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Unterzug
Rupert Walkner, Patrick Wörle
Das vorliegende Beispiel behandelt die statische Bemessung und die konstruktive Durchbildung eines Unterzuges unter Berücksichtigung der Regelungen gemäß ÖNORM EN 1992-1-1: 2009 und ÖNORM B 1992-1-1: 2007. Die Bemessung der zuge-hörigen Platte wurde im vorangegangenem Beispiel „Vollplatte – einachsig gespannt“ durchgeführt. Bei der Ausarbeitung des Beispiels wurde großer Wert auf die Nachvoll-ziehbarkeit in der Durchführung der Bemessungsschritte gelegt, wenngleich für das Verständnis der Bemessungsgleichungen auf die Literatur verwiesen werden muss.
Inhalt
1 Aufgabenstellung .................................................................................................... 2 2 Bemessungsgrundlagen ......................................................................................... 3 3 Baustoffe................................................................................................................. 7 4 Dauerhaftigkeit ........................................................................................................ 9 5 Schnittgrößen........................................................................................................ 11 6 Nachweise in den Grenzzuständen der Tragfähigkeit........................................... 14 7 Nachweise in den Grenzzuständen der Gebrauchstauglichkeit ............................ 27 8 Konstruktive Durchbildung .................................................................................... 41 Literaturverzeichnis ........................................................................................................ 49 Normen........................................................................................................................... 49
1 Aufgabenstellung
Zu bemessen ist ein über zwei Felder durchlaufender Unterzug einer einachsig gespann-ten Stahlbetondecke. Die Bemessung der Decke wurde im vorangegangen Beispiel durchgeführt. Der Unterzug wird auf Stahlbetonstützen (30/30 cm) gelagert. Die Decke wird als Bürofläche genutzt und befindet sich im witterungsgeschützten Gebäudeinne-ren. Horizontallasten des Gebäudes aus Wind und Imperfektionen werden durch ausstei-fende Bauteile aufgenommen und brauchen für die Bemessung der Decke bzw. des Unterzuges nicht berücksichtigt werden.
Abbildung 1: Unterzug einer einachsig gespannten Platte
2 Bemessungsgrundlagen
2.1 Statisches System Gemäß EN 1992-1-1, 5.3.2.2(2) darf bei durchlaufenden Platten und Balken die Ermitt-lung der Schnittgrößen unter der Annahme frei drehbarer Auflager erfolgen. Die effektive Stützweite lässt sich durch die Gleichung (5.8) der EN 1992-1-1 berechnen:
= + +l l 1 2eff n a a (5.8) – EN 1992-1-1
Dabei ist:
ln der lichte Abstand zwischen den Auflagerrändern ai ⋅⎧
= ⎨ ⋅⎩
1 2 (=halbe Bauteilhöhe)min
1 2 (=halbe Auflagertiefe)i
ha
t
Für die End- und Zwischenauflagerung ergibt sich:
Endauflager Zwischenauflager
1
1 2 1 2 50 25 cm min
1 2 1 2 30h
at⋅ = ⋅ =⎧
= ⎨ ⋅ = ⋅ =⎩
15 cm
2
1 2 1 2 50 25 cm min
1 2 1 2 30h
at⋅ = ⋅ =⎧
= ⎨ ⋅ = ⋅ =⎩
15 cm
Damit ergeben sich die Spannweiten der Felder zu 7,0 m.
Abbildung 2: statisches System
2.2 Einwirkungen
2.2.1 Lastaufstellung Die Einwirkungen aus Eigenlasten und Nutzlasten im Hochbau werden EN 1991-1-1 bzw. ÖNORM B 1991-1-1 entnommen. Prinzipiell ist zwischen den ständigen Einwirkun-gen und den veränderlichen Einwirkungen (hier nur die Nutzlast) zu unterscheiden.
Für die Bemessung der Deckenkonstruktion ist die Nutzlast als freie Einwirkung in un-günstigster Stellung anzuordnen (siehe EN 1991-1-1, 6.2.1(1)P). Der Unterzug erhält unter Vollbelastung der beiden Felder der einachsig gespannten Platte die größte Belas-tung. Die Einflussfläche des Unterzuges kann aus den Auflagerreaktionen zufolge einer konstanten Streckenlast der einachsig gespannten Decke bestimmt werden (vgl. Abbil-dung 7 aus Beispiel: Vollplatte – einachsig gespannt).
,Feld 1
,Feld 2
7,86 kN/m 6,5 m 20,29 kN 6,5 3,918 m7,86 kN/m 6,5 m 3,918 3,368 7,286 m
7,86 kN/m 5,0 m 12,82 kN 5,0 3,368 m7,86 kN/m 5,0 m
E
E
E
⋅ − ⎫= ⋅ = ⎪⋅ ⎪ = + =⎬
⋅ − ⎪= ⋅ =⎪⋅ ⎭
ll
l
Abbildung 3: Einflussfläche des Unterzuges
Die Nutzlast darf in Abhängigkeit von der belasteten Fläche mit dem Abminderungsfaktor αA abgemindert werden (vgl. EN 1991-1-1, 6.2.1(4) und 6.3.1.2(10)).
00
5min 7
1,0A
AA
ψα
⎧⋅ +⎪= ⎨
⎪⎩
(6.1) – EN 1991-1-1
Dabei ist:
ψ0 Kombinationsbeiwert für die charakteristische Kombination
=0,7 für die Nutzungskategorie B: Bürogebäude
A0 =10 m²
A die belastete Einzugsfläche:
7,286 7,00 51,00 m²A = ⋅ =
Der Reduktionsfaktor berechnet sich somit zu:
00
5 5 100,7min 7 7 51
1,0A
AA
ψα
⎧⋅ + = ⋅ + =⎪= ⎨
⎪⎩
0,696
charakteristische Werte der ständigen Einwirkungen
• 20 cm Stahlbetonplatte 0,2 m 25 kN/m³ 7,286 m 36,43 kN/m⋅ ⋅ =
• Fußbodenaufbau massiv 1,60 kN/m² 7,286 m 11,66 kN/m⋅ =
• Unterzug 0,3 m 0,3 m 25 kN/m³ 2,25 kN/m⋅ ⋅ =
50,34 kN/mkg =
charakteristische Werte der veränderlichen Einwirkungen • Nutzungskategorie B2 – Büroräume in
Bürogebäuden (ÖNORM B 1991-1-1, Tabelle 1 und Tabelle 2) inklusive Zwi-schenwandzuschlag von 1,2 kN/m².
4,2 kN/m² 0,696 7,286 m 21,30 kN/m⋅ ⋅ =
21,30 kN/mkq =
Tabelle 1: charakteristische Werte der ständigen und veränderlichen Einwirkungen
2.2.2 Einwirkungskombinationen und Teilsicherheitsbeiwerte Die Einwirkungskombinationen werden in EN 1990 definiert. Prinzipiell werden folgende fünf Einwirkungskombinationen unterschieden:
Grundkombination
γ γ γ γ ψ≥ >
⎧ ⎫⎪ ⎪= ⋅ ⊕ ⋅ ⊕ ⋅ ⊕ ⋅ ⋅⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭∑ ∑, , ,1 ,1 , 0, ,
1 1d G j k j P k Q k Q i i k i
j iE E G P Q Q
GZT
Kombination bei außergewöhnlicher Bemessungssituation und Erdbeben
ψ≥ ≥
⎧ ⎫⎪ ⎪= ⊕ ⊕ ⊕ ⋅⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭∑ ∑, 2, ,
1 1 bzw. d k j k d Ed i k i
j iE E G P A A Q
charakteristische Kombination
ψ≥ >
⎧ ⎫⎪ ⎪= ⊕ ⊕ ⊕ ⋅⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭∑ ∑, ,1 0, ,
1 1d k j k k i k i
j iE E G P Q Q
häufige Kombination
ψ ψ≥ >
⎧ ⎫⎪ ⎪= ⊕ ⊕ ⋅ ⊕ ⋅⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭∑ ∑, 1,1 ,1 2, ,
1 1d k j k k i k i
j iE E G P Q Q G
ZG
quasi-ständige Kombination
ψ≥ ≥
⎧ ⎫⎪ ⎪= ⊕ ⊕ ⋅⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭∑ ∑, 2, ,
1 1d k j k i k i
j iE E G P Q
Tabelle 2: mögliche Einwirkungskombinationen gemäß EN 1990
EQU Lagesicherheit
STR/GEO Struktur und/oder Baugrundversagen
ungünstig günstig ungünstig günstig
γG γG,sup 1,10 γG,inf 0,90 γG,sup 1,35 γG,inf 1,00
γQ 1,50 0 1,50 0
Tabelle 3: Teilsicherheitsbeiwerte für Nachweise des Gleichgewichts und des Bau- teilversagens
Veränderliche Einwirkung (Nutzlast) ψ0 ψ1 ψ2
Nutzungskategorie B: Bürogebäude 0,7 0,5 0,3
Tabelle 4: Kombinationsbeiwerte für die Nutzlast
Für die Bemessung des Unterzuges werden in diesem Beispiel nur die Grundkombinati-on und die quasi-ständige Kombination benötigt. Da nur eine veränderliche Einwirkung wirkt, ist diese automatisch die führende veränderliche Einwirkung Qk1. Die Tabelle 2 vereinfacht sich damit zu:
GZT
Grundkombination
{ } { }{ }1,35 50,34 kN/m 1,5 21,30 kN/m
67,96 kN/m 31,95 kN/md G k Q kE E g q E
E
γ γ= ⋅ ⊕ ⋅ = ⋅ ⊕ ⋅
= ⊕
GZG
quasi-ständige Kombination
{ } { }{ }
2 50,34 kN/m 0,3 21,30 kN/m
50,34 kN/m 6,39 kN/md k kE E g q E
E
ψ= ⊕ ⋅ = ⊕ ⋅
= ⊕
Tabelle 5: Zusammenstellung der Einwirkungskombinationen
3 Baustoffe
3.1 Beton
3.1.1 Mechanische Kenngrößen Gewählt wird die Betonfestigkeitsklasse C25/30. Für diese Festigkeitsklasse ergeben sich folgende Spannungs- und Formänderungseigenschaften (vgl. EN 1992-1-1, Tabelle 3.1 sowie die Gleichungen (3.15) und (3.16)):
charakteristische Zylinderdruckfestigkeit: = 25 N/mm²ckf
Bemessungswert der Betondruckfestigkeit αγ
= = =251,0 16,67 N/mm²1,5
ckcd cd
C
ff
Mittelwert der Zylinderdruckfestigkeit = + =8 N/mm² 33 N/mm²cm ckf f
Mittelwert der zentrischen Zugfestigkeit ( ),2,6 N/mm² ctm ct efff f= =
charakteristischer 5 %-Quantilwert der zentrischen Zugfestigkeit
=,0.05 1,8 N/mm²ctkf
Bemessungswert der Betonzugfestigkeit αγ
= = =,0.05 1,81,0 1,2 N/mm²1,5
ctkctd ct
C
ff
Elastizitätsmodul = 31000 N/mm²cmE
Stauchung des Betons am Beginn der Plastifizie-rung des Parabel-Rechteck-Diagramms
ε =2 2,0c ‰
rechnerische Bruchstauchung des Betons bei Ver-wendung des Parabel-Rechteck-Diagrammes
ε =2 3,5cu ‰
Ordnung der Parabel = 2,0n
Abbildung 4: Spannungs-Dehnungsbeziehung im GZT: Parabel-Rechteck-Diagramm
3.2 Betonstahl Gewählt wird die Stahlgüte B550B – ÖNORM B 4707 (= BSt 550 – ÖNORM B 4200-7)
Dieser Stahl hat folgende mechanische Eigenschaften (vgl. EN 1992-1-1, Anhang C):
charakteristischer Wert der Streckgrenze: 550 N/mm²ykf =
Bemessungswert der Streckgrenze: 550 478 N/mm²1,15
ykyd
S
ff
γ= = =
charakteristischer Wert der Zugfestigkeit: 1,08 594 N/mm²tk ykf f= ⋅ =
Bemessungswert der Zugfestigkeit: 594 517 N/mm²1,15
tktd
S
ffγ
= = =
Elastizitätsmodul: 200000 N/mm²sE =
charakteristischer Wert der Fliessdehnung: 550 2,75
200000yk
yks
fE
ε = = = ‰
Bemessungswert der Fliessdehnung: 478 2,39
200000yd
yds
fE
ε = = = ‰
charakteristische Dehnung bei Höchstlast: 50ukε = ‰
Bemessungswert der Dehnung bei Höchstlast: 0,9 0,9 50 45ud ukε ε= ⋅ = ⋅ = ‰
Abbildung 5: Spannungs-Dehnungsbeziehung im GZT für den Betonstahl
4 Dauerhaftigkeit
4.1 Allgemeines Dauerhafte Betonkonstruktionen erfordern:
• entsprechend der Umwelteinwirkungen, richtige Wahl der Betonsorte (siehe EN 206-1 bzw. ÖNORM B 4710-1);
• Dichtheit und Qualität der Betondeckung → Mindestdruckfestigkeitsklassen;
• Einhaltung von Mindestdicken der Betondeckung;
• Beschränkung der Rissbreite;
• Einhaltung von konstruktiven Regeln;
• richtiges Ausführen und Nachbehandeln von Tragwerken aus Beton (siehe EN 13670 bzw. ÖNORM B 4704 sowie ÖNORM B 4710-1).
