526 XXI. Kurze tibersicht

Bei Ventilatoren mit sehr niedriger Drehzahl und geringen Unwuchs t­kriiften, bei denen nur eine korperschall gedammte Aufstellung not­wendig ist, konnen hierftir neben Gummielementen Stoffedern ver­wendet werden. Abb.536 zeigt den Frequenzgang der Korperschall­diimmung von verschiedenen Stoffedern bei longitudinaler Anregung und den in der Praxis tiblichen Belastungen. Auch Kaniile mtissen be­sonders bei Klimaanlagen hiiufig korperschalldiimmend aufgelagert oder abgehiingt werden. Es gentigt nicht, die Kaniile elastisch tiber eine Segeltuchmanschette mit dem Ventilator zu verbinden, da durch den Luftschall die Kanalwiinde zu Schwingungen angeregt werden. Die Federn sind immer an einer moglichst groBen Masse, die als Sperrmasse wirkt, zu befestigen.

Schwierige Grtindungsberechnungen, die in allen 6 Freiheitsgraden durchgefUhrt werden mtissen, sollte man einem Fachmann tiberlassen.

Literatur CREMER, L.: Die wissenschaftlichen Grundlagen der Raumakustik, Bd. III,

Leipzig: S. Hirzel 1950. CREMER, L., HECRL, M.,: Korperschall, Berlin/Heidelberg/New York: Springer

1967. GERBER,O.: Schallausbreitung in einem rechteckigen Luftkanal. Acustica 3,

1953. KURTZE, G.: Physik und Technik dar Larmbekampfung, Karlsruhe: G.

Braun 1964. SCHMiDT, H.: Schalltechnisches Taschenbuch, Diisseldorf: VDI-Verlag 1968. VDI-Richtlinie 2081: Larmminderung bei liiftungstechnischen Anlagen. VDI-Richtlinie 2567: Schallschutz durch Schalldampfer. VDI-Richtlinie 2571: Schallabstrahlung von Industriebauten.

H. Festigkeitsberechnungen

XXI. Kurze tJbersicht

167. Grundlagen

Die Beanspruchung der Laufriider durch Fliehkriifte verdient bei der Dimensionierung einige Aufmerksamkeit. Wir sind hierbei in der glucklichen Lage, ziemlich zuverliissige Berechnungen angeben zu kon­nen, die einigen Anspruchen gerecht werden. 1m folgenden soll eine knappe Darstellung gegeben werden, die das Wesentliche und fUr den Ingenieur Notwendige hervorhebt.

Der frei rotierende Ring. Wir betrachten nach Abb. 537 einen dun­nen Ring, der mit eim:r Umfangsgeschwindigkeit u rotiert, und fragen nach den Spannungen, die durch die Zentrifugalkriifte verursacht wer-

B. Eck, Ventilatoren© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2003

167. Grundlagen 527

den. Dazu schneiden wir uns ein sektorartiges Element mit dem Winkel drx heraus und betrachten die an dies em Element angreifenden Krafte. Es wirken

1. Tangentialkrafte T, die bei einem genugend dunnen Ring eine gleichmaBig verteilte Zugspannung a hervorrufen werden gemaB der Gleichung T = a A = a b a .

2. Die nach auBen wirkende Zentrifugalkraft ist:

d Y d dZ ="2 d.x bag 2 w2 • (y-Baustoffwichte)

Abb.537. Frei rotierender Ring Abb. 538. Frei rotierender Stab

Das Gleichgewicht dieser Krafte ist in Abb. 537 in einem Krafte-dZ .

dreieck dargestellt. Es gilt dZ = T de.: bzw. T = d(X ; hleraus:

(219)

Der frei rotierende Stab. Nach Abb. 538 lassen wir einen Stab von gleichbleibenden Querschnitt A mit der Umfangsgeschwindigkeit u ro­tieren. Wir schneiden ein Element von der Tiefe dr heraus und berech­nen die an diesem Element angreifenden Zentrifugalkrafte

dZ = dr A 1'.. r 0)2. g ,

die Integration ist leicht durchfiihrbar und ergibt

~ G

Z = drA-r0)2=A-w2 rdr=A--2-_1. J. Y Y f Y u2 - u2

g g g 2 Tl '1

528 XXI. Kurze Vbersicht

In der Stabmitte, d. h. fUr r = 0, ist die Spannung am groBten. Z wird im Querschnitt A eine Spannung (f erzeugen gemaB der Gleichung

