Varianzanalyse III: Zweifaktorielle Varianzanalyse 07_anova31 Varianzanalyse III: Zweifaktorielle Varianzanalyse 1.Haupteffekte 2.Interaktionseffekte 3.Strukturgleichung

Varianzanalyse III: Zweifaktorielle Varianzanalyse

07_anova3 1

Varianzanalyse III: Zweifaktorielle Varianzanalyse1. Haupteffekte2. Interaktionseffekte3. Strukturgleichung4. Quadratsummen5. F-Test6. Interaktionsformen7. SPSS8. Mehrfaktorielle ANOVA9. Zufallseffekte

Zweifaktorielle Varianzanalyse

07_anova3 2

Zweifaktorielle Varianzanalyse• Wenn mehrere unabhängige Variablen (UVs) vorliegen, muss

eine mehrfaktorielle Varianzanalyse berechnet werden.• Es wird dann untersucht, ob die AV von den unterschiedlichen

UVs abhängt.

• Beispiel: „Hängt die Gedächtnisleistung (AV) von der Lernbedingung (UV1) und dem Geschlecht (UV2) ab?“


Effekt der Lernbedingung

07_anova3 3

strukturell bildhaft emotional

5 12 12

7 7 11

3 8 12

4 10 12

6 13 13


Effekt des Geschlechts

07_anova3 4

männlich 5

7

3

4

6

weiblich 6

8

4

5

7


Zweifaktorielles Design

07_anova3 5


männlich 5 12 12

7 7 11

3 8 12

4 10 12

6 13 13

weiblich 6 13 13

8 8 12

4 9 13

5 11 13

7 14 14

Effekte der zweifaktoriellen ANOVA

Zellen und Randmittelwerte

07_anova3 6

Faktor B

Faktor A B1: strukturell B2: bildhaft B3: emotional

A1: männlich

A2: weiblich

511 y 1012 y 1213 y

1323 y1122 y621 y

5.51. y 5.102. y 5.123. y

9.1 y10.2 y

5.9.. y


Haupteffekt A• Der Haupteffekt der Stufe j des Faktors A berechnet sich als:

Die Summe der Effekte ist Null

07_anova3 7

... yya jj

5.05.910...

5.05.99...

22

11

yya

yya


Haupteffekt B• Der Haupteffekt der Stufe k des Faktors B berechnet sich als:

Die Summe der Effekte ist Null

07_anova3 8

... yyb kk

35.95.12

15.95.10

45.95.5

33

22

11

yyb

yyb

yyb


„Zelleneffekte“• Der Effekt eine Kombination bestimmter

Stufen der Faktoren A und B berechnet sich als:

Die Summe der Effekte ist Null Der „Zelleneffekt“ ist wenig

aussagekräftig, da er auch von den Haupteffekten beeinflusst wird.

07_anova3 9

..][ yyab jkjk 535913

515911

53596

525912

505910

54595

23

22

21

13

12

11

..[ab]

..[ab]

..[ab]

..[ab]

..[ab]

..[ab]


Interaktionseffekte (A x B)• Ein Interaktionseffekt wird als Differenz der Zelleneffekt und der

beteiligten Haupteffekte berechnet:

Die Summe der Effekte ist NullDer Interaktionseffekt gibt die Wirkung der Kombination

bestimmter Faktorstufen über die Haupteffekte hinaus an.

07_anova3 10

....

..).(..).(..)(

][)(

yyyy

yyyyyy

baabab

kjjk

kjjk

kjjkjk


Interaktionseffekte (A x B)

Es liegen im Beispiel keine Interaktionseffekte vor!

07_anova3 11

05.95.121013)(

05.95.101011)(

05.95.5106)(

05.95.12912)(

05.95.10910)(

05.95.595)(

....)(

23

22

21

13

12

11

ab

ab

ab

ab

ab

ab

yyyyab kjjkjk

Beispiele für Interaktionseffekte

Beispiel 1: Einfluss bildhafter Verarbeitung auf die Gedächtnisleistung bei Männern und Frauen

Interaktion: Frauen profitieren von bildhafter Verarbeitung stärker als Männer

07_anova3 12

0

2

4

6

8

10

12

14

strukturell bildhaft

Frauen

Männer strukturell bildhaft

Frauen 5 13 9

Männer 5 10 7.5

5 11.5 8.25


07_anova3 13

strukturell bildhaft gesamt

F 5 (-0.75) 13 (0.75) 9

M 5 (0.75) 10 (-0.75) 7.5

G 5 11.5 8.25

75.025.85.115.710)(

75.025.855.75)(

75.025.85.11913)(

75.025.8595)(

....)(

22

21

12

11

ab

ab

ab

ab

yyyyab kjjkjk


Beispiel 2: Einfluss bildhafter Verarbeitung auf die Gedächtnisleistung bei Männern und Frauen

