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Vernetzungen im Mathematikunterricht Graphische Darstellungen mathematischen Wissens als Unterrichtsmittel Astrid Brinkmann Universität Münster, Deutschland Vortrag in Linz, Österreich 30. April 2010 http://www.math-edu.de [email protected]

Vernetzungen im Mathematikunterricht - math-edu.de · [email protected] 20 . Netzwerk im Rahmen des implementierten Curriculums . ... F4 F6 F4 M1 F5 . Netzwerk zum erreichten

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  • Vernetzungen im Mathematikunterricht

    Graphische Darstellungen mathematischen Wissens als

    Unterrichtsmittel Astrid Brinkmann

    Universitt Mnster, Deutschland

    Vortrag in Linz, sterreich 30. April 2010

    http://www.math-edu.de [email protected]

  • Gliederung 1. Die Netzwerkstruktur mathematischen Wissens 2. Defizite in Lehr- und Lernprozessen 3. Graphische Darstellungen mathematischen

    Wissens 3.1 Mind Maps 3.2 Concept Maps 3.3 Mind Maps und Concept Maps als Unterrichtsmittel 3.4 Abgewandelte Map-Formen 3.5 Diskussion, offene Fragen, Ausblick

    4. GDM-AK Vernetzungen im MU

  • 1. Die Netzwerkstruktur mathematischen Wissens

    Es ist ... schlecht, wie wir zulassen, da Lehrer die Mathematik unserer Kinder zu schmalen und fragilen Trmen und Ketten formen, statt zu widerstandsfhigen querverbundenen Netzen. Eine Kette kann an jedem Glied zerbrechen, ein Turm kann beim leichtesten Sto umfallen. Und das ist es, was in einer Mathematikstunde mit dem Geist eines Kindes geschieht, dessen Aufmerksamkeit nur einen Augenblick lang von einer hbsch geformten Wolke am Himmel abgelenkt wird. Marvin Minsky (1990). Mentopolis.

  • 1. Die Netzwerkstruktur mathematischen Wissens

    PISA -Studie: ... for OECD/PISA, interconnections and common ideas are central elements. . OECD. 1999.

  • 1. Die Netzwerkstruktur mathematischen Wissens

    Bildungsstandards zielen auf systematisches und

    vernetztes Lernen ... (Aus dem Text zu Bildungsstandards FOR)

  • 1. Die Netzwerkstruktur mathematischen Wissens

    Vernetztes System

    Komponenten

    Verbindungen; Abhngigkeiten

  • 1. Die Netzwerkstruktur mathematischen Wissens

    Vernetztes System

    Mathematische Modellierung: Graph

    Komponenten Knoten

    Verbindungen; Abhngigkeiten

    Kanten (gerichtet, ungerichtet)

  • 1. Die Netzwerkstruktur mathematischen Wissens

    Vernetztes System

    Mathematische Modellierung: Graph

    Inhaltliche Interpretation

    Komponenten Knoten Mathematische Objekte, nicht-mathematische Komponenten

    Verbindungen; Abhngigkeiten

    Kanten (gerichtet, ungerichtet)

    Relation = Vernetzung (einseitig, wechselseitig)

  • 1. Die Netzwerkstruktur mathematischen Wissens

    Satz des Pythagoras

    Beweis zum Satz des Pythagoras a2 + b2 =c2

    a2 b2

    c2

    Hypotenusenquadrat

    rechtwinkliges Dreieck

    Kathete

    Hypotenuse

    c

    a

    b

    Kathetenquadrat

    Quadrat

    rechter Winkel

    Mathematisches Netzwerk

  • Netzwerk zum Satz des Pythagoras

    Beweis zum Satz des

    Pythagoras

    Satz des Pythagoras a

    2 + b2 = c2

    Abstands-berechnung

    Lngen-berechnung

    rumliche Krper mit Stben

    zusammengebaut

    Papyrus

    verdrngt

    rger ber Prfer

    Ungerechtigkeit

    Stolz

    Pythagoreisches Lehrgedicht

    Pythagoras, Philosoph und Mathematiker

    Quadratisch. Praktisch. Gut.

    Flchen von Quadraten

    Hypotenusen-quadrat

    Katheten-quadrat

    Hypotenuse Kathete

    rechtwinkliges Dreieck

    Vermessung des Nils

    Modell zur Vermessung

    des Nils

    Vermessung der Felder in gypten

    Modell zur Vermessung der

    Felder

    Geschichte

    Modell zum Problem aus der Geschichte

    F F F

    F F

    F F

    F

    F

    T

    Mo Mo

    Mo T

    T

    T

    T

    L

    Mn

    Mn

    Mn

    K

    K

    K

    K

    K

    K Af

    Af Af

    Af

  • Kategorien der Vernetzung Innermathematische Vernetzungen Fachsystematische Vernetzung, z. B.

    verschiedene Interpretationen von Teilmengen-beziehungen (Oberbegriff-/Unterbegriff-Relation, Obermengen-/Untermengen-Relation, Fallunterscheidungen, Kategorisierungen, Klasseneinteilungen, Merkmalsvernetzung, ...)

