompensationsverstärkers ausführ-lich erläutert.

32

2.5. Operationsprinzip des Kompensationsverstärkers

2.5 Operationsprinzip des

Kompensationsverstärkers

Zur Aufwandsreduzierung passiver Filter wird im Folgenden dasOperationsprinzip des Kompensationsverstärkers vorgestellt. Da-bei werden alle benötigten Komponenten und ihre Realisierungs-möglichkeiten aufgezeigt. Eine kombinierte Filterung mit passi-ven Filtern und einem Kompensationsverstärker (KV) ist in Ab-bildung 2.24 zu sehen.

uEin(t) uLast(t)Passives Filter

Einkoppel-netzwerk

Auskoppel-netzwerk

Kompensations-

verstarker

f0 3f0 5f0 7f0 f0 3f0 5f0 7f0 f0

3f0 5f0 7f03f0 5f0 7f0

iKomp(t)

Abbildung 2.24: Operationsprinzip des Kompensati-onsverstärkers

Die Spannungsquelle liefert eine Spannung uEin(t), bestehend ausder Grundschwingung f0 und Oberschwingungen. Um den Klirr-faktor der Ausgangsspannung uLast(t) niedrig zu halten, werdendie Oberschwingungen durch die passiven Filter gedämpft. Zu-sätzlich zu diesem Aufbau wird ein paralleler Zweig eingeführt.Dieser beinhaltet die Koppelnetzwerke und den Kompensations-verstärker. Das Ein- sowie das Auskoppelnetzwerk sind als Band-sperrlter mit der Eckfrequenz f0 ausgeführt und dienen der Un-terdrückung der Grundschwingung. Der Kompensationsverstär-ker stellt einen phasengedrehten Kompensationsstrom iKomp(t)bereit, der, überlagert mit dem Nutzsignal, zur Auslöschung der

33



höherfrequenten Anteile im Lastspektrum führt.

Die Hauptaufgabe des Kompensationsverstärkers ist die Phasen-drehung der Oberschwingungen um 180. Diese Phasendrehungkann analog oder digital realisiert werden. Bei der analogen Um-setzung kann eine Phasendrehung mittels invertierender Opera-tionsverstärker herbeigeführt werden. Der Vorteil des analogenHardwareaufbaus liegt in geringen Laufzeiten und niedrigen Kos-ten.Dem gegenüber stehen jedoch mehrere Nachteile. Aufgrund vonTemperaturabhängigkeiten, Bauteiltoleranzen und Alterungsef-fekten ist die Reproduzierbarkeit eines solchen analogen Messauf-baus schwierig. Des Weiteren droht aufgrund von Eigenschwin-gungen die Gefahr der Instabilität.

Die Alternative zur analogen Umsetzung ist eine Realisierungmittels digitaler Signalprozessoren (DSPs) oder Field Program-mable Gate Arrays (FPGAs). Durch den Einsatz zusätzlicherHardwareelemente und durch die digitale Verarbeitungszeit desFPGAs erfordern digitale Lösungen eine längere Laufzeit undeinen erhöhten Programmieraufwand als analoge Systeme. Deut-liche Vorteile bietet die digitale Umsetzung des Kompensations-verstärkers wegen hoher Reproduzierbarkeit, geringer Tempera-turabhängigkeit, hoher Flexibilität sowie leichterer Regelung desSystems. Beide Lösungsansätze sollen hier untersucht und gegen-über gestellt werden.

Um eine Abschätzung treen zu können, ob mit dem Kompensa-tionsverstärker eine passive Filterstufe eingespart werden kann,wird in Abbildung 2.25 die Übertragungsfunktionen eines passi-ven Bandpasslters mit verschiedenen Ordnungen N dargestellt.Alle Filter besitzen die gleiche Filtercharakteristik und die glei-che Eckfrequenz f0 = 25 kHz. Exemplarisch sind in der Abbil-dung 2.25 die Dämpfungswerte für die Frequenzen 3f0 = 75 kHz,5f0 = 125 kHz, 7f0 = 175 kHz markiert. Soll die 3f0 Frequenz-komponente um mindestens -54 dB bedämpft werden, so muss,wie aus Abbildung 2.25 zu entnehmen ist, ein passives Filterzweiter Ordnung eingesetzt werden.

34

2.5. Operationsprinzip des Kompensationsverstärkers

Abbildung 2.25: Vergleich Prelterordnungen

Alternativ kann ein Filter erster Ordnung in Kombination miteinem Kompensationsverstärker genutzt werden, aber nur unterder Bedingung, dass dieser zusätzlich zu den 20 dB des passi-ven Filters erster Ordnung die Frequenzkomponente um weitere34 dB bedämpft. 34 dB entsprechen der Dierenz der Dämpfungeines Filters erster Ordnung zu einem Filter zweiter Ordnung.Im betrachteten Frequenzbereich nimmt mit steigender Filter-ordnung die Dierenz der Dämpfungen zwischen den Kurvenab. Demzufolge sinken die Anforderungen an die zusätzlich zuerbringende Dämpfung des Kompensationsverstärkers mit stei-gender Filterordnung.

35

3 Analoge Realisierung des


In diesem Kapitel wird die Umsetzung des Kompensationsver-stärkers mit analogen Komponenten aufgezeigt. Zunächst werdendie benötigten Grundlagen zur Auslegung der Filter sowie Simu-lationen der Filter vorgestellt. Abschlieÿend wird der Aufbaudes analogen Kompensationsverstärkers präsentiert und mess-technisch validiert.

Bei einer analogen Realisierung werden Phasendrehung und Ver-stärkung der einzelnen Frequenzkomponenten von einem analo-gen aktiven Filter bereitgestellt. Somit ist für jede zu kompensie-rende spektrale Frequenzkomponente ein Filter zu entwerfen. Je-des analoge Filter besteht weiterhin aus zwei Teilltern. Für dieSelektion des korrekten Frequenzbandes wird ein aktiver Band-pass in Reihe zu einem Allpass geschaltet. Die Phasenverschie-bung ist durch die Laufzeitverzögerung des Allpasses einzustel-len. Für die Einstellbarkeit der Verstärkung existieren mehrereMöglichkeiten. Erstens kann die Verstärkung durch den Band-pass eingestellt werden, zweitens durch einen nachgeschaltetenAddierer.

Abbildung 3.1 zeigt eine Realisierung des Kompensationsverstär-kers mit aktiven Filtern. Blau kennzeichnet das Bandpasslter,gelb das Allpasslter zweiter Ordnung. Die zu kompensierendeOberschwingung wird durch einen aktiven Bandpass mit Mehr-fachkopplung selektiert. Die eigentliche Verstärkung und Phasen-drehung kann für eine Frequenzkomponente mit dem Allpassl-ter eingestellt werden. Die Dimensionierung der jeweiligen Filtererfolgt durch Anpassung der Widerstände und wird in den fol-

37

Kapitel 3. Analoge Realisierung des


Bandpass Allpass

Addierer

Auskoppel-netzwerk

Prefilter uLast(t)uEin(t)

Ri

Einkoppel-netzwerk

Abbildung 3.1: Aufbau eines aktiven All- und Band-passes für drei Stufen

genden Unterkapiteln erläutert.Sollen N Frequenzen minimiert werden, so erfolgt eine Parallel-schaltung von N Filterstufen. Diese sind vom Aufbau her gleich,unterscheiden sich jedoch in der Dimensionierung der Wider-stände und Kondensatoren. Die Ausgangssignale der Filterstufenwerden anschlieÿend auf einem Addierer zusammengeführt undzu einem Summensignal zusammengefasst. Dies hat den Vorteil,dass die einzelnen Stufen sich nicht gegenseitig beeinussen.Die Quelle liefert ein Mischsignal, bestehend aus Grundschwin-gung und Oberschwingungen. Da das analoge Filter nur die Ober-schwingungen beeinussen soll, müssen jeweils vor und hinterden analogen Komponenten Koppelnetzwerke installiert sein. Die-se dienen dem Schutz der Elektronik vor der hohen Energie derGrundschwingung und sind als passive Bandpasslter realisiert.

38

3.1. Auslegung eines aktiven Bandpasses mit

Mehrfachkopplung

In Verbindung mit dem passiven Filter sind Transformatoren zurgalvanischen Trennung des Systems vorgesehen. Als Last kannsowohl eine frequenzabhänigige Impedanz Z(f) als auch ein ohm-scher Verbraucher R vorgesehen werden.

In den folgenden Unterkapiteln wird kurz auf die Auslegung deraktiven Filter eingegangen und anschlieÿend eine Simulation undMessung der dimensionierten Filter durchgeführt.

3.1 Auslegung eines aktiven Bandpasses

mit Mehrfachkopplung

Im Weiteren wird eine Realisierung eines aktiven Bandpasses mitMehrfachkopplung vorgestellt. Im Allgemeinen werden Bandpass-lter höherer Ordnung N ≥ 4 mit kleinen Bandbreiten ∆wn < 1durch eine Reihenschaltung von Bandpässen niedrigerer Ord-nung realisiert. Dieses Verfahren bezeichnen Tietze und Schenk[67] auch als straggered tuning. Aktive Filter können in Struk-turen mit Einfach- oder Mehrfachkopplung unterteilt werden.In Filterstrukturen mit Mehrfachkopplung werden Eigenschwin-gungen nicht so stark angeregt und zeigen daher in der Regelauch bei nicht exakter Dimensionierung der Bauteile ein stabile-res Verhalten. Positiv ist auch die Einstellbarkeit der Resonanz-frequenz unabhängig von Polgüte und Bandbreite durch alleinigeVariation des Widerstandes R3. Abbildung 3.2 zeigt ein Band-pass vierter Ordnung mit Mehrfachkopplung.Aufgrund dieser Vorteile werden in dieser Arbeit aktive Filtermit Mehrfachkopplung verwendet. Die Ordnung des Filters er-gibt sich hierbei aus dem Abstand von Durchlass- zu Sperrbe-reich. Da jede Stufe zur Kompensation einer Oberschwingungausgelegt ist, würde eine unzureichende Unterdrückung der an-deren Oberschwingungen in dieser Stufe zur Einspeisung von un-erwünschten spektralen Komponenten in die Last führen. Darausresultiert eine Verschlechterung des Klirrfaktors. Die Ordnungdes Filters ist aus diesem Grund hinreichend groÿ zu wählen.

39



Hier wird ein Filter vierter Ordnung verwendet und in Abbil-dung 3.2 dargestellt.

uEin(t)uAus(t)

R1

R3

R2

R12

C2

R32

R22

C2

C1

C1

Abbildung 3.2: Aufbau eines aktiven Bandpasses 4-ter Ordnung mit Mehrfachkopplung

Jeweils ein Operationsverstärker mit Beschaltung stellt hierbeieinen Bandpass zweiter Ordnung dar. Für das Filterdesign sindResonanzfrequenz, Filtercharakteristik und Welligkeit frei wähl-bar. Aus Tabellenbüchern wie z.B. im Handbuch von Saal [55]sind daraus im Anschluss die Filterparameter ai und bi abzule-sen.

Die Übertragungsfunktion A(sn) eines Bandpasses vierter Ord-nung ist nach Tietze und Schenk [67] gegeben durch:

A(sn) =s2

nAm(∆wn)2/b1[1 + αsn

Qi+ (αsn)2

] [1 + 1

Qi( snα ) + ( snα )2

] . (3.1)

Die Gleichung beinhaltet die Verstärkung bei der Resonanzfre-quenz Am, die Polgüte Qi und die normierte Bandbreite desFilters ∆wn, die aus der Resonanzfrequenz fGr des Filters be-stimmt werden kann. Die Konstante α ergibt sich nach [67] zuGleichung (3.2):

α2 +

[α∆wna1

b1(1 + α2)

]2

+1

α2− 2− (∆wn)2

b1= 0 . (3.2)

Die Polgüte ist abhängig von den Filterparametern α,a1,b1 undder normierten Bandbreite. Je gröÿer die Güte ist, desto steiler

40

3.1. Auslegung eines aktiven Bandpasses mit

Mehrfachkopplung

verläuft der Übergang der Übertragungsfunktion vom Durchlass-zum Sperrbereich des Filters

Qi =(1 + α2)b1α∆wna1

. (3.3)

Das Filter vierter Ordnung wird im straggered tuning-Verfahrendurch zwei in Reihe angeordnete Bandpässe zweiter Ordnungrealisiert. Jedes dieser Filter wird beschrieben durch:

A(sn) =− R2R3

R2+R3C1snωGr

1 + 2R1R3

R1+R3C1snωGr + R1R2R3

R1+R3C2

1s2nω

2Gr

. (3.4)

Die Multiplikation beider Übertragungsfunktionen ergibt dannwieder Gleichung 3.1 Aus der gewünschten Verstärkung bei Re-sonanz Am, der Güte Q des Filters und mit der Wahl der Kon-densatoren C1 = C2 = 10 nF können die Widerstände mit Glei-chung (3.5) ermittelt werden.

R2 =Q

πfrC1

R1 =R2

−2Am

R3 =−AmR1

−2Q2 +Am

R22 =Q

πfr2C2

R12 =R22

−2Am

R32 =−AmR12

−2Q2 +Am(3.5)

Als beispielhafte Auslegung ist ein Bandpass vierter Ordnungmit der Resonanzfrequenz von fGr = 75 kHz dimensioniert wor-den. Die simulierte Übertragungsfunktion ist in Abbildung 3.3 zusehen. In blauer und grüner Farbe sind die beiden Bandpasslterzweiter Ordnung dargestellt. Die Addition beider Übertragungs-funktionen ergibt die Gesamtübertragungsfunktion in rot. Es ist

41



zu erkennen, dass die beiden Teillter leicht verstimmt sind. Die-se Verstimmung deniert die Bandbreite des Gesamtlters. DieResonanzfrequenz fGr der roten Kurve liegt bei 75 kHz und be-stätigt damit die Auslegung.

10 100 1.000

−100

−50

0

Am

plitu

de in

dB

BP1, N=2BP2, N=2 BP, N=4

10 100 1.000−500

0

500

Frequenz in kHz

Pha

se in

°

Abbildung 3.3: Simuliertes aktives Bandpasslter 4-ter Ordnung mit der Resonanzfre-quenz fGr = 75 kHz

42

3.2. Auslegung des aktiven Allpasslters

3.2 Auslegung des aktiven Allpasslters

Mit einem Allpass bietet sich die Möglichkeit, die Phase φ beikonstanter Verstärkung einzustellen. Für eine Phasendrehungum bis zu 180 ist nach Tietze und Schenk [67] ein Allpassl-ter erster Ordnung nötig. Abbildung 3.4 zeigt seinen Aufbau.

uEin(t) uAus(t)R0

R1 R1

C0

Abbildung 3.4: Allpass 1-ter Ordnung

Analog zur Bandpassauslegung wird bei der Allpassauslegung dieFiltercharakteristik frei gewählt. Aus der Filtercharakteristik er-gibt sich der Filterkoezient ai und gegebenenfalls bi. Die Grenz-frequenz fGr lässt sich unter Zuhilfenahme des Filterkoezientenund des Widerstandes bzw. Kondensators bestimmen [67].

fGr =ai

2π ·R0 · C0(3.6)

Die resultierende Phasenverschiebung bei einer gewünschtenKreisfrequenz ω ist somit abhängig vomWiderstand R0 und demKondensator C0 und lässt sich durch Gleichung (3.7) berechnen.Widerstand R1 ist frei wählbar und hat keinerlei Einuss auf diePhasenverschiebung [67]. Hier wird R1 zu 1 kΩ gewählt.

φ = −2 arctan(ωR0C0) (3.7)

43



3.3 Simulation des analogen


In der Simulation soll der Nachweis erbracht werden, dass dasLastspektrum und damit auch der Wert des Klirrfaktors durchden Einsatz des analogen Kompensationsverstärkers verbessertwerden kann. Der simulierte Aufbau entspricht dem Prinzip-schaltbild aus Abbildung 3.1. In Serie zur Last bendet sichdas passive Vorlter, auch Prelter genannt. Dieses ist als Se-rienschwingkreis erster Ordnung mit einer Resonanzfrequenz von25 kHz ausgelegt. Die Ordnung des Prelters bestimmt die Dämp-fung der unerwünschten Signalanteile in der Last. Wird die Ord-nung erhöht, so sind die Amplituden, die der aktive Filter kom-pensieren muss, kleiner und somit auch die aufzubringende Leis-tung des Kompensationsverstärkers. Abbildung 3.5 visualisiertdie Übertragungsfunktion des Prelters.

103

104

105

−40

−20

0

Am

plitu

de [d

B]

103

104

105

−100

0

100

Pha

se [°

]

Frequenz [Hz]

Abbildung 3.5: Übertragungsfunktion des Preltersfür die Simulation des aktiven Kom-pensationsverstärkers, fGr = 25 kHz1

1Bauteilwerte des Prelters L = 530µH, C = 75 nF und R = 3, 8 Ω

44

3.3. Simulation des analogen


Das Prelter bedämpft die ersten drei Harmonischen (f75kHz,f125kHz und f175kHz) mit jeweils ca. 22, 27 und 31 dB. Durch denEinsatz des analogen Filters sollen zusätzlich zur Prelterdämp-fung die ersten drei Harmonischen weiter bedämpft werden. Beieiner Anregung mit einem rechteckförmigen Spannungssignal derAmplitude uEin = 20 V sind diese drei Harmonischen die höchstenergetischsten. Alle weiteren Harmonischen werden nicht beein-usst.

Die Eingangsspannung wird direkt an der Quelle gemessen. Derenthaltene Grundschwingungsanteil (f0 = 25 kHz) wird durchdas eingangsseitige Koppelnetzwerk mit 80 dB bedämpft. Fer-ner weisen Oberschwingungen mit einer Frequenz gröÿer 75 kHzvernachlässigbar kleine Phasenverschiebungen durch das Koppel-netzwerk auf. Die Koppelnetzwerke sind als 25 kHz-Bandsperrenzweiter bzw. erster Ordnung mit galvanischer Trennung ausge-legt. Ist die Filterwirkung der Koppelnetzwerke nicht ausrei-chend, so besteht die Möglichkeit, das Übersetzungsverhältnisanzupassen. Durch diese Maÿnahme werden aber auch die zumessenden Oberschwingungen beeinusst. In der Simulation wieauch in der späteren Messung ist ein Übersetzungsverhältnis von1 : 1 gewählt worden. Die simulierte Übertragungsfunktion miteinem idealen Transformator ist in Abbildung 3.6 illustriert.

45



−40

−20

0A

mpl

itude

[dB

]

1kHz 10kHz 100kHz 1MHz−200

0

200

Pha

se [°

]

Frequenz

Abbildung 3.6: Simulierte Übertragungsfunktiondes Auskoppelnetzwerkes

Das eingangsseitige Koppelnetzwerk, auch Auskoppelnetzwerkgenannt, ist auf einen Ausgangswiderstand R = 10 kΩ ausgelegtund entspricht damit dem Eingangswiderstand des A/D Wand-lers vom Kompensationsverstärker. Abbildung 3.7 zeigt den Auf-bau des Auskoppelnetzwerkes.

TAK

uEin(t)L1

C3

C2

L2

uAus(t)

C1

Abbildung 3.7: Auskoppelnetzwerk des analogenKompensationsverstärkers zweiterOrdnung

46



Für das Einkoppelnetzwerk ist der Aufbau identisch, allerdingssind die Elemente L2 und C2 nicht bestückt. Der Kondensator C3

dient zur Unterdrückung von Gleichspannungen, die den Trans-formator in die Sättigung treiben könnten. Des Weiteren ist esbeispielhaft auf R = 30 Ω dimensioniert worden, dies entsprichtdem Wert des ohmschen Lastwiderstandes RLast.Abbildung 3.8 visualisiert die Ergebnisse der LTspice-Simulationder gesamten Kette. Dazu wird die Übertragungsfunktion vonQuelle zu Lastwiderstand dargestellt. Um eine Vergleichbarkeitder Filterwirkungen sichtbar zu machen, werden die Übertra-gungsfunktionen eines Prelters erster Ordnung dem Preltererster Ordnung mit Kompensationsverstärker und einem Prel-ter zweiter Ordnung ohne Kompensationsverstärker gegenübergestellt. Abbildung 3.8 ist zu entnehmen, dass die Kombination

1 10 100 1.000−150

−100

−50

0

Frequenz in kHz

Am

plitu

de in

dB

1 10 100 1.000−500

0

500

Frequenz in kHz

Pha

se in

°

passives Filter N=2 mitanalogem KVpassives Filter N=2passives Filter N=3

Abbildung 3.8: Simulierte Übertragungsfunktiondes analogen Kompensationsverstär-kers mit Variation der Prelterord-nung

aus passivem Filter erster Ordnung und analogem Kompensati-onsverstärker annähernd die gleiche Dämpfung der Oberschwin-gungen bereitstellen kann wie ein passives Filter zweiter Ord-

47



nung. Die ausgewählten Harmonischen werden durch den Einsatzdes aktiven Systems mit bis zu 23 dB pro Frequenzkomponen-te zusätzlich zum Prelter gedämpft. Mit weiteren Filterstufenkönnen weitere Frequenzen selektiv unterdrückt werden.Stellt das erzeugte Kompensationssignal nicht eine um 180 ver-schobene exakte Kopie der Oberschwingungen dar, bleibt einRestfehler vorhanden. Der limitierende Faktor des aktiven Fil-ters ist der genaue Phasen- und Amplitudenabgleich. Die Phasenund Amplituden des Kompensationssignals werden aufgrund vonBauteiltoleranzen nicht exakt nachgebildet.

Wird der Phasenabgleich optimiert, werden zusätzliche Dämp-fungen von bis zu 40 dB realisiert.In Abbildung 3.9 ist ein Simulationsergebnis des analogen Kom-pensationsverstärkers mit verbessertem Phasenabgleich zu se-hen, das mit idealen und realen Modellen von Operationsver-stärkern erzeugt worden ist.

