39

Inhalt: f 13. Einleitung. - f 14. Beschreibung der Versuche und deren Ergebnisse. - 8 15. Vergleiohung der Versuchsresultate mit der 'neorie. - f 16. Die Gleitung des Wassers an Kupfer - f 17. Zusammen- fassung. -~

$ 13. Einleitung.

Einer von uns erstattete schon in mehreren vorher- gehenden Mitteilungen Bericht uber eine Methode, die er zur Untersuchung der inneren Reibung von Flussigkeiten am- arbeitete.2)

In seiner zweiten Ktteilung bestimmte er auf theo- retischem Wege das Drehmoment, welches eine um eine verti- kale Achse mit beliebig groBer, aber gleichmiiBiger Geschwin- digkeit rotierende Hohlkugel auf eine andere, kleinere, mi& der Hohlkugel konzentrisch auf einen Draht aufgehiingte Kugel infolge der inneren Reibung der zwischen ihnen sich befindenden Fliissigkeit ausubt .

Das Ergebnis hat er mit an Luft und CO, ausgefuhrten Messungen kontrolliert und mit hinreichender Genauigkeit hestatigt gefunden.

Die aus den Grundgleichungen der Hydrodynamik ab- geleitete Geset8zm&Bigkeit, welche dieses Drehmoment als Funktion der Umdrehungsgeschwindigkeit der BuBeren Kugel darstellt, sol1 bei jeder Art der zwischen den Kugeln sich

1) Vorgelegt der Ung. Akademie d. Wiss. in d. Sitz. vom 16. Mirz 1914.

2) Gy. Z e m p l h , AM. d. Phys. 29. p. 869. 1909 und 88. p. 71. 1912. Die Numerierung der Paragraphen, sowie die Bezeichnungen schliefkn sich an diejenigen der zweiten Mitteilung.

--

40 Gy. Zempldn u. B. Poqawy.

befindlichen Fliissigkeit ihre Giiltigkeit beibehalten, wenn die Flussigkeit nur inkompressibel ist. Insbesondere war es also nicht uninteressant, zuzusehen, ob sie sich auch bei den bisher nicht untersuchten tropfbar fliissigen Korpern be- wahrt ?

Wir stellten uns die Aufgabe, dies experimentell zu unter- suchen und wahlten als Versuchsmaterial Wasser. Der Koef- fizient der inneren Reibung des Wassers ist mehr als 50mal so grol3 wie derjenige von Luft, und seine Dichte ist ungefahr 800mal grol3er als die Luftdichte. Wir konnen das Resultat gleich vorwegnehmen, daB trotz des verschiedenen Aggregat- zustandes und der groBen Unterschiede in den numerischen Werten von Reibungskoeffizient und Dichte sowohl Luft und CO, wie Wasser sich in den von uns untersuchten weiten Geschwindigkeitsintervallen der theoretisch hergeleiteten Ge- setzmaBigkeit in gleicher Weise fugen; die Versuche mit Wasser wurden in ungefiihr denselben Geschwindigkeitsintervallen aus- gefiihrt wie diejenigen mit Luft und CO, (die Umdrehungs- zeit der auBeren Kugel variierte von SZ = 0,17 sec bis SZ = 9400 sec).

Im besonderen finden wir es beachtenswert, daI3 weder bei den Gasen, noch im Falle des Wassers eine sprungweise Anderung des Drehmoments der inneren Reibung mit der Geschwindigkeit zu beobachten war ; im Gegenteil anderte sich das Drehmoment mit der Geschwindigkeit immer stetig und nach derselben GesetzmaBigkeit.

Eine Turbulenz wurde also bei diesen Fliissigkeitsbewe- gungen nicht beobachtet, obwohl die auftretenden Geschwindig- keiten, besonders im Falle des Wassers, weitaus groBer waren als diejenigen, bei welchen bei Stroniungen in Rohren schon Turbulenz beobachtet wurde.

Unsere zweite Aufgabe war die experimentelle Unter- suchung der Frage, ob das Wasser, wenn es sich relativ zu einem mit ihm in Beriihrung stehenden festen Korper be- wegt, an der Oberflache dieses festen Korpers vollkommen haftet, oder ob an der Grenzflache eine Geschwindigkeits- differenz bzw. Gleitung statthat.

Unsere Versuche ergaben das Resultat, daB bei den von uns untersuchten Fallen eine Gleitung nicht nachzu- weisen ist.

Gber die innere Reibuny aon Fliissigkeiten. H I . 41

14. Beschreibung der Vereuohe und deren Ergebnisee.

Unsere Messungen beziiglich der inneren Reibung des 17-assers wurden nach der sogen. L4blenkungsmethode vor- gmommen, welche von Zemplkn bei seinen fruheren Unter- suchungen zuerst benut,zt und ausfiihrlich beschrieben worden ist. huch der benutzte Apparat,, und das ist fiir das Folgende wichtig, war derselbe, mit welchem Z e m p l h die innere Reibung von Luft und CO, untersuchte. Der Querschnitt des Xpparates ist in der Fig. 1 skizziert.

,

I

Fig. 1.

Rird die BuBere Hohlkugel mit Hilfe eines Uhrwerks oder eines Motors in Rotation versetzt, so ubt die zwischen den zwei Hohlkugeln befindliche Fliissigkeitsschicht ein Dreh- moment auf die innere, auf einen Draht aufgehiingte, schwin- gende Hohlkugel aus, welahe infolgedessen urn den Winkel 6 abgelenkt wird. Der dem Winkel 19 entsprechende Ausschlag n wird auf einer in der Entfernung A aufgestelIten Skela ab- gelesen. Bestimmt man aul3erdem die Dauer einer Umdrehung der auBeren Hohlkugel, 52, und miat man ferner die Schwin- gungsdauer T der inneren aufgehangten Kugel, so kern man den Koeffizienten der inneren Reibung mit der weiter unt,en mi tge teilten Formel berechnen.

42 Gy. Zemplkn u. B. Pogany.

Da die Messungen diesmal mit Wasser ausgefuhrt wurden, so muBten wir am Apparat einige unwesentliche Abanderungen vornehmen. Der Apparat wurde bis zur Hohe N (Fig. 1) rnit Wasser gefullt. Der so auftretende hydrostatische Drucli hob die Metallhulle B bei c auf, und das Wasser konnte dort ausflieBen. Urn das zu vermeiden, haben wir die Klemm- schrauben A , A' benutzt, wodurch der Apparat vollkommen schloB. Ferner haben wir an der schwingenden Hohlkugel, hart in der Nahe des Aufhangepunktes, bei a und a' je ein Loch von kreisformigem Querschnitt gebohrt, dessen Durch- messer ungefahr 0,5 mm betrug. Der Apparat wurde nam- lich zwecks Vermeidung von Luftblasen von unten her durch die Hahne d und d' mit Wasser gefullt; die Luft aus der inneren Hohlkugel konnte dabei durch die offnungen a und a' sicher entweichen.

Zu den Messungen wurde destilliertes Wasser benutzt, welches wir aus dem chemischen Institute der Universitiit bezogen. Nicht nur der Raum zwischen den zwei Kugelflachen, sondern der ganze Apparat, wie er in der Fig. 1 gezeichnet ist, wurde mit Wasser angefullt. Auf diese Weise waren un- gefahr 22 Liter Wasser im Apparat, und die dicke Wasser- schicht rund urn die Kugeln diente als vorzuglicher Warme- schutz. Mit einer Fullung wurden im Durchschnitt 2-3 Mes- sungen ausgefuhrt. Einwandsfreier ware es wohl gewesen, wenn der Aufhangedraht, um storende Einflusse der Kapil- laritat ganz auszuschliefien, in seiner ganzen Ausdehnung unter Wasser hatte gebracht werden konnen. Dabei kommt aber auch der Spiegel an der Achse der schwingenden Kugel unter Wasser, was fur die Ablesung Schwierigkeiten bereitet . Wir hoben also das Niveau des Wassers bloB bis zum unteren Rande des Spiegels, uberzeugten uns aber, daB die Kapil- laritiit keinen storenden EinfluB ausubt, und zwar dadurch, daB wir Messungen bei zwei verschiedenen Dicken (1 mm uncl 3 mm) der spiegeltragenden Achsen ausfiihrten; ein Unter- schied zwischen den Ergebnissen war nicht zu beobachten.

