Math. Nachr.189, 269-284 (1979)

Vollstandige Linearisierung instationiirer Prozesse in der Ebene durch komplexe Methoden

Dena 30. Jahrestag der DDR gedmet

Von WOLEGANG TUTSCHKE in Halle

(Eingegangen am 6.6.1978)

Betrachtet werden nichtlineare Verallgemeinerungen der Wiirmeleitungsgleichung. Mit komplexen Methoden wird ein Operator konstruiert, dessen Fixelemente sich als Losungen des Rand- Anfangswert-Problem dieser Differentialgleichungen erweisen. Da. in die Definition des Operators nur Losungen linearer Differentialgleichungen eingehen, wird eine vollstiindige Lineari- sierung in dem folgenden Sinne erreicht: die exakte Losung des nichtlinearen Problems ergibt sich mit Hilfe von Losungen linearer Ersatzprobleme.

1. Zielstellung

Die komplexe Analysis ist zwar ein eigenstandiges Gebiet innerhalb der Mathematik, sie hat andererseits wahrend ihrer ganzen bisherigen Entwicklung entscheidende Impulse fur ihre Weiterentwicklung immer wieder von der Theorie partieller Differential- gleichungen erhalten. Als Beispiele seien genannt : - die Theorie verallgemeinerter analytischer Funktionen, die beliebige lineare ellip-

tische Systeme erster Ordnung in der Ebene fur zwei reellwertige Funktionen mit komplexen Mitteln zu behandeln gestattet (vgl. I. N. VEKUA [19] und L. BERS [2]),

- die Zusammenhange holomorpher Funktionen mehrerer komplexer Variabler mit der Theorie partieller Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten (vgl. V. S. VLADIMIROV [18]),

- die Herleitung von Satzen uber holomorphe Funktionen von mehreren komplexen Variablen rnit Hilfe der inhomogenen CAUCHY-RIEMANNschen Differentialgleichung in mehreren komplexen Variablen (vgl. L. HORMANDER [S]). Alle bisher genannten Zusammenhange von komplexer Analysis und partiellen

Differentialgleichungen betreffen ausschliefllich lineare Differentialgleichungen. Dariiber hinaus zeichnet sich gegenwartig der Trend ab (vgl. [12], [la]), daB die komplexe Analysis systematisch zur Losung nichtlinearer Differentialgleichungen herangezogen wird. Es kann eingeschatzt werden, da13 komplexe Methoden besonders effektiv bei nichtlinearen Differentialgleichungen sind, weil sie gewissermaflen eine Linearisierung im folgenden Sinn ermoglichen: das zu losende Problem wird auf ein analoges Ersatz- problem fur holomorphe Funktionen zuriickgefuhrt (beispielsweise kann man das DmcHLET-Problem fur 2n reellwertige Funktionen, die in der Ebene einem (ellip- tischen) System erster Ordnung genugen, zuriickfiihren auf eine Folge von DIRICHLET- Problemen fur holomorphe Funktionen, vgl. [la], [15], [17]). Dieser Vorteil der kom- plexen Methode, eine Linearisierung des Problems zu ermoglichen, tritt zu den stets wirksamen Vorteilen der Verwendung des To- und lIQ-Operators (vgl. I. N. VEKUA [ 191)

270 Tutschke, Vollstindige Lineerisierung

hinzu, die bekanntlich eine explizite Umkehrung des gegebenen Differentialoperators ermoglichen (durch Verwendung derartiger Umkehroperatoren vermeidet man Losungs- ansatze mit Fundamentallosungen oder mit GREENschen Funktionen ; dies ist deswegen vorteilhaft, weil weder Fundamentallosungen noch GREENsche Funktionen im all- gemeinen weder explizit noch elementar arigegeben werden konnen ; letzteres trifft besonders auf Differentialgleichungen mit nichtkonstanten Koeffizienten zu).

Allgemein kann festgestellt werden, daB die komplexe Behandlung stationarer Prozesse in der Ebene, die elliptischen Differentialgleichungssystemen geniigen, auf ,,verallgemeinerte analytische Funktionen" w = w(z) fuhrt. Analog fuhrt, wie in der vorliegenden Arbeit gezeigt werden 8011, die komplexe Behandlung instationare Prozesse auf ,,verallgemeinerte analytische Funktionen mit Zeitparameter" w = w(z, t ) . Wiihrend sich im stationaren Fall Ersatzprobleme fur holomorphe Funktionen ergeben, erhalt man im instationaren Fall zusiitzlich Ersatzprobleme fur die Wiirmeleitungs- gleichung. Das Rand-Anfangswert-Problem beispielsweise fur nichtlineare Differential- gleichungen wird damit auf ein Fixpunktproblem eines Operators zuruckgefuhrt, in dessen Definition eine Losung des Randwertproblems fur holomorphe Funktionen und eine Losung des Rand-Anfangswert-Problems bei der Wiirmeleitungsgleichung eingeht (im stationaren Fall tritt dagegen nur das Randwertproblem fur holomorphe Funk- tionen auf).

Im Fall der Kontraktivitat des zugehorigen Operators erhiilt man in bekannter Weise durch endlich-oftmalige Anwendung des Operators auf ein beliebiges Start- Element eine Naherungslosung .

