17 Nov. 2007 Kosmologie, WS 06/07, Prof. W. de Boer 1
Vorlesung 4:
Roter Faden:
1. Evolution des Universums
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Zum Mitnehmen:
1. Comoving coordinates erlauben Rechnungen
OHNE die Expansion zu berücksichtigen.
Nachher werden alle Abstände und auch
die Zeit mit dem Skalenfaktor S(t) multipliziert.
2. Zeitabhängigkeit des Skalenfaktors: S = kt2/3
3. Alter des Universums für Ω = 1 und ohne
Vakuumenergie: t0 = 2/(3H0) ≈ 10 . 109 a
Dieser Wert ist zu niedrig, weil die beschleunigte
Expansion durch die Vakuumenergie vernachlässigt wird.
3. Größe des sichtbaren Universums für Ω = 1: 3ct0
(ohne Expansion: ct0)
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Friedmannsche Gl. und Newtonsche Mechanik
Die Friedmannsche Gleichungen der ART entsprechen
1. Newtonsche Mechanik
2. + Krümmungsterm k/S2
3. + E=mc2 (oder u=ρc2)
4. + Druck (⇒ Expansionsenergie in heißem Univ.)
Dies sind genau die Ingredienten die man braucht
für ein homogenes und isotropes Universum,
das evtl. heiß sein kann (Druck ≠ 0)
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Metrik im 3D-Raum
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Robertson-Walker Metrik = Metrik in 4D-comoving coor.
Für ein homogenes
und isotropes
Universum gilt:
Metrik unabh.
von ϕ,θ, d.h.
dϕ = dθ = 0
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Längen im gekrümmten Raum
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Friedmann Gleichungen
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Erste Friedman Gleichung nach Newton
Dimensionslose
Dichteparameter:
M m v
=Friedmann
für k=-2E/m
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Differenziere (1) und benutze u=ρc2
ergibt die zweite Friedm. Gl
Berücksichtigung der Expansionsenergie
(1)
(2)
dE=-pdV oder dE/dt = -p dV/dt - dV dp/dt
Letzter Term doppelter Differentialterm, daher vernachlässigbar.
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Kosmologische Konstante
p
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Kosmologische Konstante
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Energieerhaltung aus Friedmann Gl.
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Zeitentwicklung der Dichte
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Zeitentwicklung der Dichte
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Zeitentwicklung des Universums
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Zeitentwicklung des Universums
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Inflation bei konstantem ρ0
Oder S(t)∝ e t/τ mit Zeitkonstante τ = 1 /H
≈Alter des Univ., d.h.beschleunigte
Expansion durch Vakuumenergie jetzt
sehr langsam, aber zum Alter
t≈10-36s sehr schnell! Dieser Inflationsschub
am Anfang, die durch die Symmetriebrechung
einer vereinheitlichter “Urkraft”, wie durch
GUT’s (Grand Unified Theories) vorhergesagt,
ist die einzige Erklärung warum Univ. so
groß ist und soviel Materie hat.
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Alter des Universums mit ΩΛ ≠ 0
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Alter des Universums mit ΩΛ ≠ 0
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Alter des Universums mit ΩΛ ≠ 0
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Zum Mitnehmen
1. Friedmann-Lemaitre Feldgleichungen beschreiben Evolution
eines homogenen und isotropen Universums.
Daraus folgt mit p = α ρc2 :
ρ(t) ∝ S(t) -3(1+α)
S(t) ∝ t 2/3(1+α)
2. Wenn Strahlung dominiert ( α = 1/3 ), dann gilt: S(t) = k0 t ½
3. Wenn Materie dominiert (α = 0 ), dann gilt: S(t) = k1 t 2/3
4. Wenn Vakuumenergie dominiert (ρ = k), dann gilt: S(t) = k2 eHt
(exponentielle Zunahme (Inflation) mit H = konstant)
5. Alter des Universums für ΩΛ = 0.7: t ≈ 1/H0 ≈14 .109 yr
statt t= 2/3H0 ≈10 .109 yr (älteste Galaxien > 13 .109 yr !)