Unsere Messungen teilen sich in zwei Hauptgruppen. Bei der ersten Gruppe waren sowohl die BuBere, rotierende, wie auch die innere, schwingende, Hohlkugel dieselben, welche schon Zempl6n bei seinen auf Luft und CO, bezuglichen Beobachtungen benutzte. Bei der zweiten Gruppe, welche wir zwecks Untersuchung der Gleitung ausgefuhrt haben,

E b e r d i e i n n e r e Reibun.g von Fliissighiten. I I I . 48

benutzten wir statt der alten inneren Kugel eine neue, deren Radius um ungefiihr 1 em kleiner war als derjenige der alten schwingenden Kugel. Die Kombination der Resultate zweier solcher Versuche, bei denen die Radien der inneren Kugeln verschieden sind, gestattet namlich die Berechnung des Glei- tungskoeffizienten. Die neue Hohlkugel wurde in den mecha- nischen Werkstiitten von N. Sii ss (Budapest) verfertigt. Dep Durchmesser 2 r bestimmten wir mit Hilfe eines Katheto- meters, und zwar zwischen vielen gegenuberliegenden Punkten der Kugeloberfliiche. Als Beispiel fuhren wir hier die Werte auf, die wir in verschiedenen Punkten zweier um 90° von- einander gelegenen Meridianen gemessen haben.

Langs des einen Meridians beobachteten wir fur r2:

4,1790, 4,1757, 4,1772, 4,1753, 4,1762 em. Langs der anderen: 4,1740, 4,1760, 4,1757, 4,1754, 4,1762, 4,1760 em. Uer Mittelwert, aus allen diesen Messungen ergab fur

r2 = 4,1757 ern (mit 0,l Prom. Fehler). den iiuSeren Radius der inneren kleineren Kugel :

Die Formel

init deren Hilfe wir aus den gemessenen Versuchsdaten : 9, n, T und A , den Koeffi~ienten der inneren Reibung, 7, bereohnet haben (wobei bedeutet : Sa die Umdrehungsdauer der iiu5eren Kugel, n den Skalenausschlag, T die Schwin- gungszeit der inneren Kugel in Luft gemessen und schlieS- lich A den Skalenabstand in halben Skalenteilen gemessen), gilt nur bei auSerst langsamen Rotationen, bzw. liefert sie nur bei groSen Werten von Sa den eigentlichen Reibungs- koeffizienten I] . Bei schnelleren Bewegungen, bzw. kleineren Werten von Q, liefert Formel (1) den sogen. scheinbaren Reibungskoeffizienten f . 2 ) Die Konstanten in der Formel sind R, der innere Radius der auSeren Kugel, r2 der &&ere Radius der inneren, schwingenden Kugel, und schlieBlich K --

1) Gy. Zernplbn, Ann. d. Phys. 29. Formel (8.). 2) Gy. Zernplkn, Ann. d. Phys. 29. p. 896. 1909.

44

das Tragheitsmoment der inneren Kugel. Uber die Bestim- mung von r2 war schon oben die Rede; um also die fur die kleinere Kugel gultige Formel hinschreiben zu konnen, war es noch notig, deren Tragheitsmoment, K zu bestimmen. K wurde in der bekannten Weise aus der Beobachtung der Schwingungsdauer erschlossen, indem wir auf einen und den- selben Draht zuerst die groBere Kugel mit bekanntem Trag- heitsmoment und d a m die kleine aufhangten und in beiden Fallen die Schwingungszeiten gemessen hatten. Bei grol3eren Umdrehungsgeschwindigkeiten haben wir die innere Kugel ewecks entsprechender VergroBerung ihres Tragheitsmomentes rnit Bleischrot von 0,4 mm Durchmesser gefiillt. Das ver- groBerte Tragheitsmoment wurde in derselben Weise wie vorher bestimmt. In beiden Fallen haben wir die Messung rnit Drahten aus verschiedenem Material und von verschie- denem Durchmesser wiederholt. Die einzelnen Bestimmungen zeigten Abweichungen von 3-4 Prom. Auf Grund dieser Bestimmungen ergab sich das Tragheitsmoment der kleineren inneren Kugel, leer, zu

K , = 2682,62 c2-g-Einheiten,

Gy. Zempldn u. B. Pogany.

und mit Schrot gefullt zu K, = 15133,O c2-g-Einheiten.

Der Wert von R ist aus Zemplkns fruheren Messungen bekannt :

R = 5,5645 em.

Substituiert man nun diese Werte von R, r2 , K z bzw. ICv in die Formel (l), so erhalt man zur Berechnung von 4 mit der leeren kleinen Kugel

(2) log 1 = 0,123754 + log D + log 12 - log A - 2 log T und rnit der vollen (3) 10g4=0,875118 + l o g 9 +log~-lOgA-’2IOg T .

Zur Berechnung der Versuche, die mit der alten, groBeren, inneren Kugel ausgefuhrt wurden, haben wir die Formel (4) l o g f = 0,762562-1+1ogD+logn-1ogA-21og T ....’)

1) G g . Zemplbn, Ann. d. Phys. 38. Formel (22).

t'be.1. die innere Reibung von Fliissigkeiten. H I . 45

bzw . (5) log = 0,707227 + log SZ + log - log A - 2 log T . . . .1) benut zt .

Da die in Wasser untertauchende Kugel bei ihren Schwin- gungen auch eine gewisse Wasserschicht mit sich fortreifit, so hat ihr Tragheitsmoment in Wasser einen anderen Wert als in Luft; da wir andererseits aus der Bestimmung der Schwingungsdauer bei gleichbleibendem Tragheitsmoment auf den Torsionsmodul des Aufhangedrahtes schlieBen wollten, so haben wir die Messung von T immer in Luft vorgenommen, da die Bestimmung des Tragheitsmomentes K ebenfalls in Lufh erfolgt war.

Die verhaltnismaBig grofie Dampfung in Wasser hatte pine Bestimmung von T in Wasser ohnehin ungiinstig ge- staltet. Ubrigens haben wir im Falle der mit Schrot gefullten Kugel die Tragheitsmomente in Luft und Wasser durch direkte Messung miteinander verglichen und fanden, daB ihre Ab- w-eichung voneinander kleiner als 1 Prom. war.

Die ausfuhrlichen Ergebnisse der Messungen finden sich in den Tabb. X und XI. Tab. X bezieht sich auf die grofiere schwingende Kugel, Tab. X I auf die kleinere. I n der achten Kolonne der Tabellen findet sich die wahrend der Versuche herrschende Wassertemperatur.

die wurde auf den auf 1/60 C geteilten Thermometern I1 und I11 (vgl. Fig. 1) abgelesen:

I n der neunt,en Kolonne findet sich die Lufttemperatur im Spparat, die am Thermometer I beobachtet wurde. Bei den langsamsten Umdrehungen war die Umdrehungszeit bei Be- nutzung der grofieren schwingenden Kugel ungefiihr 9200 see, mit der kleineren Kugel ungefahr 4100 seo. Da nun bei Be- nutzung der kleineren schwingenden Kugel die Dicke der Wasserschicht zwischen der BuBeren und der inneren Kugel ungefahr dreimal so groB war als bei Benutzung der groBeren Kugel, so war der Geschwindigkeitsgradient 18;ngs der Kugel-

1) Gy. ZemplBn, 38. Formel (21)..

46

Versuchs- nummei

201 202 205 206 203 204 207 212 208 209 210 211 213 216 219 220 214 215 217 218 221 222 223 227 225 226 228 229 227 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 243 242 244 245 246 247 248

Gy. Zempldn u. B. Pogany.

Tabel le X. Die groBere

Datum

25. Mtirz 1912 27. ,, 30. ,. 30. ,, 29. ), 29. ,, 30. 18. Aprij’l912

16. ., 16. ,, 17. ,, 18. 16. Mai y912 18. ..

15. ,,

18. 24. Aprii)l912 26. 17. Mai ’ h l 2 18. ,,

25. ,, 27. .. 24. ,,

27. ,?

29. 1. ~uni”1912 3. ,, 3. ,t

1. ,, 3. ,, 3. ,, 3. 9 ,

4. ,I

4. 9 )

5. 9,

5. ,, 21. 9 ,

21. ,, 22. ,, 23. ,, 24. ,, 24. ,, 24. ,,

24. ,, 24. 31. Dez.”1913

24. ,,

31. ,,

Material u. Dmhmesser des Aufhiingedrahtes

0,l mm Nickelin

9

9 ,

, 9 ,

9 ,

0,l mm anderer Nickelindrah t

,,

1 9

,)

0,3 mm” Platin

f

t

3 2

,, ,,

2.