4.2 Umgebungseinflüsse (Expositionsklassen) In Österreich werden die Expositionsklassen gemäß ÖNORM B 4710-1 (nationale Um-setzungsnorm von EN 206-1) definiert. Beton in Gebäuden im Wohn- und Bürobereich werden der Klasse XC1 zugeordnet. Der verwendete Beton trägt damit die Bezeichnung:
C25/30/XC1(A)
4.3 Mindestbetonfestigkeit zur Sicherstellung der Dauerhaftigkeit Die Mindestbetonfestigkeitsklasse ist die der maßgebenden Expositionsklasse zugeord-nete Festigkeitsklasse, welche Dichtheit und Qualität der Betondeckung im ausreichen-den Maß sicher stellen sollte. Sie wird auch als indikative Festigkeitsklasse bezeichnet und wird in Österreich gemäß Tabelle 9 – ÖNORM B 1992-1-1 festgelegt.
Der Expositionsklasse XC1 wird die indikative Festigkeitsklasse C20/25 zugeordnet und liegt damit unter der vorhandenen Festigkeitsklasse C25/30.
4.4 Betondeckung Das Nennmaß der Betondeckung setzt sich aus der Mindestbetondeckung und dem Vorhaltemaß zusammen (siehe EN 1992-1-1, 4.4.1). Unter Berücksichtigung der Rege-lungen gemäß ÖNORM B 1992-1-1 ergibt sich für die Längsbewehrung des Unterzuges:
Nennmaß der Betondeckung (Planungsmaß), cnom
min 30 mm 5 mmnom devc c c= + Δ = + = 35 mm
Mindestbetondeckung, cmin
min,min
min,
Verbundkriteriummax
15 mm Dauerhaftigkeitskriteriumb
dur
cc
c=⎧⎪= ⎨ =⎪⎩
30 mm
Verbundkriterium, cmin,b
min, min, Annahme 30 mmb bc cφ φ= = ⇒ = 30 mm
Dauerhaftigkeitskriterium, cmin,dur ≥ 15 mm
Max
imum
Expositionsklasse nach ÖNORM B 4710-1
XC1 XC2/XC3/XC4 XD1/XD2 XD3
cmin,dur [mm] 15 25 30 40
Vorhaltemaß, Δcdev
devcΔ = 5 mm
Tabelle 6: Bestimmung der erforderlichen Betondeckung der Längsbewehrung
Für die Bügel des Unterzuges berechnet sich die erforderliche Betondeckung zu:
Nennmaß der Betondeckung (Planungsmaß), cnom
min 15 mm 5 mmnom devc c c= + Δ = + = 20 mm
Mindestbetondeckung, cmin
min,min
min,
10 mm Verbundkriteriummax
Dauerhaftigkeitskriteriumb
dur
cc
c=⎧⎪= ⎨=⎪⎩ 15 mm
Verbundkriterium, cmin,b
min, min, Annahme 10 mm 10 mmb bc cφ φ= = ⇒ =
Dauerhaftigkeitskriterium, cmin,dur ≥ 15 mm
Max
imum
Expositionsklasse nach ÖNORM B 4710-1
XC1 XC2/XC3/XC4 XD1/XD2 XD3
cmin,dur [mm] 15 25 30 40
Vorhaltemaß, Δcdev
devcΔ = 5 mm
Tabelle 7: Bestimmung der erforderlichen Betondeckung der Bügel
Wird die Betondeckung des Unterzuges mit 25 mm festgelegt, kann die erforderliche Betondeckung der Längsbewehrung bei Vorhandensein von Bügeln im Durchmesser von 10 mm eingehalten werden.
5 Schnittgrößen
Die Schnittgrößen werden unter den Annahmen gemäß EN 1992-1-1, 5.4 ermittelt:
• ungerissene Querschnitte;
• lineare Spannungs-Dehnungs-Linien und
• Mittelwert des Elastizitätsmoduls, Ecm
5.1 Mitwirkende Plattenbreiten Da es sich um ein einfach statisch unbestimmtes System handelt, hat die Steifigkeitsver-teilung entlang des Bauteils einen Einfluss auf die Verteilung der Schnittgrößen. Die Steifigkeit des Unterzuges wird wiederum wesentlich von der mitwirkende Plattenbreite bestimmt, die sich entlang seiner Länge ändert. So ist diese im Feldbereich wesentlich größer als im Stützbereich. Die mitwirkende Plattenbreite berechnet sich gemäß EN 1992-1-1, 5.3.2.1 aus der Gleichung:
2
,1
eff eff i wi
b b b b=
= + ≤∑ (5.7) – EN 1992-1-1
Dabei ist
0
, 0
0,2 0,1min 0,2
i
eff i
i
b lb l
b
⋅ + ⋅⎧⎪= ⋅⎨⎪⎩
bi die tatsächlich vorhandene seitliche Gurtbreite
1
2
625 cm 312,5 cm2
475 cm 237,5 cm2
b
b
= =
= =
l0 Abstand der Momentennullpunkte (=wirksame Stützweite)
0
0
Feldbereich: 0,85 0,85 700 cm 595 cmStützbereich: 0,3 0,3 700 cm 210 cm
= ⋅ = ⋅ =
= ⋅ = ⋅ =
l ll l
Für den Feldbereich ergibt sich:
0,2 312,5 0,1 595 122 0,2 237,5 0,1 595min 0,2 595 min 0,2 595 119 30
312,5 237,5 effb
⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ =⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⋅ = + ⋅ = + =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭
107 119 256 cm
und für den Stützbereich berechnet sich die mitwirkende Plattenbreite zu:
0,2 312,5 0,1 210 83,5 0,2 237,5 0,1 210 68,5min 0,2 210 min 0,2 210 30
312,5 237,5 effb
⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ =⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⋅ = + ⋅ = + =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭
42 42 114 cm
Für die Ermittlung der Schnittgrößen darf jedoch die Breite des Feldes über die gesamte Stützweite als konstant angenommen werden (EN 1992-1-1, 5.3.2.1(4)). Die Schnittgrö-ßen des Unterzuges werden damit für einen Zweifeldträger mit konstanter Biegesteifig-keit berechnet.
5.2 Ergebnisse der Schnittgrößenberechnung
Abbildung 6: Schnittgrößen der Grundkombination
Abbildung 7: Schnittgrößen der quasi-ständigen Kombination
6 Nachweise in den Grenzzuständen der Tragfähigkeit
6.1 Bemessung für Biegung Für die Biegebemessung sind die Annahmen gemäß EN 1992-1-1, 6.1 zu treffen. Be-züglich der Spannungs-Dehnungs-Beziehung des Betonstahls kann entweder von einer Stahlverfestigung mit Begrenzung der Stahldehnung oder einem horizontalen Fließpla-teau ohne Dehnungsbegrenzung ausgegangen werden. Da die Berücksichtigung der Stahlverfestigung nur eine geringe Ersparnis des erforderlichen Stahlquerschnittes liefert wird für dieses Beispiel von einem horizontalen Fließplateau ausgegangen (→Variante 2 in Abbildung 5).
6.1.1 Biegebemessung des Stützquerschnittes Als Bemessungsmoment wird das Moment am Rand des Unterzuges herangezogen, da der Unterzug monolithisch mit der Stütze verbunden ist und sich die Längsdruckspan-nungen in die Stütze ausbreiten können (siehe dazu EN 1992-1-1, 5.3.2.2, (3)). Dabei darf das Bemessungsmoment nicht kleiner als 65% des Volleinspannmomentes sein.
