VERÖFFENTLICHUNGEN - bauing.uni-kl.de · Das temperaturabhängige Stoffverhalten von Festgestein ist exemplarisch für Granit- so- wie Sandsteinproben untersucht. Schwerpunkte der

VERÖFFENTLICHUNGEN

des Fachgebietes Bodenmechanik und Grundbau der Universität Kaiserslautern

Herausgeber: Prof. Dr.-Ing. H. Meißner

Heft 4

UNTERSUCHUNGEN ZUM TEMPERATURABHÄNGIGEN

MATERIALVERHALTEN KRISTALLINER UND SEDIMENTÄRER GESTEINE

von Egbert Adam

KAISERSLAUTERN 2001

Vom Fachbereich Architektur/ Raum- und Umweltplanung/ Bauingenieurwesen

der Universität Kaiserslautern

zur Verleihung des akademischen Grades

DOKTOR-INGENIEUR (Dr.-Ing.)

genehmigte

D I S S E R T A T I O N

D 386

Tag der Einreichung: 29. Januar 1997

Tag der mündlichen Prüfung: 01. Dezember 2000

Dekan: Prof. Dr. W. Spannowsky

Berichter: Prof. Dr.-Ing. H. Meißner Prof. Dr. C. Jahnel

Autor dieses Heftes ist: Dr.-Ing. Dipl.-Geol. Egbert Adam Wissenschaftlicher Angestellter am Fachgebiet Bodenmechanik und Grundbau der Universität Kaiserslautern

Veröffentlichungen des Fachgebietes Bodenmechanik und Grundbau der Universität Kaiserslautern Herausgegeben von Prof. Dr.-Ing. H. Meißner Nr. 1 Johannes Vogt ( 1992 ) Tragverhalten von Schlitzwandelementen Nr. 2 Frank Rogmann ( 1992 ) Untersuchungen zum Stoffverhalten von Kohle im Hinblick auf Hohlraumstandsicher-

heiten Nr. 3 Wolfgang Weckbecker (1993) Beitrag zur Berechnung oberflächennaher Tunnel

Vorwort des Herausgebers

Den Anstoß für das Dissertationsthema " Materialverhalten von Festgesteinen bei der

Einwirkung hoher Temperaturen und Drücke" gab das Großprojekt des Sonderfor-

schungsbereiches der DFG "Kontinentales Tiefbohrungprogramm der Bundesrepublik

Deutschland (KTB) ", 1981 bis 1995. An diesem Projekt war auch das Fachgebiet und als

Sachbearbeiter Herr Adam beteiligt. Eine der zahlreichen Aufgaben, die auch Gegenstand

der eigenen Untersuchungen war, befaßte sich mit der Standsicherheit der bis zu etwa 10

km tiefe Bohrung. Zur Ermittlung von Parameterwerten für ein Stoffmodell mußten unter

Berücksichtigung der geometrischen Tiefenstufe und Gebirgsspannungen von bis zu ca.

500MPa Versuche an Bohrkernen durchgeführt werden. Diese Versuche führte Herr

Adam in einem eigens den extremen Beanspruchungen angepaßten Triaxialgerät durch

und wertete die Ergebnisse aus.

Die in der Tiefenbohrung ermittelten und hohen Spannungen und gemessenen

Temperaturen von bis zu 300°C sind Randbedingungen, die auch im Gebirgshohlraumbau

auftreten können und dann als Einflußgrößen in Standsicherheitsuntersuchungen oder für

Gebrauchszustände zu berücksichtigen sind. Beispiele sind Endlager für Abfälle, Speicher

für heiße Flüssigkeiten oder auch der Katastrophenfall eines Tunnelbrandes. In Hinblick

auf diese Anfangs-Randwertprobleme führte Herr Adam seine Untersuchungen durch.

Das temperaturabhängige Stoffverhalten von Festgestein ist exemplarisch für Granit- so-

wie Sandsteinproben untersucht. Schwerpunkte der Arbeit sind eine detaillierte petogra-

phische Dokumentation der Versuchsmaterialien, die Versuchsdurchführung sowie die

Ermittlung von Parameterwerten für gewählte Stoffansätze. Letztere sind bewußt einfach

gewählt, da mit der vorliegenden Apparatur nicht alle Spannungspfade ausreichend unter-

sucht werden können, wie z.B. Extensionspfade für Granitproben. Das Zugverhalten der

Gesteinsproben ist erfaßt. Gleiches gilt ansatzweise für den Entfestigungsbereich.

Für beide Gesteine ermittelte Herr Adam ab Temperaturen von ca. 100°C sowohl eine

signifikante Erweichung als auch Entfestigung. Materialparameter der Stoffmodelle sind

in Tabellenform oder - soweit ausreichende Datenmenge vorliegen - auch bereits als

Funktionen in Abhängigkeit der Temperatur dargestellt.

Eine FE-Studie für ein Bohrloch mit hoher Temperatureinwirkung zeigt den Einfluß der

Temperatur auf die Gebirgsspannungen in Abhängigkeit der Einwirkungsdauer. Signifi-

kante Spannungsänderungen entstehen im Nahbereich um das Bohrloch herum. Ab einem

Abstand etwa gleich dem Bohrlochdurchmesser (d=20cm) wirkt sich die Temperatur in

dem betrachteten Beispiel nicht mehr aus.

Herr Adam hat mit seiner Dissertation dazu beigetragen, das Materialverhalten von Fest-

gesteinen bei Einwirken hoher Temperaturen und Spannungen besser zu verstehen und

deren Einflüsse in Rechenmodellen zutreffend zu erfassen. Mit der Arbeit sind die

Grundlagen für eine Verdichtung der Versuchsdaten sowie einer Weiterentwicklung der

Stoffmodelle geschaffen.

H. Meißner

Vorwort des Verfassers

Diese Arbeit entstand während meiner Tätigkeit als wissenschaftlicher Mitarbeiter am

Fachgebiet für Bodenmechanik und Grundbau der Universität Kaiserslautern.

Herrn Prof. Dr.-Ing. H. Meißner danke ich für die Anregungen zur vorliegenden Arbeit

und die Betreuung während der Bearbeitung. Herrn Prof. Dr. C. Jahnel gilt mein Dank für

die Zweitberichterstattung, Herrn Prof. Dr.-Ing. W. Ramm für die Übernahme des Prü-

fungsvorsitzes.

Allen Kolleginnen und Kollegen am Fachgebiet Bodenmechanik und Grundbau sei für

die vielfältige Unterstützung, die zum Gelingen der Arbeit beigetragen hat, ebenfalls

gedankt.

Kaiserslautern, im März 2001

E. Adam

Kurzfassung

Im Rahmen der vorliegenden Arbeit wird für einen mittelkörnigen Granit und einen

quarzgebundenen Sandstein (Queidersbacher Sandstein) das temperaturabhängige Mate-

rialverhalten untersucht.

Zur Quantifizierung des Einflusses hoher Temperaturen auf das Materialverhalten werden

die mechanischen Eigenschaften beider Gesteine in einem Temperaturspektrum von

Raumtemperatur bis zu 250°C und Seitendrücken bis 60 MPa untersucht. Dabei wird so-

wohl eine Erweichung als auch eine Festigkeitsabnahme bei steigender Temperatur fest-

gestellt. Es werden funktionale Zusammenhänge zur Beschreibung der Temperaturabhän-

gigkeit verschiedener Festigkeitsparameter hergeleitet.

Es wird gezeigt, daß die experimentell ermittelte transversale Isotropie des Festigkeitsver-

haltens von Sandstein in einer Anisotropie der Porenräume begründet ist. Es wird ein

Stoffgesetzansatz entwickelt, mit dem das temperaturabhängige Materialverhalten unter-

schiedlicher Festgesteine unter Berücksichtigung der Zugfestigkeit der Gesteine sowie

einer strukturellen Anisotropie zutreffend beschrieben werden kann. Die aufgestellte

Grenzbedingung erlaubt außerdem eine Berücksichtigung unterschiedlicher Materialfe-

stigkeiten für Kompressions- und Extensionspfade.

Zur numerischen Beschreibung des Randwertproblems 'Standsicherheit einer Produk-

tionsbohrung zur Untertagevergasung von Kohle' wird das entwickelte Stoffgesetz in das

FE-Programmpaket ADINA implementiert. Es werden mit den experimentell bestimmten

Materialparametern beispielhaft numerische Parameterstudien zur Standsicherheit einer

im Deckgebirge über Kohleflözen unverrohrten Produktionsbohrung bei der Untertage-

vergasung von Kohle durchgeführt. Unter den in der Produktionsbohrung während der

Vergasungsphase herrschenden thermischen und mechanischen Randbedingungen bauen

sich im anstehenden Gestein zeitweise hohe Temperaturgradienten auf. Diese haben in

einem 1 bis 2 cm breiten Bereich ausgehend von der Oberfläche der Bohrlochwand ther-

misch induzierte Spannungen zur Folge, welche zur Überschreitung der Materialfestigkeit

führen.

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung und Problemstellung .......................................................... 1

1.1 Einleitung .......................................................................................... 1

1.2 Problemstellung ................................................................................ 2

2 Begriffsdefinitionen aus der Elastizitäts- und Plastizitätslehre........ 4

2.1 Elastisches Stoffgesetz...................................................................... 4

2.1.1 Isotropes linear elastisches Materialverhalten .................................... 6

2.1.2 Transversal isotropes elastisches Materialverhalten........................... 7

2.1.3 Gültigkeitsbereich des elastischen Stoffgesetzes................................ 10

2.2 Fließ- und Grenzbedingungen........................................................... 12

3 Literaturstudie zum temperaturabhängigen Materialverhalten von Gestein............................................................................................. 14

3.1 Physikalische Eigenschaften von Granit und Sandstein ................... 14

3.1.1 Dichte .................................................................................................. 14

3.1.2 Spezifische Wärmekapazität und Wärmeleitfähigkeit........................ 14

3.1.3 Wärmedehnung ................................................................................... 18

3.1.4 Elastizitätsmodul und Querdehnzahl .................................................. 21

3.1.5 Scherparameter, Druck- und Zugfestigkeit......................................... 24

3.2 Rißbildung und -ausbreitung............................................................. 29

3.3 Anisotropie des Porenraumes von Sandstein.................................... 31

3.4 Grenzbedingungen zur Beschreibung der festigkeitsmechanischen Eigenschaften von Gesteinen.................... 33

3.4.1 Isotropes Festigkeitsverhalten von Gesteinen..................................... 33

3.4.2 Anisotropes Festigkeitsverhalten von Gesteinen................................ 37

3.4.2.1 Anisotrope Grenzbedingungen ............................................................... 37

3.4.2.2 Definition eines Ersatzwerkstoffes ......................................................... 38

3.4.2.3 Berücksichtigung der "wirksamen Spannungen".................................... 39

3.5 Zusammenfassung der Literaturauswertung ..................................... 43

A

Inhaltsverzeichnis

3.6 Folgerungen für die eigene Problematik........................................... 44

4 Temperaturabhängiges Stoffmodell für Granit und Sandstein ....... 46

4.1 Anforderungen an das Stoffmodell für Granit und Sandstein .......... 46

4.2 Herleitung einer geeigneten Grenzbeziehung................................... 48

4.3 Beschreibung der Festigkeits-Anisotropie von Sandstein ................ 50

5 Experimentelle Ermittlung der temperaturabhängigen Materialparameter ................................................................................ 54

5.1 Versuchsstand ................................................................................... 54

5.2 Prüfkörpervorbereitung und Probeneinbau....................................... 57

5.3 Versuchsdurchführung...................................................................... 58

5.4 Petrographie der untersuchten Gesteine............................................ 61

5.4.1 Granit .................................................................................................. 61

5.4.2 Sandstein ............................................................................................. 64

5.5 Bestimmung der temperaturabhängigen elastischen Materialparameter ............................................................................. 68

5.5.1 Granit .................................................................................................. 68

5.5.1.1 Statische Versuche zur Bestimmung der elastischen Materialparameter ................................................................................... 69

5.5.1.2 Dynamische Ermittlung der Elastizitätsparameter ................................. 70

5.5.1.3 Zusammenstellung von statisch und dynamisch ermittelten Elastizitätsparametern............................................................................. 71

5.5.2 Sandstein ............................................................................................. 74

5.6 Eingangsparameter für die Grenzfunktion........................................ 76

5.6.1 Granit .................................................................................................. 77

5.6.2 Sandstein ............................................................................................. 86

5.7 Untersuchungen zur Charakterisierung des Bruchmechanismus von Granit.......................................................................................... 103

B

Inhaltsverzeichnis

5.8 Interpretation der Ergebnisse ............................................................ 105

5.8.1 Granit .................................................................................................. 105

5.8.2 Sandstein ............................................................................................. 106

6 Numerische Untersuchungen mit dem entwickelten Stoffgesetz...... 108

6.1 Eingangsparameter für die numerischen Untersuchungen ............... 108

6.1.1 Granit .................................................................................................. 108

6.1.2 Sandstein ............................................................................................. 109

6.2 Finite-Elemente-Programm............................................................... 111

6.3 Kalibrierung des Stoffgesetzes für Granit und Sandstein................. 111

6.4 Numerische Parameterstudien zum Randwertproblem "Standsicherheit einer UTV-Produktionsbohrung" .......................... 116

6.4.1 Temperaturverteilung im Sandstein.................................................... 118

6.4.2 Thermisch induzierte Spannungen in der Wandung der Produktionsbohrung............................................................................ 122

7 Zusammenfassung................................................................................. 131

8 Literatur................................................................................................. 134

Anhänge.......................................................................................................... 141

C

Einleitung und Problemstellung

1 Einleitung und Problemstellung

1

1.1 Einleitung

Durch die Entwicklung in den vergangenen Jahren auf dem Gebiet der Erschließung neuer Energiequellen - Nutzung der Erdwärme, Untertagevergasung von Kohle (UTV) - hat die Frage nach der Standsicherheit von unverrohrten Bohrlöchern unter hohen Temperaturen und Drücken zunehmend an Bedeutung gewonnen. Auch bei den Vor-planungen für sehr tiefe Bohrungen im Zusammenhang mit der Erkundung und Er-schließung von Lagerstätten oder als wissenschaftliche Forschungsbohrungen muß der Einfluß der thermischen Randbedingungen bei der Standsicherheitsanalyse berück-sichtigt werden. Als bekannteste Beispiele solch tiefer Bohrungen seien die Tiefboh-rung auf der Halbinsel Kola, Endteufe: rd. 12.000 m sowie die Bohrung im Rahmen des Kontinentalen Tiefbohrprogrammes der Bundesrepublik Deutschland (KTB) mit einer Endtiefe von 9.101 m genannt.

Die festigkeitsmechanischen Eigenschaften von Gesteinen, welche maßgeblich die Standsicherheit eines Bohrloches beeinträchtigen, werden durch eine Vielzahl von lithologischen Parametern beeinflußt. Hierzu zählen u.a. die chemische und mineralo-gische Zusammensetzung, das Gesteinsgefüge, die Porosität und physikalische Para-meter wie Temperatur, externer Druck, interner Spannungs- und Deformationszustand, Be- und Entlastungsgeschwindigkeit, Fluidgehalt, Porendruck und Mikrorißdichte. Im Zusammenhang mit den o.g. Tiefbohrungen wurden zahlreiche Untersuchungen zum Gesteinsverhalten unter hohen Drücken und Temperaturen durchgeführt. Hier sei auf die Veröffentlichungen von ALTHAUS et al. (1989), BAUER et al. (1983), BYERLEE (1967), CERMAK (1967), HEUZE (1983), LEMPP et al. (1986) oder WONG et al. (1979) verwiesen. Das Ziel dieser Untersuchungen bestand zum einen in der Erweiterung des Kenntnisstandes zum Materialverhalten von kristallinem Gestein in großen Tiefen und zum anderen in der Entwicklung von Stoffgesetzen für numerische Berechnungen.

Der Zusammenhang zwischen thermisch induzierten Spannungen und der hiermit ver-bundenen Entfestigung von Gesteinen nahe der Mantelfläche von tiefen Bohrlöchern war Gegenstand eines Forschungsvorhabens an der Universität Kaiserslautern im Rahmen des DFG-Schwerpunktprogrammes "Kontinentales Tiefbohrprogramm der Bundesrepublik Deutschland KTB". Die Ergebnisse sind in Form eines Forschungsbe-richtes (ADAM & MEISSNER, 1993 a) sowie in veröffentlichten Tagungsbeiträgen (ADAM & MEISSNER, 1992 und 1993 b) dokumentiert. Die für isotrope und orthotrope Gesteine durchgeführten numerischen Parameterstudien zeigen, daß unter extremen


2

thermischen Wechselbeanspruchungen - kurzzeitige Aufheizung des Gesteins im Kontakt mit dem Schneidelement um 700 K mit anschließender Abkühlung durch die Bohrspülung - beträchtliche Spannungen erzeugt werden. Dabei wird bis in einen ge-wissen Abstand von der Bohrlochwand die Materialfestigkeit überschritten.

Für die Standsicherheit von unverrohrten Produktionsbohrungen bei der Untertagever-gasung von Kohle liegen bislang vergleichbare Untersuchungen für die Sedimentge-steine im Hangenden der Kohleflöze noch nicht vor.

1.2 Problemstellung

Im Rahmen der vorliegenden Arbeit, welche großteils im Zusammenhang mit dem DFG-Projekt "Materialverhalten von kristallinem und amorphem Gestein in Abhängigkeit hoher Drücke und Temperaturen" (AZ: Me 501/11-1) entstand, sollen die Veränderungen des mechanischen Materialverhaltens von Festgestein infolge erhöhter Temperaturen und Umgebungsdrücke beschrieben werden. Im Mittelpunkt der ersten Arbeitsphase des DFG-Projektes stand der Aufbau einer Triaxialzelle für deviatorische Kompressions- und Extensionsversuche an Festgesteinen. In einem zweiten Abschnitt sollte mit diesem Versuchsstand das Materialverhalten von zwei Gesteins-Grundtypen bei verschiedenen Temperaturen bis zu 250°C und Seitendrücken bis 60 MPa exemplarisch bestimmt werden.

Bei der Auswahl der Versuchsgesteine wurden verschiedene Kriterien herangezogen, welche sowohl geologisch-petrologische als auch versuchstechnische Gesichtspunkte berücksichtigen. Folgt man der in der Geologie üblichen Einteilung der Festgesteine, so lassen sich die Hauptgruppen der Magmatite, der Metamorphite und der Sedimentite unterscheiden. Die magmatischen Gesteine untergliedern sich weiter in Plutonite (Tiefengesteine, z.B. Granite und Gabbros) und Vulkanite (Ergußgesteine wie beispielsweise Basalt). Aufgrund ihrer Genese werden die Sedimentite unterteilt in die klastischen (Sandsteine, Tonsteine) und die chemischen Sedimentgesteine (Karbonate, Salze). Betrachtet man die Häufigkeitsverteilung der genannten Gesteinsgruppen in der Erdkruste, so stellen die kristallinen Gesteine - magmatische und metamorphe Gesteine - mit fast 95% den Hauptbestandteil. Anders sieht die Relation jedoch aus, wenn man die Verteilung der Gesteine an der Erdoberfläche zugrundelegt. Hier bedecken die Sedimentgesteine fast 75% der Fläche. Aus diesem Grund sollte in die eigenen Untersuchungen sowohl ein kristallines Gestein (Granit) als auch ein sedimentäres Festgestein (Sandstein) einbezogen werden.


3

Das besondere Augenmerk gilt in den vorgestellten eigenen Untersuchungen den fol-genden Materialeigenschaften und -veränderungen:

• Temperaturabhängigkeit der elastischen Materialparameter Elastizitätsmodul und Querdehnungszahl,

• Temperaturabhängigkeit der Scherparameter Kohäsion und Reibungswinkel,

• Einfluß des Belastungspfades (konventioneller oder deviatorischer Triaxialversuch) auf die Materialfestigkeit,

• Einfluß des Spannungspfades (Kompressions- oder Extensionsversuch) auf die Ma-terialfestigkeit,

• Einfluß der Belastungsgeschwindigkeit auf das Materialverhalten,

• Anteil plastischer (irreversibler) Verformungen an der Gesamtverformung der Prüf-körper,

• materielle Anisotropie des betrachteten Sandsteines (Untersuchung mit Hilfe einer Orientierungs-Analyse der Porenausdehnung),

• festigkeitsmechanische Anisotropie des untersuchten Sandsteines.

Ferner wird der Versuch unternommen, mit Hilfe eines geeigneten numerischen Mo-dells eine treffendere Prognose des temperaturabhängigen Materialversagens zu er-möglichen. Hierzu wird unter Berücksichtigung der experimentell verifizierten Ein-flußfaktoren ein Stoffgesetz zur Beschreibung des Materialverhaltens von Granit und Sandstein erarbeitet. Dieses Stoffgesetz berücksichtigt die thermisch und mechanisch bedingten Materialveränderungen sowie materielle Anisotropien der Gesteine.

Unter Verwendung des entwickelten Stoffgesetzes werden exemplarisch Versuchskur-ven nachgerechnet. Ferner wird das Randwertproblem der Standsicherheit einer För-derbohrung im Sedimentgestein bei der Untertagevergasung von Kohle betrachtet.

Begriffsdefinitionen aus der Elastizitäs- und Plastizitätslehre

2 Begriffsdefinitionen aus der Elastizitäs- und Plastizitätslehre

4

Im folgenden werden zunächst einige aus der Kontinuumsmechanik bekannte allgemeine Annahmen zur Beschreibung des elastischen Materialverhaltens zusam-mengefaßt, welche für die weiteren Betrachtungen benötigt werden.

2.1 Elastisches Stoffgesetz

Das Stoffgesetz beschreibt den Zusammenhang zwischen dem Cauchy’schen Span-nungstensor [T] und dem Green-Lagrange’schen Dehnungstensor [E]. Für ein weitge-hend isotropes Material sollte es unabhängig von einem bestimmten Koordinaten-system formulierbar sein. Der Spannungstensor [T] ist wie folgt, definiert:

[ ]T =

σ σ σσ σ σσ σ σ

11 12 13

21 22 23

31 32 33

(Gl. 2.1)

In Analogie wird der Green-Lagrange’sche Dehnungstensor [E] geschrieben:

[ ]E =

ε ε εε ε εε ε ε

11 12 13

21 22 23

31 32 33

(Gl. 2.1)

Zur Beschreibung des Materialverhaltens wird im allgemeinen die Invariantenschreib-weise verwendet.

Die erste Invariante ist definiert als die Spur eines Tensors, d.h. als die Summe der Elemente auf der Hauptdiagonalen.

[ ]I tr T tr Spσ σ σ σ= + + = =11 22 33 ; $ ur des Tensors

r E

(Gl. 2.2)

[ ]I tε ε ε ε= + + =11 22 33 (Gl. 2.3)

Mit Hilfe des Kugeltensors der Spannungen lassen sich Spannungszustände auf der hydrostatischen Achse (Raumdiagonale des ersten und siebten Oktanten) beschreiben. Die Komponenten des Kugeltensors lauten:

σ δ δσij ij ijI= =3 * ; Kroneckersymbol (Gl. 2.4)

Der allgemeine Spannungstensor [T] kann mit Hilfe des Kugeltensors in einen volumetrischen und einen deviatorischen Anteil aufgespalten werden. Aus den


5

Komponenten des Spannungstensors [T] können die Komponenten des deviatorischen Spannungstensors wie folgt bestimmt werden:

s Iij ij ij= −σ δσ 3 * (Gl. 2.5)

In Analogie gilt für die deviatorischen Anteile des Dehnungstensors:

e Iij ij ij= −ε δε 3 * (Gl. 2.6)

Alle Ebenen im dreidimensionalen Spannungs- bzw. Dehnungsraum, deren Flächen-normalen parallel zur hydrostatischen Achse orientiert sind, heißen Deviatorebenen. Ihr Abstand vom Koordinatenursprung beträgt:

r I= σ 3 bzw. r I= ε 3

Abb. 2.1: Geometrische Bedeutung der Spannungs-Invarianten im Hauptachsen-system (HAS) erläutert am Beispiel des Spannungspunktes A auf der Kompressionsachse

Die Lage von Punkten in einer Deviatorebene des HAS relativ zum Durchstoßpunkt der hydrostatischen Achse (σ1 = σ2 = σ3) kann durch die zweite und dritte Invariante ausgedrückt werden. Diese sind wie folgt definiert:

[ ]II tr s s s s ss ij ji= = +112

222

332+ (Gl. 2.7)


6

III tr s s s s s ss ij jk ki= = +113

223

333+

I

(Gl. 2.8)

Die zweite und dritte Invariante des Green-Lagrange’schen Dehnungstensors können analog zu (Gl. 2.7) bzw. (Gl. 2.8) durch Ersetzen von sij durch eij bestimmt werden. Nachfolgend werden die weiteren geometrischen Beziehungen exemplarisch für die Spannungszustände erläutert.

Der Abstand eines Spannungspunktes von der Raumdiagonalen und der Winkel in der Deviatorebene ergeben sich dann zu:

r I sσ = 1 2/ (Gl. 2.9)

und cos * /3 6 3 2ασ =III

IIs

s (Gl. 2.10)

Der Winkel ασ wird als LODE-Winkel bezeichnet. Eine Gerade vom Ursprung zum Spannungspunkt schließt mit der Raumdiagonalen den Winkel ψσ ein.

ψ σσ

=

arctan

*3 III

s (Gl. 2.11)

Zur Veranschaulichung der Invariantendefinition zeigt Abb. 2.1 die geometrischen Zusammenhänge für einen beliebigen Spannungszustand A im dreidimensionalen Spannungsraum.

2.1.1 Isotropes linear elastisches Materialverhalten

Zur Beschreibung des isotropen, linear elastischen Materialverhaltens gilt das elasti-sche Stoffgesetz. Darin sind der Schubmodul G und der Kompressionsmodul K oder der Elastizitätsmodul E und die Querdehnungszahl ν enthalten. Jeweils zwei dieser Elastizitätskonstanten genügen zur Definition des Stoffgesetzes. In der Geophysik werden üblicherweise der Kompressionsmodul und der Schubmodul verwendet. In der Felsmechanik bedient man sich hingegen bevorzugt der beiden Kenngrößen E und ν. Die jeweils anderen beiden Elastizitätskonstanten können als linear abhängige Größen ermittelt werden.

Zur Umrechnung der verschiedenen Elastizitätsparameter gelten folgende Beziehun-gen:

( )

K E=

−1 2ν (Gl. 2.12)


7

( )

G E=

+2 1 ν (Gl. 2.13)

( ) ( )E K GK G

K=+

= −3 1 2* * * ν (Gl. 2.14)

( )

ν =−+

=−K

K GK E

K2G

2 2 * (Gl. 2.15)

Sowohl der Cauchy'sche Spannungstensor [T] als auch der Green-Lagrange'sche Formänderungstensor [E] sind symmetrische Tensoren. Beide können somit auch als Vektoren geschrieben werden. Der Zusammenhang zwischen dem Spannungsvektor σ und dem Dehnungsvektor ε (Stoffgesetz) läßt sich wie folgt beschreiben:

[ ] σ ε= ∗D (Gl. 2.16)

Darin ist die Stoffmatrix [D] für ein linear elastisches Material definiert zu:

[ ] ( )( )D E

=+ −

−

−

−

−

−

−

1 1 2

1 0 0 0

1 0 0 0

1 0 0 0

0 0 0 1 22

0 0

0 0 0 0 1 22

0

0 0 0 0 0 1 22

ν ν

ν ν ν

ν ν ν

ν ν ν

ν

ν

ν

(Gl. 2.17)

ferner gilt: = σ T :

transponierter Spannungsvektor

σ σ σ σ σ σxx yy zz xy xz yz

= ε T :

transponierter Verformungsvektor

ε ε ε γ γ γxx yy zz xy xz yz

2.1.2 Transversal isotropes elastisches Materialverhalten

Das Verhalten eines Gesteins mit flächigem Gefüge (transversale Isotropie; z.B. Sand-stein) kann im elastischen Bereich durch fünf voneinander unabhängige Elastizitäts-konstanten beschrieben werden. In der Gefügeebene ist das Spannungs-


8

dehnungsverhalten isotrop. Die Elastizitätsmoduln E1 und E2 werden für die Richtungen parallel bzw. senkrecht zur isotropen Ebene, der Schubmodul G2 für Schubbeanspruchungen in der isotropen Ebene sowie zwei Poisson-Zahlen ν1 und ν2 verwendet.

Für das Stoffgesetz gilt allgemein:

[ ] ′ = ′ ∗ ′σ εD (Gl. 2.18)

mit: : Stoffmatrix für das lokale x',y',z'-Koordinatensystem; x',y'-Ebene entspricht der Isotropie-Ebene

[ ]D'

: Spannungsvektor ′σ T σ σ σ τ τ τx x y y z z x y x z y z' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '

: Verformungsvektor ′ε T ε ε ε γ γ γx x y y z z x y x z y z' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '

Die inverse Schreibweise des Stoffgesetzes lautet:

[ ] ε σ' *= −D' 1 ' (Gl. 2.19)

mit:

[ ]D'

E E E

E E E

E E E

E

G

G

− =

− −

− −

− −

+

1

1

1

1

2

21

1 1

2

22

2

2

2 21

1

2

2

1 0 0 0

1 0 0 0

1 0 0 0

0 0 0 2(1 0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1

υ υ

υ υ

υ υ

υ )

(Gl. 2.20)

Zur Übertragung des Spannungsvektors σ sowie des Dehnungsvektors ε aus dem globalen Koordinatensystem in ein lokales Koordinatensystem, welches sich an der Ausrichtung der transversalen Isotropie orientiert, wird eine Transformationsmatrix [Tr] verwendet. Die Elemente der Transformationsmatrix werden in Abhängigkeit der Winkelbeziehungen zwischen den beiden Koordinatensystemen geschrieben.


9

r

r

r

Die Orientierung einer beliebigen Achse des lokalen Koordinatensystems (x', y', z') - welche deckungsgleich mit einem Vektor a sei - im globalen x,y,z-System kann mit Hilfe von zwei Winkeln beschrieben werden. Es sind dies der Winkel β zwischen der x-Achse und der Projektion des Vektors in die x,y-Ebene sowie der Projektionswin-kel δ zwischen dem Vektor und der x,y-Ebene des globalen Koordinatensystems. Die Winkelbeziehungen veranschaulicht Abb. 2.2.

aa

ra

Abb. 2.2: Winkelbeziehungen zur Beschreibung der Orientierung eines Vektors im globalen Koordinatensystem

ra

Eine mögliche Schreibweise der Transformationsmatrix [Tr] gibt GOODMANN (1989) wie folgt an:

[ ]Tr

l m n l m m n n ll m n l m m n n ll m n l m m n n ll l m m n n n l n l l m l m m n m nl l m m n n n l n

x x x x x x x x x

y y y y y y y y y

z z z z z z z z z

z x z x z x x z z x x z z x x z z x

x y x y x y x y

=+ + +

+

' ' ' ' ' ' ' ' '

' ' ' ' ' ' ' ' '

' ' ' ' ' ' ' ' '

' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '

' ' ' ' ' ' ' '

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 22 2 2 y x x y y x x y y x

y z y z y z y z z y y z z y y z z y

l l m l m m n m nl l m m n n n l n l l m l m m n m n

' ' ' ' ' ' ' ' ' '

' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '

+ +

+ + +

2 2 2

(Gl. 2.21)

Dabei gilt:


10

* ε

Tr

( )l

mn

i x y zi i i

i i i

i i

===

=cos coscos sinsin

' , ' , 'δ βδ βδ

(Gl. 2.22)

Mit Hilfe der Transformationsmatrix lassen sich die Spannungen und Dehnungen aus dem globalen in das lokale Koordinatensystem übertragen. Es gilt:

[ ] [ ]

ε ε

σ σ

' *' *

=

=

TrTr

(Gl. 2.23)

Einsetzen der Gleichungen (Gl. 2.23) in (Gl. 2.18) liefert folgende Gleichung:

[ ] [ ] [ ] [ ] Tr D' D' Tr* ' * ' *σ σ ε= = = (Gl. 2.24)

Da [Tr] -1 = [Tr] T gilt, läßt sich für ein transversal isotropes Materialverhalten der Zu-sammenhang zwischen Spannungs- und Dehnungsvektor im globalen Koordinaten-system wie folgt schreiben:

[ ] [ ] [ ] σ ε= Tr D' TrT * * * (Gl. 2.25)

Somit ergibt sich nach (Gl. 2.25) die transversal isotrope Stoffmatrix im globalen Ko-ordinatensystem zu:

[ ] [ ] [ ] [ ]D Tr D'T= * * (Gl. 2.26)

2.1.3 Gültigkeitsbereich des elastischen Stoffgesetzes

Der Gültigkeitsbereich der linear elastischen Spannungs-Dehnungs-Beziehungen ist bei Festgesteinen begrenzt. In Abhängigkeit von der Spannungssumme Iσ treten ober-halb einer bestimmten deviatorischen Beanspruchung des Gesteins neben den umkehr-baren, elastischen Verformungen auch irreversible Formänderungen des Materials auf. Zur Veranschaulichung soll die eindimensionale Arbeitslinie eines Triaxialversuches (Abb. 2.3) herangezogen werden.

Die Spannungs-Dehnungs-Linie der Abb. 2.3 kann in mehrere Abschnitte untergliedert werden.

• Nach Abklingen von Anliegesetzungen bei Erstbelastung (Kurvenabschnitt vom Ursprung bis zum Punkt A) steigt die Arbeitslinie quasi linear bis zum Erreichen


11

von Punkt B an. Die Steigung der Arbeitslinie im linearen Bereich entspricht im einaxialen Fall dem Elastizitätsmodul des Materials.