Interaktion: Frauen profitieren von bildhafter Verarbeitung stärker als Männer

07_anova3 14


Frauen 5 11.5 8.25

Männer 5 11.5 8.25

5 11.5 8.25 0

2

4

6

8

10

12

14


Frauen

Männer


07_anova3 15

strukturell bildhaft gesamt

F 5 (0) 11.5 (0) 8.25

M 5 (0) 11.5 (0) 8.25

G 5 11.5 8.25

....)( yyyyab kjjkjk


Beispiel 3: Einfluss von Alkohol auf die Reaktionszeit bei Männer und Frauen

Interaktion: Frauen werden durch Alkohol stärker beeinträchtigt als Männer

07_anova3 16

ohne Alk. mit Alk.

Frauen 230 500 365

Männer 230 350 290

230 425 327.5

0

100

200

300

400

500

600

ohne Alkohol mit Alkohol

Frauen

Männer


Beispiel 4: Wirksamkeit der Medikamente M1 und M2 bei Männer und Frauen.

• zwei Medikamente M1 und M2 (Faktor A)• an Männern und Frauen getestet (Faktor B)• keinen Unterschied zwischen den Geschlechtern und den

Medikamenten• aber eine Wechselwirkung (Interaktion):

- bei Frauen wirkt M1 gut, M2 kaum- bei Männern entgegengesetzt

M1 für Frauen, M2 für Männer besser geeignet

07_anova3 17

Strukturgleichung

Strukturgleichung (2-fakt. ANOVA)

= Strukturgleichung einfaktorielle ANOVA + Effekt des zweiten Faktors + Interaktionseffekt

07_anova3 18

ijkjkkjijk eabbayy )(..

ijk

kjjk

k

j

ijk

e

yyyy

yy

yy

yy

..)..(

..).(

..).(

.. Gesamtmittelwert

Effekt Faktor A

Effekt Faktor B

Interaktion

„Fehler“

Quadratsummen

Quadratsummenzerlegung

07_anova3 19

SStotal = SSbetween + SSwithin

SStotal = SSFaktor A + SSFaktor B + SSAxB + SSwithin

Quadratsummen

Quadratsummen

07_anova3 20

n

i

p

j

q

kjkijkwithin

p

j

q

kkjjkqpAxB

q

kkqFaktorB

p

jjpFaktorA

yySS

yyyynSS

yynSS

yynSS

1 1 1

1 1,

1

1

)²(

..)²..(

..)².(

..)².(

Quadratsummen

Mittlere Quadrate und Freiheitsgrade

07_anova3 21

)1(

)1()1(

1

1

nqp

SSMS

qp

SSMS

q

SSMS

p

SSMS

withinwithin

FaktorAxBFaktorAxB

FaktorBFaktorB

FaktorAFaktorA

p = Anzahl der Stufen von Faktor Aq = Anzahl der Stufen von Faktor Bn = Anzahl Vpn in jeder Zelle

(Annahme gleichbesetzter Zellen)

Der F-Test

Statistische HypothesenBei einer 2-faktorienllen ANOVA gibt es drei Nullhypothesen:1. H0 für Faktor A:

2. H0 für Faktor B:

3. H0 für A x B:

07_anova3 22

0j für alle j, oder: ....... 321 p

0k für alle k, oder:q ...321

0jk für alle jk, oder: kjjk

Der F-Test

Drei F-Tests

07_anova3 23

within

FaktorAA MS

MSF

within

AxBAxB MS

MSF

within

FaktorBB MS

MSF

qpNbzwnqpdf

pdf

Nenner

Zähler

.)1(

1

qpNbzwnqpdf

qdf

Nenner

Zähler

.)1(

1

qpNbzwnqpdf

qpdf

Nenner

Zähler

.)1(

)1()1(

Der F-Test

Erklärte Varianzanteile

07_anova3 24

total

BABAy

total

BBy

total

AAy

BAyByAyBABAy

SS

SSR

SS

SSR

SS

SSR

RRRR

2.

2.

2.

2.

2.

2.