Frequenz in kHz

1 10 100 1.000

Am

plitu

de in

dB

-150

-100

-50

0

passives Filter 2.Ordnung

passiv 1. Ordnung + KV mit idealen OP Modell

passiv 1. Ordnung + KV mit realem OP Modell

Frequenz in kHz1 10 100 1.000

Pha

se in

°

-800

-400

0

passives Filter N = 2passives Filter N=1 + KV mit idealem OPpassives Filter N=1 + KV mit realem OP

Abbildung 3.9: Simulierte Übertragungsfunktiondes analogen Kompensationsverstär-kers mit optimiertem Phasenabgleich

48



Zur Veranschaulichung des Einusses von Bauteiltoleranzen aufdas Ausgangsspektrum des Kompensationsverstärkers ist eineMonte-Carlo-Analyse der Widerstände und der Kondensatorendurchgeführt worden. Dabei sind die Elemente mit einer Tole-ranz von bis zu ±5% beaufschlagt worden. Die Auswirkung die-ser Streuung der Bauteilgröÿen auf das Spektrum ist in Abbil-dung 3.10 zu sehen. Sie belegt, dass bereits eine geringe Streu-

75 100 125 150 175 200−100

−80

−60

−40

−20

0

Am

plitu

de in

dB

Frequenz in kHz

−5% +5%

Abbildung 3.10: Auswirkung von Bauteilvariationen(C = ±5%) auf die Übertragungs-funktion des analogen Filters

ung der Bauteilwerte um ein bis zwei Prozent eine Reduktionder Filterdämpfung von bis zu 20 dB zur Folge hat. Im späte-ren Hardwareaufbau werden deshalb Bauteile mit geringen Bau-teiltoleranzen eingesetzt. Aber selbst bei der Verwendung vonPolyphenylensuld-Kondensatoren, die eine sehr niedrige Tole-ranz und eine geringe Frequenzabhängigkeit aufweisen, müssendie simulierten Bauteilwerte im späteren Hardwareaufbau durchPotentiometer oder programmierbare Widerstände angepasst wer-den. Mit diesen ist es dann möglich, die auftretenden Abweichun-gen zu kompensieren.

49



3.4 Betrieb und Messungen des

analogen Kompensationsverstärkers

Für die Validierung der Simulation werden im folgenden Ab-schnitt der Hardwareaufbau des analogen Kompensationsverstär-kers sowie Messergebnisse vorgestellt.Abbildung 3.11 zeigt die gefertigten Platinen für die aktiven Fil-ter. Auf einer Platine benden sich sowohl Band- als auch All-passlter für eine Frequenzstufe. Für jede zu kompensierendeOberschwingung wird daher eine solche Platine benötigt. DerAddierer bendet sich auf der Grundplatine. Auf diese werdendann die Filterplatinen über Stiftleisten aufgesteckt und könnenso einfach kaskadiert werden. Der Gesamtaufbau ist in Abbil-dung 3.11b zu sehen.

(a) Platine mit akti-vem Filter

(b) Beispielhafter Auf-bau der analogenFilter mit drei Fre-quenzstufen

Abbildung 3.11: Steckaufbau des analogen Kompen-sationsverstärkers

In blauer Farbe sind die Potentiometer auf den Platinen zu erken-nen, die zur Feinjustierung der Phase dienen. Die SMA-Buchsendienen als Verbindungskonnektoren zu den Koppelnetzwerken.

50

3.4. Betrieb und Messungen des analogen


Die Platinen werden mit einer Versorgungsspannung von ±12 Vbetrieben. Als Operationsverstärker wird der THS 4012 von Te-xas Instruments [65] eingesetzt.Die Abbildung 3.12 zeigt den Messaufbau, der zum Funktions-nachweis des anlogen Kompensationsverstärkers herangezogenwird und alle Komponenten aus Abbildung 3.1 beinhaltet. Als

Abbildung 3.12: Messaufbau analoger Kompensati-onsverstärker

Eingangssignal wird über einen Funktionsgenerator mit Verstär-ker eine 25 kHz-Rechteckspannung mit einer Amplitude von 20 Veingeprägt. Die Eingangsspannung besteht somit aus der Grund-schwingung und ungeradzahligen Harmonischen. Der Betrag derHarmonischen verläuft dabei nach Gleichung (2.4) mit einem1i -Verlauf.Die Ein- und Ausgangsspannung im Zeitbereich wird in Abbil-dung 3.13 veranschaulicht. Die Eingangsspannung ist kein idea-les Rechteck, weil sie leicht verzerrt ist. Für die Beurteilung derFunktion ist dies aber nicht von Bedeutung. Die Ausgangsspan-nung wird einerseits durch das Prelter, andererseits durch denKompensationslter geltert. Um den Einuss des Kompensati-onsverstärkers (KV) auf die Lastspannung deutlicher zu machen,ist in Abbildung 3.14 das Lastspektrum im Frequenzbereich mitund ohne aktive Kompensation dargestellt. Blau stellt dabei dasSpektrum des Eingangssignals dar, schwarz das Lastspektrum

51



0 50 100 150 200−30

−20

−10

0

10

20

30

Zeit [µs]

Spa

nnun

g [V

]

UEin

UAus

Abbildung 3.13: Gemessene Ein- und Ausgangsspan-nung des analogen Systems

bei deaktiviertem Filter und rot visualisiert das Lastspektrumbei aktiviertem Kompensationsverstärker und passivem Filter(als Hybrid bezeichnet).

50 100 150 200 250 300

0

-20

-40

-60

-80

-100

-120

Frequenz in kHz

U/U

MaxindB passives FilterHybrides FilterRechteckuEin

Abbildung 3.14: Spektrum der Ein- und Ausgangs-spannung mit und ohne analogemKompensationsverstärker

52

3.4. Betrieb und Messungen des analogen


Aus der Abbildung geht hervor, dass die dritte (f = 75 kHz),fünfte (f = 125 kHz) und siebte (f = 175 kHz) Oberschwingungeine zusätzliche Dämpfung durch den Einsatz des Kompensati-onsverstärkers erfahren. Die fünfte und siebte Oberschwingungwerden zusätzlich um ca. 15 dB, die dritte um ca. 30 dB be-dämpft. Der Rauschpegel liegt bei den Messungen bei ca. -90 dB.

53



3.5 Ergebnisdiskussion

In Kapitel 3 wurde die Funktionsweise eines analogen Kompensa-tionsverstärkers vorgestellt. Phasendrehung sowie Variation derAmplituden wurden durch analoge, aktive Filter bereitgestellt.Die Simulation zeigt, dass selektiv Harmonische im Lastspek-trum durch den Einsatz des Kompensationsverstärkers zusätz-lich zum passiven Prelter minimiert werden können. EinzelneSchwingungen können dabei um mehr als 40 dB bedämpft wer-den.Allerdings zeigt sich der Phasenabgleich aufgrund von Toleran-zen, thermischen Drifts oder nicht exakter Dimensionierung sehrempndlich gegenüber Bauteilwertschwankungen. Eine Abwei-chung von ±5% kann schon das Dämpfungsverhalten stark be-einussen. Im Messaufbau tritt dieser Eekt auf, obwohl Bau-teile mit niedriger Toleranz eingesetzt wurden. Die gemessenemaximale Dämpfung der Oberschwingungen liegt hier unter dersimulierten und beträgt ca. 30 dB.Für jede zu beeinussende Frequenzkomponente muss ein akti-ves Filter, bestehend aus einem Allpass und einem Bandpass,eingesetzt werden. Somit ist das System zwar modular, aber derHardwareaufwand steigt proportional zu den zu kompensieren-den Frequenzen. Auÿerdem ist das System nur für stationäreZustände ausgelegt, Einschwingvorgänge oder Störungen in an-deren Frequenzbereichen können nicht detektiert werden.

Wegen dieser Mängel des analogen Kompensationsverstärkerswird nun anschlieÿend die digitale Realisierung betrachtet wer-den. Diese bietet mehrere Vorteile gegenüber der analogen Rea-lisierung. Erstens ist der Hardwarebedarf nicht abhängig von derAnzahl der zu kompensierenden Frequenzen und zweitens ist dasSystem invariant gegen Bauteiltoleranzen. Im Gegensatz dazumüssen Anpassungen an der Hardware vollzogen werden sowiedie Programmierung der Software erfolgen.

54

4 Digitale Realisierung des


Bei der digitalen Realisierung des Kompensationsverstärkers wer-den die Phasenverschiebung und die Signalverstärkung durch di-gitale Bausteine bereitgestellt. Eine Phasenverschiebung kanndurch Zeitverzögerungen des Ausgangssignals erreicht werden.Eine digitale Verstärkung ist gleichbedeutend mit einer Multi-plikation des Signals mit einem Skalar. Für ein Signal, welchesnur eine Frequenzkomponente beinhaltet, ist die Implementie-rung einer digitalen Zeitverzögerung oder einer Multiplikationrudimentär und leicht auf FPGAs, Signalprozessoren oder Mi-krocontrollern (µC) umzusetzen.

Für den Fall, dass das Signal eine Vielzahl von Frequenzkom-ponenten beinhaltet, ist es zwingend erforderlich, jede spektraleKomponente separat mit einer Verstärkung bzw. Zeitverzöge-rung zu beaufschlagen. Die Frequenzselektion kann digital durchFilter oder durch eine komplette Fourier-Transformation des Sig-nals erzielt werden. Zusätzlich zum Programmieraufwand ist pe-riphere Signalverarbeitung in Form von Konvertern (A/D-Wand-ler und D/A-Wandler) sowie analoger Filter zur Rekonstruktionbzw. Bandbegrenzung erforderlich.

Zielsetzung des Kapitels ist es, den Nachweis zu erbringen, dasseine digitale Realisierung des Kompensationsverstärkers mög-lich ist. Dabei werden die technischen Herausforderungen disku-tiert, die sich bei einer Hardwareumsetzung ergeben. Anschlie-ÿend werden für jede Realisierungsart Simulations- und Messer-gebnisse vorgestellt.

55

Kapitel 4. Digitale Realisierung des


4.1 Grundlagen digitaler Filter

Digitale Signalverarbeitung und Übertragungsverfahren werdenin vielen Applikationen eingesetzt. Egal ob in Mobiltelefonen,HiFi-Systemen oder Digitalkameras, überall werden digitale Sig-nale verarbeitet. Weitere Anwendungsbeispiele existieren in derMesswerterfassung und -verarbeitung, Regelungstechnik oder Me-dizintechnik. Vorgänge der Signalglättung, Vorhersage, Dieren-zierung und Integration, Filtern von Rauschen und die Trennungvon Signalen sind Anwendungsbeispiele von digitalen Filtern. DieGrundlagen der Systemtheorie und der digitalen Signalverarbei-tung sind gut dokumentiert und können in Standardwerken wiez.B. Hess [27] oder Kammeyer [31] nachgeschlagen werden.

Zeit- und wertkontinuierliche Vorgänge, wie sie in der Naturtypischerweise auftreten, werden analytisch durch Dierential-gleichungen beschrieben. Berechnungen, die in digitalen Syste-men wie Signalprozessoren etc. vorgenommen werden, arbeitenjedoch zeitdiskret. Das zeitkontinuierliche Signal x(t) liegt alsonur zu diskreten Zeitpunkten x(nT ) an. Ein Signal, welches ausder Abtastung eines kontinuierlichen Signals hervorgegangen ist,bezeichnet man als Abtastsignal. Anstelle von linearen Dieren-tialgleichungen werden für die Beschreibung von zeitdiskretenSystemen wie zum Beispiel digitalen Filtern lineare Dierenzen-gleichungen mit konstanten Koezienten verwendet. Diese Glei-chungen lassen sich nach Azizi [9] im Allgemeinen in zwei Klassenaufteilen:

Die erste Klasse umfasst die nicht rekursiven Dierenzenglei-chungen.Dort wird der Ausgangswert y(n) ausschlieÿlich aus den Ein-gangswerten x(n) gebildet. Filter mit Impulsantworten, die nacheiner endlich langen Zeitspanne zu null werden und mit einer sol-chen Gleichung beschrieben werden können, nennt man FIR-Fil-ter1. Die Dierenzengleichung einer solchen Struktur wird durch

1Finite Impulse Response

56

4.1. Grundlagen digitaler Filter

Gleichung (4.1) beschrieben

y(n) =

N−1∑k=0

bk · x(n− k) . (4.1)

Die Grundstruktur, mit der eine nicht rekursive Dierenzenglei-chung umgesetzt werden kann, ist in Abbildung 4.1 dargestellt.Diese Form wird auch als Direktstruktur bezeichnet und bein-haltet ausschlieÿlich transversale Signalpfade. Ein solches Fil-ter besteht aus Speicherelementen T , Addierern und Multiplizie-rern. All diese Elemente können auf digitalen Signalprozessoren,FPGAs oder Mikrocontrollern µC leicht realisiert werden.

T T

b1 b2

T

b0 bN−1

x(n)

y(n)

Abbildung 4.1: Direktstruktur eines FIR-Filters

Die zweite Klasse umfasst die Dierenzengleichungen in rekursi-ver Form (siehe Gleichung (4.2)).Die Bildung der Ausgangswerte erfolgt dort aus Eingangswertensowie aus früheren Ausgangswerten y(n − k). Filter dieser Artnennt man IIR-Filter2. Charakteristisch für diese Filter ist dieunendlich lang andauernde Impulsantwort

y(n) =

N−1∑k=0

bk · x(n− k) +M∑k=1

ak · y(n− k) . (4.2)

Eine Realisierungsform des IIR-Filters ist analog zum FIR-Fil-ter in Abbildung 4.2 aufgezeigt. Die Impulsantwort charakteri-

2Innite Impulse Response

57



T

T

T

x(n)

b0

b1

b2

bN−1

T

T

T

y(n)

a1

a2

aM

Abbildung 4.2: Direktstruktur eines IIR-Filters

siert ein System und ist für den nicht rekursiven Fall in Glei-chung (4.3) dargestellt. δ(n) beschreibt den Dirac-Impuls, dernur zu einem Zeitpunkt den Wert eins annimmt und ansonstennull ist. Die analytische Denition eines Dirac-Impulses ist auchin Gleichung (4.3) dargestellt und lautet:

h(n) =

N−1∑k=0

bk · δ(n− k) mit δ(n) =

1 : fur n = 00 : sonst

,

(4.3)

⇒ h(n) =

bk : fur 0 ≤ k < N0 : sonst

. (4.4)

Wird ein FIR-Filter mit einem Dirac-Impuls beaufschlagt, so be-steht seine Impulsantwort aus den Filterkoezienten bk. Die zeit-kontinuierliche Fourier-Transformierte der Impulsantwort nenntman ÜbertragungsfunktionH(f). Die zeitdiskrete Fourier-Trans-formierte wird mitH(z) bezeichnet. Die mathematischen Zusam-menhänge werden in Gleichung (4.5) beschrieben. Durch die An-regung eines unbekannten FIR-Systems mit einem Dirac-Impuls,

58


ist es also möglich, dessen Impulsantwort zu erhalten.

h(t) c s H(f)

⇒ H(f) =

∞∑k=0

h(k) · e−j2π ffak

mit z = ej2π ffa ⇒ H(z) =

∞∑k=0

h(k) · z−k (4.5)

Der Parameter fa ist die Abtastfrequenz des Systems. Ein wich-tiger Aspekt für die Entscheidung, ob ein Filter mit einer IIR-Struktur oder mit einer FIR-Struktur realisiert werden kann, istdie Stabilität. Diese kann im Zeitbereich durch die Beschränkt-heit der Impulsantwort ausgedrückt werden. Ein System ist sta-bil wenn die Impulsantwort sich im Laufe der Zeit asymptotischdem Wert null annährt. Nicht rekursive Systeme weisen nachGleichung (4.6) per se eine absolute Stabilität auf. RekursiveSysteme können aufgrund ihrer Rückführung des Ausgangssi-gnals instabil werden. Deswegen müssen rekursive Systeme imEinzelfall immer auf Stabilität geprüft werden.

∞∑−∞|h(n)| =

N−1∑k=0

bk <∞ (4.6)

Ein weiterer Entscheidungsparameter für die Realisierung der di-gitalen Filter ist der Entwurfsaufwand. Heutzutage gibt es vielerechnergestützte Verfahren, mit denen dem Entwickler viel Ar-beit abgenommen wird [10], [68].Für analoge Filter existiert eine Vielzahl an Tabellenbüchern,anhand derer aktive und passive Filter schnell ausgelegt werdenkönnen. Man ist versucht, diese wohl bekannten Techniken auchauf den Entwurf digitaler Filter zu übertragen [34]. Leider istdies nicht für alle digitalen Filtertypen möglich. Für IIR-Filterkann eine Übertragung der analogen Entwurfsverfahren auf dasdigitale Filter angewendet werden. Im Gegensatz dazu ist diesfür FIR-Filter nicht der Fall, weil die Übertragungsfunktion auf-grund der fehlenden Koezienten ak keine Polstellen besitzt [31].

59



Als nächstes werden die Entwurfsverfahren für digitale FIR- undIIR-Filter erläutert.

4.1.1 IIR-Filtersynthese

Beim Design von IIR-Filtern kommen geschlossene Entwurfsme-thoden zum Einsatz. Das impliziert das Vorhandensein von ge-schlossenen analytischen Lösungen für den gesamten Entwurf.Die Entwurfsrichtlinien für IIR-Filter können aus dem Entwurffür kontinuierliche Systeme abgeleitet werden. Diese Verfahrensind erprobt und es existieren zahlreiche Tabellenbücher zur Aus-legung von aktiven und passiven Filtern im Zeitbereich. Das Vor-gehen für kontinuierliche Filter und die Abwandlung für IIR-Filter wird im Folgenden detaillierter dargestellt und ist in Ab-bildung 4.3 aufgezeigt.

Festlegung derFiltertopologie undFilterparameter

Vorverzerrung derFrequenzachse

AnalogerFilterentwurfanhand derFilterparameter

Trans-formations ⇒ z

Ablesen derFilterkoef-fizienten

Abbildung 4.3: Entwicklungsschema für IIR-Filter

Als erstes wird die Filterart entsprechend der Anforderung anden Frequenzgang festgelegt: Tiefpass, Hochpass, Bandpass, usw..Nach der Wahl des Filtertyps werden die Filterparameter be-stimmt. Diesen im Frequenzbereich denierten Parametern ge-hören Kreisgrenzfrequenz ωD, Kreissperrfrequenz ωS, Sperrband-rippel δS und Filtercharakteristik an. Die charakteristischen Fil-terparameter sind anhand eines Toleranzschemas deniert undbeispielhaft in der Abbildung 2.9 aus Kapitel 2 visualisiert.

60


Im analogen Fall wird aus den Filterparametern direkt der ana-loge Filterentwurf vorgenommen. Dieser liefert, hergeleitet ausden Anforderungen, die Ordnung des Filters sowie die dazuge-hörige Übertragungsfunktion H(s) des Filterprototyps.Im Falle einer Realisierung mit konzentrierten Elementen R, Lund C können aus der Übertragungsfunktion direkt die eigentli-chen normierten Elemente des Tiefpasses extrahiert werden. Sollein Band- oder Hochpass realisiert werden, so ist eine Band-bzw. Hochpasssynthese durchzuführen. Nach einer anschlieÿen-den Entnormierung der Elemente ist der Filterentwurf abge-schlossen.

Die Realisierung digitaler Filter folgt der oben angegebenen Struk-tur (siehe Abbildung 4.3). Für ein digitales Filter wird die Über-tragungsfunktion H(f) in eine diskrete ÜbertragungsfunktionH(z) überführt. Dies geschieht stets durch eine Transformation.Die gängigsten Transformationen lauten [31]:

1. Bilineare Transformation

2. Matched-Z-Transformation

3. Impulsvariante Transformation

4. Frequenztransformation

Am häugsten wird die bilineare Transformation eingesetzt. Die-se ist eine nicht lineare Abbildungsvorschrift, die den kontinuier-lichen s-Bereich in den diskreten z-Bereich abbildet. Die mathe-matische Beziehung, auch als Tustin-Formel bekannt, beschreibtGleichung (4.7):

s =2

T· z − 1

z + 1. (4.7)

Da hierbei eine Verzerrung der Frequenzen auftritt, muss dieserentgegenwirkt werden, indem die Frequenzen des kontinuierli-chen Systems entgegengesetzt vorverzerrt werden. Die Transfor-mation der vorverzerrten kontinuierlichen Übertragungsfunktionliefert dann die exakte diskrete Übertragungsfunktion.

61



Die Vorverzerrung der Frequenzachse wird nach Gleichung (4.8)durchgeführt.

ωD =2

T· tan(

Ω

2) (4.8)

Ω bezeichnet dabei die normierte Kreisfrequenz und wird be-zeichnet mit:

Ω =2π · ffa

. (4.9)

In Abbildung 4.4 wird die Verzerrung verdeutlicht. Auf die al-

Ω

|H(ejΩ)|

ΩD ΩS

δD

δS

ω

ωD

ωS

δ D

δ S

ΩΩD ΩS

ω

|H(jω

)|

Abbildung 4.4: Verzerrung der Frequenzachse aus[78]

ternativen Transformationsvorschriften, wie z.B. die oben ge-nannten Matched-Z-Transformation oder Impulsvariante-Trans-formation, wird im Folgenden nicht weiter eingegangen. Die Fil-terauslegung nach diesen Vorschriften ist in zahlreichen Lehrbü-chern wie z.B. in U. Zölzer [78] dokumentiert.

62


4.1.2 FIR-Filtersynthese

Der Entwurf digitaler FIR-Filter verläuft komplementär zur Ent-wicklung von IIR-Filtern ab. Während man bei IIR-Filtern ausden Forderungen wie Sperrbandrippel oder Durchlassripple δDeinen analogen Filterentwurf zur Gewinnung der Übertragungs-funktion nutzen kann, ist dies bei FIR-Filtern nicht möglich, weildie Koezienten ak fehlen. Die FIR-Syntheseverfahren basierenzumeist entweder auf der rechnergestützten Lösung eines Opti-mierungsproblems oder auf der Approximation einer vorgegebe-nen Wunschübertragungsfunktion mittels einer Fensterfunktion.Die gängigsten FIR-Synthesevorschriften lauten [31]:

1. Entwurf mit Fensterfunktion

2. Entwurf mittels Frequenzabtastung

3. Entwurf mit gleichmäÿiger Approximation

4. Synthese durch Frequenztransformationen

Für die Entwurfsverfahren, die auf Approximation basieren, wirdzu Beginn eine Wunschübertragungsfunktion aufgestellt, die ausdem Toleranzband aus Abbildung 2.9 gewonnen werden kann.Es existieren keine geschlossenen Lösungen für das Approxima-tionsproblem im Falle von FIR-Filtern. Wird jedoch eine Koe-zientenanzahl N vorgegeben, kann eine optimale Lösung erreichtwerden. Je gröÿer die Ordnung, desto gröÿer die Anzahl an einge-setzten Addierern, Speichern und Multiplizierern. Hier muss eineAbwägung von Aufwand zu Ertrag stattnden. Zur Berechnungdes gewünschten Frequenzganges kann z.B. der Parks-McClellan-Algorithmus eingesetzt werden [38]. Diese Methode ist auch un-ter dem Namen Remez exchange bekannt [53].