• Bei weiterer Spannungserhöhung treten bleibende Verformungen auf. Der Span-nungszustand beim Einsetzen irreversibler Verformungen wird als Fließpunkt (Punkt B in Abb. 2.3) bezeichnet.

Ent-/Wiederbelastung

Arbeitslinie

σ

ε

A

Fließpunkt B

Entfestigungsast

Peakzustand C(Druckfestigkeit)

Residualzustand D(Restfestigkeit)

Abb. 2.3: Eindimensionale Arbeitslinie zur Veranschaulichung des Spannungs-Deh-nungsverhaltens von Festgestein (Schema)

• Nach Überschreiten eines kritischen Zustandes (Punkt C = Peakzustand; Abb. 2.3) fällt bei Festgestein mit zunehmender Dehnung die Spannung bis zum Erreichen eines Restfestigkeitsniveaus (Punkt D in Abb. 2.3) ab. Annähernd die gesamte pla-stische Verzerrungsarbeit wird in thermische Energie umgewandelt. Dennoch wer-den in der Elastizitätstheorie in der Regel alle Formänderungen als isotherme Pro-zesse angesehen.

• Ent-/Wiederbelastungszyklen unterliegen dem elastischen Stoffgesetz. Nach dem erneuten Erreichen des Spannungsniveaus zu Beginn der Entlastung folgt die Span-nungs-Dehnungsbeziehung der ursprünglichen Arbeitslinie.


12

2.2 Fließ- und Grenzbedingungen

In Abhängigkeit von der Spannungssumme Iσ und dem Lodewinkel ασ des Bela-stungspfades im Hauptspannungsraum setzen die irreversiblen Verformungen ab unterschiedlichen deviatorischen Spannungen IIs

1/2 ein, d.h. die Fließpunkte besitzen verschiedene Abstände von der Raumdiagonalen wie z.B. durch die Mohr-Coulomb'sche Grenzfunktion beschrieben. Alle Fließpunkte bilden eine gekrümmte Fläche um die hydrostatische Achse. Die Fließbedingung kann im Falle eines isotropen Materialverhaltens wie folgt geschrieben werden:

( ) 0,, == ϑεσ pijijFF (Gl. 2.27)

Die Funktion (Gl. 2.27) beschreibt dreidimensionale Spannungszustände beim Beginn irreversibler Verformungen. Sie kann von einer Reihe von Parametern abhängen. Die wesentlichen Einflußfaktoren sind der Spannungszustand [T], der Dehnungszustand [Ep] und die Temperatur ϑ. Nur wenn die Fließbedingung erfüllt ist, können plastische Dehnungen auftreten.

Die Gesamtverformungsinkremente ∆ε setzen sich aus elastischen Inkrementen ∆εel und plastischen Dehnungsinkrementen ∆εpl zusammen. Somit ist

∆ε = ∆εel + ∆εpl .

Insbesondere mit dem plastischen Materialverhalten von isotropen, kohäsionslosen Lockergesteinen setzen sich zahlreiche Arbeiten auseinander (GOLDSCHEIDER, 1976; MEIßNER, 1983; BETTEN, 1986). Danach werden aus energetischen Überlegungen her-aus besondere Anforderungen an die Form von Fließflächen gestellt.

Die Fließfläche muß konvex sein. Die Oberfläche eines Körpers wird als konvex be-zeichnet, wenn die Verbindungsgerade zwischen zwei beliebigen Punkten des Körpers einschließlich seiner Oberfläche vollständig innerhalb des Körpers liegt. Die Konvexi-tät der gesamten Fließfläche kann i.d.R. überprüft werden, indem die Konvexität so-wohl in einer beliebigen Deviatorebene als auch in der zur Oktaederebene im dreidi-mensionalen Spannungsraum senkrechten Ebene durch die hydrostatische Achse nach-gewiesen wird.

Kommt es - wie im Falle der Arbeitslinie der Abb. 2.3 - nach Erreichen der Fließbe-dingung mit zunehmender Dehnung zu einem weiteren Anstieg der Spannung, so führt dies zu einer kontinuierlichen Aufweitung der Fließfläche in Abhängigkeit der plasti-schen Dehnungen (strain-hardening). Häufig spricht man in diesem Fall von einer


13

Verfestigungsfläche. Die Aufweitung der Verfestigungsfläche wird durch Erreichen der Peakzustände im dreidimensionalen Spannungsraum begrenzt. Die Fläche, auf der alle Peakzustände im dreidimensionalen Spannungsraum liegen, wird auch als Grenz-fläche bezeichnet. Die Grenzfläche umschließt alle Spannungszustände, die sich in einem Material einstellen können.

Nach Überschreiten der Materialfestigkeit tritt im Entfestigungsbereich eine Veren-gung der Grenzfläche bis zum Erreichen des Residualzustandes auf. Dieser Prozeß wird auch als "softening" bezeichnet. In Analogie zur Definition einer Fließfunktion (Gl. 2.27) läßt sich auch eine Grenzfunktion zur Beschreibung aller Spannungszu-stände auf der Grenzfläche formulieren.

( ) .,, constFF pijijGG == ϑεσ (Gl. 2.28)

Eine Zusammenstellung von Grenzfunktionen zur Beschreibung der Materialfestigkeit von Gesteinen findet sich in Kapitel 3.4. Auf diesen Grenzfunktionen aufbauend wird in Kapitel 4 eine Anpassung an die Ergebnisse der eigenen festigkeitsmechanischen Untersuchungen an Granit und Sandstein vorgenommen.

Literaturstudie zum temperaturabhängigen Materialverhalten von Gestein

3 Literaturstudie zum temperaturabhängigen Materialverhalten von Gestein

14

Im folgenden werden die für die vorliegende Arbeit relevanten Ergebnisse der Litera-turrecherche zum temperaturabhängigen Materialverhalten von Gestein zusammenge-faßt. Dabei werden zunächst die physikalischen Eigenschaften von Granit und Sand-stein betrachtet, gefolgt von einer Studie zur Rißbildung und -ausbreitung. Ein weiterer Abschnitt beschäftigt sich mit der Anisotropie des Porenraumes von Sandstein. Anschließend werden Ansätze zur mathematischen Beschreibung der Festigkeitseigenschaften von isotropen sowie anisotropen Gesteinen vorgestellt.

3.1 Physikalische Eigenschaften von Granit und Sandstein

3.1.1 Dichte

Die Dichte von Gesteinen ergibt sich aus den gewichteten Dichten der gesteinsbilden-den Minerale und der Porosität. Da die Hauptminerale (Quarz, Feldspat) der im Rah-men der vorliegenden Arbeit untersuchten Materialien sich nur gering hinsichtlich ih-rer Dichte unterscheiden, stellt insbesondere der Porengehalt (ρLuft → 0) das Haupt-regulativ für die Gesteinsdichte dar.

Setzt man voraus, daß sich die Masse eines Gesteinskörpers bei thermischer Beanspru-chung (Erwärmung oder Abkühlung) nicht ändert, so ist die Abhängigkeit der Dichte von der Temperatur gleichbedeutend der temperaturabhängigen Volumenänderung. Diese wird durch die Wärmedehnung αv beschrieben (s. Kapitel 3.1.3).

Die Streubreite der Literaturangaben zur Dichte von Granit und Sandstein bei Raum-temperatur zeigt die nachfolgende Tabelle.

Tabelle 3.1: Streubreite der Dichte von Granit und Sandstein bei Raumtemperatur

Granit Sandstein

ρ [t/m³] 2,57 ... 2,8 1,9 ... 2,7

3.1.2 Spezifische Wärmekapazität und Wärmeleitfähigkeit

Da im Rahmen der vorgestellten Untersuchungen insbesondere die Temperaturabhän-gigkeit der Gesteinsparameter betrachtet wird, ist zunächst das thermische Verhalten der betreffenden Gesteine von Interesse. In numerischen Parameterstudien sollen ne-ben der mechanischen Beanspruchung des Gesteins auch thermisch induzierte Span-


nungen berücksichtigt werden. Dazu wird die aus einer thermischen Beanspruchung resultierende Temperaturverteilung in der Bohrlochwand bestimmt. Die Fourier'sche Wärmeleitgleichung (Gl. 3.1) bildet die allgemeine Grundgleichung für die Wärmelei-tung ohne Berücksichtigung einer inneren Wärmequelle.

∂∂ ρ

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

Tt c x

k Tx y

k Ty x

k Tzp

x y z=

+

+

1*

(Gl. 3.1)

In diese Funktion gehen neben der Dichte ρ des Gesteins die spezifische Wärmeka-pazität cp sowie die richtungsabhängige konduktive Wärmeleitfähigkeit k ein. Die bei-den thermischen Materialparameter (cp, k) werden für die eigenen Untersuchungen an-hand von Literaturdaten abgeschätzt.

Die spezifische Wärme bei konstantem Druck ist eine massenbezogene Kenngröße. Die Temperaturabhängigkeit kann für beliebige Festgesteine nach ENGLAND (1978) durch folgenden funktionalen Zusammenhang hinreichend genau beschrieben werden:

( ) [c Tp = + −−0 754 1 6 14 10 1 928 104 4 2, * , * * , * / / / ]T J g K (Gl. 3.2)

( Einsetzen der Temperatur in Kelvin ! )

Die in EUCKEN et al. (1982) dokumentierten experimentell bestimmten Werte für cp bestätigen den empirisch gefundenen Zusammenhang nach ENGLAND (1978). Zweifel an der Allgemeingültigkeit der Formel für alle Festgesteine bleiben. Unklar ist ferner, ob die nach (Gl. 3.2) ermittelte spezifische Wärme für trockene, teilgesättigte oder ge-sättigte Gesteinsproben gelten soll. Es wird im weiteren davon ausgegangen, daß sich die Mehrzahl der in die Dokumentation eingeflossenen Versuchsergebnisse auf troc??kene Gesteinsproben bezieht.

In numerischen Berechnungen mit einem FE-Programm wird die Wärmekapazität in massefreien Modellen als spezifische Wärme bei konstantem Volumen benötigt. Die volumenbezogene spezifische Wärme cv erhält man durch Multiplikation der massen-bezogenen Größe cp mit der Gesteinsdichte ρ. Es gilt:

c cv p= *ρ (Gl. 3.3)

In Abb. 3.1 ist der temperaturabhängige Verlauf der Wärmekapazität cv/cv,20°C im Temperaturbereich von 20°C bis 300°C dargestellt. Die Kurven für Sandstein und Granit sind deckungsgleich. Bedingt durch den Dichteunterschied ergeben sich für

15

Literaturstudie zum temperaturabhängigen Materialverhalten von Gestein teraturstudie zum temperaturabhängigen Materialverhalten von Gestein

Granit (ρ ≈ 2,63 g/cm³) und Sandstein (ρ ≈ 2,05 g/cm³) allerdings unterschiedliche Referenzgrößen für T = 20°C. Diese sind für die beiden Gesteine in Abb. 3.1 angege-ben.

Granit (ρ ≈ 2,63 g/cm³) und Sandstein (ρ ≈ 2,05 g/cm³) allerdings unterschiedliche Referenzgrößen für T = 20°C. Diese sind für die beiden Gesteine in Abb. 3.1 angege-ben.

0,50

0,75

1,00

1,25

1,50

0 100 200 300

cv / cv,20°C

T [°C]

Sandstein: cv (20°C) = 1,48 * 106 [W * s / m³ / K] (ρ = 2,05 t/m³)

Granit: cv (20°C) = 1,89 * 106 [W * s / m³ / K] (ρ = 2,63 t/m³)

Sandstein und Granit

Abb. 3.1: Temperaturabhängiger Verlauf der Wärmekapazität cv im Temperaturbe-reich von 20°C bis 300°C, berechnet mit (Gl. 3.3) aus cp nach ENGLAND, 1978 (Gl. 3.2).

Eine weitere Eingangsgröße in (Gl. 3.1) ist die konduktive Wärmeleitzahl k. Sie wird in (Gl. 3.1) als richtungsabhängige Größe berücksichtigt. Für isotrope, homogene Ge-steine wie beispielsweise Granit gilt:

k k kx y z= = = k

Eine Zusammenstellung experimentell ermittelter Werte zur temperaturabhängigen Wärmeleitfähigkeit von Graniten findet sich in EUCKEN et al. (1982). Abb. 3.2 veran-schaulicht in normierter Form die Veränderung der Wärmeleitfähigkeit mit steigender Temperatur.

Neben den Einzelergebnissen verschiedener Versuchsserien enthält die Darstellung auch den Verlauf einer Näherungsformel zur Beschreibung der temperaturabhängigen Wärmeleitfähigkeit nach HAENEL (1973). Die Formel lautet:

16 16


17

T−9 3 k k T T= − + −− −0

2 5 20 49 10 0 61 10 2,58 10, * * , * * * * (Gl. 3.4)

( Einsetzen der Temperatur in °C ! T ≥ 0°C )

Die Kurve k(T) entsprechend Gl. 3.4 stimmt zwischen verschiedenen, in der Fachlite-ratur (EUCKEN, 1982) dokumentierten Versuchsserien und den aus der empirischen Formel nach HAENEL (1973) gewonnenen Werten vergleichsweise gut überein. Be-trachtet man allerdings die Absolutwerte bei einer Referenztemperatur von 0°C, so stellt man eine deutliche Streuung der Versuchsergebnisse fest. So schwanken die zi-tierten Versuchsergebnisse zwischen k0 = 1,28 W/m/K und k0 = 4,44 W/m/K. Der Mittelwert beträgt k0 = 3,05 W/m/K. Die Streuung der Ergebnisse geht teilweise auch auf die Variation anderer Einflußfaktoren wie Dichte des Gesteins, Porosität oder Wassergehalt zurück.

0,00

0,25

0,50

0,75

1,00

0 100 200 300

Granit 1

Granit 2

Granit 3

Granit 4

k / k0°C

T [°C]

Formel nach HAENEL (1973)

Versuchsdaten nachEUCKEN (1982)

Abb. 3.2: Temperaturabhängiger Verlauf der Wärmeleitfähigkeit k im Temperatur-bereich von 0°C bis 300°C; berechnet nach HAENEL (Gl. 3.4).

Bei CERMAK & RYBACH (in: EUCKEN, 1982) sind die Ergebnisse von über 1200 Ver-suchen zur Wärmeleitfähigkeitsbestimmung an Sandsteinen zusammengefaßt. Die zi-tierten Versuchsergebnisse streuen stark. Bei einem Mittelwert von k0 = 2,47 W/m/K (ϑ = 0°C) liegen die Einzelwerte innerhalb eines Wertebereiches von k0 = 0,2 W/m/K bis k0 = 7,4 W/m/K. Es bleibt jedoch bei einem Vergleich der Streubreiten in der Wärmeleitfähigkeit von Granit und Sandstein zu berücksichtigen, daß Sandsteine ein deutlich größeres Dichtespektrum abdecken (vgl. Kapitel 3.1.1). Die Dichte


- verbunden mit der Porosität der Gesteine - hat nämlich einen signifikanten Einfluß auf die Wärmeleitfähigkeit. CERMAK & RYBACH gehen von einem annähernd linearen Zusammenhang zwischen Dichte ρ (in t/m³) und Wärmeleitfähigkeit k0 (in W/m/K) aus. Ihre Geradengleichung für Sandstein lautet:

[W/m/K] für 2,0 t/m³ ≤ ρ ≤ 3,0 t/m³ k0 01 125= +, , *ρ (Gl. 3.5)

k0: Wärmeleitfähigkeit bei einer Referenztemperatur von 0°C

Diese Formel beschreibt eine richtungslose Wärmeleitfähigkeit. Im Gegensatz zu den magmatischen Gesteinen zeigt die Wärmeleitfähigkeit von Sedimentgesteinen aller-dings die oben erwähnte Richtungsabhängigkeit. Für diese Anisotropie ist die Schich-tung verantwortlich. Nach CERMAK & RYBACH (in: EUCKEN, 1982) wird die Aniso-tropie von Sedimentgesteinen durch eine transversale Isotropie hinreichend genau be-schrieben. Somit genügt bei geschichteten Gesteinen i.d.R. die Angabe der Wärmeleit-fähigkeit in zwei Hauptrichtungen: parallel und orthogonal zur Schichtung. Es gilt:

18

k z (z-Achse orthogonal zur Schichtung) k kx y≈ ≠

Das Verhältnis zwischen der Wärmeleitfähigkeit kp parallel und ks orthogonal zur Schichtung variiert in den Literaturquellen für Sandstein zwischen

kk

p

s= 106, und

kks

= 112,p .

Auch Porosität und Wassergehalt können die Wärmeleitfähigkeit von Gesteinen nen-nenswert beeinflussen. In der Regel nimmt mit zunehmendem Wassergehalt zunächst die Wärmeleitfähigkeit zu und erreicht ein Maximum im Porositätsbereich von 20 % bis 30 %. Diese Leitfähigkeitszunahme rührt vom Ersatz der Porenluft durch das bes-ser leitende Wasser her. Bei noch höherer Porosität der Gesteine (> 30%) dominiert zunehmend die Wärmeleitfähigkeit des Wassers die Gesamtwärmeleitfähigkeit, was zu einer Abnahme letzterer führt.

3.1.3 Wärmedehnung

Die Wärmedehnung beschreibt die Form- bzw. Volumenänderung eines Materials als Folge eines Temperaturwechsels. In der Literatur finden sich verschiedene Darstel-lungsformen der volumetrischen Wärmedehnung. Am häufigsten verwendet sind fol-gende Schreibweisen:


αvT

VV VT T

=−

−

1

0

0

0 (Sekantenwert)

(Gl. 3.6)

mit V0 : Volumen des Prüfkörpers bei Referenztemperatur T0

oder α∂∂v

PVVT

=

1 (Tangentenwert) (Gl. 3.7)

Die volumetrische Ausdehnung εϑ eines Prüfkörpers als Folge der Wärmedehnung be-rechet sich mit (Gl. 3.6) zu:

ε αϑ = v T* ∆ (Gl. 3.8)

Die Formulierung der (Gl. 3.7) wird teilweise auch als "echte" Wärmedehnung be-zeichnet. Zur Veranschaulichung des Unterschiedes zwischen den beiden Darstel-lungsarten zeigt Abb. 3.3 exemplarisch die volumetrische Dehnung eines Granites. Die Steigung einer Sekante, welche vom Dehnungszustand bei einer frei wählbaren Refe-renztemperatur T0 zu einer Dehnung bei einer beliebigen Temperatur T überleitet, ent-spricht der volumetrischen Wärmedehnung αv gemäß (Gl. 3.6). Die Steigung einer Tangente an die Temperatur-Dehnungskurve bei beliebigen Temperaturen beschreibt (Gl. 3.7).

Temperaturdehnung nach HEUZE (1983)

0,0E+00

5,0E-03

1,0E-02

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

Temperatur [°C]

εϑ [ - ]

Referenzpunktfür Sekanten

Sekante; 300°C bis 900°C

´Heuze´

Bezugszustand: Tref = 300°C

Abb. 3.3: Temperaturdehnung eines kristallinen Gesteins, berechnet mit temperatur-abhängigen Wärmeausdehnungskoeffizienten (nach HEUZE; 1983).

19


Der in Abb. 3.3 deutlich zu erkennende Knick in der Dehnung-Temperatur-Linie ist mit einer Phasenumwandlung des Hauptminerales Quarz (~ 573°C bei Atmosphären-druck) zu begründen. Bei dieser Phasenumwandlung findet eine Veränderung der inneren Kristallstruktur des Quarzes statt. Die äußere Mineralform bleibt jedoch erhalten. Die Tieftemperaturmodifikation (α-Quarz) besitzt eine trigonal trapezoedrische Struktur (Kristallklasse 32) während die Hochtemperaturmodifikation (β-Quarz) ein hexagonal trapezoedrisches Kristallgitter aufweist (Kristallklasse 622). Die Phasenumwandlung findet ohne Verzögerung als reversibler Prozeß beim Über- bzw. Unterschreiten der kritischen Temperatur statt. Diese nimmt mit steigendem Druck zu (0,215°C pro 1 MPa). Bei einem hydrostatischen Druck von 2 GPa beispielsweise liegt die kritische Temperatur somit bei rund 1100°C.

Häufig werden in der Fachliteratur anstelle eines volumetrischen Wärmedehnungs-koeffizienten lineare Wärmedehnungen αl angegeben. Für isotrope, homogene Mate-rialien gilt:

α αlT

vLL LT T

=−

−

≈

1 30

0

0/

(Gl. 3.9)

L0 : Ausgangslänge einer Meßstrecke

Die Ermittlung der Wärmedehnung von Gesteinen ist mit einer besonderen Problema-tik verbunden. Da es sich bei den meisten Gesteinen um Mineralaggregate von Kristal-len mit zum Teil deutlich verschiedenem Wärmedehnungsverhalten handelt, unter-scheiden sich die im Labor ermittelten Kennwerte mitunter beträchtlich von denjenigen in situ. So beeinflussen die Mineralkörner mit der größten Wärmeausdehnung das gesamte Ausdehnungsverhalten einer Gesteinsprobe. Als Folge der unterschiedlichen Temperaturdehnung treten in Abhängigkeit von der Aufheizgeschwindigkeit und der Anzahl von Aufheiz- und Abkühlvorgängen häufig im Innern der Gesteine Risse und "Poren" auf (SKINNER, 1966). Die gemessenen thermischen Dehnungen spiegeln somit oft mehr die Zunahme der Porosität als die echte Wärmedehnung wider.

Mit der Problematik der Rißbildung bei der thermischen Ausdehnung befaßten sich u.a. auch RICHTER & SIMMONS (1974) sowie BAUER & HANDIN (1983). Von BAUER

& HANDIN wird auch ein umfassender Überblick über weitere Arbeiten auf diesem Sektor gegeben. RICHTER & SIMMONS erhielten bei Erwärmungsraten T=5°C/min Mikrorisse, während bei geringeren Aufheizgeschwindigkeiten (T=1°C/min) die Riß-bildung ausblieb. Der Einfluß des Druckes und der Temperatur auf die Rißbildung

20


wurde eingehend von BAUER & HANDIN (1983) sowie IRANI & KHAN (1987) und WONG (1981) untersucht.

Die in der Literatur zitierten Anhaltswerte für die volumetrische Wärmedehnung αv für Granit und Sandstein zeigt die folgende Tabelle.

Tabelle 3.2: Streubreite der volumetrischen Wärmedehnung αv für Granit und Sand-stein

Granit Sandstein

αv [1/K] 5*10-6 ... 11*10-6 8*10-6 ... 12*10-6

3.1.4 Elastizitätsmodul und Querdehnzahl

Die mechanischen Eigenschaften von Gesteinen werden durch mehrere Parameter be-einflußt und hängen auch von der Vorgeschichte und den Versuchsrandbedingungen ab. Die Parameter wie z.B. chemische und mineralogische Zusammensetzung, Porosi-tät, Porengeometrie usw. sind zumeist nur unzureichend bekannt, so daß ihr Einfluß aus der Literatur nicht exakt zu überblicken ist. Im LANDOLT-BÖRNSTEIN (Band 1; Herausgeber: EUCKEN, 1982) ist eine umfangreiche Datensammlung elastischer Kon-stanten zusammengetragen worden. Die Werte dieser Datensammlung wurden für ver-schiedene Druck- und Temperaturbedingungen großteils dynamisch ermittelt. Die Ver-suchsbedingungen waren jedoch nicht in allen Quellen identisch. Nachfolgend werden zunächst einige Grundlagen der Bestimmung des Elastizitätsmoduls mittels dynami-scher Meßverfahren zusammengefaßt.

Zwischen der Schallgeschwindigkeit von Kompressionswellen, dem Elastizitätsmodul, der Poissonzahl und der Dichte eines Materials gilt folgender Zusammenhang:

( )( )( )

( )( )ρν−

ν−=

ρν+ν−ν−

=21

21G121

1Evp (Gl. 3.10)

nach LEERS (1969) gilt für Festgesteine näherungsweise:

ρ= Ev p (Gl. 3.10a)

Aus den dynamisch ermittelten Elastizitätsmoduln läßt sich nach VAN HEERDEN (1987) auf die statischen Elastizitätsmoduln zurückschließen. Anhand von Messungen bei verschiedenen Spannungsniveaus kam VAN HEERDEN auf einen exponentiellen Verlauf der Abhängigkeit zwischen dynamischem und statischem Elastizitätsmodul. Die Umrechnung erfolgt nach der folgenden Formel:

21


E a [GPa] Estat dynb= * (Gl. 3.11)

Da die Ultraschallmessungen ohne Aufbringung eines hydrostatischen Druckes durch-geführt wurden, mußten zunächst die Parameter a und b für den spannungsfreien Zu-stand ermittelt werden. Abb. 3.4 zeigt den Verlauf der Parameter a und b im Druckbe-reich bis 40 MPa.

Für den lastfreien Zustand ergeben sich die Parameter zu a = 0,053 und b = 1,6615. Mit Hilfe der verwendeten polynomischen Extrapolation ist eine sehr gute Anpassung an die vorgegebenen Werte möglich. VAN HEERDEN beziffert die Abweichungen zwi-schen den rechnerisch aus dynamischen Moduln ermittelten und den tatsächlich vor-liegenden Elastizitätsmoduln im Extremfall auf bis zu 5 %. Meist beträgt die Abwei-chung lediglich zwischen 1 und 2 %.

0,00

0,05

0,10

0,15

0 10 20 30 40

Umgebungsdruck [MPa]

Para

met

er a

[ - ]

1,30

1,40

1,50

1,60

1,70

1,80

0 10 20 30 40

Umgebungsdruck [MPa]

Para

met

er b

[ - ]

Abb. 3.4: Druckabhängige Änderung der Parameter a und b in der Umrechnungs-formel zwischen statischem und dynamischem Elastizitätsmodul (Gl. 3.11) nach VAN HEERDEN (1987).

Bei der Auswertung von Literaturdaten zu statisch ermittelten Elastizitätsparametern wurde ein wesentliches Augenmerk auf das Verhalten bei höheren Drücken und Tem-peraturen gelegt. HOMAND-ETIENNE et al. (1987) diskutieren Ergebnisse aus einaxia-len Druckversuchen im Temperaturbereich von 20°C - 600°C an Graniten, Sandsteinen und Karbonatgestein. Alle Versuche wurden mit einer konstanten Verformungsgeschwindigkeit von 10-5 s-1 gefahren.

Die untersuchten Granite und Sandsteine unterscheiden sich hinsichtlich des Tempera-tureinflusses deutlich. Für Granit wird eine kontinuierliche Abnahme des E-Moduls im 22


Temperaturbereich zwischen 20°C und 600°C festgestellt (vgl. Abb. 3.5). Der betrach-tete Sandstein zeigt bis etwa 500°C ebenfalls eine Reduzierung des E-Moduls mit stei-gender Temperatur. Der in den Versuchen unter Temperaturen von 600°C zu beobach-tende Anstieg des E-Moduls (Abb. 3.5) ist mit der unter Abschnitt 3.1.3 bereits be-schriebenen Phasenumwandlung des Hauptminerales Quarz zu begründen.

0,00

0,25

0,50

0,75

1,00

0 200 400 600

Granit von Senones

Granit von Remiremont

Granit von La Clarté

E / E20°C

T [°C]

0,25

0,50

0,75

1,00

0 200 400 600

Sandstein von ChampenayVoltzien-SandsteinSandstein von Merlebach

E / E0

T [°C]

Abb. 3.5: Temperaturabhängige Änderung des Elastizitätsmoduls von Granit und Sandstein bezogen auf die Werte bei Raumtemperatur nach HOMAND-ETIENNE et al. (1987).

23


Zur Temperaturabhängigkeit der Querdehnungszahl sind in der Literatur vergleichs-weise wenige Meßdaten dokumentiert. HEUZE (1983) gibt Werte für fünf unterschied-liche Granite im Temperaturbereich von Raumtemperatur bis 500°C an. Die Versuche wurden überwiegend an trockenen Proben gefahren. Lediglich an einem Granit (Stripa-Granit) konnte eine signifikante Abnahme der Querdehnungszahl mit steigender Temperatur festgestellt werden (ν20°C = 0,21; ν200°C = 0,13). Die restlichen untersuchten Granite zeigten keinen eindeutigen Trend.

Die zeitliche Abhängigkeit der elastischen Parameter verschiedener aufgeheizter Fest-gesteine ist ebenfalls in Literaturstudien (ALTHAUS et al., 1989; WONG, 1981) disku-tiert. Bei 250°C ergibt sich danach in Druckversuchen bereits eine signifikante Redu-zierung der Elastizitätsparameterwerte.

Die Streubreite der Querdehnungszahl und des Elastizitätsmoduls unterschiedlicher Varietäten von Granit und Sandsteinen mit unterschiedlichem Mineralbestand bei Raumtemperatur verdeutlicht die nachfolgende Tabelle. Auch für den im Gefüge transversal isotropen Sandstein werden in der Literatur zum elastischen Materialver-halten großteils nur isotrope Gesteinsparameter beschrieben. Dies steht im Wider-spruch zu der z.T. beträchtlichen Anisotropie der elastischen Kenngrößen (siehe Do-kumentation der eigenen experimentellen Untersuchungen).

Tabelle 3.3: Streubreite der Querdehnungszahl und des Elastizitätsmoduls unter-schiedlicher Varietäten von Granit und Sandsteinen bei Raumtemperatur

Granit Sandstein

E [GPa] 3,8 ... 90 0,6 ... 89

ν [-] 0,01 ... 0,34 0,04 ... 0,4

Eine Eingrenzung der beträchtlichen Streubreiten z.B. auf quarzgebundene Sandsteine unter Vernachlässigung der Versuchsergebnisse an Sandsteinen mit karbonatischem oder tonigem Bindemittel ist nicht möglich. Grund dafür sind in den zitierten Auswer-tungen experimenteller Studien oft fehlende oder unzureichende mineralogisch-petro-logische Charakterisierungen der untersuchten Gesteine.

3.1.5 Scherparameter, Druck- und Zugfestigkeit

Zahlreiche Arbeiten befassen sich mit dem Festigkeitsverhalten von Festgesteinen. LEMPP et al. (1986) untersuchen das Festigkeitsverhalten kristalliner Gesteine (Granite und Paragneise) bei thermomechanischer Wechselbelastung. Die Wechsellastversuche 24


wurden bei Temperaturen bis zu 300°C und Lastwechselfrequenzen von > 0,1 Hz in speziellen Triaxialversuchen durchgeführt. In diesen Versuchen zeigte sich bei un-verwitterten Graniten eine deutliche Verringerung der Festigkeit bei Temperaturen über 200°C; es liegt insbesondere eine Verminderung des Winkels der inneren Rei-bung vor. Der Einfluß unterschiedlicher Aufheizgeschwindigkeiten auf das Festigkeits- und Verformungsverhalten des Gesteins wurde von den Autoren nicht untersucht. Die Aufheizgeschwindigkeit wurde so klein gewählt, daß eine thermisch induzierte Rißbildung nicht zu erwarten war.

Versuche an Glimmergranit (ALTHAUS et al.; 1989) zeigen, daß bei Temperaturen von 250 bis 300°C eine signifikante Reduzierung des Reibungswinkels des Gesteins auftritt. Es werden sogar negative Reibungswinkel dokumentiert. Die Kohäsion des Gesteins verringert sich in den zitierten Versuchen bis 300°C nur gering.

Zur Temperaturabhängigkeit der Scherparameter Kohäsion c und Reibungswinkel ϕ finden sich bei HEUZE (1983) Angaben für Granit-Prüfkörper (Westerly-Granit) im Temperaturbereich von Raumtemperatur bis 1000°C. Die temperaturabhängige Verän-derung veranschaulichen die beiden Darstellungen der Abb. 3.6.

0,00

0,25

0,50

0,75

1,00

0 200 400 600 800 1000

c / c20°C

T [°C]

0,00

0,25

0,50

0,75

1,00

0 200 400 600 800 1000

ϕ / ϕ20°C

T [°C]

Abb. 3.6: Dimensionslose Darstellung der temperaturabhängigen Änderung der Scherparameter c und ϕ von Westerly-Granit bezogen auf den Mittelwert bei Raumtemperatur (HEUZE; 1983).

Für Sandsteine sind zahlreiche Angaben zu den Scherparametern bei Raumtemperatur in der Literatur (z.B. RUMMEL in EUCKEN, 1982; LAMA et al., 1978) vorhanden. Eine systematische Untersuchung der temperaturabhängigen Veränderung von c und ϕ liegt für Sandstein nicht vor. Einzelne Angaben zur Materialfestigkeit bei höheren Temperaturen können nicht ohne weiteres mit den stark streuenden Ergebnissen bei

25


Raumtemperatur korreliert werden. Zur Problematik der Festigkeitsanisotropie von Sandstein siehe Kapitel 3.3.

Häufig wird in der Literatur zur Charakterisierung des Festigkeitsverhaltens eines Festgesteines die einaxiale Druckfestigkeit von Zylinderproben herangezogen. Dieser Versuch dient auch vor allem zur Ermittlung der Querdehnungszahl ν.

0,00

0,25

0,50

0,75

1,00

0 200 400 600

Granit von Senones

Granit von Remiremont

Granit von La Clarté

σD / σD,20°C

T [°C]

0,25

0,50

0,75

1,00

0 200 400 600

Sandstein von ChampenayVoltzien-SandsteinSandstein von Merlebach

σD / σD,20°C

T [°C]

Abb. 3.7: Temperaturabhängige Änderung der einaxialen Druckfestigkeit von Granit und Sandstein bezogen auf die Werte bei Raumtemperatur nach HOMAND-ETIENNE et al. (1987).

