Vol. IX, 1958 147

Verfausdlbarkeif der Linksadditionen in einer affinen Ebene Herrn HELL~UTIt K~.SER zum 60. Geburtstag

Von GONTER PICKERT in Tiibingen

Ia einer projektiven Ebene 1) seien zwei versehiedene Punkte U, V und eine Gerade * U V dureh V ausgew/ihlt. Durch Auszeichnung von U V als uneigentliche

(~erade entsteht eine affine Ebene. In dieser geh6rt nun zu jedem eigentlichen Punkt

V

i X§ W

U

c

x ~

O'

Abb. 1

auf ~ und jedem von U, V verschiedenen Punkt W auf U V ein Koordinatensystem It den (ira folgenden durch kleine lateinische Buchstaben bezeichneten) eigentlichen aktea yon ~ als Koordinaten und den folgenden Eigenschaften: Jede Gerade

urch V wird durch eine Gleichung x = c, jede Gerade durch U durch eine Gleichung Y ~ c und die Gerade 0 W durch die Gleichung y ~ x fiir die Koordinatenpaare (z, y �9 (~ . ) lhrer Punkte beschrieben; die Punkte von ~ st immen mit ihren Ordinaten U'l~oordinaten) iiberein. Wie iiblich wird im Koordinatenbereich eine Addition so

efiihrt, dab die Geraden durch W Gleichungen der Form y = x + c haben. Das e Utet (s. Abb. 1): Mit ~x als der Geraden, deren Punkte die Abszisse x haben, ist

e L i n k s a d d i t i o n c --> x -4- c (ira folgenden als z u x , W 9eh6r ig bezeichnet) die Hinter- iraaderausfiihrung der P~rallelprojektion yon z/ auf ~]x mit Zentrum W und der

allelprojektion yon ~x auf ~ mit Zentrum U Die Menge der Linksadditionen # r agt . . . . . ~.~ demnach mcht mehr yon O ab. ~bngens wlrd der Punkt O als Koordinate lm

. ~ - u e n rait 0 bezeichnet, da er neutrales Element der Addition ist.

ge:}~Ze.~dell ]~egrifferl und Bezeichnungen slehe G. PICKERT, Projektive ]~berten. Berlin-~/~ttin- " el~elberg 1955; im folgenden als PE zitiert.

10"

148 C . PICKERT ARCtI. MATIf"

Sei j e t z t ~ eine Trans la t ion der affinen Ebene mi t dem Z e n t rum V, also eine Kolli" nea t ion der p ro j ek t i ven Ebene , bei der jeder P u n k t yon U V und jede Gerade dutch V fest bleiben. W e g e n ~ ~ ~x haben bei T P u n k t und B i l d p u n k t dieselbe AbszissO'

D a ferner bei ~ eine Gerade durch U wieder in eine solche i ibergeht , werden dutch v P u n k t e gleicher Ord ina te wieder in P u n k t e gleicher Ord ina te abgebi lde t . Bezeichner nun a die u m k e h r b a r e Abb i ldung des Koord ina t enbe re i chs au f sich, welche durch ~ hervorgerufen wird, so s te l l t sich T daher in den K o o r d i n a t e n p a a r e n folgenderma/]ea d a r :

(I) (x, y) --> (x, y~

Es erheb~ sich nun die Frage , welche Bed ingung eine u m k e h r b a r e Abb i ldung a des Koord ina t enbe re i chs au f sich erffillen muB, d a m i t (1) eine Trans l a t ion mi~ Zen~rU~ V is t : offenbar is t dabe i (1) unabh~ngig yon der W a h l : d e r P u n k t e O und W. Die F r a g e b e a n t w o r t e t der folgende

I[ i l fssatz. Genau dann ist (I) eine Translation mit Zentrum V, wenn a mit alle~ Linksadditionen vertauschbar ist, die sich bei den versehiedenen Wahlen von W ergeben"

Dieser Satz wurde, wenn auch in anderer Formulierung, bereits yon A. M. GLEASO~ 2) bewieSe~' Es soll aber hier noch einmal ein anderer einfacher ]~eweis gegeben werden. Offenbar ist (1) ei~e umkehrbare Abbildung der affinen Ebene auf sieh, bei der jede Gerade durch V festbleibt und ]ed~ Gerade dureh U wieder in eine solche iibergeht. Es handelt sieh also bei (1) genau dann um oig~ Translation v mit Zcntrum V, wenn dabei jede nicht dureh U odor V gebende Gerade T in eiuO ~u 7 parallele Gerade iibergeht. Da 7 weder dureh U noch dureh V geht, kann der uneigentli0h~ Punkt von 7 (also 7 n U V) als IF genommen warden. Dann stellt sich also 7 dutch eine Gleichu~g

y - ~ x + c

dar. Nach (1) hat dann 7 als Bild bei �9 die Menge der Punkte mit

y = (~ + c) ~ �9

Da~ ist genau dann eine zu 7 parallele, also dutch W gehende Gerade, wenn es einen Werb v' ~i~

(2) x + c" = (x + c) ~

ftir alle x gibt. Mit x -~ 0 liefert (2) C t ~ G~

und damit wird aus (2) (3) x ~ - c " ~ - ( x ~ - c ) ~ f i i r a l l ex .