Im Folgenden werden zwei weitere Verfahren vorgestellt. Zumeinen der Entwurf mittels einer Fensterfunktion und zum an-deren durch die Frequenzabtastung, auch Frequency Samplinggenannt. Beide Realisierungsarten werden häug in der Praxiseingesetzt [31]. Fensterfunktionen werden meist verwendet, um

63



Standardlter zu realisieren. Darunter fallen Filtertopologien wieTief-, Hoch- oder Bandpass. Willkürliche Übertragungsfunktio-nen können hingegen besser mit der Frequenzabtastung nachge-bildet werden.

4.1.2.1 Fenstermethode

Die Fenstermethode stellt für den Entwurf eines FIR-Filters einquasi geschlossenes Entwurfsverfahren dar. Das Verfahren istleicht in der Handhabung und bietet gute Resultate im Vergleichzum Designaufwand. Des Weiteren wird es vorwiegend einge-setzt, um Standardlter zu dimensionieren.

FIR-Filter besitzen eine begrenzte Impulsantwort. Der Amplitu-dengang eines digitalen Systems weist aber grundsätzlich einenperiodischen Verlauf mit der normierten Kreisfrequenz Ω = 2π·f

faauf. Unter Zugrundelegung einer linearen Phase ist es möglich,die Übertragungsfunktion in einer Fourier-Reihe mit unendlichvielen Gliedern darzustellen. Bei Verwendung einer endlichenAnzahl an Koezienten wird die Funktion auf Kosten eines Ap-proximationsfehlers begrenzt. Für diese Begrenzung wird eineFensterfunktion eingesetzt. Die Wahl der Fensterfunktion beein-usst die Qualität der Approximation.

Anhand eines Beispieltiefpasses wird die Fenstermethode demons-triert.Zu Beginn der Tiefpasssynthese wird ein idealer Tiefpassproto-typ und dessen ideale Übertragungsfunktion genutzt. Im Ge-gensatz zur Toleranzbanddarstellung aus Abbildung 2.9 wirddie Übertragungsfunktion nur durch die Eckkreisfrequenz ΩG

charakterisiert. Die Dämpfung des Sperrbandes wird als unend-lich und die Dämpfung des Durchlassbandes als null angenom-men. Der vereinfachte Verlauf stellt ein Rechteck dar und wirdin Abbildung 4.5a präsentiert. Die Impulsantwort hIdeal(n) istdie inverse Fourier-Transformierte der rechteckförmigen Übertra-gungsfunktion und wird in Abbildung 4.5b visualisiert. Der Ver-lauf stellt einen sin(x)

x Verlauf dar, auch Si-Funktion genannt. Die

64


ω

|H(jω)|

ωG

0−ωG

1

(a) Fourier-Transfor-mierte der Si-Funktion

−40 −20 0 20 40−0.5

0

0.5

1

Zeit [µs]

Spa

nnun

g [V

]

(b) Si-Funktion nor-miert auf ΩG

π

Abbildung 4.5: Zeit- und Frequenzverlauf eines idea-len Tiefpasses

analytische Beschreibung der Si-Funktion ist in Gleichung (4.10)gegeben und lautet:

hIdeal(n) =ΩG

π· sin(nΩG)

nΩG=

ΩG

π· si(nΩG) . (4.10)

Aus der Abbildung geht deutlich hervor, dass die Schwingungenmit steigender Zeit kleiner, aber nicht null werden. Für die zeit-liche Begrenzung des Signals wird daher ein Fenster verwendet.Das einfachste Fenster ist eine symmetrische Rechteckfunktion,wie sie in Abbildung 4.5a dargestellt ist. Das bedeutet, dass dieFensterfunktion den Wert eins für |n| ≤ (N − 1)/2 besitzt undnull bei allen anderen Werten, wobei N die Filterordnung ist.Die Fensterfolge hFR(n) ist in Gleichung (4.11) dargestellt.

hFR(n) =

1 fur |n| ≤ (N − 1)/20 fur |n| > (N − 1)/2

(4.11)

Für die Anwendungen in der Praxis ist das Rechteckfenster je-doch aufgrund der scharfen Ausblendung der Koezienten völligungeeignet. Zudem wurde bis hierhin noch keinerlei Aussage überdie Dämpfung im Sperrbereich getätigt. Diese ergibt sich durchdie Wahl des Fensters. In der folgenden Tabelle 4.1 sind ver-schiedene Fensterfunktionen und deren Dämpfung bei der ersten

65



Nebenkeule aufgeführt. Die dazugehörigen Fensterkoezientensind bei Steve Winder [72] zu nden. Die Impulsantwort des na-

Tabelle 4.1: Nebenkeulendämpfung in Abhängigkeitvon der Fensterfunktion

Fensterfunktion Nebenkeulendämpfung

in dB

Rechteck -13,21Dreieck -27van Hann -35Hamming -43Blackman -513. OrdnungBlackman Harris

-61

4. OrdnungBlackman Harris

-74

len Filters hD(n) ergibt sich dann aus der Multiplikation beiderImpulsantworten zu:

hD(n) = hIdeal(n) · hFR(n)

=ΩG

π· si(nΩG) furn ≥ 0 . (4.12)

Die Filterkoezienten bk, die das FIR-Filter beschreiben, könnennach Gleichung (4.4) direkt aus der abgetasteten Impulsantwortentnommen werden.

Mit dem Faltungstheorem f1(n) · f2(n) c s 12πF1(ejω)⊗F2(ejω)

berechnet sich der Amplitudenfrequenzgang zu:

HD(s) =1

2πrect

(Ω

2Ωg

)⊗ si(Ω) . (4.13)

4.1.2.2 Frequenz-Abtast-Methode

Die Fenstermethode wird gebräuchlicherweise nur für den Ent-wurf von Standard-Prototyp-Filtern verwendet. Mit der Frequenz-

66


Abtast-Methode (Frequency Sampling Methode) ist es möglich,nicht Standardlter zu entwerfen. Im Falle des Kompensations-verstärkers liefern nur eine exakte Phase und Amplitude bei ei-ner gewünschten Frequenz eine destruktive Interferenz im Sum-menpunkt. Diese Forderung lässt sich mit dem hier vorgestelltenVerfahren umsetzen, wodurch es für die Synthese des im Kom-pensationsverstärker verwendeten Filters in Frage kommt.

Mit der nachfolgend vorgestellten analytischen Koezientenaus-legung können beliebige Impulsantworten mit einer exakten Pha-se und Amplitude basierend auf der Frequency Sampling Metho-de realisiert werden. Die Dierenzengleichung für FIR-Filter lässtsich durch Gleichung (4.14) bzw. Gleichung (4.1) beschreiben

y(n) =

N−1∑k=0

bk · x(n− k) . (4.14)

Die Variable x(n) sind die Eingangs- und y(n) die Ausgangs-samples im Zeitbereich. N − 1 ist die Ordnung des Filters. DieÜbertragungsfunktionH(Ω) eines solchen Systems kann mit Glei-chung (4.15) beschrieben werden.

H(Ω) =

N−1∑k=0

bke−jΩk (4.15)

Ω =2πf

fa(4.16)

Der Parameter fa ist die Abtastfrequenz des digitalen Systems.Mit der Forderung nach einer exakten Verstärkung GM und einerPhase φM bei einer einzelnen Frequenz f kann Gleichung (4.15)modiziert werden zu:

GMe−jφMk =

N−1∑k=0

bke−jΩk , (4.17)

GMe−jφMk = b0 + b1e

−jΩ + b2e−j2Ω + (4.18)

...+ bN−1e−j(N−1)Ω .

67



Für X Frequenzpunkte (z.B. X = 2) wird Gleichung (4.17) er-weitert zu Gleichung (4.19). Unter Berücksichtigung der Spiegel-frequenzen ist es notwendig, jede Gleichung zu einer Frequenz-komponente doppelt in der Matrix aufzuführen. Hierbei wirdeine Gleichung mit positivem und eine mit negativem Vorzei-chen versehen. Die Matrix ist regulär und besitzt einen Rangvon N = 2X.

G0e

−jφ0

G0ejφ0

...GXe

jφX

=

1 e−jΩ0 · · · e−jΩ0(N−1)

... ejΩ0 · · ·...

... e−jΩX · · · e−jΩX(N−1)

1 ejΩX · · · ejΩX(N−1)

·

b0......

bN−1

(4.19)

Gleichung (4.19) ist ein System von linearen, komplexen Glei-chungen, welches leicht gelöst werden kann. Unter Zuhilfenah-me dieses Ausdrucks ist es möglich, die Koezienten eines FIR-Filters unter der Forderung nach einer festen Phase bzw. Ver-stärkung bei gewünschten Frequenzpunkten zu berechnen. Dieberechneten Filterkoezienten b0...bN−1 sind reelle Zahlen. Einebeispielhafte Auslegung wird im Anhang C aufgeführt.

4.1.3 Vergleich der Filtersysteme

Aus dem Abschnitt 4.1.1 zur Filtersynthese geht hervor, dassder Entwurf von rekursiven IIR-Filtern einfacher ist, weil dieÜbertragungsfunktion aus dem kontinuierlichen System gewon-nen werden kann.FIR-Systeme müssen den Verlauf der gewünschten Übertragungs-funktion stets approximieren. Dies geschieht meist rechnerge-stützt oder mit Fensterfunktionen. Auch benötigen FIR-Filterbei gleichen Anforderungen meist eine höhere Ordnung zur Rea-lisierung als IIR-Filter. Dem gegenüber steht die absolute Sta-bilität der FIR-Systeme. Jedoch ist zu berücksichtigen, dass inder hiesigen Applikation kein Standard-Prototyp-Filter benötigtwird, sondern ein Filter mit einer Übertragungsfunktion, die we-der mit einem Tief- noch Bandpass verwirklicht werden kann.

68


Die Vor- und Nachteile der einzelnen Filterstrukturen sind zumVergleich in Tabelle 4.2 aufgeführt.

Tabelle 4.2: Vor- und Nachteile von IIR- und FIR-Systemen aus [1]

Vorteile Nachteile

IIR-Systeme

Für IIR-Systeme existierengeschlossene Entwurfsverfah-ren

IIR-Systeme können nichtmit exakt linearer Phaserealisiert werden

Die Ordnung vonIIR-Systemen ist imallgemeinen niedriger als dievon nicht rekursivenSystemen

IIR-Systeme können instabilwerdenIIR-Systeme entwickeln eingröÿeres Rundungsrauschenals FIR-Systeme

FIR-Systeme

FIR-Systeme lassen die Rea-lisierung einer exakten Phasezu

Für FIR-Systeme existierenkeine geschlossenen Entwurfs-verfahren

FIR-Systeme sind immer sta-bil

Eine groÿe Systemordnungerfordert einen hohen arith-metischen Aufwand (Echt-zeitproblem)

FIR-Systeme bilden ein gerin-ges Rundungsrauschen aus

Die Gruppenlaufzeit von li-near phasigen FIR-Systemenmit ungerader Systemord-nung ist nicht ganzzahlig

Im weiteren Verlauf der Arbeit werden FIR-Filter zur Realisie-rung des Kompensationsverstärkers eingesetzt. Den Ausschlagzugunsten der nicht rekursiven FIR-Filter hat einerseits die For-derung nach hoher Stabilität des Systems und andererseits dieTatsache gegeben, dass das im Kompensationsverstärker verwen-dete Filter kein Standardlter ist. Das FIR-Filter muss jeder zukompensierenden Harmonischen eine spezielle Verstärkung undPhasendrehung zuordnen.

69



Nach der Entscheidung für die Filterstruktur wird im Folgendenein Kompensationsverstärker simuliert, der auf einem digitalenFIR-Filter basiert.

4.2 Simulation des gesteuerten


Für den Nachweis der Funktionalität des Kompensationsverstär-kers, realisiert mit einem digitalen FIR-Filter, ist eine Machbar-keitssimulation des Systems in MATLAB/PLECS durchgeführtworden. Den schematischen Aufbau des simulierten Systems ver-anschaulicht Abbildung 4.6.

uEin(t) uLast(t)Prefilter

Einkoppel-netzwerk

Auskoppel-netzwerk

Rekonstruk-tionsfilter

FIR-FilterA/D D/A

Abbildung 4.6: Schematischer Aufbau des digitalenKompensationsverstärkers

Die Simulation soll zeigen, dass durch den Einsatz des Kom-pensationsverstärkers die Oberschwingungen an der Last redu-ziert werden können. Hierfür wird ein Mischsignal generiert, be-stehend aus der Grundschwingung U0 und Oberschwingungen.

70

4.2. Simulation des gesteuerten


Das Prelter dämpft den Oberschwingungsanteil des Mischsi-gnals und trägt zur Reduzierung des Klirrfaktors k an der Lastbei.Zusätzlich wird das Mischsignal über das Auskoppelnetzwerk anden Kompensationsverstärker geleitet. Das Auskoppelnetzwerkunterdrückt idealerweise die Grundschwingung, so dass nach derDigitalisierung durch den A/D-Wandler der reine Oberschwin-gungsanteil an das FIR-Filter weitergeleitet wird. Die Heraus-forderung besteht darin, die Übertragungsfunktion des digitalenFilters so zu gestalten, dass sich die Oberschwingungen an derLast weiter reduzieren oder komplett auslöschen.

Die A/D- und D/A-Wandler sind in der Simulation als Sam-ple/Hold-Glieder mit der Abtastfrequenz fa = 1 MHz nachgebil-det. Diese Frequenz wird im späteren Messaufbau die Abtastrateder Wandler sein. Zusätzlich ist die Wandelzeit mittels Verzöge-rungsgliedern einstellbar und beträgt insgesamt 1, 5µs. Entnom-men ist dieser Wert den Datenblattangaben der später verwen-deten A/D- und D/A-Wandler. Das Rekonstruktionslter ist alspassiver Tiefpass zweiter Ordnung implementiert. Zur galvani-schen Trennung des Systems benden sich jeweils ideale Trans-formatoren in den Koppelnetzwerken. Das Auskoppelnetzwerkist als Bandsperre zweiter Ordnung, das Einkoppelnetzwerk alsBandsperre erster Ordnung ausgeführt. Das Prelter wird durcheinen Bandpass erster Ordnung mit einer ohmschen Last dar-gestellt. Eine detailliertere Ansicht des Kompensationsverstär-kerzweiges ist in Abbildung 4.7 zu sehen. Das zentrale Glied desKompensationspfades bildet das FIR-Filter. Das Filter hat dieOrdnung N = 20 bei einer Abtastfrequenz von 1 MHz. Unterder Annahme, dass das Quellensignal uEIN(t) aus einer Grund-schwingung mit der Frequenz f0 besteht und sonst nur ganz-zahlige Harmonische beinhaltet, können mit diesem Filter dieOberschwingungen bis zur neunten Harmonischen erfasst wer-den. Dies ist ausreichend, um die Funktionalität der Kompensa-tion beurteilen zu können.

Die Anforderungen an das FIR-Filter bezüglich der Phase undder Verstärkung ergeben sich durch die Last und das verwendete

71



S/HL1

C1T1

C2

L2

FIR-

L4

C4

T2R1 L3

C3 R2uEin(t) uLast(t)

Filter

Auskoppel-

netzwerk

Rekonstruktions-

Filter

Einkoppel-

netzwerk

Abbildung 4.7: Simulierter Kompensationsverstär-kerzweig

passive Prelter. Im Speziellen muss die Übertragungsfunktiondes passiven Prelters bekannt sein, um die Amplituden- undPhasenveränderungen, herrührend durch das Prelter, mit demFIR-Filter invers nachzubilden.Die simulierte Übertragungsfunktion des Prelters wird in Ab-bildung 4.8 gezeigt.

103

104

105

−40

−20

0

Am

plitu

de [d

B]

103

104

105

−100

0

100

Pha

se [°

]

Frequenz [Hz]

Abbildung 4.8: Übertragungsfunktion des simulier-ten Prelters erster Ordnung

72



Das passive Filter dämpft die 75 kHz Frequenzkomponente umca. -20 dB bei einer Phasenverschiebung von ca. −81, 3. DerWert -20 dB entsprechen nach Gleichung (4.20) einem Dämp-fungsfaktor x = 1

10 .

ddB = 20 · log(x)

⇒ x = 10ddB20 (4.20)

Der Kompensationsverstärker muss das 75 kHz-Signal um den-selben Amplitudenwert dämpfen und die Phase um weitere 180

drehen, um eine destruktive Interferenz an der Last zu erzeugen.Die Koppelnetzwerke beeinussen bereits die Dämpfung und diePhasenlage der Oberschwingungen. Die fehlende Phasenverschie-bung sowie die Anpassung der Amplitude übernimmt der Kom-pensationsverstärker.

Aus den Anforderungen an Betrag und Phase können nun diebenötigten Filterkoezienten nach der Frequency-Sampling-Me-thode aus Abschnitt 4.1.2.2 berechnet werden.

Das FIR-Filter soll die ersten neunzehn Harmonischen beeinus-sen können und zusätzlich die Grundschwingung eliminieren. Al-le geradzahligen Harmonischen von 25 kHz sollen bedämpft wer-den, alle ungeradzahligen eine denierte Verstärkung bzw. Pha-senverschiebung erhalten. Insgesamt werden zwanzig Frequenzenangesprochen. Da für jede Frequenzkomponente zwei Koezien-ten benötigt werden, ergibt sich ein Filter der Ordnung N = 40.

In Abbildung 4.9 ist die normierte Übertragungsfunktion desFIR-Filters zu erkennen, die mit der Frequency-Sampling-Me-thode entworfen wurde. Der Graph ist auf die halbe Abtastfre-quenz ( fa2 = 500 kHz) normiert. Die 75 kHz Komponente, diedem x-Achsenwert 0,15 auf der normierten Frequenzachse ent-spricht, hat eine Verstärkung von annähernd eins bzw. 0 dB undeine Phasenverschiebung von ca. 60. Die Werte zwischen den de-signierten Frequenzen können nicht beeinusst werden und neh-men beliebige Werte an.

73



0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4−500

0

500

Normalized Frequency (×π rad/sample)

Pha

se (

degr

ees)

0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4−60

−40

−20

0

Mag

nitu

de (

dB)

Abbildung 4.9: Übertragungsfunktion des FIR-Fil-ters mit der Normierungsfrequenzfa = 1MHz, Achsenwert = Ω

π= 2f

fa

Das vorgestellte System wird nun mit einer Wechselspannungbeaufschlagt. Der zeitliche Verlauf des Eingangssignals ist durchGleichung (4.21) gegeben und in Abbildung 4.10a dargestellt.Das rechteckförmige Eingangssignal besteht aus der 25 kHz−Grundschwingung und ungeradzahligen Harmonischen.

uEin(t) = 25 V · sin(2π · 25 kHz · t)+8 V · sin(2π · 75 kHz · t)+5 V · sin(2π · 125 kHz · t)+4 V · sin(2π · 175 kHz · t) (4.21)

Abbildung 4.10b stellt das dazugehörige Spektrum der Eingangs-und Lastspannung dar. In schwarz ist das Lastspektrum bei de-aktiviertem KV und in blau das Lastspektrum mit aktiviertemKompensationsverstärker dargestellt. Die Dierenz beider Kur-ven zeigt die zusätzliche Dämpfung, die sich aufgrund der Nut-zung des Kompensationsverstärkers ergibt. Sie erreicht bis zu40 dB pro Oberschwingung. Theoretisch können auch höhereDämpfungswerte erzielt werden. Dazu müsste eine ideale Bestim-mung der Phase und Amplitude vorgenommen werden. Wäre

74



0 20 40 60 80−40

−20

0

20

40

Zeit [µs]

Sp

an

nu

ng

[V

]

UEin

ULast mit KV

(a) Simulierte Ein-und Ausgangs-spannung

200 400 600 800 1000−400

−300

−200

−100

0

Frequenz [kHz]

U/U

MA

X [d

B]

UEIN

UAUS mit KV und Prefilter

UAUS nur PREFILTER

(b) Simuliertes Spek-trum

Abbildung 4.10: Simulierter Zeit- und Frequenzver-lauf der Eingangs- und Lastspan-nung des gesteuerten digitalen Kom-pensationsverstärkers; fa = 1MHz

dies der Fall, müsste das Signal den Wert des Rauschpegels er-reichen.Ermittelt wurden die Werte für Betrag und Phase über ein Gra-dientenverfahren mit einer minimalen Phasenauösung von ei-nem Grad. Die Frequenzanteile über 800 kHz sind die Spie-gelfrequenzen des FIR-Filters. Sie treten bei den Frequenzenfa = 1 MHz − fSignal, also bei 925, 875 und 825 kHz auf. Die-se können durch die Verwendung einer höheren Abtastrate odereines passiven Rekonstruktionslters höherer Ordnung weiter be-dämpft bzw. verschoben werden.

Der Klirrfaktor der Eingangsspannung nach Gleichung (2.1) be-trägt bis zu 40,48%. Durch die Präsenz des Prelters wird derKlirrfaktor um ca. 35 dB auf 0,6% reduziert. Bei aktiviertemKompensationsverstärker ndet eine zusätzliche Verringerung desKlirrfaktors um ca. 41 dB auf 6, 065·10−3 % statt. Dies ist gleich-bedeutend mit der Tatsache, dass der Kompensationsverstärkermindestens in der Lage ist, die gleichen Dämpfungswerte zu er-

75



reichen wie eine herkömmliche passive Filterstufe.