26


27

HOMAND-ETIENNE et al. (1987) beschreiben Versuchsergebnisse einaxialer Druckver-suche bei erhöhten (konstanten) Temperaturen im Bereich von Raumtemperatur bis 600°C. Die normierten Versuchsergebnisse zeigt Abb. 3.7.

Die untersuchten Granite und Sandsteine unterscheiden sich hinsichtlich des Tempe-ratureinflusses auf die einaxiale Druckfestigkeit deutlich. Für Granit wird eine Ab-nahme der Gesteinsfestigkeit mit steigender Temperatur festgestellt. Die Druckfestig-keit der verschiedenen von HOMAND-ETIENNE et al. (1987) in die Untersuchungen einbezogenen Sandsteine weist keinen einheitlichen Trend auf. Teilweise wird sogar bis 400°C nur eine geringe Abnahme der Materialfestigkeit festgestellt. Der in den Versuchen unter Temperaturen von 600°C zu beobachtende Anstieg der einaxialen Druckfestigkeit ist wieder mit der Phasenumwandlung des Hauptminerales Quarz (~ 573°C; s.o.) zu begründen.

Unklar bleibt auch bei den Ausführungen zur temperaturabhängigen Festigkeit von Sandstein, wie die Prüfkörper zur Schichtung des Sedimentgesteins orientiert waren. Hinweise auf eine richtungsabhängige Festigkeitsabnahme finden sich in der ausgewerteten Literatur nicht.

Weitere Studien bei erhöhten Temperaturen unter Berücksichtigung der Rißbildung führten WONG & BRACE (1979) durch. Sie konnten eine thermisch induzierte Rißbil-dung nachweisen, wenn das Gestein bei niedrigen Drücken erhitzt wird. Diese Rißbil-dung ist nach ihrer Auffassung nicht für die Festigkeitsverminderung verantwortlich. WONG (1981) führte Autoklavversuche bei Drücken bis 400 MPa und Temperaturen bis 700°C durch, um Aussagen über das Bruchverhalten und das Verhalten nach dem Bruch machen zu können. Die Auswertung seiner Experimente deutet darauf hin, daß bei trockenen Proben die Parameter Temperatur und Dehnungsrate nur einen geringen Einfluß auf die Festigkeit des Gesteins haben. Der Seitendruck ist demgegenüber von größerer Bedeutung. Das Bruchverhalten feuchter Proben ist deutlich temperaturab-hängig. Ursache ist der sich bei der Aufheizung des im Porenraum befindlichen Was-sers aufbauende Dampfdruck.

Zur Veränderung der Zugfestigkeit von Granit mit steigender Temperatur - ermittelt als Spaltzugfestigkeit im BRAZILIAN-Test - finden sich Informationen bei HEUZE (1983). Der Autor verweist auf eine drastische Verringerung der Zugfestigkeit bei Temperaturen oberhalb von etwa 400°C. Die temperaturabhängige Abnahme der Spaltzugfestigkeit im Temperaturbereich zwischen 0°C und 600°C veranschaulicht Abb. 3.8 bezogen auf die mittlere Spaltzugfestigkeit bei Raumtemperatur.


Neben den normierten Mittel- und Extremwerten der Spaltzugfestigkeit zeigt Abb. 3.8 eine polynomische Näherungsfunktion, welche im Temperaturbereich bis 600°C eine hinreichende Übereinstimmung mit den Versuchsergebnissen besitzt. Die Temperatur-abhängigkeit der Spaltzugfestigkeit σsz von Granit kann durch folgende Gleichung als Funktion der Spaltzugfestigkeit bei Raumtemperatur beschrieben werden:

28

T9 3 ( )σ σsz sz T T= − + −− − −, * * , * * * *20

4 6 21 5 10 1 25 10 4 10 (Gl. 3.12)

( Einsetzen der Temperaturdifferenz zur Raumtemperatur in °C ! )

Untersuchungen von ALTHAUS et al. (1989) belegen im Temperaturbereich bis 300°C nur eine geringfügige Abnahme der Zugfestigkeit der betrachteten Glimmergranite. Dieses Ergebnis stimmt weitgehend mit den Ausführungen von HEUZE (1983) überein.

0,00

0,25

0,50

0,75

1,00

0 200 400 600

Mittelwert

Minimalwert

Maximalwert

Trendlinie(polynomisch)

σsz / σsz,20°C

T [°C]

Abb. 3.8: Temperaturabhängige Änderung der Spaltzugfestigkeit von Granit bezogen auf den Mittelwert bei Raumtemperatur, HEUZE (1983).

In der Literatur findet sich keine vergleichbare Dokumentation der temperaturabhängi-gen Spaltzugfestigkeit von Sandstein.

Der Wertebereich der Zugfestigkeit von Sandstein und Granit bei Raumtemperatur kann aufgrund der umfangreichen Datensammlung bei LAMA et al. (1978) abgeschätzt werden.


Die folgende Tabelle vermittelt einen Eindruck über die Bandbreite der Kenngrößen Reibungswinkel ϕ, Kohäsion c, einaxiale Druckfestigkeit σD und Zugfestigkeit σZ bei Raumtemperatur wie sie für Granit und Sandstein in der Literatur zu finden ist.

Tabelle 3.4: Bandbreite der Kenngrößen Reibungswinkel ϕ, Kohäsion c, einaxiale Druckfestigkeit σD und Zugfestigkeit σZ für Granit und Sandsteinen bei Raumtemperatur

Granit Sandstein

ϕ [°] 34 ... 64 26,5 ... 59

c [MPa] 15 ... 105 6,5 ... 50

σD [MPa] 13 ... 308 10 ... 214

σZ [MPa] 2,6 ... 38 0,7 ... 23

3.2 Rißbildung und -ausbreitung

Ein weiterer wichtiger Punkt bei der Beschreibung des mechanischen Verhaltens von Festgesteinen ist das Vorhandensein von Rissen und deren Entstehung. Die Ursache der Rißbildung wird in der Literatur nahezu ausschließlich mit dem Wirken von Eigenspannungen in Verbindung gebracht. Die Formen und Mechanismen der Rißausbreitung können wie folgt zusammengefaßt werden.

In Festgesteinen lassen sich bei der Entstehung und Ausbreitung von Rissen zwei Riß-Grundtypen unterscheiden:

• der transkristalline Riß: der Ursprung des Risses liegt innerhalb eines Mineralkor-nes; der Riß breitet sich über die Grenzen des Kristalls hinaus in das Gestein aus.

• der interkristalline Riß: der Riß entsteht an einer Korngrenze. Vom Ursprung breitet sich der Riß entlang der Korngrenze aus.

Inhomogene Versetzungsbewegungen in einem Kristall als Folge einer äußeren devia-torischen Spannung können eine mögliche Ursache für die Entstehung transkristalliner Spaltrisse sein. Ein Stufenversatz in einem Kristall stellt in einem ansonsten homoge-nen Spannungsfeld eine Art von "Hindernis" dar und führt deshalb zu Spannungskon-zentrationen. Zur Überwindung eines solchen Hindernisses muß der Versetzung zu-

29


30

sätzlich Energie zugeführt werden (ORTH, 1986). Die Wirkung thermischer Energie erleichtert - insbesondere bei einem Stufenversatz im Mikrobereich (Molekül- oder Gittergröße) - die Überwindung des Hindernisses. Mit steigender Temperatur nimmt der Einfluß der wirkenden thermischen Energie zu, da die Temperaturerhöhung gleichbedeutend ist mit einer Erhöhung des Energieangebotes.

Falls die Zugfestigkeit früher erreicht wird als die zur Bildung weiterer Versetzungen erforderliche kritische Schubspannung, kommt es an weitreichenden Hindernissen (z.B. Korngrenzen) zum Aufreißen. Als weitere Ursachen für eine Rißentstehung kommen das Auflaufen eines Gleitbandes auf eine Zwillingsebene, sich kreuzende Gleitbänder oder Ausscheidungen an Korngrenzen und im Korninnern in Frage. Aus-gehend von einem initialen Rißstadium breiten sich die Risse zunächst auf Spaltebenen in einzelnen Körnern aus, bis sie die Korngrenzen überschreiten und schließlich zum makroskopischen Riß führen können.

Interkristalline Spaltrisse entstehen, sofern ein Gleiten einzelner Körner an ihren Gren-zen als initialer Verformungsmechanismus auftritt. Zum Fortschreiten interkristalliner Risse müssen die gleichen energetischen Voraussetzungen vorliegen wie bei transkri-stallinen Rissen. An Korntripelpunkten treten häufig keilförmige Rißbilder auf, sobald das gegenseitige Abgleiten von zwei Korngrenzen durch ein drittes Korn behindert wird.

Wenn die Spannungskonzentration an den Tripelpunkten durch Verformung abgebaut werden kann, so entstehen keine Spaltrisse. Die Spaltrißbildung ist für sprödes Mate-rialverhalten charakteristisch; bei duktilem Materialverhalten kommt es stattdessen häufig zur Entstehung und Vereinigung von Poren im Korninnern oder an den Korn-grenzen. Auch an Ausscheidungen oder Einschlüssen entstehen durch Überschreiten der Grenzflächenfestigkeit Poren.

Unter den Bedingungen der Rißausbreitung entwickelt sich aus einem submikroskopi-schen Anriß (< 1 mm) ein Mikroriß (< 1 mm) und daraus schließlich ein Makroriß. Die Rißausbreitung erfolgt entweder instabil (unter Energiefreisetzung) oder stabil (unter ständiger Energiezufuhr).

Für die instabile Rißausbreitung wurde von GRIFFITH (1920) die Bedingung aufge-stellt, daß die Verringerung der im Gestein gespeicherten elastischen Verzerrungs-energie größer sein muß als die zur Bildung einer neuen Rißoberfläche aufzubringende Oberflächenenergie.


31

Die instabile Rißausbreitung kann sowohl transkristallin als auch interkristallin verlau-fen. Im allgemeinen führt die instabile Rißausbreitung zu einem verformungsarmen Bruch, der makroskopisch als Sprödbruch in Erscheinung tritt. Verformt sich der kri-stalline Körper plastisch, so kann die Rißausbreitung nur unter ständiger Energiezu-fuhr, also stabil fortschreiten.

BERCKHEMER et al. (1990) führen in Laborversuchen Untersuchungen zu retardierten Entspannungsdeformationen, rißbedingten Anisotropien von Ultraschallwellenge-schwindigkeiten und der Aufhebung dieser Anisotropie unter erhöhten Drücken durch Schließung von entspannungsbedingten Rissen durch. Die Entspannungsrißbildung wird als physikalischer Prozeß untersucht und analysiert. Die Messung akustischer Emissionen dient dabei der Erfassung der Rißbildung.

Die Untersuchungen ergaben, daß die Mikrorißpopulation ein Relikt des in-situ-Span-nungsfeldes ist und eine Orientierung und Abschätzung der Beträge des Spannungsfel-des möglich ist. KERN & SCHMIDT (1990) zeigen, daß die Ergebnisse von Laufzeit-messungen zur Bestimmung des Rißschließungsdruckes neben der Abhängigkeit vom Druck eine deutliche Temperaturabhängigkeit aufweisen.

3.3 Anisotropie des Porenraumes von Sandstein

Auf die materielle Anisotropie von Sandstein wurde bereits in Abschnitt 3.1.2 am Bei-spiel der Wärmeleitfähigkeit kurz eingegangen. Auch finden sich in den Beiträgen von KERN und GEBRANDE (beide in Eucken [Hrsg.], 1982) zum Thema "Geschwindigkei-ten elastischer Wellen und Elastizitätskonstanten von Gesteinen und gesteinsbildenden Mineralen" vereinzelt quantifizierte Angaben zur Geschwindigkeitsanisotropie von elastischen Kompressionswellen. Nach KERN werden die Geschwindigkeitsanisotro-pien insbesondere von metamorphen und sedimentären Gesteinen mit steigender Tem-peratur und/oder Druckzunahme deutlich geringer. Die Mehrzahl der in den Literatur-stellen angegebenen elastischen Materialparameter sind jedoch unter der Annahme eines isotropen Materialverhaltens ermittelt.

Einen wichtigen Beitrag zur Beschreibung und Interpretation der anisotropen Eigen-schaften verschiedener Sandsteine geben die Ausführungen von DOBEREINER & FREITAS (1986). Die Autoren beschäftigen sich mit den geotechnischen Eigenschaften weicher Sandsteine (Sandsteine mit einer einaxialen Druckfestigkeit σD ≤ 20 MPa). Die Anisotropie wird anhand verschiedener Kenngrößen aufgezeigt. Es sind dies die Permeabilität, die "Packungsdichte" und der "Kornkontakt". Die "Packungsdichte" PD beschreibt - basierend auf einer Definition von KAHN (1956) - das Verhältnis zwischen der Länge von Mineralkörnern ∆lKorn entlang einer Schnittlinie und der Länge l der


Traverse. Abb. 3.9 auf der folgenden Seite veranschaulicht den Zusammenhang. Die Packungsdichte in Prozent erhält man auch, wenn man den in der Felsmechanik häufiger verwendeten linearen Durchtrennungsgrad κl von 100% abzieht.

Der Kornkontakt GC (grain contact) wird definiert als das Verhältnis der Summe der Kornkontakte L und der Gesamtlänge der Mineralkorn-Oberfläche TL. Es gilt:

GCL

TLii= ∑ [%] (Gl. 3.13)

Während bei Sanden die Werte von GC in der Größenordnung von 4% bis 8% liegen, steigen sie mit zunehmender diagenetischer Verfestigung auf Werte von 25% bis 60% an. Den Extremfall bilden metamorph überprägte Sandsteine (Quarzite) mit fast voll-ständigem Kornkontakt (90% ≤ GC ≤ 100%) infolge Umkristallisation.

Packungsdichte ll

Korn=Σ ∆

∆ lKorn

Kornkontakt

b)

a)

Schnittlinie

Meßstrecke l

Abb. 3.9: Grafische Darstellung zur Definition der "Packungsdichte" nach KAHN (a) und des "Kornkontaktes" (b) nach DOBEREINER & FREITAS (1986).

DOBEREINER & FREITAS beschreiben das Phänomen, daß sich in Dünnschliffen der „Flächenanteil“ der Kornkontakte zwischen den einzelnen Sandkörnern in Abhängig-

32


keit von der Richtung des untersuchten Schnittes verändert. So ist der gemessene Kornkontakt in einem Schnitt orthogonal zur Schichtung signifkant größer als in einem schichtparallel geführten Dünnschliff. Die festgestellte Anisotropie der Kornkontakte wird von den Autoren als Hauptursache der für die untersuchten Sandsteine typischen Festigkeitsanisotropie angesehen. Diese Festigkeitsanisotropie drückt sich in einer größeren Kohäsion für orthogonal zur Schichtung belastete Proben bei annähernd unverändertem Reibungswinkel aus.

3.4 Grenzbedingungen zur Beschreibung der festigkeitsmechanischen Eigenschaften von Gesteinen

Im folgenden werden verschiedene Ansätze der Formulierung von Grenzbedingungen zur Beschreibung der festigkeitsmechanischen Eigenschaften von Gesteinen vorge-stellt. Dabei werden sowohl einfache Modelle mit nur wenigen das Festigkeitsverhal-ten charakterisierenden Stoffparametern als auch komplexere Lösungsvorschläge dis-kutiert.

3.4.1 Isotropes Festigkeitsverhalten von Gesteinen

Für festigkeitsmechanisch isotrope, kohäsive Materialien ist nachfolgend eine Formu-lierung der Grenzfunktion entsprechend MOHR-COULOMB in der Invariantenschreib-weise nach ZIENKIEWICZ et al. (1974) angegeben.

π

−αϕ−

π

−α

ϕ+ϕ−=

σσ

σ

6sin*sin

6cos*3

cos*c*6sin*I*32

IIf 21s

(Gl. 3.14)

( Druckspannungen besitzen positives Vorzeichen; 0 ≤ ασ ≤ π/3)

Diese Gleichung verwendet neben den in Kapitel 2 zur Beschreibung des räumlichen Spannungszustandes eingeführten Größen Iσ, IIs

1/2 und ασ zwei festigkeitsmechanische Materialparameter: die Kohäsion c und den Reibungswinkel ϕ.

Für Reibungswinkel ϕ = 0 geht (Gl. 3.14) in die Grenzfunktion von TRESCA über:

π

−α−=

σ 6cos*2

c*2IIf 21s (Gl. 3.15)

Diese Grenzfunktion ist unabhängig von der Spannungssumme Iσ.

33


In Abb. 3.10 sind die Spuren der Grenzbedingungen nach MOHR-COULOMB und TRESCA in einer Deviatorebene (a) und in einer orthogonal zu dieser orientierten Ebene durch die hydrostatische Achse (b) einander gegenübergestellt. Man erkennt aus Abb. 3.10 a, daß beide Versagenskriterien an den Schnittpunkten mit den Kom-pressions- und Extensionsachsen einen Knickpunkt aufweisen. Abb. 3.10 b verdeutlicht die Abhängigkeit der Grenzfunktion nach MOHR-COULOMB von der Spannungssumme Iσ. Die Spur der Grenzfunktion nach TRESCA bildet in dieser Ebene eine Parallele zur Ordinatenachse.

a)

MOHR-COULOMB

TRESCA

-s1

-s3 -s

2

b)

0

20

40

60

80

100

120

100 -50 0 50 100 150 200 250 300

I s

[MPa]

[MPa]

-s1

MOHR-COULOMB

TRESCA

-

Abb. 3.10.: Spuren der Grenzbedingungen nach MOHR-COULOMB und TRESCA

a) in der Deviatorebene b) in einer Ebene durch die hydrostatische Achse sowie die Achse -s1.

Eine in der Felsmechanik häufig verwendete Grenzbeziehung ist die Grenzfunkion nach DRUCKER-PRAGER. Die nach der zweiten Spannungsinvarianten aufgelöste Be-ziehung zeigt (Gl. 3.16).

( )021

s21

s yI*AIIsin3cos*c*6I*

sin3sin*2*

32IIf +−=

ϕ−ϕ

+ϕ−ϕ

−= σσ (Gl. 3.16)

( Druckspannungen besitzen positives Vorzeichen )

34


A ist ein Maß für die Steigung der Grenzgeraden in der IIs1/2 - Iσ - Ebene und y0 be-

schreibt den Ordinatenabschnitt. Beide Variablen lassen sich mit den in (Gl. 3.14) be-reits eingeführten Materialparametern c und ϕ bestimmen. Die Beziehung (Gl. 3.16) beschreibt im dreidimensionalen Spannungsraum einen um die Raumdiagonale rota-tionssymmetrischen Kegel, d.h. im Kompressionsversuch sowie im Extensionsversuch tritt der Peakzustand unter der gleichen Deviatorspannung IIs

1/2 auf.

Eine modifizierte Grenzfunktion zeigt Abb. 3.11 in Anlehnung an eine von STUTZ

(1972) vorgeschlagene Beziehung zur Beschreibung von kohäsionslosen Lockergestei-nen. Diese Grenzfunktion ermöglicht eine Berücksichtigung unterschiedlicher Devia-torspannungen bei Erreichen des Peakzustandes auf der Kompressions- und Exten-sionsachse und weist gleichzeitig keine "Knickstellen" an den Achsen der Deviator-ebene auf wie die oben beschriebene Grenzbedingung nach MOHR-COULOMB. Die Funktion wird auch als Fließbedingung zur Beschreibung des Materialverhaltens von Sand (siehe MEIßNER, 1983) eingesetzt. Hier ist häufig die deviatorische Spannung an der Fließgrenze im Extensionsversuch deutlich geringer als im Kompressionsversuch.

Abb. 3.11.: Grenzfläche in der Deviatorebene unter Berücksichtigung unterschiedli-cher Festigkeiten im Kompressions- und Extensionsversuch.

Die verwendete Näherungsfunktion nach STUTZ für kohäsive Materialien lautet:

( )m

02/1

s 63cos

*B1*'yI*'AII−

σσ

α−+= (Gl. 3.17)

35


36

)

Die Parameter B und m beschreiben die Form der Fließkurve nach STUTZ in der Deviatorebene, die Größe von A bestimmt die Aufweitung der Fließfläche in Abhängigkeit der Spannungssumme Iσ. Für ασ = 30° reduziert sich (Gl. 3.17) auf den Term ( , ebenso für B = 0. Dies entspricht der Geradengleichung (Gl. 3.16) nach DRUCKER PRAGER. Aus der Deviatorspannung II

A I y' * 'σ + 0

s1/2 an der Stelle Iσ = 0 erhält

man den Wert von y'0.

Zur Größe des Parameters m finden sich gestützt auf experimentelle Ergebnisse an Sand in der Literatur verschiedene Angaben. So gibt MEIßNER (1983) folgenden Term an:

( )m B= −0 12 1 6, ln

Von VOGT (1992) wird folgender Ausdruck angegeben:

( )m B= −0 1 1 2 45, ln ,

Die Parameter A' und B werden aus den experimentell ermittelten Grenzspannungen auf der Kompressions- und Extensionsachse (ασ = 60° bzw. ασ = 0°) berechnet.

( )II A I y Bs

m

,/ ' * ' *0

1 20 1

6= + −

−

σ (Gl. 3.18)

( )II A I y Bs

m

,/ ' * ' *60

1 20 1

6= + +

−

σ (Gl. 3.19)

Aus dem Verhältnis der zweiten Invarianten des deviatorischen Spannungstensors für die Peakpunkte im Kompressions- bzw. Extensionsversuch bei gleicher Spannungs-summe Iσ läßt sich zunächst der Parameter B ermitteln zu:

( ) ( )B II II II IIs s s sm m= −

+

6 1 1601 2

01 2

601 2

01 2

1 1

* ,/

,/

,/

,/

(Gl. 3.20)

Löst man anschließend eine der Gleichungen (Gl. 3.18) oder (Gl. 3.19) nach A' auf, so ist nach Einsetzen der bereits bekannten Größen die Grenzfunktion eindeutig be-stimmt.


37

3.4.2 Anisotropes Festigkeitsverhalten von Gesteinen

Zur Beschreibung der Festigkeits-Anisotropie werden in der Felsmechanik verschie-dene Lösungsansätze verfolgt. Diese lassen sich im wesentlichen drei verschiedenen Grundtypen zuordnen.

• Definition einer richtungsabhängigen Grenzfunktion

• Definition eines Ersatzwerkstoffes

• Berücksichtigung des Einflusses "wirksamer Spannungen"

Zunächst werden exemplarisch aus der Literatur bekannte Modelle - getrennt für die unterschiedlichen Grundtypen - vorgestellt.

3.4.2.1 Anisotrope Grenzbedingungen

Zur Berücksichtigung einer anisotropen Grenzfläche kann die Grenzbedingung nicht mehr als richtungsunabhängige Beziehung formuliert werden. Vielmehr ist sie in Ab-hängigkeit eines Koordinatensystems zu schreiben, welches die Orientierung der Anisotropie beschreibt.

Anisotrope Grenzbedingungen erfordern mit neun linear unabhängigen Materialparametern einen enormen experimentellen Aufwand, um alleine für eine Temperatur das Festigkeitsverhalten des Versuchsmaterials beschreiben zu können.

Der erforderliche Umfang experimenteller Untersuchungen zur Bestimmung der temperaturabhängigen Materialparameter einer anisotropen Grenzbedingung ist im Rahmen des DFG-Forschungsvorhabens "HT-Deviator-Versuche" nicht realisierbar gewesen, da hier insbesondere die Temperaturabhängigkeit des Materialverhaltens eingehend betrachtet werden sollte.

Die anisotropen Grenzbedingungen wurden daher nicht in die detaillierten Betrach-tungen aufgenommen. An dieser Stelle sei nur kurz auf die Arbeiten von HILL (1950) und PARISEAU (1968) verwiesen.


3.4.2.2 Definition eines Ersatzwerkstoffes

Einen anderen Ansatz zur numerischen Simulation anisotropen Materialverhaltens schlagen PANDE et al. (1977) vor. Sie bilden die Materialeigenschaften des Gebirges durch Überlagerung verschiedener Einzelkomponenten zu einem Ersatzwerkstoff nach. Dieses Verfahren wird in der Fachliteratur als overlay-model (Überlagerungsmodell) oder multi-laminate-model (Mehrphasenmodell) bezeichnet.

Jeder einzelnen Schicht wird ein eigenes Materialverhalten zugeordnet. Unter einer auf alle Schichten in gleicher Größe wirkenden Dehnung ε stellen sich in den verschiede-nen Schichten unterschiedliche Spannungszustände ein. Durch eine entsprechend der relativen Schichtdicke ti gewichtete Addition aller so ermittelten Spannungen σi ergibt sich der Spannungszustand im Ersatzwerkstoff gemäß (Gl. 3.21).

σ σ==∑ i ii

kt*

1

(Gl. 3.21)

Der Wert k gibt dabei die Anzahl der Schichten mit unterschiedlichen elastoplasti-schen Materialparametern an. Ferner gilt:

t ii

k

=∑ =

11

(Gl. 3.22)

Der besondere Vorteil dieses Verfahrens liegt in seiner Vielseitigkeit. Durch eine Er-höhung der Anzahl unterschiedlicher Schichten lassen sich zum Teil sehr komplexe Stoffeigenschaften in Einzelkomponenten aufspalten, von denen jede für sich durch ein vergleichsweise einfaches Stoffgesetz beschrieben werden kann. Ferner können allen Einzelmaterialien orientierte Stoffeigenschaften zugeordnet werden.

Nachteilig macht sich allerdings bemerkbar, daß mit jeder zusätzlich berücksichtigten Schicht der Rechenaufwand in numerischen Parameterstudien deutlich zunimmt. Außerdem steigt der erforderliche experimentelle Untersuchungsumfang, um die Viel-zahl unterschiedlicher Materialparameter zu bestimmen.

Ebenfalls in die Kategorie der "Verwendung von Ersatzwerkstoffen" ist ein Stoffgesetz für ein engständig geklüftetes Gebirge einzuordnen, welches von PIETRUSZCZAK et al. (1986) vorgestellt ist. In diesem Verfahren ist das Tragverhalten des Gebirges aufgespalten in das Tragverhalten des intakten (ungeklüfteten) Gesteins und das Tragverhalten der Trennflächenschar.

38


39

Auch hier erfolgt - wie im multi-laminate-model - bei der Bestimmung der Materialpa-rameter des Ersatzwerkstoffes eine gewichtete Berücksichtigung der Materialeigen-schaften von Gestein und Trennfläche. Die Wichtung erfolgt entsprechend der Volu-menanteile im Gebirge.

Bei der Aufspaltung der Materialeigenschaften des Gebirges in die beiden Einzelkom-ponenten werden folgende Annahmen getroffen:

• Die Kluftkörper besitzen ein rein elastisches Materialverhalten.

• Ausschließlich in den Klüften oder Scherzonen finden alle irreversiblen Verformun-gen statt

Ein großer Nachteil dieses Verfahrens ist, daß eine Erweiterung auf mehrere, nicht senkrecht zueinander orientierte Trennflächensysteme nicht möglich ist.

3.4.2.3 Berücksichtigung der "wirksamen Spannungen"

Ein weiteres Modell zur Berücksichtigung einer Gesteinsanisotropie beschreibt die richtungsabhängige Materialfestigkeit mit Hilfe der Netto-Spannungs-Analyse. Dieser Ansatz berücksichtigt die Größe der wirksamen Spannungen bezogen auf den tatsächlichen Querschnittsanteil der Materialbrücken in einem beliebigen Schnitt durch das Gestein. Diesen Grundgedanken wendet beispielsweise ROGMANN (1992) zur Beschreibung des anisotropen Materialverhaltens von Camphausen-Kohle in Form der "Damage Tensor Analysis" an.

Das Konzept der Damage Tensor Analysis basiert auf einem Modell zur Beschreibung von Kriecheffekten bei Metallen, welches von MURAKAMI et al. (1980) für mehrdi-mensionale Problemstellungen aufbereitet wurde. Ziel dieses Modelles ist es, die Schädigung des Kontinuums durch Ausbildung von mikroskopischen Rissen und Poren an Korngrenzen im tertiären Kriechbereich bei Metall mathematisch erfassen zu können. Das Grundprinzip des Damage Tensors beruht auf einer Reduktion der span-nungsübertragenden Flächen und der damit verbundenen Erhöhung der effektiven Spannungen in den Materialbrücken. Von verschiedenen Autoren (z.B. RABOTNOV, 1968 oder BETTEN, 1982) wird daher auch die Bezeichnung "net-stress" Tensor ver-wandt.

Das Modell von MURAKAMI et al. (1980) wurde später von KYOYA et al. (1986) zur Darstellung anisotroper Verformungseigenschaften engständig geklüfteter Materialien verwandt. Von KAWAMOTO et al. (1988) wurde ein System zur Einbindung der Da-


mage Tensor Analysis in ein Finite-Elemente-Programm vorgestellt. Mit diesem Ver-fahren kann eine beliebige Zahl von Trennflächenscharen berücksichtigt werden.

Im folgenden werden zunächst die Grundlagen der Damage Tensor Analysis, ihrer Anwendung auf geklüftete Gesteine und der Einbindung in die Methode der Finiten Elemente kurz zusammengefaßt.

Folgende Annahmen werden getroffen:

• Die Trennflächen einer realen Kluftschar liegen in zueinander parallelen Ebenen (Kluftebenen).

• Auch bei beliebig vielen unterschiedlich orientierten Trennflächenscharen kann die Anisotropie des Materialverhaltens durch ein ideelles, orthotropes Kluftsystem hin-reichend genau beschrieben werden. Dieses orthogonale Trennflächensystem wird als Hauptachsensystem der Anisotropie (HASA) bezeichnet.

• Die durch Trennflächen hervorgerufenen, anisotropen Verformungseigenschaften des Gebirges lassen sich durch eine Reduktion der spannungsübertragenden Flächen im Hauptachsensystem der Anisotropie nachbilden.

a) b)

Abb. 3.12.: Modellvorstellung eines orthogonalen Trennflächensystems in einem Ge-

birgswürfel mit idealisierten Durchtrennungsgraden ωi (a) sowie der Kluftflächen in einer Trennflächenschar (b); nach ROGMANN (1992).

In der Damage Tensor Analysis werden zunächst die tatsächlich vorhandenen Trenn-flächen nach Lage und Orientierung erfaßt und in ein äquivalentes orthogonales Trennflächensystem transformiert. Es ergeben sich drei zueinander senkrecht stehende

40


Trennflächenscharen. Für jede Trennflächenschar ist das Verhältnis der offenen Kluftflächen zum Gesamtquerschnitt bekannt. In der Felsmechanik wird dieser Quo-tient als ebener Durchtrennungsgrad κe bezeichnet. Abb. 3.12 veranschaulicht die Mo-dellvorstellung für das klüftige Gebirge.

Die Damage Tensor Analysis unterscheidet zwischen dem globalen, kartesischen Ko-ordinatensystem, in dem das numerische Modell beschrieben wird und dem lokalen Koordinatensystem, welches als kartesisches Referenzsystem für die idealisierten or-thogonalen Trennflächenscharen bzw. die Schichtorientierung dient. Bei bekannter Orientierung des lokalen im globalen Koordinatensystem können mit Hilfe der Trans-formationsmatrix (Gl. 2.21) Spannungen aus dem einen in das andere System übertra-gen werden. Im Regelfall wird das globale Koordinatensystem entsprechend der Geo-metrie des betrachteten Randwertproblems festgelegt.

41

r

i

⊗

Tr

Zur numerischen Berücksichtigung der Trennflächen wird für jede einzelne Trennflä-chenschar ein Damage-Tensor definiert. Hierzu wird neben den ebenen Durchtren-nungsgraden κe,i der Trennflächenscharen die Orientierung in Form der Normalenvek-toren auf die einzelnen Scharen benötigt. Es gilt: ni

[ ] ( )Ωi e i in n', *= ⊗κ

r r (Gl. 3.23)

Der Gesamt-Damage-Tensor für eine beliebige Zahl von Trennflächensystemen wird durch Addition der einzelnen Damage-Tensoren bestimmt.

[ ] [ ] ( )Ω Ω' ', *= =

= =∑ ∑ii

ne i i i

i

nn n

1 1κ

r r (Gl. 3.24)

Durch Transformation des symmetrischen Gesamt-Damage-Tensors auf Hauptachsen-form verschwinden die Werte außer in der Diagonalen des Tensors. Die Eigenwerte des Damage-Tensors entsprechen dann ideellen Flächendichten ωi im Hauptachsensy-stem der Anisotropie (HASA).

Zur Berechnung der wirksamen Spannungen werden die mit Hilfe der elastischen Stoffmatrix aus den Dehnungen ermittelten Spannungen [T] mittels der Transforma-tionsmatrix [Tr] in das Hauptachsensystem der Anisotropie transformiert. Es gilt:

[ ] [ ] [ ] [ ]T Tr TT' = (Gl. 3.25)


In einem nächsten Schritt werden die tatsächlich wirksamen Spannungen als Kompo-nenten des Netto-Spannungs-Tensors [T'n] mit Hilfe der nachfolgend zusammengestellten Gleichungen berechnet.