( )2
2
0,15 m611,95 kNm 437,1 kN 0,15 m 99,91 kN/m
26,70,65 99,91 364,4 kNm (65% des Volleinspannmomentes)
8
Ed
Ed
M
M
= − + ⋅ − ⋅ =
≥ ⋅ ⋅ =
-547,5 kNm
Abbildung 8: Stützquerschnitt
Für die Bestimmung der Nutzhöhe d wird von einem Durchmesser der Bewehrung von 20 mm ausgegangen. Damit ergibt sich:
1 12 cm2 cm 1 cm 4 cm 50 4
2 2nom Platted c d h dφφ= + + = + + = ⇒ = − = − = 46 cm
Das Bemessungsmoment beträgt: EdM = 547,5 kNm
Da keine Normalkraft wirkt, ist das Moment auf Höhe der Bewehrung, MEd,s, gleich dem Bemessungsmoment MEd. Die Druckzone befindet sich beim Stützquerschnitt unten, damit hat sie die Breite des Unterzuges von 30 cm.
( )
1
,lim22
547,5 kNm54750 kNcm 0,5175 0,362
30 cm 46 cm 1,667 kN/cm²
Die Bewehrung kommt nicht ins Fließen!
Eds Ed Ed s
EdsEds Rds
cd
M M N zM
b d fμ μ
= − ⋅ =
= = = > =⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⇒
Da die Biegezugbewehrung nicht ins Fließen gerät, wird eine Druckbewehrung einge-legt. Dazu wird die Dehnungsebene bei εs1=εyd und εc=εcu2 festgehalten und das auf-nehmbare Moment MEds,lim bestimmt.
2 2,lim ,lim 0,362 30 46 1,667 kNcm 383,1 kNmEds Eds cdM b d fμ= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = =
Die Druckzonenhöhe und der innere Hebelsarm ergeben sich für diese Dehnungsebene zu:
2lim lim lim
2
lim lim lim lim
3,5 0,594 0,594 46 27,33 cm3,5 2,39
1 1 0,416 0,594 0,753 0,753 46 34,63 cm
cu
cu yd
a
x d
k z d
εξ ξε ε
ζ ξ ζ
= = = ⇒ = ⋅ = ⋅ =+ +
= − ⋅ = − ⋅ = ⇒ = ⋅ = ⋅ =
Das zusätzlich zu MEds,lim aufzunehmende Moment beträgt:
,lim 547,5 kNm 383,1 kNm 164,4 kNmEds Eds EdsM M MΔ = − = − =
Dieses Differenzmoment ist durch eine Druckbewehrung und eine zusätzliche Biegezug-bewehrung abzutragen. Der Hebelsarm des Kräftepaars ergibt sich zu d−d2. Die Größe von d2 wird unter der Annahmen einer Druckbewehrung vom Durchmesser 26 mm ab-geschätzt.
2 2,5 cm 1 cm 0,5 2,6 cm 4,8 cmd = + + ⋅ =
Die gesamte erforderliche Bewehrungsfläche der Biegezugzone berechnet sich zu:
1, lim2
1
1 16440 kNcm0,810 1,667 kN/cm² 0,594 46 cm 30 cm47,8 kN/cm² 46 4,8
Edss erf R cd Ed
yd
MA f d b Nf d d
α ξ⎛ ⎞Δ
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + +⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠⎛ ⎞
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +⎜ ⎟−⎝ ⎠= 31,47 cm²
Eine mögliche Wahl der Bewehrung wäre:
1, 1,11 20 34,56 cm² 31,47 cm²s gew s erfA A= ∅ = ≥ =
Die Stahlspannung in der Biegedruckbewehrung ergibt sich zu:
22 2
lim
2
4,81 3,5 1 2,89 2,39 Fließen!27,33
478 N/mm²
s cu yd
s d yd
dd
f
ε ε εξ
σ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ − = ⋅ − = ≥ = ⇒⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⋅ ⎝ ⎠⎝ ⎠= =
‰ ‰
Als Druckbewehrung ergibt sich eine erforderliche Bewehrungsfläche von:
( ) ( )2,2 2
16440 kNcm47,8 kN/cm² 46 cm 4,8 cm
Edss erf
s d
MAd dσ
Δ= = =
⋅ − ⋅ −8,35 cm²
Diese kann beispielsweise durch
2, 2,2 26 10,62 cm² 8,34 cm²s gew s erfA A= ∅ = ≥ =
sichergestellt werden.
Abbildung 9: Wahl der Bewehrung des Stützquerschnittes
Mindest- und Höchstbewehrung:
Die Querschnittsfläche der Längszugbewehrung hat nicht geringer als As,min zu sein (siehe EN 1992-1-1, Gl. (9.1N)):
,min
2,60,26 0,26 114 46 6,45 cm²550max
0,0013 0,0013 114 46
ctmt
yks
t
f b dfA
b d
⎧⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =⎪= ⎨
⎪ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =⎩ 6,82 cm²
Bei hoch bewehrten Biegequerschnitten darf weder die Zug- noch die Druckbewehrung, außerhalb von Bewehrungsstößen, den Wert von
( ),max 0,04 0,04 114 20 30 30 127,2 cm²s cA A= ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ =
überschreiten.
Kontrolle der Stababstände:
Der lichte Abstand zwischen parallelen Einzelstäben darf einen Mindestwert nicht unter-schreiten. Für die Definition dieses Wertes siehe EN 1992-1-1, 8.2(2) unter Berücksichti-gung der Regelungen gemäß ÖNORM B 1992-1-1. Hier ergibt sich für die Biegezugbe-wehrung:
2
1,4 1,4 20100 20 80 mm max 22 0 22 mm wird erfüllt!
20 mmn ga d k
φ⎧ ⋅ = ⋅ =⎪
= − = ≥ + = + = ⇒⎨⎪⎩
28 mm
Und für die Biegedruckbewehrung:
( ) 2
1,4 1,4 26300 2 25 10 26 178 mm max 22 0 22 mm
20 mmn ga d k
φ⎧ ⋅ = ⋅ =⎪
= − ⋅ + + = ≥ + = + =⎨⎪⎩
36,4 mm
⇒ wird erfüllt!
6.1.2 Biegebemessung des Feldquerschnittes Der Durchmesser der Biegezugbewehrung wird mit 26 mm angenommen. Damit ergibt sich die Nutzhöhe zu:
1
1
2,6 cm2,5 cm 1 cm 4,8 cm2 2
50 4,8
nom Bügeld c
d h d
φφ= + + = + + =
⇒ = − = − = 45,2 cm
Abbildung 10: Feldquerschnitt
( )
1
,lim22
381,9 kNm38190 kNcm 0,0438 0,362
256 cm 45,2 cm 1,667 kN/cm²
Die Bewehrung kommt ins Fließen!
Eds Ed Ed s
EdsEds Rds
cd
M M N zM
b d fμ μ
= − ⋅ =
= = = ≤ =⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⇒
( )
( )
21 2
1 0,4161 1 mit 4 4 2,0552 0,8101 1 1 2,055 0,0438 0,977 0,977 45,2 44,16 cm21 1 0,977 0,055 0,055 45,2 2,50 cm
0,4163,5 3,5 59,68 2,390,055
aEds
R
a
cus cu yd
k
z d
x dk
ζ χ μ χα
ζ ζ
ζξ ξ
εε ε ε
ξ
= ⋅ + − ⋅ = ⋅ = ⋅ =
= ⋅ + − ⋅ = ⇒ = ⋅ = ⋅ =
− −= = = ⇒ = ⋅ = ⋅ =
= − = − = ≥ =‰
‰ ‰ ‰
1,38190 kNcm
0,977 45,2 cm 47,8 kN/cm²Eds Ed
s erfyd yd
M NAd f fζ
= + = =⋅ ⋅ ⋅ ⋅
18,08 cm²/m
Mögliche Wahl der Bewehrung:
1, 1,4 26 21,24 cm² 18,08 cm²s gew s erfA A= ∅ = ≥ =
Abbildung 11: Wahl der Bewehrung des Feldquerschnittes
Mindestbewehrung:
,min
2,60,26 0,26 30 45,2 1,67 cm²550max
0,0013 0,0013 30 45,2
ctmt
yks
t
f b dfA
b d
⎧⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =⎪= ⎨
⎪ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =⎩ 1,76 cm²
Kontrolle der Stababstände:
( )( )2
1,4 1,4 26300 2 25 10 4 2642 mm max 22 0 22 mm
320 mm
n ga d kφ⎧ ⋅ = ⋅ =− ⋅ + − ⋅ ⎪
= = ≥ + = + =⎨⎪⎩
36,4 mm
⇒ wird erfüllt!
6.2 Bemessung für Querkraft
6.2.1 Querkraftnachweis des Steges Der Nachweis der Betondruckstrebe wird direkt am Rand des Auflagers geführt, wäh-rend die erforderliche Schrägzugbewehrung, bei direkter Lagerung, im Abstand d vom Lagerrand ermittelt werden darf (EN 1992-1-1, 6.2.1, (8)).
Abbildung 12: Bemessungswerte der einwirkenden Querkraft und Nachweisstellen
6.2.1.1 Nachweis der Betondruckstrebe Der Bemessungswert des Querkraftwiderstandes, der durch die Druckstrebenfestigkeit begrenzt ist, berechnet sich für vertikale Bügel gemäß EN 1992-1-1, 6.2.3 (3) aus fol-gender Gleichung:
1,max cot tan
cw w cdRd
b z fV α νθ θ
⋅ ⋅ ⋅ ⋅=
+ (6.9) – EN 1992-1-1
Darin bedeutet:
αcw ein Beiwert zur Berücksichtigung des Spannungszustandes im Druck-gurt;
=1,0 für nicht vorgespannte Tragwerke
bw die kleinste Querschnittsbreite zwischen Zug- und Druckgurt;
=30 cm
z der innere Hebelsarm. Dieser dürfte mit 0,9 d abgeschätzt werden. Am Rand der Mittelstütze beträgt der Hebelsarm jedoch nur 0,753 d.
ν1 ein festigkeitsmindernder Faktor der Betondruckstrebe;
1250,6 1 0,6 1 0,540
250 250ckfν ν ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = ⋅ − = ⋅ − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠
θ Neigung der Betondruckstrebe. Gemäß ÖNORM B 1992-1-1 darf tanθ zwischen 0,6 und 1,0 angenommen werden.