,I

0,46mm Klavier- saite aus Stahl 0,7mm Stahl

,9

9

9 3

>, ,

1 mm”SL3hl

A in halben Skalenteilen n

i98,i 182,95 181,33 185,04 493,45 508,67 487,66 521,05 784,88 781,35 756,02 758,76 582,43 892,02 591,47 602,24 900,48 91 1 $7 939,ll 953,70 766,24 765,36 737,14 730,49 430,45 373,62 345,44 376,05 834,63 878,65 891,26 887,44 889,48 862,58 901,83 900,08 746,60 787,61 358,57 413,20 361,27 422,80 772,22 812,04 838,85 858,60 308,02 303,77

1) 1 Slcalenteil = ’/* mm.

Ober die innere Reibuny con Flussigkeiten. I I I . 47

whwingende Kugel.

n sec

9019,4 9027,O 9383,6 9264.8 3460,O 3467,l 3473,7 3461,8 2389,9 2382,l 2377,5 2380,9 1534,O 1587,40 1600,05 1664,30 975,5 979,6

1004,8 993,33 562,67 564,69 547,30 646,90

____

18,037 20,114 22,490 20,894 9,587 9,895

10,044 9,730 5,224 5,340 4,829 4,870 2,757 2,679 1,0340 0,9261 1,0104 0,9410 0,6950 0,5773 0,5670 0,5663 0,3685 0,3739

T S ~ C ~

71,727

1.

,, 6,631 1

,9

,,

3 9

11 $705

3,;348 ,>

,3

1 ,&49

8 Wnsaer

16,92 O

18,53O 17,95O 17,88O 18,a O

16,96 O

8,lO O

8,32 O

6,40 O

6,81 O

8,11 O

7,90 O

8,69 O

7.71 O

, ,, i 17,61° 9 , I 19Y36O ,, 1 18,74O

17,68O 17.45O 18;Ol O

18,05 O

17,66 17,77O 17,84 O

18,13 O

19,57 O

19,52O 18,18O 19,000 19,00 0

19,000 18,60° 18,62 O

18,45 O

18,52O 20.48 O

20,43 O

19,68O 19,75 O

19,56O 19,78 O

19,66 O

1932 O

19,990 20,Ol O

18,00O 18,00°

8 Luft

19.000 19,000 19,080 19,70 O

18,600 18,84O 2030 O

20,39 O

19,37 O

20,44 O

18$1 O

19,58O 18,900 18,40 O

18,03 O

17,88O 19,75 O

20,900 17,42 O

17,70° 18,70 O

18,O6O 18,50 O

18,75O 18,29 18,40 O

19,100 19,22 O

18,89O 19,000 19,030

~~

19,32 O

19,20 O

19,24 O

19,000 18,90° 21,000 21,200 20,57 O

20,57 O

20,oo 20,77 O

20,oo O

20,84 O

20,46 O

20,81 O

18,500 18,400

T*" - lo*

1,1168 ,0323 ,0635 ,0716 ,0672 ,0992 ,0688 ,1264 ,1714 , 1 624 ,1225 ,1282 ,1200 ,1888

1,1972 1,1918 1,1012 1,1192 1,1937 1,1956 1,1769 1,1796 1,1221 1,1111 1,1154 1,0810 1,1171 1,1298 1,1511 1,2502 1,2873 1,2399 1,4189 1,4066 1,3299 1,3385 1,8995 1,9471 2,8571 2,9488 2,8129 3,0659 3,5407 3,6125 3,6652 3,6741 4,6536 4.6568

~- ~- 7180 lo' 1,0894 1,0462 1,0630 1 1,0682 1,0779 1,0718 1,0614 1,1340 1,1280 1,1300 1,1253 1,1256 1,1381 1,1808 1,1843 1,1814 - - - - - - - - __ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ~

-

Gy. Zemplln u. B. Pogany.

bbterial u. Durchmesser des Aufhiingedrahtes

Trtbelle X.

A in halben Skalenteilen

Versuche- nummer

249 250 251 252 253 254 255 256 257 258

Versuchs. nummer

263 264 259 260 261 262 269 270 271 272 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286

Datum

31. Dez. 1913

31. ,,

31. ,,

29. ,, 29. 1,

29. ,,

31. ,, 31. ,,

31. ,,

29. ,,

I ”

n

310,82 270,73 436,15 450,35 458,87 462,lO 894,99 979,57 949,60 926,52

Tabel le XI. Die kleinere

Material u. Durchmesser des Aufhiinnedrahtes Datum I

27. Mai 1913 28. ,, 21. ,, 23. ,, 24. ,, 24.

7. ,, 9. ,, 9.

30. Mai ’i913 31. ,.

4. Juni’’l913

Nickelin, 0,06mm ,, ,,

f

Nickelin, 0,l mm 2..

1,

, Platin, 0,15 mm

I 9

I

9 ,

Platin, 0,3 mm

> 9

Stahl, 0,3 mm

, 3

9 ,

, 1 ,

A in halben Skalenteilen

7614 , ,, ,,

7&3,0 9 ,

,, 76ik

,, 9,

38:7,4 ,, ,*

76g9 , I

1,

,,

43gl 9 ,

43ib I 9 ,

n

331,24 324,26 594,03 580,68 628,52 586,21 290,27 302,45 300,28 316,15 205,18 212,48 212,08 204,83 872,93 876,93 858,25 834,99 375,30 340,05 357,46 406,55 273,30 273,40 294,65 291,08 527,Ol 517,19 521,62 534,62

1114,3 11 1 9 3

Uber die innere Reibung vm Fliissigloeiten. I I I . 49

(Fartsetmng.) _- ..

I I I I I

SC Bee

0,3631 09994 0,2926 0,2848 0,2815

0,1780 0,1762 0,1731

ogao5

Oil.752

Tsec 1 @ w e e r

1,6649 1 1 8 , O O O 18,OOO

' 17,92O 17,96O

1 17,99O 18,00O 18,51 O

1 8 , 6 6 O 18,76 O

18,80°

schwingende Kugel. I

Jz ller

4114,75 4129,75 2248,043 2292,oo 2186,O 2305,3 647,12 635,20 664,80 02630 123,827 121,100 121,137 126,175 21,994 21,800 22,398 22,733 9,526

10,050 9,782 9,024 6,4744 5,5066 5,2020 5,2860 2,2294 2.2740 22zsoo 2,3770 1,3589 1,3201

1

___ ~

149,190

56,877

20,3666

5,;670

17,81° 17,920 18,59 O

18,600 18,63 O

18,71 O

17,15 17.58O 17;58O 17,58O

3,i076 I 17,02O I 17,12O

17,23 O

17,29 O

, 16,9l0 16,98 O ' 17,09O

I 16,26O 15,07 O

1 5,0& O

AMdeo dez Ph-. IV. Folge. 49.

1 1 8 L d t _ _

1 18,35O 1825O

1 19,000 18,900 18,800 I 18,69O 21,000

if@ * 10'

wsr2 4.4383 5,2323 53687 6,2961 5,3144 6,6316

20,40 O

20,100 20,00 O 6,6539

@Lllrt ~ ijeo - 10' 18,00O 1 1,0694 19,000 1,0507 18,30 O 1,0478 18,00O 1,0443 17;86O 17,82 O

22,oo O

22,lO O

21,34O 21,500 19,40 O

18,36O 18,M O

18,52 O

19,500 19,500 19,600 19,77 O

19,3&O 18,20 O

1832 O 18,25 O

21,17 O 21,ll O

21,020 21,000 20,100 20,100 20,lQ O

19,37 O

16,20 16,05 O

1,0780

0,9720

1,0330 1,0246 1,0707 1,0844 1,0827 1,0892 1,597 1,690 1,599 1,579 2,225 2,127 2,177 2,284 2,675 2,692 2,740 2,735 3,743 3,747 3,753 4,049 4,827 4,711

1 ,m 0,9941

4

1,0389 1,031 7 1,0268 1,0090 1,0390 1 ,o300 1,0555 1,0761 1,0796 1,0711 1,0842 lYO8a4 1,0797 1,0872 - - - - - - - - __ - - - -

50

Versnchs- nummer

287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301

Gy. Zernplh u. B. Pogdny.

Tabelle XI.

Datum ~~ ~

25. Febr. 1913 14. Milrz 1913 13. Febr. 1913 13. ,, 13. ,, 13. ,, 12. I,

12. ,, 12. I ,

12. ,, 11. ..