( )

( )

( )

( )

σ σω

σ σω

σ σω

σ σω

' ' *

' ' *

' ' *

' ' *

11

22

33

111

222

333

11

11

11

11

n

n

n

nij

iiji j

=−

=−

=−

=−

≠

(Gl. 3.26)

mit ωi : ideelle Durchtrennungsgrade im HASA

Durch die in (Gl. 3.26) beschriebene Umrechnung der Spannungskomponenten auf der Nebendiagonalen σij

n der Spannungsmatrix [T'n] entsteht eine nicht symmetrische Spannungsmatrix. In Anlehnung an einen Vorschlag von KAWAMOTO (1986) wird der Nettospannungstensor wie folgt symmetrisiert:

σ σ' * ',ij ij ji

n s n n= +

12

σ' (Gl. 3.27)

Der Index s bezeichnet dabei die Komponenten des symmetrisierten Tensors [T'n,s].

Die so ermittelten wirksamen Spannungen werden in das globale Koordinatensystem rücktransformiert und anschließend in die Grenzbedingung eingesetzt. Durch die un-terschiedlich hohen Durchtrennungsgrade entsteht eine mehr oder weniger ausgeprägte Spannungserhöhung. Insofern können bei einem an sich isotropen Spannungszustand durch die richtungsabhängige Erhöhung Deviatorspannungen entstehen, welche die Grenzbedingung erfüllen können.

Da sich bei Sandsteinen die materielle und festigkeitsmechanische Anisotropie zumeist auch in einer anisotropen Ausrichtung der Porenräume bzw. der Kornkontaktflächen (vgl. u.a. die Arbeiten von DOBEREINER et al., 1986) äußert, erscheint es möglich, auch die richtungsabhängigen Festigkeitseigenschaften von Sandsteinen in numerischen Parameterstudien mit Hilfe der Damage-Tensor-Analysis zu erfassen.

42


43

3.5 Zusammenfassung der Literaturauswertung

In der durchgeführten Literaturstudie zum temperaturabhängigen Materialverhalten von Gestein wurden die physikalischen und festigkeitsmechanischen Untersuchungen im Hinblick auf die Parameter Druck, Temperatur und Gesteinsanisotropie diskutiert.

Das Hauptaugenmerk galt dabei Untersuchungen an den im Rahmen der eigenen ex-perimentellen Studien betrachteten Gesteinstypen (Granit und Sandstein).

Hinsichtlich der physikalischen Gesteinseigenschaften von Graniten und Sandsteinen liegt eine Vielzahl von Informationen vor. Mit Hilfe der in der Literatur beschriebenen funktionalen Zusammenhänge wird die Temperaturabhängigkeit der Parameter spezifi-sche Wärmekapazität (ENGLAND, 1978) und Wärmeleitfähigkeit (HAENEL, 1978) hin-reichend genau erfaßt. Auch die Anisotropie der Wärmedehnung von Sandstein ist do-kumentiert.

Keine allgemein gültigen funktionalen Zusammenhänge finden sich zur Druck- und Temperaturabhängigkeit der Wärmedehnung. Allerdings bewegt sich in der Literatur die Größenordnung der Wärmedehnung von Granit und Sandstein nur in einem relativ engen Wertespektrum. HEUZE (1983) beschreibt einen Ansatz zur Bestimmung der temperaturabhängigen Wärmedehnung kristalliner Gesteine. Aussagen zur Größenord-nung einer möglichen Anisotropie der Wärmedehnung bei Sandstein werden nicht ge-macht.

Als wesentliche physikalische Einflußgröße ist die Dichte an jedem einzelnen Gestein zu bestimmen.

Im Temperaturbereich von Raumtemperatur bis 500°C ist sowohl für Granit als auch für Sandstein von einer Abnahme des Elastizitätsmoduls mit steigender Temperatur auszugehen. Für verschiedene Varietäten von Granit und Sandstein kann die Band-breite der temperaturabhängigen Veränderung des E-Moduls aus der Veröffentlichung von HOMAND-ETIENNE et al. (1987) abgeschätzt werden.

Kein eindeutiger Trend kann in den Literaturangaben zur Temperaturabhängigkeit der Querdehnzahl ν festgestellt werden.

Die in der Literatur beschriebenen Materialuntersuchungen an einaxial oder triaxial belasteten Proben - es sind überwiegend Triaxialversuche mit konstantem Seitendruck dokumentiert - betrachten oft nur den Einfluß hoher Temperaturen oder hoher Drücke. Die Ursache ist in der versuchstechnischen Problematik der gleichzeitigen Erzeugung hoher Drücke und hoher Temperaturen zu suchen. Eine Korrelation der Ergebnisse


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unterschiedlicher experimenteller Studien in bezug auf eine Allgemeingültigkeit der gefundenen Druck- und Temperaturabhängigkeit der elastischen und festigkeitsme-chanischen Materialeigenschaften ist daher schwierig.

Zur Temperaturabhängigkeit der Festigkeitseigenschaften von Granit liegen zahlreiche Untersuchungen vor (z.B. LEMPP et al., 1986; ALTHAUS et al., 1989; HEUZE, 1983; HOMAND-ETIENNE et al., 1987). Danach ist eine Abnahme der Scherparameter c und ϕ sowie der einaxialen Druckfestigkeit mit steigender Temperatur zu erwarten. Wenn-gleich für Sandsteine zwar zahlreiche Versuchsdaten zur temperaturabhängigen Ver-änderung des Festigkeitsverhaltens vorliegen (z.B. EUCKEN et al., 1982; LAMA et al., 1978), so liegt eine systematische Untersuchung der temperaturabhängigen Verände-rung von c und ϕ nicht vor. Auch die von HOMAND-ETIENNE et al. (1987) vorgestell-ten Daten zur Temperaturabhängigkeit der einaxialen Druckfestigkeit von Sandstein weisen keinen einheitlichen Trend auf.

Eine Textur- und Strukturabhängigkeit des festigkeitsmechanischen Verhaltens sedi-mentärer Gesteine ist bislang in Kombination mit der Temperaturabhängigkeit nur un-zureichend untersucht worden. Die von DOBEREINER & FREITAS (1986) vorgestellten experimentellen Ergebnisse an Sandsteinen belegen jedoch eine deutliche texturelle Anisotropie der untersuchten Sedimentgesteine. Eine Reduktion der temperaturabhän-gigen Materialveränderungen von Sandsteinen auf isotrope Verhältnisse stellt danach eine grobe Vereinfachung der tatsächlichen Materialeigenschaften dar.

3.6 Folgerungen für die eigene Problematik

Es ist festzuhalten, daß eine Vielzahl von Parametern für das Materialverhalten von Festgestein signifikant ist. Ein auch in der Fachliteratur als wichtig erkannter Parame-ter ist der Spannungszustand und der Spannungspfad. Während zum zeitabhängigen Materialverhalten erhitzter Proben in Einaxial- sowie konventionellen Triaxialversu-chen ( σ3 = const. ) bereits zahlreiche Versuchsergebnisse vorliegen, ist dieses für Kompressions- und Extensionsversuche ( Iσ = const. ) bisher kaum untersucht worden. Um allgemeingültige Stoffgesetze formulieren zu können, sind derartige Ver-suche jedoch notwendig.

Anhand der vorgestellten Veröffentlichungen kann der Einfluß von Temperatur, Span-nungssumme und Belastungsgeschwindigkeit auf das Materialverhalten von Granit und Sandstein nur unzureichend abgeschätzt werden.

Die eigenen experimentellen Studien sollen daher eine ausreichende Anzahl von Ver-suchen unter verschiedenen Druck- und Temperaturbedingungen sowie Belastungsge-


45

schwindigkeiten (Einschalten von "Kriechphasen" in die Versuchsdurchführung) an einer Granit-Varietät und einem Sandstein umfassen.

In den vorgestellten Literaturstellen, welche sich mit dem temperaturabhängigen Ma-terialverhalten von Sandstein beschäftigen, finden sich praktisch keine Hinweise auf eine Richtungsabhängigkeit der elastischen Materialparameter sowie zu einer Aniso-tropie der Gesteinsfestigkeit. Es werden lediglich Angaben für ein isotropes Gestein gemacht.

In den eigenen Untersuchungen sollen die von DOBEREINER & FREITAS gemachten Aussagen zur Anisotropie der temperaturabhängigen Materialeigenschaften von Sand-steinen näher untersucht werden. Hierzu ist neben der Durchführung von festigkeits-mechanischen Untersuchungen an unterschiedlich zur Schichtung orientierten Prüfkör-pern auch eine detaillierte mineralogisch-petrologische Untersuchung des verwendeten Sandsteines erforderlich.

Temperaturabhängiges Stoffmodell für Granit und Sandstein

4 Temperaturabhängiges Stoffmodell für Granit und Sandstein

46

Zur Betrachtung des Randwertproblems 'Standsicherheit einer Bohrung bei erhöhten Temperaturen' werden im Rahmen der vorliegenden Arbeit Berechnungen nach der Finite-Elemente-Methode (FEM) durchgeführt. Die Aussagekraft numerischer Parameterstudien mit Hilfe der FEM hängt in entscheidendem Maße von der Qualität des darin implementierten Stoffgesetzes ab. Die in der Literatur dokumentierten Materialparameter für kristalline und sedimentäre Gesteine beinhalten in der Mehrzahl eine Reduktion auf isotrope Verhältnisse. Dies stellt in vielen Fällen eine nur unbefriedigende Näherung an die realen Eigenschaften anisotroper Gesteine dar.

In diesem Kapitel soll zunächst das Anforderungsprofil der verwendeten Stoffgesetz-Routine aufgezeigt werden. Anschließend werden die wesentlichen, theoretischen Voraussetzungen kurz zusammengefaßt. Außerdem wird das zum Einsatz gelangende Stoffgesetz beschrieben. Die Ermittlung der erforderlichen Eingangsparameter aus ex-perimentellen Ergebnissen ist Gegenstand des nachfolgenden Kapitels.

4.1 Anforderungen an das Stoffmodell für Granit und Sandstein

Das zur Beschreibung des Materialverhaltens zum Einsatz gelangende Stoffgesetz soll folgende Zielsetzungen erfüllen:

• Das anisotrope Spannungs-Verformungs- sowie Festigkeits-Verhalten, insbesondere der sedimentären Gesteine, soll in Ansätzen nachgebildet werden. Hierzu wird einerseits die Steifigkeitsmatrix für transversale Isotropie eingebunden. Andererseits wird zur Erfassung der Festigkeitsanisotropie im wesentlichen auf Grundzüge des von ROGMANN (1992) zur Beschreibung des anisotropen Stoffverhaltens von Kohle verwendeten Verfahrens zurückgegriffen. Diese Methode berücksichtigt den Einfluß feinverteilter Risse auf das Materialverhalten.

• Die Temperaturabhängigkeit der elastischen Materialparameter, welche ebenfalls maßgeblich das Spannungs-Dehnungsverhalten des Gebirges um einen Hohlraum beeinflußt, soll in den numerischen Untersuchungen berücksichtigt werden.

• Ein weiterer Aspekt bei der Formulierung des Stoffgesetzes ist die möglichst exakte Annäherung der Grenzfunktion, welche zur Beschreibung des Festigkeitsverhaltens der Gesteine unter beliebigen dreidimensionalen Spannungszuständen dient. Die Grenzfunktion soll dahingehend verbessert werden, daß eine Abweichung der rech-


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nerischen von der tatsächlichen Festigkeit des Materials im Bereich geringer Span-nungssummen Iσ minimiert wird.

Für die numerischen Untersuchungen soll das elastoplastische Materialverhalten von Festgestein durch eine trilineare Näherung der experimentell bestimmten Spannungs-Dehnungs-Kurve approximiert werden. Abb. 4.1 enthält schematisiert die Vorgehens-weise.

Arbeitslinie

Trilineare Näherung

σ

ε

A

B

Entfestigungsast

Peakzustand

Residualzustand

Abb. 4.1: Trilineare Näherung zur Approximierung des experimentell erhaltenen Spannungs-Dehnungsverhaltens von Festgestein (Schema)

Es werden folgende drei Teilbereiche der Arbeitslinie unterschieden.

1. Linear elastischer Bereich bis zum Erreichen des Peakzustandes. In diesem Abschnitt finden ausschließlich elastische Verformungen statt.

2. Entfestigungsast. Trotz weiter zunehmenden Verformungen tritt keine Spannungszunahme mehr auf. Es kommt infolge Entfestigung des Materials zu einem Spannungsabfall (strain sof-tening).

3. Residualzustand. Bei kontinuierlich zunehmender Verformung bleibt die Spannung konstant.


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Das Verhältnis zwischen Verformungsmodul im Belastungspfad und Softening-Modul im Entfestigungsast kann in den numerischen Parameterstudien als material- und tem-peraturabhängige Größe entsprechend den Versuchsergebnissen berücksichtigt werden.

Im folgenden soll unter Hinweis auf die angestrebte trilineare Näherungslösung zur Beschreibung des Materialverhaltens von Festgestein eine geeignete Grenzbeziehung hergeleitet werden.

4.2 Herleitung einer geeigneten Grenzbeziehung

Ausgangspunkt für die Aufstellung einer geeigneten Grenzbeziehung zur Beschreibung des temperaturabhängigen Festigkeitsverhaltens von Granit und Sandstein ist die in Kapitel 3.4.1 vorgestellte Erweiterung einer Fließfunktion nach STUTZ zur Grenzfunktion für kohäsive Materialien (Gl. 3.17). Diese Grenzfunktion beschreibt einen linearen Zusammenhang zwischen den Scherparametern Kohäsion und Winkel der inneren Reibung einerseits und der maximal möglichen Zugfestigkeit andererseits. Diese Approximation der experimentell bestimmten Grenzspannungen (Druckspannungen sind positiv) läßt infolge der hohen Kohäsion im Bereich negativer Spannungssummen beträchtliche Zugspannungen zu, welche größer sind als die zu erwartenden Zugfestigkeiten der untersuchten Gesteine. Ferner fällt bei einem Vergleich der aus Kompressionsversuchen erhaltenen Grenzspannungen für Sandstein mit der Grenzfunktion (vgl. Kapitel 5) bei geringen positiven Spannungssummen Iσ ein signifikanter Abstand der deviatorischen Grenzspannungen von der durch Regression bestimmten Grenzgeraden auf.

Eine bessere Übereinstimmung der Grenzfunktion mit den Versuchsergebnissen von Festgesteinen kann durch Einbeziehung einer Kappe im Zugspannungsbereich erreicht werden. Hierzu wird häufig ein tension-cutoff verwendet (siehe Abb. 4.2). Bei dieser Form der Spannungsbegrenzung wird eine maximal zulässige Spannungssumme Iσ,tc im Zugspannungsbereich ermittelt. Die Deviatorebene durch Iσ,tc bildet die Kappe der Fließfläche.

Am Übergang zwischen der Grenzfunktion (Gl. 3.17) und der tension-cutoff-Bedin-gung entsteht ein Knick. Dadurch ergibt sich in der Ableitung ∂

∂s der Grenzfunktion eine Unstetigkeitsstelle, die bei numerischen Berechnungen zu Instabilitäten im Glei-chungssystem führt.


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0

50

100

150

200

-100 -50 0 50 100 150 200 250

Iσ [MPa]

II s0,

5 [MPa

]Grenzfunktion (Gl. 2.36)

tension-cutoff

Iσ,tc

Druckspannungen sind positiv

Abb. 4.2: Grenzfunktion nach STUTZ in der Deviatorebene mit tension-cutoff.

Die Erweiterung der Beziehung (Gl. 3.17) kann in der Form erfolgen, daß die Gera-dengleichung um eine Exponentialfunktion als dritten Summanden er-gänzt wird. Die zur Beschreibung des Materialverhaltens der untersuchten Gesteine verwendete Grenzbedingung lautet damit:

( )A I y' * 'σ + 0

II A I y yy

y NBs M

M

IM m

1 20

0

1

136

/ ' * ' ' *'

'* *

cos= + −

−

−

− −

−

σσ

σ

α (Gl. 4.1)

für: Iσ ≥ Iσ,z

mit: M I z z= = ∗σ σ, 3 (σz : Zugfestigkeit des Gesteins)

( ) ( )y A M y A I yM z' ' * ' ' * ,= + = +0 0σ '

Die Nullstelle der Grenzfunktion (Gl. 4.1) liegt bei Iσ = Iσ,z. Der Parameter N in Glei-chung (Gl. 4.1) entspricht dem Ordinatenabschnitt (IIs

1/2) der Grenzfunktion in der In-variantendarstellung an der Stelle Iσ = 0. Eine Veränderung der Größe von N hat eine Veränderung der Spannungssumme Iσ zur Folge, oberhalb derer die Grenzfunktion nach (Gl. 4.1) quasi dec??kungsgleich mit der Funktion gemäß (Gl. 3.17) ist. Für die Größe von N gilt folgende untere Schranke:

z,M0 I'A'y'yN σ−=−>


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Wenn ist, so konvergieren die beiden Funktionen (Gl. 4.1) und (Gl. 3.17) nicht. Abb. 4.3 veranschaulicht in einem ebenen Schnitt senkrecht zur De-viatorebene durch den Ursprung des dreidimensionalen Spannungsraumes den Unter-schied zwischen den beiden Grenzfunktionen nach (Gl. 4.1) und (Gl. 3.17).

N y y M≤ −' '0

150,00

100,00

50,00

50,00

100,00

150,00

-50,00 50,00 100,00 150,00 200,00

Stutz (Gl. 3.17)

g(x) nach (Gl. 4.1)

IIs,00,5 [MPa]

Iσ / 30,5 [MPa]

IIs,600,5 [MPa]

y'0

y'M

M

N > y'0 - y'M

K1

K2

E2

Abb. 4.3.: Grenzflächen in der Invariantendarstellung. Gegenüberstellung der Grenz-bedingung nach STUTZ (Gl. 3.17) und der entwickelten Beziehung nach (Gl. 4.1) unter Berücksichtigung unterschiedlicher Festigkeiten im Kom-pressions- und Extensionsversuch.

4.3 Beschreibung der Festigkeits-Anisotropie von Sandstein

Im Rahmen der eigenen Untersuchungen wird versucht, die richtungsabhängige Mate-rialfestigkeit mit Hilfe der Netto-Spannungs-Analyse zu beschreiben. Dieser Ansatz berücksichtigt die Größe der wirksamen Spannungen bezogen auf den tatsächlichen Querschnittsanteil der Materialbrücken in einem beliebigen Schnitt durch das Gestein. Zur Einbindung des Modells in das Programmpaket ADINA wird das von ROGMANN (1992) angewendete Konzept zur Beschreibung des anisotropen Materialverhaltens von Camphausen-Kohle in Form der "Damage Tensor Analysis" modifiziert.

Das Grundprinzip des Damage Tensors beruht auf einer Reduktion der spannungs-übertragenden Flächen und der damit verbundenen Erhöhung der effektiven Spannun-gen in den Materialbrücken.


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Da sich bei Sandsteinen die materielle und festigkeitsmechanische Anisotropie zumeist auch in einer anisotropen Ausrichtung der Porenräume bzw. der Kornkontaktflächen (vgl. u.a. die Arbeiten von DOBEREINER et al., 1986) äußert, erscheint es möglich, auch die richtungsabhängigen Festigkeitseigenschaften von Sandsteinen in numerischen Parameterstudien mit Hilfe der Damage-Tensor-Analysis zu erfassen.

Im folgenden wird gezeigt, inwiefern die Ansätze für das klüftige Medium auf sedi-mentäre Gesteine mit anisotrop verteilten Porenräumen übertragen werden können.

Die theoretischen Annahmen der Damage-Tensor-Analysis werden wie folgt auf die Anisotropie-Eigenschaften von Sandstein übertragen:

Annahmen der Damage-Tensor-Analysis Anwendung auf Sandstein

• Die Trennflächen einer realen Kluft-schar liegen in zueinander parallelen Ebenen (Kluftebenen).

• Für sedimentäre Gesteine bedeutet dies, daß sich die Vorzugsorientie-rung von Porenräumen als konstante Richtung im gesamten Gestein wie-derfindet.

• Auch bei beliebig vielen unter-schiedlich orientierten Trennflä-chenscharen kann die Anisotropie des Materialverhaltens durch ein ideelles, orthotropes Kluftsystem hinreichend genau beschrieben wer-den. Dieses orthogonale Trennflä-chensystem wird als Hauptachsen-system der Anisotropie (HASA) be-zeichnet.

• Das HASA ist bei Sedimentgestei-nen parallel mit dem Koordinaten-system der transversalen Isotropie.

• Die durch Trennflächen hervorgeru-fenen, anisotropen Verformungsei-genschaften des Gebirges lassen sich durch eine Reduktion der span-nungsübertragenden Flächen im Hauptachsensystem der Anisotropie nachbilden.

• Diese Annahme wird im Stoffgesetz für sedimentäre Gesteine nicht übernommen, da die Verformungs-anisotropie bereits durch Verwen-dung der transversal isotropen Stei-figkeitsmatrix erfaßt wird.


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Tr

Analog zur Vorgehensweise für geklüftete Gesteine in der Damage Tensor Analysis wird auch für sedimentäre Gesteine die Anisotropie der Materialfestigkeit - im Gegen-satz zu den Verformungen - auf eine signifikante Veränderung der spannungsübertra-genden Querschnittsflächen in Abhängigkeit von der Schichtungsorientierung zurück-geführt. In Abschnitt 3.3 wurde bereits auf die Zusammenhänge zwischen dem linea-ren Durchtrennungsgrad und der von KAHN (1956) definierten Packungsdichte von Sedimenten hingewiesen. Auch die Untersuchungen von DOBEREINER et al. (1986) zeigen, daß die Porenausdehnung in Schnitten senkrecht und parallel zur Schichtung deutlichen Schwankungen unterliegt.

In Kapitel 5 wird anhand von Ergebnissen mineralogisch-petrologischer Untersuchun-gen an Sandstein gezeigt, daß auch die Porenverteilung des in den Versuchsserien ein-gesetzten Materials eine signifikante Anisotropie aufweist.

Zur Ermittlung des Netto-Spannungs-Tensors für ein klastisches Sedimentgestein wer-den in den drei orthogonalen Ebenen des Hauptachsensystems der Anisotropie die Durchtrennungsgrade benötigt.

Zur Vereinfachung kann davon ausgegangen werden, daß zum einen das Hauptachsen-system der Anisotropie durch zwei orthogonale Vektoren in der Schichtungsebene und den Normalenvektor auf die Schichtung definiert ist und zum anderen die Porenanteile in allen Schnittebenen senkrecht zur Schichtung gleich groß sind. Die zweite Annahme leitet sich aus der Voraussetzung eines transversal isotropen Materialverhaltens des untersuchten Sandsteines ab. Hierdurch treten lediglich zwei unterschiedliche Flächendurchtrennungsgrade auf. Es genügt somit, die Porenverteilung in einem Schnitt senkrecht und einem Schnitt parallel zur Schichtung zu untersuchen.

Zur Berechnung der wirksamen Spannungen im Sandstein werden die mit Hilfe der elastischen, transversal isotropen Stoffmatrix aus den Dehnungen ermittelten Spannun-gen [T] mittels der Transformationsmatrix [Tr] in das Hauptachsensystem der Aniso-tropie transformiert. Es gilt:

[ ] [ ] [ ] [ ]T Tr TT' = vgl. (Gl. 3.25)

In einem nächsten Schritt werden die tatsächlich wirksamen Spannungen als Kompo-nenten des Netto-Spannungs-Tensors [T'n] analog der in Kapitel 3.4.2.3 beschriebenen Vorgehensweise (Gl. 3.26) berechnet und der Nettospannungstensor gemäß (Gl. 3.27) symmetrisiert.


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Die so ermittelten wirksamen Spannungen werden in das globale Koordinatensystem rücktransformiert und anschließend in die Grenzbedingung eingesetzt. Die Anisotropie der Festigkeit von Sandstein kann mit dem vorgestellten Modell der Nettospannungs-analyse hinreichend genau beschrieben werden.

Experimentelle Ermittlung der temperaturabhängigen Materialparameter

5 Experimentelle Ermittlung der temperaturabhängigen Materialparameter

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Zur Ermittlung der Materialeigenschaften von Festgesteinen wird häufig der konven-tionelle dreiaxiale Druckversuch angewendet. In derartigen Versuchen wird die mit einer Trennmembran gegen ein Eindringen des Seitendruckmediums geschützte, zylin-drische Gesteinsprobe in radialer Richtung mit einem konstanten Druck beaufschlagt und in axialer Richtung mittels eines Laststempels bis zum Erreichen des Bruchzu-standes belastet. Im Rahmen der vorliegenden Bearbeitung wurde ein Teil der Proben mit konstanter Spannungssumme (deviatorische Triaxialversuche auf dem Kompres-sions- und Extensionspfad) beansprucht.

Zur Durchführung der experimentellen Untersuchungen wurde eine Triaxialzelle kon-struiert, in der zylindrische Gesteinsprüfkörper (Durchmesser 50 - 100 mm) bei Sei-tendrücken bis 60 MPa und Temperaturen bis 250°C belastet werden können. Es wur-den sowohl Kompressions- als auch Extensionsversuche gefahren, in denen für Last-stufen bis zu den Grenzzuständen neben der Ermittlung elastischer Gesteinskenngrö-ßen auch das Kriechverhalten der Proben untersucht wurde. Die Versuche werden einerseits zur Bestimmung von Materialparametern im Stoffgesetz und andererseits zur Überprüfung der Güte der entwickelten Beziehungen herangezogen.

In diesem Kapitel wird zunächst der eingesetzte Versuchsstand beschrieben, gefolgt von einer kurzen Erklärung zur Probenvorbereitung sowie Auswahl der untersuchten Gesteinsarten. Die in den Experimenten verwendeten Gesteine werden hinsichtlich ihrer mineralogisch-petrologischen Eigenschaften beschrieben. Des weiteren erfolgt eine Beschreibung der Versuchsdurchführung sowie der Bestimmung der Materialpa-rameter. Den Abschluß dieses Kapitels bildet die Ermittlung der temperaturabhängigen Stoffparameter, welche als Eingangsgrößen für das entwickelte Stoffgesetz benötigt werden.

5.1 Versuchsstand

Die Versuche zur Ermittlung temperaturabhängiger Materialparameter an kristallinem Gestein und Sandstein wurden größtenteils in der Hochdruck-Hochtemperatur-Tri-axialzelle (HT-Zelle) des Fachgebietes Bodenmechanik und Grundbau der Universität Kaiserslautern gefahren. Die HT-Zelle wurde als Einschubmodul zum Groß-Triaxial-gerät des Fachgebietes konzipiert. Das eingesetzte Groß-Triaxialgerät ist eine Vier-Säulen-Prüfmaschine der Genauigkeitsklasse 1 gemäß DIN 51223. Sowohl die axiale


Belastungseinrichtung als auch die dazugehörige Prozeßsteuerung sind Bestandteil des Groß-Triaxialgerätes während die Seitendruck-Aufbringung ebenso wie die Heizung ausschließlich für den Betrieb der HT-Zelle konzipiert wurden. In Tabelle 5.1 sind die technischen Daten der Gesamtkonfiguration zusammengestellt.

Tabelle 5.1: Technische Daten des Hochdruck-Hochtemperatur-Prüfstandes am Fach-gebiet Bodenmechanik und Grundbau

Druckkraft : 3.000 kN Zugkraft : 500 kN Kolbenhub : 280 mm Vorschubgeschwindigkeit des Kolbens : 0,001 .. 9,999 mm/min max. Seitendruck : 60 MPa max. Prüftemperatur : 250 °C max. Probenhöhe : 220 mm max. Probendurchmesser : 100 mm

Alle Verbindungen der Zelle sind auf die Durchführung von Kompressions- und Ex-tensionsversuchen, d.h. druck- und zugfest, ausgelegt. Die Axiallast- und Seitendruck-aufbringung erfolgt durch zwei voneinander unabhängig operierende Hydraulikaggre-gate mit jeweils eigenständigen Schalt- und Regeleinheiten. Den hydraulischen Schalt-plan der Gesamtanlage zeigt Anhang 1. Die Durchführung deviatorischer Triaxialver-suche wird über einen PC-gestützten Regelkreises kontrolliert, welcher die beiden ge-trennten Aggregate zur Aufbringung der Axiallast bzw. des Seitendruckes unabhängig voneinander ansteuern kann.

Am Fachgebiet wurde zu diesem Zwecke ein eigenes Steuerungsprogramm - basierend auf einem Demo-Programm der Herstellerfirma des Groß-Triaxialgerätes - entwickelt und für die Versuchsdurchführung eingesetzt. Neben deviatorischen Triaxialversuchen können auch konventionelle Triaxialversuche mit konstantem Seitendruck sowie ein-axiale Druckversuche gefahren werden. Es besteht die Möglichkeit, auf verschiedenen Spannungsniveaus sowohl Ent-/ Wiederbelastungszyklen als auch Kriechphasen va-riabler Dauer zwischenzuschalten.

Da in der vorliegenden Gerätekonfiguration eine Veränderung des Seitendruckes deut-lich schneller zu bewerkstelligen ist als eine Änderung der Axiallast liegt es nahe, in lastgeregelten Versuchen zunächst den Anstieg bzw. die Abnahme der axialen Bela-stung inkrementell zu regulieren und den Seitendruck entsprechend nachzuregeln. Im Falle von weggesteuerten Triaxialversuchen, wie sie zur Untersuchung des Einflusses

55


56

der Verformungsgeschwindigkeit auf das Materialverhalten notwendig sind, kann mit Hilfe des hydraulischen Linearverstärkers ein konstanter, lastunabhängiger axialer Kolbenvorschub definiert werden.

Die Heizung der Zelle erfolgt über 3 Heizbänder mit einer Leistung von jeweils 3 kW, die um den Zellmantel geklemmt werden, und die einzeln von einer Steuerung aus je nach Bedarf ein- oder abgeschaltet werden können. Die Temperatur in der Zelle wird mit 3 eingeschraubten Pt100-Fühlern - über die Höhe verteilt - gemessen. Die Ablese-genauigkeit beträgt 1°C. Die Temperatur-Konstanthaltung erfolgt mit einer Schwan-kungsbreite von ± 3°C. Die Wärmeisolierung des Druckbehälters erfolgt über einen Blechmantel, der mit Steinwolle ausgekleidet ist. Eine zusätzliche Beschichtung mit Aluminiumfolie sorgt für eine erhöhte Wärmeabstrahlung. Abb. 5.1 zeigt den Ver-suchsstand mit eingebauter Triaxialzelle sowohl ohne als auch mit montiertem Isolier-mantel.

Abb. 5.1: Hochdruck-Hochtemperatur-Triaxialzelle im Lastrahmen des Großtriaxial-gerätes ohne und mit Isoliermantel.


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Die Versuche zur Ermittlung der Zugfestigkeit der untersuchten Gesteine in Abhängigkeit von der Temperatur konnten mit einer Prüfpresse des Materialprüfamtes Kaiserslautern durchgeführt werden. Es handelt sich auch bei dieser Presse um eine Vier-Säulen-Prüfmaschine der Genauigkeitsklasse 1 gemäß DIN 51223 mit einer maximalen Prüflast von 4000 kN.

5.2 Prüfkörpervorbereitung und Probeneinbau

Die Prüfkörper für die Einaxial- und Triaxialversuche wurden am Fachgebiet Boden-mechanik und Grundbau mit Hilfe eines Kernbohrgerätes aus Gesteinsblöcken (Quer-schnittsfläche: ca. 25 ∗ 25 cm²) von 1,5 m bis 2,5 m Länge gewonnen. Sämtliche Granitkerne waren gleich orientiert; die Sandstein-Prüfkörper wurden sowohl senk-recht als auch parallel zur Schichtung erbohrt. Nach dem Bohren wurden die Kerne mit einer Gesteinssäge abgelängt (Verhältnis h/d ≈ 2/1) und ihre Endflächen in einer Würfelschleifmaschine plangeschliffen. Die Anforderungen an die Prüfkörperqualität gemäß den Empfehlungen des Arbeitskreises 'Versuchstechnik im Fels' der DGEG (DGGT) wurden in fast allen Versuchen erfüllt. Lediglich bei den Hochtemperaturver-suchen an kleinen Granitproben mit einem Probendurchmesser von 50 mm war die Forderung, daß der Probendurchmesser mindestens das Zehnfache des Größtkorn-durchmessers betragen soll, aufgrund von bis zu 1 cm großen Einsprenglingen nicht erfüllt. Die an diesen Prüfkörpern ermittelten Materialparameter unterscheiden sich allerdings nicht signifikant von denen, welche an Proben ohne derartige Einsprenglinge bestimmt wurden.

Bei der eingesetzten Versuchstechnik wird der Seitendruck in der Triaxialzelle hyd-raulisch über eine die Probe umgebende Flüssigkeit aufgebracht. Als Seitendruckme-dium wird in der Hochtemperatur-Triaxialzelle eine Wärmeträgerflüssigkeit auf Mine-ralölbasis eingesetzt. Diese dient gleichzeitig zur Wärmeübertragung. Um ein Eindrin-gen des Seitendruckmediums in den Prüfkörper zu verhindern wird die Probe in einem Schlauch eingebaut, der bis über die Probenendplatten reicht und druckdicht gegen diese abschließt. Die Auswahl des Schlauchmaterials richtete sich im wesentlichen nach der Versuchstemperatur und der Resistenz des Schlauchmaterials gegen die ver-wendete Wärmeträgerflüssigkeit.

Im Temperaturbereich bis etwa 100°C wurden Schläuche aus Synthesekautschuk (Chlorkautschuk; Hauptbestandteil Polychloropren) eingesetzt. Oberhalb von 100°C wurden für Prüfkörper mit 50 mm Durchmesser Schläuche aus Silikonkautschuk bis zur maximalen Prüftemperatur von 250°C erfolgreich eingesetzt. Schläuche aus


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diesem Material für Probendurchmesser von 100 mm sind allerdings nicht handelsüblich. Um größere Proben (∅ = 100 mm) bei Temperaturen oberhalb 100°C untersuchen zu können, eignen sich sowohl Viton-Schläuche als auch auf Schlauchstärke abzudrehende Teflon-Rohre. In den eigenen Untersuchungen wurden bis auf knapp 1 mm Wandstärke abgedrehte Teflon-Rohre als Trennmembran verwendet.