    Relation daraus folgt Relation beweist Relation ist eine Lsung von

    Anwendungsbezogene Vernetzung (Verbinden mit Stzen, Algorithmen, Modellen, ... zur

    Lsung von Aufgaben) Vernetzungen mathematischer Objekte mit nichtmathematischen Knoten

    (z.B. bei Anwendungsaufgaben)

  • 1. Die Netzwerkstruktur mathematischen Wissens

    Beispielaufgabe (Bildungsstandards) Gegeben: Trapez mit A(0 ; 0), B(8 ; 0), C(8 ; 3), D(0 ; 15),

    einbeschriebenes Rechteck a) Flcheninhalt des Trapezes berechnen. b) P(2 ; y) liegt auf CD, ist Eckpunkt des

    einbeschriebenen Rechtecks. Rechteck in Figur eintragen und Flcheninhalt bestimmen.

    c) Bewegt sich der Punkt P(x ; y) auf der Strecke CD, so ndert sich der Flcheninhalt F des zugehrigen Rechtecks. Begrnde: F lsst sich mit der Gleichung F = x(-1,5x+15) berechnen.

    d) Einbeschriebenes Rechteck mit grtem Flcheninhalt bestimmen, Vorgehensweise begrnden.

  • 1. Die Netzwerkstruktur mathematischen Wissens

    Beispielaufgabe (Bildungsstandards) Gegeben: Trapez mit A(0 ; 0), B(8 ; 0), C(8 ; 3), D(0 ; 15),

    einbeschriebenes Rechteck a) Flcheninhalt des Trapezes berechnen. b) P(2 ; y) liegt auf CD, ist Eckpunkt des

    einbeschriebenen Rechtecks. Rechteck in Figur eintragen und Flcheninhalt bestimmen.

    c) Bewegt sich der Punkt P(x ; y) auf der Strecke CD, so ndert sich der Flcheninhalt F des zugehrigen Rechtecks. Begrnde: F lsst sich mit der Gleichung F = x(-1,5x+15) berechnen.

    d) Einbeschriebenes Rechteck mit grtem Flcheninhalt bestimmen, Vorgehensweise begrnden.

    P

  • 1. Die Netzwerkstruktur mathematischen Wissens

    Beispielaufgabe (Bildungsstandards) Gegeben: Trapez mit A(0 ; 0), B(8 ; 0), C(8 ; 3), D(0 ; 15),

    einbeschriebenes Rechteck a) Flcheninhalt des Trapezes berechnen. b) P(2 ; y) liegt auf CD, ist Eckpunkt des

    einbeschriebenen Rechtecks. Rechteck in Figur eintragen und Flcheninhalt bestimmen.

    c) Bewegt sich der Punkt P(x ; y) auf der Strecke CD, so ndert sich der Flcheninhalt F des zugehrigen Rechtecks. Begrnde: F lsst sich mit der Gleichung F = x(-1,5x+15) berechnen.

    d) Einbeschriebenes Rechteck mit grtem Flcheninhalt bestimmen, Vorgehensweise begrnden.

    P

    P

  • ?

    F = a b

    F = x (-1,5 x + 15)

    ist y-Koordinate von P

    P liegt auf CD

    P liegt auf Gerade g durch C, D

    yP ber Gleichung von g

    bestimmbar

    ?

    ? ?

    ... ...

    y = m x + n

    ?

  • 1. Die Netzwerkstruktur mathematischen Wissens

    Beispielaufgabe (Bildungsstandards) Gegeben: Trapez mit A(0 ; 0), B(8 ; 0), C(8 ; 3), D(0 ; 15),

    einbeschriebenes Rechteck a) Flcheninhalt des Trapezes berechnen. b) P(2 ; y) liegt auf CD, ist Eckpunkt des

    einbeschriebenen Rechtecks. Rechteck in Figur eintragen und Flcheninhalt bestimmen.

    c) Bewegt sich der Punkt P(x ; y) auf der Strecke CD, so ndert sich der Flcheninhalt F des zugehrigen Rechtecks. Begrnde: F lsst sich mit der Gleichung F = x(-1,5x+15) berechnen.

    d) Einbeschriebenes Rechteck mit grtem Flcheninhalt bestimmen, Vorgehensweise begrnden.

    P

    P

  • www.math-edu.de [email protected] 17

    2. Defizite in Lehr- und Lernprozessen

    Verfolgung von Vernetzungen bei ihrer bertragung durch Lehr- und Lernprozesse aus dem Unterrichtsstoff Mathematik auf die kognitive Ebene von Lernenden zwecks Lokalisierung und Przisierung von Defiziten.