Als Nachteil des konstruierten Operators sei erwiihnt, daB aus ihm die Differen- tiation nach der Zeit nicht eliminiert ist, so daB die rechte Seite der gegebenen Differen- tialgleichungen und die Anfangs-Vorgaben beliebig oft differenzierbar vorausgesetzt werden mussen. Als Vorteil sei genannt, daB der Operator explizit angegeben wird, also nicht - wie dies bei Integraloperatoren vom BERGMANschen Typ der Fall ist - zu- nachst die Bestimmung einer Erzeugerfunktion erforderlich macht (vgl. S. BERGMAN [ 11, D. COLTON [4], R. P. GILBERT [6], [7], E. LANCKAU [ll]). Die Methode der BERGMAN- when Integraloperatoren, die zwar auch auf parabolische Differentialgleichungen anwendbar ist, erfordert andererseits aber auch die Linearitat der zu losenden Differen- tialgleichung. Dagegen ermoglicht der hier konstruierte Operator auch die Losung nichtlinearer (und dabei nicht nur quasilinearer) Differentialgleichungen.

2. Ein Linearisierungsprinzip

Gesucht wird eine Losung w der Differentialgleichung

DW = 0 ,

wobei L ein im allgemeinen nicht linearer Differentialoperator sein SOU. J e nach dem Typ von D wird fur w ein sachgemiiBes Problem (beispielsweise ein Randwert- oder ein Rand- Anfangswert-Problem). gestellt.

Der Grundgedanke des hier zu verwendenden Linearisierungsprinzips ist folgender :

a) I n Abhangigkeit von dem gegebenem Differentialoperator D wird ein im all- gemeinen nichtlinearer Integraloperator A, und lineare Differentialoperatoren DO1, . . . , Do, gewahlt, u 2 1. Die Zuordnung von A,, zu dem vorgegebenem Differentialoperator D

Tutschke, Vollstiindige Linearisierung 271

soll dabei so erfolgen, daB A, linear wird, wenn D linear ist. Die Differentialoperatoren Do,, . . ., Do, miissen dagegen stets linear gewahlt werden.

b) Wahrend D auf reell-, komplex- oder vektorwertige Funktionen w angewandt wird, sollen (s+ 1)-Tupel (w, h,, ..., ha) betrachtet werden, 8 2 0. Im Fall s 7 0 soll das bedeuten, daB nur w selbst betrachtet wird, daB also keine Hilfsfunktionen h,, . . ., ha zu betrachten sind (ist s > 0, so werden sich die h,, ..., ha durch Ableitungen von w ausdriicken lassen).

c) Es seien xl, . . ., Losungen der linearen Differentialgleichungen

wobei die x i durch Stellung eines sachgemaoen Problems eindeutig festgelegt seien. Dabei sollen die Werte, durch die die xi eindeutig festgelegt werden, von der Wahl von (w, h,, . . ., ha) abhangen. Das charakteristische Problem, durch das die X i eindeutig festgelegt werden, wird im allgemeinen mit dem urspriinglich fur D gestellten charakteristischen Problem identisch sein (oder zumindest eng zusammenhangen).

d) SchlieBlich sei d ein Differentialoperator, der jedem (w, h,, . . ., h,, x,, . . ., xo) ein (s + 1)-Tupel zuordnet. 1st A , ein Integraloperator und wahlt man x,, . . ., xu im Sinne von c) in Abhangigkeit von (w, hl, . . ., h,), so werde durch

ein (im allgemeinen nichtlinearer) Operator definiert, der den %um der (s + 1)-Tupel in sich abbilde.

e) Die Differentialoperatoren Doi, die Vorgaben fur die xi und der Integraloperator A , seien so gewahlt, daB folgendes gilt: 1st (w, h,, ..., h,) Fixelement von A, so ist w Lijsung der Differentialgleichung Dw = 0, die gleichzeitig das fur D gestellte sach- gemaBe Problem lost.

Ein wichtiger Spezialfall fur die Definition von A besteht darin, daB sich A(w, h,, ..., ha) aus (w, h,, ..., h,) dadurch ergibt, daB man auf (w, h,, ..., ha) einen Integral- operator anwendet und dazu die X i bzw. ihre Ableitungen addiert. Dieser Spezialfall wird in den beiden ersten der drei folgenden Beispiele vorliegen. Die beiden ersten Beispiele zeigen dabei, wie sich im stationaren Fall angewandte Linearisierungs- methoden unter die hier entwickelte allgemeine Konzeption zur Linearisierung unter- ordnet. Das dritte Beispiel wird diese Linearisierung in dem hier zu Diskussion stehenden instationaren Fall durchfiihren (dargestellt an einer nichtlinearen Differentialgleichung aus der Diffusionstheorie). Wahrend sich als lineare Differentialgleichungen DOixi = 0 im stationaren Fall das CAUCHY-RIEMANN-System ergeben wird, tritt im instationaren Fall die Warmeleitungsgleichung auf.

Boispiel 1. Es sei w = (wl, . . ., w,) und

aW - = P(2, w ) . az*

Gesucht wird eine Losung dieser Differentialgleichung, die die DmICHLETschen Rand- bedingungen

(2) Re w = g auf aQ, Im w[zo] = c ,

272 Tutschke, Vollstiindige Lmearisierung

erfiillt, wobei g eine auf aG vorgegebene reellwertige Randfunktion, c = (c,, . . ., c,) einen Vektor mit reellen Komponenten und zo einen auf aB willkiirlich, aber fest gewahlten Punkt bedeuten. Um dieses Randwertproblem zu losen wird (vgl. L. BE= und L. NIRENBEEO [3]) der folgende Operator betrachtet.

(3) = TGF(’, w ) f x , wobei

(4) x = Y + @

ist. Dabei ist Y ein holomorpher Vektor, der die Randbedingungen (2) erfiillt, wahrend @ ein holomorpher Vektor ist, der die Randwerte von Tap(., w ) auf Null ausgleicht, d. h. der anstelle (2) den Randbedingungen

Re @ = -TGF(., w ) auf aB,

Im @[zO] = -1m TGF(*, 20)

genugt. Daher hat ein Fixelement des durch (3) definierten Operator das durch (2) beschriebene Randverhalten. Da andererseits jedes Fixelement von (3) Losung der Differentialgleichung (1) ist, ist das Fixelement von (3) eine Lijsung des DIRICHLET- Problems (l), (2).