5.3 Versuchsdurchführung

Um das temperaturabhängige Materialverhalten von Granit und Sandstein beschreiben zu können, wurden einaxiale Druckversuche, Triaxialversuche auf der Kompressions- und Extensionsachse sowie Zugversuche durchgeführt. Die Zugversuche wurden als Brazilian-Tests zur Ermittlung der Spaltzugfestigkeit gemäß DIN 1048, Teil 5, mit einer Prüfpresse des Materialprüfamtes Kaiserslautern gefahren. Für alle anderen Ver-suche wurde die oben beschriebene HT-Zelle eingesetzt. Die Diskussion der Ver-suchsergebnisse erfolgt gesondert für die beiden Versuchsgesteine

Die im Rahmen dieser Arbeit vorgestellten Triaxialversuche wurden als drainierte Versuche unter stationären Temperaturverhältnissen an lufttrockenen Prüfkörpern (Wassergehalt im Porenraum entspricht etwa der relativen Luftfeuchtigkeit in der Ver-suchshalle) gefahren, um eine Beeinträchtigung durch die Zusammensetzung von Flui-den und den Porendruck in teilgesättigten Gesteinsprüfkörpern weitgehend auszu-schließen. Ein Porendruck ist bei der Auswertung der Versuchsergebnisse daher nicht zu berücksichtigen. Zur Überprüfung des Einflusses des Belastungspfades auf das Festigkeitsverhalten der untersuchten Gesteine wurden neben deviatorischen Triaxial-versuchen auch Triaxialversuche mit konstantem Seitendruck gefahren.

In allen durchgeführten Ein- und Triaxialversuchen wurden die axialen Probenverfor-mungen mit Hilfe von induktiven Wegaufnehmern (Auflösung: 2,5 µm) gemessen. Bei den Versuchen bis 75°C wurden die Wege unmittelbar zwischen den Probenendplatten im Inneren des Druckbehälters gemessen. Die eingesetzten Hochtemperatur-Wegaufnehmer fielen bei Versuchstemperaturen oberhalb von 200°C häufig aus. Aus diesem Grund wurde zusätzlich ein außerhalb der Druckzelle angeordnetes induktives Wegmeßsystem installiert, um auch im Hochtemperaturbereich die Axialverformungen der Prüfkörper kontinuierlich aufzeichnen zu können.


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Da die außenliegende Axialwegmessung neben den eigentlichen Prüfkörperverformungen auch Veränderungen der Stempellänge als Folge der Temperaturveränderungen sowie der Axiallast und des Seitendruckes in der Triaxialzelle erfaßt, wurden mehrere Kalibrierversuche unter Verwendung sowohl des internen als auch des externen Wegmeßsystems durchgeführt. Aus der Auftragung des extern gemessenen Weges über der intern erfaßten Probenverformung konnte eine lineare Abhängigkeit zwischen beiden Messungen belegt werden. Die mit dem externen Wegaufnehmer bestimmten axialen Probenverformungen wurden vor Auswertung der Versuche mit dem experimentell festgestellten Proportionalitätsfaktor multipliziert.

Ein Problem bei Triaxialversuchen stellt stets die Messung der Radialverschiebungen dar. In einem Teil der durchgeführten Triaxialversuche wurden die Radialdehnungen während des Versuchsablaufes mit Hochtemperatur-Dehnungsmeßstreifen (HT-DMS) erfaßt. Da während der Versuchsphase die Proben von einem eng anliegenden Gummisack umgeben wurden, war es wegen Verletzungsgefahr der DMS und der häufig auftretenden Undichtigkeiten an den Ansatzstellen (Herausführung der Kabel) nicht möglich, die Hochtemperatur-Dehnungsmeßstreifen (HT-DMS) direkt auf den Proben zu applizieren. Aus diesem Grund wurde eine wiederverwendbare Meßspange eingesetzt, auf welche die HT-DMS geklebt werden konnten. Das Prinzip der Meßspange wird im folgenden beschrieben.

Zur Herstellung einer geeigneten Meßspange wurden mehrere halbkreisförmig gebo-gene Federband-Stahlbleche angefertigt. Auf jedes Federstahlblech mußten auf der Außen- und Innenseite die HT-DMS genau parallel zueinander geklebt werden. Je zwei halbkreisförmige Federstahlbleche mit den applizierten DMS wurden zu einer Meßspange mit ∅ 120 mm montiert, indem sie mit 2 Aluminiumklötzchen verschraubt wurden. Die quadratischen Aluminiumklötzchen, die eine Dicke von 10 mm hatten, waren auf der Innenseite der Spange angeordnet. Hierdurch konnte die Meßspange mit ausreichendem Abstand zur Probe befestigt werden. Infolge der Vorspannung der Fe-derbänder wurden die Alu-Klötzchen an die Probe gepreßt und dienten somit als Halterung für die Meßspange. Diese DMS-Meßspange ließ sich problemlos über die Probe und die Trennmembran stülpen. Somit war gewährleistet, daß die Anschlußkabel der DMS nicht die Probenumhüllung durchdringen und problemlos aus dem Druckbehälter geführt werden konnten, um an den Trägerfrequenz-Meßverstärker angeschlossen zu werden. Abb. 5.2 zeigt die beiden eingesetzten Meßspangen in montiertem Zustand nach Beendigung eines Versuches.


60

Abb. 5.2: Meßspangen mit Vollbrückenschaltung

Die elektrischen Anschlüsse an der Spange wurden als temperatur- und torsionskom-pensierte Vollbrückenschaltung hergestellt. Der Analog-Ausgang des Meßverstärkers war ungefiltert und hatte eine hohe Oberwelligkeit der Meßsignale zur Folge. Aus die-sem Grund wurden 50 Hz-Tiefpaßfilter nachgeschaltet.

In einem Teil der Triaxialversuchen war aufgrund technischer Schwierigkeiten beim Einsatz der Radialdehnungs-Meßspange keine direkte Messung der Radialdehnungen möglich. In diesen Versuchen wird die Axialverformung der Proben im hydrostati-schen Lastpfad zur Bestimmung des Kompressionsmoduls benutzt. Es gilt K = ∆Iσ/∆Iε und da ∆εx,h = ∆εy,h = ∆εz,h sowie ∆σx,h = ∆σy,h = ∆σz,h auch K = ∆σz,h/∆εz,h. Somit ist die Ermittlung von zwei linear unabhängigen elastischen Materialparametern aus den Arbeitslinien der Versuche für alle Proben möglich. Bei Sandstein lassen sich durch die Kombination von deviatorischen Triaxialversuchen und Versuchen mit konstantem Seitendruck und gleichzeitiger Berücksichtigung von zwei unterschiedlichen Prüfkör-perorientierungen (Probenachse parallel bzw. orthogonal zur Schichtung) auch für den Fall eines transversal isotropen elastischen Materialverhaltens alle erforderlichen Ela-stizitätsparameter bestimmen.


5.4 Petrographie der untersuchten Gesteine

Für die experimentellen Untersuchungen sollten Granit- und Sandstein-Prüfkörper verwendet werden. Anhand petrographischer Analysen der verwendeten Gesteine sollten zusätzliche Informationen zu möglichen Einflußfaktoren auf das mechanische Materialverhalten gewonnen werden. Nachfolgend werden die Ergebnisse der minera-logisch-petrologischen Untersuchungen kurz zusammengefaßt.

5.4.1 Granit

Da im näheren Umfeld der Universität Kaiserslautern keine Granitvorkommen liegen, wurde der Granit für die erste Versuchsserie über einen ortsansässigen Steinmetzbe-trieb bezogen. Der Granit stammt aus der Nähe von St. Salvy - nächste größere Stadt ist Castres - in der Tanne-Region, Frankreich. Es handelt sich um eine grob- bis mit-telkörnige, plagioklasreiche Varietät von grau-weißer Farbe mit schwarzen Flecken. Das Gestein ist holokristallin wechselkörnig, d.h. alle Mineralkomponenten sind kri-stallisiert und es treten sowohl große als auch kleine Körner auf. Die einzelnen Kri-stalle sind eng verzahnt (Implikationsgefüge). Eine Vorzugsorientierung der Mineral-körner ist nicht zu erkennen.

Abb. 5.3: Mineralzusammensetzung des untersuchten Granites im Dünnschliff; lange Kante entspricht ca. 18 mm.

a) ohne Analysator, b) mit gekreuzten Polarisationsfiltern.

61


62

An einem unbelasteten sowie einem gebrochenen Granit-Prüfkörper wurden petrogra-phische Untersuchungen am Institut für Meteorologie und Geophysik der Universität Frankfurt durchgeführt. Neben der Auswertung von Dünnschliffen - Abb. 5.3 zeigt einen repräsentativen Schnitt ohne Analysator (a) und mit gekreuzten Polarisationsfil-tern (b) - wurden zur Analyse der Verteilung und Orientierung von Mikrorissen chemische Kontaktabbildungen (CKA) angefertigt. Aufgrund der Dünnschliffuntersuchungen läßt sich zur mineralogisch-petrologischen Zusammensetzung des Granites folgendes sagen:

Hauptkomponenten sind Quarz, Plagioklas, Alkalifeldspat und Glimmer (Biotit + Muskowit). Der Mineralkorndurchmesser der hellen Bestandteile beträgt 7 bis 8 mm; vereinzelt treten Alkalifeldspatkristalle von knapp 2 cm Durchmesser auf. Bei den Al-kalifeldspäten handelt es sich um verhältnismäßig große, hypideomorphe Körner mit Entmischungslamellen. Auch die Plagioklase liegen als hypideomorphe Kristalle vor. Sie weisen einen gut erkennbaren Zonalbau auf. Ein erheblicher Teil der Feldspatkri-stalle (etwa 75 %) zeigt deutliche Verwitterungsspuren (Sericitisierung, Saussuritisie-rung). Die Quarzkörner sind xenomorph ausgebildet. Die regellos verteilten dunklen Minerale (5 - 10 % Volumenanteil) sind ideomorph bis hypideomorph und erreichen eine maximale Länge von 3 mm.

Abb. 5.4: Intragranularer Riß durch ein Quarzkorn; Dünnschliff aus einem unbelaste-ten Granit-Prüfling, lange Kante: 3 mm.

Experimentelle Ermittlung der temperaturabhängigen Materialparameter eraturabhängigen Materialparameter

Zahlreiche Mineralkörner aus nicht versuchstechnisch belasteten Proben weisen in Dünnschliffen intragranulare Mikrorisse auf (siehe Abb. 5.4). Diese latenten Risse besitzen jedoch keine Vorzugsorientierung.

Zahlreiche Mineralkörner aus nicht versuchstechnisch belasteten Proben weisen in Dünnschliffen intragranulare Mikrorisse auf (siehe Abb. 5.4). Diese latenten Risse besitzen jedoch keine Vorzugsorientierung.

Das Phänomen einer Bildung von Mikrorissen in Bereichen mit starker thermischer und mechanischer Beeinflussung infolge des Bohrvorganges zur Kerngewinnung wurde an einem etwa 2 cm langen Alkalifeldspat untersucht. Abb. 5.5 zeigt zwei Dünnschliffvergrößerungen des betrachteten Feldspatkristalls im polarisierten Durch-licht.

Das Phänomen einer Bildung von Mikrorissen in Bereichen mit starker thermischer und mechanischer Beeinflussung infolge des Bohrvorganges zur Kerngewinnung wurde an einem etwa 2 cm langen Alkalifeldspat untersucht. Abb. 5.5 zeigt zwei Dünnschliffvergrößerungen des betrachteten Feldspatkristalls im polarisierten Durch-licht.

a) b) a) b)

Rand 3 mm bis zum Rand 0,5 mm 0,5 mm

Abb. 5.5: Dünnschliffvergrößerung eines Feldspatkristalls aus einem unbelasteten Granitkern;

a) Ausschnitt aus dem Bereich der Bohrkern-Mantelfläche b) Ausschnitt etwa 3 mm von der Mantelfläche entfernt.

63 63


64

Der Dünnschliff wurde normal zur Bohrkernachse angelegt. Am oberen Bildrand ist in Abb. 5.5 a) die Mantelfläche des Kernes zu erkennen. Ausschnitt b) ist etwa 3 mm von der Mantelfläche entfernt. Es ist eine deutliche Zunahme von Mikrorissen in der Nähe der Bohrkernoberfläche zu erkennen. Betroffen ist ein Bereich von knapp 1 mm Breite. Diese Mikrorißpopulation wird als Folge des Bohrvorgangs angesehen. In Abb. 5.6 sind zwei schematische Schnitte durch eine derart überprägte Granitprobe darge-stellt.

d d = 2r

h

∆ r

gestörter Bereich

Längsschnitt

Querschnitt

Abb. 5.6: Schematische Schnitte durch eine bohrtechnisch gestörte Granitprobe.

Bei einem Prüfkörperquerschnitt von d = 50 mm betrifft die vermehrte Mikrorißhäu-figkeit einen Volumenanteil von etwas mehr als 7 %, bei einem Prüfkörperquerschnitt von d = 100 mm von knapp 4 %. Bezogen auf das mechanische Materialverhalten der Granitproben handelt es sich jedoch um einen vernachlässigbaren Oberflächeneffekt.

5.4.2 Sandstein

Im Rahmen einer zweiten Versuchsreihe wurden Sandstein-Prüfkörper untersucht. Es handelt sich bei dem verwendeten Material um einen mittel- bis grobkörnigen Quarz-sandstein von roter Färbung mit silikatischer Kornbindung. Die Sandstein-Rohlinge stammen aus dem Steinbruch im Schweinsthal bei Queidersbach (TK 25 Blatt 6621 Trippstadt) der Fa. Konrad Müller GmbH, Kaiserslautern. Der rote Kristallsandstein besitzt ein homogenes, poröses Korn-an-Korn-Gefüge und zeigt nur eine undeutliche Schichtung. Er gehört zur Karlstal-Felszone der Karlstal-Schichten (Mittlerer Bunt-sandstein).


Der Mineralbestand des Sandsteines wurde am Institut für Meteorologie und Geophy-sik der Universität Frankfurt in Dünnschliffen ausgewertet. Zur Ermittlung der Mine-ralzusammensetzung wurde über den Dünnschliff ein Gitternetz (Auszählnetz) gelegt. An den Gitterknoten wird jeweils die im Dünnschliff angeschnittene Mineralart be-stimmt. Es ergibt sich eine Matrix der Mineralverteilung, welche ausgewertet und auf das Gesamtvolumen extrapoliert wird. Mit diesem Auswerteverfahren ergaben sich an zwei Ausschnitten folgende auf das Gesamtvolumen bezogene Mengenanteile der ein-zelnen Mineralkomponenten:

Tabelle 5.2: Mineralzusammensetzung des untersuchten Sandsteines; Dünnschliff-auswertung an der Universität Frankfurt.

Ausschnitt Ausschnitt

Monomineralische Komponenten Quarz 63,56 % 77,15 % Kalifeldspat 1,94 % 3,05 % Glimmer 0,00 % 0,30 % Opake Minerale Schwerminerale

0,39 %

0,61 % 0,91 %

Lithoklasten Qz/Fsp/Glm-Verw. 0,78 % 0,30 % Meta-Tst/Siltst. 1,94 % 2,44 % Tonklasten 0,00 % 0,30 %

Authigene Minerale (ohne Verdrängung) Quarz 3,88 % 0,30 % Fe-Oxide 1,55 % 3,05 % Tonminerale 0,78 % 0,30 %

Porenraum 25,17 % 11,29 %

Bezogen auf das Mineralkornvolumen besteht der Sandstein zu rund 93 % aus Quarz. Kalifeldspat und die im Gestein enthaltenen Lithoklasten sind mengenmäßig etwa gleich stark vertreten. Die Eisenoxide verleihen dem Sandstein seine rötliche Farbe. Auf den petrographischen Unterschied zwischen den beiden untersuchten Teilberei-chen wird noch eingegangen.

65


66

In den mineralogisch-petrologischen Untersuchungen des verwendeten Sandsteins ließ sich das bei Granit erfolgreich eingesetzte Verfahren der chemischen Kontaktabbil-dung zur Sichtbarmachung der Porenräume und möglicherweise vorhandener Mikro-risse aufgrund der hohen Porosität nicht anwenden. Daher wurden die Sandstein-Scheiben, aus denen Dünnschliffe angefertigt werden sollten, mit einem blau einge-färbten 4-Komponenten-Kleber getränkt. Damit auch sehr kleine Risse noch ausgefüllt werden konnten, wurde der Kleber mit Aceton stark verdünnt.

kompakte Lage (kleinere Mineralkörner)

Abb. 5.7: Sandstein mit sichtbarer Schichtung (horizontal im Bildausschnitt); die Porenräume sind eingefärbt. Größe des Bildausschnittes: 4 mm * 6 mm

Die Porenräume zwischen den gerundeten und nur angekitteten Quarzkörnern (silikati-sche Bindung durch Quarzsprossung) sind meist frei. Die Betrachtung von makrosko-pisch schwach erkennbaren Schichtflächen im Dünnschliff zeigt, daß die materielle Anisotropie ihre Ursache im Vorhandensein einzelner, dünner Lagen fein- bis mittel-körniger Quarzkörner mit deutlich reduziertem Porenvolumen hat.


In Abb. 5.7 läßt sich deutlich eine horizontal verlaufende kompakte Lage kleinerer Mi-neralkörner erkennen. Die in dem ohne gekreuzte Polarisatoren angefertigten Photo sichtbaren dunklen Flecken sind mit dem gefärbten Kleber ausgefüllte Porenräume. Der Mineralkorndurchmesser in den gröberen Schichten schwankt zwischen 0,1 mm und 0,6 mm, der Porenanteil beträgt rund 25%. Die Porenräume wurden bei der opti-schen Rasterauszählung analog zu den einzelnen Mineralarten erfaßt. Die Quarzkörner in den kompakten Schichten (Porenanteil etwa 11%) weisen nur eine Korngröße von 0,1 mm bis 0,3 mm auf. Hinsichtlich der mineralogischen Zusammensetzung unter-scheiden sich der poröse und der kompakte Bereich nur unwesentlich (siehe oben).

Bei näherer Betrachtung der Porenräume zwischen den einzelnen Quarzkörnern unter dem Mikroskop entstand der Eindruck einer richtungsabhängigen Porenausdehnung. Zur Quantifizierung der Anisotropie der Porengeometrie wurde eine Orientierungs-Analyse durchgeführt. Hierzu wurde der Rand der eingefärbten Poren mit Hilfe eines rechnergestützten Verfahrens abgetastet. Die Segmente des Porenrandes wurden nach Länge und Richtung erfaßt. Mit Hilfe einer statistischen Aufbereitung des Datensatzes konnte die vermutete Vorzugsorientierung der Poren belegt werden. Abb. 5.8 zeigt die Ergebnisse in Form zweier Richtungsrosen getrennt für den porösen und den kompak-ten Gesteinsbereich.

Kompakter Bereich Poröser Bereich

Schichtung vertikal

10%10% I

I

(Schnitt I-I)(Schnitt I-I) I

I I

I

Abb. 5.8: Ergebnisse der Orientierungsanalysen zur Porenauslängung des untersuch-ten Sandsteines in einem Dünnschliff senkrecht zur Schichtung;

Die äußeren Kreise entsprechen einem Längenanteil von 10% der Porenum-randung. Der Abstand zwischen den konzentrischen Kreisen beträgt 2%

67


68

Aus der grafischen Darstellung zur Richtungsanisotropie der Porenausdehnung erkennt man unschwer, daß der Porenanteil in einem Schnitt senkrecht zur Schichtung deutlich größer ist als in einem Schnitt parallel zur Schichtung. Dieser Trend tritt in praktisch unveränderter Form sowohl in den feinkörnigen, kompakten Lagen als auch in den poröseren Gesteinspartien auf. Die Anisotropie resultiert aus der diagenetischen Verfestigung des Sandsteins. In Ebenen senkrecht zur maximalen Spannung - diese entspricht i.d.R. dem vertikalen Überlagerungsdruck - treten bevorzugt Drucklösungserscheinungen auf, während es im "Druckschatten" zur Quarzsprossung kommt. Derartige Stoffumlagerungen haben eine Vergrößerung des Kornkontaktes und eine Verkürzung der Porenausdehnung parallel zur Schichtung zur Folge. Ursprünglich fast runde Mineralkörner werden zunehmend elliptisch. Da keine großen tektonisch bedingten Horizontalspannungen diesen Umkristallisationsprozeß in den Sandsteinen des Pfälzer Buntsandsteins beeinträchtigen, kommt es in der Schichtebene zu keiner Vorzugsorientierung der Quarzneubildung. Das Resultat ist eine transversale Isotropie der Porenausdehnung.

Die Beobachtungen zur transversalen Isotropie der Porenausdehnung lassen sich sehr gut mit den Ergebnissen von DOBEREINER & FREITAS (1986) korrelieren, welche in Kapitel 3 dokumentiert sind.

Im folgenden werden die zur Beschreibung des linear elastischen Materialverhaltens erforderlichen Stoffparameter bestimmt. Die Auswertung der experimentellen Daten erfolgt getrennt für die beiden Versuchsgesteine.

5.5 Bestimmung der temperaturabhängigen elastischen Materialparameter

Im folgenden werden die zur Beschreibung des linear elastischen Materialverhaltens erforderlichen Stoffparameter bestimmt. Die Auswertung der experimentellen Daten erfolgt getrennt für die beiden Versuchsgesteine.

5.5.1 Granit

An Granit wurden die elastischen Materialparameter teils statisch aus den Arbeitslinien von Einaxial- und Triaxilaversuchen teils dynamisch mit Hilfe von Ultraschallmessungen ermittelt.


5.5.1.1 Statische Versuche zur Bestimmung der elastischen Materialparameter

Für den größten Teil der untersuchten Granitproben konnten die elastischen Material-parameter aus den Spannungs-Verformungs-Diagrammen der Ein- und Triaxialversu-che bestimmt werden. Abb. 5.9 zeigt die Arbeitslinien von zwei exemplarisch ausge-wählten Triaxialversuchen an Granit.

a)

0

50

100

150

200

0,0% 0,2% 0,4% 0,6% 0,8% 1,0%

εax [ - ]

σax -

σra

d [M

Pa]

Hyd

rost

atis

che

Bela

stun

g

Entla

stun

g/

Wie

derb

elas

tung

n = 3

Iσ = const.

Iσ = 150 MPaεax ≠ Iε / 3

b)

0

50

100

150

200

0,0% 0,5% 1,0% 1,5% 2,0% 2,5% 3,0%

εax [ - ]

σ ax -

σra

d [M

Pa]

Hyd

rost

atis

che

Bela

stun

g

Entlastung/ Wiederbelastung

Iσ ≠ const.

Iσ = 30 MPaεax ≠ Iε / 3

Abb. 5.9: Arbeitslinien von Granitproben im Triaxialversuch a) Versuch GK 12 (75°C) b) Versuch GK 48 (250°C).

69


70

Es handelt sich einerseits um einen deviatorischen Kompressionsversuch (GK 12; Iσ = 150 MPa; T = 75°C) und zum anderen um einen Triaxialversuch bei konstantem Seitendruck (GK 45; σrad = 40 MPa; T = 250°C). In beiden Fällen sind die Ent-/Wie-derbelastungszyklen quasi deckungsgleich mit dem Erstbelastungsast. Aus der Stei-gung der Hystereseschleifen wird der E-Modul abgeleitet. Es zeigte sich bis zu einer Versuchstemperatur von 75°C praktisch keine Veränderung des Elastizitätsmoduls. Bei weiter steigenden Temperaturen kommt es jedoch zu einer signifikanten Re-duzierung der Materialsteifigkeit. Die Veränderung des Elastizitätsmoduls mit steigen-der Temperatur zeigt Tabelle 5.3.

Tabelle 5.3: Temperaturabhängigkeit des Elastizitätsmoduls (Sekantenmodul) von Granit auf Basis der durchgeführten Ein- und Triaxialversuche; Verfe-stigungsbereich

Temperatur [°C] 20 75 150 200 250

Elastizitätsmodul E [MN/m²] 51.750 51.594 34.475 32.059 27.661

5.5.1.2 Dynamische Ermittlung der Elastizitätsparameter

Alternativ zur Bestimmung des elastischen Materialparameters E aus Triaxialversu-chen wurden für Granit auch dynamische Verfahren zur Ermittlung des Elastizitäts-moduls eingesetzt.

Für die Versuchsreihe an Granit wurden 20 Probekörper angefertigt. Die Körper wur-den gewogen und vermessen. Aus bekannter Masse und Probenvolumen wurde die Dichte jedes einzelnen Prüfkörpers bestimmt. Die mittlere Dichte des untersuchten Granites liegt bei ρ = 2,63 t/m³.

Im Anschluß an die Dichtebestimmung wurde die Schallgeschwindigkeit für alle Pro-ben im Zweikopfbetrieb lastfrei gemessen. Die aus den Schallgeschwindigkeiten vp der Kompressionswellen nach (Gl. 3.10a) berechneten Elastizitätsmoduli (E = vp² * ρ) zeigen bei Raumtemperatur nur eine geringe Streubreite (Edyn,min = 64.729 MN/m² und Edyn,max = 68.666 MN/m²). Der Mittelwert beträgt Edyn = 66.267 MN/m².

Wendet man auf den dynamisch ermittelten Elastizitätsmodul Edyn die in (Gl. 3.11) angegebene Umrechnungsformel nach VAN HEERDEN (1987) unter Einsatz der Para-meter a und b für den spannungsfreien Zustand (a = 0,053, b = 1,6615) an, so erhält man einen statischen Elastizitätsmodul Estat = 56281 MN/m² bei 20°C. Die Abwei-


chung gegenüber dem in Tabelle 5.3 angegebenen, aus Triaxialversuchen bestimmten E-Modul liegt mit knapp 8,8% über dem von VAN HEERDEN (1987) bezifferten Streu-bereich von 5%.

Zur Bestimmung der Temperaturabhängigkeit des Elastizitätsmoduls wurden die Gra-nitprüfkörper im Muffelofen auf Temperaturen von 50, 100, 150 und 200°C erhitzt Die aufgeheizten Proben wurden erneut gewogen. Anschließend wurden die Abmes-sungen kontrolliert, und es wurde die Laufzeit von Ultraschallwellen bestimmt. Die Messung der Schallgeschwindigkeiten erfolgte mit speziellen Hochtemperaturprüfköp-fen. Als Kopplungsmittel zwischen Probe und Prüfkopf diente ein Hochtemperaturfett.

Bei den Ultraschallmessungen an aufgeheizten Prüfkörpern zeigte sich, daß bereits bei 100°C eine deutliche Störung des Meßsignals auftrat. Oberhalb von 150°C war eine reproduzierbare Ablesung nicht mehr möglich. Die gemessenen Schallgeschwindigkeiten innerhalb der einzelnen Temperaturbereiche bis 100°C weichen nur sehr gering voneinander ab. Eine Zusammenstellung der aus den Ultraschallmessungen abgeleiteten dynamischen und statischen Elastizitätsmoduln zeigt Tabelle 5.4.

Tabelle 5.4: Dynamisch ermittelte Elastizitätsmoduln und daraus abgeleitete statische E-Moduli

Temperatur [°C] 20 50 100 150

dynamischer E-Modul Edyn; ermittelt nach (Gl. 3.10a)

[MN/m²] 66267 64815 53249 41286

statischer E-Modul; berechnet aus Edyn nach VAN HEERDEN (Gl. 3.11)

[MN/m²] 56281 54247 39133 25641

5.5.1.3 Zusammenstellung von statisch und dynamisch ermittelten Elastizitätsparame-tern

Abb. 5.10 (folgende Seite) gibt den Verlauf von dynamisch und statisch bestimmtem Elastizitätsmodul für Granit in Abhängigkeit von der Temperatur wieder. Hier sind auch die aus Triaxialversuchen im Temperaturbereich zwischen 150°C und 250°C ab-geleiteten E-Moduli integriert.

Die Temperaturabhängigkeit des statisch und dynamisch ermittelten Elastizitätsmoduls von Granit wird für die numerischen Untersuchungen durch eine Ausgleichskurve be-schrieben. Abb. 5.11 zeigt die auf den mittleren Elastizätsmodul bei Raumtemperatur

71


72

normierte Kurve. In dieser Abbildung ist die im Rahmen der Literaturstudien aufge-zeigte Bandbreite temperaturabhängiger Veränderungen der Steifigkeit von Granit ebenfalls dargestellt.

-

10.000

20.000

30.000

40.000

50.000

60.000

0 50 100 150 200 250 300

Temperatur [°C]

Stat

. E-M

odul

[M

N/m

²]

aus Triaxialversuchen

aus Ultraschallmessungen

Ausgleichskurve

MaterialparameterGranit

Abb. 5.10: Statisch und dynamisch ermittelte Elastizitätsmodule von Granit im Tempe-

raturbereich von Raumtemperatur bis 250°C.

0,00

0,25

0,50

0,75

1,00

0 100 200

Bandbreite für Granit nachHOMAND-ETIENNE, 1982

Granit von St. Salvy

E / E20°C

T [°C]

E20°C = 54.400 MN/m²

Abb. 5.11: Änderung des Elastizitätsmoduls von Granit in Abhängigkeit von der Tem-

peratur, bezogen auf Werte bei Raumtemperatur.


Das elastische Materialverhalten des untersuchten Granites bewegt sich weitgehend innerhalb der aus der Literatur bekannten Streubreite. Lediglich im Temperaturbereich von 20°C bis 75°C kann noch keine Abnahme des Elastizitätsmoduls festgestellt werden.

Die Bestimmung der Querdehnungszahl ν (statisch) erfolgte für Granit großteils indi-rekt über die Ermittlung des Kompressionsmoduls K für die hydrostatische Belastungsphase der Triaxialversuche (K = ∆Iσ/∆Iε ). Dabei wird ein isotropes Materialverhalten vorausgesetzt. Es gilt dann ∆εx,h = ∆εy,h = ∆εz,h sowie ∆σx,h = ∆σy,h = ∆σz,h. Damit kann eine Bestimmung des Kompressionsmoduls über die Gleichung K = ∆σz,h/∆εz,h erfolgen. Bei der Auswertung werden folgende Zusammenhänge zwischen den elastischen Materialparametern genutzt:

( )K E

=−1 2ν

; ( )

G ; E=

+2 1 νν ; vgl. Gl. 2.12 bis Gl. 2.15 =

−K EK2*

Die Prüfkörper der einaxialen Druckversuche (ϑ = 20°C) wurden mit axial und radial angeordneten Dehnungsmeßstreifen (DMS) auf der Mantelfläche versehen, so daß eine direkte Bestimmung von ν vorgenommen werden konnte.

In Tabelle 5.5 sind die temperaturabhängigen isotropen Elastizitätsparameter für Granit zusammengestellt.

Die Belastungsgeschwindigkeit hat im Rahmen des in den Versuchen variierten Spek-trums (10-6/min ≤ ≤ 10-3/min) praktisch keinen Einfluß auf das elastische Material-verhalten des Granits.

&ε

Tabelle 5.5: Temperaturabhängigkeit der Elastizitätsparameter von Granit

Temperatur [°C] 20 75 200 250

Elastizitätsmodul E [MN/m²] (nach Ausgleichskurve)

54.000 49.450 28.500 28.400

Kompressionsmodul K [MN/m³] 75.000 66.824 39.583 47.333

Schubmodul G [MN/m³] 23.684 21.881 12.500 11.833

Querdehnzahl ν [ - ] 0,14 0,13 0,14 0,20

73


74

5.5.2 Sandstein

Wie in Abschnitt 5.4.2 gezeigt wurde, besitzt der untersuchte Sandstein makroskopisch durch den Wechsel von feinkörnigen, dichten Lagen und grobkörnigeren porösen Schichten eine materielle Anisotropie, welche mit dem Modell transversaler Isotropie beschrieben werden kann. Mit den in Abschnitt 2.1.2 für Gesteine mit flächigem Gefüge beschriebenen Zusammenhängen ist für eine vollständige Beschreibung des elastischen Materialverhaltens von Sandstein die Bestimmung von fünf von einander unabhängigen Materialparametern erforderlich. Es handelt sich um die Kenngrößen E1, E2, ν1, ν2 und G2. Die geometrischen Beziehungen veranschaulicht die Abbildung 5.12.

Abb. 5.12: Elastizitätskonstanten-Definition bei transversaler Isotropie (aus WITTKE, 1984).


Insbesondere die Ermittlung des Schubmoduls G2 ist mit größeren experimentellen Schwierigkeiten verbunden. Die Bestimmung von G2 erfolgt daher häufig nach einer von BARDEN (1963) vorgeschlagenen Näherungsformel. Diese lautet:

G EE E2

2

2 1 21 2=

+ + ν

(Gl. 5.1)

Eine hinreichend genaue Näherung für diesen Stoffparameter erlaubt bei E1 ≈ E2 fol-gende Beziehung (WITTKE, 1984):

( )

G E2

2

22 1=

+ ν

(Gl. 5.2)

Die gemäß (Gl. 5.2) bestimmten Schubmoduln sind i.d.R. etwas kleiner als bei Ver-wendung der Näherungsformel nach BARDEN (Gl. 5.1).