Der maßgebende Nachweis findet am Zwischenauflager statt:
1,max 1
1,0 30 34,63 0,54 1,667 412,6 kN 422,1 kNcot tan 0,6 0,6
Nachweis ist nicht erfüllt!
cw w cdRd Ed
b z fV Vα νθ θ −
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = = < =
+ +⇒
Da mit einem Druckstrebenneigungswinkel von tanθ = 0,6 der Querkraftwiderstand zu gering ist, wird der Neigungswinkel etwas erhöht. Mit tanθ = 0,65 ergibt sich:
1,max 1
1,0 30 34,63 0,54 1,667 427,3 kN 422,1 kNcot tan 0,65 0,65
Nachweis ist erfüllt!
cw w cdRd Ed
b z fV Vα νθ θ −
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = = ≥ =
+ +⇒
6.2.1.2 Erforderliche Querkraftbewehrung Als Querkraftbewehrung werden vertikale Bügel gewählt. Der Bemessungswert der durch die Fließgrenze der Querkraftbewehrung begrenzte Querkraftwiderstand berech-net sich aus der Gleichung:
, cotswRd s ywd
AV z fs
θ= ⋅ ⋅ ⋅ (6.8) – EN 1992-1-1
Für eine gegebene Querkraft von VEd =376,2 kN ergibt sich daraus die erforderliche Querkraftbewehrung zu:
,376,2 kN cmtan 0,65 100
34,63 cm 47,8 kN/cm² msw Ed
sw erfywd
A Vas z f
θ= = ⋅ = ⋅ ⋅ =⋅ ⋅
14,77 cm²/m
Dies lässt sich durch Bügel vom Durchmesser 10 mm in einem Abstand von 10 cm si-cherstellen.
, ,Bü 10 /10 cm 15,71 cm²/m 14,77 cm²/msw vorh sw erfa a= ∅ = ≥ =
Die Mindestquerkraftbewehrung und der maximale Bügelabstand betragen (siehe ÖNORM B 1992-1-1, 4.9):
( ),min2,6 cm0,15 sin 0,15 30 1 100 2,45 cm²/m478 m
ctmsw w
ywd
fa bf
α= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
( ) ( ),max
0,75 1 cot 0,75 46 cm 1 0 34,5 cmmin
ds
α⎧ ⋅ ⋅ + = ⋅ ⋅ + =⎪= ⎨⎪⎩25 cml
Für vorgegebene Querkraftbewehrungsquerschnitte errechnet sich VRd,s zu:
,sw vorha ( ), 34,63 cm; tan 0,65Rd sV z θ= =
Bü 10 /10 15,71 cm²/m∅ = 400,2 kN
Bü 10 /15 10,47 cm²/m∅ = 266,8 kN
Bü 10 / 20 7,85 cm²/m∅ = 200,1 kN
Bü 10 / 25 6,28 cm²/m∅ = 160,1 kN
Tabelle 8: Querkraftwiderstände für vorgegebene Bewehrungsquerschnitte
Im Bereich des Endauflagers kann der innere Hebelarm des Feldes von z=44,16 cm herangezogen werden. Darüber hinaus wird hier der Querkraftwiderstand der Beton-
druckstrebe auch für eine Neigung von tanθ =0,6 erfüllt. Mit Bü∅10/25 cm lässt sich hier ein Querkraftwiderstand von
1, cot 0,0628 cm²/cm 44,16 cm 47,8 kN/cm² 0,6 221 kNsw
Rd s ywdAV z fs
θ −= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =
erreichen und ist damit ausreichend.
Eine mögliche Abstufung der Bügelabstände wird in folgender Abbildung dargestellt. Auf ein Einschneiden der Querkraftlinie wie unter EN 1992-1-1, 6.2.3(5) beschrieben wird verzichtet.
Abbildung 13: mögliche Abstufung der Bügelabstände
6.2.2 Schubfester Gurtscheibenanschluss
6.2.2.1 Anschluss des Druckgurtes Der Längsschub vEd wird über die Längskraftdifferenz im untersuchten Teil des Gurtes bestimmt. Dabei ist die Stababschnittslänge Δx auf den halben Abstand zwischen Mo-mentennullpunkt und Momentenmaximum zu beschränken (siehe EN 1992-1-1, 6.2.4(3)). Da sich die Gurtkraft bzw. das Biegemoment im ersten Abschnitt, affin zur Querkraftlinie, stärker ändert als im zweiten Abschnitt, wird der Gurtscheibenanschluss für den ersten Abschnitt Δx nachgewiesen. Die Größe von Δx ergibt sich zu 138 cm.
Abbildung 14: Maßgebender Längenabschnitt für den Druckgurt
Bei der Berechnung der Längskraftdifferenz ΔFd ist zu beachten, dass die mitwirkende Plattenbreit für das Feld nicht symmetrisch liegt (vgl. Abbildung 10).
,1 28600 kNcm 119 cm 301 kN44,16 cm 256 cm
effEdd
eff
bMFz b
ΔΔ = ⋅ = ⋅ =
Der Längschub berechnet sich zu:
301 kN 0,109 kN/cm²138 cm 20 cm
dEd
f
Fvx hΔ
= = = =Δ ⋅ ⋅
1,09 N/mm²
Nachweis der Betondruckstrebe:
Für den Nachweis der Tragfähigkeit der Betondruckstrebe wird wiederum der Winkel der Betondruckstrebe möglichst flach gewählt. Bei Druckgurten beträgt der Mindestwert von tanθf, 0,5 (siehe EN 1992-1-1,6.2.4(4)).
Der Längschub muss folgende Bedingung einhalten:
2
tan 0,8sin cos 0,54 16,67 N/mm²1 tan ² 1 0,5
1,09 N/mm² 3,60 N/mm²
fEd cd f f cd
f
v f f θν θ θ νθ
≤ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅+ +
≤
Der Nachweis der Betondruckstrebe ist damit erfüllt.
Erforderliche Bewehrung für den Gurtscheibenanschluss:
Da
0,41,09 N/mm² 0,4 1,20 N/mm² 0,48 N/mm²
Ed ctdv f> ⋅
> ⋅ =
ist eine Bewehrung für den schubfesten Gurtanschluss einzulegen.
Die für den schubfesten Gurtanschluss erforderliche Querbewehrung, Asf/sf, berechnet sich aus:
tan 0,109 kN/cm² 20 cm 0,5 100 cm/m47,8 kN/cm²
sf Ed f fsf
f yd
A v has f
θ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ≥ = ⋅ = 2,28 cm²/m
Da eine kombinierte Beanspruchung aus Schubkräften zwischen Gurt und Steg und Querbiegung vorliegt, ist die Interaktionsregel gemäß EN 1992-1-1, 6.2.4(5) anzuwen-den.
Aus dem Beispiel Vollplatte – einachsig gespannt ergibt sich eine erforderliche Biegebe-wehrung der Platte im Stützbereich von asM=7,47 cm²/m.
Abbildung 15: erforderliche Bewehrung aus Gurtanschluss und Querbiegung
,,
2,28 cm²/mmax
0,5 1,14 cm²/m 7,47 cm²/msf
s erfsf s M
aa
a a=⎧⎪= ⎨ ⋅ + = + =⎪⎩ 8,61 cm²/m
Da bei der Platte als Stützbewehrung 7,85 cm²/m gewählt wurden und vom Feld 3,57 cm²/m bis zum Unterzug geführt und dort verankert werden, braucht keine zusätzli-che Bewehrung eingelegt werden.
6.2.2.2 Anschluss des Zuggurtes
Abbildung 16: Maßgebender Längenabschnitt für den Zuggurt
Die Längskraftdifferenz ΔFd lässt sich über die vom Steg ausgelagerte Bewehrung be-rechnen (vgl Abbildung 9).
,
34420 kNcm 4 361,4 kN34,63 cm 11
Ed sfd
s tot
M AFz A
ΔΔ = ⋅ = ⋅ =
Der Längschub berechnet sich zu:
361,4 kN 0,207 kN/cm²87,5 cm 20 cm
dEd
f
Fvx hΔ
= = = =Δ ⋅ ⋅
2,07 N/mm²
Nachweis der Betondruckstrebe:
Für den Nachweis der Tragfähigkeit der Betondruckstrebe wird wiederum der Winkel der Betondruckstrebe möglichst flach gewählt. Bei Zuggurten beträgt der Mindestwert von tanθf, 0,8 (siehe EN 1992-1-1,6.2.4(4)).
Der Längschub muss folgende Bedingung einhalten:
2
tan 0,8sin cos 0,54 16,67 N/mm²1 tan ² 1 0,8
2,07 N/mm² 4,39 N/mm²
fEd cd f f cd
f
v f f θν θ θ νθ
≤ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅+ +
≤
Der Nachweis der Betondruckstrebe ist damit erfüllt.
Erforderliche Bewehrung für den Gurtscheibenanschluss:
Da
0,42,07 N/mm² 0,4 1,20 N/mm² 0,48 N/mm²
Ed ctdv f> ⋅
> ⋅ =
ist eine Bewehrung für den schubfesten Gurtanschluss einzulegen.
Die für den schubfesten Gurtanschluss erforderliche Querbewehrung, Asf/sf, berechnet sich aus:
tan 0,207 kN/cm² 20 cm 0,8 100 cm/m47,8 kN/cm²
sf Ed f fsf
f yd
A v has f
θ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ≥ = ⋅ = 6,91 cm²/m
Auch hier ist wiederum die Interaktion aus Schubbeanspruchung und Querbiegung durchzuführen (siehe EN 1992-1-1, 6.2.4(5)).
Abbildung 17: erforderliche Bewehrung aus Gurtanschluss und Querbiegung
,,
6,91 cm²/mmax
0,5 3,46 cm²/m 7,47 cm²/msf
s erfsf s M
aa
a a=⎧⎪= ⎨ ⋅ + = + =⎪⎩ 10,93 cm²/m
Da bei der Platte als Stützbewehrung 7,85 cm²/m gewählt wurden und vom Feld 3,57 cm²/m bis zum Unterzug geführt und dort verankert werden, braucht keine zusätzli-che Bewehrung eingelegt werden.
7 Nachweise in den Grenzzuständen der Gebrauchstauglichkeit
7.1 Allgemeines Die Nachweise in den Grenzzuständen der Gebrauchstauglichkeit umfassen im üblichen Hochbau (siehe EN 1992-1-1, 7.1):
• Begrenzung der Spannungen
• Begrenzung der Rissbreiten
• Begrenzung der Verformungen
7.2 Begrenzung der Spannungen Um die Gebrauchstauglichkeit sicherzustellen dürfen die Betondruckspannungen und die Stahlzugspannungen unter Gebrauchslast verschiedene Grenzwerte nicht überschreiten (siehe EN 1992-1-1, 7.2). Genauer ist für diesen Plattenbalken zu überprüfen:
• ob die Druckspannungen des Betons unter der quasi-ständigen Belastung unterhalb des Wertes von 0,45 fck liegen. Überschreiten sie diesen Grenzwert ist mit nichtlinea-rem Kriechen und damit sehr großen Langzeitverformungen zu rechnen.
• dass die Stahlspannungen unter der charakteristischen Einwirkungskombination nicht ins Fließen kommen und damit unterhalb von fyk bleiben (dies gilt für direkte Einwirkungen).