Damit ist - entsprechend dem oben beschriebenen allgemeinen Linearisierungs- verfahrens - das DrarcHLET-Problem fiir die nichtlineare Differentialgleichung (1) auf das DmrCHLETsche Problem fiir die lineare Differentialgleichung

euriickgefiihrt worden. Es ist hier also (J = 1, wahrend s = 0 genommen werden kann. Die Anwendung des Operators A auf daa Element w lauft darauf hinaus, dal3 man zu dem durch TOP(., w ) definierten Integraloperator A. die Losung x der Differential- gleichung (6) addiert, wobei

Re x = g - Re TOF(., w ) auf aG und

Im x[zO] = c - Im TG(., w ) [zO] ist.

Beispiel 2. Schreibt man ein (im allgemeinen nichtlineares) Differentialgleichungs- system fur 2n reellwertige Funktionen in komplexer Normalform (vgl. [ 141, [ 161, [ 17]), so erhalt man in Verallgemeinerung von (1) eine Differentialgleichung der Form

Wegen des Auftretens der Ableitung nach z auf der rechten SeiB von (6) mu8 man (nach [14], [GI, [17]) bei der uberfiihrung der Differentialgleichung (6) in eine Operator- gleichung neben dem TG-Operator auch den ITG-Operator (vgl. I. N. VEKUA [19]) heran- ziehen. Dabei fiihrt man als neue Variable

aw az

- = h

Tutsohke, Vollstiindige Linearisierung 273

ein, hat also s = 1. Statt (3) hat man hier den fur Paare (w, h) durch

W = T,F(*, W , h) + X, H = 17 o m . , w, h) + x' definierten Operator zu betrachten, wobei x wieder durch (4) definiert wird. Man hat also auch hier c = 1 und die Anwendung von A liiuft wieder auf die Anwendung einea Integraloperators, namlich des durch

(ToF(*, w, h), 17aP(-, w, 4) definierten, und nachtriiglich Addition von

(x, x ' ) hinaus.

Beispiel 3. Im folgenden sol1 die Linearisierung fur die Differentialgleichung

durchgefuhrt werden, wobei w eine komplexwertige Funktion oder ein Vektor ist, dessen Komponenten komplexwertige Funktionen sind. Hangt F von awlat nur linear und von den Ableitungen zweiter Ordnung uberhaupt nicht ab, so geht (7) in die Differentialgleichung

der Diffusionstheorie iiber (der Faktor von awlat wurde speziell als 1 angenommen). Im allgemeinen Fall, in dem F auch von den zweiten Ableitungen abhangt, gehtiren zu den Differentialgleichungen der Form (7) auch echt nichtlineare, nicht nur quasilineare (durch Beschriinkung gewisser Lipschitzkonstanten von F beziiglich der zweiten Ablei- tungen erreicht man, daB in (7) der Hauptteil Aw bestimmend bleibt). Um (7) in eine Operatorgleichung zu uberfuhren, wlihlt man s = 2, d. h. man betrachte statt w die Tripe1 (w, hl, h,) und definiere

w = Toh2 + x1 + X a ,

(8) HI = &h*,

at

Hierbei sei !l'E der zum To-Operator analoge Operator mit dem Kern l / C * - z*, x1 und xz seien Lijsungen der linearen Differentialgleichungen

(9)

ao daB G = 2 gewahlt wird. Wie auch x, und x, gewiihlt werden, stets laBt sich zeigen, daB w Losung der Differen-

tialgleichung (7) ist, wenn (w, hl, ha) ein Fixelement des durch (8) definierten Operators ist. Dazu schreibt man (8) fur ein Fixelement auf und differenziert zunachst die erste

274 Tutschke, Vollstiindige Linearisierung

der entstehenden Gleichungen partiell nach z. Man erhiilt

Vergleicht man dies mit der zweiten Gleichung (8) - diese wieder fur ein Fixelement aufgeschrieben -, so folgt

Aus der ersten Gleichung (8) ergibt sich fur ein Fixelement durch partielle Differen- tiation nach z* sofort

Da die Anwendung des !Z'$Operators durch partielle komplexe Differentation nach z aufgehoben wird, ergibt sich aus der dritten Gleichung (8) fur ein Fixelement

Beachtet man

as az az*

4 - = A ,

80 ergibt sich aus (10)

und durch Vergleich mit (12)

Da Lijsung von (9) ist, erweitert sich w als Lijaung der vorgegebenen Differential- gleichung (7). Mithin ist bewiesen:

8 8 t Z 1. Im Raum aller (w, hl, ha) werde der d u d (8) definierte Operator betrachtet, wobei x1 fur alle t holomorphe Funktion von z und x2 L6sung der Warmeleitung~gleichung (9) ist. Ist dann (w, h,, h,) Fixelement dieses Operators, 80 ist w Lbung der (nichtlinearen) Differentialgleichung (7).

Zuniichst 8 0 l h noch einige Varianten des Operators (8) diskutiert werden :

Bemerkung 1. Durch Verwendung von (10) und (11) kann man die ersten Ablei- tungen von w nach z und z* aus den rechten Seiten von (8) eliminieren. Nimmt man an, daB P nur von den ersten Ableitungen von w abhangt, so kann man durch diese Ersetzung erreichen, da13 auf den rechten Seiten von (8) nur w, b, h, und awlat, nicht jedoch weitere Ableitungen von w, auftreten. Obrigena sei bemerkt, da13 Gleichung (10) auBer zu der hier beschriebenen Elimination nicht benotigt wird.