    Untersuchung am Beispiel 2x2 LGS in der SI (Brinkmann, 2002)

  • www.math-edu.de [email protected] 18

    Modell der Curriculumsrahmen: Ein Ansatz zur Spezifizierung von Vernetzungen

    in Lehr- und Lernprozessen

    Implementiertes Curriculum

    Intendiertes Curriculum

    Erreichtes Curriculum Richtlinien

    Lehrplne

    Schulbcher

    Die Curriculumsrahmen dienen als Kontrollinstanzen zur Verfolgung von Vernetzungen mathematischer Objekte in Lehr- und Lernprozessen.

    Im Unterricht behandelte Inhalte

    Von Schler/innen erworbenes Wissen

    Bildquellen: Buch: https://pixabay.com/de/photos/icon/?cat=education Lehrer Lmpel: https://de.wikipedia.org/wiki/Lehrer Schler: https://pixabay.com/de/schule-buch-m%C3%A4dchen-men schen-lesen-148615/

    https://pixabay.com/de/photos/icon/?cat=educationhttps://de.wikipedia.org/wiki/Lehrerhttps://pixabay.com/de/schule-buch-m%C3%A4dchen-menschen-lesen-148615/https://pixabay.com/de/schule-buch-m%C3%A4dchen-menschen-lesen-148615/

  • www.math-edu.de [email protected] 19

    Netzwerk im Rahmen des intendierten Curriculums LGS

    22 LGS

    Text- aufgabe

    33 LGS

    LGS von 2 Geradengl.

    2 Geraden

    Lsungs- verfahren

    Einsetzungs- verfahren

    Additions- verfahren

    Gleichsetzungs- verfahren

    Graphisches Verfahren

    Lsungen eines LGS von 2 Geradengl.

    Schnittpunkte zweier Geraden

    1 Schnitt-punkt

    kein Schnittpkt.

    unendl. viele Schnittpunkte

    sich schnei- dende

    Geraden

    paral- lele

    Geraden

    aufei- nander- liegende Geraden

    1 Lsung keine Lsung

    Unendlich viele

    Lsungen

    Struk- tur 1

    Struk- tur 2

    Struk- tur 3

    M5 M5 M5 M4

    M4 M4

    M3 M3

    M3 M2

    M2 M2

    M2

    M1

    M7 M7

    F1 F1

    F2

    F6

    F7

    F2 F2

    F8

    F3 F3 F3 F4 F4 F4

    F5 F5 F5

    F5

    M6 M6 M6

  • www.math-edu.de [email protected] 20

    Netzwerk im Rahmen des implementierten Curriculums LGS

    22 LGS

    Text- aufgabe

    33 LGS

    LGS von 2 Geradengl.

    2 Geraden

    Lsungs- verfahren

    Einsetzungs- verfahren

    Additions- verfahren

    Gleichsetzungs- verfahren

    Graphisches Verfahren

    Lsungen eines LGS von 2 Geradengl.

    Schnittpunkte zweier Geraden

    1 Schnitt-punkt

    kein Schnittpkt.

    unendl. viele Schnittpunkte

    sich schnei- dende

    Geraden

    paral- lele

    Geraden

    aufei- nander- liegende Geraden

    1 Lsung keine Lsung

    Unendlich viele

    Lsungen

    Struk- tur 1

    Struk- tur 2

    Struk- tur 3

    M4

    M4 M4

    M3 M3

    M3 M2

    M2 M2

    M2

    M1

    M7 M7

    F1 F1

    F2

    F6

    F7

    F2 F2

    F8

    F3 F3 F3 F4 F4 F4

    F5 F5 F5

    F5

  • www.math-edu.de [email protected] 21

    Netzwerk im Rahmen des vermeintlich erreichten Curriculums

    LGS

    22 LGS

    Text- aufgabe

    33 LGS

    LGS von 2 Geradengl.

    2 Geraden

    Lsungs- verfahren

    Einsetzungs- verfahren

    Additions- verfahren

    Gleichsetzungs- verfahren

    Graphisches Verfahren

    Lsungen eines LGS von 2 Geradengl.

    Schnittpunkte zweier Geraden

    1 Schnitt-punkt

    kein Schnittpkt.

    unendl. viele Schnittpunkte

    sich schnei- dende

    Geraden

    paral- lele

    Geraden

    aufei- nander- liegende Geraden

    1 Lsung keine Lsung

    Unendlich viele

    Lsungen

    Struk- tur 1

    Struk- tur 2

    Struk- tur 3

    M4

    M4 M4

    M3 M3

    M3 M2

    M2 M2

    M2

    M1

    M7 M7

    F1 F1

    F2

    F6

    F7

    F2 F2

    F8

    F3 F3 F3 F4 F4 F4

    F5 F5 F5

    F5

  • www.math-edu.de [email protected] 22

    Netzwerk im Rahmen des erreichten Curriculums LGS

    22 LGS

    Text- aufgabe

    33 LGS

    LGS von 2 Geradengl.