Da es sich um einen schlaff bewehrten Plattenbalken des üblichen Hochbaues handelt und darüber hinaus die Schnittgrößen linear elastisch ohne Umlagerung ermittelt wur-den, wird der Nachweis der Begrenzung der Spannungen nicht maßgebend werden und deshalb wird auf diesen Nachweis verzichtet.
7.3 Begrenzung der Rissbreiten
7.3.1 Allgemeines Die Rissbreiten sind so zu begrenzen, dass die ordnungsgemäße Nutzung des Tragwer-kes sowie sein Erscheinungsbild und die Dauerhaftigkeit nicht beeinträchtigt werden (EN 1992-1-1, 7.3.1(1)P). Die zulässigen charakteristischen Rissbreiten, wk, werden in Abhängigkeit der Expositionsklassen angegeben (siehe ÖNORM B 1992-1-1, Tabelle 4). Für Bauteile aus Stahlbeton, die der Expositionsklasse XC1 ausgesetzt sind, ist die Rissbreite unter der quasi-ständigen Einwirkungskombination auf wk = 0,4 mm zu be-grenzen (dies dient im Wesentlichen der Wahrung des Erscheinungsbildes, da unter dieser Expositionsklasse die Rissbreite keinen negativen Einfluss auf die Dauerhaftigkeit hat).
Der Nachweis der Begrenzung der Rissbreite kann über die direkte Berechnung der Rissbreite oder indirekt über die Begrenzung der Stabdurchmesser oder die Begrenzung
der Stababstände geführt werden. Darüber hinaus ist das Vorhandensein einer Mindest-bewehrung zur Rissbreitenbegrenzung nachzuweisen.
7.3.2 Mindestbewehrung zur Begrenzung der Rissbreite Ist eine Rissbreitenbeschränkung gefordert, muss laut EN 1992-1-1, 7.3.2 in Bereichen, in denen Zug erwartet wird, eine Mindestmenge an Bewehrung eingelegt werden. Die Mindestbewehrung resultiert dabei aus dem Gleichgewicht der Zugkraft vor dem Anriss im Beton und der Zugkraft nach dem Anriss in der Bewehrung. Die tatsächliche Lastein-wirkung hat dabei keinen Einfluss auf die Mindestbewehrungsmenge, da sich die aufzu-nehmenden Kräfte rein aus den Zugspannungen im Beton unmittelbar vor der Rissaus-bildung ergeben. Aufgrund der unterschiedlichen Druckzonenabmessungen des Platten-balkens im Stütz und Feldbereich, muss der Nachweis der Mindestbewehrung zur Be-grenzung der Rissbreite sowohl im Feld- als auch im Stützbereich geführt werden.
7.3.2.1 Stützbereich Laut EN 1992-1-1, 7.3.2 muss die Mindestbewehrung zur Beschränkung der Rissbreite bei Plattenbalkenquerschnitten für die einzelnen Teilquerschnitte nachgewiesen werden (vgl. Abbildung 18). Diese Forderung resultiert aus der Überlegung, dass es bei stark gegliederten Querschnitten, beispielsweise bei Plattenbalken, durch die gegenseitigen Dehnungsbehinderungen der einzelnen Querschnittsteile, zu einer vermehrten Rissbil-dung im Bereich der schwächeren Teilquerschnitte kommen kann (z.B. zufolge unter-schiedlicher Schwinddehnungen).
Abbildung 18: Spannungsverteilung der Teilquerschnitte im Zustand des Erstris-ses
7.3.2.1.1 Teilquerschnitt 1: Die Mindestbewehrung zur Begrenzung der Rissbreite ist nach EN 1992-1-1, 7.3.2 aus folgender Gleichung zu ermitteln:
,,min , ,min
c ct eff cts s c ct eff ct s
s
k k f AA k k f A Aσ
σ⋅ ⋅ ⋅
⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = (7.1) – EN 1992-1-1
Darin bedeutet:
ctA Die Fläche der Betonzugzone (siehe Abbildung 18) 217,1 30 513 cmctA = ⋅ =
cσ Mittlere Betondruckspannung, die auf den untersuchten Teil des Quer-schnitts einwirkt (siehe Abbildung 18)
1,20 N/mm²cσ =
1k Beiwert zur Berücksichtigung der Auswirkungen der Normalkräfte auf die Spannungsverteilung. Bei Druckbeanspruchung gilt: 1 1,5k =
h∗ 50 cmh h∗ = = für h < 1,0 m
ck Beiwert zur Berücksichtigung des Spannungszustandes. Bei Rechtecksquerschnitten und Stegen von Hohlkasten- oder T-Querschnitten ergibt sich kc zu:
( )1 ,
1,20,4 1 0,4 1 0,277 11,5 1 2,6
cc
ct eff
khk fh
σ
∗
⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⋅ − = ⋅ − = ≤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⋅ ⋅⎛ ⎞ ⎢ ⎥⎣ ⎦⋅ ⋅⎢ ⎥⎜ ⎟
⎝ ⎠⎣ ⎦
k Beiwert zur Berücksichtigung von nichtlinear verteilten Eigenspannun-
gen. Da angenommen wird, dass sich der Erstriss unter äußerem Zwang ausbildet, wird k hier mit 1,0 angesetzt.
,ct efff Mittelwert der wirksamen Zugfestigkeit des Betons: 2
, 2,6 N/mmct eff ctmf f= =
sσ zulässige Spannung im Betonstahl unmittelbar nach Rissbildung.
Die Mindestmenge an rissverteilender Bewehrung ist abhängig von der zulässigen Spannung im Betonstahl unmittelbar nach Rissbildung. Diese darf im Allgemeinen mit fyk angenommen werden. Wird jedoch eine Rissbreitenbeschränkung gefordert (für diesen Plattenbalken 0,4 mm), ist eine niedrigere Spannung für σs anzunehmen. Zur Bestim-mung dieser Spannung kann die Tabelle 5 – ÖNORM B 1992-1-1 herangezogen wer-den. Diese Tabellenwerte beruhen jedoch auf einer Betonzugfestigkeit von fct,eff = 2,9 N/mm² und sind somit für die verwendete Betonklasse zu modifizieren. Dies geschieht einfach durch die Multiplikation des Tabellenwertes mit dem Faktor fct,eff / 2,9. Im Allge-meinen ist es jedoch schneller und einfacher direkt in die Beziehung einzusetzen mit welcher die Tabellenwerte berechnet wurden:
Tabellenwert
, ,2 2 2
66 2,9 N/mm² 6 2,92,9ct eff k s ct effk s k s
S Ss s s
f w E fw E w Eφ φ
σ σ σ∗ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ⇒ = ⋅ =
Umformen nach σs führt zu:
, 26 6 0,4 200000 2,6 250 N/mm20
k s ct effs
s
w E fσ
φ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= = =
Ist die zulässige Stahlspannung bekannt, die bei gegebenem Stabdurchmesser die Rissbreite eines Erstrisses beschränkt, kann die Mindestbewehrungsmenge ermittelt werden:
, 2 2,min ,
0,277 1,0 2,6 513 1,48 cm 3 20 9,43 cm250
c ct eff cts s vorh
s
k k f AA A
σ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= = = ≤ = ∅ =
Die vorhandene Bewehrung aus dem Grenzzustand der Tragfähigkeit liegt über der Mindestbewehrung zur Begrenzung der Rissbreite. Damit braucht keine zusätzliche Bewehrung zur Begrenzung der Rissbreite angeordnet werden.
7.3.2.1.2 Teilquerschnitt 2: Auch hier berechnet sich die Mindestbewehrung zur Begrenzung der Rissbreite aus der Gleichung:
,,min , ,min
c ct eff cts s c ct eff ct s
s
k k f AA k k f A Aσ
σ⋅ ⋅ ⋅
⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = (7.1) – EN 1992-1-1
Mit:
ctA die Fläche der Betonzugzone (siehe Abbildung 18) 22 17,1 42 1436,4 cmctA = ⋅ ⋅ =
crF der Absolutwert der Zugkraft im Gurt unmittelbar vor Rissbildung infolge des Rissmoments, welches mit fct,eff berechnet wird
0,5 1436,4 0,26 0,5 186,7 kNcr ct ctmF A f= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =
ck Beiwert zur Berücksichtigung des Spannungszustandes. Bei Gurten von Hohlkasten- oder T-Querschnitten ergibt sich kc zu:
,
186,70,9 0,9 0,451436,4 0,26max 0,5
cr
ct ct effc
FA fk
⎧ ⎫⋅ = ⋅ =⎪ ⎪⋅ ⋅= =⎨ ⎬
⎪ ⎪⎩ ⎭0,5
k Beiwert zur Berücksichtigung von Eigenspannungen. 1,0k =
,ct efff Mittelwert der wirksamen Zugfestigkeit des Betons: 2
, 2,6 N/mmct eff ctmf f= =
sσ zulässige Spannung im Betonstahl unmittelbar nach Rissbildung.
, 26 6 0,4 200000 2,6 250 N/mm20
k s ct effs
s
w E fσ
φ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= = =
, 2 2,min ,
0,5 1 0,26 1436,4 7,47 cm 8 20 25,14 cm25
c ct eff cts s vorh
s
k k f AA A
σ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= = = ≤ = ∅ =
Die vorhandene Bewehrung aus dem Grenzzustand der Tragfähigkeit liegt über der Mindestbewehrung zur Begrenzung der Rissbreite. Damit braucht keine zusätzliche Bewehrung zur Begrenzung der Rissbreite angeordnet werden.
7.3.2.2 Feldbereich Im Feldbereich ist der erste Riss an der Unterseite des Unterzuges zu erwarten. Die Spannungsverteilung unmittelbar bevor sich dieser ausbildet, kann folgender Abbildung entnommen werden:
Abbildung 19: Spannungsverteilung im Zustand des Erstrisses
,,min
c ct eff cts
s
k k f AA
σ⋅ ⋅ ⋅
=
Mit:
ctA die Fläche der Betonzugzone (siehe Abbildung 18) ( ) 250 13,7 30 1089 cmctA = − ⋅ =
cσ mittlere Betondruckspannung, die auf den untersuchten Teil des Quer-schnitts einwirkt (siehe Abbildung 18)
0,79 N/mm²cσ = −
h∗
50 cmh h∗ = = für h < 1,0 m
1k Beiwert zur Berücksichtigung der Auswirkungen der Normalkräfte auf die Spannungsverteilung. Bei Zugbeanspruchung gilt:
12 0,673
hkh
∗⋅= =
⋅
ck Beiwert zur Berücksichtigung des Spannungszustandes. Bei Rechtecksquerschnitten und Stegen von Hohlkasten- oder T-Querschnitten ergibt sich kc zu:
( )1 ,
0,790,4 1 0,4 1 0,582 10,67 1 2,6
cc
ct eff
khk fh
σ
∗
⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⋅ − = ⋅ + = ≤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⋅ ⋅⎛ ⎞ ⎢ ⎥⎣ ⎦⋅ ⋅⎢ ⎥⎜ ⎟
⎝ ⎠⎣ ⎦
k Beiwert zur Berücksichtigung von nichtlinear verteilten Eigenspannun-
gen. Da angenommen wird, dass sich der Erstriss unter äußerem Zwang ausbildet, wird k hier mit 1,0 angesetzt.