Im Rahmen der eigenen experimentellen Untersuchungen wurden die vier restlichen Elastizitätskonstanten für Sandstein bestimmt.

Die elastischen Parameter des transversal isotropen Sandsteins sind für das Tempera-turspektrum von Raumtemperatur bis zu einer Versuchstemperatur von T = 210°C in Tabelle 5.6 zusammengestellt.

Tabelle 5.6: Experimentell ermittelte elastische Materialparameter für Sandstein im Temperaturbereich bis 210°C:

T = 20°C T = 75°C T = 130°C T = 180°C T = 210°C

E1 [MPa] 23699 21302 19494 17495 16743

E2 [MPa] 27313 24120 21590 20471 19086

ν1 [ - ] 0,11 0,08 0,08 --- 0,24

ν2 [ - ] 0,13 0,11 0,16 0,22 0,28

G2 [MPa] 12085 10865 9306 8390 7455

Die Steifigkeit des betrachteten Sandsteines nimmt mit steigender Temperatur deutlich ab. Dabei bleibt das Verhältnis E2 / E1 weitgehend unverändert. Diesen Zusammen-hang veranschaulicht Abb. 5.13. In dieser Abbildung ist auch die von HOMAND-

75


76

ETIENNE (1982) beschriebene Streubreite temperaturabhängiger Veränderungen der Steifigkeit von Sandstein dargestellt. Das elastische Materialverhalten des Sandsteins von Queidersbach bewegt sich innerhalb dieser Bandbreite.

0,25

0,50

0,75

1,00

0 100 200

Bandbreite für Sandstein nachHOMAND-ETIENNE, 1982Sandstein von Queidersbachsenkrecht zur SchichtungSandstein von Queidersbachparallel zur Schichtung

E / E20°C

T [°C]

E2, 20°C = 27.313 MN/m²

E1, 20°C = 23.699 MN/m²

Abb. 5.13: Änderung des Elastizitätsmoduls von Sandstein senkrecht und parallel zur Schichtung in Abhängigkeit von der Temperatur normiert auf die Referenz-werte E20°C bei Raumtemperatur (E1: parallel zur Schichtung; E2: senkrecht zur Schichtung).

Die Querdehnungszahlen ν1 und ν2 zeigen - anders als das temperaturabhängige Verhalten der Steifigkeit - folgenden Verlauf: Bei leicht erhöhter Temperatur nehmen sie zunächst geringfügig ab. Erst oberhalb von 130°C ist ein signifikanter Anstieg der Querdehnung zu verzeichnen.

Auch für den Sandstein von Queidersbach konnte bei Variation der Belastungsge-schwindigkeit (5*10-6/min ≤ ≤ 10-3/min) kein signifikanter Einfluß auf das Material-verhalten im elastischen Bereich festgestellt werden.

&ε

5.6 Eingangsparameter für die Grenzfunktion

Die in (Gl. 4.1) beschriebene Grenzfunktion, welche zur Beschreibung der Gesteins-festigkeit von Granit und Sandstein eingesetzt wird, erfordert eine Reihe von festig-keitsmechanischen Materialparametern. Die gewählte Grenzbedingung lautet:


II A I y yy

y NBs M

M

IM m

1 20

0

1

136

/ ' * ' ' *'

'* *

cos= + −

−

−

− −

−

σσ

σ

α

Als temperaturabhängige Eingangsparameter müssen bestimmt werden:

• die Scherparameter im Peakzustand c und ϕ

• die Scherparameter im Residualzustand cr und ϕr

• die einaxiale Druckfestigkeit σD

• die Spaltzugfestigkeit σsz

• das Verhältnis der deviatorischen Spannung im Peakzustand auf der Kompressions- und Extensionsachse IIs,60

1/2 / IIs,01/2

• die Eingangsparameter A und y0 der verwendeten Grenzfunktion werden aus den Scherparametern c und ϕ (Mohr-Coulomb'sches Bruchkriterium) und dem Verhält-nis IIs,60

1/2 / IIs,01/2 bestimmt

Im folgenden werden die maßgeblichen Resultate der experimentellen Studien im Hin-blick auf die Bestimmung der temperaturabhängigen Eingangsparameter für die Grenzfunktion getrennt für die beiden untersuchten Gesteine diskutiert

5.6.1 Granit

In den experimentellen Untersuchungen zum Festigkeitsverhalten von Granit wurden folgende Versuche gefahren:

Versuchstemperatur 20°C 75°C 130°C -150°C

200°C 250°C

Einaxialversuche 6 0 1 1 1

dev. Kompressionsversuche 7 5 1 1 0

konv. Kompressionsversuche 5 3 2 3 3

Extensionsversuche 2 0 0 1 0

77


78

Bei der Durchführung der Triaxialversuche an Granit wurden zunächst die Materialpa-rameter unter Raumtemperatur sowie bei 75°C bestimmt. Da es sich bei dem unter-suchten Granit um ein homogenes, isotropes Gestein handelt, ist eine vergleichsweise geringe Zahl von Versuchen zur vollständigen Ermittlung der festigkeitsmechanischen Parameter erforderlich.

Oberhalb von Iσ = 180 MPa konnten nur konventionelle Kompressionsversuche (Tria-xialversuche) gefahren werden, da der maximale Seitendruck auf 60 MPa beschränkt ist.

In fast allen deviatorischen Versuchen dieses Temperaturbereiches konnte eine Bela-stung der Granitkerne bis in den Bereich der Residualfestigkeit erfolgen. Dies ist in konventionellen Triaxialversuchen mit diesem zum Sprödbruch neigenden Material nur selten möglich, da es häufig bereits im Entfestigungsast als Folge großer axialer Verformungen der Probe zu einem Versagen der Trennmembran kommt. Eindringen-des Öl (Druckmedium) führt dann zum Verlust des wirksamen Seitendruckes auf die Probe.

Abb. 5.14 zeigt die ermittelten Peak- und Restfestigkeiten in der Invariantendarstel-lung. Neben der Spur der Grenzfunktion nach Drucker-Prager für die Maximalfestig-keit sind in der Darstellung auch die lineare Näherung der Residualfestigkeit sowie die Grenzfunktion nach (Gl. 3.38) eingetragen.


0,0

50,0

100,0

150,0

200,0

250,0

300,0

-50 0 50 100 150 200 250 300 350

Peakfestigkeit 20°C - 75°C

Restfestigkeit 20°C - 75°C

g(x) 20°C - 75°C (Gl. 4.1)

Drucker-Prager 20°C - 75°C

Lineare Näherung zurRestfestigkeit 20°C - 75°C

[ ]II MPas

[ ]I MPaσ 3

konv. und deviatorischeTriaxialversuche sowie

Einaxialversuche

konventionelleTriaxialversuche

A = 0,621; y0 = 26,54 MPa

A = 0,609; y0 = 0,0 MPa

Abb. 5.14: Spitzen- und Restfestigkeit des untersuchten Granits im Temperaturbe-reich bis 75°C sowie Grenzfunktion.

Es wurde eine geringe Streuung der Versuchsergebnisse festgestellt. Die Belastungsart - deviatorische oder konventionelle Triaxialversuche - hat praktisch keinen Einfluß auf die Größe der deviatorischen Bruchspannungen. Die Scherparameter unter Raumtem-peratur sowie bei 75°C des Mohr-Coulomb'schen Bruchkriteriums betragen:

ϕ c ϕr cr

55,7° 20,9 MPa 54,6° 0 MPa

Von der Peak- zur Restfestigkeit geht der Kohäsionsanteil verloren. Der Reibungswin-kel hingegen zeigt nur eine geringe Abnahme.

An Granit-Prüfkörpern wurden auch zahlreiche Versuche im Hochtemperaturbereich gefahren. Da die Abdichtung der Proben gegen einen Zutritt des Seitendruckmediums für Prüfkörper mit einem Durchmesser ∅ = 50 mm durch den Einsatz fertiger Schläu-che aus Silikonkautschuk als Trennmembran weniger aufwendig war als bei größeren Proben (Abdrehen der Teflon-Rohre), wurden vor allem Granitkerne dieses

79


80

Durchmessers eingesetzt. Die Mehrzahl der Hochtemperatur-Triaxialversuche an Granit wurde als Triaxialversuch mit konstantem Seitendruck durchgeführt. Die deviatorischen Versuche mit den kleinen Prüfkörpern sind regeltechnisch sehr sensibel, da bereits geringe axiale Laständerungen große Schwankungen der Axialspannung nach sich ziehen. Daher kommt es leicht zu Aufschaukelungseffekten.

0,0

100,0

200,0

300,0

-100 0 100 200 300

Peakfestigkeit 150°C

g(x) 20°C - 75°C (Gl. 4.1)

g(x) 150°C (Gl. 4.1)

[ ]I MPaσ 3

[ ]II MPas

Abb. 5.15: Spitzenfestigkeit von Granit bei einer Versuchstemperatur von 150°C.

Für Granit konnten insgesamt 13 Versuche mit Prüftemperaturen zwischen 150°C und 250°C in die Auswertung einbezogen werden. Abb. 5.15 zeigt die Veränderung der Peakfestigkeiten von Granit im Temperaturbereich um 150°C, Abb. 5.16 diejenige für Versuchstemperaturen zwischen 200°C und 250°C. Die Versuchsergebnisse für Tem-peraturen bis 75°C sind in Form der aus Abb. 5.14 übernommenen Grenzfunktion g(x) berücksichtigt.


0,0

100,0

200,0

300,0

-100 0 100 200 300

Peakfestigkeit 200°CPeakfestigkeit 250°Cg(x) 20°C - 75°C (Gl. 4.1)g(x) 200°C - 250°C (Gl. 4.1)Stutz (Gl. 3.17) 250°C

[ ]I MPaσ 3

[ ]II MPas20 - 75°C

200 - 250°C

Abb. 5.16: Spitzenfestigkeit von Granit im Temperaturbereich von 200°C bis 250°C

Die Gegenüberstellung zeigt deutlich, daß eine bereits bei T = 150°C sich andeutende Festigkeitsabnahme sich oberhalb von etwa 200°C verstärkt. Der Reibungswinkel sinkt von ϕ = 55,7° bei Raumtemperatur auf ϕ = 40,7° bei 250°C ab. Die Kohäsion c ändert sich praktisch nicht.

Betrachtet man in Abb. 5.16 den Bereich der negativen Spannungssummen, so wird die drastische Überschätzung der Materialfestigkeit im Hochtemperaturbereich bei Verwendung der Grenzbedingung nach STUTZ, MOHR-COULOMB oder DRUCKER-PRAGER für kohäsive Materialien deutlich. Durch Anwendung von (Gl. 4.1) wird eine wesentlich bessere Übereinstimmung mit den experimentell ermittelten Peakzuständen erzielt.

Neben Kompressionsversuchen wurden an Granit auch Extensionsversuche bei Raumtemperatur gefahren. Der mit der Hydraulikanlage des eingesetzten Versuchs-standes maximal zu erzeugende Radialdruck von σrad = 60 MPa reicht allerdings nicht aus, um ein Versagen des Gesteinsprüfkörpers oder einen auch nur ansatzweise er-kennbaren plastischen Verformungsanteil zu erzielen. In den numerischen Untersu-chungen wird daher vorausgesetzt, daß für den untersuchten Granit die Festigkeiten im Kompressions- und Extensionsversuch gleich groß sind. Der Parameter B der Grenz-funktion wird nach (Gl. 3.20) aus den deviatorischen Spannungen bei Erreichen der

81


82

Materialfestigkeit im Kompressions- und Extensionsversuch bestimmt. Für den unter-suchten Granit gilt: B = 0 (entspricht DRUCKER-PRAGER).

Zur Ermittlung des Parameters M in (Gl. 4.1) wurden Spaltzugversuche durchgeführt. Empfehlung Nr. 10 des Arbeitskreises 19 der Deutschen Gesellschaft für Erd- und Grundbau (DGEG; heute DGGT) faßt die für die Durchführung und Interpretation so-genannter Spaltzugversuche relevanten Anforderungen an Prüfvorrichtungen, Prüfkör-per und Versuchsaufbauten zusammen. Auch in DIN 1048, Teil 5 sind die entspre-chenden Forderungen an die Versuchsdurchführung - für die Prüfung von Beton - fest-gelegt.

Da ein Umbau des großen Triaxialgerätes am Fachgebiet Bodenmechanik und Grund-bau zu aufwendig geworden wäre, und die Einaxialpresse des Fachgebietes vorüber-gehend nicht einsatzfähig war, wurden die indirekten Zugversuche mit einer Prüfpresse des Materialprüfamtes Kaiserslautern (vgl. Abschnitt 5.1) gefahren.

Zwei der ausgewählten Prüfkörper wurden im Trockenschrank über 24 Stunden lang-sam bis zur gewünschten Versuchstemperatur von 200°C aufgeheizt. Die erhitzten Proben wurden in die Prüfpresse eingebaut und bis zum Bruch belastet. Die Tempera-tur der Proben beim Erreichen des Versagenszustandes betrug 198 ± 2°C.

Tabelle 5.7: Spaltzugversuche an Granit bei Temperaturen von 20°C und 200°C

Probe T [°C] σsz [MPa]

GZ 01 20 - 7,1

GZ 02 20 - 9,0

GZ 03 200 - 6,7

GZ 04 200 - 8,1

Die Versuchsergebnisse an Granit zeigt Tabelle 5.7. Es konnte keine signifikante Ver-änderung der Zugfestigkeit mit steigender Temperatur festgestellt werden. Es ergibt sich somit keine Temperaturabhängigkeit des Materialparameters M.


Zur orientierenden Untersuchung der Materialfestigkeit und um Vergleiche zu den in der Literatur angegebenen Festigkeitswerten zu erhalten, wurden an Granit (unter ver-schiedenen Versuchstemperaturen) auch einaxiale Druckversuche gefahren. Die expe-rimentell ermittelten Festigkeitswerte werden nachfolgend in Form einer Tabelle zu-sammengefaßt. Dem Mittelwert der einaxialen Druckfestigkeit bei Raumtemperatur wird die Streubreite der materialspezifischen Literaturdaten gegenübergestellt.

Tabelle 5.8: Einaxiale Druckfestigkeit von Granit im Temperaturbereich von 20°C bis 200°C.

Temperatur [°C] 20 (Literatur) 20 75 200 250

σD [MN/m²] 13 ... 308 131,8 123,7 100,1 83,0

0,00

0,25

0,50

0,75

1,00

0 100 200 300

Granit von St. Salvy

Bandbreite für Granit nachHOMAND-ETIENNE, 1982

σD / σD,20°C

T [°C]

σD,20°C = 131,8 MPa

Abb. 5.17: Änderung der einaxialen Druckfestigkeit von Granit in Abhängigkeit von der Temperatur, bezogen auf die Werte bei Raumtemperatur.

Einen Vergleich der temperaturabhängigen Veränderung der einaxialen Druckfestig-keit von Granit mit Literaturdaten (HOMAND-ETIENNE, 1982) gibt Abb. 5.17. Die rela-tive Abnahme der Festigkeit des untersuchten Granites bei steigender Temperatur be-wegt sich innerhalb der aus der Literatur bekannten Streubreite.

Zur optimalen Anpassung der Grenzfunktion (Gl. 4.1) an die experimentell ermittelten Festigkeitswerte soll der Eingangsparameter N so gewählt werden, daß die Grenzfunk-

83


84

tion nach (Gl. 4.1) oberhalb der einaxialen Druckfestigkeit quasi deckungsgleich mit der Grenzfunktion nach STUTZ (Gl. 3.17) ist. N geht als temperaturabhängige Größe in die weiteren Berechnungen ein. Tabelle 5.9 zeigt die Werte im Temperaturbereich bis 250°C. Zwischenwerte werden geradlinig interpoliert.

Tabelle 5.9: Temperaturabhängiger Eingangsparameter N für die entwickelte Grenz-bedingung (Gl. 4.1)

T [°C] 20 150 250

N [MPa] 12 10 15

Abschließend werden in Tabelle 5.10 die temperaturabhängigen Eingangsparameter für die Grenzfunktion (Gl. 4.1) zur Beschreibung des Festigkeitsverhaltens von Granit zusammengefaßt. Da für Granit im untersuchten Temperaturbereich bis 250°C B = 0 gilt, können die Parameter A' und y'0 der Grenzfunktion (Gl. 4.1) analog den Parame-tern A und y0 nach (Gl. 3.16) aus den temperaturabhängigen Scherparametern c und ϕ ermittelt werden. Es gilt:

A' * *sinsin

=−

23

23

ϕϕ

(Gl. 5.3)

yc

' ** * cos

sin023

63

=−

ϕϕ

(Gl. 5.4)

Tabelle 5.10: Temperaturabhängige Parameterwerte der (Gl. 4.1) für Granit

T [°C]

A' [ - ]

y'0 [ MPa ]

M [ MPa ]

y'M [ MPa ]

N [ MPa ]

B [ - ]

20 0,620 26,85 -13,34 18,58 12 0

75 0,621 26,52 -13,34 18,24 11 0

130-150 0,535 35,98 -13,34 28,84 10 0

200-250 0,454 33,54 -13,34 27,48 15 0

Nachfolgend werden für einzelne Temperaturintervalle funktionale Zusammenhänge zur Temperaturabhängigkeit der Materialparameter von Granit angegeben.


Parameter A:

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0 50 100 150 200 250 300Temperatur [°C]

A'

Abb. 5.18: Änderung des Parameters A' der Grenzfunktion (Gl. 4.1) für Granit in Abhängigkeit von der Temperatur.

für 20°C ≤ T ≤ 250°C gilt:

, [T] = °C A T' , *= − −0 654 8 10 4 * (Gl. 5.5)

Parameter y0:

0

10

20

30

40

50

0 50 100 150 200 250 300Temperatur [°C]

y0'[MPa]

Abb. 5.19: Änderung des Parameters y0' der Grenzfunktion (Gl. 4.1) für Granit in Abhängigkeit von der Temperatur.

85


86

T

Pa

für 20°C ≤ T ≤ 250°C gilt:

, [T] = °C *0343,065,26'y 0 += (Gl. 5.6)

Parameter M:

für 20°C ≤ T ≤ 250°C gilt:

M M MC= = −°20 13 33, (Gl. 5.7)

Parameter B:

für 20°C ≤ T ≤ 250°C gilt:

B B C= =°20 0 (Gl. 5.8)

Die Größe von y'M ergibt sich als Funktion der Parameter A', y0', M und B.

Mit Hilfe der entwickelten Grenzfunktion (Gl. 4.1) und den funktionalen Zusammen-hängen (Gl. 5.5) bis (Gl. 5.8) zur Beschreibung der temperaturabhängigen Verände-rung der Eingangsparameter ist es möglich, auf der Grundlage von in Triaxialversu-chen unter Raumtemperatur bestimmten Materialparametern auf die Festigkeitseigen-schaften von Granit unter erhöhten Temperaturen bis 250°C zu schließen.

5.6.2 Sandstein

In den experimentellen Untersuchungen zum Festigkeitsverhalten von Sandstein wur-den folgende Versuche gefahren:

Versuchstemperatur 20°C 75°C 130-150°C 180-210°C 250°C

Einaxialversuche 7 0 1 0 0

dev. Triaxialversuche 9 11 1 2 0

konv. Triaxialversuche 5 6 2 3 1

konv. Triaxial-Mehrstufenversuche

1 0 3 2 2

Extensionsversuche 1 1 0 0 0

Spaltzugversuche 2 0 0 2 0


87

Auch die Festigkeitseigenschaften von Sandstein werden zunächst im Temperaturbe-reich bis 75°C untersucht. Da von einer materiellen Anisotropie des Sandsteines be-dingt durch die Schichtung (transversale Isotropie) ausgegangen werden konnte, wur-den sowohl senkrecht als auch parallel zur Schichtung orientierte Bohrkerne als Prüf-körper verwendet. Hieraus ergibt sich eine Verdoppelung der erforderlichen Versuche gegenüber einem isotropen Probenmaterial.

Zur Untersuchung der Unabhängigkeit der festigkeitsmechanischen Materialeigen-schaften von der Wahl des Spannungspfades wurden, ausgehend von den Ergebnissen deviatorischer Versuche, zusätzlich konventionelle Triaxialversuche gefahren. Hierzu wurde folgendermaßen vorgegangen:

- Aus dem Spannungszustand bei Erreichen der Peakscherfestigkeit des deviatori-schen Versuches wird die im Bruch wirkende Radialspannung σr,b,d ermittelt.

- In einem konventionellen Folgeversuch wird der Prüfkörper unter einem konstanten Seitendruck (σr = σr,b,d =const.) bis zum Bruch belastet. Die Arbeitslinien sowie die deviatorischen Spannungspfade werden einander gegenübergestellt.

- Aus der Lage der Peakpunkte sowie der Spannungspunkte im Residualzustand kön-nen dann Aussagen zum Einfluß des Spannungspfades auf die Materialfestigkeit getroffen werden.

Die grafische Auswertung solcher vergleichender Untersuchungen für Sandstein bei Raumtemperatur und unter T = 75°C zeigen Abb. 5.20 und Abb. 5.21. Aus der Gegen-überstellung der Arbeitslinien ist zu erkennen, daß sich sowohl die Peakspannungen als auch die Bruchdehnungen nur unwesentlich voneinander unterscheiden. Aus der Auftragung der deviatorischen Spannungspfade ist ersichtlich, daß für den untersuch-ten Sandstein im Temperaturbereich bis 75°C die Materialfestigkeit unabhängig ist vom gewählten Spannungspfad.

Zur Erklärung der unterschiedlichen Restscherfestigkeiten in deviatorischen und kon-ventionellen Triaxialversuchen mit gleichen Spannungen im Bruchzustand zeigt Abb. 5.22 schematisiert die Punkte der Peak- und Residualzustände in der IIs

1/2 - Iσ/sqrt(3) - Ebene einschließlich der zugehörigen Spannungspfade. Der geringere Wert für IIs

1/2 der Restscherfestigkeit im konventionellen Triaxialversuch erklärt sich aus der Ab-nahme der Spannungssumme Iσ , welche im deviatorischen Versuch auch im Entfesti-gungsbereich per Definition konstant gehalten wird. Beide Punkte des Residualzustan-des liegen auf der Spur der Grenzfunktion für den Restfestigkeitsbereich.


88

a)

0

30

60

90

120

150

180

0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025

εax [ - ]

σ ax [

MPa

]Bohrkernachse senkrecht zur Schichtung

Versuchstemperatur: 20°C

SKS 05 (deviatorisch)

SKS 26 B (konventionell)

b)

0

50

100

150

200

250

0 50 100 150 200 250

Iσ [MPa]

II s1/

2 [MPa

]


Bohrkernachse senkrecht zur Schichtung



Residualzustand

Abb. 5.20: Einfluß des Spannungspfades auf die Materialfestigkeit von Sandstein bei Raumtemperatur; Gegenüberstellung der Ergebnisse eines deviatorischen (SKS05) und eines konventionellen Triaxialversuches (SKS26B)

a) Arbeitslinien b) deviatorische Spannungspfade


a) a)

0

30

60

90

120

150

180

0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025

εax [ - ]

σ ax [

MPa

]


Versuchstemperatur: 75°CP1

P2

SKS 18 (deviatorisch)SKS 23 B (konv.)

b)

0

50

100

150

200

250

0 50 100 150 200 250

Iσ [MPa]

II s1/

2 [MPa

]



P1 P2



Residualzustand

Abb. 5.21: Einfluß des Spannungspfades auf die Materialfestigkeit von Sandstein bei T = 75°C; Gegenüberstellung der Ergebnisse eines deviatorischen (SKS18) und eines konventionellen Triaxialversuches (SKS23B)

a) Arbeitslinien b) deviatorische Spannungspfade

89 89


90

0

50

100

0 50 100 150

Iσ / 30,5 [MPa]

IIs0,5

[MPa]

Spannungspfad Deviator-VersuchSpannungspfad Versuchmit konstantem SeitendruckGrenzfunktion der Peakscherfestigkeit (Gl. 3.17)Grenzfunktion der Restscherfestigkeit (Gl. 3.17)

konventionell

deviatorisch

Versuchswerte Deviator-Versuch

Versuchswerte Versuch σ3=const.

Abb. 5.22: Vergleich der Peak- und Residualfestigkeit aus deviatorischen und konven-tionellen Triaxialversuchen

In die Ermittlung der Festigkeitsparameter (Spitzenfestigkeit) im Temperaturbereich bis 75°C konnten die Versuchsdaten von 29 Einzelversuchen einbezogen werden. Ins-gesamt 25 Werte für die Restfestigkeit des Sandsteins liegen in diesem Temperatur-spektrum vor. Abb. 5.23 zeigt die ermittelten Peak- und Restfestigkeiten in der Invari-antendarstellung. Neben der Grenzgeraden nach STUTZ (Gl. 3.17) für die Maximalfe-stigkeit sind in den Darstellungen auch die lineare Näherung der Residualfestigkeit sowie die Grenzfunktion nach (Gl. 4.1) eingetragen.

Die Scherparameter von Sandstein betragen für den Temperaturbereich von Raumtem-peratur bis 75°C:

ϕ c ϕr cr

senkrecht zur Schichtung 45,9° 11,1 MPa 36,0° 5,6 MPa

parallel zur Schichtung 43,6° 9,1 MPa 31,1° 7,5 MPa

Die Peakfestigkeit und die Restfestigkeit unterscheiden sich bei Sandstein durch die Größe der Kohäsion (cr < c) und des Reibungswinkels (ϕr < ϕ).


a)

0

50

100

150

200

-50,0 0,0 50,0 100,0 150,0 200,0 250,0

Peakfestigkeit 20 - 75°C

Restfestigkeit 20 - 75°C

g(x) 20°C - 75°C (Gl. 4.1)

Stutz 20°C - 75°C (Gl. 3.17)

Lineare Näherung zur Restfestigkeit 20°C - 75°C

[ ]II MPas

[ ]I MPaσ 3

senkrecht zur Schichtung

b)

0

50

100

150

200

-50,0 0,0 50,0 100,0 150,0 200,0 250,0



g(x) 20°C - 75°C (Gl. 4.1)

Stutz 20°C - 75°C (Gl. 3.17))


[ ]II MPas

[ ]I MPaσ 3

parallel zur Schichtung

Abb. 5.23: Spitzen- und Restfestigkeit des untersuchten Sandsteins im Temperatur-bereich bis 75°C für Proben senkrecht (a) und parallel (b) zur Schichtung.

91


92

Im Hochtemperaturbereich (130°C bis 210°C) wurden an Sandstein Mehrstufenversu-che in Anlehnung an Empfehlung Nr. 12 des Arbeitskreise 19 - Versuchstechnik Fels - der DGEG gefahren. Die Mehrstufentechnik basiert auf einem einfachen Prinzip. Kurz vor Erreichen des Bruchzustandes in der Probe werden die Versuchs-Randbedingun-gen so verändert, daß durch eine Vergrößerung des Abstandes des deviatorischen Spannungszustandes von der Grenzfläche der Bruch verhindert wird. Dies geschieht in der Regel durch eine Erhöhung des Seitendruckes bei konstanter oder fallender Axial-last. Durch Einsatz dieser Versuchstechnik können deutlich mehr Informationen zum Festigkeitsverhaltens von Sandstein mit einem Minimum an Proben und damit verbun-denem Zeitaufwand für Probenwechsel gewonnen werden.

Um die Mehrstufentechnik erfolgreich anwenden zu können, müssen zwei Vorausset-zungen erfüllt sein. Erstens muß während der Versuchsdurchführung eine laufende Kontrolle der Spannungs-Dehnungslinie des Versuches möglich sein. Zweitens darf der Bruchzustand nicht schlagartig eintreten. Beide Voraussetzungen wurden von den eingesetzten Sandsteinproben erfüllt.

Zur Ermittlung der Festigkeitsparameter (Peakfestigkeit) im Hochtemperaturbereich zwischen 180°C und 250°C wurden insgesamt 22 Peakzustände berücksichtigt. Für die Restfestigkeit des Sandsteins liegen in diesem Temperaturspektrum zusammen 24 Werte vor. Abb. 5.24 zeigt die ermittelten Peak- und Restfestigkeiten in der Invarian-tendarstellung. Neben der Grenzfunktion nach (Gl. 3.17), welche keine besondere Be-schränkung der maximal möglichen Zugfestigkeiten vorsieht, sind in den Darstel-lungen auch die lineare Näherung der Residualfestigkeit sowie die in Kapitel 4 hergeleitete Grenzfunktion (Gl. 4.1) eingetragen. Die temperaturabhängigen Eingangsparameter in die Grenzfunktion (Gl. 4.1) sind am Ende des Kapitels 5.6.2 zusammengestellt (Tabelle 5.13).

Die durchgeführten Untersuchungen zum Materialverhalten von Sandstein bei einer Temperatur zwischen 180°C und 250°C zeigen eine deutliche Festigkeitsabnahme ge-genüber den Versuchen bei Raumtemperatur bis 75°C.


a)

0,0

50,0

100,0

150,0

200,0

-50,0 0,0 50,0 100,0 150,0 200,0 250,0



g(x) 180°C - 250°C (Gl. 4.1)

Stutz 180°C - 250°C (Gl. 3.17)


[ ]II MPas

[ ]I MPaσ 3

senkrecht zur Schichtung

b)

0,0

50,0

100,0

150,0

200,0

-50,0 0,0 50,0 100,0 150,0 200,0 250,0



g(x) 180°C - 250°C (Gl. 4.1)

Stutz 180°C - 250°C (Gl. 3.17)

Lineare Näherung zur Restfestigkeit 180°C-250°C

[ ]II MPas

[ ]I MPaσ 3

parallel zur Schichtung

Abb. 5.24: Spitzen- und Restfestigkeit des untersuchten Sandsteins im Hochtempera-turbereich (180°C ≤ T ≤ 250°C) für Proben senkrecht (a) und parallel (b) zur Schichtung.

93


94

Die Scherparameter von Sandstein betragen für den Hochtemperaturbereich von 180°C bis 250°C:

ϕ c ϕr cr

senkrecht zur Schichtung 29,3° 23,0 MPa 36,5° 3,1 MPa

parallel zur Schichtung 27,7° 21,5 MPa 29,3° 9,5 MPa

Betrachtet man die Restfestigkeiten, so zeigt sich bei einem Vergleich mit den Werten von cr und ϕr bei Raumtemperatur, daß bis zu einer Temperatur von 250°C praktisch keine Veränderung der Scherparameter für den Residualzustand auftritt.

Die zusätzlich bei Versuchstemperaturen von 130°C bis 150°C gefahrenen Triaxialversuche an Sandstein liefern Festigkeitswerte, welche zwischen denen bei 75°C und denjenigen im Hochtemperaturbereich liegen. Die temperaturabhängige Veränderung der Scherparameter Kohäsion c und Reibungswinkel ϕ von senkrecht und parallel zur Schichtung erbohrten Proben - jeweils bezogen auf den Mittelwert bei Raumtemperatur - veranschaulichen die beiden Darstellungen der Abb. 5.25.

0,00

0,50

1,00

1,50

2,00

2,50

0 50 100 150 200 250

senkrecht parallel

c / c20°C

T [°C]

c20°C,s = 11,1 MPac20°C,p = 9,1 MPa

0,00

0,25

0,50

0,75

1,00

0 50 100 150 200 250

senkrecht parallel

ϕ / ϕ20°C

T [°C]

ϕ20°C,s = 45,9°ϕ20°C,p = 43,6°

Abb. 5.25: Dimensionslose Darstellung der temperaturabhängigen Änderung der Scherparameter c und ϕ des Sandsteines von Queidersbach bezogen auf die festen Mittelwerte bei Raumtemperatur.

für 20°C ≤ T ≤ 250°C gilt:

, [T] = °C ( T*0016,0032,1C20 −ϕ=ϕ ° ) (Gl. 5.9)

( )25C20 T*10*2T*0008,0992,0cc −

° ++= , [T] = °C (Gl. 5.10)


Zur Ermittlung der verschiedenen Parameterwerte der Grenzbedingung (Gl. 4.1) sind auch Ergebnisse von Extensionsversuchen - insbesondere der Bruchfestigkeit - erfor-derlich. In den durchgeführten Extensionsversuchen an Sandstein (n = 6) wurde nur in 2 Fällen der Versagenszustand kurz vor Erreichen der maximalen Zellspannung festgestellt. Die in diesen beiden Versuchen maximal erreichten Deviatorspannungen können als Orientierungswerte der Extensionsbruchfestigkeit angesehen werden. Sie werden zur Kalibrierung des in Kapitel 4 vorgestellten Stoffmodells zur Beschreibung des Materialverhaltens von Sandstein in Abhängigkeit von der Deviatorrichtung herangezogen.

Die Parameter B und m der Grenzfunktion (Gl. 4.1) beschreiben den Verlauf der Grenzkurve zwischen den Kompressions- und Extensionsachsen in einer Deviator-ebene. Der Parameter B wird nach (Gl. 3.20) aus den deviatorischen Spannungen bei Erreichen der Materialfestigkeit im Kompressions- und Extensionsversuch bestimmt. Diese lautet:

( ) ( )B II II II IIs s s sm m= −

+

6 1 1601 2

01 2

601 2

01 2

1 1

* ,/

,/

,/

,/

(Gl.3.20)

Für den Parameter m gilt nach MEIßNER (1983) folgender funktionaler Zusammen-hang:

( )m B= −0 12 1 6, ln

Aus den beiden Gleichungen ergeben sich unter Verwendung der experimentell an Sandsteinproben bestimmten deviatorischen Spannungen im Grenzzustand auf der Kompressions- und Extensionsachse folgende Werte:

B = -1,782; m = 0,2195.