    2 Geraden

    Lsungs- verfahren

    Einsetzungs- verfahren

    Additions- verfahren

    Gleichsetzungs- verfahren

    Graphisches Verfahren

    Lsungen eines LGS von 2 Geradengl.

    Schnittpunkte zweier Geraden

    1 Schnitt-punkt

    kein Schnittpkt.

    unendl. viele Schnittpunkte

    sich schnei- dende

    Geraden

    paral- lele

    Geraden

    aufei- nander- liegende Geraden

    1 Lsung keine Lsung

    Unendlich viele

    Lsungen

    Struk- tur 1

    Struk- tur 2

    Struk- tur 3

    M1

    F1 F1

    F6

    F7 F8

    F3 F3 F3 F4 F4 F4

    F5 F5 F5

    F5

  • Vernetzungen in curricularen Rahmungen 2x2 LGS in der SI

    Netzwerk zum intendierten und zum implementierten Curriculum

    LGS von 2 Geradengl.

    2 Geraden

    Lsungs- verfahren

    Einsetzungs- verfahren

    Additions- verfahren

    Gleichsetzungs- verfahren

    Graphisches Verfahren

    Lsungen eines LGS von 2 Geradengl.

    Schnittpunkte zweier Geraden

    1 Schnitt-punkt

    kein Schnittpkt.

    unendl. viele Schnittpunkte

    sich schnei- dende

    Geraden

    paral- lele

    Geraden

    aufeinander- liegende Geraden

    1 Lsung keine Lsung

    unendlich viele Lsungen

    F7 F2 F2 F2

    F1 F1 F1 F3 F3 F3

    F4 F4 F4 F4 F6

    M1

    M2

    M3

    M3 M3

    M4 M4 M4

    M5 M5

    M5

    F5

    LGS von 2 Geradengl.

    2 Geraden

    Lsungs- verfahren

    Einsetzungs- verfahren

    Additions- verfahren

    Gleichsetzungs- verfahren

    Graphisches Verfahren

    Lsungen eines LGS von 2 Geradengl.

    Schnittpunkte zweier Geraden

    1 Schnitt-punkt

    kein Schnittpkt.

    unendl. viele Schnittpunkte

    sich schnei- dende

    Geraden

    paral- lele

    Geraden

    aufeinander- liegende Geraden

    1 Lsung keine Lsung

    unendlich viele Lsungen

    F7

    F1 F1 F1 F3 F3 F3

    F4 F4 F4 F4 F6

    M1 F5

    Netzwerk zum erreichten Curriculum

    M1

    2 Geraden

    LGS von 2

    Geradengl.

    F5

    Lsungs-

    verfahren

    F6

    F4

    F4

    F4

    F2

    F4

    F2

    F2

    F7

    Additions-

    verfahren

    Einsetzungs-

    verfahren

    Graphisches

    Verfahren

    Gleichsetzungs-

    verfahren

    M2

    Schnittpunkte

    zweier Geraden

    Lsungen eines LGS

    von 2 Geradengl.

    F1

    F3

    F3

    F3

    F1

    F1

    unendlich

    viele Lsungen

    aufeinander-

    liegende

    Geraden

    1 Lsung

    keine

    Lsung

    unendl. viele

    Schnittpunkte

    sich schnei-

    dende

    Geraden

    paral-

    lele

    Geraden

    kein

    Schnittpkt.

    1 Schnitt-punkt

    M4

    M3

    M4

    M5

    M4

    M5

    M5

    M3

    M3

    M1

    2 Geraden

    LGS von 2

    Geradengl.

    F5

    Lsungs-

    verfahren

    F6

    F4

    F4

    F4

    F4

    F7

    Additions-

    verfahren

    Einsetzungs-

    verfahren

    Graphisches

    Verfahren

    Gleichsetzungs-

    verfahren

    Schnittpunkte

    zweier Geraden

    Lsungen eines LGS

    von 2 Geradengl.

    F3

    F3

    F3

    F1

    F1

    F1

    unendlich

    viele Lsungen

    aufeinander-

    liegende

    Geraden

    1 Lsung

    keine

    Lsung

    unendl. viele Schnittpunkte

    sich schnei-

    dende

    Geraden

    paral-

    lele

    Geraden

    kein

    Schnittpkt.