,ct efff Mittelwert der wirksamen Zugfestigkeit des Betons: 2
, 2,6 N/mmct eff ctmf f= =
sσ zulässige Spannung im Betonstahl unmittelbar nach Rissbildung.
, 26 6 0,4 200000 2,6 219,1 N/mm26
k s ct effs
s
w E fσ
φ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= = =
, 2 2,min ,
0,582 1,0 2,6 1098 7,58 cm 4 26 21,24 cm219,1
c ct eff cts s vorh
s
k k f AA A
σ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= = = ≤ = ∅ =
Die vorhandene Bewehrung aus dem Grenzzustand der Tragfähigkeit liegt über der Mindestbewehrung zur Begrenzung der Rissbreite. Damit braucht keine zusätzliche Bewehrung zur Begrenzung der Rissbreite angeordnet werden.
7.3.3 Ermittlung der Stahlspannung im gerissenen Querschnitt Um den Nachweis der Rissbreite durchführen zu können, benötigt man die Stahlspan-nung im Rissquerschnitt (=Zustand II). Für dieses Bauteil ist die Rissbreite für die quasi-ständige Kombination zu begrenzen, daher werden auch die Stahlspannungen für diese Einwirkungskombination berechnet.
Sofern sich die Breite der Druckzone im Zustand II über die Höhe nicht ändert, können die Beziehungen des Rechteckquerschnittes herangezogen werden. Dabei wird die Auswirkung der Bewehrung in der Druckzone vernachlässigt.
1II s
1
IIII
1,IIII 1
2 2000001 1 mit 6,4531000
3
s s s
s s cm
ss
A Eb dxb A E
xz d
Mz A
αα
α
σ
⎛ ⎞⋅ ⋅ ⋅= − + + = = =⎜ ⎟⎜ ⎟⋅⎝ ⎠
= −
=⋅
Abbildung 20: einfach bewehrter Rechtecksquerschnitt im Zustand II
Feldbereich Stützbereich
Mqp 195,5 kNm -347,5 kNm
b 256 cm 30 cm
h 50 cm 50 cm
d1 4,8 cm 4 cm
As1,vorh 21,24 cm² 34,56 cm²
xII 6,4 cm 19,8 cm
zII 43,0 cm 39,4 cm
σs1,II 213,7 N/mm² 255,1 N/mm²
Tabelle 9: Ermittlung der Stahlspannungen im Zustand II
Für eine schnelle Abschätzung der Spannung im Zustand II kann folgende Beziehung hilfreich sein:
,
,
qp s erfs yd
Ed s vorh
M Af
M Aσ = ⋅ ⋅
Feldbereich Stützbereich
MEd 381,9 kNm -611,95 kNm
As1,erf 18,08 cm² 31,47 cm²
As1,vorh 21,24 cm² 34,56 cm²
σsd = fyd 478 N/mm² 478 N/mm²
Mqp/MEd 0,512 0,568
As1,erf/As1,vorh 0,851 0,911
,
,
qp s erfs yd
Ed s vorh
M Af
M Aσ = ⋅ ⋅ 208,3 N/mm² 247,2 N/mm²
Tabelle 10: Abschätzung der Stahlspannungen im Zustand II
7.3.4 Nachweis der Rissbreite über die Begrenzung des Stabdurchmessers Eine mögliche Art den Nachweis der Einhaltung zulässiger Rissbreiten zu führen besteht in der Begrenzung des Stabdurchmessers. Dabei wird in Abhängigkeit der Stahlspan-nung im Rissquerschnitt und der zulässigen Rissbreite ein Grenzdurchmesser ermittelt, der nicht überschritten werden darf.
7.3.4.1 Feldbereich Die Stahlspannung im Feld 1 beträgt:
2213,7 N/mmsσ =
Für diese Stahlspannung und der zulässigen Rissbreite von 0,4 mm lässt sich der rech-nerische Grenzdurchmesser φs* aus Tabelle 5 – ÖNORM B 1992-1-1 entnehmen. Er kann auch direkt aus der Gleichung
2 2
6 0,4 200000 2,9 36 2,9 N/m 0,5 mm² m213,7
k sS
s
w Eφσ
∗ ⋅ ⋅ ⋅=
⋅ ⋅ ⋅= =
berechnet werden.
Dieser so berechnete Grenzdurchmesser gilt jedoch nur für den Einzelrisszustand und basiert auf eine festgelegte Zugfestigkeit von fct,eff = 2,9 N/mm². Daher ist φs* weiter auf die tatsächlich vorhandene Betonzugfestigkeit und eventuell auf das abgeschlossene Rissbild anzupassen. Der tatsächlich einzuhaltende Grenzdurchmesser φs berechnet sich entsprechend ÖNORM B 1992-1-1 zu:
( )
,,
II
(Anpassung an ; gilt für Einzelriss)2,9
max(abgeschlossenes Rissbild)
4 2,9
ct effs ct eff
ss s
s
ff
Ah d b
φφ
σφ
∗
∗
⎧⋅⎪
⎪= ⎨ ⋅⎪ ⋅⎪ ⋅ − ⋅ ⋅⎩
( ) ( )
,
II
2,630,5 27,3 mm2,9 2,9
max213,7 212427,3
4 2,9 4 48 300 2,9
ct effs
ss s
s
f
Ah d b
φφ
σφ
∗
∗
⎧⋅ = ⋅ =⎪
⎪= ⎨ ⋅ ⋅⎪ ⋅ = ⋅ =⎪ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎩
74 mm
Da:
26 mm 74 mmSφ φ= ≤ =
ist der Nachweis erfüllt und die zu erwartenden Rissbreiten liegen unter dem Grenzwert von 0,4 mm.
7.3.4.2 Stützbereich Die Stahlspannung im Bereich des Unterzuges beträgt:
2255,1 N/mmsσ =
Der rechnerische Grenzdurchmesser berechnet sich zu:
2 2
6 0,4 200000 2,9 26 2,9 N/m 1,4 mm² m255,1
k sS
s
w Eφσ
∗ ⋅ ⋅ ⋅=
⋅ ⋅ ⋅= =
Der tatsächlich einzuhaltende Grenzdurchmesser φs hat die Größe:
( ) ( )
,
II
2,622,1 19,2 mm2,9 2,9
max255,1 345621,4
4 2,9 4 40 1140 2,9
ct effs
ss s
s
f
Ah d b
φφ
σφ
∗
∗
⎧⋅ = ⋅ =⎪
⎪= ⎨ ⋅ ⋅⎪ ⋅ = ⋅ =⎪ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎩
35,7 mm
Da:
20 mm 35,7 mmSφ φ= ≤ =
ist auch hier der Nachweis erfüllt und die zu erwartenden Rissbreiten liegen unter dem Grenzwert von 0,4 mm.
7.3.5 Direkte Berechnung der Rissbreite Eine weitere Möglichkeit den Nachweis der Rissbreitenbegrenzung zu führen besteht in der direkten Berechnung der zu erwartenden Rissbreite. Dieses Verfahren findet sich im Abschnitt 7.3.4 – EN 1992-1-1 und beruht auf folgenden Annahmen:
• konstante Betonzugfestigkeit über die gesamte Bauteillänge;
• Verbundspannung ist unabhängig vom Schlupf der Bewehrung;
• Rissbreitenberechnung für das abgeschlossene Rissbild basiert auf der Zug-stabanalogie: Dabei wird der Zuggurt des Querschnitts durch einen zentrisch beanspruchten Zugstab, mit der Querschnittsfläche Ac,eff ersetzt.