Wird eine geringere Abtastfrequenz verwendet fa = 500 kHz,wird aufgrund der Anwesenheit des Kompensationsverstärkersimmer noch eine zusätzliche Dämpfung der Oberschwingungenerzielt, jedoch treten die Spiegelfrequenzen jetzt schon bei klei-neren Frequenzen auf (425, 375, 325 kHz). Abbildung 4.11 illus-triert die Auswirkung der Reduktion der Abtastfrequenz. Zur Be-

100 200 300 400 500−300

−200

−100

0

Frequenz [kHz]

U/U

MA

X [

dB]

UEin

UAus mit KV und Prefilter

UAus nur Prefilter

Abbildung 4.11: Simuliertes Spektrum mit reduzier-ter Abtastrate fa = 500 kHz

stimmung der benötigten Ausgangsleistung des D/A-Wandlerssind Ausgangsspannung und Ausgangsstrom des D/A-Wandlersin Abbildung 4.12 dargestellt. Die Multiplikation beider Grö-ÿen ergibt die zu liefernde Leistung. Der zeitliche Verlauf derMomentanleistung p(t) wird in Abbildung 4.13b dargestellt. Dieresultierende mittlere Leistung PFIR ergibt sich zu:

P = p(t) =1

T

t0+T∫t0

u(t) · i(t) dt (4.22)

⇒ PFIR = 10 mW.

76



Abbildung 4.12: Simulierter Strom- und Spannungs-verlauf am Eingang des Rekonstruk-tionstiefpasses

Zeit [µs]0 20 40 60 80

Sp

an

nu

ng

[V

]

-2

0

2U

Rekon IN

URekon OUT

(a) Spannungen amRekonstruktionslters

Zeit [µs]0 20 40 60 80

Le

istu

ng

[m

W]

-20

-10

0

10

20

30p(t)P

FIR

(b) Ausgangsleistungdes D/A-Wandlers

Abbildung 4.13: Simulierte Ein- und Ausgangsspan-nung des Rekonstruktionstiefpassessowie aufzubringende Leistung

77



Aus Abbildung 4.13b wird ersichtlich, dass eine AusgangsleistungPAus des D/A-Wandlers bzw. des anschlieÿenden Operationsver-stärkers von ca. 10 mW bereitgestellt werden muss. Dies ist fürheutige Operationsverstärker kein Ausschlusskriterium [64].

Das Rekonstruktionstiefpass dämpft die Spiegelfrequenzen desFIR-Filters und glättet somit das Zeitsignal. Abbildung 4.13azeigt den Einuss des Rekonstruktionstiefpasses auf das Aus-gangssignal des FIR-Filters.

Steigt die Anzahl der zu kompensierenden Frequenzen, steigtebenfalls die Ordnung des FIR-Filters und somit auch der Re-chenaufwand. Beispielhaft ist der Kompensationsverstärker mitdem Eingangssignal aus Abbildung 4.14a beaufschlagt worden.Die Abtastfrequenz beträgt 1 MHz. Das Eingangssignal besitztdie maximale Amplitude von ca. 1, 2 kV. Die einzelnen Frequenz-anteile liegen spektral so dicht beieinander, dass sich eine Schwe-bung ausbildet. Da die maximale Amplitude gröÿer ist als bei denvorherigen Messungen, steigt natürlich auch die Belastung derpassiven Koppelnetzwerke. In Abbildung 4.15 ist analog zu Ab-

0 0.5 1 1.5 2 2.5−2000

−1000

0

1000

2000

Zeit [ms]

Ein

ga

ng

ssp

an

nu

ng

[V

]

(a) Simulierte Ein-gangsspannung

0 50 100 150 200−400

−300

−200

−100

0

Frequenz [kHz]

U/U

MA

X [

dB

]

(b) Simuliertes Spek-trum

Abbildung 4.14: Simulierter Zeit- und Frequenzver-lauf des Eingangssignals mit Schwe-bungseekt

78



bildung 4.10b das Spektrum der Lastspannung mit aktiviertemund deaktiviertem Kompensationsverstärker dargestellt. Schwarzwird wieder das Lastspektrum bei deaktiviertem KV dargestellt,während das Lastspektrum mit aktiviertem Kompensationsver-stärker blau ist. Die Dierenz beider Kurven ergibt die zusätzli-che Dämpfung, die sich aufgrund der Nutzung des Kompensati-onsverstärkers einstellt.Es wird ersichtlich, dass alle Frequenzkomponenten der Ober-schwingungen separat gedämpft werden können. Die unterschied-lichen Dämpfungswerte ergeben sich durch unterschiedlich guteAnpassung der jeweiligen Filterkoezienten.

50 100 150 200 250 300−350

−300

−250

−200

−150

−100

−50

0

Frequenz [kHz]

U/U

MA

X [d

B]

UEIN

UAUS mit KV und Prefilter

UAUS nur Prefiler

Abbildung 4.15: Simuliertes Lastspektrum mit Ein-gangssignal mit Schwebungseekt

79



4.3 Aufbau des


In diesem Abschnitt werden die für die Realisierung benötigtenHardwarekomponenten aufgelistet und ihre Funktionsweise ein-zeln erläutert. Der Aufbau zur messtechnischen Validierung desgesteuerten digitalen Systems wird in Abbildung 4.16 gezeigt.Das System beinhaltet die Koppelnetzwerke, die als Bandsper-ren für die Grundschwingung fungieren, die Transformatoren zurgalvanischen Trennung und den digitalen Teil, bestehend aus denA/D- und D/A-Wandlern sowie dem FPGA-Board. Der Messauf-bau entspricht dem des simulierten Systems aus Abbildung 4.6.

BS

uEin(t) uMed(t)

FPGA

uLast(t)

x(t)

BSuK(t)

REKON

Prefilter

Auskoppelnetzwerk

Einkoppelnetzwerk

A

D

A

D

Abbildung 4.16: Aufbau des gesteuerten Systems

Die Übertragungsfunktion des FIR-Filters ist abhängig von sei-nen Filterkoezienten. Ist das Eingangssignal des Filters auf-grund der Quantisierung fehlerbehaftet, so wird dieser Fehler indie Last eingekoppelt und der Klirrfaktor wird erhöht statt redu-

80

4.3. Aufbau des Kompensationsverstärkers

ziert. Deshalb werden rauscharme 16 bit-Wandler eingesetzt. Jemehr Quantisierungsstufen, auch Digitalisierungstiefe genannt,ein Wandler besitzt, desto höher ist sein Dynamikbereich und de-sto kleiner ist der maximale prozentuale Quantisierungsfehler inBezug auf das Originalsignal. Mit einem 16 bit-Wandler kann einSignal zu Rausch-Abstand (SNR) von ca. 96 dB realisiert werden.Für den A/D-Wandler wird der AD7625 der Firma Texas Instru-ments eingesetzt. Dieser arbeitet nach dem Verfahren der suk-zessiven Approximation. Man ndet sie oft auch unter dem Be-gri Wägeverfahren [8]. Dieses konvergiert langsamer als andereMethoden, bietet aber geringere Ungenauigkeiten. Eine Sample-Rate von 1 bis 2 MSPS (mega samples per second) ist ausreichendfür eine Detektion von Oberschwingungen bis zu einer Frequenzvon 500 kHz, was der 20. harmonischen Schwingung entspricht.Der A/D-Wandler besitzt eine LVDS-Schnittstelle (Low VoltageDierential Signaling) und kann hierüber mit dem FPGA kom-munizieren. Die digitalen Daten werden im 2er Komplement aus-gegeben. Die wichtigsten Parameter des A/D- und D/A-Wand-lers (DAC8820 [63]) sind in Tabelle 4.3 zusammengefasst.

Tabelle 4.3: Daten des AD7625 und DAC8820

Wandlertyp Parameter Min. Typ. Max. Einheit

A/D Auösung 16 BitA/D INL −1 ±0, 45 +1 LSBA/D DNL −0, 5 ±0, 3 +0, 5 LSBA/D SNR 92, 5 93 dBA/D Abtastrate 0, 1 6 MSPSD/A Auösung 16 BitD/A INL ±1 LSBD/A DNL ±0, 5 ±1 LSBD/A THD −105 dBD/A Wandlerrate 2 MSPSD/A VRef −15 +15 VD/A VDD 2, 7 5, 5 V

Als FPGA wird ein Industriemodul der Firma Xilinx eingesetzt.

81



Das Spartan-3A DSP Modul hat die Abmaÿe 68, 0 mm×48, 0 mmund ist ungefähr so groÿ wie eine Kreditkarte. Es kann überzwei Board-to-Board-Verbinder direkt auf eine Adapterplatinegesteckt werden. Dadurch wird die spätere Montage erheblicherleichtert. Das FPGA ist speziell für die digitale Signalverarbei-tung ausgelegt und besitzt 84 DSP Slices, 48 bit-Addierer/Multi-plizierer und 1800 k Logikgatter.Abbildung 4.17 zeigt das FPGA-Modul mit Adapterplatine. Aufdieser benden sich Filter zur Glättung der Eingangsspannungund die beiden A/D-Wandler sowie der D/A-Wandler mit kom-pletter Peripherie.

(a) Kompensationsver-stärkerplatine mitFPGA-Modul

(b) FPGA-Modul

Abbildung 4.17: Kompensationsverstärkerplatinemit FPGA-Modul

Zur Realisierung des digitalen FIR-Filters in VHDL existierenspeziell vorgefertigte Compiler. Diese setzen unter Eingabe derFilterkoezienten und weiterer Spezikationen wie Filterstruk-tur, Sample-Rate und Bitauösung das Filter in den VHDL-Codeum. Die wichtigsten Implementierungsdetails des Codes sind inder Tabelle 4.4 zusammengefasst.

Das Filter wird in Direktstruktur umgesetzt. Durch einen hohen

82


Tabelle 4.4: Spezikation des FIR-Compilers

Filtertyp FIR Single RateSystem Clock 100 MHzSample-Rate 1 MHzGenauigkeit der Filterkoezienten 16 BitQuantisierungsmode Quantize onlyLatenz 50 ZyklenWandlerauösung 16 BitFilterstruktur Direktstruktur

Systemtakt und ressourcensparende Programmierung kann derBedarf an Speicherzellen und DSP Slices im FPGA niedrig ge-halten werden. In diesem Fall liegt die Sample-Rate des Filtersbei 1 MHz, bei einem Systemtakt von 100 MHz. Dadurch müssennicht alle Rechenoperationen parallel durchgeführt werden, sodass nur wenige Multiplizierer allokiert werden. Abbildung 4.18zeigt die verwendete Filterstruktur mit einem Multiplizierer [73].

z−1 z−1 zN−1

b0b1b2b3

bN−1

x(n)

y(n)

z−1

z−1

Abbildung 4.18: Digitales FIR-Filter in Direktstruk-tur mit nur einem Multiplizierer

Sowohl für die Koezienten als auch für die Eingangssampleswird die binäre Fixpunktdarstellung gewählt. Die verwendete

83



Wortbreite beträgt 16 bit und ist durch die Wandlerauösunggegeben. Die verwendeten Filterkoezienten müssen möglichstexakt dargestellt werden, um Quantisierungsfehler zu vermei-den. Der maximale Wert, den der A/D-Wandler an das Filterübergeben kann, beträgt 4,096 dezimal. In der Fixpunktdarstel-lung werden für eine 16 bit-Wortbreite ein Vorzeichenbit, dreiVorkommabits und 12 Nachkommabits benötigt. Die Koezi-enten müssen auf die vierte Nachkommastelle genau dargestelltwerden. Da diese immer kleiner als eins sind, können 15 Nach-kommabits mit einem Vorzeichenbit verwendet werden.Die Übertragungsfunktion mit Quantisierung kann direkt im Xi-linx ISE Tool erzeugt werden und ist in Abbildung 4.19 zu sehen.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−500

0

500


Pha

se (

degr

ees)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−200

−100

0

Mag

nitu

de (

dB)

Abbildung 4.19: Übertragungsfunktion des FIR-Fil-ters mit Quantisierung

84


4.3.1 Auskoppelnetzwerk

Die Bandsperren BS sind als Filter zweiter Ordnung mit galva-nischer Trennung ausgelegt und dienen dem Schutz der nachfol-genden Elektronik vor der Grundschwingung. Die Übertragungs-funktion des Filters gehorcht einer Tschebysche Charakteristik,deren Resonanzfrequenz f0 bei 25,252 kHz liegt und eine ge-forderte Welligkeit im Durchlassbereich von 0,01 dB und eineBandbreite von 20 kHz aufweist.

Die verwendeten induktiven Komponenten der Bandsperren müs-sen auf eine Spannungsfestigkeit von mindesten u = 400 V ausge-legt werden. Die Kondensatoren der Firma WIMA, Typ FKP 1,die hier eingebaut wurden, besitzen eine Spannungsfestigkeit von600 V AC bei einer Frequenz von 25 kHz [71].Der Aufbau der Bandsperre ist in Abbildung 4.20 dargestellt.

F1

L1

C1C3 T1

C2

L2

D1

R1

R2uEin(t) uAus(t)

Abbildung 4.20: Schaltplan der 25 kHz Bandsperre

Kondensator C3 verhindert die Übertragung einer Gleichspan-nung an den Transformator, damit dort keine Sättigungungsef-fekte auftreten. In Tabelle 4.5 sind die Kenndaten der Bauteileaufgelistet. Der Transformator T1 hat ein Übersetzungsverhält-nis u = 1. Zur Erhöhung der elektrischen Sicherheit ndet eineKapselung des passiven Vorlters BS in ein separates Gehäusestatt. Ferner wurden zum Schutz gegen Überspannung Varisto-ren als Grobschutz und eine Widerstands-Diodenschaltung alsFeinschutz vorgesehen. Diese Kombination aus Varistor R2 undDiode D1 garantiert Überspannungsschutz für die nachfolgen-de Elektronik für den Fall, dass die Bandsperre auÿerhalb ihrerResonanz f0 von 25,252 kHz betrieben wird und nur noch un-

85



Abbildung 4.21: Platine der 25 kHz Bandsperre mitGehäuse

Tabelle 4.5: Bauteilwerte der Bandsperre

Bauteil Wert Einheit

L1 786 µHL2 2,0836 mHC1 50,41 nFC2 19,06 nFC3 1 µF

zureichende Filterwirkung besteht. Der Widerstand R1 limitiertim Fehlerfall den Strom durch die Diode. Die Sicherung F1 stelltdie galvanische Trennung im Fehlerfall sicher.

Die Spule L1 des Filters ist zum Schutz vor Sättigungseektenals Luftspule ausgelegt, während die anderen induktiven Bau-teile L2 und T1 mit einem Ferritkern mit Luftspalt aufgebautsind. Die Luftspule besitzt 170 Windungen auf einem PM87 Wi-ckelkörper. Die daraus resultierenden ohmschen Verluste redu-zieren die Güte der Spule L1. Der Resonanzstrom ist im erstenSchwingkreis des Filters trotz niedrigerer Güte am höchsten, daan ihm die gröÿte Spannung abfällt. Dementsprechend muss derKabeldurchmesser auf den auftretenden Resonanzstrom dimen-sioniert werden. Das Verhalten des gesamten Filters wird durchdas Dämpfungsverhalten des ersten Schwingkreises dominiert.

86


Da das Filter mit dem Eingang eines Operationsverstärkers hoch-ohmig abgeschlossen ist, besitzt die dritte Filterstufe einen ge-ringeren Einuss auf die Dämpfung als die erste Stufe. Das Ver-halten des gesamten Filters wird durch das Dämpfungsverhaltendes ersten Schwingkreises dominiert.

Abbildung 4.22a verdeutlicht die simulierte Übertragungsfunk-tion. Das Maximum der Dämpfung bendet sich bei Resonanz-frequenz f0 und beträgt ca. 91 dB. Dementsprechend wird eineSchwingung bei der Resonanzfrequenz um den Faktor von 39810reduziert. Die Phasenverschiebung bei höheren Frequenzen istunkritisch, da diese vom Algorithmus selbst ausgeregelt werdenkann. Die Messung der Eingangsimpedanz über der Frequenzbelegt die Simulation und ist in Abbildung 4.22b dargestellt.

0 50 100 150 200 250 300−100

−80

−60

−40

−20

0

20

40

60

Amplitude[dB]

Frequenz [kHz]0 50 100 150 200 250 300

−200

−150

−100

−50

0

50

100

150

200

Phase[G

rad]

(a) Simulierte Über-tragungsfunktion

23 24 25 26 270

2000

4000

6000

8000

Impedanz[Ω]

Frequenz [kHz]

6,5 kΩ@ 25,25kHz

23 24 25 26 27−100

−50

0

50

100

Phase[G

rad]

(b) Gemessener Impe-danzverlauf

Abbildung 4.22: Simulation und Messung der25, 252 kHz Bandsperre

In Serie zum Transformator T1 ist zur Verstärkung des Mess-signals eine Operationsverstärkerschaltung angeordnet. Diese istals nicht-invertierender Verstärker aufgebaut, der auch als Span-nungsfolger betrieben werden kann. Abbildung 4.23 zeigt denSchaltplan, Abbildung 4.24 ein Foto der gefertigten Platine zurErzeugung der dierenziellen Signale für den A/D-Wandler. Die

87



Bauteilwerte sind im Anhang B aufgeführt. Die gewünschte Si-

URef

uKoppEin(t)

uKoppAus+(t)

uKoppAus−(t)

R3AK

R1AK

C1AK

R2AK

C3AK

TAK

C2AK

IC1

Source1

Abbildung 4.23: Netzwerk zur Erzeugung des dif-ferenziellen Signals für den A/D-Wandler

Abbildung 4.24: Platine zur Erzeugung des dieren-ziellen Signals für den A/D-Wandler

gnalverstärkung v kann mit den beiden Widerständen R1AK undR2AK eingestellt werden. Der analytische Zusammenhang ist inGleichung (4.23) gegeben. Zur Nutzung als Spannungsfolger wirdder Widerstand R1AK überbrückt und die beiden KomponentenR2AK und C2AK nicht bestückt. Werden beide Widerstände iden-tisch gewählt, ergibt sich eine Verstärkung von zwei.

v = 1 +R1AK

R2AK(4.23)

88


Die wichtigsten Faktoren für die Auswahl des Operationsverstär-kers sind Tabelle 4.6 zu entnehmen.

Tabelle 4.6: Auswahlkriterien für den Operationsver-stärker des Ein- und Auskoppelnetzwer-kes

Parameter Abkürzung

Verstärkungs-Bandbreite-Produkt GBWPFlankensteilheit Slewrate SR

Rauschzahl er

Versorgungsspannung UEin

Ausgangsstrom IAus

Die Bandbreite des Systems liegt bei mindestens b = 500 kHz.Bei einer zu erzielenden Verstärkung von G = 10 ist ein Opera-tionsverstärker mit einer GBWP von 5 MHz auszuwählen.

GBWP ≥ b ·G = 5 MHz (4.24)

Des Weiteren sollte die Rauschzahl des Systems so klein wie mög-lich sein. Ist die Rauschzahl zu groÿ, ist es möglich, dass das LeastSignicant Bit des A/D-Wandlers nicht mehr korrekt detektiertwird, weil das Rauschen gröÿer ist als die Auösung des Wand-lers.

Die Flankensteilheit muss gröÿer gewählt werden als die maxi-male Steigung der höchsten Frequenz im System. Die maximaleSteigung ergibt sich aus der ersten Ableitung der sinusförmigenSpannung zum Zeitpunkt null. Der maximale Scheitelwert derSpannung u entspricht dem Eingangsbereich des A/D-Wandlersund beträgt ca. 4 V.

SR ≥ u(0) = 2π · b · u = 12, 56V

µs(4.25)

Die geforderten Spezikationen werden von dem Operationsver-stärker LME 49990 von Texas Instruments [66] erfüllt und des-halb kommt dieser hier zum Einsatz.

89



Die Signale UKoppAus+ und UKoppAus− sind die dierenziellenAusgangssignale der Schaltung. Die Umwandlung in ein dieren-zielles Signal gewährleistet der Transformator mit Mittelpunkt-anzapfung. Zusätzlich wird dieser genutzt, um beiden Signa-len einen Gleichspannungspegel von UREF aufzuprägen. DieseSpannungen werden anschlieÿend über ein SMA-Kabel an dieAnalog/Digital-Wandler weitergeleitet, wo sie digitalisiert undverarbeitet werden. Die A/D-Wandler erwarten ein dierentiellesEingangssignal mit einem Spannungsbereich von null bis 2·UREF.Die Referenzspannung liegt exakt in der Mitte des Eingangs-spannungsbereichs und dient somit als virtueller Nullpunkt desA/D-Wandlers. Die Referenzspannung wird durch die Präzisions-gleichspannungsquelle ADR 430 erzeugt. Abbildung 4.25 zeigtdas schwarze Eingangssignal und die erzeugten dierenziellenSignale. UKoppAus+ bendet sich in Phase, während UKoppAus−eine Phasenverschiebung von 180 aufweist. Beide Signale besit-zen einen Gleichspannungspegel, der der Referenzspannung vonca. 2 V entspricht.

Zeit [µs]0 5 10 15 20

Spa

nnun

g [V

]

-2

0

2

4U

KoppEin

UKoppAus+

UKoppAus-

Abbildung 4.25: Erzeugung der dierenziellen Ein-gangssignale für den A/D-Wandler

90


4.3.2 Einkoppelnetzwerk

Das Einkoppelnetzwerk dient der Einkopplung des Kompensa-tionssignals in das System. Der Einkoppelpfad beinhaltet das Re-konstruktionstiefpass, einen Signalverstärker, den Transformatorzur galvanischen Trennung und die Bandsperre. Bandsperre undVerstärker sind identisch mit denen des Auskoppelnetzwerkes.Das Rekonstruktionslter überführt das wertediskrete Ausgangs-signal, welches vom FPGA erzeugt wird, in ein wertekontinu-ierliches Signal. Das Filter ist als Butterworth Tiefpass dritterOrdnung ausgelegt. Seine Resonanzfrequenz liegt bei der halb-en Abtastfrequenz des A/D-Wandlers. Somit werden die erzeug-ten Spiegelfrequenzen gedämpft. Das Filter ist mit 500 Ω abge-schlossen. Bei einer maximalen Ausgangsspannung von 4 V liegtder eingangsseitige Stromverbrauch bei 8 mA. Der eingesetzteVerstärker OP des D/A-Wandlers ist für 20 mA speziziert. DerAufbau des Einkoppelzweigs wird in Abbildung 4.26 skizziert.