    1 Schnitt-punkt

  • www.math-edu.de [email protected] 24

    2. Defizite in Lehr- und Lernprozessen

    Zwischenergebnisse: 2000: I. d. R. recht vernetzungsarme Darstellung

    mathematischer Inhalte in Schulbchern; insbesondere wenig Querverbindungen z. B. zwischen Geometrie und Algebra, verschiedenen Darstellungen mathematischer Objekte Allerdings, lt. Untersuchung von 18 Mathematikschulbchern, die nach 2000 herausgegeben wurden (Sebastian Rezat 2008 in JMD): Im Vergleich zu lteren Schulbchern sind viele Elemente neu hinzugekommen, die Inhalte einzelner Lerneinheiten verknpfen. (kapitelbergreifende Aufgaben, Anwendungsbeispiele, Zusammenfassungen am Ende eines Kapitels, vermischte Aufgaben)

    Lehrer unterrichten i. d. R. nach Schulbuch oder verwenden Materialien, die ohne greren Aufwand im Unterricht eingesetzt werden knnen. (Brinkmann, 2008, n350, noch nicht verffentlicht)

  • www.math-edu.de [email protected] 25

    2. Defizite in Lehr- und Lernprozessen

    Zwischenergebnisse: Im Schulbuch/Unterricht vernetzungsreich dargestellte

    Inhalte werden von SuS nicht nachhaltig in dieser Weise gelernt; insbesondere fehlen Querverbindungen zw. verschiedenen Reprsentationen mathematischer Objekte.

    SuS zeigen erhebliche Defizite im Anwenden vernetzten Wissens / im Vernetzen im Zuge von Problemlseprozessen

    Folgerungen: vernderte Unterrichtsmethodik (mit entsprechendem Angebot an Lehrerfortbildungen) andere (erweiterte) Aufgabenkultur

  • 3. Graphische Darstellungen mathematischen Wissens

    Mind Maps und Concept Maps Spezielle Graphen zur Visualisierung der Begriffe (concepts) rund um ein Thema mit ihren Beziehungen unter-einander

    geeignete Mittel zur Reprsentation vernetzten mathematischen Wissens

    bislang im MU wenig eingesetzt

  • 3. Graphische Darstellungen mathematischen Wissens Mind Mapping (T. Buzan):

    kreative Denk- und Schreibtechnik Concept Mapping (Novak):

    Aufdeckung kognitiver Strukturen, Erkennen bereits vorhandenen Wissens eines Individuums

  • 1

    2

    3

    3.1 Mind Maps

  • 3.1 Mind Maps Grundregeln des Mind Mapping 1. Das Thema wird in die Mitte gesetzt. 2. Ausgehend von dem zentralen Bild/Wort wird fr jeden

    tiefergehenden Gedanken/Unterpunkt eine Linie (Ast) gezeichnet; die einzelnen Unterpunkte werden durch Schlsselwrter an den Linien festgehalten.

    3. Ausgehend von den eingezeichneten Linien knnen weitere Linien (Nebenste/Zweige) zur Untergliederung der Hauptgedanken abzweigen. Weitere Verstelungen knnen sich anschlieen. Die innere Ordnung gehorcht dabei folgendem Prinzip: Vom Abstrakten zum Konkreten, vom Allgemeinen zum Speziellen.

    4. Man verwendet durchgngig Farben. 5. Symbole wie z.B. Pfeile, geometrische Figuren, kleine

    Bilder, gemalte Ausrufungs- oder Fragezeichen und selbst definierte Sinnbilder sind so oft wie mglich zu nutzen.

  • 3.1 Mind Maps

  • 3.1 Mind Maps

  • 3.1 Mind Maps

  • 3.1 Mind Maps

  • 3.1 Mind Maps

  • Mathematik-Mind Maps Struktur einer Mind Map Struktur der Mathematik:

    Die Mathematik wird oft als ein gewaltiger Stammbaum dargestellt, dessen Wurzeln, Stamm, ste und Zweige die verschiedenen Unterarten reprsentieren; ein Baum, der mit der Zeit heranwchst. [Davis & Hersh, 1986] Mathematisches Denken luft in beiden Gehirnhlften ab: geometrisches Denken grtenteils im rechten Gehirn, analytisches Denken im linken Gehirn.

    Wir sind der Meinung, da es besser ist fr die Mathematik, wenn die beiden Gehirnhlften mit ihren Mglichkeiten zusammenwirken, sich ergnzen und gegenseitig steigern, anstatt sich zu bekmpfen und zu behindern. [Davis & Hersh, 1986]

    3.1 Mind Maps

  • 3.1 Mind Maps Einfhrung im Unterricht 1. Brain Storming: die Schler sammeln Begriffe, die sie mit

    einer vorgegebenen Thematik in Verbindung bringen; der Lehrer schreibt die Begriffe an die Tafel.

    2. Die Schler suchen Oberbegriffe, unter denen sich mehrere der gesammelten Begriffe zusammenfassen lassen. Die Oberbegriffe werden an die Tafel geschrieben und unter jedem Oberbegriff werden die entsprechenden Unterbegriffe aufgelistet.