Die charakteristische Rissbreite wk berechnet sich aus der Gleichung:
( ),maxk r sm cmw s ε ε= ⋅ − (7.8) – EN 1992-1-1
Die Differenz der mittleren Stahldehnung und der mittleren Betondehnung kann durch folgende Beziehung bestimmt werden:
( ),,
,
1 1max
0,6
ct effs t e p eff
s p effsm cm
s
s
fk
E
E
σ α ρρ
ε εσ
⎧ ⎛ ⎞⎪ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠− = ⎨⎪
⋅⎪⎩
(7.9) – EN 1992-1-1
Darin bedeutet:
kt ein Faktor der von der Lastdauer abhängt:
=0,4 für langfristige Lasteinwirkung
ρp,eff der auf die wirksame Betonfläche Ac,eff bezogene Bewehrungsgrad
,,
sp eff
c eff
AA
ρ =
Ac,eff die wirksame Betonfläche, welche auf Zug mitwirkt:
, ,c eff c effA h b= ⋅
hc,eff die Höhe der wirksamen Betonfläche Ac,eff auf Zug:
( ),
2,5 ( )min 3
2c eff II
h dh h x
h
⋅ −⎧⎪
= −⎨⎪⎩
αe das Verhältnis der E-Module Es/Ecm
Der maximale Rissabstand; sr,max ist gemäß ÖNORM B 1992-1-1 wie folgt anzunehmen:
,,max
,
(Einzelriss)3,6
min(abgeschlossenes Rissbild)
3,6
s
ct effr
p eff
fs
σ φ
φρ
⋅⎧⎪ ⋅⎪= ⎨⎪⎪ ⋅⎩
(4) – ÖNORM B 1992-1-1
7.3.5.1 Feldbereich Basisangaben
1,
II
45,2 cm21,24 cm²/m6,4 cm213,7 N/mm²
s vorh
s
dA
xσ
==
=
=
( ) ( )
,
e
,
,
1,
,
II
,
,
2,5 ( ) 2,5 (50 45,2)min 3 50 6,4 3 14,5 cm
2 50 2 25
2,6 N/mm²200000 6,4531000
cm
21,24 0,05
( 30
9360
cm) 360 cm²
c eff
s vorhp eff
c
ct eff
s
cm
c eff c ef
ef
f
f
h dh h x
h
fEE
A h bAA
α
ρ
⋅ − = ⋅ − =⎧⎪
= − = − =⎨⎪ = =⎩
=
=
= =
= =
=
= ⋅ = =
12 cm
Die Dehnungsdifferenz berechnet sich somit zu:
( )
( )
,,
,
1 1
1 2,6max 213,7 0,4 1 6,45 0,059200000 0,059
213,70,6 0,6 0,64200000
ct effs t e p eff
s p eff
sm cm
s
s
fk
E
E
σ α ρρ
ε ε
σ
⎧ ⎛ ⎞⎪ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎪
⎛ ⎞⎪− = = ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ =⎨ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎪
⎪⋅ = ⋅ =⎪
⎪⎩
0,95‰
‰
Der maximale Rissabstand beträgt:
,,max
,
213,7 N/mm² 26 mm 594 mm3,6 3,6 2,6 N/mm²
min26 mm
3,6 3,6 0,059
s
ct effr
p eff
fs
σ φ
φρ
⋅ ⋅⎧= =⎪ ⋅ ⋅⎪= ⎨
⎪ = =⎪ ⋅ ⋅⎩
122 mm
Damit berechnet sich die Rissbreite zu:
( ) 3,max 122 mm 0,95 10k r sm cmw s ε ε −= ⋅ − = ⋅ ⋅ = ≤0,12 mm 0,4 mm
7.3.5.2 Stützbereich Basisangaben
( ) ( )
1,
II
,
e
,
,
II
,
46 cm 114 cm 34,56 cm² 19,8 cm
255,1 N/mm²2,6 N/mm²
200000 6,4531
2,5 ( ) 2,5 (50 46)min 3 50 18,8 3 10,1cm
2 50 2 25 c
000
m
s vorh
s
ct eff
s
cm
c eff f
ff
f
c e
c e
h dh h
db
Ax
f
E
h
x
h
E
A
σ
α
⋅ − = ⋅ − =⎧⎪
= − = − =⎨⎪ = =⎩
===
=
=
=
= = =
= ⋅
10 cm
1,,
,
34,56 0
1140
,030311 0
cm²
4s vorh
p effc eff
bAA
ρ = = =
=
Die Dehnungsdifferenz berechnet sich somit zu:
( )
( )
,,
,
1 1
1 2,6max 255,1 0,4 1 6,45 0,0303200000 0,0303
255,10,6 0,6 0,77200000
ct effs t e p eff
s p eff
sm cm
s
s
fk
E
E
σ α ρρ
ε ε
σ
⎧ ⎛ ⎞⎪ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎪
⎛ ⎞⎪− = = ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ =⎨ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎪
⎪⋅ = ⋅ =⎪
⎪⎩
1,22‰
‰
Der maximale Rissabstand beträgt:
,,max
,
255,1 N/mm² 20 mm 545 mm3,6 3,6 2,6 N/mm²
min20 mm
3,6 3,6 0,0303
s
ct effr
p eff
fs
σ φ
φρ
⋅ ⋅⎧= =⎪ ⋅ ⋅⎪= ⎨
⎪ = =⎪ ⋅ ⋅⎩
183 mm
Damit berechnet sich die Rissbreite zu:
( ) 3,max 183 mm 1,22 10k r sm cmw s ε ε −= ⋅ − = ⋅ ⋅ = ≤0,22 mm 0,4 mm
7.4 Begrenzung der Verformungen Die Verformungen des Tragwerkes müssen beschränkt werden um die Funktion als auch das Erscheinungsbild nicht zu beeinträchtigen.
Für dieses Bauteil wird angenommen, dass die Verformungen angrenzende Bauteile und Tragwerke nicht beschädigen. Damit wird für die Wahrung des Erscheinungsbildes und der Gebrauchstauglichkeit der zulässige Durchhang der Decke mit 1/250 der Stützweite festgelegt (vgl. EN 1992-1-1, 7.4.1(4)).
Der Nachweis zur Erfüllung der Verformungsbegrenzung kann nach EN 1992-1-1 ent-weder
• indirekt über die Erfüllung von Grenzschlankheiten, oder
• direkt über die explizite Berechnung der Verformungen erfolgen.
Wenn Stahlbetonbalken oder –platten gewisse Grenzschlankheiten nicht überschreiten, darf davon ausgegangen werden, dass die Anforderungen bezüglich der Verformungs-begrenzung eingehalten werden, ohne explizit die Verformungen berechnet zu haben. Die genaue Berechnung dieser Grenzschlankheiten wird in EN 1992-1-1 unter 7.4.2 angegeben.
32
0 0011 1,5 3,2 1 wenn ck ckK f f
dρ ρ ρ ρρ ρ
⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥= ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ≤⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
l (7.16.a) EN 1992-1-1
00
111 1,5 wenn 12ck ckK f f
dρ ρ ρ ρ
ρ ρ ρ0
⎡ ⎤′= ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ >⎢ ⎥
′−⎢ ⎥⎣ ⎦
l (7.16.b) EN 1992-1-1
Darin bedeutet:
l/d der Grenzwert der Biegeschlankheit;
K ein Beiwert zur Berücksichtigung des statischen Systems;
Für eine Begrenzung des Durchhanges auf 1/250 der Stützweite können die Werte für K aus Tabelle 6 – ÖNORM B 1992-1-1 entnommen werden. Für das Endfeld eines durchlaufenden Balken ergibt sich K zu 1,60.
ρ0 Referenzbewehrungsgrad
3 30 10 25 10 0,005 0,5%ckfρ − −= ⋅ = ⋅ = =
ρ der erforderliche Zugbewehrungsgrad in Feldmitte.
Für das maßgebende Feld berechnet sich ρ zu:
1,0
18,08 cm² 0,0016 0,16% 0,5%256 cm 45,2 cm
s erfAb d
ρ ρ= = = = ≤ =⋅ ⋅
ρ’ Der erforderliche Druckbewehrungsgrad (für diese Platte gilt ρ’=0)
Damit ergibt sich aus der Gleichung (7.16.a) – EN 1992-1-1 die berechnete Grenz-schlankheit zu:
32
0 0
32
11 1,5 3,2 1
0,5% 0,5%1,60 11 1,5 25 3,2 25 1 139,50,16% 0,16%
ck ckK f fd
ρ ρρ ρ
⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥= ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − =⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥= ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − =⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
l
Diese Grenzschlankheit basiert auf eine Stahlspannung unter der entsprechenden Be-messungslast im GZG in einem gerissenen Querschnitt in Feldmitte von 310 N/mm². Da die vorhandene Stahlspannung in einem Rissquerschnitt des ersten Feldes 213,7 N/mm² beträgt, ist diese Grenzschlankheit noch mit dem Faktor 310/σs anzupassen.
Es ergibt sich:
310 310 700138,5 138,5213,7 45,2sgrenz vorhd dσ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ = ⋅ = ≥ = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠202 15,5l l
Damit kann davon ausgegangen werden, dass der Nachweis der Verformungsbegren-zung erfüllt wird.
8 Konstruktive Durchbildung
8.1 Allgemeines Die allgemeinen Bewehrungsregeln, wie die Regelungen zu den Mindeststababständen, Biegen und Verankern sowie Stoßen von Betonstählen sind unter Abschnitt 8 – EN 1992-1-1 zu finden. In diesem Beispiel wurde die Kontrolle der Stababstände bereits direkt im Anschluss der Biegebemessung durchgeführt.
Konstruktive Regelungen für Balken und Platten finden sich unter den Abschnitten 9.2 und 9.3 – EN 1992-1-1. Wird die Bewehrung über die Länge des Bauteils abgestuft, ist besonders auf eine ausreichende Zugkraftdeckung an jeder Stelle des Bauteils zu ach-ten.
8.2 Verankerung der Längsbewehrung
8.2.1 Grundwert der Verankerungslänge, lb,rqd Der Grundwert der Verankerungslänge ist von der Verbundfestigkeit fbd abhängig. Diese berechnet sich zu:
1 22,25bd ctdf fη η= ⋅ ⋅ ⋅ (8.2) – EN 1992-1-1
Mit:
1
1
2
1 "gute" Verbundbedingungen für die untenliegende Bewehrung und der ausgelagerten Bewehrung in der Platte
0,7 "mäßige" Verbundbedingungen für die obenliegende Bewehrung im UZ1 da 32 mm1,2 ctdf
η
ηη φ
=
=
= ≤
= N/mm² siehe Abschnitt 3 (Baustoffe)
ergibt sich:
1 2
1 2
2,25 2,25 1,0 1 1,2 2,70 N/mm² (guter Verbund)2,25 2,25 0,7 1 1,2 1,89 N/mm² (mäßiger Verbund)
bd ctd
bd ctd
f ff f
η ηη η
= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =
= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =
Der Grundwert der Verankerungslänge wird mit folgender Gleichung ermittelt:
, 4sd
b rqdbdfσφ
= ⋅l (8.3) – EN 1992-1-1
Dabei ist σsd die Bemessungsspannung des Stabes an der Stelle, von der aus die Ver-ankerung gemessen wird. Diese kann mit der Beziehung
,
,
s erfsd yd
s vorh
Af
Aσ = ⋅
abgeschätzt werden.
Da σsd zwischen den einzelnen zu verankernden Stäben variiert, wird zunächst lb,rqd mit der Stahlspannung fyd berechnet und anschließend mit dem Faktor σsd/fyd oder As,erf/As,vorh abgemindert. Damit ergibt sich:
( )
( )
( )
,
,
,
2,6 478, 26 (guter Verbund)4 2,7
2,0 478, 20 (guterVerbund)4 2,7
2,0 478, 20 (mäßiger Verbund)4 2,7
b rqd yd
b rqd yd
b rqd yd
f
f
f
∅ = ⋅ =
∅ = ⋅ =
∅ = ⋅ =
115,1 cm
88,6 cm
126,5 cm
l
l
l
8.2.2 Verankerung an den Endauflagern Die Querschnittsfläche der unteren Bewehrung an Endauflagern, hat in der Regel min-destens 25% der Feldbewehrung zu betragen (siehe EN 1992-1-1, 9.2.1.4(1)). Hier wird angenommen, dass alle vier Stäbe vom Durchmesser 26 mm bis zum Auflager geführt werden.