Z = A (f, hieraus (f = ! = ! ; u~ [1 - (~:)l fUr r 1=0 ist (f = ~ ; u~ Diese Resultate sind von grundsatzlicher Bedeutung und verdienen

eillige Aufmerksamkeit. Zunachst fallt auf, daB die Spannungen nur von der Umfangsgeschwindigkeit u abhangen. Das bedeutet, daB z. B. bei gleicher Umfangsgeschwindigkeit die Drehzahl und der Durchmes­ser gleichguItig sind. Ein winzig kleiner Ring wird also genau so bean­sprucht wie ein riesengroBer Ring, wenn in beiden Fallen die Umfangs­geschwindigkeit gleich ist. Obschon der frei rotierende Ring und der rotierende Stab als Konstruktionselemente kaum vorkommen, ist es sehr zweckmaBig, die dabei auftretenden Spannungen fUr alle anderen im Geblasebau vorkommenden Falle als VergleichsmaBstab zu benutzen. So kommen wir zu dimensionslosen Gutezahlen einer Laufradkonstruk­tion, die angeben, wie groB die groBte bei einem Laufrad vorkommende Spannung ist im Vergleich zum Ring oder Stab. Der Ring wird dabei als Vergleich bei scheibenartigen Gebilden herangezogen, wahrend aIle stab- bzw. speichenformigen Gebilde (z. B. aIle Flugel von Axialge­blasen) mit dem rotierenden Stab verglichen werden. Die Kennzahlen konnen als geometrische Eigentumlichkeiten einer Konstruktion ange­sehen werden. So erhalten wir zwei Gutezahlen

k' = ~max • 1 ?' --u2 2 g

Unter Benutzung dieser Kennzahlen ergibt sich fur die groBte Span­nung die Beziehung

?' (fmax Ring = k -- U 2 ,

g

k' 1 ?' 2 (fmaxStab = "2 g u .

Der Vorteil dieser Betrachtungsweise besteht darin, daB die Kenntnis einer einzigen Zahl genugt, um die Gilte und Verwendbarkeit einer Kon­struktion darzutun.

Wie eingangs erwahnt, sind die durch Zentrifugalkrafte entstehen­den Spannungen mit fast beliebiger Genauigkeit bei den meisten Kon­struktionen entweder zu berechnen oder graphisch zu ermitteln. Es handelt sich um Methoden, die zwar u. U. etwas zeitraubend sind, jedoch

167. Grundlagen 529

keine grundsatzlichen Schwierigkeiten bereiten. Die Methoden wurden entwickelt von HELLER!, DONATH2, STODOLA3, HONEGGER', KELLER6,

GRAMMEL6, BAER7. 1m Rahmen dieser Arbeit glaubt Verfasser zuniichst auf eine eingehende Darlegung dieser Methoden verzichten zu konnen und den Leser im Bedarfsfall auf die eingehenden Ausfiihrungen ver­weisen zu sollen. Es geniigt namlich in den meisten Fallen, die im fol­genden dargestellte Zusammenstellung zu kennen und sinngemaB zu benutzen. So enthiilt Abb. 539 12 verschiedene Schnitte von scheiben­formigen Gebilden, die eine Auslese und eine mittlere Ubersicht iiber vorkommende Konstruktionen vermitteln. Bei jeder Konstruktion ist die Kennzahl k vermerkt. Weicht eine vorkommende Konstruktion von den Darstellungen ab, so sucht man zwei Gebilde, zwischen denen die betrachtete Konstruktion liegt und wiihlt dann ffir die Spannungs­berechnung zur Sicherheit den hoheren Kennwert. So ergibt sich ein Schnellverfahren, das zwar - rein wissenschaftlich betrachtet - groBe Schonheitsfehler hat, den Bediirfnissen der Praxis, wo eine genauere Berechnung nicht immer notwendig ist, jedoch sehr entgegenkommt.