2),,.(

Interaktionsformen

Es gibt drei Formen der Interaktion:• ordinale Interaktion

beide Haupteffekte sind global interpretierbar• hybride Interaktion

nur einer der beiden Haupteffekte ist global interpretierbar

• disordinale Interaktion keiner der beiden Haupteffekte ist global interpretierbar

07_anova3 25

Interaktionsformen

Keine Interaktion

• Die Diagramme zeigen die Gruppenmittelwerte der vier Zellen.• Beide Diagramme zeigen die gleichen Daten!

07_anova3 26

Interaktionsformen

Keine Interaktion

• Wenn die Linien der Graphen parallel verlaufen, gibt es keine Interaktion!

07_anova3 27

Interaktionsformen

Ordinale Interaktion

• Wenn der gleiche „Trend“ für beide Linien in beiden Diagrammen gilt (alle Graphen steigen oder alle Graphen fallen), spricht man von einer ordinalen („geordneten“) Interaktion.

07_anova3 28

Interaktionsformen

Disordinale Interaktion

• Wenn der unterschiedliche „Trends“ für beide Linien in beiden Diagrammen gilt (ein Graphen steigt, einer fällt), spricht man von einer disordinalen („ungeordneten“) Interaktion.

07_anova3 29

Interaktionsformen

Hybride Interaktion

• Im linken Diagramm: gleicher TrendIm rechten Diagramm: entgegengesetzte Trends

„Hybride Interaktion“

07_anova3 30

Interaktionsformen

Welch Interaktionsform?

07_anova3 31

B1 B2

A1 18 22

A2 25 40

B1 B2

A1 20 30

A2 25 35

B1 B2

A1 25 20

A2 15 40

Darstellung der Ergebnisse

Darstellung der 2-faktoriellen ANOVA

Beispieltext:„Die Anzahl erinnerter Wörter wurde mit einer 3 (Lernbedingung) x 2 (Geschlecht) ANOVA ausgewertet. Das Geschlecht hatte keinen signifikanten Einfluss auf die Gedächtnisleistung, F<1. Es zeigte sich jedoch ein bedeutsamer Effekt der Lernbedingung, F(2,74) = 95.84; p<.01, sowie eine Interaktion beider Faktoren, F(2,74) = 27.66; p<.01. Diese Interaktion ist auf einen bessere Gedächtnisleitung von Männern in der bildhaften Bedingung (t[25]=3.61; p=.01) und eine bessere Gedächtnisleistung von Frauen in der emotionalen Bedingung (t[24]=-6.97; p<.01) zurückzuführen.“

07_anova3 32


Männer 5.8 14.1 10.4

Frauen 5.0 10.7 16.0

SPSS

07_anova3 33

SPSS

07_anova3 34

Syntax:

glm memo by sex, bed /plot=profile(bed*sex).

SPSS

07_anova3 35

SPSS

07_anova3 36

Mehrfaktorielle ANOVA

• Eine Varianzanalyse kann mit beliebig vielen Faktoren berechnet werden.

• Damit sind auch Interaktionen „höherer Ordnung“ möglich: drei-, vier-, fünf, …n-fach-Interaktionen (bei n Faktoren)

• Die Interpretation solcher Mehrfachinteraktionen ist oft schwierig.

• Beispiel: Evaluation eines Entspannungstrainings– Faktor A: Geschlecht des Kursleiters– Faktor B: Geschlecht der Kursteilnehmer– Faktor C: Art des Trainings: Progressive Muskelrelaxation (PMR) vs.

Autogenes Training (AT)

07_anova3 37


07_anova3 38

Faktor A: Geschlecht d. Th.

weiblich männlich

Faktor B: Ge-schlecht (Pat.)

weiblich männlich weiblich männlich

Faktor C: Artdes Trainings

AT

PMR

75 65 65 75

70 70 70 70

60

65

70

75

80

m w

mw

AT PMR

60

65

70

75

80

m w

mw


• Eine dreifach-Interaktion (AxBxC) bedeutet, dass sich die zweifach-Interaktion (AxB) für die beiden Stufen von C unterscheiden.

• … oder, dass sich die dass sich die zweifach-Interaktion (AxC) für die beiden Stufen von B unterscheiden.

• … oder, dass sich die dass sich die zweifach-Interaktion (BxC) für die beiden Stufen von A unterscheiden.

• Eine 4-fach Interaktion ist darauf zurückzuführen, dass sich die beteiligten 3-fach Interaktionen voneinander unterscheiden.