Katerial u Durohmesser dee Aufhilngedrahtes

Stahl, 0,3 mm

Stahl, :,6 nun

3 9

4 in halben blenteilen

4319 4321 4329

2 7

f

f

,9

1 ,

,n

1104,8 1077,l 301,45 329,77 330,ll 326,50 5449 498,s 559,5 517,O 7703 769,5 809,2 723,8 868,61

radien im Falle der kleineren inneren Kugel schon bei Um- drehungszeiten von 4100 sec kleiner als mit der groBeren schwingenden Kugel bei Umdrehungszeiten von 9200 sec. Bei den schnellsten Rotationen war die Umdrehungszeit un- gefahr 0,16 sec. Schnellere Umdrehungen konnten wir in der jetzigen Zusammenstellung des Apparates nicht erzielen. Bei so schnellen Umdrehungen e k e s sich namlich auch das Tragheitsmoment der mit Schrot gefiillten Kugeln als zu klein; die schwingenden Kugeln gerieten in starke Nutation und schlugen an die Wand der auI3eren rotierenden Kugel auf. Im allgemeinen haben wir bei einer und derselben Um- drehungsgeschwindigkeit immer vier Messungen ausgefuhrt.

Im Falle langsemer Umdrehungen, wo noch in den Grund- gleichungen der Hydrodynamik die Glieder

'a u z , ... USW.

zu vernachlassigen sind, ist das auf die schwingende Kugel ausgeubte Drehmoment 11 proportional, und 11 ist unabhangig von Q. Bei so langsamen Umdrehungen ist ii = 7, d. h. Formel (1) liefert direkt den Wert von 11. Die Unabhangigkeit des Reibungskoeffizienten 7 von SZ gibt zugleich ein Kriterium, um beurteilen zu konnen, welche Umdrehungen noch als ,,langsam genug" zu betrachten sind. Es ist ja evident, daB

Uber die innwe Reibung von Flliissigkeiten. III. 51

(Fortsetsung.)

A 8Bc

1,3446 1,3401 0,7292

~~

0,8856 0,0869 0,6914 0,4880 0,6160 0,4746 0 , m 0,3843 0,3839 0,3701 0 O m 8

TSeC

3,1076

2&76

.

9

1 ,%32

@WWW

15.09O 1 6 , s O

17,00O 17,ll O

17,28O 17,40 O

16,M 16.99 O

17,06O 17,13 O

15,86O 16,70 O

16,73 O

16,76 O

14,61 O

8 Lurt

16,90° 20,06 O

20,650 20,67 O

2035 O

21,000 19,25 O

19,25 O

19,160 19,12O 18,99O 19,05 O

19,090 19,09 0

-

18,20 O

4,736 4,599 5,916 6,083 6,102 6,074 7,116 6,911 7,143 7,011 7,964 7,846 8,068 7,790 9,741

man diejenigen Umdrehungen als solche zu betrachten hat, bei denen die aus der Formel (1) berechneten Werte von beim Anwachsen der Umdrehungsgeschwindigkeit keine nennens- werte VergrdSerung erfahren.

Die Werte von q aus diesen langsamsten Umdrehungen bestimmt, und auf eine und dieselbe Temperatur, 180, redn- ziert, ergeben denjenigen Wert von q, der unseren weiteren Berechnungen zugrunde liegt. Die Reduktion auf 180 haben wir mit der v. Helmholteschenl) Formel

0,0178 = I + 0,0387 e + O,OOU%BO

in der Weise ausgefiihrt, daI3 wir zu dem beobachteten qe die &us der Formel berechnete Differenz T ~ ~ ~ - q8 zugefugt haben. Die auf diese Weise korrigierten Werte finden sich in der ellten Kolnnne der Tabellen und sind mit einer Klam- mer bezeichnet. Diese Werte sind nahe konstsnt, insbesondere zeigen sie mit dem Wachsen der Umdrehungsgeschwindigkeit keine nennenswerte VergroBerung. Deren Mittelwert ergibt als wahrscheinlichsten Wert auf Grund unserer Messungen :

818e = 1.0562 - 1 0-a .

1) H. Lamb, Lehrbnch der Hydrodynamik, p. 663. 4'

52 Gy. EempEdn u. R. Pogbny.

Beobachtungsmethode

k d u D aus Kapillarriihren ,, ,, *, ,, I ,

,, 1 , ,, Schwingung einer Vollkugel

,, eines Hohlzylinders ,, einer Hohlkugel Sblenkung~rnethode

Die folgende Tabellel) zeigt, da13 unser Wert sichiin guter Ubereinstimmung rnit denjenigen anderer Beobaehter befindet.

&a innere Rei-

& ~ $ ~ ~ ~ ~ 17.5O C.

0,01076 0,01065 0,01075 0,01067 0,01099 0,01082 0,01065 0,01069

Beobachter

-

Poiseuille 1846 . % . . . . Sprung 1876 , . . . . . . Slotte 1883 . . . . . . . . Thorpe und Rodger 1894 W. Konig 1887. . . . . . K. Mutzel 1891. . . . . . R. Ladenburg lso8 . . . Zemplb und Poginy 1914

Die Werte von 1, die in der zehnten Kolonne der Tabb. X und XI zu finden sind, konnen natiirlich bei der Beurteilung der prozentualen Abweichung der einzehen Messungen nicht maSgebend sein, da ii sowohl mit der Temperatur wie mit SZ sich betrachtlich andert, und innerhalb einer aus vier Mes- sungen bestehenden Gruppe variierte 'sowohl die Wasser- DemperaBur, wie auoh mit dem Motor genau dieselbe Ge- schwindigkeit wiederholt herzustellen nicht gut moglich war.

5 16. Vergleichang der BeobachtungsreeuJtate mit der Theorie.

Bei BuBerst langsamen Bewegungen, sogen. unendlich kleinen Geschwindigkeiten, ist das Drehmoment, welches von der zwischen deq zwei konzentriscben Kngeln befindlichen Fliissigkeit auf die innere Kugel bei einer gleichformigen Rotation der aul3eren Kugel ausgedbt wird, proportional rj , dem Koeffizient der inneren Reibung. Bei endlichen Ge- schwindigbeiten hdrt cliesk Proportionalitit Buf, vielmehr wird das Drehmoment dem scheinbaren Reibungskoeffizienten, dem q, proportional, wobei 4 eine Funktion von SZ ist.

Zemplkn hat in einer fruheron Arbeit die Form dieser Phnktion mte r gewissen Bedingmgen, welche die von uns unter- suchten Bewegangen erfullen, bestimmt. Es ist

1) R. Ladenburg, Ann. d. Phys. 47, p. 182. 1907.

ober die i n w e Reibung von Ftiissighiten. III. 58

Debei bemidmet p die Dichte der Fliissigkeik oder de0 Gases, 7 den inneren Iteibung&oeffi&ntm uhd la die Zeit einer Umdrehung der au$eren Kugel.

Die B,, B, . . . B4k . . . sind Komtanten, die unab- hiingig sind von der Suhstanz und vom Zwtand der unter- suchten Gase oder Fliiseigkeiten und nur von den Dimen- sionen des Apparetes abhiangen. Bei auBerst langsamen Be- weguqen, wo. sd = 00, ist B = q. Wenn wir an beiden Seiten der Gleichung (6) mit 7 dividieren und

schreiben, so wird: - 2 = 1 + B B 2 +B,2'+ ... - = f l ( Z ) . '1

Aus der Theorie folgt also, daB H (x) eine fur unseren Apparat charakterist,ische Fukt ion ist,, und zwar bis zu der Gescbwindigkeitsgrenze, bis zu welcher die Grundgleichungen der Rydrodynamik gelten.

Oberhalb dieser Grenze werden die B,, im allgemeinen nicht mehr unabh'ingig sein von den materiellen Eigenschaften der untersuchten Fliissigkeit oder Gases, d. h. wenn wir

7 - = H ( Z ) '1

fur einen und denselben Wert von x, aber mit versehiedenen Flussigkeiten oder Gasen ermitteln, so erhalten wir im all- gemeinen voneinmder verschiedene Werte fur H (2).

Der Zweck unserer Untersuchungen war, diese theore- tischen Folgerungen experimentell zu bestatigen; in erster Linie also, daB +j/q, an verschiedenen Flussigkeiten und Gasen rtls Funktion von x ermittelt. eine und dieselbe Funktion H (2) liefert.