Der Wert von k = 0,157 bei der konischen Vollscheibe zeigt deut­lich, welche wesentliche Entlastung gegeniiber dem freien Ring durch geeignete Dimensionierung erreicht werden kann. Als Regel - die auch aus Abb. 539 abgelesen werden kann - gilt: Durch Anhaufung von Material nach der Drehachse zu laBt sich eine fiihlbare Verminderung der hochsten Spannungen erreichen. Die Versteifung einer glatten Scheibe durch einen Ring Abb. 539 zeigt typisch, wie u. U. mit ein­fa chen Mitteln sehr starke Scheiben gebaut werden konnen.

Die Beriicksichtigung der Schaufeln ist dadurch leicht moglich, daB das Schaufelgewicht zur Scheibe geschlagen wird, was praktisch darauf hinauslauft, daB man die Wichte der Scheibe im Verhaltnis Scheibengewicht + Schaufelgewicht "B

S h 'b . ht vergro ert. c el engewlC Neben dieser "beschaulichen" Ermittlung solI noch ein einfaches

Rechenverfahren mitgeteilt werden, welches bei nicht zu hohen An­spriichen (etwa 20···25% Genauigkeit) geniigen diirfte. Das Verfahren besteht darin, daB zum Vergleich der Mittelwert der Tangentialspan-

1 HELLER: Schweiz. Bauztg. 1909, 307. 2 DONATH: Die Berechnung rotierender Scheiben und Ringe nach einem

neuen Verfahren, 2. Aufl., Berlin: Springer 1912. 3 STODOLA: Dampf: u. Gasturbinen, 6. Aufl., Berlin: Springer 1924. 4 HONEGGER: ZAM 1927, H. 2. 5 KELLER: Beitrag zur analytischen Berechnung hochbelasteter Radscheiben.

Festschrift STODOLA. 6 BIEzENo-GRAMMEL: Technische Dynamik, 2. Aufl., Berlin/Gottingen/Heidel­

berg: Springer 1953. 7 BAER: Z. VDr 1940, 359.

530 XXI. Kurze Obersicht

nungen herangezogen wird. Dieser Mittelwert kann namlich bei belie­bigen Scheibenkonstruktionen schnell und genau ermittelt werden. Denken wir uns die Scheibe in einzelne diinne Ringe zerschnitten, so wiirde bei Rotation jeder Ring unbeeinfluBt von den anderen die seiner Mittelgeschwindigkeit entsprechende freie Ringspannung rig· u2 auf-

1,0

49.15 487

0,6.1

4J76 D,¥ 41J1~ D,'lJ1 4'18

4197 flll r15

"7

o

1--1'+--"''----------1 Sf}

Abb. 539. Festigkeitseigenschaften typischer Laufradformen in dimensionsloser Darstellung

weisen. Bei der vollen Scheibe beeinflussen diese Ringelemente sich gegenseitig. Dies wirkt sich so aus, daB die eben erwahnten freien Ring­spannungen verlagert werden und eine VergleichmaBigung eintritt. Es bleibt aber in jedem Fall die Gesamtsumme dieser Spannungen aus Grunden des Gleichgewichtes bestehen. Das bedeutet, daB der Mittel­wert der Tangentialspannungen genau ermittelt wird, wenn man die

167. Grundlagen 531

Spannungen aller Elementarringe addiert. Fiir irgendeinen Teilring gilt:

dT = b dr a , b = Breite auf dem Radius r ,

T = jbdra, a=y/g·u2 =y/g.r2 w2 .

Die gesamte Tangentialkraft, die senkrecht auf einem Radialschnitt der Scheibe wirkt, denken wir uns entstanden durch eine mittlere Spannung am' die auf der Schnittflache A wirkt

T = A am; so entsteht

f I' Y fra -uS 1 1 Y ga rZ

a = -- b dr a = - I b - r2 w2 dr = -- b (-) dr m A A.; g A ra '

r

hieraus

(J 1fra(r)2 k=~=- b - dr. Y A ra _'11,2 g a

r

In Abb. 540 ist die graphische Auswertung dieser Formel am Bei­spiel einer Laufradscheibe gezeigt, bei der eine glatte Scheibe auf einer Nabe befestigt ist (geschweiBt oder genietet). Zunachst wird die Breite b

o Abb. 540. Graphische Scheibenberechnung erster Niherung

der Scheibe in geeigneter VergroBerung aufgetragen. Die ebenfalls tiber r aufgetragene Parabel (r/ra)2 gibt die Werte an, mit denen b erweitert werden muB. So entsteht die kreuzschraffierte Flache, deren Inhalt

gleich dem Wert des Integrals J b (~J2drist. Das Verhaltnis der beiden

Flachen ergibt die Kennzahl k.