Da 7 bis auf die Bedingung, nicht dureh U oder V zu gehen, v511ig beliebig ist, mul~ (3) flit all0 ~ und bei jeder zuli~ssigen Wahl von W gelten. Daher besagt (3) gerade, dab a mit allen Li~l~" additionen z -~ x -t- z (bei den versehiedenen Wahlen yon W) vertauschbar ist.

Aus dem t i i l f s sa tz e rg ib t sich sehr le icht der folgende Satz 1. Sind U, V zwei verschiedene uneigentliehe Punkte einer a/finen Ebene, ~

sind die Linksadditionen in allen Koordinatensystemen mit zwei /esten, durch U bzW. ~ gehenden Achsez~ miteinander vertausehbar, so gilt in der Ebene der a]fine kleine DeBar" guessche Satz mit Zentrum V3).

Denn j e t z t erffil l t jede L inksadd i t i on a die Bedingung des Hilfssatzes, ff ihrt als0 zu einer Trans l a t ion (1). D a wel te r jeder eigentl iche P u n k t yon ~ durch eine geeigne~e

~) Finite Fano Planes. Amer. J. Math.78, 797--807 (1956); Lemma 2.1, S. 803. Sein ] 3e~ei~ zeigt, dab man tatsitehlich mit einem festen Wert yon a (hier U) auskommt, was in der F or~u" lierung yon Lemma 2.1 nieht etw~hnt ist.

a) In der Bezeiehnungsweise yon PE der Desarguessehe (V, UV)-Satz.

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Liaksaddition in einen vorgegebeue~ andern eigentlichea Punk~ yon ~7 (ibergefiihr~ werdea k~m, hat m~u d~mit die (V, U V)-Tr~nsitivit~t, also auch den gen~nnten 8~ des Desarguesschen S~tzes bewiesen.

]3ie Vert~schbarkei t der Linksa~ditionen bedeute~ natiirlich einen Sohliel~ungs- a~z. U~a diesea n~her zu untersuchen, seien ~, ~' Linksa~ditionen, die (im Sixme yon

b. I) zu x, W bzw. zu x', W' gehSren. ]~ntsprechex~d zu ~7• bezeichne d~nn ~ , ~e~eaig~ Gerade durch V, deren 1)unkte in dem Koordin~tensystem mit W' start W

It

%

O~

Abb. 2

~_.~ ~u~Zlsse x h~ben, e(~ ~) yon W ~us auf ~z projizierg gebe den Punk% A1, c ~

pl .O~" �9 ~ I Z I ~ t �9 / , , , ~. . . rt~ den Punk~ A, u n d c ~ ( ~ UA~, ~ V) yon W ,aus ~uf v~ orojlzlert den ~ , 4. n~ hes~gt c = c emfaeh die Kolhne~ritat der drel Punkte U, A~, A 4. =~zt m~n nun noch W = As, W' = A~, U = Ae = A~, so ergibt sichderSchlieSungs- ~ tz ~}s ei~e Aus~r~ung des S~%zes yore Viereckschnitt (VS-Su%z)4) : Die sechs Seiten

~r _.iereeke mit den Ecken A~ bzw. A~ (i 1, 2, 3, 4) schneiden die Gera~e ~ jewefls ~edenselhen Pmlkten, n~mlich in c, c ~, c ~', c =~', V. Die Ausurttm~ liegt darin, d~l~ bei

,~ Viereckea zwei niehtentspreohende Eckpunkte (A2, A~) und zwei durch diese

150 G. PICKERT ARC~.g~Tg'

gehende Seiten ohne entsprechende Eckpunkte (AuAa, A'4A ~) zusammenfallen. ~ allgemeiner Schliel~ungssatz ist diese Ausartung des VS-Satzes vom Rang 10; denU, die zugehSrige Inzidenzstruktur 5) ist freie Erweiterung der aus V, U V, ~, ~x, ~ ' c, U, W, W' bestehenden Inzidenzstruktur, deren Rang sich als Anzahl der ,,Frei" heitsgerade" (2 bei V, je 1 bei jedem der iibrigen 8 Elemente) sofort als 10 ergib~' Da der VS-Satz selbst den Rang ]3 besitzt, liegt hier also eine dreifache AusarSU~g vor.