TEK

RTP2

LTP2LTP1RTP1

CTP

uTPEin(t) uTPAus(t)

R1EKR2EKC2EK

C1EK

F1

L1

C1C3

C2

L2

uAus(t)uOP(t)

Abbildung 4.26: Einkoppelzweig, bestehend ausdem Rekonstruktionstiefpass, galva-nischer Trennung, Verstärker undBandsperre

Die Elemente LTP1, LTP2 und CTP1 bilden hierbei das Tiefpass-lter, welches zur Unterdrückung der Spiegelfrequenzen einge-setzt wird.Die Übertragungsfunktion des Einkoppelnetzwerkes ist in Abbil-dung 4.27 dargestellt. Aus ihr geht hervor, dass im Frequenzbe-reich von 1 bis 200 kHz die Bandsperre dominiert und eine signi-kante Dämpfung bei 25 kHz auftritt. Bei höheren Frequenzendominiert das Rekonstruktionslter, welches die Spiegelfrequen-zen ab 1 MHz dämpft. Die Widerstände RTP1 und RTP2 sorgen

91



101

102

103

−80−60−40−20

0

Frequenz [kHz]

Betrag[dB]

101

102

103

−200

0

200

Phase

[]

Frequenz [kHz]

Abbildung 4.27: Simuliertes Bodediagramm des Ein-koppelzweiges nach Abbildung 4.26

für die Impedanzanpassung des Filters. Parallel zum Abschluss-widerstand RTP2 bendet sich der Transformator TEK. Dieserhat das Übertragungsverhältnis von u = 1. Die Primärindukti-vität LPri beträgt 3 mH. Die transformierte Eingangsimpedanzdes nachfolgenden Verstärkers ist hochohmig, so dass die Fil-tercharakteristik des Tiefpasses nicht beeinusst wird und keineungewollten Resonanzüberhöhungen auftreten.

Die nachfolgende Operationsverstärkerstufe hat eine Verstärkungvon 2. Bei kleinen Signalpegeln kann die Verstärkung mittels derWiderstände beliebig verstellt werden.

92

4.4. Messung des gesteuerten

Kompensationsvertärkers

4.4 Messung des gesteuerten


Für die messtechnische Validierung des gesteuerten Kompensati-onsverstärkers ist ein skaliertes Tischsystem aufgebaut worden.Die Ausgangsleistung beträgt ca. 10 W an einem 30 Ω-Wider-stand. Die Quellenspannung beinhaltet die Grundschwingungund ungeradzahlige Harmonische. Der Klirrfaktor der Lastspan-nung kLast soll durch den Einsatz des Kompensationsverstär-kers reduziert werden. Dazu werden die Oberschwingungen de-tektiert, durch das FIR-Filter modiziert und wieder an derLast eingespeist, so dass sich eine destruktive Interferenz derOberschwingungsanteile ergibt. Der Versuchsaufbau ist in Ab-bildung 4.28 zu erkennen und entspricht damit dem simuliertenSystem aus Abbildung 4.6.

uEin(t) uLast(t)Prefilter

Einkoppel-netzwerk

Auskoppel-netzwerk

Rekonstruk-tionsfilter

FIR-FilterA/D D/A

(a) SchematischerAufbau des digi-talen Kompensa-tionsverstärkers

(b) Versuchsaufbauzur Validierungdes digitalen Kom-pensationsverstär-kers

Abbildung 4.28: Aufbau des skalierten Tischsystems

Als Last wird ein 30 Ω-Widerstand eingesetzt. Der Bandpass ers-ter Ordnung dient als Prelter für die Last und gleichzeitig derEntkopplung zwischen Aus- und Einkoppelzweig. Die verwende-

93



ten Wandler sowie die Koppelnetzwerke wurden in Abschnitt 4.3beschrieben. Die Eingangsspannung uQuelle ist ein 25 kHz-Recht-ecksignal mit ungeradzahligen Harmonischen. Sie wird durch ein-en Signalgenerator erzeugt und anschlieÿend durch einen Audio-verstärker verstärkt, wobei Signalverzerrungen auftreten. Abbil-dung 4.29 verdeutlicht den Einuss der Verstärkung auf das Ein-gangssignal.

0 20 40 60 80−2

0

2

Zeit [µs]

Spa

nnun

g [V

]

0 20 40 60 80−20

0

20

Zeit [µs]

Spa

nnun

g [V

]

UQuelle

UEin

Abbildung 4.29: Einuss des Verstärkers auf dasQuellensignal

Das blaue, rechteckförmige 25 kHz-Quellensignal wird um denFaktor 20 verstärkt. Das verzerrte Signal ist in schwarzer Far-be dargestellt. Der Verstärker ist nicht in der Lage, der hohendudt Flankensteilheit des Eingangssignals zu folgen. Auÿerdem istdie Amplitude der Spannung nicht konstant. Die Verzerrung desSignals erweist sich jedoch als unkritisch, da die zusätzlichenSpektralkomponenten, basierend auf der Signalverzerrung, vomKompensationsverstärker ebenfalls eliminiert werden können. Ei-ne Phasenverschiebung tritt nicht auf.

Für eine destruktive Interferenz der Oberschwingungen an derLast müssen das Kompensationssignal und die Oberschwingun-gen eine Phasenverschiebung von 180 zueinander aufweisen. Diepassiven Komponenten im Kompensationsverstärkerpfad besit-zen jedoch eine Gruppenlaufzeit. Diese addiert sich zu der Wand-lerzeit und der Verarbeitungszeit des FPGAs zu einer Gesamt-

94



verzögerung. Die resultierende zeitliche Verzögerung ∆t einesOberschwingungssignals, hervorgerufen durch Koppelnetzwerkeund Wandler, ist in Abbildung 4.30 dargestellt.

0 20 40 60 80−1

0

1

Zeit [µs]

Spa

nnun

g in

V

x(t)U

Komp

5 10 15 20−0.5

0

0.5

1

Zeit in µs

Spa

nnun

g in

V

∆ t

Abbildung 4.30: Zeitverzögerung des Kompensati-onspfades

Das FIR-Filter ist in diesem Fall deaktiviert und der FPGA leitetdas Eingangssignal sofort an den Ausgang weiter. Als Testsignalwerden die Oberschwingungen eines Rechtecksignals verwendet.Die Zeitverzögerung ∆t, gemessen als Dierenz zwischen schwar-zer Eingangsspannung uEin(t) und blauem Kompensationssignal,beträgt ca. 2 µs. Diese Zeitverzögerung muss der Algorithmus imFPGA zusätzlich mit einbeziehen, um eine exakte 180 Phasen-verschiebung der Oberschwingungen in der Last zu realisieren.

Die Eingangs- und die Lastspannung bei deaktiviertem sowiebei aktiviertem Kompensationsverstärker veranschaulicht Abbil-dung 4.31a. Aus dem Zeitverlauf erkennt man, dass die Ampli-tude mit dem Kompensationsverstärker einen höheren Maximal-wert annimmt als ohne. Im idealen Fall einer reinen Rechteck-anregung und bei idealer Filterung beträgt die Amplitude der

95



(a) Gemessene Ein-und Ausgangs-spannungen desKompensations-verstärkers

0 50 100 150 200−100

−50

0

50

f [kHz]

P [d

Bm

]

ULast ohne KV

ULast mit KV

(b) Gemessenes Spek-trum der Last-spannung

Abbildung 4.31: Spannungen mit dazugehörigenSpektren bei aktiviertem und deak-tiviertem Kompensationsverstärker

Lastspannung 4π · uEin. Die Amplitude der Ausgangsspannung

erhöht sich durch den Einsatz des Kompensationsverstärkers umca. 3 V. Dies resultiert aus der Reduzierung der Oberschwingun-gen.Das Spektrum der Ausgangsspannung wird in Abbildung 4.31bverdeutlicht. Die Leistung ist hierbei auf ein Milliwatt bezo-gen. Neben der Grundschwingung sind die dritte, fünfte undsiebte Harmonische deutlich ausgeprägt. Der Kompensationsver-stärker dämpft alle Oberschwingungen um mindestens 10 dBzusätzlich. Der Klirrfaktor der Lastspannung bei eingeschalte-tem KV beträgt nach Gleichung (2.1) kLast mit KV = 0, 146 %.Bei deaktiviertem Kompensationsverstärker sinkt der KlirrfaktorkLast ohne KV = 0, 683 %. Dies ist eine Verbesserung der Sig-nalqualität um ca. 13 dB. Zusätzlich zur dritten, fünften undsiebten Harmonischen existiert eine Spektralkomponente bei ak-tiviertem KV im Lastspektrum. Diese Frequenzkomponente beif = 150 kHz wird vom Kompensationsverstärker selbst angeregt.

96



Das Kompensationssignal ist ein Mischsignal aus der Summealler Oberschwingungen mit den Harmonischen. Die 150 kHz-Komponente ist die zweite Harmonische des erzeugten 75 kHz-Antisignals. In Abbildung 4.32 werden der Zeitverlauf und dasSpektrum des Kompensationssignals visualisiert. Zusätzlich wer-

0 20 40 60 80−10

−5

0

5

10

Zeit [µs]

Sp

an

nu

ng

[V

]

(a) Kompensationssig-nal

200 400 600 800 1000−100

−50

0

f [kHz]

U /U

Ma

x [d

B]

(b) Spektrum desKompensations-signals

Abbildung 4.32: Zeitverlauf und Frequenzspektrumdes Kompensationssignals

den der Strom- und Spannungsverlauf der 30 Ω-Last in Abbil-dung 4.33 skizziert. Beide Signale sind exakt in Phase und ent-sprechen damit der Phasenbeziehung an einem ohmschen Ver-braucher. Die Machbarkeit der Kompensation von Harmonischenan einer ohmschen Last wurde anhand eines skalierten Tisch-systems nachgewiesen. Die Harmonischen in der Lastspannung,hervorgerufen durch die Anregung mit einer rechteckförmigenSpannung, konnten durch den Einsatz des digitalen Kompen-sationsverstärkers minimiert und dabei zusätzliche Dämpfungenvon bis zu 13 dB pro Frequenzkomponente erzielt werden.

97



0 20 40 60 80−20

−10

0

10

20

ULast[V

]

t[µs]0 20 40 60 80−1

−0.5

0

0.5

1

ILast[A

]

Abbildung 4.33: Lastspannung und Laststrom

Die Simulation zeigt hingegen, dass es möglich ist, deutlich gröÿe-re Dämpfungen zu realisieren und die einzelnen Oberschwingun-gen bis annähernd zum Rauschniveau zu reduzieren. Die Diskre-panz zwischen Messung und Simulation ist zurückzuführen aufdie Tatsache, dass die vorab simulierten Koezienten des FIR-Filters nicht präzise genug gewählt sind und somit die Übertra-gungsfunktion des Filters nicht die gewünschte Übertragungs-funktion der Strecke darstellt. Laufzeiten, Rauschen sowie Bau-teiltoleranzen beeinussen Betrag und Phase des Kompensati-onssignals und führen bei Addition desselben mit den Harmoni-schen der Lastspannung zu geringeren Dämpfungswerten. Selbstdie manuelle Nachjustierung der Koezienten bringt keine nen-nenswerte Verbesserungen.Das Kompensationssignal besteht aus den Oberschwingungender Lastspannung. Da die Erzeugung des Signals nicht ideal ist,werden auch gerad- und ungeradzahlige Vielfache erzeugt. Die-se Frequenzanteile benden sich im Spektralbereich der Ober-schwingungen der Lastspannung und können daher nicht durchpassive Filter eliminiert werden. Dadurch wird zusätzlich derKlirrfaktor der Lastspannung etwas erhöht.

98



Zur Optimierung muss ein rauschärmerer Operationsverstärkergewählt und eine präzisere Anpassung der Filterkoezienten ge-troen werden. Für eine optimalere Wahl der Filterkoezien-ten ohne vorherige Simulation bzw. Kenntnis der Übertragungs-funktion des Prelters muss das Filter zu einem adaptiven Fil-ter erweitert werden. Dieses ist dann in der Lage, selbstständigeinen optimalen Satz an Filterkoezienten zu nden und gege-benenfalls aufgrund von thermischen Drifts der Bauteile diesenachzuregeln. Diese Anforderung führt im nächsten Kapitel zurUntersuchung und Realisierung eines Kompensationsverstärkersmit einem adaptiven Filter.

99

5 Entwurf eines geregelten adaptiven


In Kapitel 4 wurde die gesteuerte digitale Realisierung des Kom-pensationsverstärkers vorgestellt. Die Werte der Filterkoezien-ten des verwendeten digitalen Filters basieren hierbei auf denvorangegangenen Simulationsergebnissen. Bauteiltoleranzen so-wie zusätzliche Zeitverzögerungen, hervorgerufen durch A/D-und D/A-Wandler und mangelnde Kenntnis der digitalen Lauf-zeit, führten jedoch zu einer erheblichen Diskrepanz zwischenMessung und Simulation. Thermische Drifts, Bauteiltoleranzenund Alterungseekte vergröÿern die Diskrepanz noch. Werdendie Filterkoezienten jedoch nicht exakt voreingestellt, kann keinexakt gegenphasiges Kompensationssignal erzeugt und damit dieOberschwingungen in der Lastspannung nicht optimal reduziertwerden. Für die Simulation musste ebenfalls das Störspektrumder Quelle als bekannt vorausgesetzt werden. All diese Annah-men schränken den Einsatz und die Leistungsfähigkeit des ge-steuerten Kompensationsverstärkers ein.

Zur Erhöhung der Performanz bzw. der ausgangsseitigen Signal-qualität müssen die Filterkoezienten des FIR-Filters genau-er eingestellt werden. Zudem soll der Kompensationsverstärkerselbstständig und ohne vorherige Simulation oder Kenntnis desStörspektrums das Optimum der Filterkoezienten nden undauf diese Weise einen minimalen Klirrfaktor in der Ausgangs-spannung realisieren.

Digitale Filter, welche die Fähigkeit besitzen, während des Be-triebs ihre Übertragungsfunktion zu ändern, nennt man adaptiveFilter. Sie bestehen aus einem digitalen FIR-Filter und einer Ad-aptionslogik, die die Filterkoezienten mit Hilfe eines Optimie-

101

Kapitel 5. Entwurf eines geregelten adaptiven


rungsalgorithmus modiziert. Der Adaptionsalgorithmus mussdann so eingestellt werden, dass er die Oberschwingungen imlaufenden Betrieb und ohne vorherige Kenntnis von Frequenzund Phase minimiert.

Im folgenden Kapitel werden die Grundlagen und Berechnungs-vorschriften für den Entwurf von adaptiven FIR-Filtern vorge-stellt und anschlieÿend Simulationen für einen Kompensations-verstärker mit adaptivem Filter durchgeführt. Abschlieÿend wirddie Hardwarerealisierung beschrieben und messtechnisch unter-sucht.

5.1 Grundlagen adaptiver Filter

Erste adaptive Filter zur Entzerrung von digitalen Systemenwurden schon 1966-1967 von Lucky [35], [36] vorgestellt. 1970veröentlichten Hirsch und Wolf in [28] einen adaptiven Entzer-rer für Telefonsysteme. Adaptive Systeme wurden aber nicht nurzur Entzerrung eingesetzt, sondern auch zur Echounterdrückung.Erste Arbeiten dazu legte Sondhi [59] schon 1967 vor.Des Weiteren publizierte Gibson [21] 1984 einen Aufsatz, in demadaptive Prädiktion im Bereich der Sprachkodierung themati-siert wurde.

Heutzutage werden die Adaptionsalgorithmen hinsichtlich Ge-schwindigkeit oder Restfehler optimiert. R.-Y. Chen und C.-L.Wang veröentlichten dazu einen Aufsatz über die Wahl der opti-malen Schrittweite eines adaptiven Filters zur Signalprediktion[13]. Ferner wurden Abwandlungen der Standard-Algorithmenz.B. von Akhtar und Mitshuashi [7] 2006 veröentlicht. Auch inder aktiven Lärmunterdrückung wird der Einsatz von adaptivenSystemen untersucht.Mit künstlich erzeugtem Gegenschall werden dort mittels de-struktiver Interferenz Lärmpegel reduziert. Dieses Prinzip ndetz.B. Anwendung in Anti Noise Kopfhörern oder in Flugzeugen.Es existieren mittlerweile eine Vielzahl von Veröentlichungen zu

102

5.1. Grundlagen adaptiver Filter

diesem Thema. Einen guten Überblick zum jetzigen Forschungs-stand bieten L. Rees und S. J. Elliot in [52], M. Dewasthale undR.D. Karadkar [17] oder Sen M. Kuo und Dennis R. Morganin [32].Weitere Anwendungsgebiete von adaptiven Filtern können imAufsatz von Johnson [30] nachgeschlagen werden.In den meisten Anwendungen werden FIR-basierte Systeme alsFilter eingesetzt. Es gibt aber auch Lösungen mit IIR-Filtern,wie z.B. M. B. Yeary sie in [74] beschreibt oder Kombinatio-nen von FIR- und IIR-Filtern wie von L. J. Erikssons in [20]präsentiert. Im Folgenden werden nur FIR-Systeme betrachtet.Ihre Vorteile gegenüber IIR-Systemen wurden bereits in Ab-schnitt 4.1.3 erläutert.

Der Aufbau eines FIR-basierten adaptiven Filters wird in Abbil-dung 5.1 dargestellt.

z−1

b1 b2b0 bN−1

x(n)

y(n)

z−1 z−1

x(n− 1) x(n− 2) x(n−N − 1)

FIR-Filter

Adaptions-

algorithmus

e(n)

d(n)

Gutemass

Abbildung 5.1: Schematischer Aufbau eines adapti-ven FIR-Filters

103



Sein Aufbau und die Funktionsweise mit den Filterkoezientenbk sind bereits im Abschnitt 4, Abbildung 4.1 erklärt worden.Zusätzlich dazu ist in Abbildung 5.1 zu erkennen, dass das Die-renzsignal e(n) aus der Subtraktion des gewünschten Signals d(n)und des Ausgangssignal y(n) gewonnen wird. Über das Gütemaÿµ wird es dann an den Adaptionsalgorithmus weitergeleitet. Ma-thematisch zeigt Gleichung (5.1) den Zusammenhang.

e(n) = d(n)− y(n) = d(n)−N−1∑k=0

bk · x(n− k) (5.1)

Der Adaptionsalgorithmus variiert solange die Filterkoezien-ten bk, bis das Fehlersignal e(n) minimal bzw. null wird. Imidealen Fall entspricht das gewünschte Signal d(n) danach demAusgangssignal y(n), so dass deren Dierenz null ergibt.Der ideale Satz an Filterkoezienten, der y(n) so modiziert,dass es d(n) entspricht, heiÿt bOpt. Die analytische Herleitungdieser idealen Filterkoezienten wird im Folgenden vorgestellt.

Die N -Filterkoezienten sowie die Eingangswerte werden dazuals Vektoren b,x zusammengefasst.

b(n) = [b0, b1, b2, ..., bN−1]t (5.2)

x(n) = [x(n), x(n− 1), ..., x(n−N + 1)]t (5.3)

Das Fehlersignal aus Gleichung (5.1) kann dann geschrieben wer-den als:

e(n) = d(n)− xt(n)b(n) = d(n)− bt(n)x(n) . (5.4)

Da es sich bei den Eingangssignalen um stochastische Signalehandeln kann, wird als Optimierungskriterium der Erwartungs-wert des mittleren quadratischen Fehlers1 E

e2(k)

herangezo-

gen.

e2(n) = d2(n) + bt(n)x(n)xt(n)b(n) (5.5)

−2d(n)xt(n)b(n)

⇒ Ee2(n) = Ed2(n)+ bt(n)Ex(n)xt(n)b(n)(5.6)

−2Ed(n)xt(n)b(n)

1Mean-Squared Error oder MSE

104


Mit der Einführung der sogenannten Autokorrelationsmatrix Rund des Kreuzkorrelationsvektors p kann Gleichung (5.7) verein-facht werden zu:

R = Ex(n)xt(n)p = Ed(n)x(n)σ2d = Ed2(n)

⇒ J(b) = Ee2(n) = σ2d + btRb− 2ptb . (5.7)

Der mittlere quadratische Fehler wird auch häug Fehlerfunkti-on oder Kostenfunktion J(b) genannt. Das Minimum der Kos-tenfunktion JMin ist equivalent mit einem optimalen Satz vonFilterkoezienten bOpt. Abbildung 5.2 visualisiert die paraboli-sche Fehleräche bei b = [b0 b1]. Ist die Autokorrelationsmatrix

b0

bOpt

b1

JMin

J(b)

Abbildung 5.2: Fehlerfunktion eines FIR-Filters mitzwei Koezienten

positiv denit bzw. alle Eigenwerte der Matrix gröÿer null, soexistiert ein globales Minimum der Kostenfunktion. Dieses Mi-nimum kann auf analytischem Wege bestimmt werden. Ein ad-aptives Filter, dessen Koezienten optimal sind, heiÿt Wiener-Filter2. Kolmogorow3 weitete die Theorie 1964 auf zeitdiskre-2Norbert Wiener, amerik. Mathematiker, 1894-19643Andrei Nikolajewitsch Kolmogorow, russ. Mathematiker, 1903-1987

105



te Signale aus, so dass das Filter eigentlich Kolmogorow-Filterheiÿen müsste. Der Begri Wiener-Filter hat sich allerdings ein-gebürgert [27].

Aus der linearen Algebra ist bekannt, dass eine Funktion einMinimum min(J(b)) besitzt, wenn der Gradient ∇b J(b) derFunktion verschwindet und die Hess'sche Matrix Hb positiv de-nit ist.