532 XXI. Kurze tJbersicht

Die Berechnung ergibt k = 0,245. 1st die Kennzahl k mit einem der angedeuteten Verfahren in erster

Naherung ermittelt, so ist die groBte Spannung sofort bekannt; bei groBer radialer Erstreckung ergeben sich Abweichungen.

Zahlenbeispiel. Fiir das vorherige Beispiel solI der Fall vorliegen. daB UI/o = 246 m/s ist. Wir erhalten fiir a

" I 7850 a = kg UI/o = 0,245 . 9,81 . 2462 • 10-4 = 1200 kp/cm2 •

Bei fliigelartigen Gebilden, fiir die der gerade Stab als Vergleich emp­fohlen wurde, laBt sich ein sehr einfaches und genaues Verfahren an­geben. Ein kleines Element von der Tiefedr erzeugt die Zentrifugalkraft

hieraus:

dZ = dr A L r w2 , g

'a

Z= ~ w2 f Ardr. ,

Die groBte Kraft und meist auch die groBte Spannung ist an der Schau­felwurzel zu erwarten, weil hier die Zentrifugalkraft der ganzen Schaufel zu iibertragen ist. 1st an dieser Stelle die Flache Al und eine Zug­spannung a l , so ergibt sich:

Z = Al al'

Wird die durch das Integral dargestellte Flache mit A bezeichnet, so ergibt sich

Damit erhalten wir fiir die Kennziffer

A k=-. r2

I/o

In Abb. 541 ist am Beispiel eines Axialfliigels die graphische Auswer­tung des Verfahrens dargestellt. Zunachst tragt man die Fliigelquer­schnitte A in Abhangigkeit vom Radius r seitlich auf. Den Radius r, d. h. eine unter 45° verlaufende Gerade, vermindert man im Verhalt-

nis A/A l . Die Flache A unter der so entstehenden Kurve A/A l • r wird ermittelt. Beim Beispiel ergibt sich:

53,6 k = 225 = 0,239; k' = 2 k = 0,478.

167. Grundlagen 533

Berechnung der Beschaufelung. Die sehr breiten Schaufeln der neuen Ventilatoren ergeben erhebliche Beanspruchungen des Schaufel­materials. Urn bier zu sicheren Dimensionierungen zu kommen, wurde mit Erfolg mit statistischen Methoden gearbeitet, indem schlieBlich

Abb. 541. Graphlsche Fliigelberechnung erster Niherung

genau angegeben werden konnte, wann bleibende gefahrliche Ver­formungen auftreten. Obschon damit bei Serienherstellungen absolute Sicherheit erreicht werden konnte, bestand hier eine theoretische Lucke. BROECKER1 gelang hier eine neuere Berechnung, die Beachtung verdient. Siehe auch JABUREK2. 1m Rahmen dieses Buches war es indes nicht moglich, dieses Thema noch aufzunehmen.

Materialauswahl. Aus der Grundgleichung (249) laBt sich leicht ab­leiten, von welchen Materialeigenschaften die erreichbare Umfangs­geschwindigkeit abhangt. Bei Auflosung nach u erhalt man:

u = V~: . Entscheidend ist somit die GroBe der Zahl a/yo Die Bedeutung dieser Zahl ist sehr anschaulich. Wir denken uns einen zylindrischen Stab des Materials vom Querschnitt A so lang frei herunterhangen, daB er am oberen Ende gerade reiBt. Bei einer bestimmten Lange R wird das der Fall sein. Da die Belastung nur durch das Gewicht G = R F Y gegeben ist, erhalten wir folgende Gleichung

RFy=Aa,

1 BROECKER, E.: Berechnung der Schaufelbiegung bei radialen Laufradem von Stromungsmaschinen. Konstruktion 1967, 241.

2 JABUREK, F.: Die Festigkeit von radial beschaufelten Laufrii.dem. In­genieur-Archiv VII, 3, S. 214.

534 XXI. Kurze "Obersicht

hieraus:

R =!!-. . y

Die Lange R wird in sprachlich treffender Form als ReijJtange bezeich­net. Die Verwendbarkeit eines Materials fiir die Zwecke des Ventila­torenbaues wird durch die ReiBlange gekennzeichnet. Die hochsten Umfangsgeschwindigkeiten lassen sich somit nur mit Materialien er­reichen, bei denen die groBten ReiBlangen vorkommen.

