Varianzanalyse II: Einzelvergleiche

Varianzanalyse II: Einzelvergleiche

06_anova2 1

Varianzanalyse II: Einzelvergleiche1. Tukey‘s HSD2. Scheffé-Test3. geplante Kontraste

Einzelvergleiche

06_anova2 2

Post-Hoc-Tests und Kontraste• Die ANOVA ist ein overall-Test, d.h. es wird überprüft, ob es

mindestens einen Mittelwertsunterschied gibt.• Von mehreren Gruppen unterscheiden sich also mindestens zwei

voneinander.• Falls ein solcher Unterschied besteht, ist es natürlich interessant

zu wissen, welche Gruppen sich unterscheiden.• Dazu dienen Post-Hoc-Tests und Kontraste.

Einzelvergleiche

06_anova2 3

Interpretation der H1 bei p>2• Wenn Femp > Fkrit (bzw. p<α) wird die H0 verworfen und damit die

H1 angenommen.

• Es gilt also: μi ≠ μj, für mindestens ein Paar i, j• Allerdings ist damit noch unklar, welche Mittelwerte sich

unterscheiden.strukturell bildhaft emotional

M1=5 M2=10 M3=12

? ?

?

Einzelvergleiche

06_anova2 4

EinzelvergleicheVergleich der einzelnen Mittelwerte:

(a) Post-hoc-Tests Im Nachhinein Unterschiede finden

(b) Geplante Vergleiche (Kontraste) vorher festgelegte (a priori) Hypothesen testen

post-hoc Vergleiche

06_anova2 5

post-hoc Vergleiche• (Nur) Bei einem signifikanten F-Wert erfolgt ein Vergleich aller

Gruppenmittelwerte.• Es gibt verschieden Verfahren hierzu. Eine besonderes hohe

Teststärke haben:• Tukey‘s HSD (Honestly Significant Differences)• Scheffé-Test

post-hoc Vergleiche

06_anova2 6

Tukey´s HSD• Tukey‘s HSD ist die Mittelwertsdistanz, die zwei Gruppen haben

müssen, damit die Unterschiede statistisch bedeutsam sind.

• qα hängt ab von– Zahl der Gruppen – dfwithin

– α-NiveauNachschlagen in einer Tabellebzw. HSD von SPSS berechnen lassen!

n

MSqHSD within

Tukey´s HSD

06_anova2 7

Tukey´s HSD

Gruppendifferenzen von d>3.34 sind statistisch bedeutsam!

n

MSqHSD within

5

17.3

20.4

n

MS

q

within

34.35

17.320.4

HSD

Tukey´s HSD

06_anova2 8

34.3HSD

strukturell bildhaft emotional

M1=5 M2=10 M3=12

d=7*

d=5* d=2

* Signifikante Differenz (weil d > HSD)

Tukey´s HSD

06_anova2 9

Tukey´s HSD

06_anova2 10

Tukey´s HSD

06_anova2 11

Mehrfachvergleiche

memTukey-HSD

(I) bed (J) bed

Mittlere Differenz (I-

J)Standardfeh

ler Signifikanz

95% Konfidenzintervall

Untergrenze

Obergrenze

1 2 -5,0000* 1,12546 ,002 -8,0026 -1,99743 -7,0000* 1,12546 ,000 -10,0026 -3,9974

2 1 5,0000* 1,12546 ,002 1,9974 8,00263 -2,0000 1,12546 ,219 -5,0026 1,0026

3 1 7,0000* 1,12546 ,000 3,9974 10,00262 2,0000 1,12546 ,219 -1,0026 5,0026

Grundlage: beobachtete Mittelwerte. Der Fehlerterm ist Mittel der Quadrate(Fehler) = 3.167

*. Die mittlere Differenz ist auf der Stufe 0.05 signifikant.

memTukey-HSD

bed NUntergruppe1 2

1 5 5,00002 5 10,00003 5 12,0000

Signifikanz 1,000 ,219Mittelwerte für Gruppen in homogenen Untergruppen werden angezeigt. Grundlage: beobachtete Mittelwerte. Der Fehlerterm ist Mittel der Quadrate(Fehler) = 3.167.