∇b J(b) =∂J(b)

∂b

!= 0 (5.8)

∇b J(b) = −2p + 2Rb = 2(Rb− p) (5.9)

Die analytische Lösung von Gleichung (5.9), aufgelöst nach denFilterkoezienten, ergibt das optimale FIR-Filter auchWiener-Hopf -Gleichung genannt [27]:

bOpt = R−1p . (5.10)

Ein adaptives Filter mit den idealen Filterkoezienten bOpt be-wirkt, dass das Ausgangssignal exakt dem Wunschsignal ent-spricht und somit der resultierende Fehler zu null bzw. minimalwird.

5.1.1 LMS-Algorithmus

Gleichung (5.10) belegt, dass unter Kenntnis der inversen Auto-korrelationsmatrix R−1 und des Kreuzkorrelationsvektors p einideales FIR-Filter realisierbar ist. Gleichung (5.10) gilt allerdingsnur im stationären Fall.Damit schränkt sich der praktische Nutzen stark ein, da bei Än-derung der Eingangsignale permanent Gleichung (5.10) neu ge-löst werden müsste und dies aufgrund der Bildung einer inversenMatrix sehr rechenintensiv und unpraktikabel wäre.

Moderne Adaptionsalgorithmen wie z.B. der Least Mean Square(LMS) Algorithmus versuchen durch Rekursionsvorschriften sichder Wiener-Hopf -Lösung anzunähern und auf die Berechnungder inversen Matrix zu verzichten.

106


Alternativ könnten Root least Square (RLS), Fourier-basierte Al-gorithmen oder deren Derivate zum Einsatz kommen. Diese bie-ten höhere Konvergenzgeschwindigkeiten auf Kosten des Rechen-aufwandes. In dieser Arbeit wird der Filtered x Least Mean Squa-re (FxLMS) verwandt, welcher auf der LMS-Rechenvorschriftberuht.

Der LMS-Algorithmus ist aufgrund seiner leichten Implementie-rung auf digitalen Signalprozessoren (DSP) oder FPGAs sowieseiner guten Performanz einer der am häugsten eingesetztenadaptiven Algorithmen. Zhang Bo [75] präsentiert eine Realisie-rungsmethode von adaptiven FIR-Filtern auf FPGAs ohne Ver-wendung von Multiplizieren.

Ursprünglich wurde der LMS von Widrow und Ho 1960 vorge-stellt [70]. Der Algorithmus basiert auf dem Newton-Verfahrenund wird im Folgenden kurz vorgestellt.

Basierend auf dem Gradienten der Fehlerfunktion ausGleichung (5.9) können durch Umstellen der Gleichung nachbOpt die optimalen Filterkoezienten abgeleitet werden zu:

bOpt = b− 1

2R−1∇bJ(b) . (5.11)

Der Korrekturvektor 12R−1∇bJ(b) zeigt von einem beliebigen

Startwert immer in Richtung bOpt und erreicht diesen in einemSchritt. Wird zu jedem Zeitwert eine Iteration durchgeführt undder Faktor 1

2 allgemein durch eine Variable c ersetzt, kann fol-gende Rekursionsvorschrift gebildet werden:

b(n+ 1) = b(n)− cR−1∇b(n)J(b(n)) . (5.12)

Gleichung (5.12) stellt die Rekursionsvorschrift des Newton-Ver-fahrens dar und konvergiert auf dem schnellsten Wege. Wird dieAutokorrelationsmatrix R ersetzt durch die Einheitsmatrix E sovereinfacht sich obige Gleichung zu:

b(n+ 1) = b(n)− c∇b(n)J(b(n)) . (5.13)

Durch diese Vereinfachung steigt die Konvergenzgeschwindigkeit.Da der Korrekturterm nur noch aus dem Gradienten

107



b(n)J(b(n)) besteht, nennt man diese Iterationsvorschrift auchGradientenverfahren. Ersetzt man den Gradienten durch denMomentangradienten G(n) ndet eine weitere Vereinfachungstatt. Die gesamte Rekursionsvorschrift des LMS-Algorithmusmit der Schrittweite µ = 2c ergibt sich dann mit den Gleichun-gen (5.16) - (5.18).

G(n) = ∇be2(n)= ∇b(d(n)− bt(n)x(n)2)= −2x(n)(d(n)− bt(n)x(n))

= −2x(n)e(n) (5.14)

⇒ b(n+ 1) = b(n)− cG(n)

= b(n) + µe(n)x(n) (5.15)

Initialisierung :

b(0) = 0

µ > 0

Berechne zu jedem Zeitpunkt n = 0, 1, 2, ...:

1. Filterausgangswert:

y(n) = bt(n)x(n) (5.16)

2. Fehlerwert:

e(n) = d(n)− y(n) (5.17)

3. Aktualisierung des Koezientenvektors:

b(n+ 1) = b(n) + µe(n)x(n) (5.18)

Die vollständige graphische Beschreibung des adaptiven Filtersmit LMS-Algorithmus ist in Abbildung 5.3 zu sehen. Die Anzahl

108


der Multiplikationen und Additionen O(N) für den Algorithmusliegt bei O(2N + 1). Für kleine Schrittweiten µ → 0 und sehr

z−1

b1b0 bN−1

x(n)

y(n)

z−1 z−1

x(n− 1) x(n− 2) x(n−N − 1)

e(n)

d(n)

µ

b2

Abbildung 5.3: Aufbau eines FIR-Filters mit einerLMS-Adaption

groÿer Adaptionsdauer strebt der LMS-Algorithmus die Lösungdes Wiener-Filters an.

limk→∞

b(n) = bOpt (5.19)

Die Stabilität der Adaption ist von der Energie des Eingangssig-nals, der Schrittweite µ und der Eingangsleistung pEin abhängig.Der Zusammenhang wird in [43] von den Autoren Moschytz undHofbauer aufgezeigt und ergibt sich zu:

0 < µ < µmax =2

N· pEin . (5.20)

In der Praxis wird aus Stabilitätsgründen µ umso kleiner ge-wählt, je gröÿer die Filterordnung und je gröÿer die Amplitudedes zu erwartenden Eingangssignals x(n) ist.

109



Ferner beeinusst die Schrittweite maÿgeblich sowohl die Kon-vergenzgeschwindigkeit als auch den Restfehler. Die Konvergenz-geschwindigkeit ist die Zeit, die der Algorithmus braucht, um dieFehlerfunktion J zu minimieren und die optimalen Filterkoezi-enten bOpt der Wiener-Lösung zu nden. Somit zeigt sich, dassdie Schrittweite sich proportional zu Restfehler und Konvergenz-geschwindigkeit, aber umgekehrt proportional zur Stabilität ver-hält. Der analytische Zusammenhang zwischen Restfehler Jex,Eingangsleistung und Schrittweite ist in Gleichung (5.21) gege-ben und lautet:

Jex ≈µ

2· Jmin ·N · pEin . (5.21)

In jeder praktischen Anwendung muss die Abwägung zwischenStabilität, Restfehler und Geschwindigkeit erfolgen. Aus dieserForderung ergibt sich automatisch das Optimierungspotenzialdes Algorithmus. Mittlerweile existieren eine Vielzahl von Va-rianten des LMS [43].

1. Vorzeichen-LMS

2. Normierter-LMS (NLMS)

3. Variable Schrittweiten-LMS

4. Newton-LMS

5. Filtered-x-LMS (FxLMS)

Statt des Fehlersignals selbst wird beim Vorzeichen-LMS ledig-lich das Vorzeichen des Fehlers sgn(e(n)) berücksichtigt. DieRekursionsvorschrift der Filterkoezienten ndet sich in Glei-chung (5.22).

b(n+ 1) = b(n) + µ · sgn(e(n))x(n) (5.22)

sgn(e(n)) =

1 : fur e(n) > 00 : fur e(n) = 0−1 : fur e(n) < 0

Somit wird eine deutliche Vereinfachung des Implementierungs-

110


aufwands erreicht, da lediglich eine Multiplikation des Eingangs-signals mit der Schrittweite µ erfolgt. Dies geschieht allerdingsauf Kosten von Genauigkeit und Stabilität. Bei dieser stark ver-einfachten Realisierung muss die Schrittweite sehr klein gewähltwerden, um Konvergenz und Stabilität zu gewährleisten.

Der normierte LMS setzt die Schrittweite antiproportional zurerwartenden Eingangsenergie. Die Rekursionsvorschrift des N-LMS ist in Gleichung (5.23) gegeben.

b(n+ 1) = b(n) + µx(n)

ε+ ‖x(n)‖2e(n) (5.23)

‖x(n)‖2 ist die euklidsche Norm der Eingangssamples. Der Pa-rameter ε ist eine Sicherheitskonstante, die verhindern soll, dassdie Schrittweite für kleine Eingangsenergien zu groÿ wird unddamit die Konvergenz erhalten bleibt.Diese Optimierung geht allerdings zulasten des Rechenaufwan-des. Die Anzahl der Multiplikationen erhöht sich von (2N + 1)zu (4N) [26].

Wird die Schrittweite adaptiv angepasst, bezeichnet man den Al-gorithmus alsVariablen Schrittweiten-LMS. Dieser verfolgt dengleichen Ansatz, nämlich Steigerung der Konvergenzgeschwin-digkeit bei gleichzeitiger Reduzierung des Restfehlers durch An-passung der Schrittweite. Es gibt heutzutage sehr viele Abwand-lungen des LMS, die hier nicht alle erörtert werden können.Im Folgenden wird eine Simulation zum Vergleich verschiedenerAdaptionsalgorithmen vorgestellt. Der schematische Aufbau derSimulation ist in Abbildung 5.4 zu sehen.

Das cosinusförmige Eingangssignal x(n) = cos( 2πn·ffa

) hat eineFrequenz von f = 50 Hz und unterscheidet sich vom gewünsch-ten Signal d(n) = cos( 2πn·f

fa+ π

3 ) nur in der Phasenlage. BeideSignale werden mit 1 kHz abgetastet. Die Schrittweite µ besitztin diesem Beispiel den Wert 0,01.Das Filter mit der Ordnung N = 40 wird das Ausgangssignal yso modizieren, dass das Fehlersignal minimiert wird. Eingangs-und Ausgangssignal sind in Abbildung 5.5 visualisiert.

111



AdaptivesFilter

Adaptions-algorithmus

x(n)

d(n)

y(n)

e(n)

Abbildung 5.4: Simulation zum Vergleich der unter-schiedlichen Adaptionsalgorithmen

Das rot dargestellte Ausgangssignal, welches mit einem LMS-Algorithmus erzeugt wird, passt sich mit fortschreitender Zeitdem gewünschten Signal d an.

Abbildung 5.5: Ein- und Ausgangssignal der Ver-gleichssimulation

Der quadratische Fehler ist als Lernkurve in Abbildung 5.6 zuerkennen. Der Vorzeichen-LMS (Sign LMS) ist der am einfachs-ten zu implementierende Algorithmus, zeigt aber auch den gröÿ-

112


ten Restfehler. Der NLMS weist bei dieser Konguration eineniedrigere Konvergenzgeschwindigkeit auf als der LMS. Es wirdersichtlich, dass man mit dem LMS einen guten Kompromiss zwi-schen Geschwindigkeit und Restfehler erreicht. Der LMS bildetdie Basis für den später eingesetzen FxLMS-Algorithmus.

Zeit [ms]0 20 40 60 80 100

Span

nung

[V

]

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1NLMSSignLMSLMS

Abbildung 5.6: Simulation zum Vergleich von Rest-fehler und Konvergenzgeschwindig-keit der Adaptionsalgorithmen

113



5.1.2 FxLMS-Algorithmus

Abbildung 5.7 stellt das Prinzipschaltbild des Kompensations-verstärkers dar.

uEin(t)uLast(t)Prefilter

Einkoppel-netzwerk

Auskoppel-netzwerk

FIR-Filter

mit LMS

Auskoppel-netzwerk

x ybp

xfiryfir

efir

yLast

Abbildung 5.7: Schematischer Aufbau des Kompen-sationsverstärkers mit adaptivem Fil-ter

Es ist auällig, dass sich Filterelemente, grün gekennzeichnet, inden Messpfaden benden. Diese Filterelemente sind zum einenerforderlich zum Schutz der Elektronik vor der hohen Energieder Grundschwingung und zum anderen zur Signalrekonstrukti-on nach dem D/A-Wandler.Diese zusätzlichen Übertragungsfunktionen resultieren in einerPhasenverschiebung der Signale, was zur Instabilität der Adap-tion führen kann. Morgan untersucht in [40] die Auswirkungenvon Übertragungsfunktionen im Kompensationszweig.Eine stabilisierte Variante des LMS wird in [19] von S. J. Elliotvorgestellt. Dort werden die Übertragungsfunktionen der im Bilddargestellten Ein- und Auskoppelnetzwerke im Eingangszweigerneut angeordnet (S(z)). Mit der Einführung dieser Übertra-gungsfunktion wird der LMS zum Filtered x Least Mean Squa-re erweitert. Die Untersuchungen in [12] zeigen, dass mit dieserMaÿnahme das Filter stabilisiert werden kann. Es ist jedoch an-zumerken, dass durch diese Maÿnahme die Konvergenzgeschwin-

114



Einkoppel-netzwerk

Auskoppel-netzwerk

FIR-Filter

mit LMS

Auskoppel-netzwerk

S(z)

FIR-Filter

mit FxLMS

Abbildung 5.8: Einführung des Filtered-x Signales

digkeit des FxLMS niedriger ist als die des LMS. [62] und [41]haben Verfahren zur Steigerung der Konvergenzgeschwindigkeitvorgestellt. Mit einem zusätzlichen, sehr schmalbandigen Filterim Fehlerpfad konnte bei groÿer Schrittweite Konvergenz erzieltwerden. Es gibt noch viele weitere Optimierungen des FxLMS,auf die hier im einzelnen nicht näher eingegangen werden kann.In [42] stellt D. Morgan die historische Entwicklung des FxLMSund Optimierungsansätze mit Applikationsbeispielen dar.

Aufgrund des Aufbaus des Kompensationsversärkers und der gu-ten Performanz des FxLMS-Algorithmus wird im weiteren die-ser als Adaptionsalgorithmus verwandt. Die Übertragungsfunk-tionen der Koppelnetzwerke werden hierbei als FIR-Filter imFPGA gespeichert.

115



5.2 Simulation des adaptiven Systems

mit FxLMS

Abbildung 5.9 zeigt den Aufbau der Simulation in Matlab. Derschematische Aufbau entspricht dem allgemeinen Operations-prinzip, welches in Abbildung 2.24 skizziert ist. Zusätzlich exis-tiert in diesem Aufbau ein Messpunkt für die Lastspannung. Andiesem Messpunkt wird das Fehlersignal für den FxLMS durchdas Einkoppelnetzwerk dem Algorithmus zugeführt. Im idealenstationären Fall ist die Lastspannung rein sinusförmig und derOberschwingungsanteil minimal.Das Auskoppelnetzwerk ltert die Grundschwingung heraus, so-dass im stationären Fall das Fehlersignal efir ebenfalls minimalbzw. null ist. Ist das Fehlersignal gleich null, so folgt daraus, dassdie Oberschwingungen des bandpassgelterten EingangssignalsyBP destruktiv mit den modizierten Signalen aus dem adaptivenFilter interferieren. Am Summenpunkt bildet sich für die Ober-schwingungen eine destruktive Interferenz aus. Abbildung 5.10


Einkoppel-netzwerk

Auskoppel-netzwerk

FIR-Filter

mitFxLMS

Auskoppel-netzwerk

x ybp

xfiryfir

efir

yLast

Abbildung 5.9: Simulationsmodell des adaptivenKompensationsverstärkers

zeigt das Simulationsergebnis zur Eliminierung einer Schwin-gung. Die Filterkoezienten des FIR-Filters werden zum Start-zeitpunkt auf null gesetzt. Dadurch ist auch das Signal yfir gleich

116

5.2. Simulation des adaptiven Systems mit FxLMS

null. Das Prelter stellt für diese Schwingung eine sehr niedrigeImpedanz dar, wodurch das Eingangssignal in etwa dem Lastsi-gnal entspricht. Aus Abbildung 5.10 geht hervor, dass die Ad-aption nach ca. 10 µs beginnt und das Ausgangssignal xLast desFIR-Filters sich dem 180 phasenverschobenen Eingangssignalxfir anpasst. Nach ca. 150 µs ist die Adaption abgeschlossen unddas Fehlersignal efir minimiert.

0 100 200 300 400−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

Zeit [µs]

Spa

nnun

g [V

]

EingangssignalAusgangssignalFehlersignal

Abbildung 5.10: Einschwingvorgang bei einerSchrittweite von µ = 2−10

Der Standard-LMS-Algorithmus geht davon aus, dass sich kei-ne Übertragungsfunktionen zwischen dem Ausgang des FIR-Fil-ters und der Fehlerdetektion benden. Für die hier gewählte An-wendung sind die Koppelnetzwerke allerdings zum Schutz gegendie hohe Grundschwingungsenergie dringend nötig. Die Übertra-gungsfunktion dieser Netzwerke muss dem Algorithmus über eineStreckenfunktion bekannt sein. Es gibt zwei Möglichkeiten, eineStrecke zu identizieren.

1. In den sekundären Signalpfad wird ein breitbandiges Sig-nal eingespeist und mit dem LMS-Algorithmus oder einemanderen Algorithmus adaptiert. Dabei wird das Eingangs-signal deaktiviert. Als Signalquelle dient der Ausgang desFIR-Filters yBP. Der Vorteil dieser Methode besteht in der

117



hohen Verlässlichkeit des Ergebnisses. Allerdings hängenzeitliche Dauer und Genauigkeit von den gewählten Para-metern des Adaptionsalgorithmus ab.

2. Eine weitere Möglichkeit ist die Messung der Impulsant-wort durch Anregung der sekundären Strecke mit einemDirac-Impuls. Dieses Verfahren kann schnell implementiertwerden und liefert hinreichende Genauigkeit. Allerdingsmuss beachtet werden, dass die Hardware zur Pulsgene-rierung eine hinreichende Flankensteilheit d

dtu realisierenkann.

Bei späteren Betrachtungen wird die Streckenidentizierung mit-tels eines Dirac-Impulses durchgeführt. Abbildung 5.11 zeigt denSimulationsaufbau der Streckenidentizierung, Abbildung 5.12adie quantisierte Impulsantwort der sekundärseitigen Koppelnetz-werke.

Einkoppel-netzwerk

Auskoppel-netzwerk

eFIR

yFIR

Dirac-Impuls

Streckenidentifikation

0 xFIR

Abbildung 5.11: Simulink-Modell zur Ermittlungder Imulsantwort der sekundärenStrecke

Nachdem die Streckenidentizierung erfolgt ist, kann das Sys-tem aus Abbildung 5.9 simuliert werden. In Abbildung 5.12csind die Spektren zu den Zeitverläufen aus Abbildung 5.12d zuerkennen. In schwarzer Farbe ist das Lastspektrum der Senkebei deaktiviertem Kompensationsverstärker dargestellt. In die-sem Fall trägt nur das Prelter zur Dämpfung des Eingangs-signals bei. Die Dierenz zwischen der roten und der schwarzen

118


0 10 20 30 40−5

0

5

10

15

Zeit [µs]

Spa

nnun

g [m

V]

(a) Streckenidenti-kation, eFIR

0 10 20 30 40 50−150

−100

−50

0

50

Zeit [ms]

e(t)

[dB

]

(b) Lernkurve

0 500 1000 1500 2000−400

−300

−200

−100

0

Frequenz [kHz]

Am

plitu

de [

dB]

EingangssignalAusgangssignal BandpassAusgangssignal mit FxLMS

(c) Spektrum

0 20 40 60 80 100 120−30

−20

−10

0

10

20

30

Zeit [µs]

Spa

nnun

g [V

]

EingangssignalAusgangssignal BandpassAusgangssignal mit FxLMS

(d) Stationäre Signa-le

Abbildung 5.12: Simulationsergebnisse des adapti-ven Kompensationsverstärkers

119



Kurve zeigt die zusätzliche Dämpfung, die sich aus dem Einsatzdes KVs ergibt. In dieser Konguration lässt sich eine zusätzli-che Dämpfung von min. 60 dB pro Oberschwingung realisieren.Dieser Dämpfungswert steht in Abhängigkeit zur Ordnung desRekonstruktionstiefpasses und der Abtastfrequenz. Je höher dieAbtastfrequenz der Wandler gewählt wird, desto höhere Dämp-fungen können erzielt werden. Abbildung 5.13 verdeutlicht dies.Denselben Eekt bewirkt die Erhöhung der Ordnung des Re-konstruktionstiefpasses. Die Variation der Filterordnung ist inAbbildung 5.14 dargestellt. Wird die Abtastrate zu 2 MHz ge-wählt und ein Tiefpasslter vierter Ordnung verwendet, könnendie Dämpfungen der Oberschwingungen bis zu 100 dB betragenund somit bis zum Rauschpegel unterdrückt werden. In Abbil-dung 5.12c erhöht sich der Rauschpegel aufgrund der Verwen-dung des Kompensationsverstärkers von ca. -300 dB auf ca. -220 dB. Aus den Abbildungen 5.13 und 5.14 wird sichtbar, dassdieser Eekt sowohl durch die Erhöhung der Abtastrate als auchder Ordnung des Rekonstruktionstiefpasses herbeigeführt wer-den kann.Aus Abbildung 5.15a lässt sich die Dauer der Adaption ablesen.Diese beträgt ca. 50 ms. Man erkennt, dass der detektierte Fehlersich nach dieser Zeit auf seinen Endwert eingeschwungen hat.Abbildung 5.15b zeigt den Einuss des Gewichtungsfaktors µ aufden Verlauf des mittleren quadratischen Fehlers.

Die Adaption erweist sich als sehr robust. Totzeiten aufgrund vonWandlungs- und Verarbeitungszeiten beeinträchtigen die Adap-tion nicht.