Die zu verankernde Zugkraft am Auflager darf mit folgender Gleichung berechnet wer-den:
Ed Ed EdaF V Nz
= ⋅ +l (9.3) – EN 1992-1-1
Für die Endauflager ergibt sich:
z der Hebelarm für das Feld beträgt: 44,16 cm
al das Versatzmaß berechnet sich für Bauteile mit Querkraftbewehrung zu:
( ) ( )144,16 cmcot cot 0,6 36,8 cm2 2za θ α −= ⋅ − = ⋅ =l
VEd die Querkraft am Lagerrand hat die Größe: 261,2 kN
und weiter:
36,8 cm261,2 kN 217,7 kN44,16 cmEdF = ⋅ =
Die Stahlspannung am Auflager beträgt:
,
217,7 kN 10,2 kN/cm² 102 N/mm²21,24 cm²
Edsd
s vorh
FA
σ = = = =
,102115,1 24,6 cm478b rqd = ⋅ =l
Der Bemessungswert der Verankerungslänge berechnet sich nach der Gleichung:
1 2 3 4 5 , ,minbd b rqd bα α α α α= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ≥l l l (8.4) – EN 1992-1-1
Die Abminderungsbeiwerte α1 bis α5 sind entsprechend EN 1992-1-1, Tabelle 8.2 festzu-legen. Hier wird jedoch keine weitere Abminderung in Rechnung gestellt.
Die Verankerungslänge darf folgendes Mindestmaß nicht unterschreiten:
,
,min
0,3 0,3 24,6 7,4 cm
max 10 10 2,610 cm
b rqd
b φ
⋅ = ⋅ =⎧⎪
= ⋅ = ⋅ =⎨⎪⎩
26 cm
l
l (8.6) – EN 1992-1-1
Die Stäbe werden daher 26 cm über die Auflagervorderkante geführt.
8.2.3 Verankerung am Zwischenauflager Auch hier ist mindestens ein viertel der Feldbewehrung zum Auflager zu führen. Dabei hat die Verankerungslänge mindestens 10 φ = 26 cm zu betragen (siehe EN 1992-1-1, 9.2.1.5(2)).
Da hier jedoch eine Druckbewehrung erforderlich ist (siehe Biegebemessung) wird die Bewehrung über das Auflager geführt und anschließend in der Nähe des Momentennull-punktes kraftschlüssig gestoßen.
Der Bemessungswert der Übergreifungslänge eines Stoßes errechnet sich aus:
0 1 2 3 5 6 , 0,minb rqdα α α α α= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ≥l l l (8.10) – EN 1992-1-1
Die Beiwerte α1 bis α5 ergeben sich zu 1,0. Der Beiwert α6 ist vom Anteil der gestoßenen Stäbe am Gesamtquerschnitt abhängig. Da nur einer der beiden Stäbe im selben Feld gestoßen wird, liegt der Anteil der gestoßenen Stäbe bei 50%. Damit nimmt α6 den Wert 1,4 an. Im Bereich der Momentennullstelle wird lb,rqd zu null, wodurch der Mindestwert der Übergreifungslänge maßgebend wird.
6 ,
0,min
0,3 0,3 1,5 0 0max 15 15 2,6
20 cm
b rqdα
φ
⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =⎧⎪
= ⋅ = ⋅ =⎨⎪⎩
39 cm
l
l
8.2.4 Verankerung zwischen den Auflagern
8.2.4.1 Feldbewehrung Der Grundwert der Verankerungslänge wurde für einen voll ausgenützten Stab vom Durchmesser 26 mm mit
( ),2,6 478, 26 115,1cm (guter Verbund)4 2,7b rqd ydf ∅ = ⋅ = l
bestimmt.
Der Bemessungswert der Verankerungslänge berechnet sich nach der Gleichung:
1 2 3 4 5 , ,minbd b rqd bα α α α α= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ≥l l l (8.4) – EN 1992-1-1
Von den Abminderungsfaktoren α1 bis α5 ergeben sich alle zu 1,0 (Abminderung zufolge nicht angeschweißter Querbewehrung wird hier vernachlässigt). Damit kann die Veran-kerungslänge für Stäbe zwischen den Auflagern wie folgt berechnet werden:
( ) , ,,
, ,
, 26 115,1 cms erf s erfbd b rqd yd
s vorh s vorh
A Al f
A A= ∅ ⋅ = ⋅l
Die Verankerungslänge darf jedoch die Mindestverankerungslänge nicht unterschreiten.
( ), , , , , ,
,min
0,3 0,3 , 26 34,5 cm
max 10 10 2,6 26 cm10 cm
b rqd b rqd yd s erf s vorh s erf s vorh
b
l f A A A A
φ
⎧ ⋅ = ⋅ ∅ ⋅ = ⋅⎪⎪= ⋅ = ⋅ =⎨⎪⎪⎩
l
l
8.2.5 Stützbewehrung Für die in die Platte ausgelagerte Bewehrung herrschen gute Verbundbedingungen während die Stäbe innerhalb des Unterzuges im mäßig guten Verbundbereich liegen. Der Grundwert der Verankerungslänge wurde für einen voll ausgenützten Stab vom Durchmesser 20 mm mit
( )
( )
,
,
2,0 478, 20 88,6 cm (guter Verbund)4 2,7
2,0 478, 20 126,5 cm (mäßiger Verbund)4 2,7
b rqd yd
b rqd yd
f
f
∅ = ⋅ =
∅ = ⋅ =
l
l
bestimmt.
Der Bemessungswert der Verankerungslänge berechnet sich nach der Gleichung:
1 2 3 4 5 , ,minbd b rqd bα α α α α= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ≥l l l (8.4) – EN 1992-1-1
Von den Abminderungsfaktoren α1 bis α5 wird hier nur jener für die Betondeckung (α2) berücksichtigt. Mit cd = 30 mm (vgl. EN 1992-1-1, Bild 8.3a) ergibt sich:
230 201 0,15 1 0,15 0,925
20dc φ
αφ− −
= − = − =
Damit kann die Verankerungslänge für Stäbe zwischen den Auflagern wie folgt berech-net werden:
( )
( )
, ,2 ,
, ,
, ,2 ,
, ,
, 20 82,0 cm (guter Verbund)
, 20 117,0 cm (mäßiger Verbund)
s erf s erfbd b rqd yd
s vorh s vorh
s erf s erfbd b rqd yd
s vorh s vorh
A Af
A AA A
fA A
α
α
= ⋅ ∅ ⋅ = ⋅
= ⋅ ∅ ⋅ = ⋅
l l
l l
Die Verankerungslänge darf jedoch die Mindestverankerungslänge nicht unterschreiten.
( )
( )
, , , , , ,
,min
, , , , ,
,min
guter Verbund:
0,3 0,3 , 20 26,6 cm
max 10 10 2 20 cm10 cm
mäßiger Verbund:
0,3 0,3 , 20 38,0 cm
max
b rqd b rqd yd s erf s vorh s erf s vorh
b
b rqd b rqd yd s erf s vorh s erf s
b
f A A A A
f A A A A
φ
⎧ ⋅ = ⋅ ∅ ⋅ = ⋅⎪⎪= ⋅ = ⋅ =⎨⎪⎪⎩
⋅ = ⋅ ∅ ⋅ = ⋅
=
l l
l
l l
l,
10 10 2 20 cm10 cm
vorh
φ
⎧⎪⎪ ⋅ = ⋅ =⎨⎪⎪⎩
8.3 Rechnerisch nicht berücksichtigte Randeinspannung Gemäß EN 1992-1-1, 9.2.1.2(1) sind bei monolithisch hergestellten Balken, auch bei Annahme einer gelenkigen Lagerung, die Querschnitte an den Auflagern für ein Moment infolge teilweiser Einspannung zu bemessen, das mindestens 15% des größten Feld-momentes entspricht.
, 1,0,15 0,15 18,08 cm² 2,71 cm² gewählt: 3 12 3,39 cm²sE erf s erfA A= ⋅ = ⋅ = ⇒ ∅ =
Diese wird so weit ins Feld geführt, dass sie die Stützbewehrung erreicht und somit die Montage der Bügel erleichtert.
8.4 Zugkraftdeckung Regelungen für die Bestimmung einer ausreichenden Zugkraftdeckung finden sich in EN 1992-1-1 unter 9.2.1.3.
Bei Bauteilen mit Querkraftbewehrung ist das Versatzmaß aus folgender Gleichung zu bestimmen:
( )cot cot2za θ α= −l (9.2) – EN 1992-1-1
Für den Feldbereich ergibt sich:
( ) ( )144,16cot cot 0,6 37 cm2 2za θ α −= − = =l
Für den Stützbereich berechnet sich das Versatzmaß zu:
( ) ( )134,63cot cot 0,65 27 cm2 2za θ α −= − = =l
Für die in die Platte ausgelagerte Bewehrung des Stützbereiches ist zu beachten, dass das Versatzmaß, al, der aus dem Steg ausgelagerten Längsbewehrung, um den cotθf –fachen Abstand (cotθf =0,8-1=1,25) des betrachteten Bewehrungsstabes von der nächst-gelegenen Stegseitenfläche zu vergrößern ist (vgl. EN 1992-1-1, 6.2.4(7)).
Die Aufnahme der Zugkraft innerhalb der Verankerungslänge darf unter der Annahme eines linearen Kraftverlaufes berücksichtigt werden. Dieser Einfluss kann, auf der siche-ren Seite liegend, vernachlässigt werden (EN 1992-1-1, 9.2.1.3(3)).
Abbildung 21: Varianten des Kraftverlaufes innerhalb der Verankerungslänge
Abbildung 22: Zugkraftdeckung
Abbildung 23: Bewehrungsplan
Literaturverzeichnis
[1] K. Zilch and A. Rogge, "Bemessung von Stahlbeton-und Spannbetonbauteilen
im Brücken-und Hochbau," Beton-Kalender, vol. 93, pp. 221–373, 2004.
[2] K. Zilch and G. Zehetmaier, Bemessung im konstruktiven Betonbau: Springer, 2006.
Normen
[3] Eurocode 0: Grundlagen der Tragwerksplanung; ÖNORM EN 1990:2002 (D)
[4] Eurocode 1: Einwirkungen auf Tragwerke, Teil 1-1: Allgemeine Einwirkungen - Wichten, Eigengewicht, Nutzlasten im Hochbau; ÖNORM EN 1991-1-1:2002(D)
[5] Eurocode 1: Einwirkungen auf Tragwerke, Teil 1-1: Allgemeine Einwirkungen - Wichten, Eigengewicht, Nutzlasten im Hochbau; ÖNORM B 1991-1-1:2002(D)
[6] Eurocode 2: Bemessung und Konstruktion von Stahlbeton- und Spannbeton-tragwerken, Teil 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hoch-bau; ÖNORM EN 1992-1-1:2004 + AC:2008
[7] Eurocode 2: Bemessung und Konstruktion von Stahlbeton- und Spannbeton-tragwerken, Teil 1-1: Grundlagen und Anwendungsregeln für den Hochbau; ÖNORM B 1992-1-1:2007
[8] ÖNORM B 4710: Beton, Teil 1: Festlegung, Herstellung, Verwendung und Kon-formitätsnachweis; ÖNORM B 4710-1:2007