Tukey´s HSD

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post-hoc Vergleiche

Der Scheffé-Test

• Scheffé-Tests beruhen auf Mittelwertsvergleichen.• Es handelt sich um ebenfalls um post hoc Tests: Sie werden

eingesetzt, wenn keine Hypothesen a priori formuliert wurden.• Der Scheffé-Test hat eine geringere Power als Tukey‘s HSD!

06_anova2 13

Der Scheffé-Test

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Der Scheffé-Test

Mehrfachvergleichemem

Scheffé

(I) bed (J) bed


J)Standardfeh

ler Signifikanz


Untergrenze

Obergrenze

1 2 -5,0000* 1,12546 ,003 -8,1373 -1,86273 -7,0000* 1,12546 ,000 -10,1373 -3,8627

2 1 5,0000* 1,12546 ,003 1,8627 8,13733 -2,0000 1,12546 ,246 -5,1373 1,1373

3 1 7,0000* 1,12546 ,000 3,8627 10,13732 2,0000 1,12546 ,246 -1,1373 5,1373

Grundlage: beobachtete Mittelwerte. Der Fehlerterm ist Mittel der Quadrate(Fehler) = 3.167*. Die mittlere Differenz ist auf der Stufe 0.05 signifikant.

06_anova2 15

Der Scheffé-Test

memScheffé

bed NUntergruppe1 2

1 5 5,00002 5 10,00003 5 12,0000

Signifikanz 1,000 ,246Mittelwerte für Gruppen in homogenen Untergruppen werden angezeigt. Grundlage: beobachtete Mittelwerte. Der Fehlerterm ist Mittel der Quadrate(Fehler) = 3.167.

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post-hoc Vergleiche

Geplante Kontraste

• Kontraste sind „geplante Mittelwertvergleiche“ (Gruppenvergleiche)

• Kontrast werden statt eines globalen Tests angewendet.• Kontraste müssen immer vorher (a priori) festgelegt werden!• Sie ermöglichen gezielte Vergleiche zwischen mehreren Gruppen• Kontrast sind post-hoc Tests vorzuziehen, da sie eine höhere Power

haben!

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Kontraste

Mögliche Kontraste

• Wenn eine ANOVA mit vier Gruppen (A, B, C, D) durchgeführt wird, sind viele folgende Kontraste möglich: Einzelvergleiche: A mit B, A mit C, A mit D, B mit C, B mit D,

C mit D Mittelwert von [A & B] mit Mittelwert von [C & D] Mittelwert von [A, B & C] mit [D] …

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Kontraste

Kontraste: Beispiel

• 4 Gruppen: Fußgänger (F), Radfahrer (R), Auto- (A) und Motorradfahrer (M)

• AV: Stress auf dem Weg zur Arbeit• Vergleiche:

– M(R) vs. M(F)– M(R, F) vs. M(A, M)– M(R, F, A) vs. M

06_anova2 19

Kontraste

Definition• Ein Kontrast Ψ (Psi) ist die gewichtete Summe von p

Populationsmittelwerten μj.

• Dabei ist mindestens ein Gewicht cj ungleich Null• … und die Summe aller Gewichte ist gleich Null!

p

jjjc

1

p

jjj yc

1

ˆ

p

jjc

1

0

06_anova2 20

Kontraste

Kontraste sind Mittelwertvergleiche• Kontrast 1: Fahrrad vs. Fußgänger

• Es werden also die Mittelwerte von Fahrradfahrern und Fußgängern verglichen!

)()Radfahrer(

00)1(1ˆ1

FußgängerMM

yy

yyyy

FR

MAFR

06_anova2 21

Kontraste

Kontraste sind Mittelwertvergleiche• Kontrast 2: [Fahrrad & Fußgänger] vs. [Auto & Motorrad]

• Es werden die Mittelwerte von nicht-motorisierten und motorisierten Verkehrsteilnehmern verglichen.

)tmotorisier()tmotorisiernicht (22

2

1

2

1

2

1

2

1ˆ2

MM

yyyy

yyyy

MAFR

MAFR

06_anova2 22

Kontraste

Kontraste sind Mittelwertvergleiche• Kontrast 3: [Fahrrad & Fußgänger & Auto] vs. Motorrad

• Es werden die Mittelwerte von Verkehrsteilnehmern ohne und mit Motorrad verglichen.