~ li ....

~I Abb. 542. Reilliange, Bruchfestigkeit, Grenztemperatur, Wichte fiir verschicdene Baustoffe

So ergibt sich eine Rangstufe von Materialien, die von den gewohn­ten Vorstellungen ziemlich stark abweicht. Die nachfolgende Abb. 542 enthalt eine schematische "Obersicht. Mit einiger Verwunderung wird vielleicht zur Kenntnis genommen werden miissen, daB nicht etwa Stahl oder legierte Leichtmetalle, sondern Holzer und Hartpapier an der Spitze liegen. Hier werden ReiBlangen von 22···25 km erreicht. Wenn solche Materialien nicht haufiger verwendet werden konnen, so liegt dies meist an anderen Griinden, z.B. geringe Korrosionsfestigkeit, BeeinfluBbar­keit durch Feuchtigkeit und hOhere Temperaturen. Abb. 542 enthalt auch die Temperaturen, bei denen ein merkliches, meist unstetiges Abfallen der ReiBlange zu erwarten ist.

1. Experimentelle Erprobung von Ventilatoren 535

Die hochsten Werte lassen sich durch Verbundbauart erreichen. Hierunter versteht man eine Bauart, bei der die nabennahen Teile aus schwererem Material mit hoher Festigkeit und anschlieBend leich­tere Materialien mit hoher ReiBHinge verwendet werden. Kombina­tionen wie Stahl + Holz, PreBkohle + Holz oder Leichtmetall, Stahl + PreBholz + Leichtholz usw. sind dabei moglich. Abb. 542 enthalt zwei Kombinationen von Verbundholzkonstruktion. In dieselll Fall wird sogar eine ReiBlange von 33 km erreicht.

Die durch Glasfasereinlangen verfestigten neuen Kunststoffe kom­men u. U. auch bei Ventilatoren in Frage.

Sicherheit. Sind die Kennziffern k und damit die Spannungen be­kannt, so entsteht die Frage, welche Sicherheit bei Ventilatoren und Geblasen empfohlen werden kann. Da es sich urn statische Belastungen handelt~ genugen kleine Ziffern, etwa (J = 2,5, wenn die Material­eigenschaften genau bekannt sind und genaue Beerchnungen durch­gefiihrt wurden. Sonst wird man etwa 3 wahlen, bezogen auf die Streck­grenze.

I. Experimentelle Erprobung von Ventilatoren1

Zur Erprobung von Ventilatoren auf dem Prufstand, zur Dberpru­fung der Gewahrleistungen im Betrieb usw. sind Versuche notwendig, die unter Umstanden sehr schwierig sein konnen. Der Einbau der Ven­tilatoren in irgendwelchen Apparaturen, die mehr oder weniger ge­drangte Gesamtanordnung usw. bringen es mit sich, daB oft einwand­freie Messungen unmoglich sind oder aber auBerst schwierige "Uber­legungen stromungstechnischer Art erforderlich machen. Die bei sol­chen Industrieversuchen beobachteten Fehler sind zahlreicher und verhangnisvoller, als man meist annimmt. Dies ist vielfach dann der Fall, wenn die genaue Anwendung der DurchfluBmeBregeln einfach nicht moglich ist und besondere der Eigenart des Falles angepaBte MeBmethoden entwickelt werden mussen. Es ist eine billige Kritik, wenn man derartige Bemuhungen der Ingenieure als nicht wissenschaft­lich beHichelt; man verkennt dabei den Zwang, daB der Ingenieur irgendwie eine Antwort finden muB, auch wenn die Genauigkeit manch­mal nicht befriedigt.

1m folgenden sollen einige typische Gesichtspunkte zusammenge­stellt werden, die bei den Versuchen beachtet werden mussen.

1 Siehe auch: Abnahme- und Leistungsversuche an Ventilatoren (VDI­Ventilatorregeln), VDI 2044, Okt. 1966, sowie: DurchfluBmessung mit genormten Diisen, Blenden und Venturidiisen (VDI-DurchfluBmeBregeln), DIN 1952.