Tutschke, Vollstiindige Lineerisierung 276

Bemerkung 2. Bei der Definition von H2 durch die dritte Gleichung von (8) kann man auf der rechten Seite noch einen antiholomorphen Summanden hinzunehmen.

Bemerkung 3. Es sei w =sung der Differentialgleichung (7). Betrachtet man dann den durch (8) definierten Integraloperator mit x l e 0 (oder einer anderen fest gewahlten holomorphen Funktion), so gilt: Falls es Funktionen h,, h, so gibt, dal3 (w, h,, h,) Fix- element des durch (8) definierten Operators ist, so folgt umgekehrt aus (13), daB x2 Liisung der Warmeleitungsgleichung (9) ist.

Bei dem durch (8) definierten Operator sind x1 bzw. x2 zuniichst als beliebige holo- morphe Funktion bzw. als beliebige Liisung der Wiirmeleitungsgleichung gewahlt worden. In 4. wird gezeigt werden, daB w nicht nur der Differentialgleichung (7) geniigt, sondern auch Losung eines vorgegebenen Rand-Anfangswert-Problems ist, wenn die holomorphe Funktion xl, Liisung eines geeigneten Randwertproblems und wenn x2 Lo- sung eines geeigneten Rand-Anfangswert-Problems der Warmeleitungsgleichung ist. Urn aus den vorgegebenen Rand-Anfangswerten fur w die erforderlichen Randwerte fur x1 und die zugehorigen Rand-Anfangswerte fur x, zu ermitteln, wird im folgenden Abschnitt 3. zuniichst ein Rand-Anfangswert-Problem gelost fur eine Funktion, die Summe aus einer holomorphen Funktion und einer Lijsung der Warmeleitungsgleichung ist. Die Betrachtung des Rand-Anfangswert-Problems fur eine solche Summe macht sich deswegen erforderlich, weil fur die Warmeleitungsgleichung ein Rand-Anfangswert- Problem gelost werden muB, bei dem die Vertraglichkeitsbedingungen fur die Rand- und Anfangswerte (vgl. dazu [lo]) nicht erfullt sind.

3. Realisierung vorgegebener Rand- Anfangswerte bei nieht erfiillten VeFtrEigliehkeitsbedingungen

Sei G ein (hinreichend glatt berandetes) beschriinktes Gebiet der z-Ebene, T > 0 feat gewahlt. Dann wird in x [0, T] eine Funktion gesucht, fur die fur t = 0 in G die Werte f l (Anfangswerte) und fur alle t, 0 5 t 5 T die Randwerte f a auf aG vorgegeben sind. Die reellwertigen Funktionen f l = f l ( z ) und f z = f2(z, t ) , z 6 aG, werden unbe- schriinkt oft differenzierbar vorausgesetzt. SOU die gesuchte Funktion Liisung der Wiirmeleitungsgleichung sein, so wird sie nur dann in G x [0, TI unbeschriinkt oft differenzierbar sein, wenn die Vorgaben f,, f z fur z E aCJ und t = 0 die ublichen Ver- triiglichkeitsbedingungen (jeder Ordnung) erfullen. Dies wird im folgenden im all- gemeinen nicht der Fall sein. Wie gezeigt werden wird, gibt es zu den Vorgaben f i , f2

aber stets eine in G x [0, TI unbeschdnkt oft differenzierbare Funktion, wenn diese die Form

x1 + x z

haben SOU, wobei x1 holomorph und X , Losung der Wiirmeleitungsgleichung sein SOU. Die erste Gleichung (8) zeigt, daB man bei geeigneter Wahl der Rand-Anfangswerte von (14) erreichen kann, daB W ein vorgeschriebenes Rand-Anfangs-Verhalten hat.

Da fur eine Losung x, der Wiirmeleitungsgleichung

18*

276 Tutschke, Vollstandige Linertrisierung

ist, hat die Vertraglichkeitsbedingung n-ter Ordnung fur die Warmeleitungsgleichung die Form

Um diese Bedingung stets zu erfiillen, soll die fur festes t in G holomorphe Funktion x1 mit noch geeignet zu bestimmendem f 3 die Randbedingung

Rex1 I f 3 auf aa erfiillen. Damit der Realteil der Funktion (14) die vorgegebenen Anfangswerte f l und Randwerte f 2 realisiert, hat man x2 dann als Losung der Warmeleitungsgleichung zu wiihlen, deren Rand-Anfangs-Verhalten durch

f l - Rex1 fur z E G, t = 0 f 2 - f s fur z c aG, 0 st 5 T (16) x 2 = {

gegeben wird. Die Hilfsfunktion f 3 wird nun so gewahlt, daB fur die Rand-Anfangswerte (16) die Vertrliglichkeitsbedingung (15) fur jedes n erfiillt ist. Fur n = 0 geht diese Bedingung in die Vertraglichkeitsbedingung nullter Ordnung fur f l und f 2 uber :

(17) fl = f i fur Z E a a , t = 0 .

Diese Bedingung soll fur f , , f i vorausgesetzt werden. Fur n 5 1 gehen die Vertraglich- keitsbedingungen fur (16) uber in

wobei berucksichtigt wurde, daB A Re x1 = 0 ist. Bezeichnet man zur Abkurzung die fur z E aG und t = 0 definierte Funktion auf der rechten Seite von (18) mit 1, = A,(z), so wird eine Funktion f3, die der Bedingung (18) genugt, beiapielsweise durch

gegeben. Diese Reihe ist konvergent, falls mit wachsendem p die Betrage der 1, nicht zu rasch anwachsen (sind alle 11,l beschriinkt, so konvergiert die Reihe sogar fur alle t ; ist l1,l 5 p!, so konvergiert die Reihe immerhin noch fur alle t mit It1 < 1).