    3. Mind Map: Das Thema wird in die Mitte gesetzt, die Oberbegriffe bilden die Schlsselwrter an den sten und die jeweils zugehrigen Unterbegriffe die Schlsselwrter an den entsprechenden Zweigen.

    4. Die Schler werden auf hilfreiche und knstlerische Ausgestaltungsmglichkeiten ihrer Mind Maps hingewiesen. Sie werden aufgefordert, ihre bereits angefertigten Mind Maps unter Bercksichtigung dieses Aspekts nochmals zu zeichnen.

  • 3.2 Concept Maps

    Visualisierung des Wissens von Individuen Die Entwicklung von Concept Maps basiert auf Ausubels Lerntheorie, die bereits bekannte Lerninhalte als wichtigsten Einflussfaktor fr das Lernen ansieht. Das, was ein Lernender bereits wei, gilt es zu ermitteln und danach sollte unterrichtet werden (Ausubel, Novak & Hanesian, 1980, S.5). Concept Maps: spezielle Graphen zur Visualisierung der Begriffe (concepts) rund um ein Thema mit ihren Beziehungen untereinander; in besonderer Weise geeignet zur Aufdeckung des deklarativen Wissens eines Individuums.

    (Malone & Deckers: Windows to the mind)

  • 3.2 Concept Maps Struktur einer Concept Map

    Hierarchisch strukturiert (Ausubels Annahme: gedcht-nismig reprsentiertes Wissen ist hierarchisch strukturiert). Das Thema wird ganz oben aufgeschrieben. Darunter werden auf verschiedenen Ebenen Begriffe angeordnet, die in Beziehung zu diesem Thema stehen. Allgemeinere, abstraktere Begriffe werden weiter oben angeordnet und spezielle, konkrete Begriffe weiter unten platziert. Begriffe einer nachrangigen Hierarchieebene werden jeweils direkt unter die jeweiligen Begriffe der vorrangigen Hierarchieebene gesetzt, zu denen sie in unmittelbarer Beziehung stehen. Unter die letzte Begriffszeile knnen zu den hier aufgefhrten einzelnen Begriffen jeweils Beispiele angegeben werden.

  • 3.2 Concept Maps

    Struktur einer Concept Map (Forts.) Begriffe verschiedener Ebenen, aber auch derselben Ebene werden mit Linien verbunden, sofern sie in Beziehung zueinander stehen. Auf den Verbindungslinien wird durch verbindende Wrter (linking words) jeweils die semantische Interpretation der Relation zwischen den Begriffen verdeutlicht. Ist diese Relation nicht symmetrisch, so sind die Begriffe entsprechend mit einer gerichteten Kante verbunden, die graphisch durch einen Pfeil statt einer Linie dargestellt wird. Der bersichtlichkeit halber werden die einzelnen Begriffe eingekreist oder umrahmt. Dies gilt nicht fr angefhrte Beispiele am unteren Ende der Concept Map.

  • z.B.: 3x-5y=1 x+y=3

    haben unterschiedliche

    haben als gemeinsame Punkte

    Gleichungssystem von zwei Geradengleichungen

    hat beschreibt

    algebraische Lsungsverfahren 2 Geraden

    Additions-verfahren

    Gleichsetzungs- verfahren

    Einsetzungs-verfahren

    Lsungen liefert

    Schnittpunkte Lagebeziehung entsprechen

    haben unterschiedliche

    haben unterschiedliche

    bestimmt Anzahl Anzahl ist gleich

    eine Lsung Keine Lsung L = {}

    Unendlich viele Lsungen

    1 Punkt kein Punkt

    Unendlich viele Punkte

    sich schnei- dende Geraden

    parallele Geraden

    aufeinanderlie- gende Geraden

    z.B.: x = 2 , y = 1

    z.B.: Rechnung fhrt zur Gleichung 0 = 1

    z.B.: Rechnung fhrt zur Gleichung 0 = 0

    lineares Gleichungssystem von 2 Gleichungen mit 2 Variablen

    hat unterschiedliche

    algebraische Struktur

    Weder 2. noch 3. trifft zu.

    Die beiden Gleichun-gen sind quivalent.

    Bis auf einen konstanten Summanden lsst sich die eine Glei-chung aus der anderen durch quivalenz-umformungen gewinnen.

    kann charakterisiert werden gem

    z.B.: 3x-5y=1 6x-10y=3

    z.B.: 3x-5y=1 6x-10y=2

    1. 2. 3.