M(Motorad) - Motorad)M(nicht 3

13

1

3

1

3

1ˆ3

MAFR

MAFR

yyyy

yyyy

06_anova2 23

Kontraste

Signifikanz von Kontrasten• Kontraste können mit einem t-Test auf Signifikanz überprüft

werden.• Hypothesen:

– H0: Ψ = 0 (Der Kontrast ist gleich 0, bzw. die Mittelwerte unterscheiden sich nicht)

– H1: Ψ ≠ 0 (Der Kontrast ist ungleich Null, bzw. die Mittelwerte unterscheiden sich)

– Kontraste können auch mit gerichteten Hypothesen geprüft werden.

06_anova2 24

Kontraste

Signifikanz von Kontrasten• Berechnung

p

j j

jwithin n

cMSestvar

pNdf

mit

)Ψ( estvart

1

2

ˆ

:

ˆ

ˆ

06_anova2 25

Kontraste

Unabhängigkeit von Kontrasten• Alle geplanten Kontraste müssen paarweise unabhängig sein.• Nur bei unabhängigen Kontrasten wird eine

α-Fehler Kumulierung verhindert.• Zwei Kontraste sind unabhängig, wenn gilt:

p

jjj cc

121 0

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Kontraste

Unabhängigkeit von Kontrasten 1

Kontrast 1 & 2:

Kontrast 1 & 3:

Kontrast 2 & 3:

Kontrast R F A M

1. R vs. F 1 -1 0 0

2. R,F vs. A,M 1/2 1/2 -1/2 -1/2

3. R,F,A vs. M 0 0 1 -1

4

121 0

2

10

2

10

2

11

2

11

jjj cc

4

131 010

3

10

3

11

3

11

jjj cc

67.02

1

6

1

6

1

6

1

12

1

3

1

2

1

3

1

2

1

3

1

2

14

132

jjj cc

ok

ok

X

06_anova2 27

Kontraste


Kontrast 1 & 2:

Kontrast 1 & 3:

Kontrast 2 & 3:

Kontrast R F A M

1. R vs. F 1 -1 0 0

2. R,F vs. A,M 1/2 1/2 -1/2 -1/2

3. R,F,A vs. M 1/3 1/3 1/3 -1

4

121 0

2

10

2

10

2

11

2

11

jjj cc

4

131 010

3

10

3

11

3

11

jjj cc

012

11

2

10

2

10

2

14

132

jjj cc

ok

ok

ok

06_anova2 28

Kontraste


• Bei p Gruppen können p-1 unabhängige Kontraste gebildet werden:

06_anova2 29

Beispiel: Therapiewirksamkeit

Beispiel: Therapiewirksamkeit (fiktive Daten)

• Es wird der Therapieerfolg zwischen 5 verschiedenen Gruppen verglichen:– Verhaltenstherapie (VT)– Systemische Therapie (ST)– Psychoanalyse (PA)– Gesprächspsychotherapie (GT)– Kontrollgruppe (KG)

• AV: Symptomverbesserung (0 bis 10).

06_anova2 30


Hypothesen:(1) Der Therapieerfolg ist in den 4 Therapie-Gruppen größer als in

der KG.(2) Verhaltensorientierte Gruppen (VT+ST) unterscheiden sich von

gesprächsorientierten Gruppen (PA+GT)(3) Der Therapieerfolg von VT ist größer als der von ST(4) Es gibt einen Unterschied zwischen PA und GT

06_anova2 31


Hypothese 1: Die therapierten Gruppen unterscheiden sich von der Kontrollgruppe:

543211

54321

1

)1(4

1

4

1

4

1

4

1ˆ

4

)(ˆ

xxxxx

xxxxx

06_anova2 32


Hypothese 2: Verhaltensorientierte Gruppen (VT+ST) unterscheiden sich von gesprächsorientierten Gruppen (PA+GT)

543212

43212

02

1

2

1

2

1

2

1ˆ

22ˆ

xxxxx

xxxx

06_anova2 33

06_anova2 34


Hypothese 3: Es gibt einen Unterschied zwischen VT und ST.

543213

213

00011ˆ

ˆ

xxxxx

xx

06_anova2 35


Hypothese 4: Es gibt einen Unterschied zwischen PA und GT.