In Abb. 5.26 sind in der Deviatorebene mit Iσ = 120 MPa die experimentell ermittelten Grenzspannungszustände (20°C-75°C) mehrerer Triaxialversuche an Sandstein der Grenzfläche gemäß (Gl. 4.1) gegenübergestellt. Es wurden sowohl Proben berücksich-tigt, deren Prüfkörperachse parallel zur Schichtung verlief (SKP) als auch Versuche an senkrecht zur Schichtung erbohrten Proben (SKS, SES). Eine kurze Charakterisierung der Proben sowie eine Zusammenstellung der ermittelten Gesteinsfestigkeiten enthält Anhang 2.

95


96

Da nur im Temperaturbereich von 20°C bis 75°C Ergebnisse zum Grenzzustand im Extensionsversuch vorliegen, diese sich untereinander jedoch stark ähneln wird im weiteren angenommen, daß B sich mit steigender Temperatur nicht ändert.

Abb. 5.26: Grenzfläche in der Deviatorebene, angepaßt an die ermittelten Peakfestig-keiten für Sandstein im Temperaturbereich bis T = 75°C aus deviatorischen Kompressions- und Extensionsversuchen ( Iσ = 120 MPa ).

Anhand der temperaturabhängigen Festigkeitswerte c und ϕ der Kompressionsversuche kann die Grenzbedingung (Gl. 3.17) erfüllt werden. Unter Verwendung der Funktionen (Gl. 3.18) und (Gl. 3.19) lassen sich dann die Eingangsparameter A' und y'0 berechnen.

Die Größe von M wird wie schon beim Granit aus den temperaturabhängigen Werten der Spaltzugfestigkeit bestimmt. Zur Ermittlung der Materialfestigkeit der untersuchten Gesteine bei negativen Spannungssummen wurden Spaltzugversuche gemäß Empfehlung Nr. 10 des Arbeitskreises 19 der Deutschen Gesellschaft für Erd- und Grundbau durchgeführt. Die indirekten Zugversuche wurden mit einer Prüfpresse des Materialprüfamtes Kaiserslautern (vgl. Abschnitt 5.1) gefahren.


Zwei Prüfkörper wurden im Trockenschrank über 24 Stunden langsam bis zur ge-wünschten Versuchstemperatur von 200°C aufgeheizt. Die erhitzten Proben wurden in die Prüfpresse eingebaut und bis zum Bruch belastet. Die Temperatur der Proben beim Erreichen des Versagenszustandes betrug 198 ± 2°C. Zwei weitere Sandstein-Prüfkör-per wurden bei Raumtemperatur untersucht. Die an Sandstein ermittelten Versuchser-gebnisse enthält Tabelle 5.11.

Tabelle 5.11: Ergebnisse der Spaltzugversuche an Sandstein (20°C und 200°C)

Probe T [°C] σsz [MPa] Orientierung

SZS 2 20 - 3,2 Belastung senkrecht zur Schichtung

SZP 2 20 - 2,4 Belastung parallel zur Schichtung

SZS 1 200 - 2,8 Belastung senkrecht zur Schichtung

SZP 1 200 - 1,9 Belastung parallel zur Schichtung

Die parallel zur Schichtung belasteten Prüfkörper weisen geringere Zugfestigkeiten auf als die Proben, welche senkrecht zur Schicht beansprucht wurden. Außerdem ist eine minimale Abminderung der aufnehmbaren Zugspannung mit steigender Temperatur festzustellen. In den numerischen Parameterstudien wird die Anisotropie durch die Berücksichtigung der unterschiedlichen wirksamen Spannungen als Folge der orientierungsabhängigen Porenausdehnung erfaßt.

Ergänzend zu den Triaxial- und Spaltzugversuchen wurden an Sandstein einaxiale Druckversuche gefahren. Aufgrund der großen Anzahl erforderlicher Triaxialversuche wurden keine Einaxialversuche unter hohen Temperaturen gefahren. Die experimentell ermittelten Festigkeitswerte werden nachfolgend in tabellarischer Form zusammen-gefaßt. Dem Mittelwert der einaxialen Druckfestigkeit bei Raumtemperatur wird je-weils die Streubreite der materialspezifischen Literaturdaten gegenübergestellt.

97


98

Tabelle 5.12: Einaxiale Druckfestigkeit von Sandstein bei Raumtemperatur.

Literatur eigene Versu-che

σD Schichtung [MN/m²] 10 ... 214 34,1 ... 39,5

σD ⊥ Schichtung [MN/m²] 10 ... 214 46,6 ... 53,3

Die Druckfestigkeit des untersuchten Sandsteins zeigt eine deutliche Richtungsabhän-gigkeit. Ein parallel zur Schichtung belasteter Prüfkörper erreicht nur knapp 80% der Festigkeit der normal zu den Schichtflächen erbohrten Proben.

Zur optimalen Anpassung der Grenzfunktion (Gl. 4.1) an die experimentell ermittelten Festigkeitswerte soll der Eingangsparameter N in Analogie zur Vorgehensweise für den untersuchten Granit so gewählt werden, daß die Grenzfunktion nach (Gl. 4.1) oberhalb der einaxialen Druckfestigkeit quasi deckungsgleich mit der Grenzfunktion nach STUTZ (Gl. 3.17) ist.

Die aus den experimentellen Ergebnissen abgeleiteten Werte für den Parameter N zei-gen eine geringe Streubreite (3,3 ≤ N ≤ 4,8). Eine signifikante Veränderung in Abhän-gigkeit von der Temperatur liegt nicht vor. Der Parameter N geht für Sandstein als temperaturunabhängige Größe (N = 4,0) in die Berechnungen ein.

Zur Bestimmung der Eingangsvariablen A' und y0' für die Grenzfunktion (Gl. 4.1) werden zunächst die Parameter A und y0 aus den temperaturabhängigen Scherparame-tern c und ϕ ermittelt. Es gilt:

A =−

23

23

* *sinsin

ϕϕ

(Gl. 5.11)

yc

023

63

=−

*

* * cossin

ϕϕ

(Gl. 5.12)

Die Parameter entsprechen denen der Grenzfunktion nach DRUCKER-PRAGER (Gl. 3.16) bzw. der Steigung und dem Ordinatenabschnitt der Gleichung von STUTZ (Gl. 3.17) für ασ = 60°. Unter Berücksichtigung der temperaturunabhängigen Material-parameter B und m (vgl. S. 93) lassen sich aus den Kenngrößen A und y0 die Parame-ter A' und y'0 der Grenzfunktion (Gl. 4.1) berechnen.


Da der Schnittpunkt der Grenzfunktion mit der Raumdiagonalen (Iσ,0) sowohl durch den Term -y0/A als auch durch den Ausdruck -y0'/A' beschrieben werden kann, genügt es zur Ermittlung des Parameters A' (Gl. 3.19) nach dieser Variablen aufzulösen. Diese Gleichung lautet:

( )II A I y Bs

m

,/ ' * ' *60

1 20 1

6= + +

−

σ

Aus A' und Iσ,0 wird dann y0' ermittelt.

Der Parameter M errechnet sich aus der Spaltzugfestigkeit σsz nach der Formel:

M sz= 3 * σ (Gl. 5.13)

Für den Parameter y'M gilt:

( )y II M A MM s' ',/= =30

1 20y* '+ (Gl. 5.14)

Abschließend zeigt Tabelle 5.13 die temperaturabhängigen Eingangsparameter der Grenzbedingung (Gl. 4.1) zur Beschreibung des Festigkeitsverhaltens von Sandstein im Temperaturbereich bis 250°C.

Tabelle 5.13: Temperaturabhängige Werte der Variablen der (Gl. 4.1) für Sandstein senkrecht und parallel zur Schichtung

T [°C]

Orientierung A' [ - ]

y0' [ MPa ]

A'r [ - ]

y0'r [ MPa ]

M [ MPa ]

y'M [ MPa ]

20 senkrecht parallel

0,386 0,374

12,25 10,19

0,299 0,255

6,9 9,5

-5,5 -4,2

10,11 8,64

75 senkrecht parallel

0,380 0,354

12,69 11,27

0,299 0,255

6,9 9,5

-5,4 -3,8

10,65 9,92

130-150 senkrecht parallel

0,328 0,267

13,62 24,18

0,302 0,247

5,4 10,8

-5,0 -3,6

11,97 23,21

180-250 senkrecht parallel

0,238 0,224

29,24 27,48

0,304 0,239

3,8 12,2

-4,9 -3,3

28,09 26,74

Nachfolgend werden für das Temperaturintervall 20°C ≤ T ≤ 250°C funktionale Zu-sammenhänge zur Temperaturabhängigkeit der Materialparameter von Sandstein (Peakfestigkeit) angegeben.

99


100

Parameter A':

für 20°C ≤ T ≤ 250°C gilt:

senkrecht zur Schichtung:

, [T] = °C T*10*7414,0'A 4−⊥ −= (Gl. 5.15)

parallel zur Schichtung:

⊥= 'A*934,0'A //

(Gl. 5.16)

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0 50 100 150 200 250 300Temperatur [°C]

A'

senkrechtparallel

parallel

senkrecht

Abb. 5.27: Änderung des Parameters A' der Grenzfunktion (Gl. 4.1) für Sandstein senkrecht und parallel zur Schichtung in Abhängigkeit von der Temperatur.


Parameter y0':

0

10

20

30

40

50

0 50 100 150 200 250 300Temperatur [°C]

y0'

senkrechtparallel

Abb. 5.28: Änderung des Parameters y'0 der Grenzfunktion (Gl. 4.1) für Sandstein senkrecht und parallel zur Schichtung in Abhängigkeit von der Temperatur.

für 20°C ≤ T ≤ 250°C gilt:

, [T] = °C T*08,02,8'y'y //,0,0 +==⊥ (Gl. 5.17)

Parameter M:

für 20°C ≤ T ≤ 250°C gilt:

M M C= +°20 0 0022, * ∆T (Gl. 5.18)

mit: ∆T = T - 20°C, M20°C = -5,5 MPa senkrecht und parallel zur Schichtung

Parameter N, B und m:

für 20°C ≤ T ≤ 250°C gilt senkrecht und parallel zur Schichtung:

0,4NN C20 == ° (Gl. 5.19)

B B C= = −°20 1 785, (Gl. 5.20)

2195,0mm C20 == ° (Gl. 5.21)

Der Betrag von y'M ergibt sich als Funktion der Parameter A', y0' und M.

101


102

Der Parameter A'r (Restfestigkeit) zeigt im Temperaturintervall von 20°C bis 250°C keine signifikante Abhängigkeit von der Versuchstemperatur. Die Größe y0'r weist in den durchgeführten Untersuchungen eine große Streuung auf. In den numerischen Un-tersuchungen werden folgende funktionalen Zusammenhänge für die Restfestigkeitsparameter berücksichtigt:

A'r = 0,314 - 3 * 10-4 * T

y'0,r = 6,459 - 0,0104 * T

Die Grenzfunktion (Gl. 4.1) und die temperaturabhängigen Stoffparameter beschreiben somit ein Stoffmodell, das zur Lösung von Randwertproblemen geeignet ist.


5.7 Untersuchungen zur Charakterisierung des Bruchmechanismus von Granit 5.7 Untersuchungen zur Charakterisierung des Bruchmechanismus von Granit

An einem bis zum Erreichen der Materialfestigkeit belasteten Granitprüfkörper wurden Untersuchungen zur Mikrorißbildung und -orientierung durchgeführt. Es wurden sowohl Längs- als auch Querschnitte des Kernes betrachtet, um Aussagen über die Raumstellung der Mikrorisse zu erhalten.

An einem bis zum Erreichen der Materialfestigkeit belasteten Granitprüfkörper wurden Untersuchungen zur Mikrorißbildung und -orientierung durchgeführt. Es wurden sowohl Längs- als auch Querschnitte des Kernes betrachtet, um Aussagen über die Raumstellung der Mikrorisse zu erhalten.

Zur Sichtbarmachung der Rißmuster werden die vorbereiteten Schnittflächen mit einer photochemisch aktiven Substanz getränkt, nachbehandelt und anschließend auf ein lichtempfindliches Medium aufgebracht. Es entsteht eine sogenannte Chemische Kon-taktabbildung, bei der die mit der Substanz gefüllten Makro- und Mikrorisse visuali-siert werden (ZINKE et al, 1993).

Zur Sichtbarmachung der Rißmuster werden die vorbereiteten Schnittflächen mit einer photochemisch aktiven Substanz getränkt, nachbehandelt und anschließend auf ein lichtempfindliches Medium aufgebracht. Es entsteht eine sogenannte Chemische Kon-taktabbildung, bei der die mit der Substanz gefüllten Makro- und Mikrorisse visuali-siert werden (ZINKE et al, 1993).

a) b) a) b)

10 mm Endfläche Querschnitt 10 mm

Abb. 5.29: Negativabzug der Kontaktabbildungen von Schnitten durch einen bis zum Bruch belasteten Granitkern.

Den Negativabzug einer chemischen Kontaktabbildung zeigt Abb. 5.29 a. Die Abbil-dung gehört zu einem Vertikalschnitt durch einen bis zum Bruch belasteten Granitkern. Makroskopisch sichtbare Spaltzugrisse lassen sich von der Bruchzone in

103 103


104

Axialrichtung bis weit in die Probe hinein verfolgen. Sie werden mit zunehmendem Abstand von der Bruchfläche immer feiner, reichen als Mikrorisse jedoch bis fast zur Probenendfläche. Eine aus dem Vertikalschnitt erkennbare Vorzugsorientierung der Rißbildung ist in einem Schnitt senkrecht zur Bohrkernachse nicht zu sehen (Abb. 5.29 b). Das Rißgefüge in der Querschnittsebene ist richtungslos. Dieses Ergebnis korrespondiert mit der Tatsache, daß es in homogenen, isotropen Gesteinen bei einer radialsymmetrischen Spannungsverteilung keine bevorzugte Rißausbreitungsrichtung gibt.

Die beiden Darstellungen der Abb. 5.30 veranschaulichen, daß sich die Spaltzugrisse infolge der Probenbelastung im untersuchten Granit weitgehend als intergranulare Risse entlang von Korngrenzen ausbreiten.

a) b)

Abb. 5.30: Ausschnittvergrößerung eines Vertikalschnittes durch einen bis zum Bruch belasteten Granitkern;

a) Dünnschliff im polarisierten Durchlicht b) Kontaktabbildung.


105

5.8 Interpretation der Ergebnisse

In den vorangegangenen Abschnitten wurden die Materialeigenschaften von Granit und Sandstein beschrieben. Die für numerische Parameterstudien (Kapitel 5) maßgeb-lichen Ergebnisse der experimentellen Untersuchungen können wie folgt zusammengefaßt werden:

5.8.1 Granit

- Das Stoffverhalten von Granit ändert sich mit steigender Temperatur.

- Das elastische Materialverhalten sowie die festigkeitsmechanischen Eigenschaften lassen sich im gesamten betrachteten Temperaturbereich durch ein isotropes Stoff-modell beschreiben.

- Mit steigender Temperatur verringert sich der Elastizitätsmodul. Für unterschiedli-che Spannungssummen Iσ lassen sich keine signifikanten Unterschiede der Werte des E-Moduls erkennen.

- Keinen deutlichen Temperatureinfluß zeigt das Querdehnungsverhalten von Granit bis 200°C. Die experimentell bestimmten Poisson-Zahlen schwanken im Mittel zwischen 0,12 und 0,15. Ob der leichte Anstieg der Querdehnungszahlen bei 250°C auf Werte um 0,20 bereits eine nachhaltige Veränderung der Materialeigenschaften darstellt, kann mangels Versuchen bei noch höheren Temperaturen nicht endgültig geklärt werden.

- Plastische Dehnungsanteile konnten in den Ent-/Wiederbelastungsästen der Arbeits-linien nicht festgestellt werden. Der untersuchte Granit zeigt bis zum Sprödbruch ein fast ideal-elastisches Materialverhalten..

- Die einaxiale Druckfestigkeit als Maß für die Gesteinsfestigkeit nimmt mit steigen-der Temperatur deutlich ab. Im untersuchten Temperaturbereich bis 250°C läßt sich eine Abnahme der Gesteinsfestigkeit um etwa 37% erkennen.

- Das Scherverhalten des Granits - ausgedrückt durch die Scherparameter c und ϕ - ist bis 75°C weitgehend unabhängig von der Temperatur. Bei weiter steigenden Temperaturen stellt sich jedoch eine merkliche Reduzierung des Reibungswinkels von ϕ = 55,7° auf ϕ = 40,7° bei annähernd unveränderter Kohäsion ein. Die ermittelte Gesteinsfestigkeit ist - wie der Vergleich von deviatorischen und


106

konventionellen Triaxialversuchen gezeigt hat - vom gewählten Spannungspfad unabhängig.

5.8.2 Sandstein

- Das Stoffverhalten von Sandstein ändert sich sowohl mit steigender Temperatur als auch bei unterschiedlicher Orientierung der Belastung in bezug auf die Schichtung. Mit steigender Temperatur verringert sich der E-Modul. Außerdem ist der Elastizi-tätsmodul parallel zur Schichtung geringer als senkrecht dazu. Für unterschiedliche Spannungssummen Iσ (45 MPa ≤ Iσ ≤ 180 MPa) lassen sich keine signifikanten Un-terschiede der E-Modulwerte erkennen.

- Die Poisson-Zahl wurde im Rahmen einer gewissen Streubreite im Mittel zwischen 0,10 und 0,12 ermittelt und ist somit deutlich geringer als aus der Literatur bekannte Querdehnungszahlen für Sandstein. Ein Einfluß der Temperatur läßt sich bis etwa 130°C nicht nachweisen. Erst oberhalb von 130°C ist ein signifikanter Anstieg der Querdehnung (ν1 = 0,24; ν2 = 0,28) zu verzeichnen. Die Poisson-Zahlen ν1 und ν2 weichen nur geringfügig voneinander ab. Die schichtungsbedingte Anisotropie spielt somit für das Querdehnungsverhalten nur eine untergeordnete Rolle.

- Das Scherverhalten des Sandsteins ist bis 75°C weitgehend unabhängig von der Temperatur. Im untersuchten Temperaturbereich bis 200°C läßt sich allerdings eine Abnahme der Gesteinsfestigkeit (Reduzierung des Reibungswinkels von ϕ = 45,9° auf ϕ = 29,3° bei einem gleichzeitigen Anstieg der Kohäsion von c = 11,1 MPa auf c = 23,0 MPa (Werte für senkrecht zu Schichtung belastete Prüfkörper) erkennen. Die ermittelte Gesteinsfestigkeit ist - wie der Vergleich von deviatorischen und konventionellen Triaxialversuchen gezeigt hat - vom gewählten Spannungspfad un-abhängig.

- Die vorhandene transversale Isotropie der untersuchten Proben, welche durch den Schichtwechsel von kompakten und porösen Lagen entsteht, hat nur geringe Aus-wirkungen auf die Steigung der Grenzgeraden, d.h. der Reibungswinkel ϕ ändert sich nur wenig. Der Ordinatenabstand der Grenzfläche - im wesentlichen beeinflußt durch die Kohäsion c ist allerdings bei Proben mit parallel zur Schichtung verlau-fenden Achsen geringer als bei solchen mit normal zur Schichtung orientierten Ach-sen. Die Abnahme der Festigkeit bei parallel zur Schichtung gebohrten Proben ist auf eine Erhöhung der effektiven Spannungen infolge einer Verminderung des wirksamen Probenquerschnittes zurückzuführen. In den numerischen Untersuchun-


107

gen kann dieser Effekt durch die Berücksichtigung von ebenen Durchtrennungsgraden (modifizierte Anwendung der Damage-Tensor-Analysis) in Verbindung mit einer isotropen Grenzfunktion hinreichend genau beschrieben wer-den. In die Grenzfunktion gehen die senkrecht zur Schichtung ermittelten Materialparameter ein.

- Plastische Dehnungsanteile in den Ent-/Wiederbelastungsästen der Arbeitslinien bleiben so gering, daß sich die Arbeitslinie bis zu den untersuchten Spannungsni-veaus durch eine Gerade mit der Steigung des Erstbelastungsastes idealisieren läßt. Mit häufigen Ent-und Wiederbelastungen im Bereich niedriger Spannungsniveaus ist praktisch keine Zunahme der plastischen Dehnungsanteile verbunden. Es handelt sich bei den Spannungs-Schwellbeanspruchungen unter geringen Deviatorspannun-gen somit nahezu um rein elastische Probenverformungen. Erst bei Spannungen nahe dem Versagenszustand treten größere bleibende Verformungen auf. In diesem Belastungsstadium war jedoch der Bruchvorgang experimentell nicht mehr zu stop-pen. Eine weitergehende Untersuchung dieses Phänomens ist auf der vorliegenden Datenbasis nicht möglich.

Numerische Untersuchungen mit dem entwickelten Stoffgesetz

6 Numerische Untersuchungen mit dem entwickelten Stoffgesetz

Im folgenden Kapitel werden zunächst die Eingangsparameter für die numerischen Parameterstudien zusammengefaßt gefolgt von einer allgemeinen Kurzbeschreibung des eingesetzten FE-Programmes. In einem nächsten Schritt wird die Güte des entwic–kelten Stoffgesetzes durch eine Kalibrierung in Form einer Simulation von Triaxialversuchen überprüft. Anschließend wird die Lösung des gewählten Randwertproblems vorgestellt.

6.1 Eingangsparameter für die numerischen Untersuchungen

Die Eingangsparameter für die numerischen Untersuchungen werden analog zu den Ausführungen der vorangegangen Kapitel getrennt für Granit und Sandstein betrachtet.

6.1.1 Granit

Für die untersuchten Granitproben kann ein isotropes Materialverhalten angenommen werden. Es wird vorausgesetzt, daß die Materialfestigkeit im Kompressionsversuch und im Extensionsversuch gleich groß ist (vgl. Kap. 5.6.1). Das Spannungs-Verfor-mungsverhalten kann durch ein trilineares Stoffverhalten (Abb. 6.1) charakterisiert werden. Das Fallen der Arbeitslinie im Entfestigungsbereich wird durch den Softening-Modul (S ≈ -1/2 * E) beschrieben.

σ

ε

Entfestigungsast

Peakzustand

Residualzustand

Verfestigungsast

Abb. 6.1: Trilineares Spannungs-Dehnungsverhaltens von Granit (Schema)

Alternativ zu der Eingabe einer Wertetabelle mit geradliniger Interpolation zwischen den Werten, ist in dem für die numerischen Untersuchungen eingesetzten Finite-Ele-mente-Programm auch eine vollständige Implementierung der funktionalen Zusam-

108


menhänge zur Beschreibung der temperaturabhängigen Materialparameter in Verbin-dung mit einer auf die Werte bei Raumtemperatur reduzierten Eingabe möglich. Die für Granit in Ansatz gebrachten funktionalen Zusammenhänge faßt Tabelle 6.1 zu-sammen.

Tabelle 6.1: Temperaturabhängigkeit der Materialparameter von Granit als Eingangsgrößen für die numerischen Parameterstudien

E = 52124 + 61,125 * T - 1,3193 * T2 + 0,0028 * T3 [MPa]

S = -0,5* E [MPa]

ν = 0,14 [ - ]

A' = 0,654 - 8 * 10-4 * T [MPa]

y'0 = 26,65 + 0,0343 * T [MPa]

A'R = A' [MPa]

y'0,R = 0 [MPa]

M = -13,33 [MPa]

B = 0 [ - ]

ω1=ω2=ω3 = 0 [ - ]

mit [T] = °C und 20°C ≤ T ≤ 250°C

6.1.2 Sandstein

Der untersuchte Sandstein wird als transversal isotropes Material beschrieben. Eine unterschiedliche Festigkeit im Kompressions- und Extensionsversuch wird berück-sichtigt. Die Festigkeitsanisotropie wird durch Anwendung der Netto-Spannungs-Analyse erfaßt (vgl. Kap. 3.4.2.3; Gl. 3.23 - Gl. 3.27). Hierzu werden die ideellen Durchtrennungsgrade ωi als Eingangsparameter in der Stoffgesetz-Routine benötigt.

Die Tabelle 6.2 faßt die funktionalen Zusammenhänge zur Beschreibung der tempera-turabhängigen Eingangsparameter des implementierten Stoffgesetzes für Sandstein (trilineares Materialverhalten analog zur Vorgehensweise für Granit; vgl. Abb. 6.1) zusammen. Der Softening-Modul kann aufgrund der in Anhang 2 zusammengestellten Meßergebnisse für den untersuchten Sandstein zu S ≈ -0,35 * E2 abgeschätzt werden.

109


Tabelle 6.2: Temperaturabhängigkeit der Materialparameter von Sandstein als Eingangsgrößen für die numerischen Parameterstudien

E1 = 28132 - 40,97 * T [MPa]

E2 = 24410 - 35,55 * T [MPa]

G2 = 12498 - 20,64 * T [MPa]

ν1 = 0,110 - 3 * 10-4 * T + 3 * 10-6 * T2 [MPa]

ν2 = 0,127 - 1 * 10-8 * T + 3 * 10-6 * T2 [MPa]

S = -0,35* E2 [MPa]

A' = 0,414 - 7 * 10-4 * T [MPa]

A'r = 0,314 - 3 * 10-4 * T [MPa]

y'0 = 8,2 + 0,08 * T [MPa]

y'0,r = 6,459 - 0,0104 * T [MPa]

M⊥ = M// = -5,5 + 0,0022 * T [MPa]

N = 4,0 [MPa]

B = -1,782 [ - ]

m = 0,2195 [ - ]

ω1 = 0 [ - ]

ω2=ω3 = 0,15 [ - ]

mit [T] = °C und 20°C ≤ T ≤ 250°C

110


6.2 Finite-Elemente-Programm

Zur Betrachtung des Randwertproblemes "Standsicherheit einer Produktionsbohrung bei der Untertagevergasung von Kohle" werden Berechnungen nach der Methode der Finiten Elemente durchgeführt. Es wird ein von BATHE entwickeltes Programmsystem eingesetzt, welches auf der IBM-Großrechenanlage des Regionalen Hochschulrechen-zentrums Kaiserslautern (RHRK) installiert ist. Das Programm-Paket mit der Bezeich-nung ADINA (Automatic Dynamic Incremental Nonlinear Analysis) ist modular auf-gebaut und erlaubt u.a. die Berechnung von thermischen (ADINA-T) und mechani-schen (ADINA) Randwertproblemen sowie Kombinationen aus beiden Beanspru-chungsarten. Das Programm verfügt über einen Präprozessor (ADINA-IN) zur Gene-rierung der Elementnetze und Definition der Materialeigenschaften und Lastfälle sowie über einen Postprozessor (ADINA-PLOT) zur Aufbereitung der Ergebnisdateien.

Ein wesentliches Kriterium für die Wahl dieses FE-Programmes stellt außerdem die Möglichkeit dar, mit vergleichsweise geringem Aufwand nutzerspezifische Stoffge-setzroutinen zur Beschreibung des Materialverhaltens zu implementieren. Hier ist je-doch anzumerken, daß mit der Umstellung von früheren Versionen des Programmes auf die derzeit aktuelle Programmversion 6.1.6 die Übersichtlichkeit durch die Erwei-terung der Eingriffsmöglichkeiten in den Programmablauf deutlich verloren hat. Spe-zielle Eigenschaften von ADINA in bezug auf die thermischen und mechanischen Be-rechnungen werden in den folgenden Abschnitten behandelt.

6.3 Kalibrierung des Stoffgesetzes für Granit und Sandstein

In den vorangegangenen Kapiteln wurde ein Stoffgesetz entwickelt, mit welchem sich neben dem isotropen elastischen und festigkeitsmechanischen Materialverhalten auch eine transversale Isotropie der Materialeigenschaften beschreiben läßt. Die in den nu-merischen Parameterstudien verwendeten Eingangsparameter der Stoffgesetzroutine wurden in Kapitel 6.1 tabellarisch zusammengefaßt.

Zur Überprüfung der Güte der gewählten Ansatzfunktion werden einzelne Versuchs-kurven mit Hilfe numerischer Elementversuche exemplarisch nachgerechnet. Dabei ist folgende Einschränkung zu beachten: Da das implementierte Stoffgesetz eine Entfesti-gung des Gesteins nach Erreichen des Peakzustandes berücksichtigen soll, wird in den Versuchsnachrechnungen die Spannungsentwicklung als Folge einer vorgegebenen Probenverformung simuliert. Andernfalls ist die Nachbildung einer Abnahme der ma-ximal aufnehmbaren Deviatorspannung zwischen Peak- und Residualfestigkeit nicht

111


möglich. Die folgenden Abbildungen (Abb. 6.2 bis Abb. 6.7) zeigen eine Gegenüber-stellung von experimentell bestimmten Arbeitslinien und numerischer Simulation am Beispiel der Versuche SKS05 (deviatorischer Triaxialversuch an Sandstein; Achse senkrecht Schichtung; T = 20°C), SKP24 (deviatorischer Triaxialversuch an Sandstein; Achse parallel Schichtung; T = 210°C) und GK18E (konventioneller Triaxialversuch an Granit; T = 20°C).

Deviatorische Triaxialversuche an Sandstein

0,00

30,00

60,00

90,00

120,00

150,00

180,00

0,000% 0,500% 1,000% 1,500% 2,000% 2,500%

εax [ - ]

σax

[MPa

] Versuch

Rechnung


Abb. 6.2: Spannungs-Dehnungs-Diagramm zu Versuch SKS05; Gegenüberstellung

von experimentellem Ergebnis und numerischer Berechnung.

Aus Abb. 6.2 ist zu erkennen, daß die rechnerisch ermittelte Spannungs-Dehnungslinie gut mit der im Versuch bestimmten Arbeitslinie übereinstimmt. Da die im Experiment an Probe SKS 05 (T = 20°C; Iσ = 180 MPa = const.) aufgetreten Anliegesetzungen im Spannungsbereich von 0 MPa bis etwa 10 MPa numerisch nicht nachgebildet werden, kommt es lediglich zu einem leichten Versatz der beiden Spannungs-Dehnungslinien. Der in der numerischen Simulation berücksichtigte Softening-Modul zur Beschreibung der Verformungen im Entfestigungsast beträgt nach den Versuchsergebnissen (deviatorische Kompressionsversuche) etwa -0,35 * E2. Die Berücksichtigung der Probenorientierung - die Prüfkörperachse der Probe SKS 05 verläuft senkrecht zur Schichtung - erfolgt durch eine entsprechende Orientierung des Damage-Tensors in der numerischen Berechnung (β = 0°; β: Einfallswinkel der Ebene der transversalen Isotropie). Die Festigkeit der Probe wird in der Vergleichsrechnung zutreffend ermittelt. Die Spannungspfade des deviatorischen Triaxialversuches an Probe SKS 05 sind in der Gegenüberstellung von Versuchs- und Rechenergebnis deckungsgleich (vgl. Abb. 6.3).

112


Deviatorische Triaxialversuche an Sandstein

0

50

100

150

200

250

0 50 100 150 200 250

I_σ [MPa]

SQR

T (II

_s) [

MPa

] Versuch

Rechnung


Abb. 6.3: Deviatorischer Spannungspfad im Versuch SKS05; Gegenüberstellung

von experimentellem Ergebnis und numerischer Berechnung.

Deviatorische Kompressionsversuche an Sandstein

0

50

100

150

200

0,0% 0,5% 1,0% 1,5% 2,0%

εax [ - ]

σax

[MPa

] Versuch

Rechnung

Bohrkernachse parallel zur Schichtung

Probe zerbrochenMembran undicht

Abb. 6.4: Spannungs-Dehnungs-Diagramm zu Versuch SKP24 (210°C); Gegen-überstellung von experimentellem Ergebnis und numerischer Berechnung.

113


Deviatorische Kompressionsversuche an Sandstein

0

25

50

75

100

0 25 50 75 100

I σ / SQRT(3) [MPa]

SQR

T (II

s) [M

Pa]

Versuch

Rechnung

Bohrkernachse parallel zur Schichtung

Probe zerbrochenMembran undicht

Abb. 6.5: Deviatorischer Spannungspfad im Versuch SKP24 (210°C); Gegenüber-stellung von experimentellem Ergebnis und numerischer Berechnung.

Konventionelle Kompressionsversuche an Granit

0

100

200

300

400

0,0% 0,5% 1,0% 1,5% 2,0% 2,5% 3,0%

εax [ - ]

σ ax [

MPa

] Versuch

Rechnung

Abb. 6.6: Spannungs-Dehnungs-Diagramm zu Versuch GK18E; Gegenüberstellung von experimentellem Ergebnis und numerischer Berechnung.

114


Konventionelle Kompressionsversuche an Granit

0

100

200

300

0 100 200 300 400 500

Iσ / SQRT(3) [MPa]

SQR

T (II

s) [M

Pa]

Versuch

Rechnung

Abb. 6.7: Deviatorischer Spannungspfad im Versuch GK18E; Gegenüberstellung von experimentellem Ergebnis und numerischer Berechnung.

Die Nachrechnung der Spannungs-Dehnungslinie und des deviatorischen Spannungs-pfades führt auch für den Versuch an Probe SKP 24 (T = 20°C; Iσ = 150 MPa = const.) zu einer guten Übereinstimmung von Experiment und numerischer Simulation (vgl. Abb. 6.4 und Abb. 6.5). Die geänderte Beanspruchungsrichtung gegenüber dem vor-hergehenden Beispiel - die Prüfkörperachse der Probe SKP 24 verläuft parallel zur Schichtung - wird durch eine Änderung des Einfallswinkels der Ebene der transversa-len Isotropie (Neigung des Damage-Tensor: β = 90°) erfaßt. Die reduzierte Material-festigkeit bei einer größten Beanspruchung parallel zur Schichtung wird in der Rech-nung korrekt wiedergegeben. Im Versuch war infolge Versagens der Trennmembran zwischen Prüfkörper und Seitendruckmedium unmittelbar nach dem Bruch der Sand-steinprobe keine weitere Belastung bis zum Erreichen der Residualfestigkeit möglich. In der numerischen Berechnung wurde indes der Residualzustand erreicht.