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07_anova3 40

1 Faktor: SStotal = SSwithin + SSA

2 Faktoren: SStotal = SSwithin + SSA + SSB + SSAxB

3 Faktoren: SStotal = SSwithin + SSA + SSB + SSC +

SSAxB + SSBxC + SSAxC + SSAxBxC

4 Faktoren: SStotal = SSwithin + SSA + SSB + SSC + SSD +

SSAxB + SSAxC + SSAxD +SSBxC +SSBxD+ SSCxD+

SSAxBxC + SSAxBxD + SSAxCxD + SSBxCxD +

SSAxBxCxD

Zufallseffekte

Feste Effekt vs. Zufallseffekte• Bisher haben wir nur Varianzanalysen für so genannte feste

Effekte besprochen.

• Definition: Man spricht von festen Effekten, wenn alle möglichen bzw. alle interessierenden Stufen eines Faktors im Versuchsplan realisiert werden.

• Beispiele: Geschlecht, Therapieform, etc.

• In diesem Fall kann ist das Ergebnis der ANOVA nur auf die realisierten Stufen zu beziehen.

07_anova3 41

Zufallseffekte

Zufallseffekte• Häufig sind Gruppenbildungen jedoch nicht eindeutig, weil eine

UV keine feste Abstufungen hat.• Beispiel:

- UV: “Extraversion” (gering, mittel, hoch)- AV: Prüfungserfolg in einer mündlichen Prüfung.

• In diesem Fall sollte eine ANOVA mit „Zufallseffekten“ berechnet werden.

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Zufallseffekte

Zufallseffekte• Definition: Wenn einen Faktor viele Abstufungen hat und für eine

Untersuchung “zufällig” einige davon ausgesucht werden spricht man von Zufallseffekten.

• Beispiele: Persönlichkeitseigenschaften, Alkoholkonsum, Alter, etc.

• Wenn ein Faktor als Zufallsfaktor betrachte wird, so ist eine Generalisierung der Ergebnisse auf andere (nicht untersuchte) Stufen möglich.

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Zufallseffekte

Feste Effekt vs. Zufallseffekte

07_anova3 44

Feste Effekte Zufallseffekte

• Alle möglichen / interessierenden Stufen eines Faktors werden realisiert.

• Einige Stufen werden aus vielen möglichen Stufen ausgesucht.

• Keine Generalisierbarkeit auf nicht realisierte Stufen.

• Generalisierbarkeit ist gegeben.

• Die Summe der Effekte ist Null. • Die Summe der Effekte muss nicht Null sein.

• H0: Alle Effekte sind Null. αj=0 (für alle j)

• H0: Die Varianz der Effekte ist Null. σ²(α) = 0

Zufallseffekte

Beispiel: Alter und Klausurerfolg• Gruppenbildung:

– Alter < 24 Gruppe 1– Alter ≥ 24 Gruppe 2

• Willkürliche Gruppenbildung• Eigentlich soll untersucht werden,

ob der Studienerfolg vom Alterim Allgemeinen abhängt.

07_anova3 45

Vp Alter Gruppe Punkte1 23 1 202 19 1 223 29 2 284 21 1 265 22 1 306 19 1 227 27 2 248 24 2 209 22 1 24

10 28 2 26… … … …20 20 1 25

Zufallseffekte

07_anova3 46

Gruppe 1 (jung) Gruppe 2 (alt)yi1 (yi1-m1)² yi2 (yi2-m2)²20 25 23 028 9 20 924 1 22 126 1 25 430 25 24 122 9 22 127 4 24 124 1 24 124 1 20 925 0 26 9

m1=25 Σ=76 m2=23 Σ=36

Beispiel: Alter und Klausurerfolg

Zufallseffekte

07_anova3 47


• Bei einer einfaktoriellen ANOVA mit Zufallseffekten werden die Quadratsummen wie bisher berechnet.

2012

110110

11

2

p

yyn

df

SSMS

p

i ii

between

betweenbetween

22.618

3676

1 1

2

pN

yy

df

SSMS

p

i

n

j iij

within

withinwithin

Zufallseffekte

07_anova3 48


• Der kritische F-Wert beträgt 4.35kein statistisch bedeutsamer Unterschied!

• Fazit: Kein Unterschied in der Durchführung des F-Tests im Vergleich zur Analyse mit festen Effekten.

• Dies gilt jedoch nur für die einfaktorielle ANOVA.