Nun handelt es sich jedoch gar nicht um den allgemeinen Schliel3ungssatz, sonder!l um dessen Spezialisierung mit den Festelementen U, V, ~. Diese sei kurz als (U, VJ/)" Spezialisierung des VS-Satzes bezeichnet. Nach Satz 1 folgt aus ihr der Desarguessche (V, U V)-Satz. Das Umgekehrte gilt jedoch nicht; denn es gibt eine nichtkommU" tative cartesische GruppeS), also eine (V, U V)-transiti~ce Ebene, in der fiir jedeS Koordinatensystem mit U, V als den uneigentlichen Punkten der Koordinatenachse~ die Additionsgruppe nicht mehr kommutat iv ist, also die Linksadditionen in sol0b einem Koordinatensystem nicht vertauschbar sind. Die weitere Spezialisierung, die sich aus der (U, V, ~])-Spezialisierung des VS-Satzes durch I-Iinzufiigen der Vor~US" setzung W ~ W' ergibt, bedeutet mi t c ~ 0 einfach x ~- x' ---- x' ~- x, also die Tho~" sen.Bedingung fiirc (beliebig auf ~]) und damit 7) die Thomsen-Bedingung schlechthi~ im (U, V, W)-Gewebe (d. h. im 3-Gewebe, das aus den drei Geradenbiischeln mi~ de~ Tr~gern U, V, W besteht), natiirlich f/ir jeden Punkt W * U, V auf U V. Um vor Desarguesschen (V, U V)-Satz zur (U, V, ~)-Spezialisierung des VS-Satzes zu ge- langen, benStigt man aber die Thomsen-Bedingung im (U, V, W)-Gewebe ledig ]icl~ ftir einen Punkt W. Denn ergi~nzt man Abb. 1 durch die entsprcchende Konstrukti~ fiir einen Punkt W' ( * W) an Stelle von W, so erkennt man mittels des DesargUeS" schen (V, U V)-Satzes sofort, dal~ x ---- x' fiir die zu x, W und x', W' gehSrende~ Linksadditionen :r ~' stets c ~ ~ c ~" und damit ~ ~-r162 nach sich zieht. Sor~l~ stimmen die Mengen der Linksadditionen fiir jede Wahl yon W iiberein. Die ThomSe~" Bedingung im (U, V, W)-Gewebe zeigt nun aber, dal~ die mit W gebildete Additi0~ kommutat iv und assoziativ 8) ist und daher die Linksadditionen miteinander vet" tauschbar sind. Es gilt somit der

Satz 2. Die (U, V, ~).Spezialisierung des VS-Satzes ist gleichwertig mit dera Desar" guesscheu (V, U V)-Satz zusammen mit der Thomsen-Bedingung im (U, V, W)-G e~ebe /iir einen yon U, V verschiedenen Punkt W au/ U V.

Hiernach ist die (U, V, r/)-Spezialisierung gleichwertig mit jeder (U, V, ~)-SP r zialisierung fiir irgendeine Gerade ~ * U V durch V. Es li~flt sich nun welter zeige~, dal~ bei Ersetzen yon U durch irgendeinen anderen Punkt U' :~ V yon U V aus cle~ (U, V, ~/)-Spezialisierung ein gleichwertiger Satz entsteht. Zu diesem Zweck sei e i~e Linksaddition ~r bei einem mit U', W' (start U, W) gebildeten Koordinatensyste~ betrachtet. Man braucht jetzt nur die zu Anfang erw~hnte Darstellung der Links"

~) Siehe PE, S. 29, 30. ~) G. P~C~nT, Nichtkommutative cartesische Gruppen. Arch. Math. 3, 335--342 (1952). 7) Siehe PE, S. 59, Satz 21. S 59, s) Denn die Thomsen-Bedingung zieht die Reidemeister-Bedingung nach sich (PE, �9 ~.

Satz 20). Die Assoziativitat ergibt sich iibrigens schon ~us dem Desarguesschen (V, U V) "Saw (PE, S. 100, Satz 36).

