Vorlesung 28: Roter Faden - deboer/html/Lehre/Physik1/VL28sw.pdf10 Februar 2004 Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 2 Gase Gase: Ansammlung von Teilchen ohne oder sehr geringe Anziehungskräfte

10 Februar 2004 Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 1Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 1

Vorlesung 28:

Roter Faden: Heute:

Hydrodynamik bei Flüssigkeiten und Gasen

Versuche: turbulente StrömungGeschwindigkeitsprofilBernoulliPrandtlsches Staurohr

Barometrische HöhenformelKaminWindkanal, Tragfläche


Gase

Gase: Ansammlung von Teilchen ohne oder sehr geringe Anziehungskräfte. Im Gegensatz zu Flüssigkeiten und Festkörper Expansion über das ganze Volumen und durch Druck komprimierbar.Zustand beschrieben durch drei Variablen: p,V,T. Zustandsgleichung: pV=mRT oder p = ρ RT (Allgemeine Gasgleichung).T=Temperatur= Maß für Ekin der Moleküle: Ekin=½m<v2>=3/2 kT(k=Boltzmann-Konstante=1,38 10-23 J/K und pV = NkT)

Kompressibilität: κ = -1/V δV/δp=0 für Flüssigkeit und κ = 1/p für Gas.(δV/δp=-V/p)

Gewichtskraft/Fläche= Druck p = mg/A = -ρgh. Oder dp = -ρg dh. Bei Flüssigkeit: ρ=konst ⇒ p=p0+ρghBei Gas: ρ=p/RT=konst. p ⇒

(p=p/2 für h=5.5 km in Luft)

p

h

p=p0 exp( -ρ0gh/p0 )

Barometrische Höhenformel:


Barometrische Höhenformel


Zug im Kamin


Maxwell-Boltzmannsche Geschwindigkeitsverteilung

Geschwindigkeitsverteilung:Wahrscheinlichkeitsverteilung: f(vz) ∝ exp (-E/kT) ∝ exp(-½mvz

2/kT) (Gauß-Verteilung)

Für alle Richtungen: f(v) = f(vx)f(vy)f(vz) ∝ exp(-½mv2/kT)

Anzahl der Moleküle im Geschwindigkeitsintervall v bisv+dv: n(v)dv = ∫ f(v) dvx dvy dvz ∝ 4πv2 exp(-½mv2/kT)(da Spitzen der Geschwindigkeitsvektoren der Länge v bis v+dv eineKugelschale mit dem Volumen 4πv2 dv ausfüllen)

Maxwell-Boltzmann:

n(v)dv

v (m/s)

T=70K

T=270K

400


Hydrodynamik


Stromlinien bei laminaren Strömung


Turbulente Strömung

Turbulenz entsteht durch Reibung zwischen den Rand-schichten der Flüssigkeiten oder zwischen Flüssigkeit und Wand ⇒Durchmischung der Stromlinien (Wirbel)


Bernoulli Gleichung

Energie-Erhaltung: Druckleistet Arbeit: W=∆Ep+∆Ek∆Fds=∆PAvdt=∆1/2mv2+mg∆h


Beispiele

P1+ ρgh

P2+½ ρv22


Prandtlsches Staurohr


Steigrohr nach Bernoulli


Windkanal


Tragfläche

Dichte der Stromlinien (=Weltlinie eines ‘Staubkorns’)Je dichter die Stromlinien, je höher Geschwindigkeit,da Av konstant ist (Kontinuitätsgesetz)


Hydrodynamisches Paradoxon

Ansaugen wenn ∆P = P0-P1 = ½ ρv2 > mg/A

P0

P1


Magnus-Effekt


Strahlquerschnitt beim Wasserhahn


Laminare Strömung durch Rohre

Innere Reibung: F=ηA dv/dr

F rv

dv/dy GeschwindigkeitsgradientF=Kraft um Flüssigkeit mit Konstanter Geschwindigkeitzu transportierenη = Viskosität

F=πr2 dp = η 2 πrL dv/dr

v(r)= ∫dv = dp/4 η L ∫ rdr =r2dp/8 η LDies ist Rotationsparaboloid.

Volumen/Zeit durch Zylinder mit Radien zwischen r und r+dr:dVdr/dt = 2πrdr v(r) ⇒ V = ∫ 2πr r2dp/8 η L dr = π R4/8 η dp/L

Oder allgemein: V = π R4/8 η dp/dz (Hagen-Poiseuille Gesetz)(dp/dz = lineare Druckgefälle entlang des Rohres)


Viskosimeter

Kugel fällt in visköser Flüssigkeit.Nach einiger Zeit gleichförmige Bewegung.Dann gilt: Gewichtskraft – Auftrieb +Reibung = 0

Empirisch gilt: FR= -6πηRK v. (Stokessches Gesetz)

Daher: 4/3πRK3g(ρK- ρFl) -6πηRK v = 0

Aus gemessener Geschwindigkeit v und bekannterKugelradius RK und Dichten ρ kann η bestimmtwerden


Zum Mitnehmen

Hydrodynamik:

Statische Flüssigkeiten: Pascalsche Gesetz:

Strömende Flüssigkeiten: Bernoulli

Statische Gase: barometrische Höhenformelp=p0 exp( -ρ0gh/p0)

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Vorlesung 28: Roter Faden - deboer/html/Lehre/Physik1/VL28sw.pdf10 Februar 2004 Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 2 Gase Gase: Ansammlung von Teilchen ohne oder sehr geringe Anziehungskräfte