Für den Nachweis, dass auch höherfrequente Schwingungen mini-miert werden können, ist in Abbildung 5.16 das Lastspektrum beieiner Grundschwingung von 100 kHz mit entsprechenden Har-monischen aufgeführt. Daraus geht hervor, dass die Adaptionnicht von der Grundschwingungsfrequenz abhängig ist und auchhöher frequente Harmonische (700 kHz) minimiert werden kön-nen. Für den Betrieb des Kompensationsverstärkers mit einerGrundschwingung gröÿer als 25 kHz sind neben der Erhöhung

120


0 2 4 6 8−350

−300

−250

−200

−150

−100

−50

0

Frequenz [MHz]

Am

plitu

de [d

B]

UEIN

UAUS

nur Pre−Filter

UAUS

mit FIR, @ 2 MHz

UAUS

mit FIR, @ 4 MHz

UAUS

mit FIR, @ 8 MHz

Abbildung 5.13: Variation der Abtastfrequenz beikonstanter Rekonstruktionstiefpass-ordnung NTP = 3

0 500 1000 1500 2000−350

−300

−250

−200

−150

−100

−50

0

Frequenz [kHz]

Am

plitu

de [d

B]

UEin

UAus

nur Pre−Filter

UAus

TP N = 2

UAus

TP N = 4

UAus

TP N = 7

Abbildung 5.14: Variation der Ordnung des Rekon-struktionstiefpasses bei konstanterAbtastfrequenz fa = 2MHz

121



0 20 40 60 8010

−6

10−4

10−2

100

Zeit [ms]

Mittle

rer

qu

ad

ratisch

er

Fe

hle

r

(a) Lernkurve desFxLMS

0 20 40 60 80 10010

−10

100

1010

1020

Zeit [ms]

Mittle

rer

qu

ad

ratisch

er

Fe

hle

r

µ = 1µ = 0.5µ = 0.25

µ = 2−5

µ = 2−8

(b) Variation des Ge-wichtungsfaktors

Abbildung 5.15: Lernkurve mit Variation des Ge-wichtungsfaktors

der Filterordnung des FIR-Filters und der Abtastrate lediglichAnpassungen an der Hardware vorzunehmen.

Für das FPGA (Spartan 3A DSP) stellen höhere Frequenzen keinProblem dar. Dieses ist mit einer Taktfrequenz von 125 MHzsowie einer ausreichenden Zahl an Multiplizierern und Logik-gattern ausgerüstet. Ferner besteht die Möglichkeit, die Taktra-te auf 250 MHz zu erhöhen. Bei den Wandlern ist jedoch eineHardwareanpassung erforderlich. Der verwendete D/A-WandlerDAC8820 von Texas Instruments besitzt eine maximale Sample-Rate von 2 MHz. Betrieben wird er momentan mit einer Sample-Rate von 1 MHz. Bei einer Grundfrequenz von 100 kHz und hö-her können Oberschwingungen nicht mehr ausreichend detektiertwerden. Hier müsste ein neuer High Speed Wandler eingesetztwerden. High Speed Devices besitzen allerdings höhere relativeFehler und geringere Auösungen.

122


0 500 1000 1500 2000−400

−300

−200

−100

0

Frequenz [kHz]

Am

plitu

de [d

B]

UEin

UAus

nur Pre−Filter

UAus

mit FIR−Filter

Abbildung 5.16: Simuliertes Lastspektrum@fa = 2MHz, N = 10µ = 2−8, f0 = 100kHz

Der verwendete A/D-Wandler AD7625 der Firma Analog Devi-ces besitzt eine maximale Sample-Rate von 6 MHz. Die Firmabietet ein pin-kompatibles Modell, das mit einer Abtastrate vonmaximal 10 MHz betrieben werden kann. Dieser A/D-Wandlerkann somit problemlos zur Anwendung kommen.

123



5.3 Messtechnische Validierung des

Kompensationsverstärkers mit

adaptivem Filter

Die Simulationen belegen, dass es unter Zuhilfenahme eines ad-aptiven Filters möglich ist, Oberschwingungen in einer Lastspan-nung zu reduzieren. Die Filterkoezienten des FIR-Filters wer-den dazu mit dem FxLMS geregelt, bis das Fehlersignal minimalwird. Des Weiteren ist im vorherigen Abschnitt die Abhängigkeitder Filtergüte vom Gewichtungsfaktor µ und der Ordnung desRekonstruktionstiefpasses N dargestellt worden.

Dennoch konnten viele Faktoren in der Simulation nicht berück-sichtigt werden.Die begrenzte Flankensteilheit der Spannung du

dt sowie Laufzeit-eekte wurden in der Simulation vernachlässigt. Ferner beein-ussen die Streuinduktitäten der Transformatoren das Durch-lassverhalten der nachfolgenden passiven Filterstufen.

Für die adaptive Regelung ist die vorherige Systemidentikationnotwendig. Ansonsten könnte die Regelung aufgrund fehlenderInformationen über die Übertragungsfunktion des Rekonstrukti-onspfades instabil werden. Diese Systemidentikation ist in derSimulation ideal durchgeführt worden. Inwieweit fehlende Infor-mationen die Regelung beeinussen, muss sich bei der Messungzeigen. Dazu werden zum Nachweis der Funktionalität des Kom-pensationsverstärkers unter Einbezug aller parasitären Einüsseim folgenden Abschnitt Messergebnisse eines geregelten Kom-pensationsverstärkers vorgestellt.

Abbildung 5.17 stellt den dazugehörigen Versuchsaufbau dar,der dem Aufbau des simulierten Systems aus Abbildung 5.9 ent-spricht.

Die Ein- und Auskoppelnetzwerke sind identisch mit denen ausKapitel 4.3. Das Bandpasslter besitzt eine Mittenfrequenz von25 kHz. Im gesteuerten System werden die Oberschwingungen

124

5.3. Messtechnische Validierung des

Kompensationsverstärkers mit adaptivem Filter

BS

BS

uEin(t) uMed(t)

FPGA

uLast(t)

e(t)

x(t)

BS

uKomp(t)

REKON

Prefilter

AdaptivesfilterEinkoppel-netzwerk

Auskoppel-netzwerk

Auskoppel-netzwerk A

D

AD

AD

Abbildung 5.17: Schematischer Versuchsaufbau desadaptiven Systems

an nur einem Punkt der Schaltung gemessen. Für die Regelungdes Systems werden zusätzlich zu den detektierten Oberschwin-gungen des Eingangssignals x(t), die Oberschwingungen e(t) amEinspeiseort detektiert. Der Parameter |e(t)| stellt somit den Be-trag des Fehlersignals dar. Die Filterkoezienten bK des digitalenFilters werden in einer Weise adaptiert, dass |e(t)| minimal wird

(|e(t)| != Min).

125



5.3.1 Systemidentikation

Für die nachfolgenden Messungen wird zuerst die Systemant-wort der Übertragungsfunktionen im Einkoppelzweig vermessen.Die Aufnahme der Impulsantwort wird analog zu Abschnitt 5.2durchgeführt. Hierzu wird im FPGA ein Rechteckimpuls miteiner Amplitude urect = 1 V und einer Breite trect = 500 nserzeugt. Die Übertragungsfunktionen des Rekonstruktionstief-passes, der Transformatoren, der Operationsverstärker und derBandsperren beeinussen das ursprüngliche Rechtecksignal. DieImpulsantwort der Übertragungsfunktionen wird dann wieder alsFehlersignal e(t) gemessen. Die vermessene Strecke ist in Abbil-dung 5.18 dargestellt. Abbildung 5.19 zeigt den programmier-

uEin(t) uMed(t) uLast(t)Prefilter

BSe(t)

BS

uKomp(t)

REKON

D/AAus(t)RekonAus(t)

D

A

D

A

Abbildung 5.18: Schematische Darstellung des Mess-pfades für die Systemidentikation.

ten Rechteckimpuls in roter Farbe. Nach dem Analog/Digital-Wandler erfährt das Signal, in schwarz dargestellt, eine Verzer-rung und nimmt eine Dreiecksform an. Einerseits könnte die-se Verzerrung auf die unzureichende Fähigkeit die hohe Flan-kensteilheit des Rechteckimpulses nachzubilden zurückzuführensein. Andererseits ist es möglich, dass die Ausgangsleistung des

126



D/A-Wandlers nicht ausreichend ist, um die hier verwendete30 Ω Last zu treiben. Die Flankensteilheit der Lastspannung be-trägt du

dt = 0, 7 Vµs . Die Operationsverstärker besitzen eine Span-

nungssteilheit von 22 Vµs bei einem maximalen Ausgangsstrom

von 30 mA. Die Messung wurde trotz dieser limitierenden Fakto-ren durchgeführt. Die gemessene Impulsantwort ist blau darge-stellt. Sie wird in einem digitalen FIR-Filter abgespeichert undbildet das Übertragungsverhalten des Ein- und Auskoppelpfadesnach.

Zeit [µs]0 5 10 15

Spannung[V

]

-0.5

0

0.5

1REKONAus(t)

e(t)

FPGAAus(t)

Abbildung 5.19: Gemessene Streckenidentikationdurch einen Dirac-Impuls

5.3.2 Messung mit Prelter erster Ordnung

Nach abgeschlossener Systemidentikation ist der Kompensa-tionsverstärker einsatzbereit. Restfehler, Adaptionsgeschwindig-keit und Stabilität sind die drei wichtigsten Kennwerte des Kom-pensationsverstärkers. Die Wahl des Gewichtungsfaktors ist ei-ne Abwägung zwischen Konvergenzzeit und Restungenauigkeit.Die Konvergenzzeit kann groÿ gewählt werden (tadap = 1 s), dader Kompensationsverstärker im stationären Dauerbetrieb nurthermische Bauteildrifts ausregeln soll. Bei den nachfolgendenMessungen ist deswegen ein Gewichtungsfaktor von µ = 2−12

127



verwendet worden. Dieser sehr niedrige Wert ermöglicht einengeringen Restfehler.FIR-Filter sind per se stabil, jedoch kann, herrührend durch dieSignalrückführung, das System dennoch instabil werden. Die Fil-terkoezienten b wachsen dann über alle Grenzen und die Be-schränktheit der Impulsantwort nach Gleichung (4.6) ist nichtmehr gegeben. Der Betrag der Filterkoezienten hängt maÿ-geblich nach Gleichung (5.18) von dem Gewichtungsfaktor µ,der Energie der Eingangswerte x(n) und der Energie des ge-messenen Fehlersignals e(n) ab. Insofern ist darauf zu achten,dass in Folge der adaptiven Regelung die Filterparameter, dieaufgrund der oben genannten Gröÿen beeinusst werden, be-tragsmäÿig keine zu groÿen Werte annehmen und somit zur In-stabilität des Systems führen. Die Amplituden der detektiertenEin- und Ausgangssignale können durch das Übersetzungsver-hältnis der Transformatoren bzw. über den Verstärkungsfaktorder Operationsverstärkerschaltungen angepasst werden. Bei derverwendeten Konguration und dem geringen Gewichtungsfak-tor konnte das System immer stabil gehalten werden. Für dieValidierung der Funktionalität und der Stabilität ist das Sys-tem mit unterschiedlichen Eingangssignalen beaufschlagt wor-den. Der Kompensationsverstärker soll in der Lage sein, einzelneStörschwingungen sowie den Oberschwingungsgehalt von Misch-signalen zu minimieren. Das verwendete Störspektrum liegt imBereich von (f = 50 − 200 kHz). Als Mischsignale werden einverstärktes Sinussignal mit einer Grundschwingungsfrequenz von25 kHz und ein 25 kHz-Rechtecksignal verwendet. Diese Signalebeinhalten gerad- und ungeradzahlige bzw. nur ungeradzahligeHarmonische der Grundschwingung. Sie werden jeweils mit ei-nem Signalgenerator erzeugt und mit einem Leistungsverstärkerder Klasse AB verstärkt. In Reihe zum Verstärker liegen das pas-sive Bandpasslter (Prelter) und die Last. Als Prelter wird einBandpass der Ordnung N = 1 bzw. N = 3 verwendet. Die Fil-ter besitzen die Resonanzfrequenz von 25 kHz. Dadurch wird beiden Mischsignalen die Grundschwingung nicht beeinusst, wäh-rend die Oberschwingungen korrespondierend zur Filterordnunggedämpft werden.

128



Es bleibt zu prüfen, ob der Kompensationsverstärker in der La-ge ist, bei unterschiedlichen Anregungen und Prelterordnungendie Oberschwingungen an der Last zusätzlich zur Prelterdämp-fung zu reduzieren und somit zur Verbesserung des Klirrfaktorsbeizutragen.Es ist zu erwarten, dass sich die Erhöhung der Prelterord-nung N positiv auf die Stabilität auswirkt, da der Betrag desFehlersignals |e(t)| durch die passive Filterung verringert wird.Werden die Oberschwingungen jedoch zu stark bedämpft, mussmehr Aufwand zur Detektion des Signals betrieben werden. Ausdiesem Grund bendet sich im Messzweig des Fehlersignals ei-ne Verstärkerstufe, die gegebenenfalls zur Verstärkung des Feh-lersignals eingesetzt werden kann. Durch die Verstärkung wirdaber auch der Rauschpegel gesteigert. Zu seiner Reduzierungkann softwareseitig eine Mittelung vorgenommen werden. Dieeingangsseitigen Verstärker haben den voreingestellten Verstär-kungsfaktor von G = 2.Als Last wird zuerst ein ohmscher Widerstand (R = 30 Ω) undspäter ein Parallelschwingkreis verwendet. Der Versuchsaufbauist in Abbildung 5.20 dargestellt.

Abbildung 5.20: Foto des Versuchsaufbaus

129



Das Prelter ist hier zuerst als passives Filter erster Ordnungmit den Elementen: L = 0, 53 mH und C = 75 nF realisiert.Die 3 dB Bandbreite des Filters beträgt 4 kHz und die Mitten-frequenz liegt bei 25 kHz.

Zur Anregung wird das System mit einer sinusförmigen Span-nung mit einer Amplitude von uMED = 1, 8V und der Frequenzvon f = 75 kHz beaufschlagt.Der zeitliche Verlauf der Eingangs- und Ausgangsspannung sowiedes Kompensationssignals ist in Abbildung 5.21 zu erkennen.

0 20 40 60 80 100−2

0

2

uMed[V

]

t [µs]0 20 40 60 80 100

−500

0

500

e(t)

[mV]

0 20 40 60 80 100−200

0

200

e(t)

[mV]

t [µs]0 20 40 60 80 100

−0.5

0

0.5

Kompsign

al[V

]

Abbildung 5.21: Zeitsignale bei 75 kHz-Anregungund Prelter erster Ordnung-oben mit deaktiviertem KV,unten mit aktiviertem KV

In der oberen Bildhälfte ist das verstärkte Eingangssignal umed(t)und das Fehlersignal e(t) bei deaktiviertem Kompensationsver-särker zu erkennen. Die Spannung an der Last uLast(t) entsprichtdabei der Spannung e(t), die in Abbildung 5.21 in roter Farbe zuerkennen ist. Der Spitzenwert der Lastspannung beträgt bei de-aktiviertem Kompensationsverstärker ca. e = 470 mV. Gemessenwird dieser Wert nach der Verstärkerstufe, so dass das reale Si-gnal um den Faktor zwei kleiner ist. Die Dämpfung des Signals istallein auf die Filterwirkung des Prelters zurück zu führen und

130



0 50 100 150 200

−100

−80

−60

−40

−20

0

f [kHz]

P [d

Bm

]

e(t) mit KVe(t) ohne KV

Abbildung 5.22: Spektrum bei 75 kHz-Anregung undPrelter erster Ordnung

beträgt 17, 68 dB. Das schwarze Kompensationssignal ist gleichnull.

Bei Aktivierung des Kompensationsverstärkers wird das gegen-phasige Kompensationssignal uKomp(t) erzeugt und ist im un-teren Teil der Abbildung 5.21 schwarz dargestellt. Das Kom-pensationssignal besitzt keinen exakten Phasenversatz von 180

zum gemessenen Fehlersignal, was auf die Übertragungsfunktio-nen in den Detektionszweigen sowie im Ein- und Auskoppelzweigzurückzuführen ist. Diese Übertragungsfunktionen beeinussenebenfalls die Phase des Kompensationssignals. Die angestrebtePhasenverschiebung von 180, die zu destruktiver Interferenzführt, wird erst am Einspeiseort erreicht. Wenn ein Prelter1. Ordnung eingesetzt wird, entspricht dies der LastspannunguLast(t) selbst.

Das Kompensationssignal überlagert sich mit dem Lastsignal,wodurch die Lastspannung auf ca. 22 mV reduziert wird. Dies istin der Abbildung 5.22 im unteren Teil dargestellt. Dieser Wertliegt nah an der gemessenen Rauschgrenze. Zur Verdeutlichungist das Spektrum der Lastspannung bei aktiviertem und deakti-viertem Kompensationsverstärker in Abbildung 5.22 aufgeführt.Daraus wird ersichtlich, dass die 75 kHz-Schwingung um mehr

131



als 40 dB reduziert werden kann. Auallend ist jedoch die Aus-bildung einer Schwingung bei 150 kHz. Diese Schwingung ist dieerste Harmonische des Kompensationssignals. Diese Komponen-te kann nicht durch passive Filter reduziert werden, da sie imBereich der zu kompensierenden Oberschwingungen liegt. Folg-lich erhöht sich der Eektivwert des gemessenen Fehlersignalsum diese Frequenzkomponente. Für eine Minimierung dieser Fre-quenzkomponente müsste die Generierung des Kompensationssi-gnals an sich verbessert werden.Die Lastspannung bei aktiviertem und deaktiviertem Kompensa-tionsverstärker ist separat in Abbildung 5.23 dargestellt. Der ge-messene Eektivwert der Lastspannung konnte unter Zuhilfenah-me des Kompensationssignals von 470√

2mV auf ca. 22 mV redu-

ziert werden. Dies entspricht einer Minimierung um ≈ 23, 58 dB.Die vorherige Messung zeigt, dass eine Adaptierung des FIR-

Zeit [µs]0 20 40 60 80 100

Spa

nnun

g [V

]

-500

0

500uLast(t) mit deaktiviertem KVuLast(t) mit aktiviertem KV

Abbildung 5.23: Lastspannung uLast(t) mit und ohneKV bei 75 kHz-Sinusanregung

Filters des Kompensationsverstärkers möglich ist und einzelneSchwingungen bedämpft werden. Das Signal kann bis zur Rausch-grenze reduziert werden. Der Algorithmus würde diese Minimie-rung mit jeder detektierten Schwingung durchführen. Im Fal-le eines Mischsignals sollen aber nur die Oberschwingungen desSignals minimiert werden und die Grundschwingung unberührtbleiben.

Für die Detektion des Fehlersignals sowie auch der Oberschwin-

132



gungen des Eingangssignals müssen die Vorlter die Grundschwin-gung unterdrücken. Zusätzlich zu den passiven Vorltern gewähr-leisten digitale Eingangslter die Funktionsweise bei Mischsigna-len. Wird die Grundschwingung unzureichend geltert, so ist esmöglich, dass die nachfolgende Elektronik zerstört wird. Zudemist unter allen Umständen zu vermeiden, dass das FIR-Filternicht auf die Grundschwingung adaptiert. Aus diesem Grund istein vorgeschaltetes digitales Tiefpasslter implementiert, welchessicher stellt, dass die Grundschwingung zusätzlich zu den passi-ven Filtern weiter reduziert wird.

In Abbildung 5.24 wird das System mit einer rechteckförmi-gen Spannung beaufschlagt, bestehend aus einer 25 kHz-Grund-schwingung und Harmonischen. Dadurch, dass das Rechtecksi-gnal gerade ist und dass zusätzlich f(t+ T

2 ) = −f(t) gilt, bildensich im Spektrum nur ungerade Harmonische aus.

Für die Signalqualität wird nicht der normalerweise gebräuchli-che Klirrfaktor herangezogen, sondern der Eektivwert Oe desSignals ohne die Grundschwingung. Im Fehlersignal e(t) wird dieGrundschwingungen bereits durch die Vorlter stark bedämpft,was zu einem fehlerhaften Klirrfaktor führen würde. Stattdessenwird der Eektivwert von e(t) über die Formel 5.24 bestimmt.

Oe =√∑

U2n mitn > 0

Oe =√U2

75 kHz + U2125 kHz + U2

150 kHz + U2175 kHz + ...

Oe ohne KV = 0, 1267 V. (5.24)

Der reduzierte Eektivwert der Oberschwingungen beläuft sichaufgrund des aktivierten Kompensationsverstärkers aufOemit KV = 1, 3 mV. Dies ist eine Verbesserung um ca. 40 dB.Wie aus Abbildung 5.25 ersichtlich wird, werden die dritte, fünf-te und siebte Harmonische deutlich minimiert. In diesem Fallwird jede Spektralkomponente um mindestens weitere 20 dB re-duziert. Die 150 kHz-Komponente ist die zweite Harmonische derhöchst energetischen Oberschwingung. Hier ndet eine Verstär-kung der Frequenzkomponente statt. Des Weiteren ist aus demDiagramm 5.25 zu erkennen, dass geradzahlige Harmonische auf-treten. Zurückzuführen ist dies, wie bei der vorherigen Messung,

133



auf die Harmonischen des Kompensationssignals.

0 20 40 60 80 100−5

0

5

uMed[V

]

t [µs]0 20 40 60 80 100

−500

0

500

e(t)

[mV]

0 20 40 60 80 100−100−50

050

100

e(t)

[mV]

t [µs]0 20 40 60 80 100

−0.2−0.100.10.2

Kompsign

al[V

]

Abbildung 5.24: Zeitsignale bei 25 kHz-Rechteckan-regung mit Prelter erster Ordnung-oben mit deaktiviertem KV,unten mit aktiviertem KV

0 100 200 300 400

−100

−50

0

f [kHz]

P[dBm]


Abbildung 5.25: Spektrum bei 25 kHz-Rechteckanre-gung mit Prelter erster Ordnung

134



5.3.3 Messung mit Prelter dritter Ordnung

Statt des Aufbaus im vorigen Abschnitt wird nun ein Prelterdritter Ordnung eingesetzt. Die detektierten Oberschwingungensind aufgrund der zusätzlichen Filterwirkungen kleiner. Es solldemonstriert werden, dass der Kompensationsverstärker auch inKombination mit passiven Filtern höher Ordnung zu einer Redu-zierung der Oberschwingungen führen kann. Der als Last genutz-te ohmsche Verbraucher wird durch einen Schwingkreis gemäÿAbbildung 5.26 ersetzt. Dieser wird durch die Streuinduktivitätdes Transformators Lσ und der Kapazität CLast gebildet.