    3.2 Concept Maps

  • Mathematik - Concept Maps Hierarchische Struktur: insbesondere diejenigen fachsystematischen Vernetzungen, die einen hierarchischen Aufbau der Mathematik widerspiegeln, knnen sichtbar werden. (Diese Vernetzungen sind in der Regel durch Verbindungen zwischen Konzepten verschiedener Hierarchieebenen dargestellt.) Mglichkeit Querverbindungen anzugeben gestattet u.a. auch die Darstellung von Modellvernetzungen, die in der Regel Vernetzungen von Konzepten derselben Hierarchieebene anzeigen. (Besonderer Vorteil von Concept Maps z.B. gegenber Mind Maps.)

    3.2 Concept Maps

  • 3.2 Concept Maps

    Einfhrung im Unterricht Die Schler suchen zunchst aus einem Text Schlsselbegriffe

    heraus. Diese werden an der Tafel oder mittels OHP aufgelistet. Im Klassengesprch wird ein Oberbegriff gefunden, der dann an

    die Spitze einer neuen Liste von Begriffen gesetzt wird. In dieser neuen Liste werden die Begriffe der ersten Liste in einer Reihenfolge von allgemeineren hin zu spezielleren angeordnet. Die in der Regel wenigen Differenzen ber die Rangordnung der Begriffe sind nicht hinderlich, sondern sogar ntzlich, zeigen sie doch den Schlern, dass es mehr als nur eine Interpretationsmglichkeit eines Textes gibt.

    Man beginnt mit der Konstruktion der Concept Map, indem man sich an der Begriffshierarchie der letzten Liste orientiert.

    Verbindende Wrter werden zunchst fr direkte Verbindungen zwischen Begriffen aufeinanderfolgender Hierarchiestufen gesucht. Bei der Wahl sollte der Lehrer helfen.

  • 3.3 Mind Maps und Concept Maps als Unterrichtsmittel

    Mind Maps / Concept Maps - Anwendung im MU:

    Informationen zu einem Thema ordnen und strukturieren Insbesondere schwache SS profitieren, man kann die

    Struktur sehen Komplexittsgrad der Map ist entscheidend

    Wissensstrukturen einzelner werden sichtbar L: Hilfe beim Planen von Unterricht S: mehr Bewusstsein ber die eigene Wissensorganisation S: Bewusstsein ber ihnen fehlende Vernetzungen (wenn

    Konzepte nicht eingebunden werden knnen) Mglichkeit der Korrektur durch L (Gesprche erforderlich)

  • 3.3 Mind Maps und Concept Maps als Unterrichtsmittel

    Mind Maps / Concept Maps - Anwendung im MU:

    zusammenfassende Wiederholung von Lerninhalten zu einem Thema Beobachtung: SS nutzen die Methode aus eigenem Antrieb Ergebnis einer Befragung: Fr eine zusammenfassende

    Strukturierung der Lerninhalte zu einem Thema wrden fast alle SS eine graphische Darstellung in Form einer Map whlen und diese einer Textform vorziehen.

    Gedchtnissttze, das gesamte Bild wird erinnert MM: Wissen mehrerer kann zusammengetragen werden Diskussionen zum Einordnen der Begriffe fruchtbar fr das

    Verstndnis

  • 3.3 Mind Maps und Concept Maps als Unterrichtsmittel

    Mind Maps / Concept Maps - Anwendung im MU:

    CM als Lckentext SS sind aufgefordert, sich intensiv und aktiv mit den Inhalten

    in ihrer Beziehungshaltigkeit auseinander zu setzen Gestaltung so, dass bloes Auswendiglernen nicht zum

    Erfolg fhren kann Z. B. CM zu 2x2-LGS (Ausschnitt):

    haben unterschiedliche bestimmt

    Lsungen Schnittpunkte Lagebeziehung entsprechen

    haben unterschiedliche

    Anzahl Anzahl ist gleich

    1 Punkt parallele Geraden

    keine Lsung

  • 3.3 Mind Maps und Concept Maps als Unterrichtsmittel

    Mind Maps / Concept Maps - Anwendung im MU:

    CM: Hilfe beim Problemlsen Studie: SS mit Map erfolgreicher Komplexittsgrad der Map wichtig: Fr schwchere SS

    sollten Concept Maps eher weniger Informationen zu Gunsten einer besseren bersichtlichkeit haben

    Lernenden sollte geholfen werden, eine von ihnen erstellte Map so zu ergnzen und zu verbessern, dass diese fr weitere Lernprozesse effizienter genutzt werden kann.

  • 3.3 Mind Maps und Concept Maps als Unterrichtsmittel

    Mind Maps oder Concept Maps? Keine eindeutigen Prferenzen fr das MMing einerseits oder das CMing andererseits Vorzge der einen oder anderen Technik werden offenbar unterschiedlich gewichtet. Die Lernenden orientieren sich u. a. an der subjektiv empfundenen Wirkung einer Map: Die einen empfinden eine MM als bersichtlicher, die anderen eine CM. Mehr als ein Drittel der SS wrden sich situationsbedingt mal fr MMing, mal fr CMing entscheiden.