Zuaammenfassend ist - unter Voraussetzung der Konvergenz von (19) - gezeigt:

Satz 2. Sind f l in G bei t = 0 vorgegebene Anfangmuerte und in auf aG vorgegebene Randwerte (die die Vertrwlichkeitabedingung nullter Ordnung (17) erfiillen), so gibt es eine in x [0, TI beliebig oft differenzierbare Liisung x, + x2 des Rand-Anfangswert-Problem, wobei x1 fur jedes t holonzorph und x2 L&ung der Wameleitungsgleichung ist.

Bemerknng. 1st die Vertriiglichkeitsbedingung nullter Ordnung fur f l und fa nicht erfiillt, so gilt Satz 2 nicht. Man kann durch Hinzunahme des Summanden mit p = 0 in (19) zwar die analoge Funktion f 3 bilden, da fur z E aG und t = 0 jedoch f l - Re x = f l - f 3 und f 2 - f a voneinander vemchieden sind, ist fur x2 dann nicht die notwendige Vertriiglichkeitsbedingung nullter Ordnung erfiillt.

Tutschke, Vollstiindige Linearisierung 277

Der durch (8) definierte Operator wird fur holderstetig differenzierbare Funk- tionen betrachtet werden. Dies ist erstens deswegen sinnvoll, weil k-ma1 holderstetig differenzierbare Funktionen durch Anwendung von TQ- und IIG-0perator in ebensolche Funktionen ubergehen (vgl. I. N. VEICUA [19]). Zweitens erweist sich die Losung des Rand-Anfangswert-Problems insbesondere bei der Wiirmeleitungsgleichung als k-ma1 holderstetig differenzierbar, wenn die Rttndwerte bzw. die Anfangswerte entsprechende Voraussetzungen erfiillen (vgl. 0. A. JIAAarmmcKas, B. A. COJIOHHEIKOB, H. H. YPAJrbqeBA [lo]). Da in (8) aber zur Definition von W, H, , H , auch die Ableitungen von w gebraucht werden, kann man nicht mit Funktionen arbeiten, deren Ableitungen bis zu einer bestimmten endlichen Ordnung existieren und holderstetig sind (fur solche Funktionen w, h,, h, reduziert sich beim Bildelement (W, H, , H, ) die zullissige Ableitungsordnung). Vielmehr muB man Funktionen betrachten, die holderstetige Ableitungen beliebiger Ordnung besitzen. Indem man Ableitungen nur bis zu einer bestimmten Ordnung betrachtet, wird zuniichst eine n-te Norm 11. l l n , a betrachtet. Dazu werde wie bei 0. A.

bezeichnet. 1st ZL reell- oder komplexwertige Funktion, so bezeichne, ebenfalls wie in [lo], aAJJ,hI?Kl?HCKAJ3, B. A. COJIOHHHKOB, H. H. YPaJIbqEBA [lo] die Menge t!? X [o, TI mit 8~

(&T) H2n+2a,n+a

S die Menge aller Funktionen, die r + - I n Differentiationen zulassen, wobei r die

Anzahl der Differentiationen nach t und s die Anzahl der Differentiationen nach KO- ordinaten der Ebene bedeuten ; die dabei entstehenden Ableitungen sollen holderstetig mit dem Exponenten CX sein (es wird also das in [ 101 betrachtete H’J/a(Q,) mit 1/2 = n + 01

betrachtet).

2 -

Weiter sei

die in [lo] definierte Norm von u in diesem Rttum.

tionen wird Fur eine komplexwertige Funktion oder fur einen Vektor komplexwertiger Funk-

II .Iln.a

definiert als maximale Norm

I * loTl (2n+2a)

wobei das Maximum uber alle Komponenten zu erstrecken ist. Diese Definition der Norm wird insbesondere auf die bereits in 2. betrachteten (w, h,, h2) angewandt werden (wobei w, h, bzw. h, selbst m-Tupel sein konnen).

Im folgenden sol1 diese Norm fur die hier betrachteten Funktionen f a , x1 und x2 abgeschatzt werden. Aus der Darstellung (19) fur f3 folgt zunachst, wenn t, + t, = 2 t und p - (r = v gesetzt wird,

Hierbei ist zu beachten, daB 1, = A,(z) nur fur z E at7 definiert ist, so da13 die Ablei- tungen nach x, y in der ublichen Weise als Richtungsableitungen aufzufassen sind.

278 Tutschke, Volletiindige Linearisierung

Nach Definition vonI, treten in Iu+v die Ableitung von f 2 nach t von der Ordnung a + v und Ableitungen von fl nach x, y von der Ordnung 2(a + v) auf. Damit treten in a2rl,+v/axr* ayra folgende Ableitungen auf : Ableitungen von f2 mit u +v Differentia- tionen nach t und 2r Differentiationen nach 2, y; bei fl treten 2(a + v) + 2t = 2(a + v + t) Differentiationen nach 2, y auf. Alle diese Ableitungen kommen in ~ l f l l l u + v + T , a bzw. Ilf211s+v+,,a vor, so daB (unter Voraussetzung der Konvergenz der Reihe) die Abschatzung

folgt. Setzt man a + t = k, so ergibt sich mit von k und v abhiingigen Konstanten C(k, v) die Abschatzung

Beachtet man den Satz von PMVALOV, so ergibt sich mit moglicherweise anderen Konstanten C(k, v) auch fur xl eine Abschatzung der Form

m i

IIxlIIk,;v 5 c f ~ ( k , V ) max (IVlIIk+v,a + II/~IL+,~) t'. v = o v. (21)

Nach (10) gibt es fur x2 eine a-priori-Abschatzung durch die Rand- und Anfangswerte (16), niimlich