Zempl6a hat an CO, und Luft ein Stuck der auf die groBere innere Kugel beziigliohen Funkt'ion H (5) schon be- stimmt, und zwar so, daS er die B,, mit der Methode der kleinsten Quadrate ermittelte. Bei diesen Rechnungen bot die Temperaturkorrektion einige Schwierigkeit ; denn solhnge die B,, unbekannt waren, konnte man die ii nicht auf eine und dieselbe Temperatur reduzieren, andererseits konnte man ohne Reduktion die Werte von B,, nicht gut ermitteln. Zemplen hat de$halb eine Art sukzessive Approximation

54 Gy. Zemplth u. B. Pogany.

~ 1,07 1,16 1,13 1 1,37 1,41

j 1,67 1,70

angewendet. Da aber der innere Reibungskoeffizient des Wassers sich mit der Temperatur stark verandert, so konnten mit dieser Methode im Falle des Wassers keine Erfolge erzielt werden. In vorliegender Abhandlung haben wir sowohl die alten Zemplhschen wie auch unsere neueren Messungen auf eine vie1 einfachere und ubersichtlichere Art aufgearbeitet, indem wir die mit einer und derselben Fliissigkeit bzw. Gas, aber bei verschiedenen Temperaturen ausgefiihrten Messungen so behandeln, als ob sie sich auf verschiedene Flussigkeiten bzw. Gase beziehen wurden; tatsachlich ist ja H nur eine Funktion von

10,2 13,3 14,9 26,7 43,3 68,5 86,9

wenn also nur Q und 7 sich auf eine und dieselbe Temperatur beziehen, so ist der so gewonnene Wert von H (z) unabhangig sowohl von den materiellen Eigenschaften wie von der Tem- peratur der Flussigkeit. Auf eine Temperaturreduktion kann man also uberhaupt verzichten. Bestimmt man H (3) mit irgend einer Flussigkeit oder Gas bei irgend einer Tempe- ratur, so mussen alle diese Werte von H (.) 15ings einer und derselben Kurve liegen, und das kann man am einfachsten graphisch kontrollieren. Die zueinander gehorigen Werte von 2 und i j / q sind in der Tab. XI1 zusammengestellt.

Tabelle XII.

2:

18 5 8 791 8,3 997 11,9 20,o 22,7 298 37,O 41,6 62,2

. 7l. l ___ 0,96 1,Ol 1,04 1,12 1,21 1,28 1950 1 9 9 0 2,24 2,50 2,78

0,17 4,73 93 18,9

36,8 100,9 172,9 251,7 332.5 545,5

1 ,08 1,08 1,19 1,32

1,92 2,88 3,59 4,35 5,oo 6980

8

17,91 O

18,76O 18J9 O

18,M0

20,450 l9,69 O

19,87 18,OOO 17,97 O

18,70°

~~

R e.w

i60,36 20,383 9,814 6,065

2,718 0,9779 0,6736 0,3762 0,2848 0,1766

~~

Die Werte fur Luft und CO, in den ersten vier Kolonnen der Tab. XI1 sind aus den alteren Messungen Zemplbns berechnet, und in der funften und sechsten Kolonne finden

fiber die innere Reibung wm Flussighiten. 111. 55

sich die jetzt an Wasser bestimmten Werte. In die Tab. XI1 sind natiirlich nur solche Messungen aufgenommen, bei welchen 9 schon so klein war, daB 7 sich mit dem Wachsen der Um- drehungsgeschwindigkeit merach vergroBerte.

Jeder Wert von 2 und q/v ist ein Mittelwert aus vier Messungen, den wir auf folgende Weise erhielten: Zuerst haben wir den Mittelwert der Wassertemperaturen und der Um- drehungszeiten, 0 und J2 aus den vier eineelnen Messungen gebildet ; diese finden sich in der siebenten bzw. achten Kolonne der Tab. XII. Dann haben wir den von uns bestimmten Wert qla0 = 1,0562 - lo-, mit Hilfe der v. Helmholtzschen Formel auf lie reduziert. Dann ist

P= X 18 Jz

und der Mittelwert qe aus den einzelnen q , dividiert durch 178 ergibt den eu x gehorigen Wert, von q / q .

. Wasser 0 Luft . x co,

2

I

Fig. 2.

Tab. XI1 ist in Fig. 2 grayhisch dargestellt. Die aus- gezogene Kurve ist die Funktion H (5). Die Bedeutung der auf verschiedene Weise markierten Punkte ist aus der Figur ersichtlich. Die Kurve erstreckt sich auf das Intervall von a = 0 bis x = 100; die Messungen an Luft und CO, beziehen sich niimlich nur auf dieses Intervall. Man sieht, daB wir die theoretische Folgerung experimentell bestatigt finden ; denn siimtliche Punkte von Luft, CO, und Wasser schliel3en sich in gleicher Weise der Kurve an. Die Konstanten B,, sind also tatsachlich unabhiingig von den materiellen Eigenschaften cles benut,zten Gases bzw. Flussigkeit, zum mindesten bis

56 Gy. Zemplin u. B. Pogany.

sur Geschwindigkeitsgrenze bzw. zu dem Werte von x, bis zu welchem sich Fig. 2 erstreckt,.

Die groBte relative Abweichung swischen den experimentell bestimmten Punkten und der graphisch interpolierten Kurvtb besteht gerade bei den kleinsten Geschwindigkeiten, wo bei Gasen die Funktion H (5) aus bisher noch unerforschteii Griinden ein schwaches, aber gut beobachtbares Minimum besitzt; die Abweichung betragt hier 8 Pros. Bei grol3eren Geschwindigkeiten werden die relativen Abweichungen immei kleiner und sind nie groBer als 4-5 Proz.

Wie aus Tab. XI1 ersichtlich, konnte man H (5) an Wasser bis zu x = 545,5 bestimmen. Die Kurve in ihrer ganzen Ausdehnung ist in Fig. 3 dargestellt.

Fig. 3.

Mit der kleineren schwingenden Kugel haben wir q / q ebenfalls als Funktion von 5 bestimmt. Mit der kleineren Kugel an Luft oder CO, ausgefuhrte Messungen standen uns leider nicht zur Verfugung. Tab. XI11 bzw. Fig. 3 zeigt q/q als Funktion von 2 im Falle der Benutzung der kleinen Kugel.

Die Kurve I in der Fig. 3 bezieht sich auf die groI3ere schwingende Kugel, Kurve I1 auf die kleinere.

Uber die innere Reibung wn Fliissighiten. III. 57

Tabel le XJII. - a-

17;16 3,52 16,81 4920 15,52 5.61 17.20

~~ ~~

28,231 9,695 5,3692 2,2851 1,3409 0,6983 0,4948 0,3845

421 8143 14;61 0,2058

187 , 0;50 17;Ol 237 1 7.24 16.61

Es ist bemerkenswert : 1. DaB im Falle der kleineren Kugel die Funktion H (5)

fur jeden Wert von x einen groBeren Wert besitzt als mi Falle der groBeren Kugel, was sich mit theoretischen Uberlegungen in guter Ubereinstimmung befindet. H (z) miBt namlich ge- wissermaBen die Abweichung des Bewegungsmstandes von derjenigen Bewegung, bei welcher die Winkelgeschwindigkeit nuf konzentrischen Kugelflachen konstant ist. Zu dieser lamellaren Bewegung, welche bei kleinen Geschwindigkeiten tatsachlich statthat, treten noch bei grol3eren Geschwindig- keiten Zirkulationsstromungen hinzu, welche zu einem schnel- leren Anwachsen des Drehmomentes der inneren Reibung fuhren. Solche Zirkulationsstromungen konnen sich um SO

leichter ausbilden, je dicker die Flussigkeitsschicht ist, da ja in der Nahe der starren Kugelwande die Winkelgeschwindig- keit auf konzentrischen Kugelflachen konstant ist ; es ist also zu erwarten, daB bei der kleineren Kugel, wo die Zirkulations- stromungen starker sind, auch H ( x ) groBer wird.

Ijas auf die grdBere Kugel wirkende Drehmoment der inneren Reibung war indessen natiirlich immer gr6Ber als das Drehmoment auf die kleine Kugel; bei langsamen Bewegungen verhalten sich die auf die groBe und kleine Kugel wirkenden Drehmomente bei gleiehen Umdrehungsgeschwindigkeiten der auBeren Kugel wie 459 : 126, H (x) dagegen erreicht'e im Falle der kleinen Kugel bei den vorliegenden Geschwindigkeiten nicht einmal das Zweifache seines im Falle der groBen Kugel zu demselben 8 gehijrigen Wertes. Das auf die grobere Kugel wirkende Drehmoment war also stets das grobere.