  • 3.3 Mind Maps und Concept Maps als Unterrichtsmittel

    Fr eine zusammenfassende Strukturierung von Lerninhalten und auch als Hilfe in Probleml-sungsprozessen wird eine Mischform von MM und CM, die sich in typischer Weise charakterisieren lsst, bevorzugt.

    Eine Weiterentwicklung und Bereitstellung entsprechend angepasster Regeln zur vorteilhaf-teren Darstellung solcher Wissensnetze wre im MU sinnvoll.

  • 3.4 Abgewandelte Map-Formen

  • 3.4 Abgewandelte Map-Formen

    Beispielmaps: Anwendungen im MU zusammenfassende Wiederholung und Strukturierung von Lerninhalten falsche Verknpfungen eines Lernenden werden sichtbar und knnen korrigiert werden Hilfe beim Problemlsen Thema quadratische Gleichungen z. B. : 1) S(-2; 5), x1 = -4, f(x) = ? 2) a = 2, x1 = -1, x2 = 3, f(x) = ?, S = ?

  • 3.5 Diskussion, offene Fragen, Ausblick

    Besser angepasste graphische Darstellungen speziell fr den MU Regeln Einfhrung im Unterricht

    Liste von Relationen (verbindenden Wrtern) erstellen Ist es sinnvoll einen Fundus von Mastermaps bereitzustellen (fr L/S)? Maps, die mehrere Themen verbinden wie? Kann es eine Hilfe sein, Arbeitsschritte/Gedanken/ whrend eines Problemlsungsprozesses in Maps festzuhalten? Situationen, Beispiele

  • www.math-edu.de [email protected] 59

    4. GDM-AK Vernetzungen im MU

    AK zu Vernetzungen im MU

    1. Tagung: 23. 24. Okt. 2009 in Dortmund

    2. Tagung: 30. April 01. Mai 2010 in Linz Herausgabe einer Schriftenreihe

    Materialien fr einen vernetzenden MU

  • Seite fr Mathematik-Vernetzungen:

    www.math-edu.de

    Danke fr Ihre Aufmerksamkeit

    Astrid Brinkmann http://www.math-edu.de

    [email protected]

    http://www.math-edu.de/

    Vernetzungen imMathematikunterrichtGraphische Darstellungen mathematischen Wissens als UnterrichtsmittelGliederung1. Die Netzwerkstruktur mathematischen Wissens1. Die Netzwerkstruktur mathematischen Wissens1. Die Netzwerkstruktur mathematischen Wissens1. Die Netzwerkstruktur mathematischen Wissens1. Die Netzwerkstruktur mathematischen Wissens1. Die Netzwerkstruktur mathematischen Wissens1. Die Netzwerkstruktur mathematischen WissensFoliennummer 10Kategorien der Vernetzung1. Die Netzwerkstruktur mathematischen Wissens1. Die Netzwerkstruktur mathematischen Wissens1. Die Netzwerkstruktur mathematischen WissensFoliennummer 151. Die Netzwerkstruktur mathematischen Wissens2. Defizite in Lehr- und LernprozessenModell der Curriculumsrahmen:Ein Ansatz zur Spezifizierung von Vernetzungen in Lehr- und LernprozessenFoliennummer 19Foliennummer 20Foliennummer 21Foliennummer 22Vernetzungen in curricularen Rahmungen 2x2 LGS in der SI2. Defizite in Lehr- und Lernprozessen2. Defizite in Lehr- und Lernprozessen3. Graphische Darstellungen mathematischen Wissens3. Graphische Darstellungen mathematischen WissensFoliennummer 283.1 Mind Maps3.1 Mind Maps3.1 Mind Maps3.1 Mind Maps3.1 Mind Maps3.1 Mind Maps3.1 Mind Maps3.1 Mind Maps3.2 Concept MapsFoliennummer 383.2 Concept Maps3.2 Concept MapsFoliennummer 413.2 Concept Maps3.2 Concept Maps3.3 Mind Maps und Concept Maps als Unterrichtsmittel3.3 Mind Maps und Concept Maps als Unterrichtsmittel3.3 Mind Maps und Concept Maps als Unterrichtsmittel3.3 Mind Maps und Concept Maps als Unterrichtsmittel3.3 Mind Maps und Concept Maps als Unterrichtsmittel3.3 Mind Maps und Concept Maps als Unterrichtsmittel3.4 Abgewandelte Map-FormenFoliennummer 51Foliennummer 52Foliennummer 53Foliennummer 54Foliennummer 55Foliennummer 563.4 Abgewandelte Map-Formen3.5 Diskussion, offene Fragen, Ausblick4. GDM-AK Vernetzungen im MUSeite fr Mathematik-Vernetzungen:www.math-edu.deDanke fr Ihre Aufmerksamkeit