Die beiden Diagramme in Abb. 6.6 und Abb. 6.7 veranschaulichen am Beispiel des Versuches GK18E, daß auch die Nachrechnung eines konventionellen Triaxialversu-ches (T = 20°C; σrad = 25 MPa = const.) an einem isotropen Gestein gut mit dem ex-perimentell bestimmten Materialverhalten übereinstimmt. Als Folge der hohen Devia-torspannung im Bruchzustand und der damit schlagartig freigesetzten Energie im Bruch kam es in Versuch GK18E zu einem Zerbersten der Trennmembran und einem teilweisen Ausbrechen von Probenmaterial. Infolgedessen sackte der Prüfkörper in axialer Richtung abrupt nach. Dieses Verhalten wird rechnerisch nicht erfaßt. Statt

115


dessen erfolgt entsprechend des trilinearen Stoffverhaltens ein Abbau der deviatori-schen Spannungen bis zum Erreichen des Residualzustandes.

Wie gezeigt werden konnte, läßt sich das Spannungs-Verformungsverhalten sowohl von Granit als auch von Sandstein im Temperaturbereich bis 250°C mit Hilfe des vor-gestellten Stoffgesetzansatzes hinreichend genau beschreiben. Nachfolgend wird die Einsatzmöglichkeit des Stoffgesetzes in numerischen Parameterstudien zum Randwertproblem "Standsicherheit einer UTV-Produktionsbohrung" dargestellt.

6.4 Numerische Parameterstudien zum Randwertproblem "Standsicherheit einer UTV-Produktionsbohrung"

Zunächst wird ein kurzer Überblick zur Komplexität des betrachteten Randwertpro-blems gegeben.

Bei der Untertagevergasung von Kohle entstehen kurzzeitig während der Kanalbrenn-phase sowie in der Vergasungsphase heiße Gase, welche durch die Produktionsboh-rung zur Erdoberfläche strömen. Bei ihrem Aufstieg geben sie Energie in Form von Wärme an das Nebengestein ab.

Da der beginnende Durchströmungsvorgang mit einer starken Aufheizung des Gesteins an der Bohrlochwandung verbunden ist, besteht die Gefahr, daß durch thermisch induzierte Spannungen in Teilbereichen die Materialfestigkeit des die Kohle überlagernden Sedimentgesteines überschritten wird. Aus den so entfestigten Felsbereichen können Gesteinsfragmente herausbrechen und dadurch die Standsicherheit des Bohrloches gefährden.

Abb. 6.8: Skizze zur Geometrie einer geneigten Anisotropieebene

116


In den exemplarisch durchgeführten Berechnungen wird von einer transversalen Isotropie des im Hangenden der Kohleflöze erbohrten Felses ausgegangen. Die verti-kale Ebene, welche den Fallvektor der Schichtflächen enthält (x-z-Ebene, Abb. 6.8), bildet eine Symmetrieebene. Die Streichrichtung der Schichtflächen (Ebene der An-isotropie) ist identisch der y-Achse des in Abb. 6.8 eingeführten Koordinatensystems und steht daher zwangsläufig senkrecht auf der vertikalen Schnittebene (x-z-Ebene). Dies hat auch eine Vereinfachung der allgemeinen Transformationsmatrix zur Folge. Das dreidimensionale Elementnetz kann dann unter Annahme eines kreisförmigen Bohrloches auf die Diskretisierung eines 180°-Sektors des betrachteten Randwertpro-blems reduziert werden.

In den Rechnungen mit dem FE-Programm wurden zur Diskretisierung der Bohr-lochwand räumliche 8-Knoten- und 6-Knoten-Elemente verwendet. Eine schematische Darstellung des zur Untersuchung der Hohlraumwandung verwendeten Elementnetzes zeigt Abb. 6.9.

1,50

0,10

Abb. 6.9: Schematische Darstellung des zur Berechnung der thermisch induzierteSpannungen in der Bohrlochwand eingesetzten Elementnetzes (Details vgl. Anhang 3)

Der betrachtete Gebirgsabschnitt ist 3 m lang (x-Richtung), 1,5 m breit (y-Richtuund 1 m hoch (z-Richtung). Das zentrale Bohrloch hat einen Durchmesser von 20 Die Maschenweite des Elementnetzes nimmt in radialer Richtung von 1 cm unmitbar an der Bohrlochwand auf 40 cm am Außenrand des numerischen Modells zu
0,63 0,50
0,37

0,00

n

ng) cm. tel-. In

117


achsialer Richtung wurden im mittleren Bereich Elementebenen von 6,5 cm Maschen-höhe und in den Randbereichen von 12,5 cm Höhe angeordnet. In tangentialer Rich-tung nimmt die Zahl der Elemente in einer horizontalen Elementebene von 64 (8-Knoten-Elemente) an der Bohrlochwand auf vier Elemente am Außenrand des Modells (vgl. Abb. 6.9) ab. Die äußeren Ränder des Modells wurden so gewählt, daß sie außerhalb des direkten Einflußbereiches des Bohrloches liegen. Das heißt, daß am Rand des Systems keine Veränderungen des Temperatur- und Spannungsfeldes infolge der aufgebrachten thermischen und mechanischen Beanspruchungen an der Bohrlochwand auftreten.

Das physikalische Modell des Randwertproblemes "Standsicherheit einer UTV-Pro-duktionsbohrung" sieht zunächst eine mechanische Beanspruchung des unverritzten Gebirges durch das Abteufen der Produktionsbohrung vor. Anschließend erfolgt die thermische Beanspruchung der Bohrlochwandung durch die heißen Produktionsgase.

Zur Betrachtung des Randwertproblemes "Standsicherheit einer UTV-Produktionsbohrung" ist eine Abfolge von thermischer und mechanischer Belastung zu simulieren. Dies geschieht im Programmpaket ADINA in zwei getrennten Rechengängen. Zunächst wird mit Hilfe des Programmteiles ADINA-T die Temperaturverteilung im Modell infolge Aufbringung eines Temperaturlastprofiles berechnet. In einer von ADINA-T angelegten Datei werden die Knotentemperaturen des Elementnetzes zu den berechneten Zeiten gespeichert und dem Programmteil ADINA zur Verfügung gestellt. In diesem Teil des Programmes werden sowohl die infolge der Bohrlochherstellung entstehenden Spannungsumlagerungen als auch mögliche thermisch induzierte Spannungen berechnet.

Im Folgenden werden die beiden Phasen der numerischen Berechnungen getrennt be-schrieben.

6.4.1 Temperaturverteilung im Sandstein

Zunächst wird das thermische Randwertproblem spezifiziert. Dabei können z.T. trans-versal isotrope Materialeigenschaften berücksichtigt werden.

In den Berechnungen wurde eine transversale Isotropie der als temperaturunabhängig angenommenen Wärmeleitzahl k vorausgesetzt. Die verwendeten Zahlenwerte - Anga-ben für einen Sandstein, senkrecht und parallel zur Schichtung - stammen aus CERMAK & RYBACH in EUCKEN (1982). Die Wärmeleitfähigkeit k beträgt parallel zur Schichtung 2,52 W/(m*K) und senkrecht dazu 2,29 W/(m*K). Mit der

118


implementierten Stoffgesetzroutine können beliebige Fallwinkel der Schichtung simuliert werden. Bei den nachfolgend vorgestellten Modellrechnungen ist die Isotropie-Ebene unter β = 0°, β = 45° oder β = 90° (vgl. Abb. 6.8) gegen die Hori-zontale geneigt.

Die Temperaturabhängigkeit der spezifischen Wärmekapazität c bei Sandstein wurde analog zu den Ausführungen in Kapitel 3.1.2 (Abb. 3.1) angenommen. Die Eingangs-größen der thermischen Materialparameter für die numerischen Berechnungen mit ADINA-T sind in Tabelle 6.3 zusammengefaßt.

Tabelle 6.3: Thermische Materialparameter von Sandstein als Eingangsgrößen für die numerischen Berechnungen mit ADINA-T.

Temperatur cv [W*s/(m³*K)]

k ⊥ Schichtung [W/(m*K)]

k // Schichtung

20°C 1,48 * 106 2,29 2,52

55°C 1,58 * 106 2,29 2,52

100°C 1,69 * 106 2,29 2,52

200°C 1,86 * 106 2,29 2,52

300°C 2,00 * 106 2,29 2,52

Die homogene Ausgangstemperatur des betrachteten Bohrlochabschnittes aus einer Tiefe von ca. 2.000 m wurde - ausgehend von einer geothermischen Tiefenstufe von 2,4*10-2 K/m und einer oberflächennahen Gesteinstemperatur von 7°C - zu 55°C an-genommen (Abb. 6.10).

T = 280 K

T = 328 K

GOK

2.000 m

Tiefe∆T =0,024 K/m

Abb. 6.10: Schematische Darstellung zur geothermischen Tiefenstufe

119


Zur Simulation der thermischen Beanspruchung des Gesteins während der Untertage-vergasung wird die Mantelfläche der Bohrlochwand mit einem Temperaturlastprofil beaufschlagt, welches entsprechend dem Gasstrom im Bohrloch nach oben wandert. In Analogie zu den numerischen Parameterstudien von ROGMANN (1992) wurde eine maximale Aufheizung um ∆T = 245 K auf Tmax = 573 K angesetzt. Die sich hieraus für zwei Punkte mit unterschiedlichen z-Koordinaten auf der Mantelfläche des Bohrloches ergebenden Temperaturlastprofile zeigt Abb. 6.11.

Die Berechnung der Wärmeströmung im Gestein als Folge der an den innenliegenden Berandungen des physikalischen Modells angesetzten Temperaturrandbedingungen ist ein kinetisches Problem. Die Zeitintegration bei der Lösung des Wärmeübertragungs-problems (zeitveränderliche Berechnungen) erfolgt im Programm ADINA-T nach der impliziten Eulerschen Rückwärtsmethode. Erforderlich werdende Iterationen zur Erfüllung der Gleichgewichtsbedingungen erfolgen nach der modifizierten Newton-Raphson-Methode.

0

100

200

300

400

0 30 60 90 120Zeit nach Beginn der Untertagevergasung [ s ]

Tem

pera

tur a

uf d

er M

ante

lfläc

he

der B

ohru

ng [

°C ]

( Oberkante des Modells; z=1,0m )

( Unterkante des Modells; z=0,0m )

Aufstiegsgeschwindigkeit der heißen Gase: v = 16,7 cm/s

m/K48zTmax ≈

∂∂

Abb. 6.11: Für die Modellrechnungen verwendete Temperaturlastprofile mit einer Maximaltemperatur Tmax = 300°C.

Die im Rahmen der vorliegenden Arbeit untersuchten Temperaturverteilungen berück-sichtigen eine Aufstiegsgeschwindigkeit der heißen Produktionsgase von rund 10 m/min. Die Wärmeausbreitung wurde für einen Zeitraum von ca. 1 Minute nach Beginn der Vergasungsphase im betrachteten Teufenabschnitt von 2 km Tiefe unter-sucht.

120


0

50

100

150

200

250

300

350

0,00 0,05 0,10 0,15

Abstand vom Bohrlochrand [m]

T [ °

C ]

h = 0,50 m

0

50

100

150

200

250

300

350

0,00 0,05 0,10 0

Abstand vom Bohrlochrand [m

T [ °

C ]

h = 0,37 m

t = 15 s t = 30 s t = 45 s t = 6

0

50

100

150

200

250

300

350

0,00 0,05 0,10 0,15


T [ °

C ]

h = 0,63 m

0,10

1,50

Abb. 6.12: Temperaturverteilungen in drei verschiedenen Ebenen; Sandstein, Lotrechte Schichtung
0,63 0,50
0,00
0,37
,15

]

0 s

121


Die berechneten Temperaturverteilungen für einen Sandstein mit horizontaler Schich-tung sind exemplarisch in Form von drei Schnitten parallel zur positiven x-Achse in Abb. 6.12 dargestellt. Die Höhenlage der Schnitte ist in den drei Teildarstellungen ver-merkt. Die Diagramme enthalten die Knotentemperaturen im Elementnetz zur Zeit t = 15 s, t = 30 s, t = 45 s und t = 60 s. Deutlich zu erkennen ist die von unten nach oben durchwandernde Aufheizung des Gesteins. Besonders in den ersten 2 bis 3 cm treten hohe Temperaturgradienten auf.

Die Temperaturverteilungen für verschieden geneigte Schichtflächen weichen aufgrund der sehr geringen Unterschiede in der Wärmeleitfähigkeit senkrecht und parallel zur Schichtung von den in Abb. 6.12 dargestellten Verläufen nur geringfügig ab.

6.4.2 Thermisch induzierte Spannungen in der Wandung der Produktionsbohrung

Im Rahmen der numerischen Parameterstudien wurden die Untersuchungen durch die Einbindung einer geeigneten Stoffgesetzroutine in das FE-Programm ADINA (Version 6.1) auf die Betrachtung eines Gesteins mit anisotropen (transversal isotropen) thermischen und thermoelastischen Eigenschaften ausgedehnt. Gesteine mit derartigem Materialverhalten sind beispielsweise Gneise mit Foliation sowie die meisten klastischen Sedimentgesteine.

Zur Berechnung der Temperaturdehnungen im Rahmen der numerischen Parameter-studien wird der lineare Wärmeausdehnungskoeffizient αl als temperaturunabhängige Größe ( αl = 8,5*10-6 [1/K] ) eingegeben.

Zur Simulation des Ausbruchzustandes wurde in vertikaler Richtung eine Spannung von 45,0 MPa (Überlagerungsdruck σv ist Hauptspannung) und in horizontaler Richtung von 15,0 MPa aufgebracht. Es gilt:

33,0MPa45MPa15

v

2h

v

1h ==σσ

=σσ

σ v

σ h1 σ h1

σ v

σ h2

σ h2

122


In einer Ebene senkrecht zur Bohrlochachse sind die beiden Hauptspannungen (σh2 und σh1) gleich groß. Es gilt:

λσσ

= =h

h

1

2

1 0,

Die Hauptspannungsberechnung aus den thermischen Dehnungen erfolgt bei Isotropie nach folgenden Gleichungen:

( ) ( )σν

νν

εν

νε ε αx x y z l

E T T=−

−+

++

+ + −

1 2

11 1 ref (Gl. 6.1)

( ) ( )σν

νν

εν

νε ε αy y x z l

E T T=−

−+

++

+ + −

1 2

11 1 ref (Gl. 6.2)

( ) ( )σν

νν

εν

νε ε αz z y x l

E T T=−

−+

++

+ + −

1 2

11 1 ref (Gl. 6.3)

mit Tref = 55°C

Hinweis: Druckspannungen und Stauchungen besitzen positives Vorzeichen.

Aus den nach (Gl. 6.1) bis (Gl. 6.3) ermittelten Spannungen werden durch Anwendung des Damage-Tensors die wirksamen Spannungen berechnet.

Die vorangegangen Gleichungen werden auch als Hooke'sches Gesetz bei Berücksich-tigung von Temperaturdehnungen bezeichnet. Wenn in der Betrachtung eines ther-misch und mechanisch belasteten Modells die mechanisch verursachten Spannungen bekannt sind, können aus diesen und den Gesamtspannungen zu einem beliebigen Zeitpunkt die thermisch induzierten Spannungen berechnet werden.

In Abb. 6.13 ist die infolge der Auffahrung des Bohrlochs verursachte Spannungsum-lagerung dargestellt. Neben dem im unverritzten Gebirge vorhandenen Primärspan-nungszustand (σv, σh1 = σh2; vgl.Skizze auf der vorangegangenen Seite) ist die Vertei-lung der Axial-, Radial- und Tangentialspannungen (σa, σr, σt) als Folge der Herstel-lung des Bohrloches wiedergegeben. Dieser mechanisch induzierte Spannungszustand unterliegt während der thermischen Beanspruchung des physikalischen Modells keinen Veränderungen.

123


0

10

20

30

40

50

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4


Span

nung

[MPa

]

Bohrlochdurchmesser: 0,2 m

σt

σr

σv = σa

Abb. 6.13: Spannungsverteilung in horizontalen Ebenen, T = 55°C, lotrechte Schichtung (Ausbruchzustand).

Die drei Diagramme der Abb. 6.14 veranschaulichen die Spannungsentwicklung (Radial-, Tangential- und Axialspannung) bei einer Überlagerung von mechanischen Spannungen als Folge der Bohrlochherstellung (Abb. 6.13) und thermisch induzierten Spannungen für das Zeitintervall von t = 15 s bis t = 60 s. Eine Überprüfung der Span-nungszustände unmittelbar an der Bohrlochwand zeigt, daß die deviatorischen Span-nungen zum Zeitpunkt t = 45 s auf der Grenzfläche liegen (vgl. Abb. 6.17). In einem Abstand von etwa 1,5 cm vom Ausbruchrand liegen die Spannungspunkte innerhalb des von der Grenzfläche umgebenen Teils des Spannungsraumes. Die Grenzwerte sind hier noch nicht erreicht. Vergleicht man die Tangentialspannungen zum Zeitpunkt t = 45 s mit denjenigen zur Zeit t = 60 s, so stellt man eine Abnahme der Spannungs-größe fest. Die Ursache ist in einer Verminderung des Temperaturgradienten zu su-chen, da nach einer Minute in der Höhe h = 0,37 m des Modells bereits keine weitere Temperaturerhöhung mehr stattfindet, und sich das Temperaturfeld im Gestein zu sta-bilisieren beginnt.

124


Radialspannung

0

10

20

30

0 0,05 0,1 0,15Abstand vom Bohrlochrand [m]

Span

nung

[MPa

]

Tangentialspannung

0

10

20

30

40

50

60


Span

nung

[MPa

]

Axialspannung

0

10

20

30

40

50

60

70

80


Span

nung

[MPa

]

t = 15 s t = 30 s t = 45 s t =

1,50

0,10

Abb. 6.14: Spannungsverteilung infolge Überlagerung von thermischer und m

nischer Belastung; Schnitt parallel zur x-Achse des numerischen Modells, h = 0,37 m;t = 15 s bis t = 60 s; Damage-Tensor mit β = 0° für Sandstein.

0,63
0,63
0,00
0,37
5

60 s

echa-

125


Radialspannung

-20

-15

-10

-5


Span

nung

[MPa

]

Tangentialspannung

0

5

10

15

20

25

30


Span

nung

[MPa

]

Axialspannung

0

5

10

15

20

25

30

35


Span

nung

[MPa

]

t = 15 s t = 30 s t = 45 s t =

0,10

1,50

Abb. 6.15: Spannungen infolge thermischer Belastung;

Schnitt parallel zur x-Achse des numerischen Modells, h = 0,37 m;t = 15 s bis t = 60 s; Damage-Tensor mit β = 0° für Sandstein.

126

0

0,630,5

0,00

0,37

5

60 s


Abb. 6.15 zeigt für das Zeitintervall von t = 15 s bis t = 60 s die Entwicklung der thermisch induzierten Spannungen (Radial-, Tangential- und Axialspannung) als Differenz zwischen den Gesamtspannungen und den mechanisch als Folge des Bohrlochausbruches verursachten Spannungen entlang eines Radialschnittes. Die Reduktion der Spannungen am Bohrlochrand als Folge einer Überschreitung der Materialfestigkeit wird ausschließlich den thermisch induzierten Spannungen zugerechnet.

Alternativ zu den numerischen Parameterstudien unter Verwendung der in die Stoffge-setzroutine von ADINA implementierten Grenzbedingung wurden auch linear thermo-elastische Berechnungen durchgeführt. Bei Anwendung der in den vorangegangenen Kapiteln entwickelten Grenzbedingung zur Beschreibung des Festigkeitsverhaltens von Sandstein werden z.T. deutliche Abweichungen von den linear thermoelastisch bestimmten Spannungen nahe der Bohrlochwand ermittelt. Abb. 6.16 zeigt exemplarisch zur Zeit t = 45 s eine Gegenüberstellung der unterschiedlichen Radial- und Tangentialspannungen. Bei Anwendung der eigenen Stoffgesetzroutine wurden Neigungswinkel der Schichtung von 0°, 45° und 90° berücksichtigt. Im unmittelbar an die Bohrlochwand angrenzenden Gestein kommt es hier zu einer Überschreitung der Materialfestigkeit und infolgedessen zu Spannungsumlagerungen in das Gebirge. In einem Abstand von 5 cm zur Bohrlochwandung treten nur noch sehr geringe Abweichungen zwischen den verschiedenen Rechenläufen auf.

127


Radialspannung

0

5

10

15

20

25

30

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25


Span

nung

[MPa

]beta = 0°

beta = 45°

beta = 90°

beta = 45°, ohne Grenzfunktion

Tangentialspannung

0

10

20

30

4050

60

70

80

90

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25


Span

nung

[MPa

]

beta = 0°

beta = 45°

beta = 90°

beta = 45°, ohne Grenzfunktion

Abb. 6.16: Spannungsverteilungen in der Schnittebene h = 0,37 m für Sandstein als Funktion von β (vgl. Abb. 6.8). t = 45 s; Temperaturverteilung siehe Abb. 6.12.

In Tabelle 6.4 sind die Spannungswerte in axialer, radialer und tangentialer Richtung für einen Punkt mit ca. 1,3 cm Abstand zur Bohrloch-Mantelfläche für unterschiedli-che Neigungen der Schichtung zum Zeitpunkt t = 45 s zusammengestellt.

128


Tabelle 6.4: Spannungszustände in der Bohrlochwand (Abstand zur Mantelfläche: ca. 1,3 cm; h = 0,37 m; t = 45 s); Stoffgesetz: thermoelastisch mit Grenzbedingung nach (Gl. 4.1)

Materialgesetz σtangential σradial σaxial ασ II IIs s Bru1 2 1 2/

,// ch

ohne Damage-Tensor 52,0 MPa 2,23 MPa 67,0 MPa 13° 90,5%

mit Damage-Tensor (β = 0°)

50,1 MPa 3,74 MPa 73,5 MPa 19° 90,2%


51,4 MPa 2,47 MPa 73,3 MPa 18° 92,7%


47,9 MPa 3,21 MPa 78,2 MPa 24° 92,4%

Peakzustände

g(x); I_sigma = 121,23 MPa

g(x); I_sigma = 129,31 MPa

ohne Damage-Tensor

beta = 0°

beta = 45°

beta = 90°

Kompressionsachse ασ = 60°

ασ = 60°

ασ = 60°

Extensionsachse ασ = 0°

ασ = 0°ασ = 0°

ασ

121 MPa < Iσ < 130 MPa

IIs1/2 = 100 MPa

Abb. 6.17: Lage von Spannungspunkten in der Deviatorebene als Funktion der Schichtneigung β. r = 11,3 cm; h = 0,37 m

t = 45 s; Temperaturverteilung siehe Abb. 6.12.

129


Abb. 6.17 zeigt die verschiedenen Spannungszustände aus Tabelle 6.4 in der Invarian-tendarstellung. Es ist zu erkennen, daß die Spannungszustände dicht an der Grenzbe-dingung auf der Extensionsachse liegen. Der tatsächliche Abstand zur Grenzfläche kann Tabelle 6.4 entnommen werden. In dieser Tabelle sind sowohl die Lode-Winkel ασ als auch das Verhältnis der vorhandenen deviatorischen Spannung zur deviatori-schen Bruchspannung eingetragen. Man erkennt, daß der Versagenszustand noch nicht erreicht wird. Im Falle einer unter 45° oder 90° geneigten Schichtung ist der Abstand vom Peakzustand deutlich vermindert. Eine weitere Steigerung der Tangential- oder Axialspannung führt zum Materialversagen und zur Entfestigung. Durch eine Erhö-hung der Radialspannung (z.B. durch Aufbringen eines Ausbauwiderstandes) indes bewegt sich der Spannungszustand von der Grenzfläche weg in Richtung auf die hy-drostatische Achse. Die Gefahr eines Materialversagens nimmt in diesem Fall ab.

Materialversagen in Verbindung mit einer Umlagerung der Spannungen in außenlie-gende Gesteinsbereiche tritt in einem Bereich auf, der von der Mantelfläche des Bohrloches ca. 1 bis 2 cm in das anstehende Gestein hineinreicht. Es handelt sich da-bei um ein Versagen im Druckspannungsbereich infolge hoher tangentialer Zwän-gungsspannungen während der Aufheizungsphase. Diese Versagensform hat überwie-gend tangentiale Bruchflächen zur Folge, welche einen Nachfall des Materials in das Bohrloch erleichtern.

Hinsichtlich der Standsicherheit der UTV-Produktionsbohrung ist allerdings festzustellen, daß bei einem Bohrdurchmesser von mehr als etwa 20 cm selbst im Falle einer extremen thermischen Wechselbelastung des Gebirges die Materialschwächung keinen tiefreichenden Effekt darstellt. Eine nachhaltige Gefährdung der Standsi-cherheit von UTV-Produktionsbohrungen allein durch thermisch induzierte Risse als Folge der Durchströmung mit heißen Produktionsgasen ist unter den vorliegenden Randbedingungen nicht zu erwarten, solange die Temperaturgradienten den in den nu-merischen Parameterstudien berücksichtigten Rahmen nicht überschreiten. Bei deutlich tieferen Bohrlöchern kann es allerdings infolge der größeren Primärspannungen zu einer Überschreitung der Materialfestigkeit bis in größere Abstände von der Bohrlochwand und damit verbunden zu einer Gefährdung der Standsicherheit kommen.

130

Zusammenfassung

7 Zusammenfassung

Im Rahmen der vorliegenden Arbeit wurden für einen mittelkörnigen Granit und einen quarzgebundenen Sandstein die temperaturabhängigen Materialparameter bestimmt. Die Ergebnisse der experimentellen Studien werden im folgenden zusammengefaßt.

Zur Quantifizierung des Einflusses hoher Temperaturen auf das Materialverhalten wurden zunächst die mechanischen Eigenschaften beider Gesteine bei Raumtempe-ratur und unter leicht erhöhter Temperatur (T = 75°C) untersucht. Sowohl für Granit als auch für Sandstein ist die Festigkeit in diesem Temperaturbereich nahezu unabhängig von der Temperatur. Im Falle des Sandsteins wird jedoch bereits unter 75°C eine deutliche Verringerung des E-Moduls beobachtet.

Durch den Vergleich von deviatorischen mit konventionellen Triaxialversuchen und Einaxialversuchen konnte gezeigt werden, daß die Spitzen- und Restscherfestigkeit bei Temperaturen bis 250°C in Kompressionsversuchen unabhängig sind vom gewählten Spannungspfad.

Die exemplarisch durchgeführten Extensionsversuche an Sandstein belegen einen mar-kanten Einfluß der Pfadrichtung in der Deviatorebene auf die Materialfestigkeit. Das Verhältnis der deviatorischen Bruchspannungen in Extensions- und Kompressionsver-suchen beträgt etwa 5 : 8. Die Versuche auf der Extensionsachse an Granitproben konnten infolge Erreichens der maximalen Zellspannung (60 MPa) nicht bis zum Bruch belastet werden.

Im Anschluß an die Versuche unter Temperaturen bis 75°C wurden in zwei Versuchs-reihen die Materialeigenschaften im Hochtemperaturbereich bis T = 250°C bestimmt. Hier wurden zunächst nur Kompressionsversuche an beiden Gesteinen gefahren. So-wohl für Sandstein als auch für Granit wird neben einer deutlichen Erweichung des Materials (Abnahme des E-Moduls) eine signifikante Reduzierung der Spitzenfestig-keit festgestellt. Die Verringerung der Festigkeit hängt bei Granit fast ausschließlich mit der Reduzierung des Reibungswinkels zusammen. Die Größe der Kohäsion des untersuchten Granites ist weitgehend temperaturunabhängig. Anders sieht dies für den Queidersbacher Sandstein aus. Die einaxiale Druckfestigkeit nimmt bei steigender Temperatur nicht in dem Maße ab wie die Festigkeit bei höheren Spannungssummen. Bei Verwendung einer linearen Grenzfunktion (z.B. nach DRUCKER-PRAGER) hat dies eine starke Verminderung des Reibungswinkels bei gleichzeitiger Erhöhung der rech-nerischen Kohäsion zur Folge. Die temperaturabhängige Änderung der einaxialen

131

Zusammenfassung

Druckfestigkeit kann aus diesem Grunde nicht als repräsentativ für das Materialverhal-ten unter triaxialen Spannungszuständen angesehen werden.

Sowohl bei Raumtemperatur als auch im Hochtemperaturbereich wurden zur Verifizierung der Grenzbedingung im Zugbereich exemplarisch Versuche mit negativen Spannungssummen (Spaltzugversuche) durchgeführt.

Eine Approximation der Grenzspannungen durch die Grenzfunktion nach DRUCKER-PRAGER bzw. STUTZ läßt im Bereich negativer Spannungssummen beträchtliche Zug-spannungen zu. Diese sind - insbesondere bei Sandstein im Hochtemperaturbereich - deutlich größer als die experimentell bestimmten Zugfestigkeiten der untersuchten Gesteine. Auch bei einem Vergleich der aus Kompressionsversuchen erhaltenen Grenzspannungen für Sandstein mit der Grenzfunktion für geringe positive Spannungssummen Iσ fällt ein signifikanter Abstand der gemessenen deviatorischen Grenzspannungen von der Grenzgeraden auf.

Um eine bessere Übereinstimmung der Grenzfunktion mit den Versuchsergebnissen zu erreichen, wurde eine Erweiterung der Grenzfunktion nach STUTZ um eine Exponen-tialfunktion vorgenommen. Diese Erweiterung sieht im Gegensatz zur Formulierung eines tension-cut-off eine Begrenzung der deviatorischen Grenzspannung im Bereich negativer und kleiner positiver Spannungssummen vor und weist keine "Knicke" in der Grenzfläche auf. Es wurde ein Stoffgesetzansatz entwickelt, mit dem das temperaturabhängige Materialverhalten unterschiedlicher Festgesteine unter Berücksichtigung der Zugfestigkeit der Gesteine sowie einer strukturellen Anisotropie zutreffend beschrieben werden kann. Die aufgestellte Grenzbedingung erlaubt außerdem eine Berücksichtigung unterschiedlicher Materialfestigkeiten auf Kompressions- und Extensionspfaden.

Die experimentell ermittelte transversale Isotropie des Festigkeitsverhaltens von Sand-stein liegt in einer Anisotropie der Porenräume begründet. Legt man der Festigkeits-analyse bei Verwendung einer isotropen Grenzbedingung anstelle der auf den vollen Probenquerschnitt bezogenen Spannungen die Netto-Spannungen unter Berücksichti-gung nur der spannungsübertragenden Querschnittsfläche zugrunde, so läßt sich die richtungsabhängige Materialfestigkeit des untersuchten Sandsteines hiermit beschrei-ben.

Zur numerischen Beschreibung des Randwertproblems 'Standsicherheit einer UTV-Produktionsbohrung' wurde zunächst das entwickelte Stoffgesetz in das FE-Pro-grammpaket ADINA auf der Großrechenanlage des Regionalen Hochschul-Rechen-

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Zusammenfassung

zentrums Kaiserslautern (RHRK) implementiert. Mit Hilfe dieser Stoffgesetzroutine wird das Spannungs-Verformungsverhalten isotroper und transversal isotroper Fest-gesteine durch eine trilineare Näherung beschrieben. Zur Verifizierung des Stoffmo-dells wurden exemplarisch Versuchskurven nachgerechnet. Dabei wurde eine hinrei-chende Übereinstimmung zwischen Experiment und numerischer Simulation erzielt. Das entwickelte Stoffgesetz ermöglicht es somit, das experimentell erhaltene Proben-verhalten unter hohen Temperaturen und sowohl einem hohen als auch einem tiefen Spannungsniveau zutreffend zu beschreiben.

Mit dem verwendeten FE-Programm kann eine Superposition von thermischer und mechanischer Belastung in Modellrechnungen simuliert werden. Derartige kombinierte Randwertprobleme treten beispielsweise beim Bohren oder in Verbindung mit der Durchströmung unverrohrter Bohrlöcher mit heißen Gasen oder Flüssigkeiten auf. Zur Betrachtung des Randwertproblems 'Standsicherheit einer UTV-Produktionsbohrung' wurden beispielhaft Berechnungen nach der Finite-Elemente-Methode durchgeführt. Unter den in der Produktionsbohrung während der Vergasungsphase herrschenden thermischen und mechanischen Randbedingungen bauen sich im anstehenden Gestein zeitweise hohe Temperaturgradienten auf. Diese haben in einem 1 bis 2 cm breiten Bereich ausgehend von der Oberfläche der Bohrlochwand thermisch induzierte Spannungen zur Folge, welche zur Überschreitung der Materialfestigkeit führen.

Weitergehende Forschungsarbeiten zu der vorgestellten Problematik sollten eine Ver-vollständigung der experimentellen und theoretischen Untersuchungen zum Ziel haben. Dazu sollten einerseits Extensionsversuche im Hochtemperaturbereich (T=250°C) gefahren werden. Für den untersuchten Sandstein kann mit Hilfe von deviatorischen Triaxialversuchen mit geringen Spannungssummen die Grenzfunktion für tiefe Spannungsniveaus weiter optimiert werden.

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