58 Gy. Zemplbn u. B. Pogciny.

2. Die Kurven I und I1 andern sich nirgends sprung- weise, noch zeigen sie eine hderung ihres Charakters; die GesetzmaiBigkeit der Flussigkeitsbewegung hat sich also nicht geandert. Ein neuer Bewegungszustand, Turbulenz, trat nicht ein. Wir wollen nun dieses Resultat mit der Regell) von Reynolds vergleichen, nach welcher bei Stromung durch ein Rohr von kreisformigem Querschnitt Turbulenz eintritt, sobald

9 2 > 1000 71 (9)

ist, wobei U die Stromungsgeschwindigkeit und a den Radius des Rohres bezeichnet. Der aus Formel (9) berechnete Wert von U heifit kritische Geschwindigkeit.

In unserem Falle ist die tangentielle Geschwindigkeit an der auBeren Kugel:

J J R = R . 4 n __ R = B z y

und an der inneren gleich Null; die mittlere Geschwindigkeit im Querschnitt ist im Falle sehr langsamer Bewegungen leicht zu berechnen:

R

J r y - 47c ra d r __ u= = +=.- ~~ _--.

4 n (Rs - raS) (10)

entnimmt man den Wert von y der ersten Abhandlung Zein- p16ns2), so erhalt man:

(1 1) 4 (Re - r9s)9 R ?€fa (R4 - 4 Rr23 + 3rB4), u-.--. 3 RB - also

U 3Ra(R4 - 4Rr,8 + 3r,3

Die mittlere Geschwindigkeit ist also bei der kleinen Kugel 0,58mal, bei der grofieren Kugel 0,52mal die maximale Ge- schwindigkeit. Auf alle Falle ist also bei hinreichend lang- samen Bewegungen die mittlere Geschwindigkeit grijBer als die HLlfte der maximalen Geschwindigkeit. Bei schnelleren Drehungen wachst der Geschwindigkeitsgradient in der Nahe

_ _ . (12) m= 4 (Ra - r,y)2

I) 0. Reynolds, Enzykl. d. matb. Wiss. (IV). 8. p. 78. 2) Gy. Zemplbn, Ann. d. Phys. '29. p. 876. 1909.

Ober die bmere Reibung von Fliissigkeiten. I I I . 59

der inneren Kugel; die mittlere Geschwindigkeit wird also relativ noch griiBer. Die Ungleichung (1 3) U > + R V r wird also immer erfullt sein.

Die Bedingung (9) wird also erfullt sein, sobald

R zy. qa > 2000. 11 (1 3 4

In unserem Falle spielt die Dicke der Flussigkeitsschicht , R - r 2 , die Rolle des Radius vom Stromungsrohr, da bei unserer Bewegung die maximale Geschwindigkeit an der auBeren Kugelflache auftritt, wahrend im Stromungsrohr in der Rohrachse. 1)a nun

ist, so wird das Reynoldsche Kriterium

(14) R ( R - r 2 ) x > 320. Nach diesen fiberlegungen muBte man also mit der kleinen Kugel Turbulenz erhalten bei (1 5 ) x > 41 und mit der groBen Kugel bei (16) x > 108.

Diese Punkte der Kurven I und I1 haben wir in der Fig. 3 mit Sternchen bezeichnet. Aus den Kurven ist aber ersicht- lich, daB weder bei diesen kritischen Geschwindigkeiten, noch bei den beobach teten groBeren Geschwindigkeiten Turbulenz auftritt. Noch kleinere Werte fur die untere Grenze der Tur- bulenz erhalt man, wenn man die maximalen Geschwindig- keitsgradienten miteinander vergleicht, wie es Zempl6n l) in seiner zweiten Abhandlung tat. Fur den mittleren Geschwin- digkeitsgradienten, bei welchem Turbulenz eintreten soll, er- hAlt man auf Grund des Reynoldsschen Kriteriums:

Nun ist der maximale Wert des Gesohwindigkeitsgradienten an der Wand des Rohres dreima12) so groS wie der mittlere

1) Gy. ZemplBn, Ann. d. Phys. 38. p. 123. 1912. 2) H. Lamb, Lehrbuch der Hydrodynamik, p. 672. Formel (3).

60 Gy. Zemplh. u. B. I'ogany.

Gradient, also

(18)

Um nun den Gradienten der Geschwindigkeit in unserem Falle eines von zwei konsentrischen Kugeln begrenzten Fliissig- keitsraumes zu bestimmen, verfahren wir auf folgende Weise : Wir berechnen zuerst den Geschwindigkeitsgradienten im Falle iiuI3erst langsamer Bewegungen ; es wird l) :

Der maximale Geschwindigkeitsgradient wird demnach bei der groBeren Kugel

('LO) bei der kleineren

70 Y o = a ,

Da nun das Drehmoment der inneren Reibung dem' an der inneren Kugelflache auftretenden Geschwindigkeitsgra- dienten proportional ist, so konnen wir auf die Anderung des letzteren aus der Anderung des Tlrehmomentes schlieflen, die es bei grol3eren Geschwindigkeiten erleidet. Man erhiilt also die bei grol3en Geschwindigkeiten auftretenden Gra- dienten durch Multiplikation von yo mit H (z). Auf Grund dieser Uberlegungen liefert Formel (18) als Kriterium der Turbulenz

Also bei der grohren Kugel:

70 H(z)+ > 12000, 7

d. h. (2% zH (z) > 172 und bei der kleineren (23) z II (z) > 47.

Aus den Figg. 2 und 3 uberzeugt man sich, daI3 bei der grobten Geschwindigkeit (z = 65, H (z) = 2,2) der mit Luft tauigefiihrten Messungen die Grense (22) noch nicht erreicht wurde; dagegen liegen die Werte (z = 101, H (z) = 2,9) der

1) Oy. Z e m p l h , Ann. d. Phys. W. p. 122. 1912.

grogten Geschmindigkeit beziiglich C.0, schon weit oberhalb, diwer Grenze. Aber noch betriichtlicher w e r h die durch die Ungleichungen (22) und (23) festgelegten Grenzgesohwindig- keikii uberstiegen durch- die Messungen, die wir an Wasser ausgefuhrt hsben. Die Punkte, bei welchen #a& dieser xweiten Berechnutqpweise bei Waglser T u r b u h eintreten sollte, sind in der Fig. 3 Illit + bezeichnet.

Man sieht also, daS bei der von uns betrachteten Art der Flussigkcitsbewegung ' das Reynoldsche Kriterium ver- ssgt, indem Turbulenz noch bei viel gro8eren Geschwindig- keiten als die von dem Kriterium geforderte Grenzgeschwindig- keit nicht suftritt. Diese Erfahrungen bestatigen diaVermutung, der Zemplen') schon Ausdruck verliehen hat, daS n W c h das -1uftreten der Turbulenz beim Stromen durch Rohren wesentlichen dem storenden Einf'luB der Enden zu verdenken ist; wo aber solche stiirende Einflusse fehlen, dort bleibt die Bewegung bis zu viel RroBeren Geschwindigkeiten geordnet.

3. Die Entgegnung von Lord Ray le igh m d Lambe). Lord R s y l e i g h und L a m b fanden auf Grund theoretisoher

lfberlegungen, da8 die Formel (1) fur langsame B e w e g u n p nur dann gilt, wenn

ist. ZrmplCn3) fnnd, daI3 die E'ormel (1) bei Ldft und CO, noch bei Geschwindigkeiten, die 50-100mal so gro8 sind als die aus (24) resultierende Grenzgeschwindigkeit, brauch- bar ist. Wir wollen nun untersuchen, wie es sich mit diesem Rayleigh-Larnbschcn Kriterium hei Wasser verhiilt. Es ist bei Wasser q / p = 0,0106: also wird (24) fiir die kleineKuge1 (95) D > 10000 und fur die groSe Kugel 26) f2 2 14000.

Es liegen demach die Geschwindigkeiten, mit dt nen unsere Versuche ausgefuhrt wurden, alle oberhalb der G r w e , oberhalb welcher nach Rayle igh und L a m b die Formel (1)

1 ) Gp. ZempICn, Ann. d. Phye. 1. p. 124. 1912. 2) Lord Rayle igh, Phil. Mag. (6) 36. p. 386. 1893 dnd E. Lamb,

3) Qy. Zemplbn, Ann. d. Phye. -38. p. 86. 1912. Ldhrbuch der Hyctrodpamik, p. 678. 1907.