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additionen als Produkte yon Paral lelprojektionen zu bedenken, um folgendes zu drckennen~): W' = U, so gibt es in einem mittels U, U' (also U' s ta t t W) gebit- Is t

eten Koordinatensys tem eine Linksaddi t ion r162 mit cr ---- ~-1; ist W' 4= U, so gibt es in einem mittels U, W' gebildeten Koord ina tensys tem eine Linksaddi t ion cr and in einem mittels U, U ' gebildeten Koord ina tensys tem eine Linksaddi t ion ~, so da~ ~, ~ cr162 gilt. Daraus folgt nun sofort die Ver tauschbarkei t aller Linksaddi- tioaen, die bei beliebiger Wahl auch von U (dabei natfirlich U uneigentlich und 4 V) entstehen. Damit ist die (U, V, ~)-Spezialisierung des VS-Satzes als gleichwertig er- kanat mit derjenigen SpeziMisierung, bei der auBer V nur noch die Gerade co = U V ,

also die gemeinsame Seite der beiden Vierecke festgehalten wirdz und die als (V., vJ)- 8~ezial i~. ierung des V S . S a t z e s bezeichnet sei. Da eben nicht nur die Ver tauschbarkei t der Linksadditionen bei beliebigem, aber festem U bewiesen wurde, sondern die Ver- tauschbarkeit auch yon solchen Linksaddit ionen, die mit verschiedenen P u n k t e n U gebildet sind, kann m a n in den be t rachte ten Spezialisierungen auch noch eine Aus- ,~oL,.artuag' n/imlich A2 = A~ (s. Abb. 2) beseitigen, ohne dab dadurch ein st/irkerer ~l:'mel~ungssatz entsteht . Diese lediglich zweifache Ausar tung des VS-Satzes ha t als duge .meiner SchlieBungssatz den Rang 11 ; die Ausar tung besteht darin, dab eine Seite

es elaen Vierecks mit der Gegenseite der entsprechenden im anderen Viereck zu- Samraenfitllt.

~ Uamittelhar folgt die eben gewonnene Gleichwertigkeit der beiden Spezialisierungen des VS- ~:tzes aus der bekannten Tatsache, dab z --> 0 ~ unter Voraussetzung des Desarguesschen ( V, UV)- ~zes.em Isomorphismus der Gruppe der Translationen mit Zentrum V auf die additive Loop des ~~ ist (die sieh somit als Gruppe erweist). Man beweist diese Isomorphieeigen- I z~ alt etwa so: Wie Abb. 1 zeigt, ist x + c das Bfld yon x bei derjenigen Translation (mit Zentrum ]J' Wdche 0 in c iiberfiihrt, und das er~ibt gerade die Isomorphiebedingung 0 ~ + 0 ~" = 0 ~'. a::-ese.Besehreibung der Addition mit Hilfeder Translationen zeigt iibrigens noch, daft unter Vor- ~Setzang des I)esar~uesschen (V, UV) Satzes bei fester Geraden ~ die Addition nieht mehr yon

, rv abhiin - ~ . . . . . . . . . . . tier ~ gt. ]:)ms hatte man naturhch aueh bmm Bewels yon Satz 2 sowle bmder Beseltlgung a~Usartung Ae = A 4 benutzen k6nnen.

a,'~ us der (V, r des VS-Satzes l~Bt sich iibrigens der Desarguessche (V, co)-Satz ~1~ a s.ehr einfach direkt gewinnen. Seien n/~mlich A, B, C und A', B', C' in der affinen Ebene

oe~den von V aus perspektiven Dreieeke mit A B ][ A ' B ' und A C [[ A' C' gemafl der Voraus- s eztZuag des Desarguesschen (V, ~)-Satzes. Es Wird V ~ A V = A ' ' ~ C ' " , ~ V, ~ T x = B V = B V,

v - ~ C V, O = A , c = A , U = BCrhoJ, W = A B n e o , W ' = A C n c o gesetzt. ~,a ' ~.~ad,~e zu x, W bzw. zu x', W' gehSrenden Linksadditionen. "VVegen B U = C U ist 0 ~ ~ 0 ~'- ks~+me zu e, W gehSrende Linksaddition ~* gilt nun 0 a* = c, so dal~ sich wegen der Vertausehbar-

"- uer ~, u,, ~, ergibt:

c ~ = O~*a = 0 ~* = O~'a * = O~*a ' ~ c ~' . b~s b ~a*~ esagt aber wieder B'U = C'U, also die Behauptung des Desarguesschen (V, co)- ~ees, Geht man nur yon der (U, V, w)-Spezialisierung aus, so erhRlt man auf dieseWeise natiirlich ge~,~ ea ])esarguessehen (V, U V; U, ,/)-Satz. Um aus' diesem den Des~rguesschen (V, U V)-Satz

"~tlIlel3, ZU . . . . . . . . . . (flit -. konnen, 1st jetzt ledlglieh noch die Rmdememter-Bedmgung lm (U, V, W)-Gewebe T h ~ lnen Punkt W # U, V auf U V) erforderlich~~ Diese folgt nun aber bekanntLich aus der

''msea'Bedingung, die naeh Satz 2 e'ine Folge der (U, V, ~)-Spezialisierung ist.

Eingegangen am 17.9. 1957

~0! Stehe aueh GL~ASON, a.a.O.S. 805. J ~iehe PE, S. 100, Satz 36.