Verkettung von zwei Funktionen

… und ihre Auswirkungen auf• Stetigkeit• Differenzierbarkeit• Integrierbarkeit

Verkettung von Funktionen• „Bei einer Funktion f steht anstelle der Variablen x eine

Funktion g der Variablen x“→ h(x) = f(g(x)) oder f◦g

• f(x) = äußere Funktion • g(x) = innere Funktion

• Beispiel• f(x) = x³• g(x) = 5x²-6• h(x) = (5x²-6)³

Stetigkeit

• „Eine Funktion f(x) ist an der Stelle x0 stetig, wenn gilt: “

Also muss:1. f an der Stelle x0 definiert sein

2. Der Grenzwert f(x) existieren3. Grenzwert und Funktionswert übereinstimmen

0o

x xlim f (x) f (x )

Stetigkeit

Stetigkeit verketteter Funktionen

• 1. Funktionen f und g sind stetig→Ist die Funktionen f in xo und g bei f(xo) stetig, dann

ist auch die Verkettung f◦g in xo stetig

• Beispiel• f(x) = ex

• g(x) = -3x• h(x) =e -3x

Stetigkeit verketteter Funktionen

• 2. Funktionen f ist unstetig→Ist die Funktion f unstetig, ist auch die verkettete

Funktion nicht stetig

• Beispiel• f(x) =• g(x) = 3x+2• h(x) =

x

3x 2

Stetigkeit verketteter Funktionen

• 3. Funktionen g ist unstetig→ Ist die Funktion g unstetig, ist auch die verkettete Funktion

nicht stetig

• Beispiel• f(x) = 3x+2• g(x) =

• h(x) =32

x

1

x

Stetigkeit verketteter Funktionen

• 4. Funktionen f und g sind unstetig→Sind die Funktionen f und g unstetig, ist auch die

verkettete Funktion nicht stetig

• Beispiel• f(x) = 1/x• g(x) = • h(x) =

1

x

x

Differenzierbarkeit

x-c

c x

(c;f(c))

(x;f(x))

Differenzierbarkeit

x-c

c x

(c;f(c))

(x;f(x))

Merksätze

1. Funktion ableitbar an x=c Funktion stetig an x=cDifferenzierbarkeit bedeutet Stetigkeit.

2. Funktion stetig an x=c Funktion an x=c nicht unbedingt

differenzierbarStetigkeit bedeutet nicht Differenzierbarkeit.

Beispiel: nicht stetig und nicht differenzierbar

an c=6

Beispiel: stetig und differenzierbar

an c=2

Integrierbarkeit

• Funktion ist integrierbar, wenn sie zumindest stückweise stetig ist.

a cb

Im Intervall [a,c]