62 Gy. Zempldn u. B. Pogdny.

aufhort, gultig zu sein. Trotzdem ist, wie aus den Tabb. XI und XI1 ersichtlich, if konstant, bei der groBeren Kugel von Q = 9500 sec bis Q = 3460 sec und bei der kleineren von Q = 4000 sec bis Q = 2000 see. Bei Wasser beginnt also q eher zu wachsen als bei Luft und CO,, selbst wenn man die x = Q / ~ Q als Veranderliche heranzieht.

fi beginnt zu wachsen bei Luft fur (27) x > 0,3, bei CO, fur f28) x > 4,3.

(991 5 > 0,03 y

Bei Wasser beginnt das Wachstum mit der groSeren Kugel fur

und mit der kleineren fur (30) x > 0,05.

gedruckt : Kun ist das Rayleigh-Lambsche Kriterium in x aus-

1 (31) ">7, 2 'IT r,

also fur die groBere Kugel (32) x > 0,006 und fur die kleinere (33) 2 > 0,009.

Man sieht aus diesen Zahlen, daB die Schatzung der eng- lischen Gelehrten nur fur Luft und CO, zu klein ausfallt, fur Wasser aber der Wirklichkeit bedeutend naher kommt, indem schon bei einer Geschwindigkeit, die funfmal groBer ist als die von ihnen geforderte, das Wachstum von 7 tatsachlich be,oinnt.

8 16. Gleitung an der Grenee Waeeer-Kupfer.

Bei allen bisherigen Uberlegungen haben wir voraus- gesetzt, daB die Flussigkeit und ein mit ihr in Beriihrung stehender starrer Korper an der Beruhrungsstelle gemeinsame Geschwindigkeit besitzen, da13 also eine Gleitung nicht vor- handen ist. Die Berechtigung dieser Voraussetzung wird schon dadurch wahrscheinlich gemacht, dab H ( x ) , an Luft, CO, und Wasser ermittelt, sich nur als eine Funktion von x = Q/V s2 erwies; wiirde namlich eine Gleitung statt,finden,

Uber die innere Reibung von Fliissigkeiten. III. 63

so muate H (5) offenbar auch von dem numerisehen Werte der Gleitungskoeffizienten abhlngen, konnte also von der untersuchten Materie nicht unabhlingig sein.

Dessenungeachtet ist es erwiinscht, die GroBe der Glei- tung durch direkte Versuohe zu untersuchen, denn es ist ja nicht ausgeschlossen, daS kleinere Schwankungen der Werte von H gerade auf die Rechnung des vernachliissigten Gleitungs- koeffizienten zu setzen sind.

Experimentelle Untersuchungen des gleichen Zweckes wurden schon viele ausgefiihrt. Von den Gasen weis man durch die Arbeiten K u n d t s und Warburgsl) , daS ihr Gleitungs- koeffizient bei gewohnlichem Druck zu vernachliissigen i t , bei geringen Drucken aber gut meBbare Werte annimmt. Diese Resultate hat neuerdings Timiriazeff durch ausfiihr- liche, nach der Ablenkungsmethode ausgefiihrte Messungen bestiitigt und ausgedehnt.

Bei tropfberen Fliissigkeiten ist die Frage noch nicht so weit entschieden, obgleich alle Zeichen dafur sprechen, daB bei gewohnlichem Druck auch die Gleitung der Fliissig- keiten zu vernachliissigen ist.

v. Helmholtz und P i o t r o w ~ k i ~ ) , die sich zuerst mit der Gleitung tropfbarer Fliissigkeiten beschlftigten, schlossen aus ihren Messungen auf einen gut bemerkbaren und meB- baren Betrag derselben, und seitdem hat sich eine ganze Reihe von Forschern mit der Frage beschiiftigt.

Ihr gemeinsames Resultat ist, daB A , der Gleitungs- koeffizient, auf alle Fiille einen kleineren Wert besitat als der, welchen Helmholtz und Piotrowski fiir ihn fanden (3, fur Gold-Wasser = 0,235 cm); aber nach einigen Forschern sol1 trotzdem eine zwar kleine, aber doch bemerkbare Gleitung vorhanden sein, nach anderen wieder keine.

Ausfiihrliche Literaturangaben iiber die Frage findet man in der Abhandlung R. Ladenburgs3, der die Angelegenheit ebenfalls als unentschieden betrachtet und deshalb die Versuche

1 ) A. Kundt u. E. Warburg, Pogg. AM. 166. p. 337. 625. 1875. 2) A. Timiriazeff, Ann. d. Phys. 40. p. 971. 1913. 3) H. v. Helmholtz u. G. Piotrowski, Sitznngaber. d. Wiener

&ad. d. Wiss. 50 (2). p. 607. 1860. 4) R. Ladenburg, Ann. d. Phys. 87. p. 167. 1907. A u k den

dort aufgedhlten Arbeiten vgl. noch E. R. Drew, Physiwl Review 12.

__-

p. 184. 1901.

64 Gy. Zemplhn u. B. Pogdny.

von Y. Helm h o 1 t z und Pi o t LO w s ki wiederholt, Die Fliissigkeit wrude in eine Hohlkugel gefiillt, auf einen Draht aufgehangt und d a m die Dampfung der Torsionsschwingungen beobachtet .

Ladenburg hat seine Versuche mit Glaskugeln und Wasser ausgefiihrt, wobei die Kugeln einmal innen versilbert waren, im anderen Falle nicht. Die Berechnungen wurden auf die Voraussetzung gegriindet, daS eine Gleitung nicht statt- hat. Ladenburg vergleicht d a m die Werte, die er fur q mit den zwei Kugeln erhielt, teils untereinander, teils mit Resultaten, die von anderen Forschern nach anderen Methodeu erhalten wurden, und aus der konstatierten obereinstimmung schlieSt Ladenburg, da13 die Voraussetzung seiner Betrach- tung, niimlich die Vernachliissigung der Gleitung, der Wirk- lichkeit entspricbt.

Weiterhin macht L adenburg darauf aufmerksam, daU die Helmholtz - Pi o t rows ki schen Berechnungen des Glei- tungskoeffizienten gegen gewisse experimentelle Datea sehr empfindlich sind. So z. B., wenn man fur das Tragheits- moment der schwingenden Kugel einen nur urn 1 Proz. grofieren Wert nimmt, als den von P i0 t rowski angegebenen, und das liegt innerhelb der Beobachtungsfehler vcin Piot rows ki, so erhalt man schon fur den Gleitungskoeffizienten statt 1 = 0,235 cm 1 = 0,009 cm.

Unter solchen Umstanden erschien es whschenswert, den Gleitungskoeffizienten durch direkte Messungen zu bestimmen.

Den Gleitungskoeffizienten definieren wir durch folgende Gleichung :

av?/ 1 (34) Va- VvI= 11 1) Wir hsben in (34) 1 durch die Rinkelgeschwindigkeiten und nicht,

wie allgemein iiblich, durch die tangentiellen Geschwindigkeiten definiert. Es wurde das durch die Netur der von uns betrachteten Fliiseigkeits- bewegung bestimmt. Indessen ist das nicht weaentlich, da man dae durch die tangentiellen Geschwindigkeiten defixiierte A aw cbigem , durch (34) definierten, leicht berechnen kann. In unserem Falle kt, wie eine kleine Rechnung zeigt. der erstere im Vergleicb zum letzteren im Vcr-

liiiltnis ’ kleiner, wobei R die Entfernnng dee in Betracht a R

y’ dn 3% an

1 + R -

gezogenen Punk- der Kugelfliiche von der D r e h u n g m b e bezeichnet.

cber die innere Reibung von Fliissigkeiten. I I I . 65

dariii bedeutet die Winkelgeschwindigkeit des stsrren Kor- pers, tpf die Winkelgeschwindigkeit der Flussigkeit an der Grenze starrer Kiirperfliissigkeit, n die nach dem Innern des starren Kijrpers gerichtete Normale der Grenzflache, und 1 den Gleitungskoeffizienten. Will man nun 1 experimentell bestimmen, so muB man die Grundgleichungen der Hydro- clynaniik init den itus (34) sich ergebenden Grenzbedingungen integrieren. Wir bet onen, da13 unsere Berechnungen von nun ab sich nu1 auf so langsame Bewegungen beziehen, daB man die Glieder zweiten Grades der Gwchwindigkeitskomponenten schon vernachlassigen kann.