21.322.6

2018,1

,

F

MS

MSF

within

betweendfdf wb

Zufallseffekte

07_anova3 49

Zweifaktorielle ANOVA mit Zufallseffekten• Beispiel: Wie wirkt sich das Alter (UV1) und die Extraversion (UV2)

eines Kandidaten auf das Ergebnis einer mündlichen Prüfung aus

within

FaktorAxBAxB

FaktorAxB

FaktorBB

FaktorAxB

FaktorAA

MS

MSF

MS

MSF

MS

MSF

qpNdf

qpdf

qpdf

qdf

qpdf

pdf

Nenner

Zähler

Nenner

Zähler

Nenner

Zähler

)1()1(

)1()1(

1

)1()1(

1

Zufallseffekte

07_anova3 50

Zweifaktorielle ANOVA mit „gemischten Effekten“• Liegt ein Faktor mit festem Effekt und ein Faktor mit Zufallseffekt

vor, spricht man von einer ANOVA mit gemischten Effekten.• Wichtig: Es muss bei der Berechnung der F-Tests beachtet

werden, welcher Faktor als Zufallsfaktor eingegeben wird.• Beispiel: Der Einfluss des Geschlechts (Faktor A) und des Alters

(Faktor B) auf die Ängstlichkeit einer Person.• Die folgenden Berechnungen gehen davon aus, dass

Faktor B der Zufallsfaktor ist.

Zufallseffekte

07_anova3 51

Zweifaktorielle ANOVA mit „gemischten Effekten“

within

FaktorAxBAxB

within

FaktorBB

FaktorAxB

FaktorAA

MS

MSF

MS

MSF

MS

MSF

qpNdf

qpdf

qpNdf

qdf

qpdf

pdf

Nenner

Zähler

Nenner

Zähler

Nenner

Zähler

)1()1(

1

)1()1(

1

zufällig

fest

Zufallseffekte

07_anova3 52

Überblick über die Berechnung der F-Tests

Faktor A Faktor B AxB

A fest,B fest

A zufällig, B zufällig

A fest,B zufällig

within

FaktorA

MS

MSF

FaktorAxB

FaktorB

MS

MSF

within

FaktorAxB

MS

MSF

within

FaktorAxB

MS

MSF

within

FaktorAxB

MS

MSF

FaktorAxB

FaktorA

MS

MSF

within

FaktorB

MS

MSF

within

FaktorB

MS

MSF

FaktorAxB

FaktorA

MS

MSF

Zusammenfassung

07_anova3 53

Zusammenfassung• Liegen mehrere nominalskalierte unabhängige Variablen und

eine intervallskalierte abhängige Variable vor, kann eine mehrfaktorielle ANOVA berechnet werden.

• In diesem Fall können neben den Haupteffekten auch Interaktionseffekte berechnet werden. Die Interaktion gib jeweils an, ob die einzelnen Bedingungskombinationen über den Einfluss der Haupteffekte hinaus spezifische Effekte haben.

• Auch für den Interaktionseffekt kann eine Quadratsumme berechnet werden; daher ist auch ein F-Test für die Interaktion möglich.

• Es wird zwischen ordinalen, disordinalen und hybriden Interaktionen unterschieden.

Zusammenfassung

07_anova3 54

Zusammenfassung• Liegen mehrere nominalskalierte unabhängige Variablen und

eine intervallskalierte abhängige Variable vor, kann eine mehrfaktorielle ANOVA berechnet werden.

• In diesem Fall können neben den Haupteffekten auch Interaktionseffekte berechnet werden. Die Interaktion gib jeweils an, ob die einzelnen Bedingungskombinationen über den Einfluss der Haupteffekte hinaus spezifische Effekte haben.

• Auch für den Interaktionseffekt kann eine Quadratsumme berechnet werden; daher ist auch ein F-Test für die Interaktion möglich.

• Es wird zwischen ordinalen, disordinalen und hybriden Interaktionen unterschieden.

Zusammenfassung

07_anova3 55

• Mehrfaktorielle ANOVAs können mit beliebig vielen Faktoren (=UVs) berechnet werden (aber alle npq > 20!).

• In diesem Fall ergeben sich Interaktionen höherer Ordnung, denen auch wieder bestimmte SS zugeordnet werden können.

• Werden Stufen eines Faktors „zufällig“ aus einer großen Anzahl möglicher Stufen ausgewählt, müssen ANOVS mit Zufallseffekten berechnet werden

• Bei der mehrfaktoriellen Varianzanalyse beeinflusst die Art des Faktors (fest vs. zufällig), welche Varianz im Nenner des F-Bruchs verwendet werden muss.

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