543214

434

0)1(100ˆ

ˆ

xxxxx

xx

06_anova2 36


Daten:Vp VT ST PA GT KG1 8 8 5 5 22 9 7 4 6 13 8 6 4 4 04 7 7 2 3 25 8 8 4 4 36 9 6 3 5 17 7 6 4 4 28 8 7 5 5 09 6 7 4 6 0

10 7 6 4 4 5

06_anova2 37


Benutzerdefinierte Kontraste können nur über die Syntax eingegeben werden!

glm symptom by gruppe /contrast (gruppe) = special ( 0.25 0.25 0.25 0.25 -1, 0.5 0.5 -0.5 -0.5 0, 1 -1 0 0 0, 0 0 1 -1 0).

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Kontrast 1:

• Der Kontrast ist signifikant von Null verschieden! Die Therapien [VT, ST, PA, GT] unterscheiden sich von der [KG]

06_anova2 39


Kontrast 2:

• Der Kontrast ist signifikant von Null verschieden! [VT und ST] unterscheiden sich von [PA und GT]

06_anova2 40


Kontrast 3:

• Der Kontrast ist signifikant von Null verschieden. (weil die Hypothese gerichtet formuliert war, darf p halbiert werden!)

[VT] ist besser als [ST]

06_anova2 41


Kontrast 4:

• Der Kontrast ist nicht signifikant von Null verschieden! [PA] unterscheiden sich nicht bedeutsam von [GT]

06_anova2 42


Vergleich von Kontrasten und post-hoc Tests:

glm symptom by gruppe /contrast (gruppe) = special (0.25 0.25 0.25 0.25 -1, 0.5 0.5 -0.5 -0.5 0, 1 -1 0 0 0, 0 0 1 -1 0) /posthoc gruppe (tukey).

06_anova2 43


Tukey-HSD

(I) gruppe (J) gruppe


J)Standardfeh

ler Signifikanz


Untergrenze

Obergrenze

1 2 ,9000 ,47796 ,341 -,4581 2,25813 3,8000* ,47796 ,000 2,4419 5,15814 3,1000* ,47796 ,000 1,7419 4,45815 6,1000* ,47796 ,000 4,7419 7,4581

2 1 -,9000 ,47796 ,341 -2,2581 ,45813 2,9000* ,47796 ,000 1,5419 4,25814 2,2000* ,47796 ,000 ,8419 3,55815 5,2000* ,47796 ,000 3,8419 6,5581

3 1 -3,8000* ,47796 ,000 -5,1581 -2,44192 -2,9000* ,47796 ,000 -4,2581 -1,54194 -,7000 ,47796 ,590 -2,0581 ,65815 2,3000* ,47796 ,000 ,9419 3,6581

4 1 -3,1000* ,47796 ,000 -4,4581 -1,74192 -2,2000* ,47796 ,000 -3,5581 -,84193 ,7000 ,47796 ,590 -,6581 2,05815 3,0000* ,47796 ,000 1,6419 4,3581

5 1 -6,1000* ,47796 ,000 -7,4581 -4,74192 -5,2000* ,47796 ,000 -6,5581 -3,84193 -2,3000* ,47796 ,000 -3,6581 -,94194 -3,0000* ,47796 ,000 -4,3581 -1,6419

06_anova2 44


symptom Tukey-HSD

gruppe NUntergruppe

1 2 35 10 1,60003 10 3,90004 10 4,60002 10 6,80001 10 7,7000

Signifikanz 1,000 ,590 ,341Mittelwerte für Gruppen in homogenen Untergruppen werden angezeigt. Grundlage: beobachtete Mittelwerte. Der Fehlerterm ist Mittel der Quadrate(Fehler) = 1.142.

06_anova2 45

Einzelvergleiche

Zusammenfassung• Eine ANOVA prüft, ob sich mindestens 2 Gruppen unterscheiden.• Bei einem signifikanten Ergebnis sollte überprüft werden, welche

Gruppen sich voneinander unterscheiden.• Wenn a priori spezifische Hypothesen formuliert wurden, können

Kontraste gerechnet werden, sonst müssen post-hoc Vergleich vorgenommen werden (Tukey oder Scheffé)

• Für die Teststärke (Power) gilt:Kontraste > Tukey > Scheffé

• Daher sollte Tukey‘s HSD generell gegenüber dem Scheffé-Test bevorzugt werden.

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Varianzanalyse II: Einzelvergleiche