I I x ~ I I ~ , ~ d C(k) (Ilfi - Re X1IIk.a + llfi - f3Ilr.a)-

Beachtet man (20), (21), so ergibt sich auch fur xz eine Abschiitzung der Form

m i

4. Das Rand- Anfangswect-Problem far nichtlineare Differentialgleichnngen

1st G wie in 3. ein (hinreichend glatt berandetes) beschranktes Gebiet der z-Ebene und sind g, in G (fur t = 0) und g2 auf aG x [0, TI vorgegeben, ao wird in G x [0, TI eine Losung der Differentialgleichung (7) gesucht, die den Rand-Anfangsbedingungen

g1 fur z E G , t = O g2 fur zEaa, O S t g T ,

(23) R e w =

geniigt. Nach Satz 1 egeben Fixelemente des durch (8) definierten Operators stets Losungen

der Differentialgleichung (7), wie auch die holomorphe Funktion x1 und die Losung x2 der Warmeleitungsgleichung gewahlt werden. Satz 2 wird es nun ermoglichen, die Funk- tionen xl, x2 so zu wahlen, da13 ein Fixelement des durch (8) definierten Operators das vorgeschriebene Randverhalten (23) besitzt. Dazu werden x1 + xz in Summen y j + pj aufgespalten, wobei yl yz holomorph und pl, p2 Losungen der Warmeleitungsgleichung

Tutschke, Vollstindige Linesrisierung 279

sein sollen. Sei y1 + rpl nach Satz 2 existierende Ltisung des Rand-Anfangswert-Problem

Die Summe p2 + rp2 wird so gewahlt, daB sie auf der rechten Seite der ersten Gleichung (8) die Rand- und Anfangswerte von TQh2 auf Null ausgleicht :

Re ( w 2 + %) = --Re Toh2

sowohl fur z E C?, t = 0, als auch auf aC? x [0, TI. Insgesamt besitzt die rechte Seite der ersten Gleichung von (8) damit das vorgeschriebene Rand-Anfangs-Verhalten. Zu- sammenfassend ist bewiesen :

Satz 3. Wahlt mun fur den durch (8) definierten Operator die holmorphe Funktim x1 = p1 + p2 und die L&ung x2 = rpl + rp2 der Wtimleitungsgleichung so, dap y1 + rpl die vorgegebenen Rand-Anfangswerte realisiert, und dap y, + Q), die Rand- und Anfangs- werte 0012 Re Tahz auf Null ausgleicht, so p7t:

Ist (w, h,, h,) Fixelement des durch (8) definierten Operators, so ist w L&ung dm Rand-Anfangswert-Problem (23) der Dif/erentidqleichung (7) .

Das damit gewonnene Linearisierungsprinzip liefert nicht nur eine Moglichkeit fur Existenzbeweise, sondern dariiber hinaus auch a-priori-Abschiitzungen f iir die Losungen der betrachteten (nichtlinearen) Differentialgleichungen. Dazu sind drei Voraus- setzungen erforderlich :

a) die Liisungen der linearen Differentialgleichungen Doixi =I 0 lassen a-priori- Abschatzungen zu,

b) die Koeffizienten der gegebenen nichtlinearen Differentialgleichung sind lipschitz- stetig, so daB sich l(w, h,, . . ., h,, xl, . . ., xo) durch w, hl, . . ., h, und die a-priori-Schranken von x,, . .., xg abschiitzen laBt,

c) der Operator A, ist beschdnkt. In Abhangigkeit von a-priori-Schranken der Anfangsdaten hat man in dem be-

trachteten Funktionenraum einen Polyzylinder zu wahlen, der durch den Operator in sich abgebildet wird. Da ein Fixelement dieses Operators ebenfalls in diesem Poly- zylinder liegt, ergibt sich eine im Polyzylinder liegende Lijsung.

1st der Operator kontrahierend (unter den Voraussetzungen a), b) und c) kann man dies durch geeignete Beschriinkung der LrPsmz-Konstanten der rechten Seite der Differentialgleichung erreichen), so ergibt aich die Existenz des Fixelements nach dem BmAmschen Fixpunktsatz, so daB in bekannter Weise die iterative Anwendung des Operators eine Folge von Naherungslosungen ergibt.

Im folgenden soll eine hinreichende Bedingung dafiir angegeben werden, daB der durch (8) definierte Operator in einer geeigneten Metrik kontrahierend ist. Dazu wird mit positiven An, durch

(24) m

P n ( - - . ) = C Am Il.IL,a r = O

eine Folge von (Halb-)Normen definiert, natiirlich nur fur Elemente, fur die die Reihe (24.) konvergiert. Die pn bilden eine monoton wachsende Folge von Halbnormen, wenn

An+~,v 2 An,

280 Tutschke, Vollstandige Linearisierung

fur alle v gilt. Die Konvergenz der Reihe (24) kann beispielsweise durch die Ein- schatzung

(25) II I Ily.. 5 D, gesichert werden, wenn bei jeder Wahl von n die Reihe

W

2' A n P v v = o

(36)

konvergiert. Mit den Halbnormen p n wird in der ublichen Weise durch

W

d ( f , 9) = 2' 2-n min ( p n ( f - g), 1) n = l

eine Metrik gebildet. Beschriinkt man sich auf Folgen f = (w, hl, h2), fur die (25) gilt, so ist leicht zu zeigen, daB jede Fundamentalfolge konvergiert. 1st namlich d ( f k , f l ) < E

fur k, 1 2 k,, so ist auch

2 - " P n ( f k - f l ) < ~9

falls E < 2-" gewiihlt wird. Da nach (24)

ist, bilden die fk auch eine Fundamentalfolge beziiglich 11 - II,,.. Wegen der Vollstiindigkeit der Riiume holderstetig differenzierbarer Funktionen existiert ein f , gegen das die f k in der Norm I[ - IIY,. konvergieren. Da die Konvergenz auch bei Verkleinerung von v erhalten bleibt, mu13 f beliebig oft holderstetig differenzierbar sein und es muB

llfk - f h , n

fur jedes v = 0, 1,2, ... bei k + 00 gelten (wobei diese Konvergenz allerdings nicht notwendig gleichmaBig bezuglich v sein mul3). Wegen dieser Konvergenz erfiillt auch daa Grenzelement f die Ungleichung (25), so daB insbesondere