Bei der \-on uns untersuchten Art der Bewegung (die iniiere Kugelflache ruht, die a d e r e dreht sich mit der kon- stanten Winkelgeschwindigkeit ZU) ist die Verteilung der Winkelgeschwindigkeit in dem von den zwei konzentrischen Kugelflachen begrenzten Flussigkeit,sraume gegeben durch :

(35) A v = - - + B , 7 8

wobei die Konstanten A und B aus clen an den zwei Grenz- fliichen zu erfullenden Grenzbedingungen zu berechnen sind.

Zieht man die Gleichung (34) in Betxacht, so wird die Grenzbedjngung an der inneren Kugel , wo die Richtung von n entgegengesetzt ist derjenigen von r , und die Winkel- geschwindigkeit, cles festen Korpers gleich Null ist,

(36) r = r,

an der HuBeren Kugel:

(37)

Substituiert ma,n nun die Werte von ly und ay ja r aus (95), so wircl

3 8 - B = A m - A -- (38) 7-SS r*4

(39)

,4ns diesen Gleichungen kann man A und B berechnen.: v 3 2 (h -+-- .3’ 1 1

A = z s - r , B -

Annalen der Phynik. IV. Folge. 49. 5

66 Gy. Zemplb u. B. Pogany.

Nun ist y im Flussigkeitsraume vollstandig bekannt. Das auf die innere Kugel ausgeiibte Drehmoment der inneren Reibung 1st:

(42) d r s = r p

@ = S $ r , ” ( - ) 8 n d* . Dabei ist:

- 3 Y (43)

Ra rsU

Bezeichnet man mit t das Torsionsmoment des Auf- hgngedrahtes, mit 6 den Ablenkungswinkel der schwingenden inneren Kugel, so ist:

(44) - 87Cq Y

1 1 R8 rpg

t7? =

In dieser Formel kommen auBer den GroBen, die der Messung direkt zugbglich sind, zwei Unbekannte von q und A; zu ihrer Bestimmung braucht man also zwei Messungen aus- zufuhren. Aus (44) ist ersichtlich, daB es nicht genugt, um q und L einzeln zu bestimmen, Messungen mit, verschiedener V, auszufiihren; daxu sind Messungen mit Kugelflachen von ver- schiedenen Radien notig. Zu diesem Zweck haben wir die kleinere Kugel mit dem BuBeren Radius r,’ benutzt. Ihre Ab- lenkung betragebei der Winkelgeschwindigkeit P’ der BuSe- ren Kugel 6‘. Dann ist

(45) - 8 n q Y‘ $9.’ =

Aus (44) und (45) kann man nun 11 und L berechnen. Fiihren wir wieder die Bezeichnungen ein :

fiber die innere Reibuq urn Flihsigkeitten. I I I . 67

und weiterhin

und

sind nun die Messungen mit der kleinen und groBen Kugel bei derselben Temperatur und bei demselben Druck ausgefiihrt , so sind die rechtsstehenden 17 einander gleich, und durch Division von (48) durch (49) erhalten wir:

und daraus den Gleitungskoeffizient

Auf Grund unserer Voraussetzung konnen wir zur Be- rechnung von 1 nur solche Messungen heranziehen, bei denen die Geschwindigkeiten langsam genug waren; d. h., daB die Ablenkungswinkel proportional sind der Winkelgeschwindig- keit der LuSeren Kugel, also die c bzw. G' konstant sind. AuBerdem mu13 man die GroBen C und C' auf dieselbe Tem- peratur redusieren, was man, da C dem n, n aber caeteris paribus dem 17 proportional ist, dadurch bewerkstelligen kann, daB man die C proportional 11 reduziert auf 180 C.

Bei der groden Kugel ergibt sich aus den Versuchen 201, 202, 205 und 206 bei D (=) l) 9200 see.

C = 80.442

771250 1 im Mittel C,,,o = 78,765. 78,492

1) (= ) sol1 ,,unge&hr gleich" bedeuten. 5*

60 Gy. Zempldn u. B. Pogany.

Sus den Versuchen 203, 204,207 und 212 bei 9 (=) 3450 see. c = 79.593 \

im Mittel Cs450 = 80,229. 78,374 83,809

CMo ist also schon um ungefahr 2 Proz. groBer als Cgzoo,

Bei der kleineren Kugel ist:

so daB wir es zur Berechnung von A nicht benutzten.

aus 263 und 264 bei C’ = 20,950j im Mittel: a(=) 4100 sec: 20,814 C’,,,, = 20,88,

xis den Versuchen 259, 260, 261 und 262 bei 9 (=) 2200 SW: C’ = 20,72 \

.aus 269 bis 272 bei 9 (=) 650 see:

C’ = 21,29 1

21;61

Wenn man nun C9roo kombiniert mit c14100, so erhiilt man A = - 0,012 cm,

19 c16509 )J 9 ) J9 il = + 0,003 ,, A kaiin nun per definitionem nicht negativ werden. Das

negative Vorzeichen des Resultates ist den Versuchsfehlern zuzuschreiben und so pu verstehen, dab der Wert von A zu klein ist, als daB er auf unsere Versuche einen merklichen EinfluB ausuben konnt,e, ’und so kann man behaupten, daB 3, kleiner ist als unser maxirnaler Vcrsuchsfehler, also

$9 C’Z,*O, ,? : I ,, 2. = - 0,016 ,,

3, < 0,000 cm an der Grenze von Wasser und Kupfer.

Eine Gleitung von derjenigen GroBenordnung, wie sie von Helmhol tz und P i o t rowski gefunden wurde, haben

ober eine irtltere Reibung c m Fliissigkeiten. I I I . 69

wir also nicht beobachtet. Es ist dies verstandlich, wenn man bedenkt, daB die Methode P io t rowsk i s , die Beob- achtung der Dampfung, eine kleinere Genauigkeit besitzt als unsere ; ein experimenteller Nachweis dessen, daB 1 sehr klein, eventuell Wull ist. kann nur durch iiuBerst genaue Versuche geschehen.

8 17. Zuaammenfaaeung.

I. Wir haben mit dem Zemplenschen Apparat zur Untersuchung der inneren Reibung von Gasen die innerr Reibung von Wasser untersucht mit der hblenkungsmethode, bei Bewegungen, bei denen die Umdrehungsdauer der auBeren Kugel zwischen

SZ = 0,17 see und SZ = 9300 sec variiprte.

haben wir bei 18 O C zu 11. Den Koeffizienten der innrren Reibung des Wassers

qlS = 0.010562 gefuntlen .

111. Wir haben durch graphiscbe Bearbeitung unserei Versuchsdaten den Nachweis erbracht, dnB die von Zem- pl6n bezuglich des Drehmomentes der inneren Reibung ab- geleitete und schon bei Gasen geprufte GesetzmaSigkeit auch bei JF'asser bes teht.

IV. Im untersuchten Geschwindigkeitsgebiete trat keinc Turbulenz auf; sollte jedoch das Reynoldssche Kriterium auch auf den Flussigkeitsraum zwischen den zwei Kugel- flachen anwendbar sein, so muBte die Turbulenz schon einge- treten sein.

T'. Aus den Versuchsdaten ergibt sich, da13 das sogen. R a y le ig h - L a m bsche Kriterium , das die Giiltigkeitsgrenzc, der Formeln fur die langsamen Bewegungen angibt,, bei Wassei wenigstens der GroBenordnung nach stimmt, wahrend eh bei den Gasen einen im Vergleich zum wirklichen 50- bzw. 100mal kleineren Wert ergab.

VI. Durch Auswertung der mit, Kugeln mit verschiedenen Radien ausgefuhrten Versuche schlossen wir, daB bei den

70 Gy. Zempldn u. €3. Pogany. uber eine innere Reibung usw.

ganz langsamen Bewegungen der Koeffizient der Gleitung L < 0,008 cm,

also praktisch zu vernachlassigen ist,.

Die Versuche wurden im Physikalischen Institut I der Budapester Universitat ausgefuhrt. Es ist uns eine angenehme Pflicht, fur das Uberlassen der Apparate und Instituts- rLumlichkeiten dem Direktor des Instituts, seiner Exzellenz Baron Roland von E o t v o s , unseren aufrichtigen Dank aus- znsprechen.

(Eingegangen 23. Dezember 1915.)