BS

BS

uMed(t)

FPGA

e(t)

x(t)

BSuKomp

REKON

uEin(t)uLast(t)uMitte(t)

L1 L3C1 C3

L2 C2 CLast

T1Lσ

D

A

D

A

D

A

Abbildung 5.26: Versuchsaufbau mit Prelter drit-ter Ordnung und frequenzselektiverLast

Durch die zusätzliche Filterstufe wird das detektierte Fehlersig-nal e(t) verringert. Die Verstärkungsfaktoren der eingangssei-tigen Operationsverstärkerschaltungen müssen daher angepasst

135



werden, um eine gute Adaption zu gewährleisten. Der lastseitigeSchwingkreis ist auf 30 Ω abgestimmt. Der Transformator besitztein Übersetzungsverhältnis von ü= 1 : 10. Über die Variationder Sekundärinduktivität ist es möglich, dass Lastkondensatorund Streuinduktivität in Resonanz sind. Die Eingangsimpedanzdes Transformators ist für die resultierende Resonanzfrequenzrein ohmsch. Die Messergebnisse mit sinusförmiger Eingangs-spannung und der Frequenz f = 75 kHz sind in Abbildung 5.27dargestellt.

0 20 40 60 80 100−10

−5

0

5

10

uMed[V

]

t [µs]0 20 40 60 80 100

−100

−50

0

50

100

e(t)

[mV]

0 20 40 60 80 100−50

0

50

e(t)

[mV]

t [µs]0 20 40 60 80 100

−2

0

2

Kom

psign

al[V

]

Abbildung 5.27: Zeitsignale bei 75 kHz-Anregungund Prelter dritter Ordnung-oben mit deaktiviertem KV,unten mit aktiviertem KV

Im Zeitbereich ist die Auswirkung des Kompensationsverstär-kers deutlich zu erkennen. Die Spannung uMed(t) wird durch dasPrelter von ca. 6 V auf 47 mV reduziert. Dies entspricht einerDämpfung von ca. 20 · log10( 6000

47 ) = 42.12 dB.Das Signal e(t) wird zusätzlich durch die Aktivierung des KVsvon der Spitzenspannung e = 47 mV bis in das Rauschen hineingedämpft. Das in Abbildung 5.28 gezeigte Spektrum bestätigtdie Reduzierung der spektralen 75 kHz-Komponente. Wie auchbei den Messungen aus Abschnitt 5.3.2 zeigt sich, dass sich eine

136



0 50 100 150 200

−100

−50

0

f [kHz]

P [d

Bm

]


Abbildung 5.28: Spektrum bei 75 kHz-Anregung undPrelter dritter Ordnung

Oberschwingung bei der doppelten Frequenz des Kompensati-onssignals ausbildet. Insgesamt wird das Fehlersignal zusätzlichzur Prelterdämpfung (42.12 dB) um weitere ≈ 43 dB bedämpft.

Die Abbildungen 5.29 und 5.31 zeigen die Messergebnisse bei ei-ner Anregung mit einem Mischsignal und einem Prelter dritterOrdnung.

Unter der Verwendung von Mischsignalen ist der Kompensa-tionsverstärker ebenfalls in der Lage den Oberschwingungsge-halt zu reduzieren. So werden sowohl bei einem rechteckförmigen25 kHz-Signal (Abbildung 5.30) als auch bei einem nicht idealen25 kHz-Sinussignal (Abbildung 5.32) die Oberschwingungen mi-nimiert. Die einzelnen Spektralanteile werden mit bis zu≈ 35 dB,minimal aber mit 20 dB Dämpfung beaufschlagt. Allerdings wirdbei beiden Anregungen deutlich, dass die höchsten Frequenzan-teile keine nennenswerte Dämpfung mehr erhalten. Dies liegtzum einen daran, dass die detektierten Amplituden am kleinstensind, als vielleicht auch daran, dass der Algorithmus den Betragdes Fehlersignals minimiert und nicht einzelne Schwingungen.

137



0 20 40 60 80 100−10

0

10

uMed[V

]

t [µs]0 20 40 60 80 100

−50

0

50

e(t)

[mV]

0 20 40 60 80 100−50

0

50

e(t)

[mV]

t [µs]0 20 40 60 80 100

−0.5

0

0.5

Kompsignal[V

]

Abbildung 5.29: Zeitsignale bei 25 kHz-Rechteckan-regung und Prelter dritter Ord-nung - oben mit deaktiviertem KV,unten mit aktiviertem KV

0 50 100 150 200−120

−100

−80

−60

−40

−20

f [kHz]

P [d

Bm

]


Abbildung 5.30: Spektrum bei 25 kHz-Rechteckanre-gung und Prelter dritter Ordnung

Wird ein Sinussignal mit gerad- und ungeradzahligen Harmoni-schen eingespeist, können die einzelnen Frequenzanteile ebenfallsreduziert werden. Im Falle der Messungen aus Abbildung 5.32

138



kann eine Reduktion des Klirrfaktors um 29,88 dB erzielt wer-den.

0 20 40 60 80 100−100−50

050

100

uMed[V

]

t [µs]0 20 40 60 80 100

−100−50050100

e(t)

[mV]

0 20 40 60 80 100−50

0

50

e(t)

[mV]

t [µs]0 20 40 60 80 100

−0.2

0

0.2

Kom

psign

al[V

]

Abbildung 5.31: Zeitsignale bei 25 kHz-Sinusanre-gung und Prelter dritter Ordnung- oben mit deaktiviertem KV, untenmit aktiviertem KV

0 50 100 150−140

−120

−100

−80

−60

−40

−20

f [kHz]

P [d

Bm

]

e(t) mit aktiviertem KVe(t) mit deaktiviertem KV

Abbildung 5.32: Spektrum bei 25 kHz-Sinusanregungund Prelter dritter Ordnung

139



5.3.4 Ergebnisdiskussion

Die Messergebnisse aus Abschnitt 5.3 belegen, dass der Kom-pensationsverstärker durch die Einspeisung eines gegenphasigenKompensationssignals einzelne Schwingungen mit einer Frequenzvon bis zu 200 kHz verringern kann. Theoretisch liegt die Ober-grenze der zu kompensierenden Störungen bei der halben Abtast-frequenz der Wandlerbausteine. Dies entspricht einer Frequenzvon 1 MHz. Es hat sich jedoch gezeigt, dass in der Praxis dieSpektralanteile, die höher sind als 200 kHz, in ihrer Amplitudeso klein sind, dass eine Detektion nur mit hohen Verstärkungenmöglich ist. Zusätzlich führt aufgrund der geringen Energie derOberschwingungen eine Minimierung dieser Frequenzanteile zukeiner nennenswerten Reduzierung des Klirrfaktors.

Durch den Einsatz des Kompensationsverstärkers werden zusätz-lich zur Prelterdämpfung einzelne Schwingungen um den Fak-tor 100 (40 dB) reduziert, wobei es sich um einen Prelter ers-ter Ordnung handelt. Limitierend ist hierbei die Rauschgrenze.Das Rauschen in der Laborumgebung liegt bei dem verwendetenMessequipment bei ca. 5− 10 mV.

Wird statt einer einzelnen Frequenz ein Mischsignal eingespeist,das aus einer 25 kHz-Grundschwingung und ungeradzahligenHarmonischen besteht, können alle auftretenden Oberschwin-gungen minimiert werden, so dass der Klirrfaktor eine weitereReduzierung erfährt. Im Falle einer rechteckförmigen Eingangs-spannung wird jede Spektralkomponente zusätzlich zur vorhan-denen Prelterdämpfung um mindestens 20 dB bedämpft. DerKlirrfaktor des Gesamtsignals kann um ca. 40 dB verbessert wer-den.

Bei allen Messungen treten jedoch im Spektrum Signalanteilebei 150 kHz auf. Die Eingangsspannung beinhaltet keine derar-tige Frequenzkomponente. Daraus lässt sich schlieÿen, dass derKompensationsverstärker selbst diese Schwingung erzeugt. Diehöchste energetische Oberschwingung der Eingangsspannung istdie 75 kHz-Komponente. Das Kompensationssignal beinhaltet

140



somit hauptsächlich das 75 kHz-Signal und dessen Harmonische.Die zweite Harmonische des Kompensationssignals entspricht derdetektierten Störung. Diese Schwingung kann nicht kompensiertoder geltert werden, weil sie im Bereich möglicher Oberschwin-gungen der Eingangsspannung liegt.

Die Performanz des Kompensationsverstärkers ist weitestgehendunabhängig von der angeschlossenen Last sowie der Prelter-ordnung. Durch die zusätzliche Filterstufe wird der Eektiv-wert des detektierten Fehlersignals kleiner. Soll die Signalerfas-sung verbessert werden, müssen die Verstärkungsfaktoren im De-tektionszweig angepasst werden. Das Fehlersignal wird so weitverstärkt, dass es den gesamten Eingangsspannungsbereich desAnalog/Digital-Wandlers ausnutzt.

In den Messungen aus Abschnitt 5.3.3 wird ein Prelter dritterOrdnung mit einer frequenzselektiven Last verwendet. Eine Mi-nimierung der Oberschwingungen ndet sowohl bei einer Anre-gung mit einem stark oberschwingungsbehafteten Rechtecksignalstatt, als auch mit einem 25 kHz-Sinussignal. In beiden Fällenwerden die Oberschwingungen reduziert und der Klirrfaktor desFehlersignals wird um ca. 29,8 dB verbessert.

141

6 Zusammenfassung

Zur Reduzierung von unerwünschten Oberschwingungen bzw.des Klirrfaktors in leistungselektronischen Systemen sind in die-ser Arbeit mehrere Möglichkeiten aufgezeigt worden, unterteiltin hardware- und softwaremodizierende Lösungen.

Liegt die Frequenz der Ausgangsspannung im Bereich der Netz-frequenz von 50/60 Hz, können die Harmonischen (≥ 150 Hz)leicht durch ein verbessertes Steuerverfahren des Umrichters,passive oder aktive Filter oder durch den Einsatz von Multi-level-Wechselrichtern verbessert werden. Benden sich die Har-monischen allerdings im höheren Spektralbereich (≥ 100 kHz)können PWM-gesteuerte Wechselrichter nicht eingesetzt werden.Aufgrund der zu hohen Trägerfrequenz der PWM sind die Ver-lustleistungen zu groÿ. Da bei den meisten aktiven Filtern dieSignalgenerierung des Kompensationssignals durch PWM-Wech-selrichter geschieht, scheidet diese Möglichkeit ebenfalls aus.Eine Alternative zur PWM-Steuerung stellt das in Kapitel 2 er-wähnte SB-ZePoC-Verfahren von Streitenberger [61] dar.

Setzt man statt der klassischen H-Brücke moderne Multilevel-Wechselrichter ein, kann der Klirrfaktor aufgrund der besserenSinusapproxmation der Ausgangsspannung reduziert werden.Dies geschieht allerdings auf Kosten der Komplexität.In Kapitel 2 ist ein neuer 15-Level-Wechselrichter für hohe Aus-gangsfrequenzen vorgestellt worden. Er besteht aus der Reihen-schaltung einer H-Brücke mit einem NPC-Wechselrichter. ImVergleich zur klassischen H-Brücke weist der 15-Level-Wechsel-richter einen deutlich reduzierten Klirrfaktor auf.

Werden passive Filter zur weiteren Reduzierung der Oberschwin-gungen eingesetzt, müssen die verwendeten Induktivitäten je nach

143

Kapitel 6. Zusammenfassung

Wert der übertragenen Leistung mit einem groÿen Kupferquer-schnitt realisiert werden. Dies macht sie nicht nur teuer, sondernauch schwer. Ist es nötig, hohe Filterwirkungen zu erzielen, müs-sen Filter mit hoher Ordnung verwendet werden.

Zur Aufwandsreduzierung bei derartigen passiven Filterstufen istim zweiten Kapitel das Operationsprinzip eines hybriden Filter-konzepts entwickelt worden. Das hybride Filter besteht aus einerreduzierten passiven Filterstufe und einem parallel angeordnetenKompensationsverstärker. Dieser speist ein Signal ein, welches,überlagert mit den Oberschwingungen der Quelle, in der Last zueiner destruktiven Interferenz führt und damit den Klirrfaktorverringert. Der Kompensationsverstärker kann mit einer analo-gen oder digitalen Schaltung realisiert werden.

Die im dritten Kapitel dargestellte analoge Realisierung beweist,dass es möglich ist, einen Kompensationsverstärker mit eineranalogen Operationsverstärkerschaltung aufzubauen. Die Mes-sungen bestätigen die voraus gegangenen Simulationen. Zusätz-lich zur Dämpfung durch das passive Filter werden die Harmoni-schen mit Hilfe des aktiven Systems um weitere 23 dB bedämpft.Die Bauteiltoleranzen der verwendeten Kondensatoren und Wi-derstände wirken sich negativ auf die Feinabstimmung der ak-tiven Filterstufen aus. Die Filterwirkung dieriert bereits beikleinen Abweichungen um bis zu 20 dB.

Die digitale Umsetzung ist Gegenstand des vierten Kapitels. DieVariation der Amplituden und Phasen werden hier von einemdigitalen Filter umgesetzt. Im dargestellten Messaufbau erreichtdie Reduzierung des Klirrfaktors ca. 29,8 dB. Die Filterkoezi-enten sind im Vorwege durch die Simulation festgelegt worden.Wenn im Prelter Veränderungen vorgenommen werden, wie z.B.Variationen der Prelterordnung, der Last oder des Quellensi-gnals, muss jeweils eine erneute Simulation durchgeführt wer-den. Weil diese arbeits- und zeitaufwendig sind, ist eine davonautonome Lösung wünschenswert.

Diese wird in Kapitel 5 durch ein geregeltes adaptives Filter um-gesetzt. Als Adaptionsalgorithmus wird der FxLMS benutzt. Die

144

Stabilität des Systems ist abhängig von der Energie der detek-tierten Oberschwingungen und dem Gewichtungsfaktor. Bei denvorgenommenen Messungen konnten stets stabile und stationärePunkte angefahren werden. Die Simulation des geregelten Sys-tems zeigt die Abhängigkeit der Lernkurve und des Restfehlersvon der Abtastfrequenz, der Ordnung des Rekonstruktionstief-passes und dem Gewichtungsfaktor. In der Simulation ndet dieAdaptierung innerhalb von 3 ms statt. Die einzelnen Harmoni-schen sind um min. 40 dB bedämpft worden. Die Messergebnissebelegen die simulierten Werte.

Kontraproduktiv ist erstens die Tatsache, dass das Kompensa-tionssignal selbst Harmonische in die Last einkoppelt und dasssich zweitens der Rauschpegel an der Last erhöht. Dennoch bleibtdas Ergebnis ein positives. Denn Abbildung 6.1 belegt nochmals,dass die erzielte Reduktion von zusätzlichen 40 dB pro Ober-schwingung ausreichend ist, ein passives Filter zweiter Ordnung,durch ein hybrides Filtersystem zu ersetzen, das aus einem pas-siven Filter erster Ordnung in Einheit mit einem Kompensati-onsverstärker besteht. Bei gleichzeitiger Nutzung des Kompen-sationsverstärkers und eines Filters zweiter Ordnung wird die Si-gnalqualität erhöht. Hält man die Signalqualität konstant, kannauf eine passive Filterstufe verzichtet werden.

145

Kapitel 6. Zusammenfassung

Abbildung 6.1: Dämpfungsverlauf von Bandpässenverschiedener Ordnungen

Das Rauschen im System könnte reduziert werden, wenn manrauscharme Oszillatoren zur Generierung einer einzelnen Fre-quenz verwenden würde. Phase und Verstärkung eines jeden Os-zillators müssten dann separat mit dem LMS-Algorithmus gere-gelt werden. Jede Frequenzkomponente müsste dann allerdingsvon einem Oszillator bereitgestellt werden, eine Tatsache, die denEinsatzbereich limitiert.Für zeitkritischere Applikationen sollten RLS (Recursive-Least-Squares-Algorithmus) oder Algorithmen im Frequenzbereich ver-wendet werden. Diese erfordern zwar einen gröÿeren Implemen-tierungs- und Rechenaufwand, bieten dafür aber kleinere Adap-tionszeiten.

Abschlieÿend kann man festhalten, dass diese Arbeit eine Lö-sungsmöglichkeit bereitstellt, wie man kostspielige und volumi-nöse passive Filterstufen in der Leistungselektronik reduzierenkann.

Reine passive Filterstufen werden in der Arbeit durch das vor-gestellte hybride Filter ersetzt. Neben den passiven Elementenweist das hybride Filter eine adaptive Filterstruktur auf, wie siebereits in anderen elektrischen Disziplinen eingesetzt wird. Je-

146

doch muss der Kompensationsverstärker an die hohen Energienund Frequenzen angepasst werden.

Das in dieser Arbeit entwickelte hybride Filterkonzept kann dannin der Praxis eingesetzt werden, wenn bei leistungselektronischenSystemen hohe spektrale Reinheit von Signalen gefordert wirdoder das Volumen von Filtern aus produktions- und kostentech-nischen Gründen reduziert werden muss.

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documentation/fir_compiler_ds534.pdf. [Aufge-rufen am: 10-Februar-2015]

[74] Yeary, M. B.: Adaptive IIR Filter Design for Single SensorApplications. In: IEEE Transactions on Instr. and Measu-rement, April 2002

[75] Zhang, Bo ; Xiuwei, Tian: Design of a Novel Adaptive FIRFilter Based on FPGA. In: IEEE International Conferenceon Electronic Measurement Instruments, 2011

[76] Zhang, F.: A zigzag cascaded multilevel inverter topolo-gy with self voltage balancing. In: APEC Applied PowerElectronics Conference and Exposition, 2008

[77] Zhang, F. u. a.: Study of the multilevel converters inDC/DC applications. In: Power Electronic Specelists Con-ference PESC, 2004

[78] Zölzer, Udo: Digitale Signalverarbeitung In: Vor-lesungsskript. https://www.hsu-hh.de/ant/index_

TJkNR1OUWaLsjGtG.html. [Aufgerufen am: 24-Februar-2014]

156

http://www.wima.de/DE/WIMA_FKP_1.pdf

http://www.wima.de/DE/WIMA_FKP_1.pdf

http://www.xilinx.com/support/documentation/ip_documentation/fir_compiler_ds534.pdf



https://www.hsu-hh.de/ant/index_TJkNR1OUWaLsjGtG.html

https://www.hsu-hh.de/ant/index_TJkNR1OUWaLsjGtG.html

A Schaltplan eines 15-Level-Umrichters

S1

S2

S3

S4

S5

S6

S7

S8

D1D2

D4D3

S9

S10

S11

S12

ZLast

T1

UEin

uLast(t)

Abbildung A.1: Detaillierter Schaltplan des15-Level-Wechselrichters

157

B Bauteilwerte

Tabelle B.1: Bauteilwerte aus Abbildung 4.23

Bauteil Wert Einheit

IC1 LME49990R1AK 1 kΩR2AK 1 kΩR3AK 0 ΩC1AK n.b. µFC2AK n.b. µFC3AK n.b. µFSource1 ADR403TAK VIGORTRONIX VTX1:1:1

158

C Beispiel zur analytischen Auslegung

des FIR-Filters

Für eine detailliertere Darstellung der Berechnungsvorschrift fürFIR-Filter wird im Folgenden ein kurzes Beispiel aufgezeigt. DasBeispiel wird unter der Voraussetzung idealer Bauteile und kei-ner Zeitverzögerung durch A/D- und D/A-Wandler erläutert.Der Algorithmus soll die Grundschwingung unterdrücken unddie Oberschwingung um 180 drehen. Die Amplitude der Ober-schwingung darf keine Beeinussung erfahren. Daraus werdenfolgende Parameter für den Algorithmus gewählt:

Tabelle C.1: Anforderungen an das Testlter

Grundschwingung f0 100 HzOberschwingung f3 300 HzOrdnung N 2Verstärkung G0 bei f0 0Verstärkung G3 bei f3 1Phase φ0 bei f0 0Phase φ3 bei f3 −180

Abtastfrequenz fa 1 kHz

Unter den obigen Forderungen ergibt sich Gleichung (4.19) zu:

G0e

−jφ0

G0ejφ0

G1e−jφ1

G1ejφ1

=

1 ej2πf0fa ej4π

f0fa ej6π

f0fa

1 e−j2πf0fa e−j4π

f0fa e−j6π

f0fa

1 e−j2πf3fa e−j4π

f3fa e−j6π

f3fa

1 ej2πf3fa ej4π

f3fa ej6π

f3fa

·

b0

b1

b2

b3

(C.1)

159

Daraus ergibt sich der Ergebnisvektor b zu:

b =

−0.2764− 0.0000i−0.0000 + 0.0000i0.4472− 0.0000i−0.4472 + 0.0000i

(C.2)

Durch die Forderung G0 = 0 verringert sich die Ordnung des FIRFilters. Die Übertragungsfunktion des Filters ist in AbbildungC.1 zu erkennen. Aus der Übertragungsfunktion lassen sich diecharakteristischen Punkte, wie sie in Tabelle C.1 vorgeben sind,ablesen. Die Abbildung ist auf 500 Hz normiert. Des Weiterenzeigt die Abbildung, dass unter zur Hilfenahme der Analytik ei-ne gewünschte Übertragungsfunktion realisiert werden kann. DerVerlauf zwischen den vorgegebenen Punkten kann nicht beein-usst werden.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−400

−200

0


Pha

se (

degr

ees)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−100

−50

0

50


Mag

nitu

de (

dB)

Abbildung C.1: Übertragungsfunktion des Testlters

160

D Schaltplan des MMC-Umrichters

nach Marquardt

S1

S2

S3

S4

S5

S6

S7

S8

C1

C2

C3

C4

UX1

UX2

UX4

UX3

uAus(t)UEin

L2

L1

Abbildung D.1: Schaltplan des MMC-Umrichtersnach Marquardt

161

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