(27) llfk - f11v.a 5 llfkllv,n + 11fk.n 5 2Dv

gilt. Urn die Konvergenz der f k gegen f in der Metrik d(. , .) zu zeigen, sei eo > 0 beliebig vorgegeben. Fur hinreichend groB gew&hltes no ist dann

m i c 2 4 < EO n = n . + l 3

und folglich no 1

d ( f k , f ) 5 c l ) n ( f k - f) + - & O - 11 = 1 3

Beachtet man (27) und die Konvergenz der Reihen (26) insbesondere fur n = 1, . . ., no, so folgt die Existenz eines no, daB fur jedes n = 1, . . ., no die Abschatzung

W 1 1 Z A n v Ilfk - fI1v.n < ; * 3 EO v = v . f l

Tutschke, Vollstindige Linearisierung

gilt. Damit wird

28 1

Nun kann man aber Ic so groB wahlen, daB die Sumnie at Ungleichung ebenfalls kleiner als eo/3 wird.

der rechten i te dieser

Um die Kontraktion des durch (8) definierten Operators zu untersuchen, wird neben dem Bildelement ( W , H I , a,) von (20, h,, h,) auch noch das Bild (w, I?l, 8,) eines weiteren Elementes (G, a,, h,) betrachtet. Dann sollen yl + p1 = ijl + @, die Rand- Anfangsvorgaben g,, g2 realisieren, wahrend y, + y , bzw. +, + @, zu den Rand-An- fangswerten -TGh, bzw. -T&, gehoren. Bildet man die Differenz ( W , HI, H,) - (w, IS1, I?,), so heben sich die Summanden y1 + p1 und fjl + $1 heraus. Die Summanden (y, + p,) - (fj, + @,) lassen sich zu

(Yz - Fz) + (Vz - @ 2 )

zusammenfassen, wobei yz - fj, = x1 im Sinne von 3. diejenige holomorphe Funktion und pz - @ 2 = xz diejenige Losung der Warmeleitungsgleichung ist, die zu den Rand- und Anfangswerten -T0(h2 - 2,) gehort. Durch Anwendung von (21) und (22) ergeben sich damit fur

und damit auch der Gestalt

“ 1 v - 0 v! 2 - C(k, v) llh - h*/lk+”.. t ” . (28)

Insgesamt ist damit gezeigt, da13 sich I/W - v I / k , u durch einen Ausdruck der Form (28} abschatzen 1aBt. Bei der Abschatzung von llHl - 8111k,, muB zusiitzlich noch llyi - FLl/k,u

abgeschatzt werden. Da diese GroBe jedoch durch llyz - i&l)k+l,a abgeschiitzt werden kann, ergibt sich durch Anwendung der Abschatzung (21) fur llH, - a111k,4 schlieBlich eine Abschatzung durch einen Ausdruck der Form

Auf eine Schranke derselben Art fuhrt auch die Abschatzung von 11: - - - aFll 7 da

diese Norm durch I(yz - abgeschatzt werden kann. Damit ergibt sich auf fur IIH, - Rzlk,4 eine Abschatzung durch (29), wenn uber F ( - , ., w, . . .) eine HOLDER- LrPsmz-Bedingung der folgenden Art vorausgesetzt wird :

k.a

(30) IIF(.,., W , * . a ) - F(*,*, G, . . * ) I l / t , u L ( k ) I/W - WIJk+l,a.

282 Tuteohke, Volletiindige Linearisierung

Eine solche Vbraussetzung ist insofern naturgemiia, als d a B F auBer von w auch von b / a t und den zweiten Ableitungen von w nach x , y abhiingt ; bildet man daher

a a + a i q . , ., w, . . .) ap az.1 az.1

mit 0 + t 5 k, 2t = tl + r2, so treten Ableitungen von w auf, fur die u oder t durch 0 + 1 bzw. t + 1 zu ersetzen ist, so daB k durch k + 1 ersetzt werden muB. Beachtet man (30), so kann man llH2 - fl211k.a durch einen Ausdruck der Form

" 1 v = O v . C 7 C(k + 1, V ) t' II(w, hl, h 2 ) - ($9 fll, fl2)IIk+l+v,a (31)

abschiitzen. Da man auch (28) durch einen Ausdruck der Form (29) und damit auch der Form (31) ersetzen kann, ergibt sich insgesamt fur

pn(w - F, H I - 8 1 , H 2 - 8,) eine Abschiitzung durch einen Ausdruck der Form

" 1 k = O " = O v .

m

C A n k C 7 C(k f 1, V ) t' II(W, hl, h2) - (G, &, &)II~fl+v.a - (32)

Nimmt man nun noch an, daB der groBe Umordnungssatz anwendbar ist (dies h n n man durch geeignete Voraussetzungen uber die Ant oder uber die D, erreichen) und setzt man k + 1 + Y = u, so kann man (32) in der Form

B n u II(w, hl, h2) - (G, h) I Iu ,a

geschrieben werden, wobei

1 v = O V !

a-1

B,, = C - C(0 - Y , v ) t'

ist. Nimmt man nun an, daB die Koeffizienten A,, in Abhiingigkeit von n so gewiihlt werden konnen, daB

(33) B n u 5 PAn+t ,u

mit 0 < q < 1 gilt, so ergibt sich fur jedes n eine Abschiitzung der Form

(34)

Unter der Voraussetzung, daB (33) erfiillt werden kann (letzteres hangt beispielsweise von der GroDe der in (30) auftretenden Lnsomz-Konstanten ab) ist der durch (8) definierte Operator in dem durch (24) definierten FRIhHET-Raum kontrahierend. Urn einen entsprechenden Fixpunktsatz (vgl. I. A. RUS [13], F. KADEN [9]) anwenden zu konnen, mu0 durch geeignete Voraussetzungen noch sichergestellt werden, daB eine abgeschlossene Teilmenge des Raumes (z. B. der durch (26) definierte Polyzylinder) in sich ubergeht. Die erforderlichen Abschiitzungen erfolgen analog zu den oben durch- gefuhrten Abschatzungen von IIW - Wllk,a, IIH, - 8 f l l k . a . Da sich bei der Abschatzung von 11 w ( l k , a , IIBjllk,a die Summanden y1 + q1 nicht herausheben, ergeben sich dabei ein- schriinkende Bedingungen fur die Rand-Anfangs-Vorgaben gl, g2. Eine dieser Bedin- gungen soll angegeben werden: Bezeichnet man das Bildelement von ( O , O , 0) mit

Tutschke, Vollstindige Linearisierung 283

Damit kann man die Halbnormen p,,( Wo, Hal, HO2) durch die Normen von P(. , ., 0, . . .) und durch die Normen von gl, g2 abschktzen. Die Beschranktheit aller dieser Normen ist eine Voraussetzung, die die Anwendung des auf (34) zugeschnittenen Fixpunktsatzes erforderlich macht.

AbschlieBend uber die Konstruktion eines Fixpunktes von (8) einige Bemerkungen : Bemerkung 1. Die GroBe der Lipschitzkonstanten L(k) der rechten Seite F der

Differentialgleichung (7) (und natiirlich auch entsprechende Schranken fur die Holder- normen der rechten Seite) hangen von der Wahl der D, ab. Andererseits sind die D, so zu wahlen, daB y1 + y1 in dem durch die D, definierten Polyzylinder liegt.

Bemerkung 2. Als Mittelpunkt des Polyzylinders, in den (8) betrachtet wid , braucht nicht (0, 0,O) wie in (25) gewonnen zu werden, es kann auch p1 + yl als Mittelpunkt gewiihlt werden. In diesem Fall konnen alle D, = 0 gewahlt werden, wenn F ( . , ., w, . . .) _ - - a~ ist. Damit ist gezeigt, wie sich die Methode fur den allgemeinen Fall (7) ver-

at einfacht, wenn die Differentialgleichung (7) in den Spezialfall der Wiirmeleitungs- gleichung ubergeht. In diesem Fall ist w =. y1 die gesuchte Losung, da p1 = 0 gewahlt werden kann (die Funktion y1 ist nur in den Fallen erforderlich, in denen die Rand- Anfangsvorgaben nicht die Vertraglichkeitsbedingungen bezuglich des hPucEschen Differentialgleichung erfiillen.

Bemerknng3. Die dargestellte Methode liiBt sich auch auf den Fall ausdehnen, daB F auch von hoheren als zweiten Ableitungen abhangt. Das betrachtete Rand- Anfangswert-Problem (23) ist dann allerdings unterbestimmt.

Bemerkung 4. Die Methode, die Differentialgleichung (7) auf den Operator (8) zuriickzufiihren, setzt nicht die lineare Abhangigkeit der rechten Seite F von' awlat vorausl).

Bemerkung 8. Erfullen die Rand-Anfangs-Vorgaben gl, gn nicht die Vertraglich- keitsbedingungen bezuglich der Differentialgleichung (7), so kann in a x [0, TI keine unbeschrankt oft differenzierbare Losung existieren. Der zugehorige Operator (8) kann dann keinen Fixpunkt besitzen.

Bemerkung 6. Die Vollstandigkeit des betrachteten Funktionenraumes beziiglich der durch die p,, definierten Metrik d(. , .) wurde fur Elemente aus dem Polyzylinder (25) bewiesen. Man uberlegt sich leicht, daB dies fur die Anwendung des erwahnten Fixpunkt- satzes in fi$cHET-Raumen ausreichend ist.

l) Eine erste Variante der hier behandelten Methode, bei der die lineare Abhiingigkeit der Funktion P von awlat vorausgesetzt wurde, wurde auf der Sommerschule Suchumi und im Kolloquium des Instituts fur angewandte Mathematik der Universitiit Tbilissi (Mai/Juni 1977) vorgetragen. Bei letzterem machte Herr L. G. MAQNARADYE den Vorschlag, auch die nichtlineare Abhiingigkeit der Funktion F von awlat zuzulassen.

284 Tutschke, Vollstiindige Linearisierung

Bemerkung 7. Der TG-Operator hat - als Operator aufgefaDt, der den Raum der holderstetigen Funktionen in sich abbildet -, eine Norm die beliebig klein wird, wenn der Durchmesser von a hinreichend klein ist. Durch einen Variablenwechsel in der z-Ebene kann man den EinfluD der Ableitungen nach x, y unter den der Ableitungen nach t herunterdriicken.

Bemerkung 8. 1st der Raum nicht vollstlndig, so liefert der Operator (8) eine ver- allgemeinerte Ikisung.

Bemerkung 9. Bei einer vorgegebenen reellen Differentialgleichung kann man die Differentialgleichung (7) fur w ao wghlen, daD Re w der vorgegebenen reellen Differen- tialgleichung genugt.

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